(完整版)第二章.导数和微分答案解析

高等数学第七版教材答案详解1. 课后习题答案1.1 第一章：函数与极限1.1.1 习题1解答1.1.2 习题2解答...1.2 第二章：导数与微分1.2.1 习题1解答1.2.2 习题2解答...1.3 第三章：微分中值定理与导数的应用1.3.1 习题1解答1.3.2 习题2解答...2. 课后思考题答案2.1 第一章：函数与极限2.1.1 思考题1解答2.1.2 思考题2解答...2.2 第二章：导数与微分2.2.1 思考题1解答2.2.2 思考题2解答...2.3 第三章：微分中值定理与导数的应用2.3.1 思考题1解答2.3.2 思考题2解答...3. 课后习题详解3.1 第一章：函数与极限3.1.1 习题1详解3.1.2 习题2详解...3.2 第二章：导数与微分3.2.1 习题1详解3.2.2 习题2详解...3.3 第三章：微分中值定理与导数的应用3.3.1 习题1详解3.3.2 习题2详解...在这篇文章中，我将给出《高等数学第七版》教材的习题答案和课后思考题答案的详细解析。

为了方便阅读，我将按章节划分答案，并提供习题和思考题的解答。

如果你在学习过程中遇到了困惑，希望这些答案能够帮助你更好地理解相关的数学概念和解题方法。

首先，我将给出每章节的课后习题答案。

在习题解答中，我将详细解释每个题目的解题思路和步骤，并给出最终答案。

你可以根据自己的需要，选择性地查看想要解答的习题。

接下来是课后思考题答案的解析。

这些思考题往往比较有挑战性，需要一定的思考和推导。

我将为每个思考题提供解答，希望能够帮助你在思考和解决问题时找到正确的方向。

最后，我将给出课后习题的详细解析。

在这一部分中，我将逐题逐题地分析解题思路，并给出详细的步骤和推导过程。

通过仔细研究这些解析，你可以更好地理解每个题目的解法，并且提高自己的解题能力。

总之，在这篇文章中，我将为你提供《高等数学第七版》教材的习题答案和课后思考题答案的详细解析。

第二章习题2-11. 证明：若lim n →∞x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞x n +k =a .证：由lim n n x a →∞=，知0ε∀>，1N ∃，当1n N >时，有n x a ε-<取1N N k =-，有0ε∀>，N ∃，设n N >时（此时1n k N +>）有n k x a ε+-<由数列极限的定义得 l i m n k x x a +→∞=.2. 证明：若lim n →∞x n =a ,则lim n →∞∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明上述结论反之不成立.证：lim 0,,.使当时，有n x n x aN n N x a εε→∞=∴∀>∃>-<而 n n x a x a -≤- 于是0ε∀>，,使当时，有N n N ∃>n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-<由数列极限的定义得 l i m n n x a →∞=考察数列 (1)nn x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞=，所以前面所证结论反之不成立。

3. 证明：lim n →∞x n =0的充要条件是lim n →∞∣x n ∣=0.证：必要性由2题已证，下面证明充分性。

即证若lim 0n n x →∞=，则lim 0n n x →∞=，由lim 0n n x →∞=知，0ε∀>，N ∃，设当n N >时，有0 0n n n x x x εεε-<<-<即即由数列极限的定义可得 l i m 0n n x →∞=4. 利用夹逼定理证明：(1) lim n →∞222111(1)(2)nn n ⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭ =0； (2) lim n →∞2!n =0. 证：（1）因为222222111112(1)(2)n n n nnn n n nn++≤+++≤≤=+而且 21lim0n n→∞=，2lim0n n→∞=，所以由夹逼定理，得222111lim 0(1)(2)n nn n →∞⎛⎫+++= ⎪+⎝⎭ . （2）因为22222240!1231nn n n n<=<- ，而且4lim 0n n →∞=，所以，由夹逼定理得2lim0!nn n →∞=5. 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在. (1) x 1＞0,x n +1=13()2n nx x +，n =1,2,…；(2) x 1x n +1,n =1,2,…；(3) 设x n 单调递增，y n 单调递减，且lim n →∞(x n -y n )=0,证明x n 和y n 的极限均存在.证：（1）由10x >及13()2n n nx x x =+知，有0n x >（1,2,n = ）即数列{}n x 有下界。

x 第二章导数与微分(一)f X 0 X f X 0Ix 0X3 .函数f x 在点x 0连续，是f x 在点x 0可导的（A ）5. 若函数f x 在点a 连续，则f x 在点a （ D ）C . a6. f x x 2 在点X 2处的导数是（D ） A . 1 B . 0 C .-1 D .不存在7.曲线y 2x 3 5x 2 4x 5在点2, 1处切线斜率等于（A ）A . 8B . 12C . -6D . 68.设y e f x 且fx 二阶可导，则y （ D ）A . e f xB f X r e ff X££fX丄2x C . e f x f x D . ef x9.若 f x axe , x 0在x 0处可导，则a ， b 的值应为 b sin2x,(A ) A .左导数存在； B .右导数存在； C .左右导数都存在 1 .设函数y f x ，当自变量x 由x 0改变到X ox 时，相应函数的改变量f x 0 x B .f x 0 x C . f x 0X f X 0 f X 。

x2 .设f x 在x o 处可，则limf X 0 B .X oC . f X 0D . 2 f X 0A .必要不充分条件B . 充分不必要条件C .充分必要条件既不充分也不必要条件4.设函数y f u 是可导的，且ux2，则 dy ( C )x 2 B . xf x 2C .2 22xf x D . x f xD .有定义10•若函数f x 在点X o 处有导数，而函数 g x 在点X o 处没有导数，则 F x f x g x , G x f x g x 在 x 0 处（A ）A •一定都没有导数B •—定都有导数C .恰有一个有导数D •至少一个有导数11.函数fx 与g x 在x 0处都没有导数，则Fxg x 在 x o 处(D )13 . y arctg 1，贝U yxA .一定都没有导数B . 一定都有导数C .至少一个有导数D .至多一个有导数12.已知F xf g x ，在 X X 。

第二章　导数与微分2.2　课后习题详解习题2-1　导数概念1．设物体绕定轴旋转，在时间间隔[0，t]上转过角度θ，从而转角θ是t的函数：θ＝θ(t)．如果旋转是匀速的，那么称为该物体旋转的角速度．如果旋转是非匀速的，应怎样确定该物体在时刻t 0的角速度？解：物体在时间间隔上的平均角速度在时刻t 0的角速度2．当物体的温度高于周围介质的温度时，物体就不断冷却．若物体的温度T 与时间t 的函数关系为T ＝T(t)，应怎样确定该物体在时刻t 的冷却速度？解：物体在时间间隔上平均冷却速度[,]t t t +∆在时刻t 的冷却速度3．设某工厂生产x件产品的成本为函数C(x)称为成本函数，成本函数C(x)的导数在经济学中称为边际成本．试求（1）当生产100件产品时的边际成本；（2）生产第101件产品的成本，并与（1）中求得的边际成本作比较，说明边际成本的实际意义．即生产第101件产品的成本为79.9元，与（1）中求得的边际成本比较，可以看出边际成本的实际意义是近似表达产量达到x单位时再增加一个单位产品所需的成本．4．设f(x)＝10x2，试按定义求．解：5．证明证：6．下列各题中均假定存在，按照导数定义观察下列极限，指出A表示什么：以下两题中给出了四个结论，从中选出一个正确的结论：7．设则f(x)在x＝1处的（ ）．A．左、右导数都存在B．左导数存在，右导数不存在C．左导数不存在，右导数存在D．左、右导数都不存在【答案】B【解析】 故该函数左导数存在，右导数不存在．8．设f(x)可导，，则f(0)＝0是F(x)在x＝0处可导的（ ）．A．充分必要条件B ．充分条件但非必要条件C ．必要条件但非充分条件D ．既非充分条件又非必要条件【答案】A 【解析】　当f(0)＝0时，，反之当时，f(0)＝0，为充分必要条件．9．求下列函数的导数：10．已知物体的运动规律为s ＝t 3m ，求这物体在t ＝2s 时的速度．解：11．如果f(x)为偶函数，且f ＇(0)存在，证明f ＇(0)＝0．证：f(x)为偶函数，得．因为所以f ＇(0)＝0．。

第二章 曲面论§1曲面的概念1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线.解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u{0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）,b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。

证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线;v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。

3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {ϑϕϑϕϑa a a 上任意点的切平面和法线方程。

解 ϑr =}cos ,sin sin ,cos sin {ϑϕϑϕϑa a a -- ，ϕr=}0,cos cos ,sin cos {ϕϑϕϑa a -任意点的切平面方程为00cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------ϕϑϕϑϑϕϑϕϑϑϕϑϕϑa a a a a a z a y a x即 xcos ϑcos ϕ+ycos ϑsin ϕ+zsin ϑ-a=0 ；法线方程为ϑϑϕϑϕϑϕϑϕϑsin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。

4．求椭圆柱面22221x y a b+=在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面 。

高等数学黄浩版教材答案高等数学是大学理工科专业中非常重要的一门课程，而黄浩版教材是广大学生在学习这门课程时常用的教材之一。

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本文将针对《高等数学黄浩版》教材中的一些关键章节进行答案解析和讲解。

第一章极限与连续1.1 函数及其极限1.1.1 极限的概念问题1：计算以下极限(1) lim(x→0) (sinx/x)解：根据极限的性质，lim(x→0) (sinx/x) = 1。

这是一个常见的极限值，可以通过泰勒展开或者利用极限的定义来推导。

问题2：证明以下极限(1) lim(x→a) [f(x) + g(x)] = lim(x→a) f(x) + lim(x→a) g(x)解：根据极限的性质，左右两侧的极限是可以分别计算的，所以等式成立。

1.2 连续与间断问题1：判断以下函数在给定区间上的连续性(1) f(x) = x^2，区间为 (-∞, +∞)解：函数 f(x) = x^2 在整个实数域上是连续的，因此在区间 (-∞, +∞) 上也是连续的。

第二章导数与微分2.1 导数与求导法则2.1.1 导数的定义及其几何意义问题1：计算以下函数的导数(1) y = 3x^2 + 2x + 1解：根据导数的定义和求导法则，将每一项都求导，得到 y' = 6x + 2。

问题2：证明以下函数在给定点处是可导的(1) f(x) = |x|，x = 0解：在 x = 0 处，f(x) = |x| 不可导，因为在该点的左右两侧斜率不相等。

2.2 高阶导数与高阶导数的求法2.2.1 高阶导数的定义问题1：计算以下函数的二阶导数(1) y = x^3 + 2x^2 + 1解：首先计算一阶导数 y' = 3x^2 + 4x，然后再对 y' 进行求导得到二阶导数 y'' = 6x + 4。

问题2：证明以下函数在给定区间上具有相同的二阶导数(1) f(x) = e^x，g(x) = 2e^x，区间为 (-∞, +∞)解：由于 f'(x) = e^x = g'(x)，所以 f(x) 和 g(x) 在整个区间上具有相同的一阶导数。

第二章 导数与微分1. ()().1,102-'=f x x f 试按定义求设200200(1)(1)10(1)10'(1)lim lim1020lim lim(1020)20x x x x f x f x f x xx x x x∆→∆→∆→∆→-+∆--∆---==∆∆∆-∆==∆-=-∆2. 下列各题中均假定()0x f '存在，按导数定义观察下列极限，指出此极限表示什么, 并将答案填在括号内。

⑴ ()()=∆-∆-→∆xx f x x f x 000lim（0'()f x -）； ⑵ ()=→∆xx f x 0lim （'(0)f ）， 其中()()存在；且0,00f f '= ⑶ ()()=--+→hh x f h x f h 000lim（02'()f x ）.3. 求下列函数的导数：⑴ ='=y x y ,4则34x ⑵ ='=y x y ,32则1323x -⑶ ='=y xy ,1则3212x -- ⑷ ='=y x x y ,53则115165x 4． 求曲线. 21,3 cos 程处的切线方程和法线方上点⎪⎭⎫⎝⎛=πx y'sin ,'()32y x y π=-=-所以切线方程为1()223y x π-=--2(1)03y +-+=班级 姓名学号法线方程为1)23y x π-=-化简得3)0x π+-= 5. 讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0 001sin 2x x xx y 在0=x 处的连续性和可导性. 20(0)01lim sin 0(0)()x f x f x→===因为有界量乘以无穷小 所以函数在0x =处连续因为 20001s i n(0)(0)1l i m l i m l i ms i n 0x x x x f x f x x x xx∆→∆→∆→∆+∆-==∆=∆∆∆ 所以函数在0x =处可导.6. 已知()()()()是否存在？又及求 0 ,0 0 ,0 2f f f x x x x x f '''⎩⎨⎧<-≥=-+ 2'00(0)(0)(0)lim lim 0h h f h f h f hh +→+→++-==='00(0)(0)(0)limlim 1h h f h f hf hh -→-→++--===- ''(0)(0)f f +-≠ '(0)f ∴不存在7. ()(). , 0 0sin x f x x x x x f '⎩⎨⎧≥<=求已知当0x <时, '()(sin )'cos f x x x ==; 当0x >时, '()()'1f x x ==;班级 姓名学号当0x =时'00(0)(0)(0)limlim 1h h f h f hf hh +→→+-===＋＋ '00(0)(0)sin (0)limlim 1h h f h f h f h h-→-→+-===－ '(0)1f ∴=综上，cos ,0'()1,0x x f x x <⎧=⎨≥⎩8. 求下列函数的导数：（1）;54323-+-=x x x y （2）;1227445+-+=x xx y 2222222232242222csc cot (1)2csc 2'(1)2(1)csc cot 4csc (1)23(3)(3ln )(2ln )(2)'(3ln )(94)ln 32(3ln )x x x x xy x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x -+-=+-+-=+++-++=+-+-+=+ 2'364y x x =-+652'20282y x x x ---=--+ （3）;3253xx e x y +-= （4）;1sec tan 2-+=x x y2'152ln 23x x y x e =-+ 2'2s e c s e c t a ny x x x =+班级 姓名学号（5）;log 3lg 2ln 2x x x y +-= （6）()();7432x x y -+=123'ln10ln 2y x x x =-+ '422y x =--（7）;ln x xy =（8）;cos ln 2x x x y = 21ln 'x xx y x-= 221'2ln cos cos ln sin y x x x x x x x x x =+- 21ln x x-= 22l n c o s c o s l n s i n x x x x x x x x =+- （9）;1csc 22xxy +=2222csc cot (1)2csc 2'(1)x x x x xy x -+-=+ 2222(1)csc cot 4csc (1)x x x x xx -+-=+ （10）.ln 3ln 223x x x x y ++=2232223(3)(3ln )(2ln )(2)'(3ln )x x x x x x x x y x x ++-++=+ 4222(94)ln 32(3ln )x x x x x xx x -+-+=+ 9. 已知. ,cos 21sin 4πϕϕρϕϕϕρ=+=d d 求因为1s i n c o s s i n2d d ρϕϕϕϕϕ=+-班级 姓名学号所以4222422284d d πϕρπϕ==+-=+10. .1轴交点处的切线方程与写出曲线x xx y -= 令0y =，得11x x ==-或 因为2'1y x -=+， 所以 11'2,'2x x y y ==-==曲线在(1,0)处的切线方程为2(1)y x =-，即220x y --=； 曲线在(1,0)-处的切线方程为2(1)y x =+，即220x y -+=。

第一章 函数极限与连续一、填空题1、已知x x f cos 1)2(sin +=,则=)(cos x f 。

2、=-+→∞)1()34(lim22x x x x 。

3、0→x 时，x x sin tan -是x 的 阶无穷小。

4、01sin lim 0=→xx kx 成立的k 为 。

5、=-∞→x e xx arctan lim 。

6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b .7、=+→xx x 6)13ln(lim 0 。

8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。

9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。

10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。

11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小,则常数________=a 。

12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域是__________。

13、lim ____________x →+∞=。

14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________.15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。

二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则 中所给的函数必为奇函数。

（Ａ))()(x g x f +；(Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +;（D ）)()()(x h x g x f 。

2、xxx +-=11)(α,31)(x x -=β，则当1→x 时有 。

（Ａ)α是比β高阶的无穷小； （Ｂ）α是比β低阶的无穷小； （C ）α与β是同阶无穷小； （D ）βα~。

第二章 导数与微分 2.1导数的概念01.1)设f (0)=0，则f (x )在点x =0可导的充要条件为 （ B ）（A ）01lim(1cosh)h f h →-存在 （B ）01lim (1)h h f e h →-存在 （C ）01lim (sinh)h f h h →-存在 （D ）01lim [(2)()]h f h f h h→-存在03.3) 设f (x )为不恒等于零的奇函数，且)0(f '存在，则函数xx f x g )()(=(A) 在x =0处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点x =0.(C) 在x =0处右极限不存在. (D) 有可去间断点x =0. [ D ] 03.4) 设函数)(1)(3x x x f ϕ-=，其中)(x ϕ在x =1处连续，则0)1(=ϕ是f (x )在x =1处可导的 [ A ](A) 充分必要条件. （B ）必要但非充分条件.(C) 充分但非必要条件 . (D) 既非充分也非必要条件. 05.12)设函数n nn xx f 31lim )(+=∞→，则f (x )在),(+∞-∞内 [ C ](A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点. (C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. 05.34) 以下四个命题中，正确的是 [ C ] (A ) 若)(x f '在（0，1）内连续，则f (x )在（0，1）内有界. (B) 若)(x f 在（0，1）内连续，则f (x )在（0，1）内有界. (C) 若)(x f '在（0，1）内有界，则f (x )在（0，1）内有界. (D) 若)(x f 在（0，1）内有界，则)(x f '在（0，1）内有界. (取f (x )=x1，x x f =)(反例排除) 06.34) 设函数()f x 在x =0处连续,且()22lim1n f h h→=,则 （ C ）(A )()()'000f f -=且存在(B)()()'010f f -=且存在(C)()()'000f f +=且存在 (D)()()'010f f +=且存在07.1234) 设函数f (x )在x =0处连续，下列命题错误的是： （ D ）（反例：()f x x =）(A ) 若0()limx f x x →存在，则f (0)=0. (B) 若0()()lim x f x f x x→+-存在，则f (0)=0.(C) 若0()lim x f x x →存在，则(0)f '存在. (D) 若0()()lim x f x f x x→--存在，则(0)f '存在04.2) 设函数()f x 在（,-∞+∞）上有定义, 在区间[0,2]上, 2()(4)f x x x =-, 若对任意的x 都满足()(2)f x k f x =+, 其中k 为常数.(Ⅰ)写出()f x 在[2,0]-上的表达式; (Ⅱ)问k 为何值时, ()f x 在0x =处可导. 【详解】(Ⅰ)当20x -≤<,即022x ≤+<时,()(2)f x k f x =+2(2)[(2)4](2)(4)k x x kx x x =++-=++.(Ⅱ)由题设知 (0)0f =.200()(0)(4)(0)lim lim 40x x f x f x x f x x+++→→--'===-- 00()(0)(2)(4)(0)lim lim 80x x f x f kx x x f k x x ---→→-++'===-.令(0)(0)f f -+''=, 得12k =-. 即当12k =-时, ()f x 在0x =处可导.2.2导数的运算法则06.2)设函数()g x 可微,1()(),(1)1,(1)2,g x h x e h g +''===则g (1)等于[C]（A ）ln31- （B ）ln31-- （C ）ln21--（D ）ln21-03.3) 已知曲线b x a x y +-=233与x 轴相切，则2b 可以通过a 表示为=2b 64a .03.3) 设,0,0,0,1cos )(=≠⎪⎩⎪⎨⎧=x x xx x f 若若λ其导函数在x =0处连续，则λ的取值范围是2>λ. 04.1) 曲线y=ln x 上与直线1=+y x 垂直的切线方程为 1-=x y .04.4) 设1ln arctan 22+-=x xxe e e y ，则1121+-==e e dx dy x .05.2) 设xx y )sin 1(+=，则π=x dy=dx π- .09农）设2()ln(4cos 2)f x x x =+，则()8f π'=41π+ 10.2)已知一个长方形的长l 以2cm/s 的速率增加，宽w 以3cm/s 的速率增加，则当12cm l =，5cm w =时，它的对角线增加速率为3cm/s2.3高阶导数06.34) 设函数()2f x x =在的某领域内可导,且()()(),21f x f x e f '==,则()2f '''=32e（复合求高阶导） 07.234)设函数1,23y x =+则()(0)n y =12(1)!().33n n n - 10.2)函数ln(12)y x =-在0x =处的n 阶导数()(0)n y =2(1)!n n --2.4隐函数导数 由参数方程确定的函数的导数 01.2)设函数()y f x =由方程2cos()1x ye xy e +-=-所确定，则曲线()yf x =在点(0,1)处的法线方程为220x y -+=03.2) 设函数y =f (x )由方程4ln 2y x xy =+所确定，则曲线y =f (x )在点(1,1)处的切线方程是x-y =0 .08.1)曲线()sin ln()xy y x x +-=在点(0,1)处的切线方程是1y x =+02.1)已知函数()y y x =由方程2610ye xy x ++-=确定，则(0)y ''= -209.2) 设()y y x =是方程1yxy e x +=+确定的隐函数，则202|x dy dx== -306.2) 设函数()y y x =由方程1yy xe =-确定，则x dy dx==e-02.2)已知曲线的极坐标方程是1cos r θ=-，求曲线上对应于6πθ=处的切线与法线的直角坐标方程.07.2) 曲线2cos cos ,1sin x t t y t⎧=+⎨=+⎩上对应于4t π=03.2) 设函数y =y (x )由参数方程)1(,21ln 2112>⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎰+t du u e y t x t u所确定，求.922=x dx y d【详解】由t et t t e dt dy t ln 2122ln 21ln 21+=⋅+=+，t dtdx4=，得,)ln 21(24ln 212t e t t et dtdx dt dy dx dy +=+== 所以 dtdx dx dy dt d dx y d 1)(22==t t t e 412)ln 21(122⋅⋅+-⋅ =.)ln 21(422t t e+-当x =9时，由221t x +=及t >1得t =2, 故.)2ln 21(16)ln 21(42222922+-=+-===et t edx y d t x 07.2) 已知函数f (u )具有二阶导数，且(0)1f '=，函数y =y (x )由方程11y y xe --=所确定，设(ln sin )z f y x =-，求2002,.x x dzd z dxdx ==【详解】(ln sin )(cos )dz y f y x x dx y''=-⋅-，22222(cos )(sin )d z y y y y f x f x dx y y ''''-'''=⋅-+⋅+ 在11y y xe--=中, 令x = 0 得y =1 . 而由11y y xe --=两边对x 求导得110y y y e xe y --''--=再对x 求导得 111210y y y y y ey e y xe y xe y ----'''''''----=将x =0, y =1代入上面两式得 (0)1,(0) 2.y y '''== 故(0)(00)0,x dz f dx='=-=202(0)(21) 1.x d z f dx ='=⋅-=10.2)设函数()y f x =由参数方程22()x t t y t ψ⎧=+⎨=⎩，(1)t >-所确定，其中()t ψ具有2阶导数，且5(1),2ψ=(1)6,ψ'=已知2234(1)d y dx t =+，求函数()t ψ.2.5微分及其应用02.2)设函数()f u 可导，2()y f x =当自变量x 在1x =-处取增量0.1x ∆=-时，相应的函数增量y ∆的线性主部为0.1，则(1)f '= （ D ） （A ）-1. （B ）0.1. （C ）1. （D ）0.5.06.1234) 设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ∆为自变量x 在0x 处的增量，y ∆与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ∆>，则 [ A ] (A )0.dy y <<∆ （B ）0.y dy <∆< (C) 0.y dy ∆<<（D ）0.dy y <∆<弹性07.34)设某商品的需求函数为1602Q P =-，其中Q ，P 分别表示需求量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是 （ D ） (A ) 10. (B) 20. (C) 30. (D) 40.01.34)设生产函数为,Q AL K αβ=其中Q 是产出量，L 是劳动投入量，K 是资本投入量，而,,A αβ均为大于零的参数，则当1Q =时K 关于L 的弹性为αβ-09.3) 设某产品的需求函数为Q=Q(P)，其对应价格P 的弹性ζ=0.2，则当需求量为1000件时，价格增加1元会使产品收益增加 12000 元10.3)设某商品的收益函数为()R p ，收益弹性为31p +，其中p 为价格，且(1)1R =，则()R p =313p pe-02.4)设某商品需求量Q 是价格p 的单调减少函数：(),Q Q p =其需求弹性2220.192p pη=>-（1）设R 为总收益函数，证明(1)dRQ dpη=-.（2）求6p =时，总收益对价格的弹性，并说明其经济意义.04.34) 设某商品的需求函数为Q = 100 - 5P ，其中价格P ∈ (0 , 20)，Q 为需求量.(I) 求需求量对价格的弹性d E (d E > 0)；(II) 推导)1(d E Q dPdR-=(其中R 为收益)，并用弹性d E 说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加. 【详解】(I) PPdP dQ Q P E d -==20. (II) 由R = PQ ，得)1()1(d E Q dPdQ Q P Q dP dQ P Q dP dR -=+=+=. 又由120=-=P P E d ，得P = 10. 当10 < P < 20时，d E > 1，于是0<dPdR，故当10 < P < 20时，降低价格反而使收益增加.。

第二章 导数与微分第一节 导数概念教材习题2--1答案（上册P91）1. 解:(1) 21110(1)(1)1022t g t g h V t t ⎛⎫⎛⎫+∆-+∆-- ⎪ ⎪∆⎝⎭⎝⎭==∆∆=1102g g t --⋅∆.(2) 10,dhgt dt=-∴'111lim(10)10,t tt t V h gt g ==→==-=-(3) 2200001110(1)(1)1022t g t t gt h V t t ⎛⎫⎛⎫+-+-- ⎪ ⎪∆⎝⎭⎝⎭==∆∆=01102gt g t --⋅∆.(4) 10,dhgt dt=-∴000lim(10)10.t t t t t t dh V gt gt dt==→==-=-2.解:2100(1)(1)10()201010lim lim x x x dy f x f x x dxx x=-∆→∆→-+∆--∆-⋅∆+-==∆∆ =0lim (1020)20.x x ∆→⋅∆-=-3.解:[]000()()lim lim lim .x x x a x x b ax b dy y a xa dx x xx ∆→∆→∆→+∆+-+∆∆====∆∆∆ 4.解:可导.令0()lim ,x f x a x →=0000()()(0)lim ()lim lim lim 00,x x x x f x f x f f x x x a x x→→→→====⋅='00()(0)()(0)limlim .0x x f x f f x f a x x→→-∴===- 5.解：(1)'34.y x =(2) '21'332.3y x x -⎛⎫== ⎪⎝⎭(3) ' 1.60.61.6.y x x ==(4) ''13'221.2y x x --⎛⎫===- ⎪⎝⎭(5) ()'''23212.y x x x --⎛⎫===- ⎪⎝⎭(6) ('1611''5516.5y x x x ⎛⎫=== ⎪⎝⎭(7) ''15'661.6y x x -⎛⎫=== ⎪⎝⎭ 6.解：物体在t 时刻的运动速度为：'()()2(/),v t h t t m s ==(2)224(/)v ms ∴=⋅= 7.证：'00()()cos()cos (cos )limlim x x f x x f x x x xx x x∆→∆→+∆-+∆-===∆∆00sin2lim sin()limsin .22x x x x x x x∆→∆→∆∆-+=-∆# 则''1()sin ,()sin,662f x x f ππ=-=-=-'()sin 33f ππ=-= 8.证：''00()(0)()(0)(0)limlim (0),00x x f x f f x f f f x x →→---==-=---- (()())f x f x -=注： ''2(0)=0(0)=0.f f ∴，即#9.解：（1）y sin ,x = ∴0lim sin sin 00,x x →==所以y sin x =在0x =处连续.'00sin 0sin y (0)limlim ,0x x x x x x→→-==- '00sin sin y (0)lim lim 1,x x x x x x +++→→∴==='00sin sin y (0)lim lim 1,x x x x x x-+-→→-===-故'sin y (0)limx xx→=不存在,即y sin x =在0x =处不可导. （2）1sin0y ,00x x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩∴01lim sin0(0),x x y x→==所以函数在0x =处连续. '001sin 01y (0)lim limsin ,0x x x x x x →→-==- 该极限不存在, ∴1sin 0y 0x x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处不可导.（3）21sin 0y ,00x x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩∴201lim sin 0(0),x x y x →==所以函数在0x =处连续. 2'001sin 01y (0)lim lim sin 0,0x x x x x x x→→-===- 极限存在,∴1sin 0y 00x x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处可导.10.解：()''sin cos ,y x x == ''2321cos,cos 1,32x x y y ππππ====-==-∴s i ny x =在23x π=处的切线斜率为1,2-在x π=处的切线斜率为-1. 11.解：抛物线2y x =上的两点为(1,1),(3,9),过此两点的直线的斜率为：914,31k -==- 而()''22,yxx ==令24,x =得 2.x =∴抛物线2y x =上过点(2,4)的切线平行于此割线.12.解:显然点1(,)32π在曲线cos y x =上.'33sin 2x x yxππ===-=- ∴c o sy x =在点1(,)32π处切线的斜率为 在点1(,)32π处法线的斜率为:3∴cos y x =在点1(,)32π处切线的方程为：1--223y x π=（）. cos y x =在点1(,)32π处的法线方程为：1--233y x π=（）.13.解：设该物体在0t 时刻的角速度为0t ω.则0'0000()()lim ().t t t t t t tθθωθ∆→+∆-==∆ 14.解：该物体在t 时刻的变化速度为；'0()()()lim().t T t t T t V t T t t∆→+∆-==∆15.证：设00(,)x y 为双曲线2xy a =上任一点，则200,a y x = 过点00(,)x y 的切线斜率为：22'2(),x x a a xx ==-∴过点00(,)x y 的切线方程为： 20020(),a y y x x x -=--∴切线与两坐标轴所构成的三角形面积为：22001222.2a S x a x =⋅= 第二节 函数的和、积、商的求导法则教材习题2-2答案（上册P99） 1.解：（1）'2'2''34(3)(2)56.y x x x x-=-+=+（2）3'2'2'225()(2(22(24.2y x x x xx x =++=++=+ （3）()()'5'3357'4223(1)(1)523.2x x x x y x x x x --+-+==--（4）2'441,8 4.y x x y x =-+∴=-2.解：（1）'2'001()()().2v t h t v t gt v gt ==-=- （2）当物体达到最高点时速度为0，令()0,v t =即000.v v gt t g-=⇒=∴物体达到最高点的时刻为：.v g3.解：当0x =时，0,y =故所求的切线及法线均过原点.因为'2cos 2,y x x =+则切线斜率为'(0)2,y =法线斜率为1.2-所以切线及法线方程分别为:12,.2y x y x ==-4.解：令0y =即10x x -=得曲线1y x x =-与横轴的交点为(-1,0)和(1,0). '211,y x=+ 则点(-1,0)处切线的斜率为'(1)2,y -=点(1,0)处切线的斜率为'(1)2,y =∴过(-1,0)和(1,0)两点的切线方程分别为: 2(1),2(1).y x y x =+=- 5.解：设曲线32y x x =+-上点00(,)x y 处的切线与直线41y x =-平行. '231,y x =+ 则'200()31,y x x =+∴20031411x x +=⇒=-或,故曲线32y x x =+-上点(-1,-4)或(1,0)与直线41y x =-平行.6.证：(1) ()()()''''222cos sin sin cos cos 1cot csc sin sin sin x x x x x x x x x x -⎛⎫===-=- ⎪⎝⎭. (2) ()()'''2sin 1cos csc csc cot .sin sin sin sin x x x x x x x x x ⎛⎫==-=-=-⋅ ⎪⋅⎝⎭7.解:(1) ()''22'2cos (cos )2cos sin .y x x x x x x xx =+=-（2）'''sin ).ρϕϕϕ==（3）()()''''2tan tan 2(sec )tan sec 2sec tan .y x x x x x x x x x x =+-=+-（4）()()''22'42cos cos 12cos (sin )x x x xx y x x x x-==-+ （5）'''3(sin )13cos .u v v v =-=- （6）()''10'9(10)1010ln10.x x y x x=+=+（7）()''22'2(31)(31)(54).x x x y exx e x x e x x =+++++=++（8）()'''(cos sin )(cos sin )(cos sin cos ).x xxy ex x x e x x x e x x x x x =+++=++（9）'()()()()()().y x b x c x c x a x a x b =--+--+-- （10）'2cot )cos (1csc )cot )sin .y x x x x x x x x =-++-8.解：（1）()()()()()()()()()'''22211111112.1111x x x x x x x y x x x x -+-+-+---⎛⎫==== ⎪+⎝⎭+++，（2）()()()2'''1sin (1cos )1cos (1sin )1cos t t t t st ++-++=+ ()()22cos (1cos )sin (1sin )cos sin 1.1cos 1cos t t t t t t t t +++++==++（3）()()()()''222'2222csc (1)1csc csc cot (1)2csc 2211x x x xx x x x xy x x +-+-+-==++()2222csc cot (1)21x x x x x ⎡⎤-++⎣⎦=+.（4）()()()''22'232sin sin cos 2sin .x x x xx x xy x x --==（5）()()()()''533543'2233(2)22(5).22v v v v v v u vv----==--（6）()((()'''2cot 11cot 1x xy +-+==，()221csc cot .11x x+==-++（7）()()()'2'222221121.111x x x y x x x x x x +++⎛⎫==-=-⎪++⎝⎭++++，（8）'''y ==-，11== .（9）()''''2(tan csc )tan (csc )tan +sec csc cot .y x x x x x x x x x x x =-=-=+（10）()()'''2sin (1tan )(1tan )sin sin 1tan 1tan x x x x x x x x y x x +-+⎛⎫==- ⎪+⎝⎭+，()()22s i n c o s (1t a n )s i n s e c.1t a n x x x x x x x x ++-=+9.解:(1) ''(cos sin )cos2,y x x x == ''641cos 2,cos 20.624x x y y ππππ==∴=⋅==⋅=(2)'11(sin cos )sin cos ,22d d ρϕϕϕϕϕϕϕ=+=+41sin cos ).244442d d πϕρππππϕ=∴=+=+(3)()f t ==()()()()()'''21111()11tt t tf t t t -----∴==-- 故'41(4).18f =∴==-(4) ()()()''2'22532()3,5555x x x f x x x -⎛⎫=-+=+ ⎪--⎝⎭ ''317(0),(2).2515f f ∴== 第三节 反函数和复合函数的求导法则教材习题2-3答案（上册P107） 1.解：[][]'''''''()()(),(3)(3)(3)7(5)7.F x fg x g x F f g g f =∴===-[][]'''''''()()(),(3)(3)(3)2(5)248.G x g f x f x G gff g =∴==-=-⋅=- 2. 解: (1)()2''2'242()2(arctan ).11x xy x x x ===++(2)'''')arctan )y x x x x ==+=(3)''2arcsin (arcsin )y x x ==(4)'arcsin(ln )y x =(5) ()'2'224212.1(1)22x xy x x x -=-=+--+(6)'''1e y ex===+(7)''y ====(8) 'ar cc ar cc .y osx osx ==(9) ()''22221111.1111111x x x y x x x x x -+⎛⎫⎪--⎝⎭===-+++⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭(10)()()'''2arcsin arccos arc s arcsin (arccos )x x co x x y x -=-=. (11) ()()'''22ln ln 2ln .y x x x x x x x =+=+(12) ()()()()()()'''221ln 1ln 1ln 1ln 2.1ln 1ln x x x x yx x x -+-+-==-++ 3.解: (1)()''445(31)3115(31).y x x x =++=+(2)''3()3.x xy e x e --=-=-(3) ''cos()()cos().s A t t A t ωϕωϕωωϕ=++=+(4) ''112()().n n b b nb by n a a a x x x x--⎛⎫=++=-+ ⎪⎝⎭(5) 22'2'()2.x x y e x xe --=-=-(6) ''cos tan .cos x y x x==- (7) ''cos(2)(2)2cos(2)ln 2.xx xxy == (8) 'sin 'sin 2ln 2(sin )2cos ln 2.x x y x x ==(9) ''22sec (sec )2sec tan .y x x x x ==(10) '2'221111sc()sc .y c c x x x x=-=(11) ''1t y +⎛⎫ ⎪== (12) 2ln(1),ln x x y a ++= 2''22(1)21.(1)ln (1)ln x x x y x x a x x a +++∴==++++4.解(1) '2'22'tan sec ()sec 1tan 22222s .tan tan 2tan 2tan 2222x x x x x y c cx x x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=====(2)''x y +===(3) 2'22'2'tan y x x ====-(4) ''y ==(5) ()'''2cos(2)cos(2)2cos(2)sin(2)(2).s a t t a t t t ωϕωϕωϕωϕωϕ=++=-+++2s i n 2(2)a t ωωϕ=-+ (6) '''(ln ln )(ln )1.ln ln ln ln ln ln ln ln x x s x x x x x x===⋅⋅⋅ (7) ()'''22sin 2sin 22cos 2sin 2.x x x x x x x y x x --==(8) ()'''sin()cos()()t ty e t et t ααωϕωϕωϕ--=++++[]i n ()c o s ()c o s ()i n ().tt tes t e t e t st ααααωϕωωϕωωϕαωϕ---=-+++=+-+(9) '22''22x x y ⎛⎫== ⎪⎝⎭(10) ''ln ln 2ln 12ln 2()2ln 2.ln ln xxxxx x y x x-==⋅⋅(11) '22'4'224sec tan (tan )tan (tan )sec (1tan tan ).y x x x x x x x x =-+=-+(12) '22''tan sec sec 2x x xx y ⎛⎫ ⎪⎫===⎪⎭ 5.解：'22'''''()()f x g x y +===6.解：（1）2'22'2()()()2().dy d f x f x x x f x dx dx ===⋅ （2）2222((sin )(cos ))(sin )(cos )dy d d d f x f x f x f x dx dx dx dx=+=+ ()()'''2'2(sin )2sin sin (cos )2cos cos f x x x f x x x =+'2'2sin 2(sin )(cos ).x f x f x ⎡⎤=-⎣⎦7.解：222''()()()2'2222()(),2x a x a x a D D D x a y x ee D ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫-==-=⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎭⎭令'()0,y x=即2()200.x a D x a x a --=⇒-=⇒=8.解：011()(),kt T t T T e T -=-+ ∴物体温度的变化速度为：'01()()(),kt v T t T T e k -==--即10().kt v k T T e -=-9.解：0(),kt m t m e -= ∴函数的变化率为：0().kt dm t km e dt-=- 10.解：当0x =时，(0) 1.y = '2'22,(0)2,xy e x y =+=∴ 过（0,1）点的法线方程的斜率为12-，法线方程：11(0),2y x -=--即220.x y +-=原点到法线的距离为：d ==第四节 高阶导数教材习题2-4答案（上册P112） 1. 解：（1）'''2114,4.y x y x x=+∴=- （2）'21'21''21(21)2,4.x x x y ex e y e ---=-=∴=（3）'''cos sin ,2sin cos .y x x x y x x x =-∴=--（4）'''cos sin ,2s .t t t y e t e t y e co t ---=-∴=- （5）2'''y y =∴=（6）13521'2''32221324,44,48.24y x xx y x x x y x x ------=++∴=--=++（7）()2'''22222(1),.11x x y y x x -+=∴=--- （8）'2''2sec ,2sec tan .y x y x x =∴= （9）()()23'''233336(21),.11x x x y y xx--=∴=++（10）'''22arctan 1,2(arctan ).1xy x x y x x=+∴=++ （11）22'''cos cos 2sin 2-sin 2ln ,2cos 2ln .x x x y x x y x x x x x =+∴=--- （12）2'''23(22),.x x x xe e e x x y y x x --+=∴= （13）222'2''22,2(32).x x x y e x e y xe x =+∴=+ （14）'''y y =∴=2.解： '5''4'''3'''36(10),30(10),120(10)(2)12012.y x y x y x y =+=+=+∴=⨯3.解：'2''''''22()()()()()(),()().()()()dy f x d y d dy d f x f x f x f x f x dx f x dx dx dx dx f x f x -=∴=== 4.解：由物体运动的规律sin s A t ω=得：物体运动的速度为：cos dsv A t dtωω==和加速度222sin .d sa A t dtωω==-下验证2220.d s s dtω+=左边=22sin sin 0A t A t ωωωω-+⋅==右边.5.解：由12x x y c e c e λλ-=+得: '''221212,,x x x x y c e c e y c e c e λλλλλλλλ--=-=+所以,左边=''2y y λ-=(2212x x c e c e λλλλ-+)212()x x c e c e λλλ--+=0=右边. 6.解：(1) ()()()00(1)21!.n n n yx n n n =++⋅⋅⋅+=-⋅⋅⋅⋅=(2) ()()'''2''sin sin 2,sin 22cos 2,y x x y x x ====''''(2c o s 2)4s i n 2,y x x ==-所以,一般地得: ()12sin 2+.2n n y x π-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（n-1） (3) ()()''''2312222221,,,11111x y y y x x x x x +-⋅⎛⎫==-+∴==-= ⎪+++⎝⎭++ ()'''4223,1y x ⋅⋅=-+所以,一般地得: ()()()12!1.1nn n n y x +⋅=-+(4) ()()()'11112'''11111,(1)1,m m m y x x y x mm m --⎡⎤=+=+=-+⎢⎥⎣⎦ 所以,一般地得:()1()111(1)(1)1.nn m yn x m m m-=-⋅⋅⋅-++ (5)由莱布尼兹公式得:()()()()1()01'l n (l n )(l n )00n n n n n n y x x c x x c x x -==⋅+⋅++⋅⋅⋅+()()1(l n )(l n ),n n x x n x -=⋅+'''''''231112(ln ),(ln ),(ln ),x x x x x x x ⎛⎫===-= ⎪⎝⎭一般地得:()()()11!(ln )(1).n n nn x x --=-()()()()()()()()112()11!2!ln (ln )(ln )(1)(1)n n n n n n nn n n ny x x x x n x x x ------∴==⋅+=-+-()12!(1)(2).nn n n x --=-≥()()1ln 1,(1)=.2!(1)(2)n n n x n y n n x -+=⎧⎪∴⎨--≥⎪⎩第五节 隐函数的导数以及由参数方程所确定的函数的导数教材习题2-5答案（上册P122）1.解:(1)方程2290y xy -+=两边分别对x 求导得: 2220,d y d y yy x d x d x --=解得: .dy y dx y x=- (2) 方程3330x y axy +-=两边分别对x 求导得:2222333()0.dy dy dy ay x x y a y x dx dx dx y ax-+-+=⇒=-(3) 方程x y xy e +=两边分别对x 求导得:(1).x y x yx ydy dy dy e y y x e dx dx dx x e +++-+=+⇒=- (4) 方程1y y xe =-两边分别对x 求导得:.1y y y ydy dy dy e e xe dx dx dx xe=--⇒=-+ 2.解: 方程222333x y a +=两边分别对x 求导得: 1133.dyx y dx-=- ∴曲线上点44⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭处的切线斜率为: 1.dydx ⎝⎭=-该点的切线方程为: 1(),44y x -=--即0.2x y +-= 该点的法线方程为: (),44y x -=-0.x y -= 3.解:(1) 方程sin()y x y =+两边分别对x 求导得:cos(),1cos()dy x y dx x y +=-+ 所以22cos()()1os()d y d x y dx dx c x y +=-+[][]2s i n ()(1)1o s ()c o s ()s i n ()(1),1c o s ()d y d yx y c x y x y x y d x d x x y -++-+-+++=-+把cos()1cos()dy x y dx x y +=-+代入即得[]232sin().os()1d y x y dx c x y +=+- (2) 方程221x y -=两边分别对x 求导得:,dy xdx y=所以222(),dyy xd y d dy d x dx dx dx dx dx y y -⎛⎫=== ⎪⎝⎭将dy x dx y=代入即得2222233()1.xy x d y y x ydx y y y---=== 4.解：（1）方程1xx y x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭两边取以e 为底的对数得：ln ln ,1x y x x =+ 两边分别对x 求导得：'''111ln ln .11111xx x x x x y x y y x x x x x x +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⇒=+ ⎪ ⎪⎪+++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）方程()cot 2tan 2xy x =两边取以e 为底的对数得：ln cotln tan 2,2xy x = 两边分别对x 求导'22cot112csc ln tan 22sec 222tan 2xx y x x y x=-+⇒cot2'2(tan 2)(csc ln tan 28cot csc 4).222x x x xy x x ⇒=-- （3）方程y =e 为底的对数得：211ln ln(5)ln(2)55y x x ⎡⎤=--+⎢⎥⎣⎦， 两边分别对x 求导整理得：2'426252531010.25(2)x x y x ++=-+（x-5（4）方程y =两边取以e 为底的对数 得：1l nl n (2)4l n (3)5l n (1)2y x x x =++--+，两边分别对x 求导整理得：4'5)145.(1)2(2)31x y x x x x ⎡⎤-=--⎢⎥++-+⎣⎦5.解：（1）由2223332,3,.22dyx at dx dy dy bt bt dt at bt dt dt dx at a y btdt⎧=⇒==⇒===⎨=⎩ （2）由(1sin )1sin cos ,cos sin cos x dx dyy d d θθθθθθθθθθθθ=-⎧⇒=--=-⎨=⎩cos sin .1sin cos dy dy d dx dx d θθθθθθθθ-⇒==--6.解：（1）由sin (sin +cos ,cos sin ,cos t t ttx e t dx dy e t t e t t dt dt y e t ⎧=⇒=+=-⇒⎨=⎩）（） sin +cos cos sin dydy t tdt dx dx t t dt==-. 所以，33sin +cos 2cos sin t t dy t t dxt tππ====--7.解:(1)当 4t π=时,曲线上对应的点为2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,2sin 24sin ,cos dydy t dt t dx dxt dt-===-44s i n 24t dy dxππ=∴=-=-⎫⎪⎪⎝⎭的切线斜率. 则切线方程为:0(),2y x -=--即20,y +-=法线方程为0(42y x -=-410.y --=(2) 当 0t =时,曲线上对应的点为()2,1,2,22t tt dydy e e dt dx dx e dt---===-12t dy dx =∴=-为过点()2,1的切线斜率. 则切线方程为: 11(2),2y x -=-- 即240,x y +-=法线方程为12(2),y x -=-即230.x y --=8.解：（1）由2,1,21t x dx dy t dt dt y t⎧=⎪⇒==-⎨⎪=-⎩1,dy dy dt dx dx t dt⇒==- 222311111()()().d y d d y d d y d t d dx dx dx dx dt dx dx dt t t t t dt⇒===-== （2）由cos sin ,cos ,sin x a t dx dya tb t y b tdt dt =⎧⇒=-=⎨=⎩cos cot ,sin dy b t b t dx a t a ⇒==-- 22231()()(cot ).sin d y d dy d dy dt d b bt dx dx dx dx dt dx dx dt a a t dt⇒===-=- 9.解：（1）由sin (sin +cos ,cos sin ,cos t t ttx e t dx dy e t t e t t dt dt y e t ⎧=⇒==-⇒⎨=⎩）（） 22cos sin sin +cos dydy t t d y d dy d dy dtdt dx dx t t dx dx dx dt dx dxdt-⎛⎫⎛⎫==⇒== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos sin 1sin +cos d dy dt d t t dxdt dx dx dt t t dt-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 23212,(cos sin )(sin +cos )(cos sin )t t t t e t t e t t --==++则 左边222()d y x y dx =+=2322(sin cos ),(cos sin )cos sin t t t t e e t e t e t t t t --+=++ 右边=cos sin 22()2(sin cos )sin +cos cos sin t tt dy t t e x y e t e t dx t t t t---=-=+， 左边=右边第六节 变化率问题举例及相关变化率教材习题2-6答案（上册P130）1. 解：速度函数是位置函数的导数.由于32() 1.5,s f t t t t ==+-所以速度2()33 1.dsv t t t dt==+-当()5v t =时,即233151(0).t t t t +-=⇒=> 2.解:由题意得: 3sin ,x θ=则33cos 3cos1.5(/).3dx dx m rad d d πθπθθθ==⇒==3.解:设细棒AB 上任意一点M 处的坐标为,x 质量为(),m m x =则2(0),m kx k =>为比例系数因为当2l =时8,m =即2822k k =⋅⇒=,所以22(0).m x k =>为比例系数故细棒AB 上任意一点M 处的密度为4(/).dmx g cm dx = 4.解:由21000(1)50(1)(040),4040t dV tV t dt =-⇒=--≤≤所以 5550(1)43.75(/m i n )40t dV L dt ==--=-(负号表示容器内的水在减少), 101050(1)37.5(/min)40t dV L dt ==--=-, 202050(1)25(/min)40t dV L dt ==--=- . 5.解:(1)由()2(sin cos ),sin cos sin cos W dF W F d μμθμθμθθθμθθ-=⇒=++ (2)令0,dF d θ=即 ()2(s i n c o s )0t a n t a n .s i n c o s W a r c μθμθθμθμμθθ-=⇒=⇒=+ 6.解:由2.c dv cpv c v p dp p=⇒=⇒=- 7.解:由22111.()fq dp f p f p q q f dq q f =+⇒=⇒=--- 8.解:由2150.020.040.04.t dm dmm t t dt dt==-⇒=-⇒=-9.解:(1) 由2'()420 1.50.002() 1.50.004C x x x C x x =++⇒=+得:'(100)1.90,C =(101)(100) 1.C C -≈(2) 由23'2()200030.010.0002()30.020.0006C x x x x C x x x =+++⇒=++得:'(100)11,C =(101)(100)11.07C C -≈10.解: 由3432D V π⎛⎫= ⎪⎝⎭=36D V π= (其中V 为雪球体积, D 为雪球直径),两边对间t 求导得:22dV D dDdt dtπ=,当1,10dV D dt ==时, dD dt =211.450dV dt D ππ=11.解：设飞机与雷达站的距离为S ，则经过时间t 后，S =，则6dS dt =，又两者相距4km时的时间1000t =，则t dS dt =.12.解：解：记12:00整时0.t =设经过时间t 后两船相距S ，则S =则dSdt=，经过4个小时即16：00时472013t dS dt==13.解：设圆锥形容器中溶液的深度为h ，溶液表面的半径为r ，则h ，r 都是时间t 的函数。

第二章 导数与微分(一)1．设函数()x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ∆+0时，相应函数的改变量=∆y ( C )A ．()x x f ∆+0B ．()x x f ∆+0C ．()()00x f x x f -∆+D ．()x x f ∆0 2．设()x f 在0x 处可，则()()=∆-∆-→∆xx f x x f x 000lim( A )A ．()0x f '-B ．()0x f -'C ．()0x f 'D ．()02x f ' 3．函数()x f 在点0x 连续，是()x f 在点0x 可导的 ( A ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．设函数()u f y =是可导的，且2x u =，则=dxdy( C ) A ．()2x f ' B ．()2x f x ' C ．()22x f x ' D ．()22x f x 5．若函数()x f 在点a 连续，则()x f 在点a ( D )A ．左导数存在；B ．右导数存在；C ．左右导数都存在D ．有定义 6．()2-=x x f 在点2=x 处的导数是( D ) A ．1 B ．0 C ．-1 D ．不存在7．曲线545223-+-=x x x y 在点()1,2-处切线斜率等于( A ) A ．8 B ．12 C ．-6 D ．68．设()x f e y =且()x f 二阶可导，则=''y ( D )A ．()x f e B ．()()x f e x f '' C ．()()()[]x f x f e x f ''' D ．()()[](){}x f x f e x f ''+'29．若()⎩⎨⎧≥+<=0,2sin 0,x x b x e x f ax 在0=x 处可导，则a ，b 的值应为( A )A ．2=a ，1=bB ． 1=a ，2=bC ．2-=a ，1=bD ．2=a ，1-=b10．若函数()x f 在点0x 处有导数，而函数()x g 在点0x 处没有导数，则()()()x g x f x F +=，()()()x g x f x G -=在0x 处( A )A ．一定都没有导数B ．一定都有导数C ．恰有一个有导数D ．至少一个有导数11．函数()x f 与()x g 在0x 处都没有导数，则()()()x g x f x F +=，()()()x g x f x G -=在0x 处( D )A ．一定都没有导数B ．一定都有导数C ．至少一个有导数D ．至多一个有导数 12．已知()()[]x g f x F =，在0x x =处可导，则( A ) A ．()x f ，()x g 都必须可导 B ．()x f 必须可导C ．()x g 必须可导D ．()x f 和()x g 都不一定可导13．xarctg y 1=，则='y ( A )A ．211x +-B ．211x + C ．221x x +- D ． 221x x +14．设()x f 在点a x =处为二阶可导，则()()=-+→hh a f h a f h 0lim ( A )A ．()2a f '' B ．()a f '' C ．()a f ''2 D ．()a f ''- 15．设()x f 在()b a ,内连续，且()b a x ,0∈，则在点0x 处( B )A ．()x f 的极限存在，且可导B ．()x f 的极限存在，但不一定可导C ．()x f 的极限不存在D ．()x f 的极限不一定存在 16．设()x f 在点a x =处可导，则()()=--→hh a f a f n 0lim()a f '。

第二章习题解答 习 题 2—11. 用定义求函数2y x =在1x =处的导数。

解：（1）22(1)(1)(1)12()y f x f x x x ∆=+∆-=+∆-=∆+∆;（2)22()2y x x x x x∆∆+∆==+∆∆∆； (3）00limlim(2)2x x yx x ∆→∆→∆=+∆=∆.2. 已知一物体的运动方程为38s t =+ ()m ,求该物体在2()t s =时的瞬时速度。

解:(1）323(2)(2)(2)816126()()s s t s t t x t ∆=+∆-=+∆+-=∆+∆+∆；（2）230[126()()](2)lim12t s t x t v t t∆→∆∆+∆+∆===∆∆。

3. 求在抛物线22y x =+上点1x =处的切线方程与法线方程. 解：因为2(2)2y x x ''=+=,12,x y ='= 故所求的切线方程为 32(1)y x -=- 即 210x y -+-=所求的法线方程为 13(1)2y x -=--即 15022x y +-=。

4. 设0()f x '存在，试利用导数的定义求下列极限:(1）000()()limx f x x f x x ∆→-∆-∆; （2)000()()lim h f x h f x h h →+--；(3)000()(2)lim 2x f x x f x x x∆→+∆--∆∆.解：（1） 0000000()()[()]()lim lim ()x x f x x f x f x x f x f x x x∆→∆→-∆-+-∆-'=-=-∆-∆；（2）原式0000000()()()()lim lim 2()h h f x h f x f x h f x f x h h→→+---'=+=-；（3）原式0000000()()(2)()3lim lim ()222x x f x x f x f x x f x f x x x ∆→∆→+∆--∆-'=+=∆-∆。