高等数学练习题 第二章 导数与微分
第一节 导数概念
一．填空题 1.若)(0x f '存在，则x
x f x x f x ∆-∆-→∆)
()(lim
000
= )(0x f '-
2. 若)(0x f '存在，h
h x f h x f h )
()(lim
000
--+→= )(20x f ' .
000
(3)()
lim
x f x x f x x
∆→+∆-∆=03()f x '.
3.设20-=')(x f , 则=--→)()2(lim
)000
x f x x f x
x 4
1
4.已知物体的运动规律为2
t t s +=(米)，则物体在2=t 秒时的瞬时速度为5（米/秒） 5.曲线x y cos =上点（
3π，2
1
）处的切线方程为03
123=-
-+π
y x ，法线方程为
03
22332=-+
-π
y x 6.用箭头⇒或⇏表示在一点处函数极限存在、连续、可导、可微之间的关系， 可微 ⇔
可导
<≠
⇒
| 连续 <≠
⇒ 极限存在。
二、选择题
1．设0)0(=f ,且)0(f '存在，则x
x f x )
(lim
0→= [ B ]
（A ）)(x f ' ( B) )0(f ' (C) )0(f (D) 2
1
)0(f
2. 设)(x f 在x 处可导，a ,b 为常数，则x
x b x f x a x f x ∆∆--∆+→∆)
()(lim 0 = [ B ]
（A ）)(x f ' ( B) )()(x f b a '+ (C) )()(x f b a '- (D) 2
b
a +)(x f ' 3. 函数在点0x 处连续是在该点0x 处可导的条件 [ B ] （A ）充分但不是必要 （B ）必要但不是充分 （C ）充分必要 （D ）即非充分也非必要
4．设曲线22
-+=x x y 在点M 处的切线斜率为3，则点M 的坐标为 [ B ] （A ）(0,1) ( B) (1, 0) (C) ( 0,0) (D) (1,1)
5.设函数|sin |)(x x f =，则 )(x f 在0=x 处 [ B ] （A ）不连续。 （B ）连续，但不可导。 (C)可导，但不连续。 （D ）可导，且导数也连续。
三、设函数⎩
⎨⎧>+≤=11
)(2x b ax x x x f 为了使函数)(x f 在1=x 处连续且可导，a ，b 应取什
么值。
解：由于)(x f 在1=x 处连续, 所以 )1()1(1)1(f b a f f =+===+-
即
1=+b a
又)(x f 在1=x 处可导，所以
2'11
(1)lim 21
x x f x --
→-==-
'1()
(1)lim 1
x ax b a b f a
x +
+→+-+==-
有 2=a ， 1-=b 故 求得 2=a ， 1-=b 四、如果)(x f 为偶函数，且)0(f '存在，证明)0(f '=0。
解：由于)(x f 是偶函数, 所以有 )()(x f x f -=
0()(0)
(0)lim 0
x f x f f x →-'=-
0()(0)
lim 0
x f x f x →--=-
()(0)
lim (0)x t
t f t f f t
=→-'==--令 即 0)0(2='f ， 故 0)0(='f
五、 证明：双曲线2
a xy =上任一点处的切线与两坐标轴构成三角形的面积为定值。
解：22
2,x
a y x a y -='=在任意),(00y x 处的切线方程为 )(020
2
0x x x a y y --=-
则该切线与两坐标轴的交点为：)2,0(0
2
x a 和)0,2(0x
所以切线与两坐标轴构成的三角形的面积为
20
2
22221a x x a A =⋅⋅=，
（a 是已知常数） 故其值为定值.
第二节 求导法则
一、填空题
1．x x y sin )sec 2(+=, y '=1cos 2tan
2
++x x ; x e y sin -=, y '=x xe sin cos --.
2．)2cos(x
e y =，y '= 2sin(2)x x
e e -; y =
x x
2sin ，y '=2
2sin 2cos 2x x x x - 3．2
tan
ln θ
ρ=，ρ'=θcsc ; =r 2ln log 2+x x , r '=e x 22log log +
4. )tan ln(sec t t w +=, w '=t sec . 2
arccos()y x x =+，y '
=
5. =
'+)1(2x 2
1x
x +; (
c x ++21 )'=
2
1x
x + .
6. ]2
tan [ln 'x = ; ( c x x +++)1ln(2
)'=
2
11x
+ .
二、选择题 1．已知y=
x
x
sin ，则 y '= [ B ] （A ）2cos sin x x x x - (B) 2sin cos x x x x - (C) 2
sin sin x
x x x - (D)x x x x sin cos 2
3- 2. 已知y=x
x
cos 1sin + ，则 y '
= [ C ] （A ）1cos 21cos +-x x (B) 1cos 2cos 1-+x x (C) x cos 11+ (D) x
x cos 11
cos 2+-
3.
已
知
x
e y sec =，则
y '
=
[ A ]
（A ）x
x
x
e e e tan sec (B) x x
e e tan sec
(C) x e tan (D)x
x e e cot
4.
已
知
)
1ln(2x x y ++=，
则
y '
=
[ A ]
