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第二章 导数与微分2.2 课后习题详解习题2-1 导数概念1．设物体绕定轴旋转，在时间间隔[0，t]上转过角度θ，从而转角θ是t的函数：θ＝θ(t)．如果旋转是匀速的，那么称为该物体旋转的角速度．如果旋转是非匀速的，应怎样确定该物体在时刻t 0的角速度？解：物体在时间间隔上的平均角速度在时刻t 0的角速度2．当物体的温度高于周围介质的温度时，物体就不断冷却．若物体的温度T 与时间t 的函数关系为T ＝T(t)，应怎样确定该物体在时刻t 的冷却速度？解：物体在时间间隔上平均冷却速度[,]t t t +∆在时刻t 的冷却速度3．设某工厂生产x件产品的成本为函数C(x)称为成本函数，成本函数C(x)的导数在经济学中称为边际成本．试求（1）当生产100件产品时的边际成本；（2）生产第101件产品的成本，并与（1）中求得的边际成本作比较，说明边际成本的实际意义．即生产第101件产品的成本为79.9元，与（1）中求得的边际成本比较，可以看出边际成本的实际意义是近似表达产量达到x单位时再增加一个单位产品所需的成本．4．设f(x)＝10x2，试按定义求．解：5．证明证：6．下列各题中均假定存在，按照导数定义观察下列极限，指出A表示什么：以下两题中给出了四个结论，从中选出一个正确的结论：7．设则f(x)在x＝1处的（ ）．A．左、右导数都存在B．左导数存在，右导数不存在C．左导数不存在，右导数存在D．左、右导数都不存在【答案】B【解析】 故该函数左导数存在，右导数不存在．8．设f(x)可导，，则f(0)＝0是F(x)在x＝0处可导的（ ）．A．充分必要条件B ．充分条件但非必要条件C ．必要条件但非充分条件D ．既非充分条件又非必要条件【答案】A 【解析】 当f(0)＝0时，，反之当时，f(0)＝0，为充分必要条件．9．求下列函数的导数：10．已知物体的运动规律为s ＝t 3m ，求这物体在t ＝2s 时的速度．解：11．如果f(x)为偶函数，且f ＇(0)存在，证明f ＇(0)＝0．证：f(x)为偶函数，得．因为所以f ＇(0)＝0．。
⾼等数学第⼆章课后习题答案第⼆章导数与微分1. ()().1,102-'=f x x f 试按定义求设200200(1)(1)10(1)10'(1)lim lim1020lim lim (1020)20x x x x f x f x f x xx x x x→?→?→?→-+?--?---==-?==?-=-?2. 下列各题中均假定()0x f '存在，按导数定义观察下列极限，指出此极限表⽰什么, 并将答案填在括号内。
⑴ ()()=?-?-→?xx f x x f x 000lim（0'()f x -）；⑵ ()=→?xx f x 0lim （'(0)f ），其中()()存在；且0,00f f '= ⑶ ()()=--+→hh x f h x f h 000lim（02'()f x ）.3. 求下列函数的导数：⑴ ='=y x y ,4则34x ⑵ ='=y x y ,32则1323x -⑶ ='=y xy ,1则3212x -- ⑷ ='=y x x y ,53则115165x 4．求曲线. 21,3 cos 程处的切线⽅程和法线⽅上点??=πx y'sin ,'()3y x y π=-==-2(1)0y +-=法线⽅程为1)23y x π-=-化简得3)0x π+-+= 5. 讨论函数=≠=0001sin 2x x xx y 在0=x 处的连续性和可导性. 20(0)01lim sin 0(0)()x f x f x→===因为有界量乘以⽆穷⼩所以函数在0x =处连续因为 20001sin(0)(0)1lim limlim sin 0x x x x f x f x x xx x→?→?→?+?-==?=所以函数在0x =处可导.6. 已知()()()()是否存在？⼜及求 0 ,0 0 ,0 2f f f x x x x x f '''<-≥=-+ 2'00(0)(0)(0)lim lim 0h h f h f h f h h+→+→++-==='0lim 1h h f h f hf h h-→-→++--===- ''(0)(0)f f +-≠Q '(0)f ∴不存在7. ()(). , 0sin x f x x x x x f '??≥<=求已知当0x <时, '()(sin )'cos f x x x ==; 当0x >时, '()()'1f x x ==;当0x =时'00(0)(0)(0)limlim 1h h f h f hf hh +→→+-===＋＋ '00(0)(0)sin (0)limlim 1h h f h f h f h h-→-→+-===－ '(0)1f ∴=综上，cos ,0'()1,0x x f x x8. 求下列函数的导数：（1）;54323-+-=x x x y （2）;1227445+-+=x xx y 2222222232242222csc cot (1)2csc 2'(1)2(1)csc cot 4csc (1)23(3)(3ln )(2ln )(2)'(3ln )(94)ln 32(3ln )x x x x xy x x x x x x x x x x x x x xx y x x x x x x x x x x -+-=+-+-=+++-++=+-+-+=+g g 2'364652'20282y x x x ---=--+（3）;3253xxe x y +-= （4）;1sec tan 2-+=x x y2'152ln 23x x y x e =-+ 2'2sec sec tan y x x x =+（5）;log 3lg 2ln 2x x x y +-= （6）()();7432x x y -+= 123'ln10ln 2y x x x =-+'422y x =--（7）;ln x xy =（8）;cos ln 2x x x y = 21ln 'x xx y x-= 221'2ln cos cos ln sin y x x x x x x x x x =+- 21ln x x-= 22ln cos cos ln sin x x x x x x x x =+- （9）;1csc 22 xxy +=2222csc cot (1)2csc 2'(1)x x x x x y x -+-=+g g 2222(1)csc cot 4csc (1)x x x x x x -+-=+ （10）.ln 3ln 223xx x x y ++= 2232223(3)(3ln )(2ln )(2)x x x x x x x x y x x ++-++=+ 4222(94)ln 32(3ln )x x x x x x x x -+-+=+9. 已知. ,cos 21sin 4πρρ=+=d d 求因为1sin cos sin 2d d ρ=+-所以412422284d d πρπ?==+-=+10. .1轴交点处的切线⽅程与写出曲线x xx y -= 令0y =，得11x x ==-或因为2'1y x -=+，所以 11'2,'2x x y y ==-==曲线在(1,0)处的切线⽅程为2(1)y x =-，即220x y --=；曲线在(1,0)-处的切线⽅程为2(1)y x =+，即220x y -+=。
《高等数学》（同济七版）第二章：导数与微分江西省南昌市2015-2016学年度第一学期期末试卷（江西师大附中使用）高三理科数学分析一、整体解读试卷紧扣教材和考试说明，从考生熟悉的基础知识入手，多角度、多层次地考查了学生的数学理性思维能力及对数学本质的理解能力，立足基础，先易后难，难易适中，强调应用，不偏不怪，达到了“考基础、考能力、考素质”的目标。
试卷所涉及的知识内容都在考试大纲的范围内，几乎覆盖了高中所学知识的全部重要内容，体现了“重点知识重点考查”的原则。
1．回归教材，注重基础试卷遵循了考查基础知识为主体的原则，尤其是考试说明中的大部分知识点均有涉及，其中应用题与抗战胜利70周年为背景，把爱国主义教育渗透到试题当中，使学生感受到了数学的育才价值，所有这些题目的设计都回归教材和中学教学实际，操作性强。
2．适当设置题目难度与区分度选择题第12题和填空题第16题以及解答题的第21题，都是综合性问题，难度较大，学生不仅要有较强的分析问题和解决问题的能力，以及扎实深厚的数学基本功，而且还要掌握必须的数学思想与方法，否则在有限的时间内，很难完成。
3．布局合理，考查全面，着重数学方法和数学思想的考察在选择题，填空题，解答题和三选一问题中，试卷均对高中数学中的重点内容进行了反复考查。
包括函数，三角函数，数列、立体几何、概率统计、解析几何、导数等几大版块问题。
这些问题都是以知识为载体，立意于能力，让数学思想方法和数学思维方式贯穿于整个试题的解答过程之中。
二、亮点试题分析1．【试卷原题】11.已知,,A B C 是单位圆上互不相同的三点，且满足AB AC →→=，则A BA C →→的最小值为（）A ．14- B ．12-C ．34-D ．1-【考查方向】本题主要考查了平面向量的线性运算及向量的数量积等知识，是向量与三角的典型综合题。
解法较多，属于较难题，得分率较低。
【易错点】1．不能正确用OA ，OB，OC 表示其它向量。
