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第五章非线性有限元法

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非线性有限元方法及实例分析

非线性有限元方法及实例分析

非线性有限元方法及实例分析梁军河海大学水利水电工程学院，南京（210098）摘 要：对在地下工程稳定性分析中常用的非线性方程组的求解方法进行研究，讨论了非线性计算的迭代收敛准则，并利用非线性有限元方法分析了一个钢棒单轴拉伸的实例。

关键词：非线性有限元，方程组求解，实例分析1引 言有限单元法已成为一种强有力的数值解法来解决工程中遇到的大量问题，其应用范围从固体到流体，从静力到动力，从力学问题到非力学问题。

有限元的线性分析已经设计工具被广泛采用。

但对于绝大多数水利工程中遇到的实际问题如地下洞室等，将其作为非线性问题加以考虑更符合实际情况。

根据产生非线性的原因，非线性问题主要有3种类型[1]：1．材料非线性问题（简称材料非线性或物理非线性） 2．几何非线性问题3．接触非线性问题（简称接触非线性或边界非线性）2 非线性方程组的求解在非线性力学中，无论是哪一类非线性问题，经过有限元离散后，它们都归结为求解一个非线性代数方程组[2]：()()()00021212211=……==n n n n δδδψδδδψδδδψΛΛΛ （1.1）其中n δδδ,,,21Λ是未知量，n ψψψ,,,21Λ是n δδδ,,,21Λ的非线性函数，引用矢量记号[]T n δδδδΛ21＝ （1.2） []T n ψψψψΛ21= （1.3）上述方程组（1.1）可表示为()0=δψ （1.4）可以将它改写为()()()0=−≡−≡R K R F δδδδψ （1.5）其中()δK 是一个的矩阵，其元素是矢量的函数，n n ×ijk R 为已知矢量。

在位移有限元中，δ代表未知的结点位移，()δF 是等效结点力，R 为等效结点荷载，方程()0=δψ表示结点平衡方程。

在线弹性有限元中，线性方程组0＝－R K δ （1.6）可以毫无困难地求解，但对线性方程组()0=δψ则不行。

一般来说，难以求得其精确解，通常采用数值解法，把非线性问题转化为一系列线性问题。

非线性有限元 第5章接触问题的非线性问题

非线性有限元 第5章接触问题的非线性问题
A B A
PAi PBi
（i= x , y , z ）
(5.8) (5.9)
Az Bz 0 z
Ai Bi
（i= x , y ）
同时要满足沿接触面的切平面方向不滑动的条件：
PBz 0 和 PB2x PB2y f PBz
以上式中， 0 z 是接触面在 z 方向的初始间隙，f 是接触面之间的滑动摩擦系数。 (2) 滑动接触条件
Q
向接触力是不可逆的。 因此，凡是考虑接触面切向摩擦力的接触问题，都应当按复杂加载过程来研究，即通过 增量的方式求解。对于不考虑摩擦的可逆过程，是一种简单加载过程，可以一步加载完成求 解。 5.3 弹性接触问题有限元基本方程和柔度法求解 假设 A、B 是相互接触的两个物体，为了研究的方便，将它们分开，代之以接触力 PA B 和 P ，如图 5.4 所示。然后建立各自的有限元支配方程：
K 2δ 2 R2
(5.2)
再由式（5.2）解得δ 2 ，进一步计算接触力 P2 ，将δ 2 和 P2 代入接触条件，验算接触条件是
否满足。这样不断的迭代循环，直至δ n 和 Pn 满足接触条件为止，此时得到的解答就是真实 接触状态下的解答。 在以上的研究中， 没有考虑接触面的摩擦力。 不考虑摩擦力的接触过程是一种可逆的过 程，即最终结果与加载途径无关。此时，只需要进行一次加载，就能得到最终稳定的解。如 果考虑接触面的摩擦力，接触过程就是不可逆的，必须采用增量加载的方法进行接触分析。 1973 年，Tusta 和 Yamaji 的文章详细讨论了接触过程的可逆性和不可逆性。 从 Wilson 和 Parsons 的方法可看出， 每一次接触状态的改变， 都要重新形成整体劲度矩 阵，求解全部的支配方程，既占内存，又费机时。实际上，接触状态的改变是局部的，只有 与接触区域有关的一小部分需要变动，为此又提出一些改进的方法。 1975 年， Francavilla 和 Zienkiewicz 提出相对简单的柔度法。 图 5.1 示出两个相互接触的物体 A 和 B，假定 A 上有外力 R 作用，B 有固定边界。接触面作用在 A 上的接触力是 PJ ，作用在 B 上的接 触力是 PJ ，对于二维问题，

非线性有限元法综述

非线性有限元法综述

非线性有限元法综述摘要：本文针对非线性有限元法进行综述，分别从UL列式及TL列式、CR列式、几何精确梁、壳理论三个方面介绍其分析思路和发展动态，旨在为相关学者提供一些思路参考。

关键词：几何非线性；UL列式；TL列式；CR列式；几何精确梁、壳理论1引言几何非线性是由于位置改变引起了结构非线性响应。

进行结构几何非线性分析，实质上就是要得到结构真实的变形与受力情况。

有限元方法是进行结构几何非线性分析的最成熟的方法，也是应用最广泛的分析方法.2非线性有限元法研究思路非线性有限元法主要指UL列式法、TL列式法、CR列式法和几何精确梁、壳理论等，它们有着基本相同的思路，即利用虚功原理建立平衡方程。

方程中充分考虑了非线性因素对结构应变和应力的影响，也就是将线性应变和非线性应变都代入到表达式中，然后确定单元的本构关系并选取合适的形函数，导出单元对应的弹性刚度矩阵和几何刚度矩阵，再选取合适的增量-迭代算法进行求解，由此就完成了结构的整个几何非线性分析求解过程。

非线性有限元法将结构的变形过程划分为三个主要阶段：C0状态、C1状态和C2状态，如图1所示。

图1 单元的变形C0状态是单元的初始状态，C1状态是单元受力变形后上一次处于平衡的状态；C2状态是单元的当前状态，也就是所求的状态。

2.1UL法和TL法研究思路UL法和TL法为几何非线性问题提供了新的分析思路。

这两种方法本质上没有很大区别，但是方程建立的参考状态有所不同。

完全拉格朗日法(TL法)是以结构变形前C0状态为参考建立平衡方程的，考虑结构从C0状态到C2状态之间的变形；而更新的拉格朗日法(UL法)以结构变形后C1状态为参考建立平衡方程的[2]，考虑结构从C1状态到C2状态之间的变形。

两种拉格朗日法的主要形式如下：（1）TL列式（2）UL列式从上面两式可以看出：TL法和UL法的另一个不同是TL法的增量平衡方程中考虑了初位移矩阵的影响，而UL法则忽略了其影响，只考虑了弹性刚度矩阵和初应力矩阵的影响。

非线性有限元-国科大

非线性有限元-国科大

第一篇 物理非线性有限元的一般解法第一节 概述从数学角度考虑，对于偏微分方程边值问题或初值问题，如果域内的控制方程是线性方程，边界条件也是给定的线性条件，就是线性问题。

线性问题的适定性提法可保证问题的解存在、唯一而且稳定。

线性问题具有一系列重要特性，例如其解具有比例特性，求解中可用叠加原理等等。

线性有限元法就是这样一类问题，它最后归结为一个线性代数方程组的求解。

只要力学建模过程处理合理，其解不仅唯一，而且具有很高的可靠性，因此已在工程界得到了广泛的应用，并已成为必不可少的一种辅助设计手段，在不少行业中，已正式成为设计规范的一个组成部分而强制性执行。

工程中所有的问题都是非线性的，为适应工程问题的需要，在解决某些具体问题时，往往忽略一些次要因素，将它们近似地作为线性问题处理，这也是完全合理的。

但是我们不能因此认为一切问题均可以简化为线性问题。

必须注意到有许多工程问题，应用非线性理论才能得到符合实际的结果。

为适应工程应用的需要，非线性有限元是目前进行非线性问题数值计算中最有效的方法之一。

因此，有必要对非线性有限元的基础知识作较为全面的阐述，以使读者有足够的基础知识，能够理解非线性有限元的各种基本方法，选择和比较不同近似计算方法，正确处理建模和计算分析中所遇到的困难。

本篇主要介绍材料非线性有限元的一般数值解法。

所谓材料非线性指的是材料的物理定律是非线性的。

材料非线性问题可以分为二类。

第一类是非线性弹性问题，例如橡皮、塑料、岩石、土壤等材料是属于这一类，它的非线性性质是十分明显的。

第二类是非线性弹塑性问题，材料超过屈服极限以后就呈现出非线性性质，各种结构的弹塑性分析就是这类问题。

若在加载过程，这两类材料非线性问题在本质上相同的，只要写出非线性物理定律而在计算方法上是完全一样。

但是卸载过程中就会出现不同的现象，非线性弹性问题是可逆过程，卸载后结构会恢复到加载前的位置；非线性弹性问题是不可逆的，它将会出现残余变形。

9758925_简析非线性有限元法

9758925_简析非线性有限元法

收稿日期:2011-11-23;修订日期:2011-12-20作者简介:游　潇(1988-),男,在读硕士研究生,从事钢筋混凝土结构研究工作。

第30卷　第1期2012年2月江 西 科 学JIANGXI　SCIENCEVol.30No.1Feb.2012 文章编号:1001-3679(2012)01-0075-04简析非线性有限元法游　潇,苏小卒(同济大学土木工程学院,上海200092)摘要:采用有限元法分析一般荷载作用下的钢筋混凝土结构时,要得到对结构性能的合理准确的模拟结果,除了需要合理的本构模型,还要有先进的数值分析方法。

文中将对非线性有限元的特点做出分析,为进一步研究提供参考。

关键词:非线性有限元;数值方法;钢筋混凝土中图分类号:TU311 文献标识码:AStudies on Non⁃linear Finite Element AnalysisYOU Xiao,SU Xiao⁃zu(Department of Building Engineering,Tongji University,Shanghai 200092PRC)Abstract :In the analysis of reinforeced concrete structures subjected to general loading conditions,the realistic constitutive model and robust analytical procedure are two key preconditions to produce reasonably accurate simulations of nonlinear behaviors of such structures.Based on the FEM analy⁃sis,suggestions for further studies are given.Key words :Nonlinear FEM analysis,Robust analytical,Reinforeced concrete0　前言目前,钢筋混凝土结构作为一种经济、实用的结构,是我国工业与民用建筑中最为广泛采用的一种结构形式。

非线性有限元方法

非线性有限元方法

非线性有限元方法非线性有限元方法是大量应用于工程领域的计算方法，它主要用于求解复杂结构的力学问题，例如材料的变形、破坏和变形控制等。

与线性有限元方法不同，非线性有限元方法考虑因为载荷和边界条件的非线性导致问题的非线性本质，以及材料的非线性行为。

在这篇文章中，我们将讨论非线性有限元方法，包括其应用、工作原理以及其在工程领域中的重要性等内容。

首先，我们来研究一下非线性有限元方法的应用。

非线性有限元方法在许多方面都有应用。

其中最重要的领域是结构力学，包括建筑、航空航天、汽车等领域。

由于这些结构需要承受复杂的载荷，因此非线性有限元方法可以很好地模拟这些结构的行为，预测它们的性能和寿命。

此外，非线性有限元方法还可以应用于材料力学研究中，例如破碎、断裂和塑性变形等方面。

其次，我们来了解一下非线性有限元方法的工作原理。

与线性有限元方法类似，非线性有限元方法通过将结构分成小块进行离散，然后在每个小块中进行力学分析，最后将分析结果合并为整个结构的行为。

但是，与线性有限元方法不同的是，非线性有限元方法考虑到材料的非线性行为，采用迭代的方法计算结构的响应。

通常，在每一次迭代中，我们都将结构的当前状态作为一个初始猜测，然后求解出该状态下的切应力和位移场。

然后我们将这个位移场的结果代入底部，从而更新结构的状态。

如果解决方案收敛，则完成计算，否则就将新的状态再次代入求解。

这种方法的本质是将非线性问题转化为一系列线性问题的求解，通过迭代求解来逼近非线性问题的解。

最后，我们来讨论一下非线性有限元方法在工程领域中的重要性。

非线性有限元方法已成为现代工程设计和分析的不可或缺的工具。

它允许工程师们模拟和预测各种工程机构的行为，以及设计和优化各种结构。

例如，它可以帮助我们了解在不同载荷下建筑和桥梁行为的变化，预测材料的破坏和失效，以及优化汽车和飞机的结构以提高其性能。

总之，非线性有限元方法是一种复杂但十分有用的计算方法，它可以模拟各种结构的行为并预测其性能和寿命。

如何利用非线性有限元法进行力学分析

如何利用非线性有限元法进行力学分析非线性有限元法是一种用于数值分析问题的计算方法，其主要应用于力学分析领域。

这种方法在于其对于复杂结构的建模能力和高精度数值计算能力而备受推崇。

在本文中，将介绍如何对力学问题进行分析，以及如何应用非线性有限元法对力学分析进行模拟。

1. 引言力学分析整体上分为两种类型：静力学分析和动力学分析。

静力学分析研究对于物体的力和静止条件进行研究，其中力一般会造成物体的运动。

而动力学分析则研究运动物体的变化，特别是再一定条件下物体的振动问题等。

因为力学分析问题具有很高的复杂性，很多时候需要使用非线性有限元法来得到更准确的结果。

下面我们将详细介绍使用非线性有限元法进行力学分析的方法和流程。

2. 有限元法简介有限元法是一种现代数值计算方法，它将大工程结构分割为小的有限元。

在每个有限元内，结构的物理性质可以被认为是常量。

(具体内容可以自己百度)3. 如何利用非线性有限元法进行力学分析使用非线性有限元法进行力学分析的核心是将宏观问题转变为微观问题来进行模拟计算。

其中需要注意下面几点：3.1 确定力学分析的类型根据要进行分析的结构本身的性质和应用场景，可能涉及到静力学分析或者动力学分析。

其中静力学分析的计算主要涉及到结构在平衡状态下的情况，而动力学分析主要涉及到结构在某种条件下的运动和振动情况。

因此，在进行力学分析之前需要确定其类型，以便进行后续的计算。

3.2 建立结构模型根据具体情况，需要对结构进行建模。

建模可以通过一定的工具软件实现，或者手工建立结构模型。

模型的建立需要考虑到其复杂性和具体的应用场景。

构建好结构模型之后，需要对其进行精细化剖分得到单元网格，并进行编号。

3.3 确定边界条件在进行力学分析时，还需要考虑结构的边界条件。

边界条件可以通过指定某些点的坐标或者某些角度的变化来确定。

因此，在进行计算时需要根据具体情况设定边界条件，以便进行后续的计算。

3.4 进行数值模拟计算运用有限元法的基本原理，将每个单元的机械性质进行计算，根据力学分析的情况，可以得到结构节点的位移、应变和应力等参数。

非线性有限元(河海教授-任青文)


一点的位移f = [u v w]T与单元结点位移δ e 之间的关系：
f = Nδ e
(1-3)
Ni反映了单元内位移的分布形状，所以又称形函数。对于d个结点的三维单元，
⎡N1 0 0 N2 0 0
Nd 0 0 ⎤
N=
⎢ ⎢
0
N1
0
0 N2
0 "" 0 N d
0
⎥ ⎥
(1-4)
⎢⎣ 0 0 N1 0 0 N 2
x e =[x1 y1 z1 x2 y2 z2……xd yd zd]T 为单元各结点的整体坐标。
(1-7)
（2）单元的结点荷载 R e
[ ] [ ] 作 用 在 单 元 上 的 集 中 力 P = Px Py Pz T ， 体 力 p = X Y Z T 及 面 力
[ ] p = X Y Z T 必须转换成等效的单元结点荷载列阵 Re ，
其中 δ1,δ 2 ,",δ n 是未知量，ψ1,ψ2 ,",ψn 是 δ1,δ 2 ,",δ n 的非线性函数，现引用矢量记号 δ = [δ1 δ 2 " δ n ]T ψ = [ψ1 ψ 2 " ψ n ]T
上述方程组可表示为
ψ(δ) = 0
还可以将它改写为
ψ(δ) ≡ F (δ) − R ≡ K (δ)δ − R = 0 K (δ) 是一个 n × n 的矩阵，其元素 kij 是矢量 δ 的函数，R 为已知矢量。在位移有限元中, δ 代表未知的结点位移， F (δ) 是等效结点力， R 为等效结点荷载，方程 ψ(δ) = 0 表示结点
式中
4
∫ U e = 1 εT σdv V2
(1-25)
∫ ∫ V e = − f T P − f T pdv − f T pds

非线性有限元解法

于是方程的解为 u ( KT ( un ,n ))1( R ( un ,n )) ( KT ( un ,n ))1( n1R P( un ))
(9)
(10 )
•在增量方法中通常引入载荷因子λ,用 R R表示载荷， 于是非线性有限
元方程可写成： ( u, ) P( u ) R 0
(1)
用载荷因子λ系列： 0 0 1 2 M 1
(2)
相应于不同的载荷。
若相应于载荷因子 n 的解已经求得，记为 u un ，则 ( un ,n ) P( un ) n R 0
KT n
KT ( un
)
un
(8)
un1 un un
其收敛判据与直接迭代法的收敛判据雷同。
非线性有限元方程组的解法（增量法）
•求解非线性方程组的另一类方法是增量方法。使用增量方法的一个优点是 可以得到整个载荷变化过程的一些中间的数值结果。当问题的性质与加载的 历史有关时，例如弹塑性问题，则必须采用增量方法。
u1 ( K1 )1 R
据此容易写出直接迭代法的迭代公式：
Kn K( un )
un1 ( K n )|1 R
(2)
按照这种迭代公式可以得到一个解数列 { un } ，当这个数列收敛时停止计
算，其数列收敛值就是方程（1）的解。
非线性有限元方程组的解法（直接迭代法）
关于数列收敛的判据，可以采用各种各样的范数定义和收敛判据。若设第 n
( un ) K( un )un R 0
(7)
该值可作为对偏离平衡的一种度量（称为失衡力），收敛判据可相应地取为：
( un ) R
(8)
（失衡力收敛判据）
非线性有限元方程组的解法（牛顿法）
把非线性有限元方程记为： ( u ) P( u ) R 0 (1)

非线性有限元5讲义


对于弹性材料，应力－应变的 卸载曲线简单地沿加载曲线返回， 直到完全卸载，材料返回到了它的 初始未伸长状态。然而，对于弹－ 塑性材料，卸载曲线区别于加载曲 线，卸载曲线的斜率是典型的应力 －应变弹性（初始）段的斜率，卸 载后产生永久应变。其它材料的行 为介于这两种极端之间。由于在加 载过程中微裂纹的形成材料已经损 伤，脆性材料的卸载行为，当荷载 移去后微裂纹闭合，弹性应变得到 恢复。卸载曲线的初始斜率给出形 成微裂纹损伤程度的信息。
载荷－位移曲线
2 应力-应变曲线
以每单位当前长度应变的增量随长度 的变化得到另一种应变度量
对数应变（也称为真实应变）
ex
L L0
dL L
ln( L
L0 )
ln x
对材料时间求导，表达式为 当一维情况，上式为变形率。
ex
x x
Dx
当前面积的表达式给出为
A J A0L0 L J A0 x
(Uchic et al., Science, 2004)
Dislocation source starvation
Microstructure and sample geometry:
•Defects free pillar, •Diminishing of the taper angle without apparent shearing and buckling
Cauchy（或者真实）应力表示为
x
T A
x
T JA0
x J 1 px
工程应力－应变曲线 真实应力－应变曲线
2 应力-应变曲线
考虑一种不可压ห้องสมุดไป่ตู้材料(J＝1)，名义应力和工程应变的
关系为
px s0 ( x )
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11
5.1.3 THE ARC-LENGTH METHOD 荷载增量法 [k (u )]{u} = λ ⋅ { f }
n (∆u ) = Ψ (u n ) = [k (u n )]{u n } − λ ⋅ { f }n = R n [ k ]T n
p
Softening: (∆λ ) n +1 需要一个负值
切线变刚度法
9
1. a new KT matrix has to be computed at each iteration; 2. if direct solution for Eq. is used the matrix needs to be factored at each iteration; 3. on some occasions the tangent matrix is symmetric at a solution state but unsymmetric otherwise (e.g. in some schemes for integrating large rotation parameters or non-associated plasticity). In these cases an unsymmetric solver is needed in general.
p=
σ 11 + σ 22 + σ 33
3
1 = tr (σ ) 3
4
5.1.1 Newton–Raphson method
(modified Newton methods) The most rapidly convergent process for solutions of problems.
Ψ (u ) = [ K (u )]u − R = 0
u
Ψu
n +1
5
Ψu
( )
n +1
∂Ψ (∆u )n = 0 ≈ Ψ (u ) + ∂u
n
n
解出⊿un
n

(∆u )
n T
n
= − [k ]
(
n −1 T
)
(∆u )
= − [k ]
(
n −1 T
)
Ψ (u )
n
Ψ (u n )
u n +1 = u n + ∆u n
10
5.1.2 荷载增量法的思想
引入标量荷载参量，通过调整荷载参量得到适当 的荷载。
在荷载 P 作用下得到有限元方程
[k (u )]{u} = { f }
定义参数 0≤λ≤1 λ0 = 0 λ1 = 0.1 ⋯ λ9 = 0.9 参数
[k (u )]{u} = λi ⋅ { f }
每一步荷载，迭代收敛后，进行下下一时步加载
n T n n T
原方程 [k (u )]{u} = { f }
n n n
[k ]a = -k(u )u + (λ ) (f E ) = R n
不平衡力
原方程 n (∆u )n = [k (u n )]{u n } − λ{ f }n = R n [ k ]T
14
整理归纳
[k ]a = R
n T
n T
2
5.1 Solution of non-linear algebraic equations
T u = [u1 u 2 u3 ...u n ] 方程 [k (u )]{u} = { f } 初值 u 0 = [u10 u 2 0 u3 0 ...u n 0 ]T
例如： 2 2 2 x1 + x2 + x3 − 1.0 = 0 1 2 2 初值 1 2 x1 + x2 − 4 x3 = 0 1 2 2 3 x1 − 4 x2 + x3 = 0 x1 K (u ) x2 x3 x1 1.0 与便利有关 2 x x − 4 x = 0 1 2 2 非常数 3 x − 4 x x 0 3 3 1
∂Ψ [k ] = ∂u
n
[k ]1 T
un
6
例如
k (u ){u} = R
3 u13 − u2 u1 = 2 3 3 3 u u − − 1 2 u2 = 2 3
3 2 u13 − u 2 R= 3 2 k (u ) = 3 3 − u1 − u 2 3
2
n
T
n
n
T
n
T
n 2
α1 + α 2 ∆λ + α 3 (∆λ ) = 0
n n 2
(∆λn )1, 2 =
确定根
− α2 ± α4 2α 3
n
α 4 = α 2 − 4α1α 3
2
若a4<0，虚根。求解需要用一个缩减因子
(∆λ ) = −αλ , α = ε /[ε ] 0.1 ≤ α ≤ 0.5
(
)
8
(4) 计算n+1时步的变量值
u1 u2
( n +1)
u1 = u2
(n)
∆u1 + ∆u2
(n)
(5) 判断收敛否
|| u
( n +1)
−u
(n)
||≤ ε
收敛，结束；否则，返回(1)继续计算 每次需要计算逆矩阵
∂u1
( n +1) 第n步计算结束，求n+1步的值 u1( n +1) u2 (n) 4 3 2 u − u 1 2 ( n ) −1 [ K 计算逆矩阵 3 n T ] (1) [k ]T = − u 2 4 u 3 1 2 3 4 (n) (n) 3 (n) u u u ( ) − ( ) ( (n) 1 1 2) (Ψ1 ) = -2 3 (2) 计算函数值 3 (n) (n) 4 (n) u u − u ( ) ( ) ( (Ψ ) ( n ) = − 1 2 2) -2 2 3 (n) (n) Ψ ( u ) ∆ u 1 计算增量 1 ( n ) − 1 (3) = − [k ]T (n) ∆ u 2 Ψ2 (u )
n
n
不平衡力 弧长法的基本公式
[k ]b = (f E )
定义变量
∆u n = a + b(∆λ ) n
s 2 = (u n + ∆u n ) T (u n + ∆u n ) s 2 = (u n + a + b∆λn ) T (u n + a + b∆λn )
弧长
= (u n + a ) T (u n + a ) + 2(u n + a ) T b∆λn + b T b(∆λn ) 2
(λ ) n +1 = (∆λ ) n +1 + (λ ) n
Softening range
u
土，混凝土，岩石等材 料，表现出软化现象。 混凝土开裂后的分析
12
n (∆u ) = [k (u n )]{u n } − λ{ f E }n = R n [ k ]T n
写成矢量形式 F(u , λ ) = [k (u )] u − λ ⋅ f E
3
表示为 Ψ (u ) = 0 → [ K (u )]u − R = 0 iterative method
Start K (u 0 ) = K 0
→ u 1 = [ K 0 ]−1 R to || u n +1 − u n ||< ε
→ u n +1 = [ K n ]−1 R
常用解法：牛顿法，拟牛顿法 讨论：牛顿迭代法 弧长法
n n n n n
n
0
把u和λ作为未知量，一阶Taylor展开
n
F(u
n +1
n
,λ
n +1
∂F ∂k ( u ) n = → [ k ] T ∂ u ∂ u
n n n n
∂F ∂F n ) ≈ F(u , λ ) + ∆u + ∆λn ∂u ∂λ n n n
σ 11 σ 12 σ 13 σ ij = σ σ 22 12 对称 σ 33 s11 s12 s13 sij = s s 22 12 对称 s33
σ = s + pI
1 0 0 I= 1 0 对称 1
切线刚度矩阵
∂Ψ1 4 3 u ∂u2 3 1 = ∂Ψ2 2 − u1 ∂u2 −u 4 3 u2 3
2 2
7
3 u13 − u 2 ∂Ψ1 Ψ1 = u1 - 2 = 0 3 ∂u 1 3 3 Ψ = − u1 − u 2 u - 2 = 0 [k ]T = ∂Ψ2 2 2 3
Ψ u n + (∆u ) = Ψ (u n +1 )
n
(
= u + ∆u
n
n
)
( )
n +1
∂Ψ (∆u )n = 0 ≈ Ψ (u ) + ∂u
n
n
∂Ψ ∂u
n
导数
K' (u n )
∂Ψ1 ∂Ψ1 ∂Ψ1 ∂u ∂u ..... ∂u 2 m 1 ∂Ψ2 ∂Ψ2 ∂Ψ2 ..... ∂u m = ∂u1 ∂u 2 ......... ∂Ψm ∂Ψm ..... ∂Ψm ∂u1 ∂u 2 ∂u m