苏教版高中数学选修2-1《空间向量及其线性运算》教案

§3.1.1 空间向量及其线性运算 编写：陶美霞 审核：赵太田一、知识要点1.空间向量定义及其记法；2.空间向量的线性运算OB OA AB a b =+=+BA OA OB a b =-=- ()OP a R λλ=∈3.空间向量的加法和数乘运算满足如下运算律：⑴a b b a +=+；⑵()()a b c a b c ++=++；⑶()()a b a b R λλλλ+=+∈4.共线向量(平行向量)定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量。

规定：零向量与任意向量共线。

5.共线向量定律：对空间任意两个向量,(0)a b a ≠，b 与a 共线的充要条件是存在实数λ，使b a λ=二、典型例题例 1.如图，在三棱柱__111ABC A B C 中，M 是1BB 的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量。

⑴1CB BA +；⑵112AC CB AA ++；⑶1AA AC CB --例2.如图，在长方体__OADB CA D B '''中，3,4,2,1OA OB OC OI OJ OK ======，点E F 、分别是,DB D B ''的中点，设,,OI i OJ j OK k ===，试用向量,,i j k 表示OE 和OF 。

例3.设四面体ABCD 的三条棱,,AB b AC c AD d ===，求四面体其他各棱所对应的向量，以及面BCD ∆上的中线所对应的向量DM 和向量AQ ，其中M 是BC 的中点，Q 是三角形BCD 的重心。

三、巩固练习1.如图，在空间四边形ABCD 中，E 是线段AB 的中点，2CF FD =，连结,,,EF CE AF BF ，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量。

⑴AC CB BD ++；⑵ AF BF AC --；⑶1223AB BC CD ++。

用心 爱心 专心aC'B'A'D'DABC aBAOlP高二数学教学案周次6课题 空间向量及其线性运算1课时 授课形式新授主编审核教学目标 1．运用类比方法，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程；2．了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算及其性质；3．理解空间向量共线的充要条件重点难点1空间向量的概念、空间向量的线性运算及其性质； 2空间向量的线性运算及其性质。

课堂结构一、自主探究1.在空间，我们把既有 又有 的量，叫做空间向量，记为a 。

2.空间向量加法和数乘运算满足如下运算律：（1）a b b a +=+（2）()()c b a c b a ++=++ （3）()()R b a b a ∈+=+λλλλ 3.共线向量： 。

4.共线向量定理： 。

5.在平行六面体ABCD –A 1B 1C 1D 1中，设,,,1c AA b AD a AB ===则B D 1= 。

6.已知空间四边形ABCD ，M,N,分别是BC 和CD 的中点，则BC BD AB 2121++等于 。

二、教学过程 （一）、创设情景1、平面向量的概念及其运算法则；2、物体的受力情况分析 （二）、建构数学 1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量 注：⑴空间的一个平移就是一个向量⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2．空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下（如图b a AB OA OB +=+=b a OB OA BA-=-=)(R a OP ∈=λλ运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++ ⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(3．平行六面体：平行四边形ABCD 平移向量a到D C B A ''''的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD －D C B A ''''，它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱。

空间向量的运算及应用基础知识整合1．空间向量的有关定理 (1)共线向量定理对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使□01a ＝λb . (2)共面向量定理如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使□02p ＝x a ＋y b . (3)空间向量基本定理如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得□03p ＝x a ＋y b ＋z c .其中，{a ，b ，c }叫做空间的一个□04基底． 推论：设O ，A ，B ，C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数x ，y ，z ，使OP →＝□05xOA →＋yOB →＋zOC →.2．数量积及坐标运算 (1)两个向量的数量积 ①a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．②a ⊥b ⇔□06a ·b ＝0(a ，b 为非零向量)． ③|a |2＝□07a 2，|a |＝x 2＋y 2＋z 2. (2)空间向量的坐标运算设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则 ①|a |＝a 21＋a 22＋a 23；②a ＋b ＝□08(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3)； ③a －b ＝□09(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)； ④λa ＝□10(λa 1，λa 2，λa 3)； ⑤a ·b ＝□11a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3； ⑥设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则 AB →＝□12(x 2－x 1，y 2－y 1，z 2－z 1)； ⑦cos 〈a ，b 〉＝□13a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23.点共线和点共面问题(1)点共线问题：证明点共线问题可转化为证明向量共线问题，如证明A ，B ，C 三个点共线，即证明AB →与AC →共线(或A B →与B C →共线；或A C →与B C →共线)．(2)点共面问题：点共面问题可转化为向量共面问题，要证明P ，A ，B ，C 四点共面，只要能证明PA →＝xPB →＋yPC →，或对空间任一点O ，有OA →＝OP →＋xPB →＋yPC →，或OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ＋y ＋z ＝1)即可．1．已知a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2μ－1,2λ)，若a ∥b ，则λ与 μ的值可以是( ) A ．2，12B ．－13，12C ．－3,2D ．2,2答案 A解析 ∵a ∥b ，∴b ＝k a ，即(6,2μ－1,2λ)＝k (λ＋1,0,2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧6＝k λ＋，2μ－1＝0，2λ＝2k .解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，μ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－3，μ＝12.故选A.2．已知a ＝(－2,1,3)，b ＝(－1,2,1)，若a ⊥(a －λb )，则实数λ的值为( ) A ．－2 B ．－143 C.145D ．2答案 D解析 由题意知a ·(a －λb )＝0，即a 2－λa ·b ＝0，又a 2＝14，a ·b ＝7，∴14－7λ＝0，∴λ＝2.故选D.3．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BA →＋BC →＋DD 1→＝( )A.D 1B 1→B.D 1B →C.DB 1→D.BD 1→答案 D解析 BA →＋BC →＋DD 1→＝CD →＋BC →＋DD 1→＝BD →＋DD 1→＝BD 1→，故选D.4．若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为n ＝(－2,0，－4)，则( ) A ．l ∥α B ．l ⊥α C ．l ⊂α D ．l 与α斜交 答案 B解析 ∵a ＝(1,0,2)，n ＝(－2,0，－4)，∴n ＝－2a ，即a ∥n ，∴l ⊥α.故选B. 5．已知a ＝(1,2，－2)，b ＝(0,2,4)，则a ，b 夹角的余弦值为________．答案 －2515解析 cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－2515.6．(2018·江苏启东中学期中)已知向量a ＝(2，－1,2)，b ＝(－1,3，－3)，c ＝(13,6，λ)，若向量a ，b ，c 共面，则λ＝________.答案 3解析 因为a ＝(2，－1,2)，b ＝(－1,3，－3)，c ＝(13,6，λ)，且a ，b ，c 共面，所以存在实数x ，y 使得c ＝x a ＋y b ，所以(13,6，λ)＝(2x －y ，－x ＋3y,2x －3y )，即⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝13，－x ＋3y ＝6，2x －3y ＝λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝5，λ＝3.核心考向突破考向一 空间向量的线性运算例1 如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：(1)AP →；(2)A 1N →； (3)MP →＋NC 1→.解 (1)∵P 是C 1D 1的中点，∴AP →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →＝a ＋AD →＋12D 1C 1→＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋c ＋12b .(2)∵N 是BC 的中点，∴A 1N →＝A 1A →＋AB →＋BN →＝－a ＋b ＋12BC →＝－a ＋b ＋12AD →＝－a ＋b ＋12c .(3)∵M 是AA 1的中点， ∴MP →＝MA →＋AP →＝12A 1A →＋AP →＝－12a ＋⎝⎛⎭⎪⎫a ＋c ＋12b ＝12a ＋12b ＋c .又NC 1→＝NC →＋CC 1→＝12BC →＋AA 1→＝12AD →＋AA 1→＝12c ＋a ，∴MP →＋NC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋12b ＋c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12c ＝32a ＋12b ＋32c . 触类旁通用已知向量表示某一向量的方法用已知不共面的向量表示某一向量时，应结合图形，利用三角形法则或平行四边形法则，把所求向量用已知向量表示出来．即时训练 1.在三棱锥O －ABC 中，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，G 是△ABC 的重心，用基向量OA →，OB →，OC →表示OG →，MG →.解 OG →＝OA →＋AG →＝OA →＋23AN →＝OA →＋23(ON →－OA →)＝OA →＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤12OB →＋OC →－OA →＝13OA →＋13OB →＋13OC →.MG →＝OG →－OM →＝OG →－12OA →＝13OA →＋13OB →＋13OC →－12OA →＝－16OA →＋13OB →＋13OC →.考向二 共线向量与共面向量定理的应用例2 如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，G 为△A 1BD 的重心，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，试用a ，b ，c 表示AC 1→，AG →，并证明A ，G ，C 1三点共线．解 AC 1→＝AB →＋BC →＋CC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→＝a ＋b ＋c . AG →＝AA 1→＋A 1G →＝AA 1→＋13(A 1D →＋A 1B →)＝AA 1→＋13(AD →－AA 1→)＋13(AB →－AA 1→)＝13AA 1→＋13AD →＋13AB →＝13a ＋13b ＋13c . 因为AC 1→＝3AG →，所以A ，G ，C 1三点共线． 触类旁通证明三点共线和空间四点共面的方法比较即时训练 2.如图，已知斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1，点M ，N 分别在AC 1和BC 上，且满足AM ＝kAC 1→，BN →＝kBC →(0≤k ≤1)．(1)向量MN →是否与向量AB →，AA 1→共面？ (2)直线MN 是否与平面ABB 1A 1平行？ 解 (1)∵AM →＝kAC 1→，BN →＝kBC →， ∴MN →＝MA →＋AB →＋BN →＝kC 1A →＋AB →＋kBC → ＝k (C 1A →＋BC →)＋AB →＝k (C 1A →＋B 1C 1→)＋AB → ＝kB 1A →＋AB →＝AB →－kAB 1→＝AB →－k (AA 1→＋AB →) ＝(1－k )AB →－kAA 1→，∴由共面向量定理知向量MN →与向量AB →，AA 1→共面．(2)当k ＝0时，点M ，A 重合，点N ，B 重合，MN 在平面ABB 1A 1内． 当0<k ≤1时，MN 不在平面ABB 1A 1内， 又由(1)知MN →与AB →，AA 1→共面， 所以MN ∥平面ABB 1A 1. 考向三 空间向量的数量积角度1 坐标法例3 已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →. (1)若|c |＝3，且c ∥BC →，求c ； (2)求a 和b 的夹角的余弦值；(3)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k 的值． 解 (1)∵c ∥BC →，∴c ＝mBC →＝m (－2，－1,2)＝(－2m ，－m,2m )． ∴|c |＝－2m2＋－m2＋m2＝3|m |＝3.∴m ＝±1.∴c ＝(－2，－1,2)或c ＝(2,1，－2)． (2)∵a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，∴a ·b ＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1， 又|a |＝12＋12＋02＝2， |b |＝－2＋02＋22＝5，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－110＝－1010.∴a 和b 夹角的余弦值为－1010. (3)∵k a ＋b ＝(k －1，k,2)，k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)，∴(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝0.∴k ＝2或k ＝－52.即当k a ＋b 与k a －2b 互相垂直时，k ＝2或k ＝－52.角度2 基向量法例4 已知平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为1的正方形，AA 1＝2，∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝120°.(1)求线段AC 1的长；(2)求异面直线AC 1与A 1D 所成角的余弦值； (3)证明：AA 1⊥BD .解 (1) 如图所示，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|b |＝1，|c |＝2.a ·b ＝0，a ·c ＝b ·c ＝2×1×cos120°＝－1.∵AC 1→＝AB →＋BC →＋CC 1→＝a ＋b ＋c ， ∴|AC 1→|2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2a ·c ＋2b ·c ＝1＋1＋22－2－2＝2. ∴|AC 1→|＝ 2.即AC 1长为 2. (2)∵AC 1→＝a ＋b ＋c ，A 1D →＝b －c ，∴AC 1→·A 1D →＝(a ＋b ＋c )·(b －c ) ＝a ·b －a ·c ＋b 2－b ·c ＋b ·c －c 2＝1＋12－22＝－2.又|A 1D →|2＝(b －c )2＝b 2＋c 2－2b ·c ＝1＋4＋2＝7， ∴|A 1D →|＝7. ∴cos 〈AC 1→，A 1D →〉＝AC 1→·A 1D→|AC 1→||A 1D →|＝－22×7＝－147. ∴异面直线AC 1与A 1D 所成角的余弦值为147. (3)证明：∵AA 1→＝c ，BD →＝b －a ， ∴AA 1→·BD →＝c ·(b －a )＝c ·b －c ·a ＝－1－(－1)＝0. ∴AA 1→⊥BD →，即AA 1⊥BD . 触类旁通空间向量数量积计算的两种方法①基向量法：a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉.②坐标法：设a ＝x 1，y 1，z 1，b ＝x 2，y 2，z 2，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2.(2)利用数量积解决有关垂直、夹角、长度问题 ①a ≠0，b ≠0，a ⊥b ⇔a ·b ＝0. ②|a |＝a 2.③cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |.即时训练 3.已知向量a ＝(1,2,3)，b ＝(－2，－4，－6)，|c |＝14，若(a ＋b )·c ＝7，则a 与c 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°答案 C解析 由于a ＋b ＝(－1，－2，－3)＝－a ，故(a ＋b )·c ＝－a ·c ＝7，即a ·c ＝－7.又|a |＝12＋22＋32＝14，所以cos 〈a ，c 〉＝a ·c |a ||c |＝－12，所以〈a ，c 〉＝120°.4．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面为直角梯形，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD ＝AB ＝2BC ，M 为PC 的中点．(1)求证：PB ⊥DM ；(2)求AC 与PD 所成角的余弦值．解 (1)证明：结合图形知，PB →＝AB →－AP →，DM →＝12(DP →＋DC →)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫AP →－AD →＋AB →－12AD →＝12AP →＋12AB →－34AD →，则PB →·DM →＝(AB →－AP →)·( 12AP →＋12AB →－34AD → )＝12|AB →|2－12|AP →|2＝0，故PB ⊥DM . (2)设PA ＝AD ＝AB ＝2BC ＝2，由于PD →＝AD →－AP →，AC →＝AB →＋12AD →，则|PD →|2＝|AD →－AP →|2＝AD→2－2AD →·AP →＋AP →2＝8，故|PD →|＝22，|AC →|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪AB →＋12AD →2＝|AB →|2＋2AB →·12AD →＋14|AD →|2＝5，故|AC →|＝5，PD →·AC →＝(AD →－AP →)·⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋12AD →＝2， 故cos 〈PD →，AC →〉＝222×5＝1010.。

空间向量及其运算一、课题：空间向量及其运算（2）二、教学目标：1．理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；2．掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式．三、教学重、难点：共线、共面定理及其应用． 四、教学过程： （一）复习：1．空间向量的概念及表示； （二）新课讲解： 1．共线（平行）向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。

读作：a 平行于b ，记作：//a b ． 2．共线向量定理：对空间任意两个向量,(0),//a b b a b ≠的充要条件是存在实数λ，使a b λ=（λ唯一）． 推论：如果l 为经过已知点A ，且平行于已知向量a 的直线，那么对任一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，满足等式OP OA t AB =+①，其中向量a 叫做直线l 的方向向量。

在l 上取AB a =，则①式可化为OP OA t AB =+或(1)OP t OA tOB =-+②当12t =时，点P 是线段AB 的中点，此时1()2OP OA OB =+③ ①和②都叫空间直线的向量参数方程，③是线段AB 的中点公式．3．向量与平面平行：已知平面α和向量a ，作O A a =，如果直线OA 平行于α或在α内，那么我们说向量a 平行于平面α，记作：//a α．通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量． 说明：空间任意的两向量都是共面的． 4．共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的充要条件是存在实数,x y 使p xa yb =+．alPBAOa aα推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对,x y ，使MP xMA y MB =+或对空间任一点O ，有OP OM xMA yMB =++① 上面①式叫做平面MAB 的向量表达式． （三）例题分析：例1．已知,,A B C 三点不共线，对平面外任一点，满足条件122555OP OA OB OC =++， 试判断：点P 与,,A B C 是否一定共面？ 解：由题意：522OP OA OB OC =++，∴()2()2()OP OA OB OP OC OP -=-+-， ∴22AP PB PC =+，即22PA PB PC =--， 所以，点P 与,,A B C 共面．说明：在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算．【练习】：对空间任一点O 和不共线的三点,,A B C ，问满足向量式OP xOA yOB zOC =++（其中1x y z ++=）的四点,,,P A B C 是否共面？ 解：∵(1)OP z y OA yOB zOC =--++，∴()()OP OA y OB OA z OC OA -=-+-， ∴AP yAB zAC =+，∴点P 与点,,A B C 共面．例2．已知ABCD ，从平面AC 外一点O 引向量,,,OE kOA OF KOB OG kOC OH kOD ====，（1）求证：四点,,,E F G H 共面； （2）平面AC //平面EG ．解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AC AB AD =+，∵EG OG OE =-，E()()()k OC k OA k OC OA k AC k AB AD k OB OA OD OA OF OE OH OE EF EH=⋅-⋅=-==+=-+-=-+-=+∴,,,E F G H 共面；（2）∵()EF OF OE k OB OA k AB =-=-=⋅，又∵EG k AC =⋅，∴//,//EF AB EG AC 所以，平面//AC 平面EG ．五、课堂练习：课本第96页练习第1、2、3题．六、课堂小结：1．共线向量定理和共面向量定理及其推论；2．空间直线、平面的向量参数方程和线段中点向量公式．七、作业：1．已知两个非零向量21,e e 不共线，如果21AB e e =+，2128AC e e =+，2133AD e e =-，求证：,,,A B C D 共面．2．已知324,(1)82a m n p b x m n yp =--=+++，0a ≠，若//a b ，求实数,x y 的值。

3.1.3-4空间向量基本定理和坐标表示●三维目标1．知识与技能(1)掌握空间向量基本定理，能恰当地选择基底，用基向量表示空间任一向量．(2)理解空间向量的正交分解，理解向量坐标的意义．(3)掌握向量加法、减法、数乘的坐标运算法则，会应用向量坐标进行线性运算，能判断向量共线．2．过程与方法(1)由平面向量基本定理，类比得出空间向量基本定理，体会定理的条件及内涵；会在具体空间图形中，选取基底表示空间向量．(2)类比平面向量坐标运算法则，得出空间向量坐标运算法则，并运用这些法则进行向量坐标线性运算．(3)运用向量坐标进行向量共线的判定与应用．3．情感、态度与价值观能过教师的引导，学生探究，激发学生求知欲望和学习兴趣，使学生具备探究、归纳、应用的能力，形成严谨的思维习惯．●重点难点重点：用基底表示空间向量，向量线性运算的坐标表示．难点：用基底表示空间向量．教学时，应采用类比思维的方法，先回顾平面向量基本定理及坐标表示，得出空间向量基本定理及坐标表示，降低问题的难度，在具体的常见几何体(正方体、三棱锥、棱柱)中，展示用基底表示空间向量的方法与过程，突出本节的重点，化解教学的难点．●教学建议空间向量基本定理是向量法研究立体几何问题的基石，是本章的重中之重，空间向量的坐标表示及坐标运算，是坐标法研究立体几何的工具．因此本节课是全章内容的工具性内容，为学生学习立体几何提供新角度、新手段、新方法．由于学生已学习了平面向量基本定理及坐标运算，因而本节宜采用类比教学法，多发挥学生自主探究能力，通过回顾→类比→完善→应用的环节获取新知识，应用新知识．除使用常规的教学手段外，还将使用多媒体投影和计算机辅助教学，增加教学的直观性和趣味性．●教学流程回顾平面向量基本定理，类比得出空间向量基本定理，强调基向量的不共面性，线性表示的惟一性，常见几何体中基底的一般选法，定义单位正交基，推导空间向量基本定理的推论.⇒回顾平面向量的坐标表示，得出空间向量的坐标表示，理清向量坐标的实际意义，向量坐标与点坐标的关系．⇒回顾平面向量线性运算的坐标表示，得出空间向量的线性运算的坐标表示，向量坐标与起始点坐标的关系，共线向量的坐标条件．⇒通过例1及变式训练，让学生掌握基底的选取条件，即不共面向量，加深对基底概念的理解．⇒通过例2及变式训练，让学生掌握如何选取基向量，如何用基底表示某一向量，在具体操作中运用向量的线性运算法则．⇒通过例3及变式训练，让学生掌握向量坐标运算法则，掌握如何运用起点、终点坐标表示向量坐标．⇒通过例4及变式训练，让学生掌握向量共线的坐标条件的应用，由此判定向量共线或求值．⇒通过易错易误辨析，让学生分清向量共线与向量同向的区别，以免概念混淆，解题出错．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固基本知识，形成基本能力.课标解读1.了解空间向量的基本定理及其意义，理解空间向量的正交分解，掌握用基底表示空间向量的方法．(重点、难点)2．理解空间向量坐标的定义，掌握其坐标表示，掌握向量加法、减法及数乘的坐标运算法则．(重点)3．基向量的选取及应用．(易错点)空间向量基本定理如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使p＝x e1＋y e2＋z e3.基底基向量123是空间不共面的三个向量，则把1e2，e3}称为空间的一个基底，e1，e2，e3叫做基向量.0不能作为基向量．正交基底单位正交基底如果空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直，那么这个基底叫做正交基底．特别地：当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用{i ，j ，k }表示．空间向量基本定理推论设O ，A ，B ，C 是不共面的四点，则对空间任意一点P ，都存在惟一的有序实数组(x ，y ，z)，使得OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →.空间向量的坐标【问题导思】空间直角坐标系中，点的坐标与向量坐标有何联系与区别？【提示】 在空间直角坐标系中，当起点为原点时，向量坐标就是其终点坐标；当起点不是原点时，向量坐标是终点坐标减去起点坐标．所以向量坐标不是点的坐标，而是终点坐标与起点坐标的差值．在空间直角坐标系中，设A(a 1，b 1，c 1)，B(a 2，b 2，c 2)，则AB →＝(a 2－a 1，b 2－b 1，c 2－c 1)；当空间向量a 的起点移至坐标原点时，其终点坐标就是向量a 的坐标．空间向量的坐标运算空间向量的坐标运算与几何运算相比较，有哪些好处？【提示】 坐标运算实际上是实数间的运算，运算起来更为简捷方便． 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)向量的加法a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3)向量的减法a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)数乘向量λa ＝(λa 1，λa 2，λa 3)，λ∈R基底的判断已知{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，且OA →＝e 1＋2e 2－e 3，OB →＝－3e 1＋e 2＋2e 3，OC →＝e 1＋e 2－e 3，试判断{OA →，OB →，OC →}能否作为空间的一个基底？若能，试以此基底表示向量OD →＝2e 1－e 2＋3e 3；若不能，请说明理由．【思路探究】 判断{OA →，OB →，OC →}能否作为基底，关键是判断它们是否共面，一般假设其共面，利用共面向量定理分析；求OD →的表示式，设OD →＝pOA →＋qOB →＋zOC →，利用待定系数法求系数．【自主解答】 假设OA →、OB →、OC →共面，由向量共面的充要条件知存在实数x 、y 使OA →＝xOB →＋yOC →成立．∴e 1＋2e 2－e 3＝x(－3e 1＋e 2＋2e 3)＋y(e 1＋e 2－e 3)＝(－3x ＋y)e 1＋(x ＋y)e 2＋(2x －y)e 3， ∵{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底， ∴e 1，e 2，e 3不共面， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋y ＝1，x ＋y ＝2，2x －y ＝－1，此方程组无解，即不存在实数x 、y 使OA →＝xOB →＋yOC →， ∴OA →，OB →，OC →不共面．故{OA →，OB →，OC →}能作为空间的一个基底． 设OD →＝pOA →＋qOB →＋zOC →，则有2e 1－e 2＋3e 3＝p(e 1＋2e 2－e 3)＋q(－3e 1＋e 2＋2e 3)＋z(e 1＋e 2－e 3)＝(p －3q ＋z)e 1＋(2p ＋q ＋z)e 2＋(－p ＋2q －z)e 3∵{e 1，e 2，e 3}为空间的一个基底， ∴⎩⎪⎨⎪⎧p －3q ＋z ＝2，2p ＋q ＋z ＝－1，－p ＋2q －z ＝3，解之得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝17，q ＝－5，z ＝－30，∴OD →＝17OA →－5OB →－30OC →.1．判断三个向量能否作为基底，关键是判断它们是否共面，若从正面判断难以入手，可以用反证法结合共面向量定理或者利用常见的几何图形帮助，进行判断．2．求一向量在不同基底下的表示式(或坐标)，一般采用待定系数法，即设出该向量在新基底下的表示式(或坐标)，转化为在原基底下的表示式，对比系数．若{a ，b ，c }是空间的一个基底．试判断{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }能否作为空间的一个基底． 【解】 假设a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 共面，则存在实数λ，μ，使得a ＋b ＝λ(b ＋c )＋μ(c ＋a )成立，即a ＋b ＝μa ＋λb ＋(λ＋μ)c .∵{a ，b ，c }是空间的一个基底， ∴a ，b ，c 不共面． ∴⎩⎪⎨⎪⎧μ＝1λ＝1λ＋μ＝0，此方程组无解．即不存在实数λ，μ，使得a ＋b ＝λ(b ＋c )＋μ(c ＋a )成立，∴a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 不共面． 故{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }能作为空间的一个基底．用基向量表示空间向量图3－1－10如图3－1－10，四棱锥P －OABC 的底面为矩形，PO ⊥平面OABC ，设OA →＝a ，OC →＝b ，OP →＝c ，E ，F 分别是PC ，PB 的中点，试用a ，b ，c 表示：BF →，BE →，AE →，EF →.【思路探究】选取基向量→观察空间图形→利用线性运算→用基底表示向量【自主解答】 连结OB ，则BF →＝12BP →＝12(BO →＋OP →)＝12(－OA →－OC →＋OP →)＝ －12a －12b ＋12c . BE →＝BC →＋CE →＝－a ＋12CP →＝－a ＋12(CO →＋OP →)＝－a ＋12(－b ＋c )＝－a －12b ＋12c .AE →＝AP →＋PE →＝AO →＋OP →＋12PC →＝AO →＋OP →＋12(PO →＋OC →)＝－a ＋c ＋12(－c ＋b )＝－a ＋12b＋12c . EF →＝12CB →＝12OA →＝－12a .1．空间中的任一向量均可用一组不共面的向量来表示，只要基底选定，这一向量用基底表达的形式是惟一的．2．用基底来表示空间中的向量是用向量解决数学问题的关键，解题时注意三角形法则以及平行四边形法则的应用．图3－1－11如图3－1－11，在平行六面体ABCD －A′B′C′D′中，AB →＝a ，AD →＝b ，＝c ，M是CD′的中点，N 是C′D′的中点，用基底{a ，b ，c }表示以下向量：(1)AM →；(2)AN →.【解】 (1)AM →＝12(AC →＋)＝12(AB →＋AD →＋AD →＋)＝12(a ＋2b ＋c )＝12a ＋b ＋12c . (2)AN →＝12(＋)＝12[(AB →＋AD →＋)＋(AD →＋)]＝12(AB →＋2AD →＋2)＝12a ＋b ＋c .空间向量的坐标运算已知A ，B ，C 三点的坐标分别是(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2,2,3)，求适合下列条件的点P 的坐标．(1)OP →＝12(AB →－AC →)；(2)AP →＝12(AB →－AC →)．【思路探究】 利用向量的坐标等于终点的坐标减去起点的坐标求出AB →，AC →，然后进行坐标运算得到OP →，AP →，从而可确定点P 的坐标．【自主解答】 AB →＝(2,6，－3)，AC →＝(－4,3,1)．(1)OP →＝12(AB →－AC →)＝12(6,3，－4)＝(3，32，－2)，则点P 的坐标为(3，32，－2)．(2)设点P 的坐标为(x ，y ，z)，则AP →＝(x －2，y ＋1，z －2)． 由(1)知，AP →＝12(AB →－AC →)＝(3，32，－2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝3y ＋1＝32z －2＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝12z ＝0，则点P的坐标为(5，12，0)．1．牢记运算法则是正确进行向量线性运算的关键．2．涉及已知点的坐标进行向量运算时，注意利用终点的坐标减去起点的坐标得到向量的坐标，这是向量运算的前提．已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，求AB →，AC →及2AB →＋3AC →. 【解】 AB →＝(－1,1,2)－(－2,0,2)＝(1,1,0)， AC →＝(－3,0,4)－(－2,0,2)＝(－1,0,2)，2AB →＋3AC →＝2(1,1,0)＋3(－1,0,2)＝(2,2,0)＋(－3，0,6)＝(－1,2,6)．空间向量平行的坐标表示已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,2)，求满足DB ∥AC ，DC ∥AB 的点D的坐标．【思路探究】 由已知条件DB ∥AC ，DC ∥AB ，转化为向量平行，用共线向量定理及空间向量平行的坐标表示，可求得D 点的坐标．【自主解答】 设D(x ，y ，z)，则DB →＝(－x,1－y ，－z)，AC →＝(－1,0,2)， 由DB ∥AC ，设DB →＝λAC →， 即(－x,1－y ，－z)＝(－λ，0,2λ)， 则⎩⎪⎨⎪⎧－x ＝－λ，1－y ＝0，－z ＝2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝λ，y ＝1，z ＝－2λ，得D(λ，1，－2λ)．∴DC →＝(－λ，－1,2＋2λ)，AB →＝(－1,1,0)． 又DC →∥AB →，设DC →＝μAB →， 即(－λ，－1,2＋2λ)＝(－μ，μ，0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧－λ＝－μ，－1＝μ，2＋2λ＝0.解得λ＝μ＝－1.∴点D 的坐标为(－1,1,2)．1．本例中，求点D 的坐标，主要是利用两向量平行的坐标条件，列出关于点D 的坐标的方程组，通过解方程组求得．2．两向量平行的充要条件有两个：①a＝λb，②⎩⎪⎨⎪⎧x1＝λx2y1＝λy2z1＝λz2，依此，既可以判定两向量共线，也可以通过两向量平行求待定字母的值．设a＝(2,3,0)，b＝(－3，－2,1)，计算2a＋3b,5a－6b，并确定λ，μ的值，使λa＋μb与向量b平行．【解】∵a＝(2,3,0)，b＝(－3，－2,1)，∴2a＋3b＝2(2,3,0)＋3(－3，－2,1)＝(4,6,0)＋(－9，－6,3)＝(－5,0,3)，5a－6b＝5(2,3,0)－6(－3，－2,1)＝(10,15,0)－(－18，－12,6)＝(28,27，－6)．∵λa＋μb＝λ(2,3,0)＋μ(－3，－2,1)＝(2λ－3μ，3λ－2μ，μ)，且(λa＋μb)∥b，∴2λ－3μ－3＝3λ－2μ－2＝μ1.∴λ＝0，μ∈R，即λ＝0，μ∈R时，λa＋μb与b平行.误解“两向量平行”和“两向量同向”已知向量a＝(1,2,3)，b＝(x，x2＋y－2，y)，并且a，b同向，求x，y 的值．【错解】由题意知a∥b，则x1＝x2＋y－22＝y3，可得⎩⎪⎨⎪⎧y＝3x①x2＋y－2＝2x ②，把①代入②得x2＋x－2＝0，解得x＝－2或x＝1.当x＝－2时，y＝－6；当x＝1时，y＝3.【错因分析】“两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要条件．错解忽略了“同向”这一条件的限制，扩大了范围．【防范措施】由于向量具有平移不变性，因此有关向量的平行问题与直线的平行是有区别的，并且两向量同向与向量平行也是不等价的，向量平行则两向量可能同向也可能反向，因此，解决这类问题时要特别注意限制条件．【正解】由题意知a∥b，则x1＝x2＋y－22＝y3，可得⎩⎪⎨⎪⎧y＝3x①x2＋y－2＝2x ②，把①代入②得x2＋x－2＝0，解得x＝－2或x＝1.当x＝－2时，y＝－6；当x＝1时，y＝3.当⎩⎪⎨⎪⎧x＝－2y＝－6时，b＝(－2，－4，－6)＝－2a，向量a与b反向，不符合题意，故舍去．当⎩⎪⎨⎪⎧x＝1y＝3时，b＝(1,2,3)＝a，向量a与b同向，故⎩⎪⎨⎪⎧x＝1y＝3.1．用基底表示空间几何体中一向量时，应结合立体图形，根据空间向量线性运算法则，写出要求的向量表达式．2．建立空间直角坐标系后，空间向量都有惟一的坐标(x，y，z)，两向量间的线性运算也有相应的坐标运算法则．3．对于两向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，a∥b⇔a＝λb⇔⎩⎪⎨⎪⎧x1＝λx2y1＝λy2z1＝λz2(b≠0)，依此可以判定两向量平行或由两向量平行求待定字母的值.1．下列说法正确的是________．①任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底；②不共面的三个向量就可构成空间的单位正交基底；③单位正交基底中的基向量模为1，且互相垂直；④不共面且模为1的三个向量可构成空间的单位正交基底．【解析】根据基底的有关概念可知：任何三个不共面的向量都可以构成一个基底，当这三个基向量是模为1且两两垂直的向量时，称此基底为单位正交基底，故有③正确，①②④错误．【答案】 ③图3－1－122．如图3－1－12，已知平行六面体OABC －O′A′B′C′中，OA →＝a ，OC →＝c ，＝b ，D 是四边形OABC 的中心，则OD →＝________.【解析】 结合图形，充分利用向量加、减的三角形法则和平行四边形法则，利用基向量a 、b 、c 表示OD →.仔细观察会发现OD →与OA →、OC →是共面向量，故它们三者之间具有线性关系，即可得到答案．【答案】 12a ＋12c3．已知a ＝(1，－2,1)，a ＋b ＝(－1,2，－1)，则b ＝______. 【解析】 设b ＝(x ，y ，z)，则a ＋b ＝(x ＋1，y －2，z ＋1)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝－1，y －2＝2，z ＋1＝－1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝4，z ＝－2.∴b ＝(－2,4，－2)． 【答案】 (－2,4，－2)4．设a ＝(1,5，－1)，b ＝(－2,3,5)．若(k a ＋b )∥(a －3b )，求k. 【解】 法一 ∵a ＝(1,5，－1)，b ＝(－2,3,5)．∴k a ＋b ＝k(1,5，－1)＋(－2,3,5)＝(k －2,5k ＋3，－k ＋5)． a －3b ＝(1,5，－1)－3(－2,3,5)＝(7，－4，－16)． ∵(k a ＋b )∥(a －3b )． ∴k －27＝5k ＋3－4＝－k ＋5－16. ∴k ＝－13.法二 ∵(k a ＋b )∥(a －3b )．∴k a＋b＝λ(a－3b)．∴⎩⎪⎨⎪⎧k＝λ，1＝－3λ，∴k＝－13.一、填空题1．设命题p：a，b，c是三个非零向量，命题q：{a，b，c}为空间的一个基底，则命题p是命题q的______条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)．【解析】命题q中，{a，b，c}为空间的一个基底，则根据基底的定义，可知a，b，c为非零向量，且为不共面向量．故q⇒p，pD⇒/q，所以命题p是命题q的必要不充分条件．【答案】必要不充分2．设向量a，b，c不共面，则下列可作为空间的一个基底的是________．①{a＋b，b－a，a}；②{a＋b，b－a，b}；③{a＋b，b－a，c}; ④{a＋b＋c，a＋b，c}．【解析】因为只有③中三个向量不共面，所以可以作为一个基底．【答案】③3．已知{i，j，k}为空间的一个基底，若a＝i－j＋k，b＝i＋j＋k，c＝i＋j－k，d＝3i ＋2j－4k，又d＝α a＋β b＋γc，则α＝________，β＝________，γ＝________.【解析】由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＋γ＝3－α＋β＋γ＝2α＋β－γ＝－4，解之得：⎩⎪⎨⎪⎧α＝12β＝－1γ＝72.【答案】12－172图3－1－134．如图3－1－13，已知正方体ABCD —A′B′C′D′中，E 是底面A′B′C′D′的中心，a ＝12AA′→，b ＝12AB →，c ＝13AD →，AE →＝x a ＋y b ＋z c ，则x ，y ，z 的值分别为x ＝________，y ＝________，z ＝________.【解析】 由题意知AA′→，AB →，AD →为不共面向量，而AE →＝AA′→＋A′E →＝AA′→＋12(A′B′→＋A′D′→)＝AA′→＋12AB →＋12AD →＝2a ＋b ＋32c ，∴x ＝2，y ＝1，z ＝32.【答案】 2 1 325．已知A(3,2,1)，B(－4,5,3)，C(－1,2,1)，则2AB →＋5AC →的坐标为________． 【解析】 2AB →＋5AC →＝2(－7,3,2)＋5(－4,0,0) ＝(－14－20,6＋0,4＋0)＝(－34,6,4)． 【答案】 (－34,6,4) 6．已知a ＝(λ＋1,0,2λ)，b ＝(6,2μ－1,2)，a ∥b ，则λ与μ的值分别为________． 【解析】 根据已知a ∥b ，则有λ＋16＝2λ2且2μ－1＝0，解得：λ＝15，μ＝12.【答案】 15，12图3－1－147．在直三棱柱ABO －A 1B 1O 1中，∠AOB ＝π2，AO ＝4，BO ＝2，AA 1＝4，D 为A 1B 1的中点，则在如图3－1－14所示的空间直角坐标系中，DO →的坐标是________．【解析】 由题意得A 1(4,0,4)，B 1(0，2,4)，由D 为A 1B 1的中点可得D(2,1,4)，故OD →＝(2,1,4)，所以DO →＝－OD →＝(－2，－1，－4)．【答案】 (－2，－1，－4) 8．有下列命题：①若AB →∥CD →，则A ，B ，C ，D 四点共线； ②若AB →∥AC →，则A ，B ，C 三点共线； ③若e 1，e 2为不共线的非零向量，a ＝4e 1－25e 2，b ＝－e 1＋110e 2，则a ∥b ；④若向量e 1，e 2，e 3是三个不共面的向量，且满足等式k 1e 1＋k 2e 2＋k 3e 3＝0，则k 1＝k 2＝k 3＝0.其中是真命题的序号是________(把所有真命题的序号都填上)．【解析】 ①AB →∥CD →时，四点A ，B ，C ，D 可能共线也可能AB ∥CD ，故①为假命题；②AB →∥AC →时，又AB →，AC →共起点，所以A ，B ，C 三点共线，②为真命题； ③a ＝4e 1－25e 2＝－4(－e 1＋110e 2)＝－4b ，∴a ∥b ，故③为真命题；④中，k 1e 1＋k 2e 2＋k 3e 3＝0，又e 1，e 2，e 3不共面，根据空间向量基本定理可知，只能k 1＝0，k 2＝0，k 3＝0，所以④为真命题．【答案】 ②③④二、解答题图3－1－159．如图3－1－15所示，M 、N 分别是四面体OABC 的边OA 、BC 的中点，P 、Q 是MN 的三等分点，用向量OA →，OB →，OC →表示OP →和OQ →.【解】 OP →＝OM →＋MP →＝12OA →＋23MN →＝12OA →＋23(ON →－OM →)＝12OA →＋23(ON →－12OA →)＝16OA →＋23×12(OB →＋OC →) ＝16OA →＋13OB →＋13OC →. OQ →＝OM →＋MQ →＝12OA →＋13MN →＝12OA →＋13(ON →－OM →) ＝12OA →＋13(ON →－12OA →) ＝13OA →＋13×12(OB →＋OC →) ＝13OA →＋16OB →＋16OC →. 10．在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，已知△ABC 的边长为1，三棱柱的高为2，建立适当的空间直角坐标系，并写出AA 1→，AB 1→，AC 1→的坐标．【解】 分别取BC ，B 1C 1的中点D ，D 1，以D 为原点，分别以DC →，DA →，DD 1→的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则A(0，32，0)，A 1(0，32，2)，B 1(－12，0,2)，C 1(12，0,2)，所以AA 1→＝(0,0,2)，AB 1→＝(－12，－32，2)，AC 1→＝(12，－32，2)．11．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,2)． (1)若DB →∥AC →，DC →∥AB →，求点D 的坐标．(2)是否存在实数x ，y ，使AC →＝xAB →＋yBC →成立．若存在，求出x ，y 的值；若不存在，请说明理由．【解】 (1)设D(x ，y ，z)，则有 DB →＝(－x,1－y ，－z)，AC →＝(－1,0,2)， DC →＝(－x ，－y,2－z)，AB →＝(－1,1,0)．∵DB→∥AC→，DC→∥AB→，∴DB→＝λ1AC→且DC→＝λ2AB→，∴⎩⎪⎨⎪⎧－x＝－λ11－y＝0－z＝2λ1且⎩⎪⎨⎪⎧－x＝－λ2，－y＝λ2，2－z＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x＝λ1y＝1z＝－2λ1且⎩⎪⎨⎪⎧x＝λ2，y＝－λ2，z＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x＝－1，y＝1，z＝2，∴D点坐标为(－1,1,2)．(2)∵AC→＝(－1,0,2)，AB→＝(－1,1,0)，BC→＝(0，－1,2)，假设满足条件的x，y存在，即AC→＝xAB→＋yBC→，也即(－1,0,2)＝(－x，x,0)＋(0，－y，2y)＝(－x，x－y,2y)，则⎩⎪⎨⎪⎧－1＝－x，x－y＝0，2＝2y，解得x＝1，y＝1.∴存在实数x＝1，y＝1，使AC→＝xAB→＋yBC→成立．如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M分AC→成的比为1∶2，N分A1D→成的比为2∶1，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，用基底{a ，b ，c }表示向量MN →.【思路探究】 由于AB →、AD →、AA 1→三个向量不共面，故AB →，AD →，AA 1→可作为一个基底来表示空间中的向量MN →.【自主解答】 如图，连结AN ，则MN →＝MA →＋AN →. 由已知四边形ABCD 是平行四边形， 可知AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ， 又M 分AC →成的比为1∶2， 故MA →＝－13AC →＝－13(a ＋b )．∵N 分A 1D →成的比为2∶1， 故AN →＝AD →＋DN →＝AD →－ND → ＝AD →－13A 1D →＝13(c ＋2b )，∴MN →＝MA →＋AN →＝－13(a ＋b )＋13(c ＋2b )＝13(－a ＋b ＋c )．1．由基底表示空间任一向量，首先明确基底是哪三个向量，然后将所求向量进行分解，分解时主要看三种运算，即相加、相减与数乘(倍数关系)．2．用基底表示一个空间向量，要注意数形结合，结合图形逐步转化．如图，已知矩形ABCD 中，P 为面ABCD 外一点，且PA ⊥面ABCD ，M 、N 分别为PC 、PD 上的点，且PM →＝2MC →，PN →＝ND →，求满足MN →＝xAB →＋yAD →＋zAP →的实数x ，y ，z 的值．【解】 取PC 的中点E ，连结NE ， 则MN →＝EN →－EM →.∵EN →＝12CD →＝12BA →＝－12AB →，EM →＝PM →－PE →＝23PC →－12PC → ＝16PC →， 连结AC ，则PC →＝AC →－AP →＝AB →＋AD →－AP →. ∴MN →＝－12AB →－16(AB →＋AD →－AP →)＝－23AB →－16AD →＋16AP →.∴x ＝－23，y ＝－16，z ＝16.。

3.1.1 空间向量及其线性运算算法则，会利用其几何意义解题1．空间向量及其有关概念 (1)空间向量的定义在空间，把具有____和____的量叫做空间向量，向量的____叫做向量的长度或模． (2)空间向量及其模的表示方法空间向量用有向线段表示，有向线段的____表示向量的模．如图，a 的起点是A ，终点是B ，则a 也可记作____，其模记为____或____．(3)特殊向量①零向量：规定______的向量叫做零向量，记为__． ②单位向量：______的向量称为单位向量．③相反向量：与a 长度____而方向____的向量称为a 的相反向量，记为______．④相等向量：方向____且模____的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．预习交流1给出下列命题：①将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； ②若空间向量a ，b 满足|a |＝|b |，则a ＝b ；③在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，必有AC ＝11AC；④若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ； ⑤空间中任意两个单位向量必相等． 其中假命题是__________．2．空间向量的加法、减法及运算律(1)类似平面向量，定义空间向量的加、减法运算(如图)：OB =OA +AB=___________；CA =OA －OC=___________.(2)加法运算律：①交换律a +b =___________； ②结合律(a +b )+c =___________.预习交流2(1)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，化简AB －CD ＋BC －DA的结果是__________．(2)如图所示，已知长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．(1)AA ' －CB； (2)AA ' ＋AB ＋B C '' .3．空间向量的数乘运算(1)定义：实数λ与空间向量a 的乘积____仍然是一个____，称为向量的数乘运算． (2)向量a 与λa 的关系．①λ＞0时，方向____；②λ＝0时，λa ＝____；③λ＜0时，方向____；④λa 的模是a 的模的____倍．(3)空间向量的数乘运算律①分配律：λ(a ＋b )＝______，(λ＋μ)a ＝________. ②结合律：λ(μ a )＝______. 预习交流3在平行六面体ABCD －EFGH 中，若AG =x AB －2y BC +3z DH，则x +y +z 等于_______________.4．共线向量 (1)共线向量定义如果表示空间向量的有向线段所在的直线__________，那么这些向量叫做________或________，向量a 与b 平行，记作a ∥b .(2)两向量共线的充要条件对空间任意两个向量a ，b (a ≠0)，b 与a 共线的充要条件是存在实数λ，使__________． (3)共线向量的推论如果l 为经过点A 平行于已知非零向量a 的直线，那么对于空间任一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使OP ＝OA ＋t a ①，其中a 叫直线l 的________．在l 上取AB＝a ，则①式可化为__________．此推论可以用来判断三点共线．预习交流4(1)两向量共线时，它们的方向有什么关系？(2)在两向量共线的充要条件中，为什么要求b ≠0?一、空间向量的概念辨析判断下列命题的真假并说明理由：(1)向量AB 与向量BA的长度相等；(2)两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； (3)空间向量就是空间中的一条有向线段； (4)不相等的两个空间向量的模必不相等．思路分析：根据空间向量中的相关概念进行分析判断．如图所示，已知ABCD －A 1B 1C 1D 1为平行六面体，若以此平行六面体的顶点为向量的始点和终点，求：(1)与1BB相等的向量；(2)与1BC方向相反的向量；(3)与1BA平行的向量．(1)空间中的单位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中对应的概念完全一样．(2)两个向量的模相等，只是它们的长度相等，但它们的方向不一定相同，因为两个向量的模相等是它们相等的必要不充分条件．二、向量的加减运算与数乘运算如图所示，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 是上底面A 1C 1的中心，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．(1)AB ＋BC ＋1CC； (2)1AA ＋12AB ＋12AD .思路分析：充分利用空间向量的加法和数乘向量的运算律，结合图形化简．在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，O 1，O 2，O 3分别是AC ，AB ′，AD ′的中点，AC ＝x 1AO＋y 2AO ＋z 3AO，则x ＝__________，y ＝__________，z ＝__________.(1)化简向量表达式一定要观察立体图形，运用向量的三角形法则或平行四边形法则，把空间向量转化为平面向量来解决．(2)向量的加法法则可简述为：作平移，首尾连．即最后结果是以第一个向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点得到的．若若干向量首尾顺次相连得到一条封闭的曲线，即第一个向量的起点与最后一个向量的终点重合，则和为零向量．(3)对向量进行分解或对向量表达式进行化简时，要准确运用空间向量加法、减法的运算法则，要熟悉数乘向量运算的几何意义，同时还要注意把相关向量向选定的向量进行转化．三、共线向量问题如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是C 1D 1，AB 的中点，E 在AA 1上且AE ＝2EA 1，F 在CC 1上且CF ＝12FC 1，判断ME 与NF 是否共线？思路分析：结合给出的平行六面体，利用向量的线性运算对ME 或NF进行化简转化，根据共线向量定理进行判断．设ABCD －EFGH 是平行六面体，在(1)AH 与BG ；(2)AG 与EC ；(3)BH 与DF；(4)AC 与HF四对向量中，不共线的向量为(填序号)________．(1)判断向量a ，b 共线的方法有两种：①定义法即证明a ∥b 先证明a ，b 所在基线平行或重合． ②利用“a ＝x b ⇒a ∥b ”判断．(2)如果a ，b 是空间图形中的有向线段，可利用空间向量的运算性质，结合具体图形，化简得出a ＝x b ，从而得出a ∥b ，即a 与b 共线．(3)在进行向量的运算时，要注意结合几何体的性质对向量进行平移或替换，以达到化简向量的目的．1．下列说法中错误的是__________． (1)a －a ＝0；(2)若|a |＝|－b |，则a 与b 为相反向量；(3)平行且等长的有向线段表示的向量相等；(4)同向且等长的有向线段表示的向量相等．2．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若CA ＝a ，CB ＝b ，1CC ＝c ，则1A B等于__________．3．已知向量c ，d 不共线，设向量a ＝k c ＋d ，b ＝c －k 2d .若a 与b 共线，则实数k 的值为__________．4．在空间四边形OABC 中，OA ＝a ，OB＝b ，OC ＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，若N 为BC 的中点，则MN＝__________.5．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算的结果为向量1AC的是__________．①(AB －CB )＋1CC ；②1AA ＋11A D ＋1DC ；③(AB ＋1BB )＋11B C ；④(1AA＋11A B )＋11B C .课前预习导学1．(1)大小 方向 大小 (2)长度 AB |a| |AB| (3)长度为0 0 模为1 相等相反 －a 相同 相等预习交流1：提示：①假命题．将空间中所有的单位向量移到同一点为起点时，它们的终点构成一个球面，而不是一个圆．②假命题．根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模相等，而且方向还要相同，但题中的向量a 与b 的方向不一定相同．③真命题．根据正方体的性质，向量AC 与11AC 的方向相同且模相等，即有AC ＝11AC.④真命题．向量的相等满足递推规律．⑤假命题．空间中任意两个单位向量的模相等，均为1，但方向不一定相同，故不一定相等．故①②⑤是假命题．2．(1)a ＋b a －b b ＋a a ＋(b ＋c )预习交流2：(1)提示：AB －CD ＋BC －DA ＝(AB ＋BC )－(CD ＋DA)＝AC －CA ＝AC ＋AC ＝2AC .(2)提示：(1)AA ' －CB ＝AA ' －DA ＝AA ' ＋AD ＝AA ' ＋A D '' ＝AD '.(2)AA ' ＋AB ＋B C '' ＝(AA ' ＋AB)＋B C '' ＝AB ' ＋B C '' ＝AC ' .向量AD ' ，AC '如图所示．3．(1)λa 向量 (2)相同 0 相反 |λ| (3)λa ＋λb λa ＋μa (λμ)a预习交流3：提示：由于AG ＝AB ＋AD ＋CG ＝AB ＋BC ＋DH，对照已知式子可得x ＝1，－2y ＝1，3z ＝1，故x ＝1，y ＝－12，z ＝13，从而x ＋y ＋z ＝56.4．(1)互相平行或重合 共线向量 平行向量 (2)b ＝λa (3)方向向量 OP ＝OA＋t AB预习交流4：(1)提示：两向量共线，则它们的方向相同或相反．(2)提示：由于我们已经规定了0与任意向量平行，所以当b ＝0时，a 与b 是共线向量，可如果a ≠0，就不可能存在实数λ，使a ＝λb 成立．课堂合作探究活动与探究1：解：(1)真命题；(2)假命题；(3)假命题；(4)假命题．理由：(1)AB 与BA仅是方向相反，它们的长度是相等的；(2)向量是可以平移的，一个向量在空间平移到任何位置都会和原向量相等．所以两个相等的向量起点和终点不一定重合；(3)有向线段只是空间向量的一种表示形式，不能把二者完全等同起来； (4)不相等的两个空间向量的模也可以相等，只要它们的方向不相同即可．迁移与应用：解：(1)与1BB 相等的向量为1AA ，1CC ，1DD.(2)与1BC 方向相反的向量为1C B ，1D A .(3)与1BA 平行的向量为1A B ，1CD ，1DC . 活动与探究2：解：(1)AB ＋BC ＋1CC ＝1AC，如图所示．(2)1AA ＋12AB ＋12AD ＝1AA ＋12(AB ＋AD )＝1AA ＋12(11A B＋11AD )＝1AA ＋1211AC ＝1AA ＋1AE ＝AE，如图所示． 迁移与应用：1 1 1 解析：AC ' ＝AC ＋CC ' ＝AC ＋AA ' ＝AB ＋AD ＋AA '＝12(AB＋AD )＋12(AB ＋AA ' )＋12(AD ＋AA ' )＝12AC ＋12AB ' ＋12AD ' ＝1AO ＋2AO ＋3AO，∴x ＝y ＝z ＝1.活动与探究3：解：由已知可得：ME ＝1MD ＋11D A ＋1A E ＝12BA ＋CB＋131A A＝－NB ＋CB ＋131C C ＝CN＋FC ＝FN ＝－NF .所以ME ＝－NF ，故ME 与NF共线．迁移与应用：(2)(3)(4) 解析：在平行六面体中，AH ∥BG ，AG 与EC 相交，BH 与DF 相交，AC 与HF 异面，因此不共线的向量是(2)(3)(4)．当堂检测1．(1)(2)(3) 解析：a －a ＝0，故(1)错；当|a |＝|－b |时，有|a |＝|b |.但两个向量不一定是相反向量，(2)错；(3)中两向量也可能为相反向量，故(3)错．(4)正确．2．－a ＋b －c 解析：1A B ＝AB－1AA ＝CB －CA －1AA ＝b －a －c ＝－a ＋b －c .3．－1 解析：∵c ，d 不共线，∴c ≠0，且d ≠0.∵a 与b 共线，∴存在实数λ，使得a ＝λb 成立，即k c ＋d ＝λ(c －k 2d )，整理得(k －λ)c ＋(1＋λk 2)d ＝0.∵c ≠0，d ≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧k －λ＝0，1＋λk 2＝0，解得k ＝λ＝－1. 4．12b ＋12c －23a 解析：MN ＝MO ＋ON ＝－OM ＋12(OB ＋OC )＝12b ＋12c －23a . 5．①③④ 解析：①(AB －CB )＋1CC ＝AB ＋BC ＋1CC ＝AC ＋1CC ＝1AC ；②1AA ＋11A D ＋1DC ＝1AA ＋1AC ＝AC； ③(AB ＋1BB )＋11B C ＝1AB ＋11B C ＝1AC ；④(1AA ＋11A B )＋11B C ＝1AB ＋11B C ＝1AC .。

3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量的线性运算教学目标：㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律；㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法；⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．㈢德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物．教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律．教学难点：应用向量解决立体几何问题．教学方法：讨论式．教学过程：Ⅰ.复习引入［师］在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：①用有向线段表示；②用字母a、b等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB．［师］数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下．［生］长度相等且方向相同的向量叫相等向量.［师］学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向量运算：⒈向量的加法：⒉向量的减法：⒊实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|(2)当λ＞0时，λa与a同向；当λ＜0时，λa与a反向；当λ＝0时，λa ＝0.［师］关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？ ［生］向量加法和数乘向量满足以下运算律加法交换律：a ＋b ＝b ＋a加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋（b ＋c ） 数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb［师］今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．请同学们阅读课本P 26～P 27．Ⅱ.新课讲授［师］如同平面向量的概念，我们把空间中具有大小和方向的量叫做向量．例如空间的一个平移就是一个向量．那么我们怎样表示空间向量呢？相等的向量又是怎样表示的呢？［生］与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．起点与重点重合的向量叫做零向量。

3．1.1-2空间向量及其线性运算共面向量定理●三维目标1．知识与技能(1)了解空间向量与平面向量的联系与区别．(2)理解空间向量的线性运算及其性质．(3)理解共面向量定理．2．过程与方法(1)学生通过类比平面向量的学习过程了解空间向量的研究内容和方法，经历向量及其运算由平面向空间的推广，体验数学概念的形成过程．(2)通过类比平面向量基本定理，得出共面向量基本定理，并能利用共面向量基本定理证明向量共面，学会判定与证明向量共面及四点共面的方法．3．情感、态度与价值观逐步培养学生观察、分析、综合和类比能力，会准确地阐述自己的思路和观点，着重培养学生的认知能力．●重点难点重点：了解空间向量与平面向量的联系与区别，理解空间向量的线性运算及其性质．难点：共面向量定理的理解及应用．先回顾平面向量的定义及线性运算法则，类比得出空间向量的有关定义及运算法则，并通过空间图形进行严格的理论验证，从而突出教学重点．对于共面向量定理，完全可由平面向量基本定理类比得出，重在应用其证明共面问题，通过例题，体现向量法证明线线平行、线面平行的方法与步骤，从而突破教学难点．●教学建议本节内容是第三章《空间向量与立体几何》的第一节，由于是起始节，所以这节课中也包含了章引言的内容．章引言中提到了本章的主要内容和研究方法，即类比平面向量来研究空间向量的概念和运算．向量是既有大小又有方向的量，它能像数一样进行运算，本身又是一个“图形”，所以它可以作为沟通代数和几何的桥梁，在很多数学问题的解决中有着重要的应用．本章要学习的空间向量，将为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供一个十分有效的工具．采用的教学方式是通过问题启发引导学生自主完成概念的探究过程，紧紧围绕教学重点展开教学，并从教学过程的每个环节入手，努力突破教学难点．●教学流程回顾平面向量的定义，类比得出空间向量的定义、几何表示、符号表示；找出空间向量与平面向量的区别与联系．⇒回顾平面向量的线性运算法则，得出空间向量的线性运算法则，并通过空间图形加以验证，得出空间向量线性运算满足的运算律．理解单位向量、共线向量、平行向量等概念，理解共线向量定理成立的条件及作用．⇒理解共面向量的定义，区分向量共面与直线共面的区别，理解共面向量定理的内涵，会用共面向量定理证明向量共面，从而证明立体几何问题如共面问题、线面平行问题等．⇒通过例1及变式训练，使学生掌握空间向量的线性运算法则，在常见的立体图形中，灵活的应用三角形和平行四边形法则进行空间向量的运算，实现利用给定向量表示某一向量的目的．⇒通过例2及变式训练，使学生体会共线向量定理的两个应用，正向可用来证明线线平行，逆用可用来求解字母参数，体会向量法解证立体几何问题的步骤与规律．⇒通过例3及变式训练，使学生体会共面向量定理的两个应用，正向可用来证明线面平行，四点共面，逆用可用来求解字母参数，体会向量法解证立体几何问题的步骤与规律．⇒通过易错易误辨析，体会零向量的特殊性，在分析向量间关系及向量运算时，应注意零向量的特殊性．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固基本知识，形成基本能力.课标解读1.了解空间向量与平面向量的联系与区别，理解空间向量的线性运算及其性质，理解共线向量定理．(重点)2．体会共面向量定理的推导过程，掌握共面向量定理，会用共面向量定理判定向量共面，会用共面向量定理，证明线面平行问题．(难点)3．向量共线与共面和直线共线与共面的区别．(易混点)空间向量在空间，把既有大小又有方向的量叫做空间向量．空间向量的线性运算已知空间四边形ABCD，则AB→＋BC→＋CD→＋DA→＝0还成立吗？【提示】成立．根据向量的加法法则，表示相加向量的有向线段依次首尾相接，其和为从第一个向量的首指向最后一个向量的尾，故AB→＋BC→＋CD→＋DA→＝AA→＝0.向量加法可以推广到有限个向量的和，并且可用口诀记忆：首尾首尾首指向尾．空间向量的线性运算定义(或法则)空间向量的数乘空间向量a与一个实数λ的乘积是一个向量，记作λa，满足：大小：|λa|＝|λ||a|.方向：当λ＞0时，λa与a方向相同；当λ＜0时，λa与a方向相反；当λ＝0时，λa＝0.共线向量定理【问题导思】共线向量一定是同一直线上的向量吗？【提示】共线向量不一定是同一直线上的向量，而是表示向量的有向线段只要可以平移到同一直线上即可，因此共线向量也叫平行向量．对空间任意两个向量a，b(a≠0)，b与a共线的充要条件是存在实数λ，使b＝λa.共面向量如果两个向量a、b不共线，那么向量p与向量a、b共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得p＝x a＋y b.空间向量的线性运算图3－1－1如图3－1－1，在长方体ABCD －A′B′C′D′中，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：【思路探究】 观察各式涉及的向量在图形中的位置特点，将减法运算转化为加法运算，利用向量加法的三角形法则即可化简．【自主解答】(3)设M 是线段AC′的中点，则12AD →＋12AB →－12＝12AD →＋12AB →＋12＝12(AD →＋AB →＋)＝12＝AM →.向量，AM →如图所示．1．进行向量的线性运算，实质是进行向量求和，解题时应抓住两条主线：一是基本“形”，通过作出向量，运用平行四边形法则或三角形法则求和；二是基于“数”，熟练掌握AB →＋BC →＝AC →及向量中点公式．2．用已知向量表示空间向量，实质是向量的线性运算的反复应用．图3－1－2如图3－1－2，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别为AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示：(1)AC 1→；(2)AP →； (3)A 1N →；(4)MP →＋NC 1→.【解】 (1)AC 1→＝AB →＋BC →＋CC 1→＝b ＋c ＋a . (2)∵P 为D 1C 1→的中点， ∴D 1P →＝12D 1C 1→＝12AB →＝12b ，∴AP →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →＝a ＋AD →＋12AB →＝a ＋c ＋12b .(3)A 1N →＝A 1A →＋AB →＋BN → ＝－AA 1→＋b ＋12AD →＝－a ＋b ＋12c .(4)∵MP →＝MA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →＝12AA 1→＋AD →＋12AB → ＝12a ＋c ＋12b . NC 1→＝NC →＋CC 1→＝12AD →＋AA 1→＝12c ＋a .∴MP →＋NC 1→＝(12a ＋c ＋12b )＋(12c ＋a )＝32a ＋12b ＋32c .共线向量定理的应用图3－1－3如图3－1－3，已知点E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，其中E ，H 是中点，F ，G 是三等分点，且CF ＝2FB ，CG ＝2GD.试判断四边形EFGH 的形状．【思路探究】 证明向量EH →∥FG →且模不相等． 【自主解答】 ∵E ，H 分别是AB ，AD 的中点， ∴EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12(AD →－AB →)＝12BD →. 又∵CF →＝2FB →，CG →＝2GD →， ∴CF →＝23CB →，CG →＝23CD →，∴FG →＝CG →－CF →＝23CD →－23CB →＝23(CD →－CB →)＝23BD →， ∴BD →＝32FG →，∴EH →＝34FG →，∴EH →∥FG →，|EH →|＝34|FG →|.又点F 不在直线EH 上，∴EH ∥FG ，且EH≠FG ， ∴四边形EFGH 是梯形．1．证明EFGH 为梯形，必须证明两点：①EH →∥FG →； ②|EH →|≠|FG →|.2．利用向量共线可证空间图形中的两直线平行，为向量法证明立体几何问题奠定了基础．设e 1，e 2是空间两个不共线的向量，已知AB →＝e 1＋k e 2，BC →＝5e 1＋4e 2，DC →＝－e 1－2e 2，且A 、B 、D 三点共线，求实数k 的值．【解】 ∵BC →＝5e 1＋4e 2，DC →＝－e 1－2e 2. ∴BD →＝BC →＋CD →＝(5e 1＋4e 2)＋(e 1＋2e 2)＝6e 1＋6e 2. ∵A ，B ，D 三点共线， ∴AB →＝λBD →.∴e 1＋k e 2＝λ(6e 1＋6e 2)．∵e 1，e 2是不共线向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＝6λ ，k ＝6λ ，∴k ＝1.共面向量定理的应用如图3－1－4，直三棱柱ABC －A′B′C′，点M ，N 分别为A′B 和B′C′的中点．证明：MN ∥平面A′ACC′.图3－1－4【思路探究】 利用向量的线性运算得到向量MN →可以由平面A′ACC′内两个不共线的向量表示即可．【自主解答】 因为MN →＝MA′→＋A′N →，且点M ，N 分别为A′B 和B′C′的中点，所以MN →＝12BA′→＋12(A′B′→＋A′C′→)＝12(B′A′→＋AA′→)＋12(A′B′→＋A′C′→)＝12AA′→＋12A′C′→. 因为MN ⊄平面A′ACC′，所以MN ∥平面A′ACC′.1．判断三个向量共面，即利用向量的线性运算实现其中一个向量能用另外两个向量惟一表示．2．利用向量判断线面平行有两种方法：一是利用共线向量定理，找出平面内的一个向量与直线上的向量共线；二是利用共面向量定理，找出平面内不共线的两个向量能表示出直线上的向量．两种方法中注意说明直线不在平面内．已知非零向量e 1，e 2不共线，如果AB →＝e 1＋e 2，AC →＝2e 1＋8e 2，AD →＝3e 1－3e 2，求证：A ，B ，C ，D 四点共面．【证明】 令λ(e 1＋e 2)＋μ(2e 1＋8e 2)＋ν(3e 1－3e 2)＝0， 则(λ＋2μ＋3ν)e 1＋(λ＋8μ－3ν)e 2＝0.∵e 1，e 2不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2μ＋3ν＝0，λ＋8μ－3ν＝0，解得λ＝－5，μ＝1，ν＝1是其中一组解，则AB →＝15AC →＋15AD →，∴A 、B 、C 、D 四点共面.忽略零向量导致错误下列命题：①空间任意两个向量a ，b 不一定是共面的； ②a ，b 为空间两个向量，则|a |＝|b |⇔a ＝b ； ③若a ∥b ，则a 与b 所在直线一定平行； ④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c . 其中错误命题的序号是________． 【错解】 ②【错因分析】 ①空间任意两个向量都是共面的．②向量的模相等时，两个向量不一定相等，还要看向量的方向．③当a ∥b 时，它们所在直线平行或重合．④当b ＝0时，a 与c 不一定平行．【防范措施】 向量的平行(共线)不具备传递性，即若a ∥b ，b ∥c ，不一定有a ∥c ，但当b 为非零向量时，向量平行(共线)具备传递性，即若b ≠0，则当a ∥b ，b ∥c 时，有a ∥c .【正解】 ①②③④1．空间向量是平面向量的拓广和延伸，空间向量的线性运算法则和运算律与平面向量具有可类比性，但空间向量比平面向量应用范围更广泛．2．共线向量定理是判定两向量共线的充要条件，利用共线向量定理可以解决两方面的问题：(1)判定两向量共线；(2)由两向量共线，求待定字母的值．3．共面向量定理是判断三向量共面的理论依据，依此可以证明三向量共面，从而证明四点共面与线面平行问题．1．在空间四边形ABCD 中，AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝______. 【解析】 AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝AC →＋CD →＋DA →＝AD →＋DA →＝0. 【答案】 02．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，化简式子：DA →－DB →＋B 1C →－B 1B →＋CB 1→－CB →＝________.【解析】 DA →－DB →＋B 1C →－B 1B →＋CB 1→－CB →＝BA →＋BC →＋BB 1→＝BD →＋BB 1→＝BD 1→. 【答案】 BD 1→3．有下列命题：①平行于同一直线的向量是共线向量；②平行于同一平面的向量是共面向量；③平行向量一定是共面向量；④共面向量一定是平行向量．其中正确的命题有________．【解析】 “共面向量一定是平行向量”不正确，即共面向量不一定共线．①②③均正确． 【答案】 ①②③图3－1－54．如图3－1－5，在空间四边形ABCD 中，E 、F 为AB 、CD 的中点，试证EF →，BC →，AD →共面．【证明】 空间四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、CD 上的点，利用多边形加法法则可得⎭⎪⎬⎪⎫EF →＝EA →＋AD →＋DF →，EF →＝EB →＋BC →＋CF →.①又E 、F 分别是AB 、CD 的中点，故有EA →＝－EB →，DF →＝－CF →.②将②代入①中，两式相加得 2EF →＝AD →＋BC →. 所以EF →＝12AD →＋12BC →，即EF →与BC →、AD →共面．一、填空题1．下列命题中真命题的个数是________． ①空间中任两个单位向量必相等；②将空间中所有的单位向量移到同一起点，则它们的终点构成一个圆； ③若两个非零向量a ，b 满足a ＝k b ，则a ，b 同向； ④向量共面即它们所在的直线共面．【解析】 ①是假命题，单位向量模相等，但方向不一定相同，因此空间中任两个单位向量不一定相等；②是假命题，将空间中所有的单位向量移到同一起点，则它们的终点构成一个球面； ③是假命题，当k>0时，a ，b 同向，当k<0时，a ，b 反向；④是假命题，表示共面向量的有向线段所在的直线可以“平移”(平行移动)到同一平面，但不一定共面．【答案】 02．平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 和BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则B 1M →＝________.【解析】 B 1M →＝B 1B →＋BM →＝c ＋12BD →＝c ＋12B 1D 1→＝c ＋12b －12a ＝－12a ＋12b ＋c .【答案】 －12a ＋12b ＋c3．非零向量e 1、e 2不共线，若k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，则k ＝________. 【解析】 若k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，则 k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，λk ＝1，∴k ＝±1. 【答案】 ±14．空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA →上，且OM →＝2MA →，N 为BC 的中点，则MN →＝________.(用a ，b ，c 表示)【解析】 如图， MN →＝ON →－OM → ＝12(OB →＋OC →)－23OA → ＝12(b ＋c )－23a ＝－23a ＋12b ＋12c .【答案】 －23a ＋12b ＋12c5．如图3－1－6，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算的结果为BD 1→的是________．图3－1－6①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →；②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→； ③(AD →－AB →)－2DD 1→；④(B 1D 1→－A 1A →)＋DD 1→.【解析】 (A 1D 1→－A 1A →)－AB →＝AD 1→－AB →＝BD 1→，(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→＝BC 1→＋C 1D 1→＝BD 1→.【答案】 ①② 6．有四个命题：①若p ＝x a ＋y b ，则p 与a ，b 共面； ②若p 与a ，b 共面，则p ＝x a ＋y b ；③若MP →＝xMA →＋yMB →，则P 、M 、A 、B 共面； ④若P 、M 、A 、B 共面，则MP →＝xMA →＋yMB →. 其中真命题是________(填序号)．【解析】 由共面向量定理知，①真；若p 与a ，b 共面，当a 与b 共线且p 与a 和b 不共线时，就不存在实数组(x ，y)使p ＝x a ＋y b 成立，故②假．同理③真，④假．【答案】 ①③7．在下列各式中，使P ，A ，B ，C 四点共面的式子的序号为________． ①OP →＝OA →－OB →－OC →； ②OP →＝17OA →＋14OB →＋12OC →；③PA →＋PB →＋PC →＝0； ④OP →＋OA →＋OB →＋OC →＝0； ⑤OP →＝12OA →－OB →＋32OC →.【解析】 根据四点共面的充要条件，易知①②④不适合，③⑤适合． 【答案】 ③⑤8．已知点G 是△ABC 的重心，O 是空间任一点，若OA →＋OB →＋OC →＝λOG →，则λ＝________.【解析】 如图，取AB 的中点D ， OG →＝OC →＋CG → ＝OC →＋23CD →＝OC →＋23·12(CA →＋CB →)＝OC →＋13＝13OA →＋13OB →＋13OC →. ∴OA →＋OB →＋OC →＝3OG →. 【答案】 3二、解答题图3－1－79．如图3－1－7，已知平行六面体ABCD －A′B′C′D′，M 是线段CC′的中点，G 是线段AC′的三等分点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：(1)AB →＋BC →； (2)AB →＋AD →＋AA′→； (3)AB →＋AD →＋12CC′→；(4)13(AB →＋AD →＋AA′→)．【解】 (1)AB →＋BC →＝AC →.(2)AB →＋AD →＋AA′→＝AC →＋AA′→＝AC →＋CC′→＝AC′→. (3)AB →＋AD →＋12CC′→＝AB →＋BC →＋CM →＝AC →＋CM →＝AM →.(4)13(AB →＋AD →＋AA′→)＝13AC′→＝AG →. 向量AC →，AC′→，AM →，AG →如图所示．10．如图3－1－8所示，四边形ABCD 、ABEF 都是平行四边形且不共面，M 、N 分别是AC 、BF 的中点，判断CE →与MN →是否共线．图3－1－8【解】 ∵M 、N 分别是AC 、BF 的中点，四边形ABCD 、ABEF 都是平行四边形， ∴MN →＝MA →＋AF →＋FN →＝12CA →＋AF →＋12FB →，MN →＝MC →＋CE →＋EB →＋BN →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →，∴12CA →＋AF →＋12FB →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →， ∴CE →＝CA →＋2AF →＋FB →＝2(MA →＋AF →＋FN →)＝2MN →， ∴CE →∥MN →，即CE →与MN →共线．图3－1－911．如图3－1－9，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，EF ∥AB ，AB ＝2EF ，H 为BC 的中点．求证：FH ∥平面EDB.【证明】 因为H 为BC 的中点，所以FH →＝12(FB →＋FC →)＝12(FE →＋EB →＋FE →＋ED →＋DC →)＝12(2FE →＋EB →＋ED →＋DC →)．因为EF ∥AB ，CD ∥AB ，且AB ＝2EF ，所以2FE →＋DC →＝0，所以FH →＝12(EB →＋ED →)＝12EB→＋12ED →. 因为EB →与ED →不共线，由共面向量定理知，FH →，EB →，ED →共面． 因为FH ⊄平面EDB ，所以FH ∥平面EDB.已知A 、B 、M 三点不共线，对于平面ABM 外的任一点O ，确定下列各条件下，点P 是否与A 、B 、M 一定共面．(1)OB →＋OM →＝3OP →－OA →； (2)OP →＝4OA →－OB →－OM →.【思路探究】 判断点P 是否在平面MAB 内，可先看MP →能否用向量MA →、MB →表示．当MP →能用MA →、MB →表示时，点P 位于平面MAB 内，否则点P 不在平面MAB 内．【自主解答】 (1)原式可变形为 OP →＝OM →＋(OA →－OP →)＋(OB →－OP →) ＝OM →＋PA →＋PB →，∴OP →－OM →＝PA →＋PB →， ∴PM →＝－PA →－PB →，∴P 与M 、A 、B 共面． (2)原式可变形为OP →＝2OA →＋OA →－OB →＋OA →－OM →＝2OA →＋BA →＋MA →， ∴AP →＝－AO →－AB →－AM →，表达式中还含有AO →， ∴P 与A 、B 、M 不共面．1．解答本题中注意构造以P 、A 、B 、M 中某一点为起点，另三点为终点的三个向量来判断此三向量是否共面，若共面又共起点，此四点必共面，否则不共面．2．要证四点共面，可先作从同一点出发的三个向量，由向量共面推知点共面，应注意待定系数法的应用．已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点M 满足OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →.(1)判断MA →、MB →、MC →三个向量是否共面； (2)判断点M 是否在平面ABC 内．【解】 (1)∵OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →，∴13(OA →－OM →)＋13(OB →－OM →)＋13(OC →－OM →)＝0， ∴MA →＋MB →＋MC →＝0， ∴MA →＝－MB →－MC →，∴MA →、MB →、MC →三个向量是共面向量． (2)由(1)知MA →、MB →、MC →三个向量共面， 又有共同起点M ，所以M 、A 、B 、C 四点共面， 即点M 在平面ABC 内．。

空间向量及其运算知识网络空间向量及其运算结构简图画龙点晴概念空间向量: 在空间, 具有大小和方向的量叫做向量. 同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量.空间向量的加法、减法和数乘向量运算：与平面向量一样，空间向量的加法、减法和向量数乘运算如下：b a AB OA OB +=+=； b a OB OA BA -=-=；).(R a OP ∈=λλ空间向量的加法、减法和数乘向量运算满足以下运算律： 加法交换律：a b b a +=+； 加法结合律：);()(c b a c b a ++=++ 数乘分配律：b a b a λλλ+=+)(.[活用实例][例1]如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M 为AC 与BD 的交点，若a B A =11，c AA b D A ==111，，则下列向量中与M B 1相等的向量是（ ） A ．-c b a ++2121 B. c b a ++2121 C. c b a +-2121 D. -c b a +-2121 [题解]M B 1=BM BB +1==-+=-+=-+)(21)(21)(21111111a b c B A D A AA AB AD AA -c b a ++2121.故选 A.共线向量: 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合, 则这些向量叫做共线向量或平行向量.a 平行b 记作b a ||. 定理共线向量定理: 对于任意两个向量)0(,≠b b a ,b a ||的充要条件是存在实数λ, 使b a λ=.推论: 如果 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线, 那么对任意一点O, 点P 在直线 上的充要条件为存在非零实数t , 使a t OA OP +=, 此式也叫做空间直线的向量的参数表示式.概念向量与平面平行: 已知平面α与向量a , 作a OA =,如果直线OA 平行于平面α或在平面α内, 则称向量a 平行于平面α, 记为α||a .共面向量: 平行于同一平面的向量称为共面向量.定理共面向量的定理: 如果两个向量b a ,不共线, 则向量p 与向量b a ,共面的充要条件是存在实数y x ,使b y a x p +=.推论: 空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是: 存在有序实数对y x ,使MB y MA x MP +=或对空间任一点O, 有MB y MA x OM OP ++=.空间向量基本定理: 如果向量c b a ,,不共面, 那么对空间任意一个向量p , 存在一个唯一的有序数组D 1A 1AB 1C 1M B Dz y x ,,使c z b y a x p ++=. 把{c b a ,,}叫做空间的一个基底, c b a ,,都叫做基向量.推论: 设O,A,B,C 是不共面的四点, 则对空间任一点P 都存在的三个有序实数z y x ,,使.OC z OB y OA x OP ++=概念空间两个向量的数量积: 已知空间两个向量,,b a 则><⋅b a b a ,cos ||||叫做向量b a ,的数量积, 记作.b a ⋅ 即=⋅b a ><⋅b a b a ,cos ||||.正射影: 已知a AB =和轴 , e 是 是与 同方向的单位向量, 作点A 在 上的射影A/, 作点B 在 上的射影B/, 则//B A 叫做AB 在轴 上或在e 方向上的正射影, 简称射影, A/B/=|//B A |.,cos e a e a ⋅>=<空间向量数量积所具有的性质: (1) =⋅e a ||a ><e a ,cos ; (2)0=⋅⇔⊥b a b a ; (3).||2a a a ⋅= 空间向量数量积满足的定律: (1))()(b a b a ⋅=⋅λλ; (2)a b b a ⋅=⋅; (3)+⋅b a (=)c c a b a ⋅+⋅.公式向量的直角坐标运算: 设},,{},,,{321321b b b b a a a a ==,则 },,(332211b a b a b a b a +++=+;},,(332211b a b a b a b a ---=-;},,(321a a a a λλλλ=;332211b a b a b a b a ++=⋅;||a ⇔b 332211,,b a b a b a λλλ===;0332211=++⇔⊥b a b a b a b a .设A B c b a },,,{111},,{222c b a , 则AB =}.,,{},,{},,{121212111222c c b b a a c b a c b a ---=-即一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个有向线段的终点减去起点坐标. 夹角和距离公式: 设},,{},,,{321321b b b b a a a a ==,则|232221|a a a a ++==;|232221|b b b b ++==;232221232221332211,cos b b b a a a b a b a b a b a ++⋅++++>=<.设A B c b a },,,{111},,{222c b a , 则|AB|=.)()()(221221221c c b b a a -+-+-=[活用实例][例2] 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD 是边长为a 的正方形, 侧棱AA1的长为b ,且AA1和AB 、AD 的夹角都等于1200，求对角线AC1的长，以及直线BD1和AC 夹角的余弦。

3．1空间向量及其运算_3．1.1空间向量及其线性运算[对应学生用书P48]春节期间，我国南方遭受了寒潮袭击，大风降温天气频发，已知某人某天骑车以a km/h 的速度向东行驶，感到风是从正北方向吹来．问题：某人骑车的速度和风速是空间向量吗？提示：是．1．空间向量(1)定义：在空间中，既有大小又有方向的量，叫做空间向量．(2)表示方法：空间向量用有向线段表示，并且空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．2．相等向量凡是方向相同且长度相等的有向线段都表示同一向量或者相等向量.问题1：如何进行平面向量的加法、减法及数乘运算．提示：利用平行四边形法则、三角形法则等．问题2：平面向量的加法及数乘向量满足哪些运算律？提示：交换律、结合律、分配律．1．空间向量的加减运算和数乘运算OB＝OA＋AB＝a＋b，BA＝OA－OB＝a－b，OC＝λa(λ∈R)．2．空间向量的加法和数乘运算满足如下运算律(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；(3)分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb(λ∈R).空间中有向量a，b，c(均为非零向量)．问题1：向量a与b共线的条件是什么？提示：存在惟一实数λ，使a＝λb.问题2：空间中任意两个向量一定共面吗？任意三个向量呢？提示：一定；不一定．1．共线向量或平行向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．向量a与b平行，记作a∥b.规定，零向量与任何向量共线．2．共线向量定理对空间任意两个向量a，b(a≠0)，b与a共线的充要条件是存在实数λ，使b＝λa.1．空间向量的加法满足平行四边形和三角形法则．2．空间向量的数乘运算是线性运算的一种，结果仍是一个向量，方向取决于λ的正负，模为原向量模的|λ|倍．3．两向量共线，两向量所在的直线不一定共线，可能平行．[对应学生用书P49][例1]下列四个命题：(1)所有的单位向量都相等；(2)方向相反的两个向量是相反向量；(3)若a、b满足|a|>|b|，且a、b同向，则a>b；(4)零向量没有方向．其中不正确的命题的序号为________．[思路点拨]根据空间向量的概念进行逐一判断，得出结论．[精解详析]对于(1)：单位向量是指长度等于1个单位长度的向量，而其方向不一定相同，它不符合相等向量的定义，故(1)错；对于(2)：长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故(2)错；对于(3)：向量是不能比较大小的，故不正确；对于(4)：零向量有方向，只是没有确定的方向，故(4)错．[答案](1)(2)(3)(4)[一点通]1．因为空间任何两个向量都可以平移到同一平面上，故空间的两个向量间的关系都可以转化为平面向量来解决．2．对于有关向量基本概念的考查，可以从概念的特征入手，也可以通过举出反例而排除或否定相关命题。

数学选修2-1--3.1空间向量及其运算教案第三章 空间向量与立体几何 课标要求1、了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算及坐标表示2、掌握空间向量的数量积及其坐标运算，会判断向量的共线（平行）与垂直3、能用向量方法证明线面位置关系的一些定理，能用向量方法解决线线、线面、面面夹角的计算问题。

4、体会向量方法在研究几何问题中的作用。

§3.1空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算师：这节课我们学习空间向量及其加减运算，请看学习目标。

学习目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法；⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．师：在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了平面向量的一些知识，现在我们一起来复习。

（不要翻书）（在黑板或背投上呈现或边说边写）1、 在平面中，我们把具有__________________的量叫做平面向量；2、 平面向量的表示方法： 课标要求1、经历向量及其运算由平面向空间推广的过程。

层次：2.12、了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。

层次：1.1 1.1 1.33、掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。

层次：1.34、掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。

层次：1.3 1.2 学习目标1、类比平面向量掌握空间向量的线性运算及坐标运算 层次：1.2 1.32、掌握空间向量的数量积及坐标形式，并能运用它判断向量的共线与垂直 层次：1.3 1.2重点空间向量的线性运算及坐标运算 难点空间向量的数量积，并用其判断向量的共线与垂直 课时5课时 教具 背投、电脑①几何表示法：_________________________②字母表示法：_________________________（注意：向量手写体一定要带箭头）3、平面向量的模表示_________________，记作____________4、一些特殊的平面向量：①零向量：__________________________，记作___（零向量的方向具有任意性）②单位向量：______________________________（强调：都只限制了大小，不确定方向）③相等向量：____________________________④相反向量：____________________________5、平面向量的加法：6、平面向量的减法：7、平面向量的数乘：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|(2)当λ＞0时，λa与a同向；当λ＜0时，λa与a反向；当λ＝0时，λa＝0.8、向量加法和数乘向量满足以下运算律加法交换律：a＋b＝b＋a加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c）数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb数乘结合律：λ（aμ）=a)(λμ[师]：刚才我们复习了平面向量，那空间向量会是怎样，与平面向量有怎样的区别和联系呢?请同学们阅读书P84-P86.（5分钟）[师]：对比平面向量，我们得到空间向量的相关概念。

3．1 空间向量及其运算 3．1.1 空间向量及其线性运算[学习目标] 1.掌握空间向量相关的概念，几何表示法、字母表示法.2.掌握空间向量的加减运算及运算律.3.借助图形理解空间向量加减运算及其运算律的意义．[知识链接]观察正方体中过同一个顶点的三条棱所表示的三个向量OA →，OB →，OC →，它们和以前所学的向量有什么不同？(如图)答：OA →，OB →，OC →是不同在一个平面内的向量，而我们以前所学的向量都在同一平面内． [预习导引] 1．空间向量的概念在空间中，既有大小又有方向的量叫做空间向量，向量的大小叫向量的长度或模． 2．空间向量的加减法 (1)加减法定义空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法．(如图) OB →＝OA →＋AB →＝a ＋b ； CA →＝OA →－OC →＝a －b . (2)运算律交换律：a ＋b ＝b ＋a ；结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )． 3．空间向量的数乘运算 (1)定义实数λ与空间向量a 的乘积λa 仍是一个向量，称为向量的数乘运算．当λ>0时，λa 与a 方向相同；当λ<0时，λa 与a 方向相反；当λ＝0时，λa ＝0.λa 的长度是a 的长度的|λ|倍．如图所示．(2)运算律分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb ； 结合律：λ(μa )＝(λμ)a . 4．共线向量定理 (1)共线向量的定义与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作a ∥b . (2)充要条件对于空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，b 与a 共线的充要条件是存在实数λ，使b ＝λa .要点一 空间向量的概念 例1 判断下列命题的真假．(1)空间向量就是空间中的一条有向线段； (2)不相等的两个空间向量的模必不相等；(3)两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； (4)向量BA →与向量AB →的长度相等．解 (1)假命题，有向线段只是空间向量的一种表示形式，但不能把二者完全等同起来． (2)假命题，不相等的两个空间向量的模也可以相等，只要它们的方向不相同即可．(3)假命题，当两个向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，但两个向量相等却不一定有相同的起点和终点．(4)真命题，BA →与AB →仅是方向相反，它们的长度是相等的．规律方法 在空间中，平行向量、向量的模、相等向量的概念和平面向量完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等． 跟踪演练1 给出以下命题：①若空间向量a ，b ，c 满足a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ； ②若空间向量a 、b 满足|a |＝|b |，则a ＝b ；③在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，必有AC →＝A 1C 1→； ④若空间向量m 、n 、p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ； ⑤空间中任意两个单位向量必相等． 其中不正确命题的个数是________． 答案 3解析 因为0平行于任意向量，若b ＝0则a 与c 不一定平行，故①错；根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量a 与b 的方向不一定相同，故②错；根据正方体的性质，在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，向量AC →与A 1C 1→的方向相同，模也相等，应有AC →＝A 1C 1→，故③正确；命题④显然正确；对于命题⑤，空间中任意两个单位向量模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错． 要点二 空间向量的线性运算例2 如图所示，已知长方体ABCDA ′B ′C ′D ′，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量： (1)AA ′→－CB →；(2)AB ′→＋B ′C ′→＋C ′D ′→； (3)12AD →＋12AB →－12A ′A →. 解 (1)AA ′→－CB →＝AA ′→＋BC →＝AA ′→＋A ′D ′→＝AD ′→. (2)AB ′→＋B ′C ′→＋C ′D ′→＝AD ′→.(3)连结AC ′，设M 是线段AC ′的中点，则12AD →＋12AB →－12A ′A →＝12AD →＋12AB →＋12AA ′→＝12(AD→＋AB →＋AA ′→)＝12AC ′→＝AM →.向量AD ′→、AM →如图所示．规律方法 化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则，遇到减法时既可转化成加法，也可按减法法则进行运算．加减法之间可以转化．表达式中各向量的系数相等时，根据数乘分配律，可以把相同的系数提到括号外面．跟踪演练2 已知平行六面体ABCDA ′B ′C ′D ′，点M 是棱AA ′的中点，点G 在对角线A ′C 上且CG ∶GA ′＝2∶1，设CD →＝a ，CB →＝b ，CC ′→＝c ，试用向量a 、b 、c 表示向量CA →、CA ′→、CM →、CG →.解 如图所示，CA →＝CB →＋CD →＝a ＋b ； CA ′→＝CA →＋CC ′→＝a ＋b ＋c ； CM →＝CA →＋AM → ＝CB →＋CD →＋12CC ′→＝a ＋b ＋12c ；CG →＝23CA ′→＝23(a ＋b ＋c )．要点三 空间向量的共线问题例3 设e 1、e 2是平面上不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，若A 、B 、D 三点共线，求k 的值．解 ∵BD →＝CD →－CB →＝e 1－4e 2，AB →＝2e 1＋k e 2， 又A 、B 、D 三点共线，由共线向量定理得12＝－4k ，∴k ＝－8.规律方法 灵活应用共线向量定理，正确列出比例式．跟踪演练3 设两非零向量e 1、e 2不共线，AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3(e 1－e 2)．试问：A 、B 、D 是否共线，请说明理由． 解 ∵BD →＝BC →＋CD →＝(2e 1＋8e 2)＋3(e 1－e 2)＝5(e 1＋e 2)， ∴BD →＝5AB →，又∵B 为两向量的公共点， ∴A 、B 、D 三点共线．1．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，与向量AD →相等的向量共有________个． 答案 3解析 与AD →相等的向量有A 1D 1→，BC →，B 1C 1→，共3个．2．设M 是△ABC 的重心，记BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，则AM →等于________． 答案c －b3解析 AM →＝23·AC →＋AB →2＝13(c －b )．3．在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，模与向量A ′B ′→的模相等的向量有________个． 答案 7解析 |D ′C ′→|＝|C ′D ′→|＝|DC →|＝|CD →|＝|BA →|＝|AB →| ＝|B ′A ′→|＝|A ′B ′→|.4．在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，已知下列各式：①(AB →＋BC →)＋CC 1→；②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→；③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→；④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→.其中运算的结果为AC 1→的有________个． 答案 4解析 根据空间向量的加法运算以及正方体的性质逐一进行判断：①(AB →＋BC →)＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→；②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→＝AD 1→＋D 1C 1→＝AC 1→；③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→；④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→.所以4个式子的运算结果都是AC 1→.1.空间向量的概念和平面向量类似，向量的模，零向量，单位向量，相等向量等都可以结合平面向量理解．2．向量可以平移，任意两个向量都是共面向量．因此空间两个向量的加减法运算和平面向量完全相同，可以利用平行四边形法则和三角形法则来进行．3．空间向量的数乘运算和平面向量完全相同；利用数乘运算可判定两个向量共线．一、基础达标1．下列命题中，假命题是________．①若AB →与CD →共线，则A 、B 、C 、D 不一定在同一直线上；②空间中，把所有单位向量的起点移到同一个点上，则终点形成一个球面； ③只有零向量的模等于0； ④共线的单位向量都相等． 答案 ④解析 容易判断④是假命题，共线的单位向量是相等向量或相反向量． 2．已知空间四边形ABCD 中，AB →＝a ，BC →＝b ，AD →＝c ，则CD →等于________． 答案 c －a －b解析 如图，∵AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0. 即a ＋b ＋CD →－c ＝0， ∴CD →＝c －a －b . 3．给出下列命题：①向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； ③两个有公共终点的向量，一定是共线向量； ④有向线段就是向量，向量就是有向线段． 其中假命题的个数为________． 答案 3解析 ①假命题，若a 与b 中有一个为零向量时，其方向是不确定的；②真命题；③假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反；④假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段．4．已知平行四边形ABCD 的对角线交于点O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则BC →等于________． 答案 －a －b解析 如图，∵OA →＝a ，OB →＝b ， ∴BO →＝－b ，OC →＝－a ， ∴BC →＝BO →＋OC →＝－b －a .5．下列条件，能说明空间不重合的A 、B 、C 三点共线的是________． ①AB →＝CD → ②AB →＝BC → ③AC →＝BD → ④BC →＝AD → 答案 ②解析 由AB →＝BC →知AB →与BC →共线，又因有一共同的点B ，故A 、B 、C 三点共线． 6.如图所示，空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 中点，则MN →等于____________________． 答案 －23a ＋12b ＋12c解析 由向量加法法则可知MN →＝MO →＋ON →＝－23OA →＋12(OB →＋OC →)＝－23a ＋12(b ＋c )＝－23a ＋12b＋12c .7．如图，在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是AB 、B 1C 的中点．如何用AB →、AD →、AA 1→表示向量MN →？ 解 MN →＝MB →＋BC →＋CN → ＝12AB →＋AD →＋12(CB →＋BB 1→) ＝12AB →＋AD →＋12(－AD →＋AA 1→) ＝12AB →＋12AD →＋12AA 1→. 二、能力提升8．如图，在四棱柱的上底面ABCD 中，AB →＝DC →，则下列向量相等的是________．①AD →与CB → ②OA →与OC → ③AC →与DB → ④DO →与OB → 答案 ④解析 ∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|，AB ∥DC ，即四边形ABCD 为平行四边形，由平行四边形的性质知，DO →＝OB →.9．如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B →＝____________. 答案 －a ＋b －c 解析 A 1B →＝A 1A →＋AB →＝C 1C →＋(CB →－CA →)＝－CC 1→＋CB →－CA →＝－c ＋b －a .10．如图，在三棱锥A －BCD 中，若△BCD 是正三角形，E 为其重心，则AB →＋12BC →－32DE →－AD →化简的结果为________．答案 0解析 延长DE 交边BC 于点F ，则AB →＋12BC →＝AF →，32DE →＋AD →＝AD →＋DF→＝AF →，故AB →＋12BC →－32DE →－AD →＝0.11.如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，M 是BB 1的中点．化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量： (1)CB →＋BA 1→； (2))AC →＋CB →＋12AA 1→；(3)AA 1→－AC →－CB →. 解 (1))CB →＋BA 1→＝CA 1→.(2)因为M 是BB 1的中点，所以BM →＝12BB 1→.又AA 1→＝BB 1→，所以AC →＋CB →＋12AA 1→＝AB →＋BM →＝AM →.(3)AA 1→－AC →－CB →＝CA 1→－CB →＝BA 1→. 向量CA 1→，AM →，BA 1→如图所示．12．如图所示，已知空间四边形ABCD ，连结AC ，BD ，E ，F ，G 分别是BC ，CD ，DB 的中点，请化简 (1)AB →＋BC →＋CD →；(2)AB →＋GD →＋EC →，并标出化简结果的向量． 解 (1)AB →＋BC →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →. (2)∵E ，F ，G 分别为BC ，CD ，DB 的中点， ∴BE →＝EC →，EF →＝GD →. ∴AB →＋GD →＋EC → ＝AB →＋BE →＋EF →＝AF →.故所求向量AD →，AF →如图所示． 三、探究与创新13．如图，设O 为▱ABCD 所在平面外任意一点，E 为OC 的中点，若AE →＝12OD →＋xOB →＋yOA →，求x ，y 的值．解 ∵AE →＝AB →＋BC →＋CE →＝OB →－OA →＋OC →－OB →－12OC →＝－OA →＋12OC →＝－OA →＋12(OD →＋DC →)＝－OA →＋12(OD →＋AB →)＝－OA →＋12OD →＋12(OB →－OA →)＝－32OA →＋12OD →＋12OB →，∴x ＝12，y ＝－32.。

第3章 空间向量与立体几何第1课时 空间向量及其线性运算1．下列等式中正确的是____．（填序号）①0a a +=；②a b b a +=+；③0AB BA +=u u u r u u u r ；④AC DC AB BD =++u u u r u u u r u u u r u u u r ．[来源:ZXXK]2．给出下列命题：①向量AB u u u r 的长度与向量BA u u u r 的长度相等；②若向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；③两个有共同起点并且长度相等的终点必相同；④两个有共同终点的向量一定是共线向量；⑤若向量AB u u u r 与向量CD uuu r 是共线向量，则点A ，B ，C ，D 必在同一条直线上；⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中假命题有____个．[来源:]导学过程【例1】（教材第82页例1）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，M 是1BB 的中点，化简下列各式，并在途中标出化简得到的向量．（1）1CB BA +u u u r u u u r ；（2）112AC CB AA ++u u u r u u u r u u u r ；（3）1AA AC BC --u u u r u u u r u u u r ． （例1）【例2】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是上底面1111A B C D 的中心．若1AE mAB nAD AA =++u u u r u u u r u u u r u u u r ，求m ，n 的值．（例2）【例3】设1e ，2e 是空间两个不共线的向量，已知12AB e ke =+u u u r ，1254BC e e =+u u u r ，122DC e e =--u u u r ，且A ，B ，D 三点共线，求实数k 的值．[来源:]课堂练习1．化简：____AB CD BC DA +++=u u u r u u u r u u u r u u u r ．2．下列等式中正确的有____．（填序号）3．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，G 为1A BD ∆的重心．设AB a =u u u r ，AD b =u u u r ，1AA c =u u u r ，试用a ，b ，c 表示AG u u u r． （第3题）[来源:学。