高二数学人教B版选修2-1同步教学案：3.1空间向量的线性运算和空间向量基本定理

姓名，年级：时间：§3。

1 空间向量及其运算3.1.1 空间向量的线性运算学习目标1。

了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量、共线向量等的概念。

2。

会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差，了解向量加法的交换律和结合律。

3。

掌握数乘向量运算的意义及运算律．知识点一空间向量的概念1．在空间中,把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．空间向量也用有向线段表示,有向线段的长度表示向量的模，向量a的起点是A，终点是B,则向量a也可记作错误!，其模记为｜a｜或|错误!｜。

2．几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量起点与终点重合的向量叫做零向量，记为0单位向量模为1的向量称为单位向量相反向量与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为－a相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量共线向量有向线段所在的直线叫做向量的基线．如果空间中一些向量或平行向量的基线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量知识点二空间向量的加减运算及运算律1．类似于平面向量,可以定义空间向量的加法和减法运算．错误!＝错误!＋错误!＝a＋b，错误!＝错误!－错误!＝a－b.2．空间向量加法交换律a＋b＝b＋a，空间向量加法结合律(a＋b）＋c＝a＋(b＋c）．知识点三数乘向量运算1．实数与向量的积与平面向量一样,实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算，记作λa，其长度和方向规定如下：(1)｜λa｜＝|λ｜|a｜.(2)当λ〉0时，λa与向量a方向相同；当λ〈0时，λa与向量a方向相反；当λ＝0时，λa＝0.2．空间向量数乘运算满足以下运算律（1）λ(μa）＝（λμ)a;（2)λ(a＋b）＝λa＋λb。

1．若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同，则终点也相同．（√）2．零向量没有方向．（×)3．两个有公共终点的向量，一定是共线向量．( ×）4．空间向量的数乘中λ只决定向量的大小，不决定向量的方向．( ×)题型一空间向量的概念理解例1 （1)下列关于空间向量的说法中正确的是( ）A．空间向量不满足加法结合律B．若|a｜＝|b｜,则a，b的长度相等而方向相同或相反C．若向量错误!，错误!满足｜错误!｜＞|错误!｜，则错误!＞错误!D．相等向量其方向必相同考点空间向量的相关概念及其表示方法题点相等、相反向量答案D解析A中,空间向量满足加法结合律；B中，|a|＝|b|只能说明a，b的长度相等而方向不确定;C中，向量作为矢量不能比较大小,故选D。

3.1.2空间向量的基本定理时间2010-12-07【课前预习】1、共线向量定理：练习：已知3,2a e b e ==-r r r r 。

试问a b r r 与是否平行？并求:a b r r2、 叫做共面向量。

共面向量定理： 3、空间向量分解定理： 4、基底、基向量思考：①任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底吗？②空间向量a r 、b r 、c r不共面能否推出它们之间不会平行？【预习检测】1、下列命题中正确的是：（ ）A 、若a r 与共线，b r 与c r 共线，则a r 与c r共线 B 、向量a r 、b r 、c r共面即它们所在的直线共面C 、零向量没有确定的方向D 、若a r ∥b r ，则存在唯一的实数λ，使a b λ=r r2、如图，在平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′中， 向量B A '、 D A '、BD 是 （ ）A.有相同起点的向量B.等长的向量C.共面向量D.不共面向量3、若向量{a r ，b r ，c r }是空间的一个基底，向量m u r = a r ＋b r ，n r = a r －b r ，那么可以与,m nu r r构成空间另一个基底的向量是（ ）A 、a rB 、b rC 、c rD 、2 a r【课内探究】1、共线向量定理：2、共面向量定理：例题2：已知矩形ABCD 和ADEF 所在的平面互相垂直，点M 、N 分别在BD ，AE 上，且分别是距B 点、A 点较近的三等分点，求证：MN //平面CDECD H F E变式练习：已知a r ，b r ，c r 不共面，并且,,p a b q a c r b c =+=+=-u r r r r r r r r r ，向量,,p q r u r r r是否共面？3、空间向量的基本定理 例3、课本p84例3练习： 0是△ABC 外任意一点, 点G 是△ABC 的重心,如图， 设→--OA = a r , →--OB = b r, →--OC=c r , 求证: →--OG =31(a r + b r +c r ).变式练习：如图：已知ABCD 是平行四边形，点O 为空间任意一点，设→--OA =a r ，→--OB = b r ，→--OC = c r ， 则向量→--OD 用a r 、b r 、c r表示为 （ ）.（A ）a r –b r + c r . （B ）a r –b r –c r. (C) –a r –b r +c r . (D) –a r + b r –c r【当堂检测】1、在平行六面体1111D C B A ABCD -中，M 为AC 与BD 的交点，若=11B A a r ，=11D A b r ，=A A 1c r ，则下列向量中与M B 1相等的向量是 ( )A ．-21a r ＋21b r ＋c r B ．21a r ＋21b r ＋c r C ．21a r -21b r ＋c rD ．-21a r -21b r ＋c r2、已知点O 是正方体ABCD – A 1B 1C 1D 1的中心, 若→--AB = a r ，→--AD = b r , →--1AA =c r 则→--AO = .3、空间四边形OABC 中，M ，N 分别是边OA ，BC 的中点，点G 在MN 上， 且MG = 2GN ，用基底{→--OA ，→--OB ，→--OC }表示向量→--OG .【课后拓展案】 一、选择题：1、设向量a 、b 、c 不共面，则下列集合可作为空间的一个基底的是：（ ）A.{a +b ，b －a ，a }B.{a +b ，b －a ，b }C.{a +b ，b －a ，c }D.{a +b +c ，a +b ，c }2、如图, ABCD – A 1B 1C 1D 1是平行六面体，则下列错误的一个命题是 ( ) (A) 存在唯一的实数对(x, y )使得 →--1AC = x →--AB +y →--AD . (B) 存在唯一的实数对(x, y )使得 →--AC = x →--AB +y →--1AA . (C) 存在唯一的有序实数组( x, y , z ), 使得→--1AC = x →--AB +y →--AD +z →--1AA .(D) 存在唯一的有序实数组( x, y , z ), 使得→--AC = x →--AB +y →--AD +z →--1AA .3、在正方体OADB －CA ′D ′B ′中，点E 是AB 与OD 的交点M 是OD ′与CE 的交点，试分别用,,OA OB OC u u u r u u u r u u u r 表示向量OD u u u r 。

第三章空间向量与立体几何3.1.2空间向量的基本定理高中数学选修2-1·精品课件引入课题平面向量中包含哪些基本定理形式？能否将平面向量的定理推广到空间向量？其形式又会有怎样的变化？知识点一：共线向量定理规定：零向量与任意向量共线.1.共线向量:如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量(或平行向量),记作 a ∥b .2.共线向量定理:对空间任意两个向量 a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ使 a =λb .推论:如果l 为经过已知点A 且平行已知非零向量 a 的直线,那么对任一点O ,点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ,满足等式OP =OA +t a ,其中 a 叫做直线l 的方向向量.探究点：三点共线如何利用共线向量定理判定三点共线？AC BOAC=λABOC−OA=λ(OB−OA) OC=(1−λ)OA+λOBA、B、C三点共线⇔OC=xOA+yOB(其中O为空间中任意一点，且x+y=1)特别有：当B为线段AC的中点时OB=12(OA+OC)例1 如图所示，已知空间四边形ABCD，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是CB、CD上的点，且CF=23CB，CG=23CD.利用向量法证明四边形EFGH是梯形．[思路探索]只需证EH∥FG，且EH≠FG即证EH∥FG，且|EH|≠|FG|利用BD构建EH与FG的关系∵E、H分别是边AB、AD的中点，∴AE=12AB，AH=12AD，EH=AH−AE=12AD−12AB＝12(AD−AB)＝12BD＝12(CD−CB)＝12(32CG−32CF)＝34(CG−CF)＝34FG，∴EH∥FG，且|EH|≠|FG|,又F不在EH上，∴四边形EFGH是梯形．证明：跟踪训练1.设两非零向量e1、e2不共线，AB＝e1＋e2，BC＝2e1＋8e2，CD＝3(e1－e2)．试问：A、B、D是否共线，请说明理由．解:∵BD＝BC＋CD＝(2e1＋8e2)＋3(e1－e2)＝5(e1+e2)，∴BD＝5AB又∵B为两向量的公共点，∴A、B、D三点共线．知识点二：共面向量共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.想一想，为什么？说明：空间任意两个向量都是共面向量，但空间任意三个向量既可能是共面的，也可能是不共面的.探究点：共面向量定理1.若 a 与b 为不共线的两个向量， p 、 a 、b 共面，p 能被 a 、b 唯一表示吗？想一想，为什么？存在唯一有序实数对(x , y ) p =x a +y b2.若存在唯一有序实数对(x , y )，使 p =x a +yb ，则 p 、 a 、b 共面吗？ab xayb p 平行四边形的对角线三个向量共面共面向量定理如果两个向量a 、b 不共线,则向量p 与a 、b共面的充要条件是:存在唯一的有序实数对(x , y )使p =x a +y b .知识点四：四点共面类似于共线向量定理可以判定三点共线，利用共面向量定理怎样判定四点共面？AP =mAB +nAC系数和等于1APCBOOP −OA =m(OB −OA)+n(OC −OA )OP =1−m −n OA +mOB +nOCP 、A 、B 、C 四点共面⇔OP =xOA +yOB +zOC (其中O 为空间中任意一点，且x +y +z =1)例2 如图所示，P是平面四边形ABCD所在平面外一点，连结PA，PB，PC，PD，点E，F，G，H分别是△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的重心，分别延长PE，PF，PG，PH，交对边于M，N，Q，R，并顺次连结MN，NQ，QR，RM.应用向量共面定理证明：E、F、G、H四点共面．[思路探索]只需找到EF，EG，EH的线性关系证明：∵E、F、G、H分别是所在三角形的重心，∴M、N、Q、R为所在边的中点，顺次连结M、N、Q、R，所得四边形为平行四边形，且有PE=23PM，PF=23PN，PG=23PQ，PH=23PR.∵MNQR为平行四边形，∴EG=PG−PE＝23PQ－23PM＝23MQ＝23(MN＋MR)＝23(PN−PM)＋23(PR−PM)＝23(32PF−32PE)＋23(32PH−32PE)＝EF+EH.∴由共面向量定理得E、F、G、H四点共面.2.已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量OE＝k OA，OF＝k OB，OG＝k OC，OH＝k OD＝k，求证：(1)四点E、F、G、H共面；(2)平面EG∥平面AC.证明：(1)因为四边形ABCD是平行四边形，所以AC=AB+AD，EG=OG−OE＝k OC－k OA＝k AC＝k(AB+AD)＝k(OB−OA+OD−OA)＝OF−OE+OH−OE＝EF+EH.所以E、F、G、H共面．(2)EF＝OF−OE＝k(OB−OA)＝k AB，且由第(1)问的证明中知EG＝k AC，于是EF∥AB，EG∥AC.且EF∩EG＝E，AB∩AC＝A，所以平面EG∥平面AC.知识点五：空间向量基本定理如果三个向量a, b, c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一有序实数组{x，y，z}，使得p=x a+y b+z c.{a, b, c}为空间中的一个基底a, b, c叫做基向量.cabx ay bz c p(1)任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底.(2)基底不同，对于向量的分解形式不同.典例分析解：例3 若{a ，b ， c }是空间的一个基底，判断{a ＋b ，b ＋ c ， c ＋a }能否作为该空间的一个基底．假设a ＋b ，b ＋ c ， c ＋a 共面，则存在实数λ，μ使得a ＋b ＝λ(b ＋ c )＋μ( c ＋a )，∴a ＋b ＝μa ＋λb ＋(λ＋μ) c .∵{a ，b ，c }为基底，∴a ，b ，c 不共面，∴a ＋b ，b ＋ c ， c ＋a 不共面．∴{a ＋b ，b ＋ c ， c ＋a }可以作为空间一个基底．∴λ=1，μ=1，λ+μ=0，此方程组无解．是否共面3.以下四个命题中正确的是________．①空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示；②若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量；③如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线；④任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底．【解析】因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表示，故①不正确；②正确；由空间向量基本定理可知只有不共线的两向量才可以做基底，故③正确；空间向量基底是由三个不共面的向量组成的，故④不正确．【答案】②③例4空间四边形OABC 中，M ，N 是△ABC ，△OBC 的重心，设OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝ c ，用向量a ，b ， c 表示向量OM ，ON ，MN .AC BO PNMac b如图，取BC 中点P ，则A 、M 、P ，O 、N 、P 分别共线，连结AP ，OP .AM ＝OA ＋AM ＝a ＋23AP＝a ＋23×12(AB ＋AC )，解：利用线性运算，结合图形，对向量进行分解＝a＋13(OB－OA)＋13(OC－OA)＝a＋13b－13a＋13c－13a＝13a＋13b＋13c.ON＝23OP＝23×12(OB＋OC)＝13b＋13c.MN＝ON－OM＝13b＋13c－13b－13c－13a＝－13a.A CBOPNMa cb4.如图，四棱锥P－OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设OA＝a，OC＝b，OP＝c，E，F分别是PC和PB的中点，试用a，b，c表示BF，BE，AE，EF.解:连结BO，则BF＝12BP＝12(BO＋OP)＝12(c－b－a)＝－12a－12b＋12c.BE＝BC＋CE＝－a＋12CP＝－a＋12(CO＋OP)＝－a－12b＋12c.AE＝AP＋PE＝AO＋OP＋(PO＋OC)＝－a＋c＋12(－c＋b)＝－a＋12b＋12c.EF＝12CB＝12OA＝12a.归纳小结1.用好已有的定理及推论：如共线向量定理、共面向量定理及推论等，并能运用它们证明空间向量的共线和共面的问题. 2.在解决空间向量问题时，结合图形，以图形为指导不但事半功倍，更是迅速解题的关键！D1．下列命题中正确的个数是()①若a与b共线，b与c共线，则a与c共线②向量a、b、c共面即它们所在的直线共面③若a∥b，则存在惟一的实数λ，使a＝λb A．1B．2 C．3 D．02.已知三角形ABC中，AB|AB|+AC|AC|=AD|AD|则D点位于( )A.BC边的中线上B.BC边的高线上C.BC边的中垂线上D.∠BAC的平分线上D3.已知{a，b，c}是空间向量的一个基底，则可以与向量p＝a＋b，q＝a－b构成基底的向量是()DA．a B．b C．a＋2b D．a＋2c4．设OABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若OG＝x OA＋y OB＋z OC，则(x，y，z)为()A.(14,14,14) B.(34,34,34)C.(13,13,13) D.(23,23,23)A再见。

【解析】
原式＝
1 2
a＋b－
3 2
c＋
10 3
a－
5 2
b＋
10 3
c－3a＋6b－3c＝
12＋130－3
a＋
1－52＋6b＋－32＋130－3c＝56a＋92b－76c.
【答案】 56a＋92b－76c
4．若把空间内平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的始点放置于同 一点，则这些向量的终点构成的图形是________．
1．下列命题中，假命题是( ) A．向量A→B与B→A的长度相等 B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 C．只有零向量的模等于0 D．单位向量都相等 【解析】 单位向量是模为1的向量，它的方向没有限制．但两个向量相等 必须同时满足模相等，且方向相同，故D错误． 【答案】 D
2.如图3-1-8所示，空间四边形OABC中，O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，点M在OA 上，且O→M＝2M→A，N为BC中点，则M→N等于( )
＝－O→A＋12(O→D＋A→B) ＝－O→A＋12O→D＋12(O→B－O→A) ＝－32O→A＋12O→D＋12O→B， ∴x＝12，y＝－32.
我还有这些不足： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________ 我的课下提升方案： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________