下载文档原格式
有限差分法、有限单元法和有限体积法的简介1.有限差分方法有限差分方法(Finite Difference Method，FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。
该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。
有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。
该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。
对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。
从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。
考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。
目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。
差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。
构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。
其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。
通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。
2.有限元方法有限元方法(Finite Element Method，FEM)的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。
采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。
有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。
在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。
数学中的偏微分方程基础理论偏微分方程是数学分析领域中最为重要的学科之一，研究的是空间中的物理过程如何随时间变化而演化。
在科学和工程实践中，偏微分方程是解决许多问题的重要工具，包括热传导、电动力学、流体力学、量子力学、地球物理学等领域。
本文将从偏微分方程的基础理论出发，对其进行简介和阐述。
1. 偏微分方程的定义偏微分方程是指一个或多个未知函数及其与各自独立变量的偏导数之间的方程式，通常表示其在空间内的变化情况。
偏微分方程可以分为线性和非线性两种类型，其中线性偏微分方程求解比较容易，但非线性偏微分方程则具有丰富的应用前景。
因此，近几年来对非线性偏微分方程的研究成为了偏微分方程研究的重点之一。
2. 常见的偏微分方程类型常见的偏微分方程类型包括：（1）抛物型偏微分方程：描述的是热传导、扩散、弹性波传递等问题；（2）双曲型偏微分方程：描述的是波动、震荡、涡旋等问题；（3）椭圆型偏微分方程：描述的是静电场、静磁场、电势方程、地球重力场等问题。
3. 偏微分方程的求解方法偏微分方程的求解方法包括解析方法和数值方法两种：（1）解析方法：是指通过变量分离、变量代换、拉普拉斯变换、傅里叶变换等数学方法来求解偏微分方程的方法。
这种方法非常有用，但只能用于特定类型的偏微分方程。
（2）数值方法：是利用计算机技术对偏微分方程进行数值求解的方法，通过离散化的方式将空间转化为网格，将时间转化为离散的步长，通过数值迭代算法求出函数在这些离散点的值，再通过插值等方法得到函数在整个空间的值。
这种方法通用性强，适用于所有种类的偏微分方程和各种复杂的物理仿真模拟。
4. 常见的求解方法常见的偏微分方程数值求解方法包括：（1）有限差分法：将求解域离散化为网格，将未知函数在网格上近似表示，然后使用差分运算符替换微分运算符，将偏微分方程转化为一个线性方程组，再通过解线性方程组得到问题的数值解。
（2）有限元法：将求解域分割为小三角形或四边形等有限元，建立一个局部坐标系，利用数值积分方法对每个有限元上的近似函数进行数值积分，再通过组成全局刚度矩阵来求解线性方程组。
第二章有限单元法的基本原理作为一种比较成熟的数值计算方法，有限元的数学基础是变分原理。
经过半个过世纪的发展，它的数学基础已经比较完善。
从数学角度分析，有限元法是以变分原理和剖分插值为基础的数值计算方法。
它广泛的应用于解算各种类型的偏微分方程，特别对椭圆型方程，因为椭圆型方程的边值问题等价于适当的变分问题，即能量积分的级值问题。
通过变分，导出相应的泛涵，再把作用域从几何上剖分为足够小的单元，这样就能够用简单的图形去拟合复杂的边界，用简单的初等函数去模拟单元的性质。
在解算中先对每个单元进行分析，后在通过连接单元的节点对作用域的整体进行分析，就是对泛涵求极值，从而把一个复杂的偏微分方程求解问题，变成解线形代数方程组的问题。
尽管这样会出现大量的未知数，由于采用了矩阵分析的方法，总体上很有规律，适合编制程序用计算机完成。
通常的数学考虑包括这些：1）从古典变分方法原理去定义微分方程边值问题的广义解以及在古典变分方法的框架对有限元进行理论分析。
2）保证偏微分方程边值问题的提法正确，即要求解存在、唯一和稳定，即保证数值解法是可靠的。
3）有限元中重要的一点是采用了分块多项式插值函数，因此，有限元的误差估计转化为插值逼近的误差估计问题。
4）有限元的收敛性和误差估计。
由于本文是应用有限元的理论解决大地测量中的问题，因此，这里将不讨论上叙问题，而是从固体力学的基本方程出发，通过虚功原理建立起离散化的有限元方程。
另外，还以八节点六面体单元为例，简要叙述了实际中最常用的等参单元的概念及其数值变化的一些公式。
§2.1 弹性力学基本方程有限元法中经常要用到弹性力学的基本方程，这里写出这些方程的矩阵表达式。
2-1-1、平衡方程对任意一点的受力情况分析，沿坐标轴方向x, y ,z分解得到平衡方程0*00000000=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂z y xxz yz xy z y x F F F z yzz x y z y x τττσσσ 记为： 0=+F A σ其中A 是微分算子，F 是体积力向量。
间断有限元方法间断有限元方法，简称IFEM（Intermittent Finite Element Method），是一种用于求解偏微分方程数值解的数值方法。
其特点是将时间和空间上的离散进行分割，通过对离散点进行插值和积分，得到方程的数值解。
IFEM方法的主要思想是将时间和空间进行离散，并且在离散的时间点和空间点上，使用有限元方法进行插值和积分。
通过对插值和积分的计算，可以得到方程在离散点上的数值解。
由于IFEM方法采用离散的方式进行计算，因此可以有效地避免传统有限元方法中的大规模矩阵计算和存储问题，从而提高计算效率。
IFEM方法的基本步骤如下：1. 网格生成：首先需要对求解区域进行网格划分，将其分割为多个小区域。
网格的划分可以根据具体问题的特点进行选择，可以是均匀网格或非均匀网格。
2. 初始化：对于时间t=0时刻，需要对方程的初值进行设定。
可以根据实际问题的要求进行设置。
3. 时间步进：从初始时间开始，按照一定的时间步长进行时间的推进。
在每个时间步长内，需要在每个小区域上进行有限元插值和积分计算，得到方程在该时间点上的数值解。
4. 边界条件处理：在每个时间步长内，需要对边界条件进行处理。
边界条件可以是Dirichlet边界条件或者Neumann边界条件，根据具体问题的要求进行设定。
5. 收敛判断：在每个时间步长内，需要对计算结果进行收敛判断。
可以根据设定的收敛准则，判断数值解是否满足要求。
如果满足要求，则停止计算；如果不满足要求，则继续进行时间步进。
IFEM方法的优点是可以处理非线性、非稳态的偏微分方程问题，适用于各种不同的物理问题。
由于采用离散的方式进行计算，可以提高计算效率。
同时，IFEM方法还可以结合其他数值方法进行改进和优化，如有限差分法、边界元法等。
然而，IFEM方法也存在一些局限性。
首先，对于复杂的几何形状和边界条件，网格的生成和边界条件处理可能会比较困难。
其次，由于IFEM方法采用离散的方式进行计算，可能会引入一定的误差。
非线性椭圆偏微分方程的数值方法非线性椭圆偏微分方程（Nonlinear Elliptic Partial Differential Equations）是数学中的一个重要分支，广泛应用于物理学、工程学、金融学等领域。
本文将介绍非线性椭圆偏微分方程的数值解法及其应用。
一、概述非线性椭圆偏微分方程是一类形式如$F(u, \nabla u, \nabla^2u) =0$ 的方程，其中$u$是未知函数，$F$为非线性函数，$\nabla$为梯度算子，$\nabla^2$为拉普拉斯算子。
解决非线性椭圆偏微分方程的解析方法很难获得闭式解，因此需要采用数值方法进行近似求解。
二、常见的数值方法1. 有限差分法（Finite Difference Method）有限差分法将求解区域离散化，利用差分近似替代偏微分方程中的各个项，进而转化为代数方程组求解。
该方法简单易行，适用于一维和二维情况，但对于高维情况求解效率较低。
2. 有限元法（Finite Element Method）有限元法将求解区域分割成单元，利用试验函数展开未知函数，在每个单元上构造局部近似，并通过装配得到整体近似。
该方法适用于各种复杂几何形状和高维情况，但算法复杂度较高。
3. 有限体积法（Finite Volume Method）有限体积法将求解区域分割成小体积元，通过对流通量进行积分得到通量差分格式，进而得到离散的代数方程组，并通过求解该方程组获得数值解。
该方法适用于守恒型方程和对流扩散型方程，且保持物理量守恒。
三、应用实例非线性椭圆偏微分方程的数值方法在科学研究和工程实践中有广泛的应用。
以下举例介绍两个实际问题的数值求解方法。
1. 热传导方程（Heat Conduction Equation）热传导方程描述了材料内部的温度分布随时间的变化，其数学模型为$\frac{\partial u}{\partial t} - \nabla \cdot (k \nabla u) = f$，其中$u$为温度分布，$k$为导热系数，$f$为外部热源。
北京航空航天大学偏微分方程概述及运用matlab求解微分方程求解常见问题姓名徐敏学号********班级380911班2011年6月偏微分方程概述及运用matlab求解偏微分方程常见问题徐敏摘要偏微分方程简介，matlab偏微分方程工具箱应用简介，用这个工具箱解方程的过程是：确定待解的偏微分方程；确定边界条件；确定方程所在域的几何形状；划分有限元；解方程关键词MATLAB 偏微分方程程序如果一个微分方程中出现的未知函数只含有一个自变量，这个方程叫做常微分方程，也简称微分方程：如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。
一，偏微分方程概述偏微分方程是反映有关的未知变量关于时间的导数和关于空间变量的导数之间制约关系的等式。
许多领域中的数学模型都可以用偏微分方程来描述，很多重要的物理、力学等学科的基本方程本身就是偏微分方程。
早在微积分理论刚形成后不久，人们就开始用偏微分方程来描述、解释或预见各种自然现象，并将所得到的研究方法和研究成果运用于各门科学和工程技术中，不断地取得了显著的成效，显示了偏微分方程对于人类认识自然界基本规律的重要性。
逐渐地，以物理、力学等各门科学中的实际问题为背景的偏微分方程的研究成为传统应用数学中的一个最主要的内容，它直接联系着众多自然现象和实际问题，不断地提出和产生出需要解决的新课题和新方法，不断地促进着许多相关数学分支(如泛函分析、微分几何、计算数学等)的发展，并从它们之中引进许多有力的解决问题的工具。
偏微分方程已经成为当代数学中的一个重要的组成部分，是纯粹数学的许多分支和自然科学及工程技术等领域之间的一座重要的桥梁。
在国外，对偏微分方程的应用发展是相当重视的。
很多大学和研究单位都有应用偏微分方程的研究集体，并得到国家工业、科学部门及军方、航空航天等方面的大力资助。
比如在国际上有重大影响的美国的Courant研究所、法国的信息与自动化国立研究所等都集中了相当多的偏微分方程的研究人员，并把数学模型、数学方法、应用软件及实际应用融为一体，在解决实际课题、推动学科发展及加速培养人才等方面都起了很大的作用。
抛物型方程线性元有限体积法的超收敛性高艳妮;徐权;吕俊良【期刊名称】《吉林大学学报（理学版）》【年(卷),期】2011(049)002【摘要】As for the linear finite volume element schemes for parabolic problems on triangulation, we proved that the superconvergence property held for the semi-discrete scheme and fully discrete scheme. Furthermore,the superconvergence of numerical gradients at optimal stress points was obtained. Finally numerical example was presented to confirm our theoretical results.%针对求解二维抛物型方程的三角网上线性有限体积元格式,证明了半离散和全离散格式的整体超收敛性,并得到了解梯度在插值应力佳点上的超收敛估计.数值算例验证了理论结果的正确性.【总页数】7页(P179-185)【作者】高艳妮;徐权;吕俊良【作者单位】吉林大学,数学学院,长春,130012;吉林大学,数学学院,长春,130012;吉林大学,数学学院,长春,130012【正文语种】中文【中图分类】O241.82【相关文献】1.线性抛物型方程外区域问题的有限元与边界元耦合的数学理论 [J], 杜其奎;张自立2.重叠型非匹配网格抛物型方程的有限元法及收敛性分析 [J], 王奇生;邓康;熊之光;黄云清3.抛物型拟线性积分微分方程基于扩展混合有限元的两层网格离散方法 [J], 曾国艳;陈罗平;付雪梅4.非线性抛物型方程的二次元有限体积元方法 [J], 杨旻5.抛物型积分-微分方程有限元近似的超收敛性质 [J], 张铁因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
首先，从五个方面进行有限元和无网格方法比较，分别是网格划分、形函数的产生、边界条件、系统离散方案、系统方程的求解：1、网格划分有限元方法：连续体被划分成由有限个称作单元的小网格组合而成的离散结构。
单元划分是前处理过程中非常重要的部分, 通常占整个分析过程中大部分时间。
由于单元能按不同的联结方式进行组合，且单元本身又可以有不同的形状，因此可以模拟几何形状复杂的求解域。
无网格方法：问题域由一系列任意分布的节点来代替, 不需要用单元或网格来进行场变量插值, 也无须描述节点之间的关系。
节点的生成可完全由计算机自动完成, 这大大节省了分析人员的时间, 也相对较容易在分析过程中对节点进行重新划分。
几何体边界是由节点替代(而非离散) , 如图1所示，两个节点之间的任意一点可由近似函数插值。
(a)有限元法中光滑曲线边界由三角形直线边代替(b)无网格法中光滑边界由节点替代图1 网格-节点示意图2、形函数的产生：有限元法和无网格法都可从哈密尔顿原理推出, 它们之间最关键的区别是形函数的构造。
有限元法：形函数是定义于单元的局部近似函数，因此函数的连续性、光滑性在网格的分界处必然受到限制，计算后还需要进一步的后处理。
形函数可以直接插值得到，故相对较容易构造且相同类型的单元具有相同的形函数。
无网格方法：形函数是围绕每一个节点建立插值函数构成的，不同的点具有不同的形函数，形函数定义于全域，具有较好的连续性和光滑性，不需要后处理过程。
3、边界条件有限元法：施加边界条件并不很困难, 通常在网格划分时使网格形式满足边界条件特点, 本质边界条件可直接加在节点上。
无网格方法：本质边界条件不仅依赖边界点，而且也与内部点有关，无网格法不能直接施加本质边界条件都是用离散的点来代替连续的边界值，这样会给本质边界条件的精确实现造成困难。
，拉格朗日乘子法和罚函数法是两种基本的方法。
4、系统离散方案有限元法是建立在虚功原理上的。
若给出控制微分方程，对于固体结构或流体, 都可以从加权残值法推出更普遍意义上的有限元公式，其可以得到一个对称的刚度矩阵。
分类号：O241.82本科生毕业论文（设计）题目：一类抛物型方程的计算方法作者单位数学与信息科学学院作者姓名专业班级2011级数学与应用数学创新2班指导教师论文完成时间二〇一五年四月一类抛物型方程的数值计算方法(数学与信息科学学院数学与应用数学专业2011级创新2班）指导教师摘要: 抛物型方程数值求解常用方法有差分方法、有限元方法等。
差分方法是一种对方程直接进行离散化后得到的差分计算格式，有限元方法是基于抛物型方程的变分形式给出的数值计算格式。
本文首先给出抛物型方程的差分计算方法，并分析了相应差分格式的收敛性、稳定性等基本理论问题.然后，给出抛物型方程的有限元计算方法及理论分析。
关键词：差分方法，有限元方法，收敛性，稳定性Numerical computation methods for a parabolic equationYan qian（Class 2, Grade 2011，College of Mathematics and Information Science）Advisor: Nie huaAbstract：The common methods to solve parabolic equations include differential method，finite element method etc。
The main idea of differential method is to construct differential schemes by discretizing differential equations directly. Finite element scheme is based on the variational method of parabolic equations。
In this article, we give some differential schemes for a parabolic equation and analyze their convergence and stability. Moreover，the finite element method and the corresponding theoretical analysis for parabolic equation are established.Key words：differential method，finite element method, convergence，stability1 绪 论1。
