空间向量及其线性运算 预习案

3.1.1空间向量的线性运算学习目标：1.了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算及其性质；2.理解空间向量共线的充要条件 ;3.运用类比方法，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程. 学习过程： 一.问题情境由于实际问题的需要,在必修4中,我们学习了平面向量,研究了平面向量的概念、运算及其性质,进而解决了平面上有关点,线的位置关系及度量问题. 但向量未必都在同一平面内,如下问题:已知物体受三个大小都为1000N 的力F 1 ，F 2，F 3， 且这三个力两两之间的夹角都为60°，则物体所受的合力为多少？ 是否为F 1→+F 2→+F 3→?此问题中,三个向量不在同一平面内,问题不好直接用平面向量来解决,为此需要将向量由平面向空间推广! 二.数学理论1.平面向量与空间向量的有关概念(1)在平面上，我们把既有大小又有方向的量叫做平面向量.平面上的向量一般用有向线段表示,同向等长的有向线段表示同一或相等的向量. 长度为0的向量叫零向量，记作0，0的方向是任意的； 长度为1个单位长度的向量，叫单位向量；方向相反但模相等的向量叫做相反向量;向量a 的相反向量记作－a ．方向相同或相反的非零向量叫做平行向量(共线向量)，规定0与任一向量平行； 记作：a ∥b ，0∥a ．由向量的实际背景,平面向量的有关概念都可以移植到空间中 (2)空间向量的有关概念：在空间，我们把既有大小又有方向的量叫做空间向量.空间向量一般用有向线段表示.同向等长的有向线段表示同一或相等的向量. 在空间中，长度为0的向量叫零向量，记作0，0的方向是任意的； 长度为1个单位长度的向量，叫单位向量；方向相反但模相等的向量叫做相反向量;向量a 的相反向量记作－a ．方向相同或相反的非零向量叫做平行向量(共线向量)，规定0与任一向量平行； 记作：a ∥b ，0∥a ．2.平面向量与空间向量的线性运算我们现在研究的是自由向量,大小相等方向相同的向量是相等向量,而与它们的起点无关. 所以任意两个空间向量都可以平移到同一平面内因此,空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示.这样,空间两个向量的线性运算的意义与平面向量完全一样.已知空间向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b .由O ，A ，B 三点确定一个平面或共线可得，空间任意两个向量都可以用同一平面内的两个有向线段来表示.空间向量的加法、减法与数乘运算的意义如下（如图）OB →＝OA →＋AB →＝a ＋b （三角形法则） OC →＝OA →＋OB →＝a ＋b （平行四边形法则） BA →＝OA →－OB →＝a －b OP →＝λa (λ∈R )平面向量的线性运算满足下列运算律 运算律：⑴加法交换律：a ＋b ＝b ＋a⑵加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c ) ⑶数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb (λ∈R ) 那么,空间向量的运算是否仍满足上述规律?(1),(3)中只涉及两个向量,显然满足,但(2)中涉及三个向量,在空间中是否成立? 这一规律关系到空间中三个向量和的定义问题? 结合律的验证：三个向量中有共线向量时规律显然成立. 平面向量共线的充要条件在空间也是成立的 3．共线向量定理：共线向量定理：空间任意两个向量a ,b (a ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使b ＝λa . 三.数学运用 例1. 如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，M 是BB 1的中点， 化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量： (1)CB →＋BA 1→; (2)AC →＋CB →＋12AA 1→;(3)AA 1→－AC →－CB → 【解】(1)CB →＋BA 1→＝CA 1→(2)因为M 是BB 1的中点, 所以BM →＝12BB 1→，AC →＋CB →＋12AA 1→又AA 1→＝BB 1→，所以AC →＋CB →＋12AA 1→＝AB →＋BM →＝AM →.(3)AA 1→－AC →－CB →＝CA 1→－CB →＝BA 1→. 例2.如图，在长方体OADB -CA ’D’B’中，OA ＝3,OB ＝4,OC ＝2,OI ＝OJ ＝OK ＝1,，点E ,F 分别是DB ,D ’B ’的中点，设OI →＝i , OJ →＝j , OK →＝k , ,试用向量i , j , k 表示OE →和OF →.【解】∵BD →＝OA →＝3OI →＝3i ，∴BE →＝12BD →＝32 i .又OB →＝4OJ →＝4j ,∴OE →＝OB →＋BE →＝32i ＋4j .∵EF →＝ BB ’→＝OC →＝2k ，∴OF →＝OE →＋EF →＝32 i ＋4j ＋2k .例3.已知平行六面体ABCD -ABCD .求证：AC →＋ AB ’→＋ AD ’→＝2 AC ’→.证明：∵平行六面体的六个面均为平行四边形， ∴AC →＝AB →＋AD →， AB ’→＝AB →＋ AA ’→， AD ’→＝AD →＋ AA ’→，∴AC →＋ AB ’→＋ AD ’→＝(AB →＋AD →)＋(AB →＋ AA ’→) +(AD →＋ AA ’→)＝2(AB →＋AD →＋ AA ’→). 又∵ AA ’→＝ CC ’→，AD →＝BC →，∴AB →＋AD →＋ AA ’→＝AB →＋BC →＋ CC ’→＝AC →＋ CC ’→＝ AC ’→， ∴AC →＋ AB ’→＋ AD ’→＝2 AC ’→. 【课堂练习】一、基础过关 1．下列说法正确的是( )A ．在平面内共线的向量在空间不一定共线B ．在空间共线的向量在平面内不一定共线C ．在平面内共线的向量在空间一定不共线D ．在空间共线的向量在平面内一定共线2．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO →＋OB →＝DO →＋OC →，则四边形ABCD 是( )A ．空间四边形B ．平行四边形C ．等腰梯形D ．矩形3．已知空间四边形ABCD ，M 、G 分别是BC 、CD 的中点，连接AM 、AG 、MG ，则AB →＋12(BD →＋BC →)等于( )A.AG →B.CG →C.BC →D.12BC →4．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，给出以下向量表达式：①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →；②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→；③(AD →－AB →)－2DD 1→；④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→.其中能够化简为向量BD 1→的是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④ 5．如图，空间四边形OABC ，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在 OA 上，且OM ＝2MA ，N 是BC 的中点，则MN →等于( ) A.12a －23b ＋12c B ．－23a ＋12b ＋12cC.12a ＋12b －23cD.23a ＋23b －12c 6．已知向量AB →，AC →，BC →满足|AB →|＝|AC →|＋|BC →|，则( )A.AB →＝AC →＋BC →B.AB →＝－AC →－BC →C.AC →与BC →同向D.AC →与CB →同向7．化简：(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝________.8．在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则B 1M →＝____________. 9.如图，设O 为▱ABCD 所在平面外任意一点，E 为OC 的中点．若 AE →＝12OD →＋xOB →－32OA →，则x ＝________.二、能力提升 10.如图，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是CC 1的中点，设 AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c .试用a ，b ，c 表示AE →.11．在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 1为A 1B 1C 1D 1的中心．化简：A 1D 1→＋CC 1→－CD →＋12(CB →＋B 1A 1→)． 12.如图所示，在长、宽、高分别为AB ＝3，AD ＝2，AA 1＝1的长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1且以八个顶点的两点为始点和终点的向量中， (1)单位向量共有多少个？ (2)试写出模为5的所有向量； (3)试写出与AB →相等的所有向量； (4)试写出AA 1→的相反向量． 三、探究与拓展13．如图所示，已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，E ，F ，G 分别是BC ，CD ，DB 的中点，请化简(1)AB →＋BC →＋CD →；(2)AB →＋GD →＋EC →，并标出化简结果的向量．答案1．D 2.B 3.A 4.A 5．B 6．D 7．08．－12a ＋12b ＋c9.1210．【解】 ∵E 是CC 1的中点，∴CE →＝12CC 1→＝12AA 1→＝12c .又AD →＝BC →＝b ，∴AE →＝AB →＋BC →＋CE →＝a ＋b ＋12c .11．【解】 如图所示．∵A 1D 1→＝BC →，－CD →＝AB →，CB →＝C 1B 1→，B 1A 1→＝C 1D 1→， ∴原式＝BC →＋CC 1→＋AB →＋12(C 1B 1→＋C 1D 1→)＝AB →＋BC →＋CC 1→＋C 1O 1→＝AO 1→.12．【解】 (1)由于长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的AA 1→，A 1A →，BB 1→，B 1B →，CC 1→，C 1C →，DD 1→，D 1D →这8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个．(2)由于这个长方体的左右两侧的对角线长均为5，故模为5的向量有AD 1→，D 1A →，A 1D →，DA 1→，BC 1→，C 1B →，B 1C →，CB 1→共8个．(3)与向量AB →相等的所有向量(除它自身之外)共有A 1B 1→，DC →及D 1C 1→3个．(4)向量AA 1→的相反向量有A 1A →，B 1B →，C 1C →，D 1D →共4个． 13．【解】 (1)AB →＋BC →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →.(2)∵E ，F ，G 分别为BC ，CD ，DB 的中点． ∴BE →＝EC →，EF →＝GD →. ∴AB →＋GD →＋EC → ＝AB →＋BE →＋EF →＝AF →.故所求向量AD →，AF →如图所示．。

3.1.1 空间向量的线性运算1．理解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示法和字母表示法．2．会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律．3．能运用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．1．空间向量的概念(1)向量：在空间中，具有______和______的量．(2)相等的向量(同一向量)：同向且等长的有向线段． (3)零向量：起点与终点____的向量．(手写记作0r )(4)向量a 的长度或模：表示向量a 的有向线段的长度，记作________．(5)向量的基线：表示向量的有向线段所在的______．(6)共线向量或平行向量：基线________的空间向量，规定：零向量与任意向量______．在空间中，A 为向量AB uuu r 的起点，B 为向量AB uuu r 的终点．【做一做1】正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中与向量AA u u u r 相等的向量有__________个．2．空间向量的加法、减法和数乘向量的运算(1)加法：a ＋b ＝______.(2)减法：a －b ＝______.(3)数乘：λa ：|λa |＝______，当λ＞0时，λa 与a 方向______；当λ＜0时，λa 与a 方向______；当λ＝0时，λa 为____向量．(4)线性运算律①加法交换律：a ＋b ＝______；②加法结合律：(a ＋b )＋c ＝________；③分配律：(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ，λ(a ＋b )＝__________.(1)平面向量求和的三角形法则和平行四边形法则，对空间向量也同样成立．(2)三个不共面的向量和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的对角线所表示的向量． 【做一做2－1】在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB uuu r ＝a ，AD u u u r ＝b ，1AA u u u r ＝c ，则1D B u u u u r 等于( )A ．a ＋b ＋cB ．a ＋b －cC ．a －b －cD ．－a ＋b ＋c【做一做2－2】在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，|AB u u u r －CB u u u r ＋1CB u u u r |＝__________.1．如何理解空间向量的有关概念？剖析：(1)空间向量的概念及表示与平面向量一样．(2)零向量的方向是任意的，而不是零向量没有方向．(3)向量只是用有向线段来表示，但向量不是有向线段，如速度是向量．(4)共线向量或平行向量，其基线平行或重合均可．共线向量的起点和终点未必共线，平行向量的基线未必平行(可能重合)，应特别注意零向量与任意向量共线．2．空间向量加法的运算要注意什么？剖析：(1)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向最后一个向量的终点的向量． 如：12A A u u u u r ＋23A A u u u u r ＋34A A u u u u r ＋…＋1n n A A u u u u u u u r －＝1n A A u u u u r .因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量．(2)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：12A A u u u u r ＋23A A u u u u r ＋34A A u u u u r ＋…＋1n n A A u u u u u u u r －＋1n A A u u u u r ＝0.(3)平面中两个向量相加的平行四边形法则及三角形法则在空间中仍然成立．题型一 空间向量的概念【例1】下列命题是真命题的序号是__________． ①在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB u u u r 与CD uuu r 这两个向量不是共线向量．②若向量a 与b 平行，则a ，b 的方向相同或相反． ③若向量AB u u u r ，CD uuu r 满足|AB u u u r |＞|CD uuu r |，且AB u u u r 与CD uuu r 同向，则AB u u u r ＞CD uuu r . ④若向量a ＝b ，则|a|＝|b|.反思：注意空间向量概念的理解，注意区别向量与向量的模以及向量的手写体与印刷体． 题型二 空间向量的线性运算【例2】已知在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，M 为CC ′的中点(如图)，用图中向量表示运算结果．(1)AB u u u r +B C ''u u u u r ； (2)AB u u u r +AD u u u r +12CC 'u u u r . 分析：(1)利用B C ''u u u u r ＝BC uuu r ； (2)利用AD u u u r ＝BC uuu r .反思：注意结合图形使用相等向量转化．题型三 化简向量表达式 【例3】化简向量BC uuu r －BE u u u r ＋CD uuu r ＋DE u u u r . 分析：注意使用相反向量－BE u u u r ＝EB u u u r .反思：空间向量的减法运算注意使用相反向量，无图形的空间向量的加减法运算注意使用交换律和结合律，同时注意运算结果是0，而不是0.1 两向量共线是两向量相等的__________条件．2 M ，N 分别是四面体ABCD 的棱AB ，CD 的中点，则MN u u u u r ＝________(AD u u u r ＋BC uuu r )．3 在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，分别写出与向量AB u u u r 共线的向量和相等的向量．4在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中化简下列各式： (1)AB u u u r －11A D u u u u r ； (2)BA u u u r ＋BC uuu r ＋1CC u u u u r .答案：基础知识·梳理1．(1)大小 方向 (3)重合 (4)|a | (5)直线 (6)平行或重合 共线【做一做1】32．(1)OB → (2)CA → (3)|λ||a | 相同 相反 零 (4)①b ＋a ②a ＋(b ＋c ) ③λa＋λb【做一做2－1】C 画图可得D 1B →＝AB →－AD 1→＝AB →－(AA 1→＋A 1D 1→)＝AB →－(AA 1→＋AD →)＝a －b －c .【做一做2－2】 2典型例题·领悟【例1】④ ①因为AB →与CD →基线平行，所以这两个向量是共线向量；②若向量a ＝0，则a 与b 平行，但是不能说零向量与某一向量方向相同或相反，否则与零向量的方向是任意的矛盾；③向量不能比较大小；④根据向量相等的定义，知此命题正确．【例2】解：(1)AB →＋B'C'u u u u r ＝AB →＋BC →＝AC →.(2)AB →＋AD →＋12CC'u u u u r ＝AB →＋BC →＋12CC'u u u u r ＝AB →＋BC →＋CM →＝AM →. 【例3】解：BC →－BE →＋CD →＋DE →＝BC →＋EB →＋CD →＋DE →＝BC →＋CD →＋DE →＋EB →＝0.随堂练习·巩固1．必要不充分 2．123．解：与向量AB →共线的向量有：BA →，11B A u u u u r ，11A B u u u u r ，DC →，CD →，11DC u u u u r ，11C D u u u u r；与向量AB →相等的向量有：11A B u u u u r ，DC →，11DC u u u u r.4．解：(1)AB →－11A B u u u u r ＝AB →－AD →＝DB →；(2)BA →＋BC →＋CC 1→＝BD →＋CC 1→＝BD →＋DD 1→＝BD 1→.。

《3.1.1 空间向量及其线性运算》教案一､教学目标:1.运用类比的方法,经历向量及其线性运算由平面向空间推广的过程;2.了解空间向量的概念,掌握空间向量的线性运算及其性质;3.理解空间向量共线(平行)的充要条件及共线向量定理.二､教学重难点:1.空间向量的线性运算及其性质.2.空间向量及其线性运算法则的运算.三､教学方法建议:新授课､启发式——引导发现､合作探究.四､教学过程:(A)类问题(学生自学)1､在平面内既有大小又有方向的量叫平面向量.2､在空间,既有大小又有方向的量叫空间向量.3､空间向量的加法和数乘运算满足的运算律.加法交换律: a b b a ＋＝＋;加法结合律:()() a b c a b c ＋＋＝＋＋;数乘分配律:(λλλ a b a b ＋)＝＋.4､共线向量定理:空间任意两个向量 a , b ( a ≠0 ), a //b 的充要条件是存在实数λ,使 b =λ a .(B)类问题(学生练习,教师点拨)1､如图,在三棱柱111ABC A B C -中,M 是1BB 的中点,化简下列各式,并在图中标出化简得到的向量:(1)1 CB BA ＋; (2)112AC CB AA ＋＋; (3)1 AA AC CB －－.(C)类问题(学生思考,教师点拨)如图,在长方体111OADB CA D B 中,OA=3,OB=4,OC=2,OI=OJ=OK=1,点E,F 分别是DB,D1B1的中点.设 OI i ＝, OJ j ＝, OK k ＝,试用向量 i , j , k 表示OE 和 OF.五､问题解决情况检测:(A)类问题检测(B)类问题检测正方体AC1中,点E,F 分别为棱BC 和A1D1的中点,求证:四边形DEB1F 为平行四边形.(C)类问题检测已知空间四边形ABCD,连结AC,BD,设M,G 分别是BC,CD 的中点,化简下列各表达式,并标出化简结果向量:(1) AB BC CD ＋＋; (2)1()2AB BD BC ＋＋. 六､教学反思:。

空间向量及其线性运算教学设计(人教A版普通高中教科书数学选修第一册第一章)一、教学目标1.复习空间向量的相关概念2.能够熟练应用空间向量的线性运算及运算律3.理解并掌握共线、共面定理的推论，会用共线、共面定理及其推论解决问题二、教学重难点重点：空间向量的线性运算及运算律难点：共线、共面定理的推论三、教学过程1.复习回顾知识点一：空间向量的概念1.定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量.2.长度或模：向量的大小.3.表示方法：(1)几何表示法：空间向量用有向线段表示.(2)字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作：AB，其模记为a或AB.|知识点二：空间向量的线性运算知识点三：共线定理与共面定理2.空间向量概念的应用【设计意图】通过简单的习题，加深学生对于空间向量概念的理解，纠正易错点.3.空间向量的加减运算【设计意图】选自课本中本节习题，旨在让学生体会表示未知向量时，可将未知向量放入三角形中，通过向量加减的三角形法将其表示出来.4.空间向量的数乘运算【设计意图】与例2对比，此题在加减运算的基础上加入数乘运算，是一道线性运算的综合题型，通过此题可以使学生加深对空间向量线性运算的认识，提高计算能力.5.空间向量共线、共面定理【设计意图】通过将共线、共面定理的推论以思考题的形式给出，使学生在证明的过程中加深对共线、共面定理的理解与记忆，同时引出推论.【设计意图】将推论引出后通过两个较为简单的练习题，让学生初步感受共线、共面定理推论的应用.【设计意图】用共线定理及其推论两种解法解此题目，让学生再次感受共线定理及推论在证明三点共线时的应用.,,.ABCD .AC O OA,OB,OC,ODOE OF OG OHE,F,G,H ====k,OA OB OC ODE,F,G,H 例5.如图，已知平行四边形过平面外一点作射线在四条射线上分别取点使求证：四点共面1111,,,,,,.OE OF OG OH====k OA OB OC ODOA OE OB OF OC OG OD OHOA OD OB OC OE OB OC OD ∴====∴-=-∴=-+∴k k k kABCD E F G H 四边形为平行四边形四点共面【设计意图】此题是第一课时例题，用共面定理的推论给出此题目的第二种解法，让学生再次感受共面定理及推论在证明四点共面问题时的应用，以达到开拓学生的思路的目的.6.归纳小结(1).用好已有的定理及推论：如共线向量定理、共面向量定理及推论等， 并能运用它们证明空间向量的共线和共面的问题.(2).在解决空间向量问题时，结合图形，将未知向量放入三角形中，再运用向量加减的三角形法则解决问题。

高二数学导学案 编号：编 制 人： 审核人： 姓 名：3.1.1空间向量的线性运算【学习目标】：1、知识与技能：理解空间向量的概念，掌握其表示方法；会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．2、过程与方法：通过对比平面向量，掌握用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题的方法。

3、情感态度与价值观：通过探究学习培养探索、创新及合作精神；学会从不同角度考虑问题，体会数学学科的科学价值，提高自己的逻辑思维能力。

【重点难点】：空间向量的加减与数乘运算及运算律．由平面向量类比学习空间向量． 一、【自主学习】 （一）、复习导引1、有关平面向量的一些知识：什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？ 2. 向量的加减以及数乘向量运算：向量的加法：______________；向量的减法：_______________；实数与向量的积：_________________,注意：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：|λa |＝|λ||a | (2)当λ＞0时，λa 与a 同向； 当λ＜0时，λa 与a反向； 当λ＝0时，λa＝0.3. 向量的运算律：_____________________________________________。

（二）、新课讲授在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．1. 定义：我们把空间中具有大小和方向的量叫做______．向量的大小叫做向量的_______.→ 举例？ 表示？（用有向线段表示） 记法？ → 零向量？ 单位向量？ 相反向量？ → 讨论：相等向量？ 同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量． → 讨论：空间任意两个向量是否共面？112. 空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样：OB OA AB =+=a +b，AB OB OA =-（指向被减向量），OP =λa()R λ∈ （请思考数乘运算的定义？）3. 空间向量的加法与数乘向量的运算律． （1）加法交换律：_______________________ （2）加法结合律：__________________________； （3）数乘分配律：___________________________； （4）数乘结合律：_____________________ ．4. 推广：⑴1223341_____n n A A A A A A A A -++++=；⑵12233411___n n n A A A A A A A A A A -+++++=；⑶空间平行四边形法则．二、合作探究例１.已知平行六面体''''D C B A ABCD -（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：；⑴BC AB + ；⑵'AA AD AB ++21CC AD AB ++⑶ ．⑷)'(31AA AD AB ++例2.已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量。

§1.1 空间向量及其运算 1．1.1 空间向量及其线性运算 第1课时 空间向量及其线性运算学习目标 1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念.2.经历由平面向量的运算及其运算律推广到空间向量的过程.3.掌握空间向量的线性运算． 导语国庆期间，某游客从上海世博园(O )游览结束后乘车到外滩(A )观赏黄浦江，然后抵达东方明珠(B )游玩，如图1，游客的实际位移是什么？可以用什么数学概念来表示这个过程？如果游客还要登上东方明珠顶端(D )俯瞰上海美丽的夜景，如图2，那么他实际发生的位移是什么？又如何表示呢？一、空间向量的有关概念 知识梳理1．在空间，把具有方向和大小的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模． 空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模，a 的起点是A ，终点是B ，则a 也可记作AB →，其模记为|a |或|AB →|. 2．几类特殊的空间向量名称 定义及表示零向量 规定长度为0的向量叫做零向量，记为0单位向量 模为1的向量叫做单位向量相反向量与向量a 长度相等而方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记为－a共线向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这注意点：(1)平面向量是一种特殊的空间向量．(2)两个向量相等的充要条件为长度相等，方向相同． (3)向量不能比较大小．(4)共线向量不一定具备传递性，比如0．例1 (1)下列关于空间向量的说法中正确的是( ) A ．单位向量都相等B ．若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相等而方向相同或相反C ．若向量AB →，CD →满足|AB →|>|CD →|，则AB →>CD →D ．相等向量其方向必相同 答案 D解析 A 中，单位向量长度相等，方向不确定； B 中，|a |＝|b |只能说明a ，b 的长度相等而方向不确定； C 中，向量不能比较大小．(2)(多选)下列命题为真命题的是( ) A ．若空间向量a ，b 满足|a |＝|b |，则a ＝b B ．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，必有AC →＝A 1C 1——→C ．若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝pD ．空间中，a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c 答案 BC解析 A 为假命题，根据向量相等的定义知，两向量相等，不仅模要相等，而且还要方向相同，而A 中向量a 与b 的方向不一定相同；B 为真命题，AC →与A 1C 1——→的方向相同，模也相等，故AC →＝A 1C 1——→； C 为真命题，向量的相等满足传递性；D 为假命题，平行向量不一定具有传递性，当b ＝0时，a 与c 不一定平行．反思感悟 空间向量的概念与平面向量的概念相类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念． 跟踪训练1 如图所示，以长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的八个顶点的两点为起点和终点的向量中，(1)试写出与AB →相等的所有向量； (2)试写出AA 1→的相反向量；(3)若AB ＝AD ＝2，AA 1＝1，求向量AC 1→的模．解 (1)与向量AB →相等的所有向量(除它自身之外)有A 1B 1——→，DC →及D 1C 1——→共3个． (2)向量AA 1→的相反向量为A 1A —→，B 1B —→，C 1C —→，D 1D —→. (3)|AC 1→|＝|AC |2＋|CC 1|2＝|AB |2＋|BC |2＋|CC 1|2＝3.二、空间向量的加减运算问题 空间中的任意两个向量是否共面？为什么？提示 共面，任意两个向量都可以平移到同一个平面内，因此空间中向量的加减运算与平面中一致． 知识梳理加法运算三角形 法则语言叙述首尾顺次相接，首指向尾为和图形叙述平行四边形法则语言叙述 共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和 图形叙述减法运算三角形 法则语言叙述共起点，连终点，方向指向被减向量图形叙述加法交换律a ＋b ＝b ＋a运算结合律 (a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )注意点：(1)求向量和时，可以首尾相接，也可共起点；求向量差时，可以共起点． (2)三角形法则、平行四边形法则在空间向量中也适用．例2 (1)(多选)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式运算结果为BD 1→的是( )A.A 1D 1——→－A 1A —→－AB →B.BC →＋BB 1→－D 1C 1——→C.AD →－AB →－DD 1→D.B 1D 1——→－A 1A —→＋DD 1→ 答案 AB解析 A 中，A 1D 1——→－A 1A —→－AB →＝AD 1→－AB →＝BD 1→； B 中，BC →＋BB 1→－D 1C 1——→＝BC 1→＋C 1D 1——→＝BD 1→；C 中，AD →－AB →－DD 1→＝BD →－DD 1→＝BD →－BB 1→＝B 1D —→≠BD 1→；D 中，B 1D 1——→－A 1A ——→＋DD 1→＝BD →＋AA 1→＋DD 1→＝BD 1→＋AA 1→≠BD 1→.故选AB. (2)化简(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝________. 答案 0解析 方法一(转化为加法运算)(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝AB →－CD →－AC →＋BD → ＝AB →＋DC →＋CA →＋BD → ＝AB →＋BD →＋DC →＋CA →＝0． 方法二(转化为减法运算) (AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝(AB →－AC →)＋(BD →－CD →) ＝CB →＋BC →＝0．反思感悟 空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．跟踪训练2 如图，已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，E ，F ，G 分别是BC ，CD ，DB 的中点，请化简以下式子，并在图中标出化简结果．(1)AB →＋BC →－DC →； (2)AB →－DG →－CE →.解 (1)AB →＋BC →－DC →＝AB →＋BC →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →，如图中向量AD →.(2)AB →－DG →－CE →＝AB →＋BG →＋EC →＝AG →＋GF →＝AF →，如图中向量AF →. 三、空间向量的数乘运算 知识梳理定义与平面向量一样，实数λ与空间向量a 的乘积λa 仍然是一个向量，称为空间向量的数乘 几何意义λ>0λa 与向量a 的方向相同 λa 的长度是a 的长度的|λ|倍λ<0 λa 与向量a 的方向相反 λ＝0λa ＝0，其方向是任意的运算律结合律 λ(μa )＝(λμ)a分配律(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ，λ(a ＋b )＝λa ＋λb注意点：(1)当λ＝0或a ＝0时，λa ＝0．(2)λ的正负影响着向量λa 的方向，λ的绝对值的大小影响着λa 的长度． (3)向量λa 与向量a 一定是共线向量．例3 如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：(1)AP →；(2)A 1N —→；(3)MP →. 解 (1)∵P 是C 1D 1的中点，∴AP →＝AA 1→＋A 1D 1——→＋D 1P —→＝a ＋AD →＋12D 1C 1——→＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋12b ＋c .(2)∵N 是BC 的中点，∴A 1N —→＝A 1A —→＋AB →＋BN →＝－a ＋b ＋12BC →＝－a ＋b ＋12AD →＝－a ＋b ＋12c .(3)∵M 是AA 1的中点， ∴MP →＝MA →＋AP →＝12A 1A —→＋AP →＝－12a ＋⎝⎛⎭⎫a ＋c ＋12b ＝12a ＋12b ＋c . 延伸探究1.例3的条件不变，试用a ，b ，c 表示向量PN →. 解 因为P ，N 分别是D 1C 1，BC 的中点，所以PN →＝PC 1→＋C 1C —→＋CN →＝12AB →＋(－AA 1→)＋⎝⎛⎭⎫－12AD →＝－a ＋12b －12c .2．若把例3中“P 是C 1D 1的中点”改为“P 在线段C 1D 1上，且C 1P PD 1＝12”，其他条件不变，如何表示AP →？解 AP →＝AD →1＋D 1P —→＝AA 1→＋AD →＋23AB →＝a ＋c ＋23b .反思感悟 利用数乘运算进行向量表示的技巧(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质．跟踪训练3 已知四边形ABCD 为正方形，P 是四边形ABCD 所在平面外一点，P 在平面ABCD 上的射影恰好是正方形的中心O ，Q 是CD 的中点，求下列各题中x ，y 的值． (1)OQ →＝PQ →＋xPC →＋yP A →； (2)P A →＝xPO →＋yPQ →＋PD →. 解 (1)由图可知，OQ →＝PQ →－PO →＝PQ →－12(P A →＋PC →)＝PQ →－12P A →－12PC →，∴x ＝y ＝－12.(2)∵P A →＋PC →＝2PO →， ∴P A →＝2PO →－PC →. ∵PC →＋PD →＝2PQ →， ∴PC →＝2PQ →－PD →，∴P A →＝2PO →－(2PQ →－PD →)＝2PO →－2PQ →＋PD →. ∴x ＝2，y ＝－2.1．知识清单： (1)向量的相关概念．(2)向量的线性运算(加法、减法和数乘)． (3)向量的线性运算的运算律．2．方法归纳：类比、三角形法则、平行四边形法则、数形结合思想．3．常见误区：应抓住向量的“大小”和“方向”两个要素，并注意它是一个“量”，而不是一个数．1．(多选)下列命题中，真命题是( )A ．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小B ．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C ．只有零向量的模等于0D ．共线的单位向量都相等 答案 ABC解析 容易判断D 是假命题，共线的单位向量是相等向量或相反向量． 2．化简PM →－PN →＋MN →所得的结果是( ) A.PM → B.NP → C ．0 D.MN →答案 C解析 PM →－PN →＋MN →＝NM →＋MN →＝NM →－NM →＝0．3．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO →＋OB →＝DO →＋OC →，则四边形ABCD 是( ) A ．平行四边形 B ．空间四边形 C ．等腰梯形 D ．矩形 答案 A解析 ∵AO →＋OB →＝DO →＋OC →， ∴AB →＝DC →.∴AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|. ∴四边形ABCD 为平行四边形．4．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知下列各式：①(AB →＋BC →)＋CC 1→；②(AA 1→＋A 1D 1——→)＋D 1C 1——→；③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1——→；④(AA 1→＋A 1B 1——→)＋B 1C 1——→.其中运算结果为AC 1→的有________个． 答案 4解析 根据空间向量的加法运算以及正方体的性质逐一进行判断： ①(AB →＋BC →)＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→； ②(AA 1→＋A 1D 1——→)＋D 1C 1——→＝AD 1→＋D 1C 1——→＝AC 1→； ③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1——→＝AB 1→＋B 1C 1——→＝AC 1→； ④(AA 1→＋A 1B 1——→)＋B 1C 1——→＝AB 1→＋B 1C 1——→＝AC 1→. 所以4个式子的运算结果都是AC 1→.课时对点练1．下列说法中正确的是( )A ．空间中共线的向量必在同一条直线上B.AB →＝CD →的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合 C ．数乘运算中，λ既决定大小，又决定方向 D ．在四边形ABCD 中，一定有AB →＋AD →＝AC →答案 C解析 对于A ，向量共线是指表示向量的有向线段所在直线平行或重合，所以A 错误； 对于B ，AB →＝CD →的充要条件是|AB →|＝|CD →|，且AB →，CD →同向．但A 与C ，B 与D 不一定重合，所以B 错误；对于C ，λ既决定大小又决定方向，所以C 正确；对于D ，满足AB →＋AD →＝AC →的一定是平行四边形，一般四边形是不满足的，因而D 错误．综上可知，正确的为B.2．向量a ，b 互为相反向量，已知|b |＝3，则下列结论正确的是( ) A ．a ＝bB ．a ＋b 为实数0C ．a 与b 方向相同D ．|a |＝3答案 D解析 向量a ，b 互为相反向量，则a ，b 模相等，方向相反，故选D. 3.如图，在四棱柱的上底面ABCD 中，AB →＝DC →，则下列向量相等的是( )A.AD →与CB →B.OA →与OC →C.AC →与DB →D.DO →与OB → 答案 D解析 对于A ，AD →与CB →的方向相反，因而不是相等向量，所以A 错误； 对于B ，OA →与OC →的方向相反，因而不是相等向量，所以B 错误； 对于C ，AC →与DB →的方向不同，因而不是相等向量，所以C 错误； 对于D ，DO →与OB →的方向相同，大小相等，是相等向量，因而D 正确．4.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B —→等于( )A ．a ＋b －cB ．a －b ＋cC ．b －a －cD ．b －a ＋c答案 C解析 A 1B —→＝AB →－AA 1→＝(CB →－CA →)－AA 1→， ∵AA 1→＝CC 1→＝c ， ∴A 1B —→＝b －a －c .5.如图，在空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M ，N 分别为OA ，BC 的中点，则MN →等于( )A.12a －12b ＋12c B ．－12a ＋12b ＋12cC.12a ＋12b －23cD.12a ＋12b －12c 答案 B解析 MN →＝MA →＋AB →＋BN →＝12a ＋(b －a )＋12(c －b )＝－12a ＋12b ＋12c .6．(多选)已知平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′，则下列四式中正确的有( ) A.AB →－CB →＝AC →B.AC ′——→＝AB →＋B ′C ′———→＋CC ′—→C.AA ′—→＝CC ′—→D.AB →＋BB ′—→＋BC →＋C ′C ——→＝AC ′—→ 答案 ABC解析 作出平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′的图象如图，可得AB →－CB →＝AB →＋BC →＝AC →，故A 正确；AB →＋B ′C ′———→＋CC ′—→＝AB →＋BC →＋CC ′—→＝AC ′—→，故B 正确；C 显然正确；AB →＋BB ′—→＋BC →＋C ′C ——→＝AB →＋BC →＝AC →，故D 不正确．综上，正确的有ABC.7．设A ，B ，C ，D 为空间任意四点，则AC →－BC →＋BD →＝________. 答案 AD →解析 AC →－BC →＋BD →＝AC →＋CB →＋BD →＝AD →.8．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点M 是AA 1的中点，已知AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，用a ，b ，c 表示CM →，则CM →＝________. 答案 －a －b ＋12c解析 ∵CM →＝CB →＋BA →＋AM →＝－BC →－AB →＋AM →， 又∵M 是AA 1的中点， ∴AM →＝12AA 1→，∴CM →＝－BC →－AB →＋12AA 1→，∵AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ， ∴CM →＝－a －b ＋12c .9.如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，M 是BB 1的中点．化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量．(1)CB →＋BA 1→； (2)AC →＋CB →＋12AA 1→；(3)AA 1→－AC →－CB →. 解 (1)CB →＋BA 1→＝CA 1→. (2)因为M 是BB 1的中点，所以BM →＝12BB 1→.又AA 1→＝BB 1→，所以AC →＋CB →＋12AA 1→＝AB →＋BM →＝AM →.(3)AA 1→－AC →－CB →＝CA 1→－CB →＝BA 1→. 向量CA 1→，AM →，BA 1→如图所示．10.如图，设O 为▱ABCD 所在平面外任意一点，E 为OC 的中点，若AE →＝12OD →＋xOB →＋yOA →，求x ，y 的值．解 ∵AE →＝AB →＋BC →＋CE →＝OB →－OA →＋OC →－OB →－12OC →＝－OA →＋12OC →＝－OA →＋12(OD →＋DC →)＝－OA →＋12(OD →＋AB →)＝－OA →＋12OD →＋12(OB →－OA →)＝12OD →＋12OB →－32OA →， 又AE →＝12OD →＋xOB →＋yOA →，∴x ＝12，y ＝－32.11．已知空间中任意四个点A ，B ，C ，D ，则DA →＋CD →－CB →等于( ) A.DB → B.AB → C.AC → D.BA → 答案 D解析 方法一 DA →＋CD →－CB →＝(CD →＋DA →)－CB →＝CA →－CB →＝BA →. 方法二 DA →＋CD →－CB →＝DA →＋(CD →－CB →)＝DA →＋BD →＝BA →.12.如图，在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AC 与BD 的交点为O ，点M 在BC ′上，且BM ＝2MC ′，则OM →等于( )A ．－12AB →＋76AD →＋23AA ′—→B ．－12AB →＋56AD →＋13AA ′—→C ．12AB →＋16AD →＋23AA ′—→D ．12AB →－16AD →＋13AA ′—→答案 C解析 因为BM ＝2MC ′， 所以BM →＝23BC ′—→，在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，OM →＝OB →＋BM →＝OB →＋23BC ′—→＝12DB →＋23(AD →＋AA ′—→)＝12(AB →－AD →)＋23(AD →＋AA ′—→)＝12AB →＋16AD →＋23AA ′—→. 13．如图，在四面体ABCD 中，E ，G 分别是CD ，BE 的中点，若记AB →＝a ，AD →＝b ，AC →＝c ，则AG →＝________.答案 12a ＋14b ＋14c解析 在四面体ABCD 中，E ，G 分别是CD ，BE 的中点，则AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋12BE →＝AB →＋12×12(BC →＋BD →)＝AB →＋14(AC →－AB →＋AD →－AB →)＝AB →＋14AC →＋14AD →－12AB →＝12AB →＋14AD →＋14AC →＝12a ＋14b ＋14c . 14.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点．(1)化简A 1O —→－12AB →－12AD →＝________.(2)用AB →，AD →，AA 1→表示OC 1→，则OC 1→＝________. 答案 (1)A 1A —→(2)12AB →＋12AD →＋AA 1→解析 (1)A 1O —→－12AB →－12AD →＝A 1O —→－12(AB →＋AD →)＝A 1O →－AO →＝A 1O —→＋OA →＝A 1A —→.(2)因为OC →＝12AC →＝12(AB →＋AD →)，所以OC 1→＝OC →＋CC 1→＝12(AB →＋AD →)＋AA 1→＝12AB →＋12AD →＋AA 1→.15．在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，若AC ′—→＝xAB →＋y 2BC →＋z 3CC ′—→，则x ＋y ＋z ＝________. 答案 6解析 在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AC ′—→＝AB →＋BC →＋CC ′—→，又AC ′—→＝xAB →＋y2BC →＋z 3CC ′—→，∴⎩⎨⎧ x ＝1，y2＝1，z3＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，z ＝3，∴x ＋y ＋z ＝6.16.如图，已知ABCD －A ′B ′C ′D ′是平行六面体．(1)化简12AA ′—→＋BC →＋23AB →，并在图中标出其结果；(2)设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面BCC ′B ′对角线BC ′上的34分点，设MN →＝αAB →＋βAD→＋γAA ′—→，试求α，β，γ的值．解 (1)如图，取AA ′的中点E ，在D ′C ′上取一点F ，使D ′F ＝2FC ′，连接EF ，则EF →＝12AA ′—→＋BC →＋23AB →.(2)因为MN →＝MB →＋BN →＝12DB →＋34BC ′—→＝12(DA →＋AB →)＋34(BC →＋CC ′—→)＝12AB →＋14AD →＋34AA ′—→， 所以α＝12，β＝14，γ＝34.。

空间向量及其线性运算【学习目标】课程标准学科素养1.理解空间向量的概念.(难点)2.掌握空间向量的线性运算.(重点)3.掌握共线向量定理、共面向量定理的应用.(重点、难点)1、逻辑推理2、数学运算【自主学习】1、空间向量的概念及几类特殊向量名称定义空间向量在空间中,具有______和______的量叫做空间向量,向量的大小叫做向量的______单位向量长度或模为______的向量零向量______的向量相等向量方向______且模______的向量相反向量______相反且______相等的向量2、空间向量的表示空间向量可以用a,b,c…表示,也用有向线段表示,有向线段的表示向量的模,向量a的起点是A,终点是B,则向量a也可记作AB→,其模记为.3、空间向量的加、减法运算、数乘运算（1）a＋b=OA→＋AB→＝________；（2）a- b＝OA→－OC→＝________.（3）当λ>0时,λa=OA→=；当λ<0时,λa=OA→=；λ＝0时,λa＝0运算律：交换律a＋b＝______；结合律(a＋b)＋c＝.分配律λ(a＋b)＝,(λ＋μ)a＝。

4、共线向量(1)定义：表示空间向量的有向线段所在的直线____________,则这些向量叫做________或平行向量.(2)共线向量定理：对于空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ使________.5、方向向量在直线l 上取非零向量a,我们把与向量a 平行的成为直线l 的方向向量。

也就是说直线可以由其一点和它的方向向量确定。

6、共面向量定义：平行于________________的向量叫做共面向量. I 、证明空间三个向量共面,常用如下方法：(1)设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合,即若a ＝x b ＋y c ,则向量a ,b ,c 共面； (2)寻找平面α,证明这些向量与平面α平行.II 、对空间四点P ,M ,A ,B 可通过证明下列结论成立来证明四点共面： (1)MP →＝xMA →＋yMB →；(2)对空间任一点O ,OP →＝OM →＋xMA →＋yMB →；(3)对空间任一点O ,OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ＋y ＋z ＝1)； (4)PM →∥AB →(或PA →∥MB →,或PB →∥AM →). 【小试牛刀】 1、判断正错(1)零向量没有方向．()(2)有向线段都可以表示向量,向量都可以用有向线段表示．() (3)平面内所有的单位向量是相等的．()(4)空间中,将单位向量起点放在一起,其终点组成的图形是球．() (5)任何两个向量均不可以比较大小()2、在平行六面体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中,顶点连接的向量中,与向量AD →相等的向量共有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3.已知空间四边形ABCD 中,AB →＝a ,CB →＝b ,AD →＝c ,则CD →等于( ) A.a ＋b －c B.－a －b ＋c C.－a ＋b ＋c D.－a ＋b －c【经典例题】 题型一空间向量概念注意：在空间中,向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致． 例1 给出下列命题： ①零向量没有确定的方向；②在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中,AC →＝A 1C 1→；③若向量a 与向量b 的模相等,则a ,b 的方向相同或相反；④在四边形ABCD 中,必有AB →＋AD →＝AC →. 其中正确命题的序号是________.[跟踪训练] 1(1)下列关于空间向量的说法中正确的是( ) A ．若向量a ,b 平行,则a ,b 所在直线平行B ．若|a |＝|b |,则a ,b 的长度相等而方向相同或相反C ．若向量AB →,CD →满足|AB →|＞|CD →|,则AB →＞CD →D ．相等向量其方向必相同(2)如图所示,在平行六面体ABCD ­A ′B ′C ′D ′中,顶点连接的向量中,与向量AA ′→相等的向量有________；与向量A ′B ′→相反的向量有__.(要求写出所有适合条件的向量)题型二空间向量的线性运算注意：1.熟练掌握空间向量线性运算法则和运算律；2.要注意数形结合思想的运用.例2 在如图所示的平行六面体中,求证：AC →＋AB ′-→＋AD ′-→＝2AC ′-→.[跟踪训练] 2如图,已知正方体ABCD ­A ′B ′C ′D ′,点E 是上底面A ′B ′C ′D ′的中心,求下列各式中x ,y ,z 的值. (1)BD ′→＝xAD →＋yAB →＋zAA ′→； (2)AE →＝xAD →＋yAB →＋zAA ′→.题型三向量的共线及判定例3 如图,在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中,E 在A 1D 1上,且A 1E →＝2ED 1→,F 在对角线A 1C 上,且A 1F →＝23FC →,求证：E ,F ,B 三点共线.注意：要证E ,F ,B 三点共线,只需证明下面结论中的一个成立即可： (1)EB →＝mEF →；(2)AB →＝AE →＋λEF →；(3)AB →＝nAE →＋(1－n )AF →.[跟踪训练] 3在空间四边形ABCD 中,E 、F 分别为AB 、CD 的中点,请判断EF →与AD →＋BC →是否共线．题型四向量共面例4 如图,已知四边形ABCD 是平行四边形,点P 是ABCD 所在平面外的一点,连接PA ,PB ,PC ,PD .设点E ,F ,G ,H 分别为△PAB ,△PBC ,△PCD ,△PDA 的重心.试用向量方法证明E ,F ,G ,H 四点共面.[跟踪训练] 4如图所示,已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在的平面互相垂直,点M ,N 分别在对角线BD ,AE 上,且BM ＝13BD ,AN ＝13AE .求证：向量MN →,CD →,DE →共面.【当堂达标】 1.下列说法：①若两个空间向量相等,则表示它们有向线段的起点相同,终点也相同； ②若向量AB →,CD →满足|AB →|＞|CD →|,且AB →与CD →同向,则AB →＞CD →； ③若两个非零向量AB →与CD →满足AB →＋CD →＝0,则AB →,CD →为相反向量； ④AB →＝CD →的充要条件是A 与C 重合,B 与D 重合. 其中错误的个数为( )A.1B.2C.3D.42．向量a ,b 互为相反向量,已知|b |＝3,则下列结论正确的是( ) A ．a ＝bB ．a ＋b 为实数0C ．a 与b 方向相同D ．|a |＝33．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,A 1E →＝14A 1C 1→,若AE →＝xAA 1→＋y (AB →＋AD →),则( )A ．x ＝1,y ＝12B ．x ＝12,y ＝1C ．x ＝1,y ＝13D ．x ＝1,y ＝144．如图所示,空间四边形OABC 中,OA →＝a ,OB →＝b ,OC →＝c ,点M 在OA 上,且OM ＝2MA ,N 为BC 中点,则MN →等于( ) A ．12a －23b ＋12c B ．－23a ＋12b ＋12cC ．12a ＋12b －12c D ．－23a ＋23b －12c5、如图,在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中,AB ＝3,AD ＝2,AA ′＝1,则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中：①单位向量共有多少个？②试写出模为5的所有向量．③试写出与向量AB →相等的所有向量．④试写出向量AA ′--→的所有相反向量．6.如图,已知空间四边形OABC ,M ,N 分别是边OA ,BC 的中点,点G 在MN 上,且MG ＝2GN ,设OA →＝a ,OB →＝b ,OC →＝c ,试用a ,b ,c 表示向量OG →.7、如图,已知四边形ABCD 是空间四边形,E ,H 分别是边AB ,AD 的中点,F ,G 分别是边CB ,CD 上的点,且CF →＝23CB →,CG →＝23CD →.求证：四边形EFGH 是梯形.8、已知A ,B ,C 三点不共线,对平面ABC 外的任一点O ,若点M 满足OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →.(1)判断MA →,MB →,MC →三个向量是否共面；(2)判断点M 是否在平面ABC 内.【参考答案】【自主学习】1、大小 方向 长度或模 1 长度为0 相同 相等 方向 模2、长度|a |或|AB →|3、OB →CA →b ＋aa ＋（b ＋c ）λa ＋λbλa ＋μa 4、(1)互相平行或重合 共线向量 (2)a ＝λb 5、非零向量 6. 同一个平面 【小试牛刀】 1、××××√2、C 【解析】 与向量AD →相等的向量有BC →,A 1D 1→,B 1C 1→共3个. 3、C 【解析】 CD →＝CB →＋BA →＋AD →＝CB →－AB →＋AD →＝－a ＋b ＋c . 【经典例题】例1①② 【解析】 (1)①正确；②正确,因为AC →与A 1C 1→的大小和方向均相同；③|a |＝|b |,不能确定其方向,所以a 与b 的方向不能确定；④中只有当四边形ABCD 是平行四边形时,才有AB →＋AD →＝AC →.综上可知,正确命题为①②.[跟踪训练] 1 (1) D 解析 A 中,向量a,b 平行,则a,b 所在的直线平行或重合；B 中,|a|＝|b|只能说明a,b 的长度相等而方向不确定；C 中,向量作为矢量不能比较大小,故选D.(2)BB′→,CC′→,DD′→ B′A′→,BA →,CD →,C ′D′→解析根据相等向量的定义知,与向量AA′→相等的向量有BB′→,CC′→,DD′→.与向量A′B′→相反的向量有B′A′→,BA →,CD →,C′D′→. 例2 证明 ∵平行六面体的六个面均为平行四边形, ∴AC →＝AB →＋AD →,AB ′-→＝AB →＋AA ′-→,AD ′-→＝AD →＋AA ′-→,∴AC →＋AB ′-→＋AD ′-→＝(AB →＋AD →)＋(AB →＋AA ′-→)＋(AD →＋AA ′-→)＝2(AB →＋AD →＋AA ′-→)． 又∵AA ′-→＝CC ′-→,AD →＝BC →,∴AB →＋AD →＋AA ′-→＝AB →＋BC →＋CC ′-→＝AC →＋CC ′-→＝AC ′-→.∴AC →＋AB ′-→＋AD ′-→＝2AC ′-→.[跟踪训练] 2解：(1)因为BD ′→＝BD →＋DD ′→＝BA →＋AD →＋DD ′→＝－AB →＋AD →＋AA ′→, 又BD ′→＝xAD →＋yAB →＋zAA ′→, 所以x ＝1,y ＝－1,z ＝1.(2)因为AE →＝AA ′→＋A ′E →＝AA ′→＋12A ′C ′→＝AA ′→＋12(A ′B ′→＋A ′D ′→)＝AA ′→＋12A ′B ′→＋12A ′D ′→＝12AD →＋12AB →＋AA ′→,又AE →＝xAD →＋yAB →＋zAA ′→, 所以x ＝12,y ＝12,z ＝1.例3 【证明】 设AB →＝a ,AD →＝b ,AA 1→＝c . ∵A 1E →＝2ED 1→,A 1F →＝23FC →,∴A 1E →＝23A 1D 1→,A 1F →＝25A 1C →.∴A 1E →＝23AD →＝23b ,A 1F →＝25(AC →－AA 1→)＝25(AB →＋AD →－AA 1→)＝25a ＋25b －25c .∴EF →＝A 1F →－A 1E →＝25a －415b －25c ＝25(a －23b －c )．又EB →＝EA 1→＋A 1A →＋AB →＝－23b －c ＋a ＝a －23b －c ,∴EF →＝25EB →,所以E ,F ,B 三点共线．[跟踪训练] 3 解：连接AC ,取AC 的中点G ,连接EG 、FG , ∵E 、F 分别为AB 、CD 的中点． ∴GF →＝12AD →,EG →＝12BC →.又∵E 、F 、G 三点共面,∴EF →＝EG →＋GF →＝12(AD →＋BC →),即EF →与AD →＋BC →共线．例4 证明：分别连接PE ,PF ,PG ,PH 并延长,交对边于点M ,N ,Q ,R , 连接MN ,NQ ,QR ,RM ,因为点E ,F ,G ,H 分别是所在三角形的重心,所以M ,N ,Q ,R 是所在边的中点,且 PE →＝23PM →,PF →＝23PN →,PG →＝23PQ →,PH →＝23PR →.由题意知四边形MNQR 是平行四边形,所以MQ →＝MN →＋MR →＝(PN →－PM →)＋(PR →－PM →)＝32(PF →－PE →)＋32(PH →－PE →)＝32(EF →＋EH →).又MQ →＝PQ →－PM →＝32PG →－32PE →＝32EG →.所以EG →＝EF →＋EH →,由共面向量定理知,E ,F ,G ,H 四点共面.[跟踪训练] 4因为M 在BD 上,且BM ＝13BD ,所以MB →＝13DB →＝13DA →＋13AB →.同理AN →＝13AD →＋13DE →.所以MN →＝MB →＋BA →＋AN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13DA →＋13AB →＋BA →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13AD →＋13DE →＝23BA →＋13DE →＝23CD →＋13DE →.又CD →与DE →不共线,根据向量共面的充要条件可知MN →,CD →,DE →共面. 【当堂达标】1. C 【解析】①错误.两个空间向量相等,其模相等且方向相同,但与起点和终点的位置无关. ②错误.向量的模可以比较大小,但向量不能比较大小.③正确.AB →＋CD →＝0,得AB →＝－CD →,且AB →,CD →为非零向量,所以AB →,CD →为相反向量. ④错误.由AB →＝CD →,知|AB →|＝|CD →|,且AB →与CD →同向,但A 与C ,B 与D 不一定重合. 2、D 【解析】 向量a ,b 互为相反向量,则a ,b 模相等、方向相反,故选D. 3．D 【解析】 AE →＝AA 1→＋A 1E →＝AA 1→＋14A 1C 1→＝AA 1→＋14(AB →＋AD →)．所以x ＝1,y ＝14．4、B 【解析】 MN →＝ON →－OM →＝12 (OB →＋OC →)－23OA →＝－23a ＋12b ＋12c ．5、解①由于长方体的高为1,所以长方体的四条高所对应的向量AA ′--→,A ′A --→,BB ′--→,B ′B ---→,CC ′---→,C ′C ---→,DD ′---→,D ′D ---→,共8个向量都是单位向量,而其他向量的模均不为1,故单位向量共有8个．②由于长方体的左右两侧面的对角线长均为5,故模为5的向量有AD ′---→,D ′A ----→,A ′D ---→,DA ′---→,BC ′----→,C ′B ----→,B ′C ----→,CB ′---→.③与向量AB →相等的所有向量(除它自身之外)有A ′B ′----→,DC →及D ′C ′----→. ④向量AA ′---→的相反向量有A ′A ---→,B ′B ---→,C ′C ---→,D ′D ---→.6. 解：OG →＝OM →＋MG →＝12OA →＋23MN →＝12OA →＋23(MA →＋AB →＋BN →)＝12OA →＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫12OA →＋OB →－OA →＋12BC →＝12OA →＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤OB →－12OA →＋12(OC →－OB →)＝16OA →＋13OB →＋13OC →＝16a ＋13b ＋13c . 7、解：∵E ,H 分别是AB ,AD 的中点, ∴AE →＝12AB →,AH →＝12AD →,则EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12BD →＝12(CD →－CB →)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32CG →－32CF →＝34(CG →－CF →)＝34FG →,∴EH →∥FG →且|EH →|＝34|FG →|≠|FG →|.又F 不在直线EH 上, ∴四边形EFGH 是梯形. 8、解：如图：(1)由已知,得OA →＋OB →＋OC →＝3OM →,∴OA →－OM →＝(OM →－OB →)＋(OM →－OC →),∴MA →＝BM →＋CM →＝－MB →－MC →.∴向量MA →,MB →,MC →共面.(2)由(1)知,向量MA →,MB →,MC →共面,表明三个向量的有向线段又过同一点M , ∴M ,A ,B ,C 四点共面,∴点M 在平面ABC 内.。

1.1.1空间向量及其线性运算导学案【学习目标】1.理解空间向量的概念2.掌握空间向量的线性运算3.掌握共线向量定理、共面向量定理及推论的应用【自主学习】知识点一 空间向量(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度或模：空间向量的大小． (3)表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a ，b ，c ，…表示；若向量a 的起点是A ，终点是B ，也可记作：AB →，其模记为|a |或|AB →|.知识点二 几类常见的空间向量知识点三 空间向量的线性运算 (1)向量的加法、减法(2)①定义：实数λ与空间向量a 的乘积λa 仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 当λ>0时，λa 与向量a 方向相同； 当λ<0时，λa 与向量a 方向相反；当λ＝0时，λa ＝0；λa 的长度是a 的长度的|λ|倍． ②运算律a ．结合律：λ(μa )＝μ(λa )＝(λμ)a .b ．分配律：(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ，λ(a ＋b )＝λa ＋λb . 知识点四 共线向量(1)定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．(2)方向向量：在直线l 上取非零向量a ，与向量a 平行的非零向量称为直线l 的方向向量．规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a ，都有0∥a .(3)共线向量定理：对于空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ使a ＝λb .(4)如图，O 是直线l 上一点，在直线l 上取非零向量a ，则对于直线l 上任意一点P ，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得OP →＝λa .知识点五 共面向量(1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量．(2)共面向量定理：若两个向量a ，b 不共线，则向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b .(3)空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件：存在有序实数对(x ，y ), 使AP →＝xAB →＋yAC →或对空间任意一点O ，有OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →.【合作探究】探究一 空间向量的有关概念 【例1】(1)给出下列命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；②若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |； ③在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AC →＝A 1C 1→； ④若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p . 其中正确命题的序号是________．(2)如图所示，在平行六面体ABCD ­A ′B ′C ′D ′中，顶点连接的向量中，与向量AA ′→相等的向量有________；与向量A ′B ′→相反的向量有________．(要求写出所有适合条件的向量) 【答案】(1)②②② (2)BB ′→，CC ′→，DD ′→ B ′A ′→，BA →，CD →，C ′D ′→[(1)对于②，向量a 与b 的方向不一定相同或相反，故②错； 对于②，根据相反向量的定义知|a |＝|b |，故②正确； 对于②，根据相等向量的定义知，AC →＝A 1C 1→，故②正确； 对于②，根据相等向量的定义知正确．(2)根据相等向量的定义知，与向量AA ′→相等的向量有BB ′→，CC ′→，DD ′→.与向量A ′B ′→相反的向量有B ′A ′→，BA →，CD →，C ′D ′→.]归纳总结：(1)关键点：紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方向． (2)注意点：注意一些特殊向量的特性．①零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的，且与任何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性．②单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1.③两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同.若两个向量模相等,方向相反,则它们为相反向量.【练习1】下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是( ) ①长度相等、方向相同的两个向量是相等向量； ②平行且模相等的两个向量是相等向量； ③若a ≠b ，则|a |≠|b |；④两个向量相等，则它们的起点与终点相同． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】B[根据向量的定义，知长度相等、方向相同的两个向量是相等向量，②正确；平行且模相等的两个向量可能是相等向量，也可能是相反向量，②不正确；当a ＝－b 时，也有|a |＝|b |，②不正确；只要模相等、方向相同，两个向量就是相等向量，与向量的起点与终点无关，②不正确．综上可知只有②正确，故选B.]探究二 空间向量的线性运算【例2】(1)如图所示，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算结果为向量AC 1→的有( )①(AB →＋BC →)＋CC 1→； ②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→； ③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→； ④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个(2)已知正四棱锥P ­ABCD ，O 是正方形ABCD 的中心，Q 是CD 的中点，求下列各式中x ，y ，z 的值．①OQ →＝PQ →＋yPC →＋zP A →； ②P A →＝xPO →＋yPQ →＋PD →.[思路探究] (1)合理根据向量的三角形和平行四边形法则，以及在平行六面体中，体对角线向量等于从同一起点出发的三条棱向量的和．如AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→. (2)根据数乘向量及三角形或平行四边形法则求解． 【答案】(1)D[对于②，(AB →＋BC →)＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→； 对于②，(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→＝AD 1→＋D 1C 1→＝AC 1→； 对于②，(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→； 对于②，(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→.](2)[解] ②如图，②OQ →＝PQ →－PO →＝PQ →－12(P A →＋PC →)＝PQ →－12PC →－12P A →，②y ＝z ＝－12.②②O 为AC 的中点，Q 为CD 的中点， ②P A →＋PC →＝2PO →，PC →＋PD →＝2PQ →， ②P A →＝2PO →－PC →，PC →＝2PQ →－PD →， ②P A →＝2PO →－2PQ →＋PD →，②x ＝2，y ＝－2.归纳总结：1．空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果． 2．利用数乘运算进行向量表示的技巧(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质．【练习2】已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，设M ，G 分别是BC ，CD 的中点，则MG →－AB →＋AD →等于( )A ．32DB →B ．3MG →C ．3GM →D ．2MG →【答案】B[MG →－AB →＋AD →＝MG →－(AB →－AD →)＝MG →－DB →＝MG →＋BD →＝MG →＋2MG →＝3MG →.] 探究三 共线问题【例3】(1)设e 1，e 2是空间两个不共线的向量，已知AB →＝e 1＋k e 2，BC →＝5e 1＋4e 2，DC →＝－e 1－2e 2，且A ，B ，D 三点共线，实数k ＝________.(2)如图所示，已知四边形ABCD ，ABEF 都是平行四边形且不共面，M ，N 分别是AC ，BF 的中点，判断CE →与MN →是否共线．[思路探究] (1)根据向量共线的充要条件求解．(2)根据数乘向量及三角形法则，把MN →表示成λCE →的形式，再根据向量共线的充要条件求解． 【答案】(1)1[AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(e 1＋k e 2)＋(5e 1＋4e 2)＋(e 1＋2e 2)＝7e 1＋(k ＋6)e 2. 设AD →＝λAB →，则7e 1＋(k ＋6)e 2＝λ(e 1＋k e 2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝7λk ＝k ＋6，解得k ＝1.](2)[解] 法一：因为M ，N 分别是AC ，BF 的中点，且四边形ABCD ，四边形ABEF 都是平行四边形，所以MN →＝MA →＋AF →＋FN →＝12CA →＋AF →＋12FB →.又因为MN →＝MC →＋CE →＋EB →＋BN →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →，以上两式相加得CE →＝2MN →，所以CE →②MN →，即CE →与MN →共线．法二：因为四边形ABEF 为平行四边形，所以连接AE 时，AE 必过点N . ②CE →＝AE →－AC →＝2AN →－2AM →＝2(AN →－AM →)＝2MN →. 所以CE →②MN →，即CE →与MN →共线．归纳总结：对于空间三点P ，A ，B 可通过证明下列结论来证明三点共线． (1)存在实数λ，使P A →＝λPB →成立．(2)对空间任一点O ，有OP →＝OA →＋tAB →(t ∈R )． (3)对空间任一点O ，有OP →＝xOA →＋yOB →(x ＋y ＝1)．【练习3】如图，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且A 1E →＝2ED 1→，F 在对角线A 1C 上，且A 1F →＝23FC →.求证：E ，F ，B 三点共线．[证明] 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ， 因为A 1E →＝2ED 1→，A 1F →＝23FC →，所以A 1E →＝23A 1D 1→，A 1F →＝25A 1C→，所以A 1E →＝23AD →＝23b ， A 1F →＝25(AC →－AA 1→)＝25(AB →＋AD →－AA 1→)＝25a ＋25b －25c ， 所以EF →＝A 1F →－A 1E →＝25a －415b －25c ＝25⎝⎛⎭⎫a －23b －c . 又EB →＝EA 1→＋A 1A →＋AB →＝－23b －c ＋a ＝a －23b －c ， 所以EF →＝25EB →，所以E ，F ，B 三点共线.课后作业A 组 基础题一、选择题1．空间任意四个点A ，B ，C ，D ，则DA →＋CD →－CB →等于( )A ．DB → B ．AC → C ．AB →D ．BA →【答案】D[DA →＋CD →－CB →＝DA →＋BD →＝BA →.]2．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO →＋OB →＝DO →＋OC →，则四边形ABCD 是( )A ．平行四边形B ．空间四边形C ．等腰梯形D ．矩形【答案】A[②AO →＋OB →＝DO →＋OC →，②AB →＝DC →.②AB →②DC →且|AB →|＝|DC →|.②四边形ABCD 为平行四边形．]3．已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点A ，B ，C 一定共面的是( )A ．OM →＝OA →＋OB →＋OC →B ．OM →＝2OA →－OB →－OC →C ．OM →＝OA →＋12OB →＋13OC → D ．OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →【答案】D[由OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →， 可得3OM →＝OA →＋OB →＋OC →②OM →－OA →＋OM →－OB →＋OM →－OC →＝0，即AM →＝－BM →－CM →.所以AM →与BM →，CM →在一个平面上，即点M 与点A ，B ，C 一定共面．]4．若空间中任意四点O ，A ，B ，P 满足OP →＝mOA →＋nOB →，其中m ＋n ＝1，则( )A ．P ∈ABB ．P ∉ABC ．点P 可能在直线AB 上D ．以上都不对【答案】A[因为m ＋n ＝1，所以m ＝1－n ，所以OP →＝(1－n )OA →＋nOB →，即OP →－OA →＝n (OB →－OA →)，即AP →＝nAB →，所以AP →与AB →共线．又AP →，AB →有公共起点A ，所以P ，A ，B 三点在同一直线上，即P ②AB .]5．已知在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，点E 是A 1C 1的中点， 点F 是AE 的三等分点，且AF＝12EF ，则AF →＝( )A ．AA 1→＋12AB →＋12AD → B ．12AA 1→＋12AB →＋12AD → C ．12AA 1→＋16AB →＋16AD → D ．13AA 1→＋16AB →＋16AD → 【答案】D[如图所示，AF →＝13AE →，AE →＝AA 1→＋A 1E →，A 1E →＝12A 1C 1→，A 1C 1→＝A 1B 1→＋A 1D 1→，A 1B 1→＝AB →，A 1D 1→＝AD →，所以AF →＝13⎝⎛⎭⎫AA 1→＋12A 1C 1→＝13AA 1→＋16AB →＋16AD →，故选D.] 二、填空题6．已知A ，B ，C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若由OM →＝－2OA →＋OB →＋λOC →确定的点M 与A ，B ，C 共面，则λ＝________.【答案】2[由M 、A 、B 、C 四点共面知：－2＋1＋λ＝1，即λ＝2.]7．在平行六面体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，用a ，b ，c 表示D 1M →，则D 1M →＝________.【答案】12a －12b ＋c [D 1M →＝D 1D →＋DM →＝A 1A →＋12(DA →＋DC →) ＝c ＋12(－A 1D 1→＋A 1B 1→) ＝12a －12b ＋c .]8．在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，则EF →和AD →＋BC →的关系是________．(填“平行”，“相等”或“相反”)【答案】平行[设G 是AC 的中点，则EF →＝EG →＋GF →＝12BC →＋12AD →＝12(AD →＋BC →) 所以2EF →＝AD →＋BC →，从而EF →②(AD →＋BC →)．]三、解答题9.如图，在空间四边形ABCD 中，G 为△BCD 的重心，E ，F 分别为边CD 和AD 的中点，试化简AG →＋13BE →－12AC →，并在图中标出化简结果的向量．[解] ②G 是②BCD 的重心，BE 是CD 边上的中线，②GE →＝13BE →.又12AC →＝12(DC →－DA →) ＝12DC →－12DA →＝DE →－DF →＝FE →，②AG →＋13BE →－12AC → ＝AG →＋GE →－FE →＝AF →(如图所示)．10．在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，M 为DD 1的中点，点N 在AC 上，且AN ∶NC ＝2∶1，求证：A 1N →与A 1B →，A 1M →共面．[证明] ②A 1B →＝AB →－AA 1→，A 1M →＝A 1D 1→＋D 1M →＝AD →－12AA 1→，AN →＝23AC →＝23(AB →＋AD →)，②A 1N →＝AN →－AA 1→＝23(AB →＋AD →)－AA 1→＝23(AB →－AA 1→)＋23(AD →－12AA 1→)＝23A 1B →＋23A 1M →，②A 1N →与A 1B →，A 1M →共面．B 组 能力提升一、选择题1．(多选题)若A ，B ，C ，D 为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是( )A ．AB →＋2BC →＋2CD →＋DC →B ．2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC →C.AB →＋CA →＋BD →D.AB →－CB →＋CD →－AD →【答案】BD[A 中，AB →＋2BC →＋2CD →＋DC →＝AB →＋2BD →＋DC →＝AB →＋BD →＋BD →＋DC →＝AD →＋BC →；B 中，2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC →＝2AC →＋3CA →＋AC →＝0；C 中，AB →＋CA →＋BD →＝AD →＋CA →；D 中，AB →－CB →＋CD →－AD →＝AB →＋BC →＋CD →＋DA →表示A →B →C →D →A 恰好形成一个回路，结果必为0.]2．(多选题)有下列命题，其中真命题的有( )A ．若AB →∥CD →，则A ，B ，C ，D 四点共线B ．若AB →∥AC →，则A ，B ，C 三点共线C ．若e 1，e 2为不共线的非零向量，a ＝4e 1－25e 2，b ＝－e 1＋110e 2，则a ∥b D ．若向量e 1，e 2，e 3是三个不共面的向量，且满足等式k 1e 1＋k 2e 2＋k 3e 3＝0，则k 1＝k 2＝k 3＝0【答案】BCD[根据共线向量的定义，若AB →②CD →，则AB ②CD 或A ，B ，C ，D 四点共线，故A 错；因为AB →②AC →且AB →，AC →有公共点A ，所以B 正确；由于a ＝4e 1－25e 2＝－4－e 1＋110e 2＝－4b ，所以a ②b ，故C 正确；易知D 也正确．] 二、填空题3．(一题两空)已知A ，B ，C 三点共线，则对空间任一点O ，若OA →＝2OB →＋μOC →，则μ＝________；存在三个不为0的实数λ，m ，n ，使λOA →＋mOB →＋nOC →＝0，那么λ＋m ＋n 的值为________．【答案】－1 0[由A 、B 、C 三点共线，②2＋μ＝1，②μ＝－1，又由λOA →＋mOB →＋nOC →＝0得OA →＝－m λOB →－n λOC → 由A ，B ，C 三点共线知－m λ－n λ＝1，则λ＋m ＋n ＝0.] 4．设e 1，e 2是平面上不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，若A ，B ，D 三点共线，则实数k 为________．【答案】－8[因为BD →＝CD →－CB →＝e 1－4e 2，AB →＝2e 1＋k e 2，又A ，B ，D 三点共线，由共线向量定理得12＝－4k， 所以k ＝－8.]三、解答题5.如图所示，已知四边形ABCD 是平行四边形，点P 是ABCD 所在平面外的一点，连接P A ，PB ，PC ，PD .设点E ，F ，G ，H 分别为△P AB ，△PBC ，△PCD ，△PDA 的重心．(1)试用向量方法证明E ，F ，G ，H 四点共面；(2)试判断平面EFGH 与平面ABCD 的位置关系，并用向量方法证明你的判断．[证明] (1)分别连接PE ，PF ，PG ，PH 并延长，交对边于点M ，N ，Q ，R ，连接MN ，NQ ，QR ，RM ，②E ，F ，G ，H 分别是所在三角形的重心，②M ，N ，Q ，R 是所在边的中点，且PE →＝23PM →，PF →＝23PN →，PG →＝23PQ →，PH →＝23PR →. 由题意知四边形MNQR 是平行四边形，②MQ →＝MN →＋MR →＝(PN →－PM →)＋(PR →－PM →)＝32(PF →－PE →)＋32(PH →－PE →)＝32(EF →＋EH →)． 又MQ →＝PQ →－PM →＝32PG →－32PE →＝32EG →.②EG →＝EF →＋EH →，由共面向量定理知，E ，F ，G ，H 四点共面．(2)平行．证明如下：由(1)得MQ →＝32EG →，②MQ →②EG →， ②EG →②平面ABCD .又MN →＝PN →－PM →＝32PF →－32PE → ＝32EF →，②MN →②EF →. 即EF ②平面ABCD .又②EG ∩EF ＝E ，②平面EFGH 与平面ABCD 平行。

1.1.1空间向量及其线性运算教学设计一、教学目标（1）理解空间向量的概念，掌握空间向量的表示方法；会用图形说明空间向量加法，减法，数乘向量及它们的运算律；（2）会用向量共线和向量共面充要条件；（3）会用空间向量的运算及运算律解决简单的立体几何问题；形成事物与事物之间普遍联系及其相互转化的辨证观点；（4）通过探究、练习，提高学生对事物个性与共性之间联系的认识水平，提升学生的直观想象、数学运算、逻辑推理等数学学科核心素养.二、教学重难点教学重点：空间向量的概念和线性运算及其应用教学难点：空间向量的线性运算及其应用三、教学过程（一）创设情境，导入新课师生活动：阅读章前引言，章头图展示的是一个做滑翔伞运动的场景，可以想象在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向大小各异的力，你能用图示法表示这些力吗？设计意图：图1中的引入情境于学生而言，非常熟悉。

课堂上追问学生，飞行员收到来自不同方向的力又该如何表示，用图示法表示这些力吗?既贴近学生生活实际又自然将平面向量拓展到空间向量，既揭示了学习空间向量的必要性，又激发了学生的学习兴趣，也为后续空间向量的加法运算做了铺垫（尤其是在验证空间向量的加法结合律）.(二)类比归纳，形成概念问题 1 我们已经学习过平面向量的概念和线性运算，你能类比平面向量，给出空间向量的概念和线性运算吗？追问(1)：平面向量是什么的？你能类比平面向量给出空间向量的概念吗？追问（2）：如何表示平面向量？？你能类比平面向量的表示，给出空间向量的表示吗？追问（3）：从平面向量的概念出发，我们又学习了不少新的概念. 你还记得吗？有哪些？你能把这些概念推广到空间向量中吗？与平面向量一样，在空间,我们把具有大小和方向的量叫做空间向量,空间向量的大小叫做空间向量的长度或模.与平面向量一样，空间向量也用有向线段来表示，有向线段的长度表示空间向量的模。

空间向量可以用字母a,b,c,…表示.如图，若向量a的起点是A,终点是B,则向量a也可以记作向量AB,其模记为向量a的模或向量AB的模.如图所示，对于任意一个空间向量，我们都可以将其放在一个平面内研究，这时，这个空间向量就是我们熟悉的平面向量了.几何表示：字母表示：，向量的大小：，方向相同且长度相等问题2 在学习完平面向量的相关概念以后，我们研究了平面向量的线性运算.你能类比平面向量的线性运算，得出空间向量的线性运算及运算律吗？追问（1）：平面向量的线性运算有哪些？我们如何研究这些运算？答：平面向量有加法、减法和数乘运算. 先研究它们的定义及运算法则，再研究它们的运算律；追问（2）：平面向量的加法、减法和数乘运算的定义或法则分别是什么？你能类比它们得出空间向量的加、减和数乘运算的定义或法则吗？追问（3）：平面向量线性运算的运算律有哪些？你能类比它们得出空间线性运算的运算律吗？由于任意两个空间向量都可以通过平移，转化为同一平面内的向量，因此，我们猜想，空间向量的线性运算也具有和平面向量线性运算相同的运算律.数学结论是需要严格证明的, 由合情推理、猜想得到的结论不一定正确，需要严格证明.追问(4)：空间向量线性运算运算律的证明，和平面向量有哪些异同？除空间向量加法的结合律以外，其他运算律都可以转化为平面向量线性运算的运算律进行证明.结合律涉及三个向量，它们可能不在同一个平面内.追问（5）如何证明空间向量的加法结合律呢？如图，可将空间中任意三个不共面的向量，通过平移使它们起点重合，分别平移表示表示这三个向量的线段，构成一个平行六面体. 我们借助这个平行六面体来证明加法的结合律.一般地，对于三个不共面的向量a ，b ， c ，以任意点O 为起点， a ，b ， c 为邻边作平行六面体，则a ，b ， c 的和等于以O 为起点的平行六面体对角线所表示的向量.问题 3 平面向量的线性运算可以解决平面中的很多问题，空间向量的线性运算是否可以解决空间中相应的问题呢？由平面向量的线性运算，我们研究了平面向量的共线及线性表示等问题.追问（1）：你还记得两个向量共线的充要条件吗？这个充要条件对于空间向量也成立吗？ 追问（2）：任意两个空间向量都可以通过平移，移到同一平面内，三个向量呢？答：任意两个空间向量总是共面的，但三个空间向量既可能共面，也可能不共面.追问（3）：你还记得平面向量基本定理的内容吗？它和三个空间向量共面有什么关系？问题4 如右图，已知平行四边形ABCD ，过平面AC 外一点O 作射线OA ，OB ，OC ，OD ，在四条射线上分别取点E ，F ，G ，H ，使OE OF OG OH k OA OB OC OD====. 求证： E ，F ，G ，H 四点共面.追问(1):如何证明E ，F ，G ，H 四点共面？答：可以通过证明E ，F ，G ，H 这四点构成的三个向量，如EF EH EG ，，共面，来证明这四点共面.追问(2):如何证明这三个向量共面？答：根据向量共面的充要条件，用EF EH ，表示EG 即可. 追问(3):如何实现上述表示？答：可以根据三角形法则，把EF EH EG ，，分别用,,,OE OF OG OH 等向量来表示；再利用已知条件，将它们转化用,,,OA OB OC OC 表示的形式.而由已知平行四边形ABCD ，得到=+AC AD AB ，从而可以得到,,,OA OB OC OC 的关系，进一步得到,,,OE OF OG OH 的关系，最终用用EF EH ，表示EG .思路小结：选择恰当的向量表示问题中的几何元素，通过向量运算得出几何元素的关系是解决立体几何问题的常用方法.问题5 回顾本节课的探究过程，你都学到了什么？1. 从知识层面，我们学习了空间向量的有关概念和线性运算.包括空间向量的概念，表示法以及零向量、单位向量、共线向量等相关概念；我们把平面向量的线性运算推广空间向量，研究了空间向量的加法、减法、数乘运算的定义、运算法则以及运算律；通过空间向量的线性运算，我们有了直线的方向向量，以及空间中证明向量或点共面的方法.2. 从本节课的研究方法上来看，我们始终类比平面向量的相关内容，在空间中进行推广，同时比较它与平面向量的共性和差异，并对差异之处进行了严格的证明，最终，在平面向量的相关内容推广过程中，既保持了原结论的延续性，又保证了新结论的严谨性.原有内容的融入到新内容中，这种兼容性是数学的特点， 是数学中常用的研究方法.今后继续研究空间向量的过程中，还会不断使用这样的方法.希望同学们在今后的学习中，继续大胆发现，勇于探索，严谨推理，体会数学的逻辑之美，严谨之美和广泛的应用.四、课外作业布置作业：教科书练P9复习巩固1,2,3,41.如图，E,F 分别是长方体''''D C B A ABCD -的棱CD AB ,的中点，化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量：（1）CB AA -' （2）'''C B AB AA ++（3）''D B AD AB +- （4）CF AB +2.如图，用',,AA AD AB 表示''',DB BD C A 及.3.如图，已知正方体''''D C B A ABCD -，F E ,分别是上底面''C A 和侧面'CD 的中心，求下列各式中x,y 的值：（1）)(''CC BC AB x AC ++=（2）AD y AB x AA AE ++='设计意图：通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、数学建模的核心素养．。

空间向量线性运算
预习导航
1．向量有关概念
思考1空间向量与平面向量关系是怎样？
提示：平面向量集合是空间向量集合子集，平面向量概念在空间向量中仍然成立．如相反向量概念、向量等式中移项法那么、零向量性质在空间向量中仍然成立．
思考2零向量是没有方向吗？
提示：不是，零向量方向是任意．
2．空间向量线性运算
(1)加法：a ＋b ＝OB →.
(2)减法：a －b ＝CA →.
(3)数乘：λa ，
|λa |＝|λ||a |，
当λ>0时，λa 与a 方向一样；
当λ<0时，λa 与a 方向相反；
当λ＝0时，λa 为零向量．
(4)线性运算律
①加法交换律：a ＋b ＝b ＋a ；
②加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )；
③分配律：(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ，λ(a ＋b )＝λa ＋λb .
思考3首尾相接假设干向量假设构成一个封闭图形，它们和向量有什么特点？ 提示：和向量为0.
点拨空间向量线性运算中，加法满足三角形法那么和平行四边形法那么，减法满足三角形法那么．
(1)在△ABC 中，AB →＋BC →＋CA →＝0.
(2)以向量a ，b 为邻边平行四边形中，a ＋b 与a －b 所表示是两条对角线所对应向量，|a ＋b|与|a －b|为两对角线长度．
(3)三个不共面向量和等于以这三个向量为邻边平行六面体对角线所表示向量．。

空间向量及线性运算学案摘要：空间向量及线性运算是线性代数中的重要概念和工具。

本文将介绍空间向量的基本概念以及线性运算的定义和性质。

同时，还将讨论线性运算的应用，包括向量的线性组合、线性相关与无关、线性方程组的解等内容。

通过学习和掌握空间向量及线性运算的基础知识，可以为进一步学习线性代数的相关内容打下坚实的基础。

一、空间向量1. 定义与性质空间向量是指在三维空间中具有大小和方向的箭头。

它可以表示空间中的位移、力、速度等物理量。

空间向量的表示方式有三种：点坐标表示、坐标差表示和位置矢量表示。

对于任何两个空间向量a 和b，其基本运算包括加法、数乘和点积。

2. 坐标与基底空间向量可以用坐标表示，通常使用直角坐标系。

在直角坐标系中，有三个相互垂直的坐标轴，分别是x轴、y轴和z轴。

另外，为了方便计算，常常选择一组基底，它们是一组互相垂直的单位向量，用来表示空间向量的方向。

3. 坐标系变换在不同的坐标系中，空间向量的坐标表示可能有所不同。

因此，需要通过坐标系变换来将向量在不同坐标系之间进行转换。

常见的坐标系变换包括平移、旋转和尺度变换。

二、线性运算1. 定义与性质线性运算是指对向量进行加法和数乘运算的操作。

对于任意两个向量u和v，以及任意标量k，线性运算满足以下性质：(1) 加法交换律：u + v = v + u(2) 加法结合律：(u + v) + w = u + (v + w)(3) 数乘结合律：k(u + v) = ku + kv(4) 数乘分配律：(k + l)u = ku + lu(5) 数乘分配律：k(lu) = (kl)u。

教案)空间向量及其运算教案内容：一、教学目标1. 了解空间向量的概念，理解向量的几何表示和坐标表示。

2. 掌握空间向量的线性运算，包括加法、减法、数乘和点乘。

3. 能够应用空间向量的运算解决实际问题。

二、教学重点与难点1. 空间向量的概念及其几何表示。

2. 空间向量的坐标表示及其运算。

3. 空间向量的应用问题。

三、教学准备1. 教师准备PPT或黑板，用于展示向量的图形和运算过程。

2. 准备一些实际问题，用于引导学生应用向量知识解决。

四、教学过程1. 引入：通过展示一些实际问题，如物体运动、几何图形等，引导学生思考向量的概念和作用。

2. 讲解：向学生介绍空间向量的概念，讲解向量的几何表示和坐标表示。

通过示例和图形，让学生理解向量的加法、减法、数乘和点乘运算。

3. 练习：让学生通过练习题的方式，巩固对向量运算的理解和掌握。

可以提供一些选择题和填空题，以及一些应用问题。

4. 应用：引导学生将向量知识应用到实际问题中，如物体运动、几何图形等。

可以让学生分组讨论和展示解题过程。

5. 总结：对本节课的主要内容和知识点进行总结，强调重点和难点。

五、作业布置1. 完成课后练习题，包括选择题、填空题和应用问题。

2. 准备下一节课的预习内容，了解空间向量的线性组合和叉乘。

六、教学反思在课后，教师应反思本节课的教学效果，包括学生的参与度、理解程度和掌握情况。

根据学生的反馈和表现，调整教学方法和策略，以便更好地进行后续教学。

六、教学评价1. 评价方式：通过课堂讲解、练习题和实际问题解决，评价学生对空间向量的概念理解和运算掌握程度。

2. 评价标准：学生能准确地描述空间向量的概念，理解向量的几何表示和坐标表示；能熟练地进行向量的加法、减法、数乘和点乘运算；能将向量知识应用到实际问题中，解决问题。

七、拓展与延伸1. 向量的线性组合：向学生介绍空间向量的线性组合概念，讲解线性组合的性质和运算规律。

2. 向量的叉乘：向学生介绍空间向量的叉乘概念，讲解叉乘的性质和运算规律。

1.1.1 空间向量及其线性运算一、教学目标1. 了解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示法和字母表示法；2. 会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；3. 了解共面向量的意义，掌握其表示方法，理解共线向量定理和共面向量定理及其推论.二、教学重难点1. 教学重点空间向量的线性运算和运算律.2. 教学难点共线向量定理及共面向量定理.三、教学过程（一）新课导入我们已经学过了平面向量，那么能否把平面向量推广到空间向量呢？我们先来看空间向量的概念和表示.（二）探索新知探究一空间向量的概念及表示空间向量的定义：与平面向量一样，在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模.空间向量用字母a，b，c，…表示.与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模.如图1.1-1，向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作AB，其模记为||a或||AB.图1.1-2所示的正方体中，过同一个顶点O的三条棱上的三条有向线段表示的三个向量为OA，OB，OC，它们是不共面的向量，即它们是不同在任何一个平面内的三个向量.与平面向量一样，我们规定，长度为0的向量叫做零向量，记为0.当有向线段的起点A 与终点B重合时，AB 0.模为1的向量叫做单位向量.与向量a长度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量，记为-a.如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有//0a.方向相同且模相等的向量叫做相等向量.因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.空间向量是自由的，对于空间中的任意两个非零向量，可以通过平移使它们的起点重合.因为两条相交直线确定一个平面，所以起点重合的两个不共线向量可以确定一个平面，也就是说，任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量.如图1.1-3，已知空间向量a ，b ，以任意点O 为起点，作向量OA OB ==，a b ，我们就可以把它们平移到同一个平面α内.问题1 平面向量与空间向量有什么区别与联系？（学生自主思考，举手回答，教师引导，做最后总结）（1）区别：平面向量研究的是二维平面的向量，空间向量研究的是三维空间的向量.（2）联系：空间向量的定义、表示方法及零向量、单位向量、相反向量、相等向量和共线向量（平行向量）的概念都与平面向量相同.探究二 空间向量的线性运算由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，这样任意两个空间向量的运算就可以转化为平面向量的运算.下面我们把平面向量的线性运算推广到空间向量的线性运算.问题2 如图1.1-4和图1.1-5，计算λ+-，，a b a b a .（学生以小组为单位讨论，每组选出代表回答，教师总结）（1）OA AB OB +=+=a b ；（2）OA OC CA -=-=a b ；（3）当0λ>时，OA PQ λλ==a ；当0λ<时，OA MN λλ==a ；当0λ=时，λ=0a .问题3 由此是否能得出空间向量线性运算的运算律？（学生自主思考，举手回答，教师引导，做最后总结）空间向量线性运算的运算律：（1）交换律：+=+a b b a ；（2）结合律：()()()()λμλμ++=++=，a b c a b c a a ；（3）分配律：()()λμλμλλλ+=++=+，a a a a b a b .问题4 如图1.1-6，在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，分别标出AB AD AA '++，AB AA AD '++表示的向量.从中体会向量加法运算的交换律和结合律.一般地，三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关系？在平行四边形ABCD 中，AB AD AC +=；在平行四边形ACC A ''中，AC AA AC ''+=；在平行四边形ABB A ''中，AB AA AB ''+=；在平行四边形AB C D ''中，AB AD AC ''+=.故AB AD AA AB AA AD AC '''++=++=.一般地，对于三个不共面的向量a ，b ，c ，以任意点O 为起点，a ，b ，c 为邻边作平行六面体，则a ，b ，c 的和等于以O 为起点的平行六面体对角线所表示的向量.利用向量加法的交换律和结合律，可以得到：有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变.探究三 共线向量及共面向量问题5 对任意两个空间向量a 与b ，如果()λλ=∈R a b ，a 与b 有什么位置关系？反过来，a 与b 有什么位置关系时，λ=a b ？共线向量定理：类似于平面向量共线的充要条件，对任意两个空间向量a ，b ()≠0b ，//a b 的充要条件是存在实数λ，使λ=a b .如图1.1-7，O 是直线l 上一点，在直线l 上取非零向量a ，则对于直线l 上任意一点P ，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得OP λ=a .与向量a 平行的非零向量称为直线l 的方向向量.这样，直线l 上任意一点都可以由直线l 上的一点和它的方向向量表示，也就是说，直线可以由其上一点和它的方向向量确定.如图1.1-8，如果表示向量a的有向线段OA所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量.问题6 我们知道，任意两个空间向量总是共面的，但三个空间向量既可能是共面的，也可能是不共面的.那么，什么情况下三个空间向量共面呢？带着问题6来进行探究.问题7 对平面内任意两个不共线向量a，b，由平面向量基本定理可知，这个平面内的任意一个向量p可以写成x y=+p a b，其中(x，y)是唯一确定的有序实数对.对两个不共线的空间向量a，b，如果x y=+p a b，那么向量p与向量a，b有什么位置关系？反过来，向量p与向量a，b有什么位置关系时，x y=+p a b？可以发现，如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使x y=+p a b.（共面向量定理）例1 如图1.1-9，已知平行四边形ABCD，过平面AC外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，使OE OF OG OHkOA OB OC OD====.求证：E，F，G，H四点共面.证明：因为OE OF OG OHk OA OB OC OD====，所以OE kOA OF kOB OG kOC OH kOD ====，，，. 因为四边形ABCD是平行四边形，所以AC AB AD =+.因此EG OG OE kOC kOA k AC =-=-=()()k AB AD k OB OA OD OA =+=-+-OF OE OH OE =-+-EF EH =+由向量共面的充要条件可知，EH EF EG ，，共面，又EH EF EG ，，过同一点E ，从而E ，F ，G ，H 四点共面.（三）课堂练习1.下列命题：①若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在的直线平行；②若向量a ，b 所在的直线为异面直线，则向量a ，b 一定不共面；③若三个向量a ，b ，c 两两共面，则向量a ，b ，c 共面；④分别表示空间向量的两条有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量.其中正确命题的个数是( )A.0B.1C.2D.3 答案：A解析：a 与b 共线，a ，b 所在直线也可能重合，故①错误；根据向量的意义知，空间任意两向量a ，b 都共面，故②错误；三个向量a ，b ，c 中任意两个一定共线，但它们三个却不一定共面，故③错误；因为空间任意两向量平移之后均可共面，所以空间任意两向量均共面，故④错误.综上可知四个命题中正确的个数为0，故选A.2.在平行六面体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G ，H ，P ，Q 分别是111111,,,,,A A AB BC CC C D D A 的中点，则( )A.0EF GH PQ ++=B.0EF GH PQ --=C.0EF GH PQ +-=D.0EF GH PQ -+= 答案：A解析：观察平面六面体1111ABCD A B C D -可知，向量,,EF GH PQ 平移后可以首尾相连，于是0EF GH PQ ++=.故选A.3.已知空间向量a ，b ，且2AB =+a b ，56BC =-+a b ，72CD =-a b ，则一定共线的三点是( )A. A ，B ，DB. A ，B ，CC. B ，C ，DD. A ，C ，D答案：A解析：567224BD BC CD a b a b a b =+=-++-=+，2,2BA AB a b BD BA =-=--∴=-，,,A B D ∴三点共线，故选A.4.已知三个向量a ，b ，c 不共面，并且,235,71822=+-=--=-++p a b c q a b c r a b c ，向量p ，q ，r 是否共面？答案：假设存在实数,λμ，使λμ=+p q r ，则(27)(318)(522)λμλμλμ+-=-+-++-+a b c a b c .∵a ，b ，c 不共面，∴27131815221λμλμλμ-=⎧⎪-+=⎨⎪-+=-⎩，解得5313λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 即存在实数51,33λμ==，使λμ=+p q r ，∴p ，q ，r 共面. （四）小结作业小结：1.空间向量的概念； 2.空间向量的线性运算； 3.空间共线向量与共面向量.作业：四、板书设计1.1.1 空间向量及其线性运算1. 空间向量的相关概念：空间向量；模；零向量；单位向量；相反向量；共线向量（平行向量）；相等向量.2. 空间向量线性运算的运算律：（1）交换律；（2）结合律；（3）分配律.3. 共线向量定理；共面向量定理.。

3.1.1
空间向量及其线性运算 预习案
一 预习目标
1．了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算及其性质； 2．理解空间向量共线的充要条件
二 要点扫描
1．空间向量的概念：
2．空间向量的运算
3．共线向量定理
三 质疑问难
四 牛刀小试
已知空间四边形ABCD ，连结,AC BD ，设,M G 分别是,BC CD 的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量：
（1）AB BC CD ++
；
（2）1()2AB BD BC ++
；
（3）1()2
AG AB AC -+ ．
B
C
D
M
G
A
1
O
A
c
D /
B / A
D B
3.1.1 空间向量及其线性运算 教学案
一 学习目标
1．了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算及其性质； 2．理解空间向量共线的充要条件 二 要点概述
三 合作探究
探究一: 例1 如图，在三棱柱111C B A ABC -中，M 是1BB 的中点，
化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量： （1）1BA +; （2）12
1
AA CB AC +
+; （3）AA --1
探究二:如图，在长方体///B D CA OADB -中，1,2,4,3======OK OJ OI OC OB OA ，
点E,F 分别是//,B D DB 的中点，设===,,,试用向量,,表示OE 和OF
C
c
方法总结:
四 随堂检测
学习讲义P75变式1 五 巩固提高练习 课本练习P73。

空间向量及其线性运算目标认知学习目标：1．了解空间向量的概念，体会向量由平面向空间的推广过程。

2．掌握空间向量的线性运算，掌握向量共线的充要条件.3．掌握空间向量的数量积，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.重点：空间向量的线性运算和空间向量的数量积；空间向量共线与垂直的充要条件.难点：空间向量的数量积，空间向量共线与垂直的充要条件.学习策略：把向量的研究范围从平面扩大到空间，就得到空间向量，因此，空间向量是平面向量的推广，学习空间向量的相关概念及其运算时，完全类比平面向量的概念及其运算。

知识要点梳理知识点一：空间向量的相关概念1.空间向量的定义：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示；记作：或。

注意：（1）空间中点的一个平移就是一个向量；（2）数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量。

2.空间向量的长度（模）：表示空间向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作或3．空间向量的有关概念：零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为。

单位向量：长度为1的空间向量，即.相等向量：方向相同且模相等的向量。

相反向量：方向相反但模相等的向量。

共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．平行于记作．共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量。

两个规定：（1）与任意向量平行；（2）与任意向量垂直。

注意：①当我们说向量、共线（或//）时，表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．②向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，因此我们说空间任意两个向量是共面的．4.两个向量的夹角已知两非零向量，在空间任取一点O，作向量，，则叫做与的夹角，记作。

规定：当或时，向量与平行，记作当时，向量与垂直，记作知识点二：空间向量的加减法因为空间任意两个向量是共面的．定义空间向量的加法、减法、数乘向量及运算律与平面向量一样。