空间向量的线性运算(完美)

空间向量及其线性运算1.空间向量及其线性运算【知识点的认识】1 .空间向量：在空间内，我们把具有大小和方向的量叫做向量，用有向线段表示.f f2.向量的模：向量的大小叫向量的长度或模.记为I, II特别地：f①规定长度为0的向量为零向量，记作0;②模为1的向量叫做单位向量；3.相等的向量：两个模相等且方向相同的向量称为相等的向量.ff4.负向量：两个模相等且方向相反的向量是互为负向量.如的相反向量记为. _5.平行的向量：两个方向相同或相反的向量称为平行的向量.6.注意：f①零向量的方向是任意的，规定0与任何向量平行；②单位向量不一定相等，但单位向量的模一定相等且为1；③方向相同且模相等的向量称为相等向量，因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量;④空间任意两个向量都可以通过平移成为共面向量；⑤一般来说，向量不能比较大小.1.加减法的定义：空间任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法.空间向量和平面向量一样满足三角形法则和平行四边形法则.BA = OA - OB = a - b2 .加法运算律: 空间向量的加法满足交换律及结合律.(1)交换律：+3.推广: (1)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量:1 2 + 2 3 + 3 4 +^+ _1(求空间若干向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向量)(2)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为：零向量1 .空间向量的数乘运算④|入|=|入|・加法的三甬形法则 加法的平行四边形法贝ij 减法的三眉形法则 一 的长度是 的长度的|入|倍.(2)结合律：(+ ) ++( + )•1 2 +2 3 + 3 4 +一 + 一1=0.实数入与空间向量的乘积仍是一个向量，称为向量的数乘运算. ①当入 >0时 一与的方向相同;②当入<0时 一与的方向相反; ③当入=0时 一 0.空间向量的数乘满足分配律及结合律.一②(入+P )=+一一 (2)结合律：()=( )A<0(1)分配律:一 一 ①（+ ）= + 注意：实数和空间向量可 行数乘运算，但不能进行加减运算，如 等无法计算.。

向量的线性运算向量是线性代数中的重要概念，线性运算是对向量进行数学操作的方法。

本文将介绍向量的线性运算包括加法、减法、数乘，以及向量的线性组合。

一、向量的加法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量，符号为“+”。

设有向量A和向量B，记作A+B=C，其中C是向量A和向量B的和向量。

向量的加法满足以下几个性质：1. 交换律：A+B=B+A2. 结合律：(A+B)+C=A+(B+C)3. 零向量：对于任意向量A，有A+0=A，其中0是零向量，即所有分量都为0的向量。

二、向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量，符号为“-”。

设有向量A和向量B，记作A-B=C，其中C是向量A和向量B的差向量。

向量的减法可以转化为向量的加法，即A-B=A+(-B)，其中-表示取反操作。

三、向量的数乘向量的数乘是指将一个向量乘以一个实数得到一个新的向量。

设有向量A和实数k，记作kA=B，其中B是向量A的数乘结果。

向量的数乘满足以下性质：1. 分配律：k(A+B)=kA+kB2. 结合律：(kl)A=k(lA)，其中k和l为实数四、向量的线性组合向量的线性组合是指将若干个向量按照一定的权重进行相加得到一个新的向量。

设有向量A1、A2、...、An和实数k1、k2、...、kn，向量的线性组合记作k1A1+k2A2+...+knAn。

向量的线性组合可以看作是向量的加法和数乘运算的组合。

向量的线性运算在向量空间中有着重要的应用。

通过向量的线性组合，我们可以表示出向量空间中的各种线性关系，诸如线性相关性、线性无关性、生成子空间等概念。

在实际问题中，向量的线性运算也有广泛的应用。

例如，物理学中常用向量的线性组合来表示力、速度、加速度等物理量；经济学中则常用向量的线性组合来表示商品的组合、市场的供求关系等。

综上所述，向量的线性运算包括加法、减法、数乘和线性组合。

通过这些运算，我们可以对向量进行各种数学操作，方便地进行向量的运算和分析，也为解决实际问题提供了有力的工具。

空间向量的线性运算空间向量是三维空间中的有方向和大小的物理量，它可以通过坐标表示。

在线性代数中，我们可以进行多种线性运算来操作空间向量，包括向量的加法、减法、标量乘法和向量的点积、叉积等。

这些线性运算在解决几何问题、物理问题以及计算机图形学等领域中起着重要的作用。

1. 向量的加法向量的加法是指将两个向量的对应分量相加，得到一个新的向量。

设有向量A(a1, a2, a3)和向量B(b1, b2, b3)，则它们的和向量C(c1, c2, c3)可以表示为：C = A + B = (a1+b1, a2+b2, a3+b3)2. 向量的减法向量的减法是指将两个向量的对应分量相减，得到一个新的向量。

设有向量A(a1, a2, a3)和向量B(b1, b2, b3)，则它们的差向量C(c1, c2, c3)可以表示为：C = A - B = (a1-b1, a2-b2, a3-b3)3. 标量乘法标量乘法是指将一个向量的每个分量都乘以一个标量。

设有一个向量A(a1, a2, a3)和一个标量k，则标量乘积为：kA = (ka1, ka2, ka3)4. 向量的点积向量的点积也称为数量积或内积，它表示两个向量之间的夹角关系。

设有向量A(a1, a2, a3)和向量B(b1, b2, b3)，则它们的点积可以表示为：A ·B = a1b1 + a2b2 + a3b3点积的几何意义在于可以通过点积的值判断两个向量之间的夹角大小以及它们是否垂直或平行。

5. 向量的叉积向量的叉积也称为矢量积或外积，它表示两个向量之间的垂直关系。

设有向量A(a1, a2, a3)和向量B(b1, b2, b3)，则它们的叉积可以表示为：A ×B = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)叉积的几何意义在于可以通过叉积的结果得到一个新的向量，该向量垂直于原来的两个向量，并遵循右手螺旋定则确定方向。

空间向量的线性关系与应用在线性代数中，空间向量的线性关系及其应用是一项重要的研究内容。

本文将介绍空间向量的线性关系，分析其应用，并探讨其在实际问题中的应用案例。

一、空间向量的线性关系在三维空间中，向量是由坐标表示的，可以表示为(A1, A2, A3)，其中A1、A2、A3分别代表向量在X、Y、Z轴上的分量。

当多个向量之间存在线性关系时，我们可以通过线性组合的方式来表达这种关系。

具体来说，假设有n个向量v1、v2、v3......vn，每个向量都可以表示为(v1, v2, v3)、(v4, v5, v6)......(vn-2, vn-1, vn)。

如果存在一组实数k1、k2、k3......kn，使得k1v1 + k2v2 + k3v3 + ......+ knvn = 0，则称这些向量之间存在线性关系。

二、空间向量的应用空间向量的线性关系有很多实际应用，下面将介绍其中几个常见的应用。

1. 平面几何在平面几何中，通过空间向量的线性关系可以进行平面求交、相交线的夹角等计算。

通过求解线性方程组，可以确定平面的位置关系，帮助我们更好地理解和解决平面几何问题。

2. 向量运算空间向量的线性关系在向量运算中起着重要作用。

通过对向量的线性组合，我们可以进行向量的加法、减法、数量积、向量积等运算，进一步拓展了向量的应用领域。

3. 物理学空间向量的线性关系在物理学中也有广泛的应用。

以力学为例，我们可以通过空间向量的线性关系来描述物体所受到的力的合成和分解，进而求解物体的运动状态和受力分析。

三、空间向量线性关系的应用案例下面将通过一个实际问题案例来说明空间向量线性关系的应用。

案例：假设有一辆汽车在平面上行驶，其行驶速度可以表达为一个向量v1。

另外，还有两个力F1和F2作用在汽车上，分别表示汽车所受到的推力和阻力，它们也可以用向量表示。

根据牛顿第二定律，我们知道力的合成可以通过向量的线性组合来表示。

假设F1的大小为a，方向与行驶方向相同，F2的大小为b，方向与行驶方向相反。

空间向量的线性运算空间向量是三维空间中的一个重要概念，它具有方向和大小。

在现实生活和科学研究中，我们常常需要对空间向量进行各种数学操作和运算。

本文将介绍空间向量的线性运算，包括向量的加法、减法、数量乘法以及与数的乘法。

1. 向量的加法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。

设有两个向量A和B，它们的坐标分别表示为(Ax, Ay, Az)和(Bx, By, Bz)。

则两个向量的加法运算可以表示为：A +B = (Ax + Bx, Ay + By, Az + Bz)2. 向量的减法向量的减法是指将两个向量相减得到一个新的向量。

设有两个向量A和B，它们的坐标分别表示为(Ax, Ay, Az)和(Bx, By, Bz)。

则两个向量的减法运算可以表示为：A -B = (Ax - Bx, Ay - By, Az - Bz)3. 数量乘法数量乘法是指将一个向量与一个标量相乘得到一个新的向量。

设有一个向量A和一个标量k，向量A的坐标表示为(Ax, Ay, Az)。

则向量A与标量k的数量乘法运算可以表示为：kA = (kAx, kAy, kAz)4. 向量与数的乘法向量与数的乘法是指将一个向量的每个分量都与一个相同的数相乘得到一个新的向量。

设有一个向量A和一个数k，向量A的坐标表示为(Ax, Ay, Az)。

则向量A与数k的乘法运算可以表示为：A * k = (Ax * k, Ay * k, Az * k)空间向量的线性运算具有以下几个重要性质：1. 加法交换律对于任意的向量A和B，有A + B = B + A。

2. 加法结合律对于任意的向量A、B和C，有(A + B) + C = A + (B + C)。

3. 减法与加法的关系向量减法可以看作是加法的逆运算，即A - B = A + (-B)，其中-A表示向量B取相反数得到的向量。

4. 标量乘法分配律对于任意的向量A和标量k、m，有k(A + B) = kA + kB，(k + m)A = kA + mA。

空间向量及其线性运算．【要点梳理】要点一：空间向量的相关概念 1．空间向量的定义：空间向量：空间中，既有大小又有方向的量；空间向量的表示：一种是用有向线段AB u u u r表示，A 叫作起点，B 叫作终点；一种是用小写字母a （印刷体）表示，也可以用a r（而手写体）表示．向量的长度（模）：表示空间向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作||AB uuu r或||a r .向量的夹角：过空间任意一点O 作向量a b ，的相等向量OA 和OB ，则↓AOB 叫作向量a b ，的夹角，记作ℵa b ，∠，规定0⇒ℵa b ，∠⇒π．如图：要点诠释：（1）空间中点的一个平移就是一个向量；（2）数学中讨论的向量是自由向量，即与向量的起点无关，只与大小和方向有关. 只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移；（3）要确定向量a b ，的夹角必须将它们平移到同一起点；（4）当ℵa b ，∠=0或π时，向量a ，b 平行，记作a ⎩b ；当 ℵa b ，∠=2π时，向量 a b ，垂直，记作a ⊥b . 2．空间向量的有关概念：零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为0．规定：0与任意向量平行．单位向量：长度为1的空间向量，即||1a =r．相等向量：方向相同且模相等的向量． 相反向量：方向相反但模相等的向量．共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．aρ平行于b ρ记作b a ρϖ//，此时．ℵa b ，∠=0或ℵa b ，∠=π．共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 要点诠释：（1）当我们说向量a ρ、b ρ共线（或a ρ//b ρ）时，表示a ρ、b ρ的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．（2）向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，因此我们说空间任意两个向量是共面的．（3）对于任意一个非零向量a ，我们把aa 叫作向量a 的单位向量，记作0a .0a 与a 同向.要点二：空间向量的加减法 1．向量加法与减法的定义空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法．（如下图）．2．向量加减法的运算律交换律：a b b a +=+r r r r；结合律：()()a b c a b c ++=++r r r r r r.要点诠释： （1）空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则．而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并；（2）向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则． （3）空间向量加法的运算的小技巧：① 首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即：12233411n n n A A A A A A A A A A -++++=u u u u r u u u u u r u u u u u r u u u u u u r u u u u r L因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量； ② 首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，即：122334110n n n A A A A A A A A A A -+++++=u u u u r u u u u u r u u u u u r u u u u u u r u u u u r u u r L ；要点三：空间向量的数乘运算1．向量数乘的定义：空间向量a 与实数λ的乘积a λ仍是一个向量，称为向量的数乘运算．满足： （1）|λa |=|λ||a |．当λ＞0时，a λ与a 方向相同；（2）当λ＞0时，a λ与a 方向相同；当λ< 0时，a λ与a 方向相反；当λ= 0时，a λ=0．如右图所示．2．向量数乘的运算律分配律：λ (a +b )=a λ+b λ，（λ+μ）a =a λ+μa （λ ，μ↑R ）； 结合律：λ (μa )= (λμ) a （λ ，μ↑R ）．要点诠释：（1）实数λ与空间向量a 的乘积a λ（λ∈R ）为空间向量的数乘运算，空间向量的数乘运算可把向伸长或缩短或改为反方向的向量，当0＜λ＜1时，向量缩短；当λ＞1时，向量伸长；当λ＜0时，改为反方向的向量．（2）注意实数与向量的积的特殊情况，当λ=0时，a λ=0；当λ≠0时．若a ≠0时，有a λ≠0．（3）实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算，比如：λ+a ，λ－a 无意义． 要点四：空间向量的数量积 1．数量积的定义空间中两个向量a 和b 的数量积是一个数，等于|a ||b |cos 〈a ，b 〉，记作a ·b ，即a ·b =|a ||b |cos 〈a ，b 〉．要点诠释：（1）由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同．（2）两向量的数量积，其结果是数而非向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．（3）两个向量的数量积是两向量的点乘，与以前学过的向量之间的乘法是有区别的，在书写时一定要将它们区别开来，不可混淆． 2.空间向量数量积的性质设,a b rr 是非零向量，e r 是单位向量，则（1）||cos ,a e e a a a e ⋅=⋅=<>r r r r r r r；（2）0a b a b ⊥⇔⋅=r rr r ；（3）2||a a a =⋅r r r或||a =r（4）cos ,||||a b a b a b ⋅<>=⋅r r r rr r ；（5）||||||a b a b ⋅≤⋅r r r r .3．空间向量的数量积满足如下运算律： （1）交换律：a ·b b =·a ； （2）分配律：a ·b c +=（）a ·b a?c + b+a ·c ；（3）(λa )·b =λ()a?b ． 要点诠释：（1） 对于三个不为0的实数a b c 、、，若a?b a?c =，则b c =；对于三个不为0的向量，若a b b c =g g 不能得出b c =，即向量不能约分．（2） 若a?b k =，不能得出a b k =（或b ak=），就是说，向量不能进行除法运算． （3） 对于三个不为0的实数，a b c 、、有()()ab c a bc =，对于三个不为0的向量a b c 、、，有()()a b c a b c ≠g g ，向量的数量积不满足结合律．要点五：共线定理1. 共线定理空间任意两个向量a 与b （b ≠0）共线的充要条件是存在实数λ，使a ≠b λ． 要点诠释：（1）此定理可分解为以下两个命题：① a ∥b （b ≠0）⇒存在唯一实数λ，使得a =b λ； ② 存在唯一实数λ，使得a =b λ（b ≠0），则a ∥b ． （2）b ≠0不可丢掉，否则实数λ就不唯一．（3）当b =0时，对于任意一个向量a ，a ∥b 恒成立. 2．共线定理的用途：①判定两条直线平行（进而证线面平行）； ②证明三点共线．注意：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法．证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点．要点六：共面定理 1．共面向量的定义通常把平行于同一平面的向量，叫做共面向量．注意： 空间任两个向量是共面的，但空间任三个向量就不一定共面了．2．共面向量定理．如果两个向量,a b r r 不共线，p r与向量,a b r r 共面的充要条件是存在唯一的有序 实数对（,x y ），使p xa yb =+r r r．推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对,x y ，使MP xMA yMB =+u u u r u u u r u u u r或对空间任一点O ，有OP OM xMA yMB =++u u u r u u u u r u u u r u u u r，上式叫做平面MAB 的向量表达式． 3．共面向量定理的用途： ① 证明四点共面② 证明线面平行（进而证面面平行）． 【典型例题】类型一：空间向量的线性运算例1. 已知平行六面体''''ABCD A B C D -，M 是AA ＇的中点，点G 在对角线'A C 上且CG GA ∶＇=2∶1，设CD=CB=CC'=u u u r u u u r u u u r，，a b c ，试用、、a b c 表示CA u u u r 、'CA u u u r 、CM u u u u r 、CG u u u r ．【思路点拨】 要想用、、a b c 表示所给出的向量，只需结合图形充分利用空间向量的线性运算律即可． 【解析】如图所示．CA CB BA a b =+=+u u u r u u u r u u u r．'''CA CA AA CA CC a b c =+=+=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r．11'22CM CA AM CB CD CC a b c =+=++=++u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r ．22'()33CG CA a b c ==++u u u r u u u r ．【总结升华】 在用已知向量表示未知向量的时候，要注意寻求两者之间的关系，通常可将未知向量进行一系列的转化，将其转化到与已知向量在同一四边形（更多的是平行四边形）或三角形中，从而可以建立已知与未知之间的关系式．另外，在平行六面体中，要注意相等向量之间的代换．例如，在求'CA u u u r 时，利用了''AA CC =u u u r u u u u r ，把'AA u u u r转化为'CC u u u u r．把一个向量用其他向量来表示，其实质就是把一个向量进行分解，这也是为学习向量共面定理和向量的空间坐标表示奠定基础．举一反三：【变式1】如图，在平行六面体1111D C B A ABCD -中，M 为11C A 与11D B MC1CB1D1A1ABD的交点．若AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，1AA c =u u u r r，则下列向量中与BM 相等的向量是（ ）()A 1122a b c -++r r r ()B 1122a b c ++r r r()C 1122a b c --+r r r ()D c b a +-2121【答案】A显然 =+-=+=111)(21AA AB AD M B BB BM 1122a b c -++r r r ．【变式2】如图，设四面体ABCD 的三条棱AB =u u u r b ，AC =u u u r c ，AD =u u u rd ，Q 为△BCD 的重心，M 为BC 的中点，试用b 、c 、d 表示向量DM u u u u r 、AQ uuu r．【答案】DM u u u u r 1(2)2=+-b c d ；AQ uuu r =()1++3b c d∵ M 为BC 的中点，∴ 11()[()()]22DM DB DC =+=-+-u u u u r u u u r u u u r b d c d 1(2)2=+-b c d ，23AQ AD DQ DM =+=+u u u r u u u r u u u r u u u u r d 11(2)()33=++-=++d b c d b c d ．【变式3】已知在平行六面体''''ABCD A B C D -中，设CD a =u u u r ，CB b =u u u r ，'CC c =u u u u r， 试用向量a 、b 、c 来表示向量CA u u u r、'CA u u u r .【答案】CA u u u r=+a b ；'CA =++a b c u u u r在平行六面体''''ABCD A B C D -中，四边形ABCD 是平行四边形， CA CB CD =+=+=+b a a b u u u r u u u r u u u r.又因为四边形''ACC A 为平行四边形， ∴'''CA CA CC CB CD CC =+=++=++a b c u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r.例2. 如右图，在长方体1111—ABCD A B C D 中，下列各式中运算结果为向量1BD u u u u r的是（ ）． ①111()A D A A AB --u u u u r u u u r u u u r ； ②111()BC BB DC +-u u u r u u u r u u u u r ； ③1()AD AB DD --u u u r u u u r u u u u r ； ④1111()B D A A DD -+u u u u r u u u r u u u u r ．A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④ 【思路点拨】 在进行减法运算时，可将减去一个向量转化为加上这个向量的相反向量，而在进行加法运算时，首先考虑这两个向量在哪个平面内，然后像平面向量求和那样，运用向量运算定律、平行四边形法则、三角形法则及多边形法则来求解．【答案】A 【解析】① 1111111()A D A A AB A D AA BA BD --=++=u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r ；②1111111111()BC BB DC BC BB C D BC C D BD +-=++=+=u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r ；③11111111()22AD AB DD BD D D BD DD BD DD DD BD DD BD --=+=-=+-=-≠u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r ； ④111111*********()B D A A DD B D AA DD B D BB DD BD DD BD -+=++=++=+≠u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r．因此，①②两式的运算结果为向量1BD u u u u r ，而③④两式运算的结果不为向量1BD u u u u r．故选A ．【总结升华】化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则，遇到减法时既可转化为加法，也可按减法法则进行运算，加、减之间可以相互转化．表达式中各向量系数相等时，根据数乘分配律，可以把相同的系数提到括号外面．举一反三：【变式1】如图，已知长方体''''ABCD A B C D -，化简下列向量表达式：（1）'AA CB -u u u r u u u r ；（2）111'222AD AB A A +-u u ur u u u r u u u u r ．【解析】 化简向量时，一般先用平行四边形得到相等的向量或相反向量，再将它们转化为具有同一起点的向量，最后利用三角形法则或平行四边形法则化简．（1）''''AA CB AA BC AA AD AD -=+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r ；（2）111111''222222AD AB A A AD AB AA +-=++u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r 11(')'22AD AB AA AC =++=u u u r u u u r u u u r u u u ur ．【变式2】 已知平行六面体1111ABCD A B C D -，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量：（1） 1AB AD AA ++u u u r u u u r u u u r； （2） 1DD AB BC -+u u u r u u u r u u u r ；【答案】 (1)11AB AD AA AC ++=u u u r u u u r u u u r u u u u r ；(2) 11DD AB BC BD -+=u u u r u u u r u u u r u u u u r【变式3】如图，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点，化简下列向量表达式：（1）111AA A B +u u u r u u u u r ；（2）11111122A B A D +u u u ur u u u u r ；（3）111111122AA A B A D ++u u u r u u u u r u u u u r ；（4）1111AB BC CC C A A A ++++u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r ．【答案】向量的加法利用平行四边形法则或三角形法则，封闭图形，首尾连接的向量的和为0．MC1CB1D1A1BD（1）1111AA A B AB +=u u u r u u u u r u u u r ；（2）111111*********()2222A B A D A B A D AC A M +=+==u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r ；（3）11111111122AA A B A D AA A M AM ++=+=u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r ；（4）11110AB BC CC C A A A ++++=u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r r ．例3．若三棱锥O ABC 中，G 是ΔABC 的重心，求证：1()3OG OA OB OC =++u u u r u u u r u u u r u u u r .【思路点拨】 先在ΔOBC 中考虑中线OD ，然后在ΔOAD 中考虑G 为AD 的分点，分成的比是2：1，两次使用向量的运算性质，把相关向量用,,OA OB OC u u u r u u u r u u u r表示即可．【解析】如图所示，∵G 是ΔABC 的重心，∴2AG GD =u u u r u u u r，D 为BC 的中点，∴22()33OG OA AG AD OA OD OA OA =+=+=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r21[()]321()3OB OC OA OA OA OB OC =+-+=++u u ur u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r【总结升华】(1) 灵活应用向量的运算法则是解此类题目的关键；(2) 此类例题常用到结论：若OD 是ΔOBC 的中线，则有1OD (OB OC)2=+u u u r u u u r u u u r举一反三：【变式1】在如图所示的平行六面体中，求证：''2'AC AB AD AC ++=u u u r u u u u r u u u u r u u u u r．【答案】证明如下：因为 平行六面体的六个面均为平行四边形，所以 AC AB AD =+u u u r u u u r u u u r ，''AB AB AA =+u u u u r u u u r u u u r ，''AD AD AA =+u u u u r u u u r u u u r，所以 ''AC AB AD ++u u u r u u u u r u u u u r ()(')(')AB AD AB AA AD AA =+++++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2(')AB AD AA =++u u u r u u u r u u u r， 又由于 ''AA CC =u u u r u u u u r ，AD BC =u u u r u u u r，所以 ''AB AD AA AB BC CC ++=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r ''AC CC AC =+=u u u r u u u u r u u u u r， 所以 ''2'AC AB AD AC ++=u u u r u u u u r u u u u r u u u u r．【变式2】如图，在四边形ABCD 中，E F 、分别为AD BC 、的中点，试证：1()2EF AB DC =+u u u r u u u r u u u r．【答案】证明如下：因为 EF EA AB BF =++u u u r u u u r u u u r u u u r①EF ED DC CF =++u u u r u u u r u u u r u u u r②①+②得2()()EF EA AB BF ED DC CF AB DC =+++++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ．所以 1()2EF AB DC =+u u u r u u u r u u u r．例4.已知正方体''''ABCD A B C D -，点E 是上底面''''A B C D 的中心，求下列各式中x y z 、、的值：（1）''BD xAD y AB z AA =++u u u u r u u u r u u u r u u u r ； （2）'AE x AD y AB z AA =++u u u r u u u r u u u r u u u r ．【思路点拨】根据向量运算法则，用向量AD u u u r 、AB u u u r 、'AA u u u r 表示BD u u u r 和AE u u u r，然后利用向量相等来确定x y z、、的值．【解析】（1）∵'''BD BD DD AB AD AA =+=-++u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r，又∵''BD xAD y AB z AA =++u u u u r u u u r u u u r u u u r，∴11 1.x y z ===，， ． （2）∵1'''''2AE AA A E AA A C =+=+u u u r u u u r u u u u r u u u ru u u u ur 1'('''')2AA A B A D =++u u u r u u u u u r u u u u u r 1111''''''2222AA A B A D AD AB AA =++=++u u u r u u u u u r u u u u u r u u u r u u u r u u u r ，又∵'AE x AD y AB z AA =++u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴12x =，12y =，1z =． 【总结升华】任何空间向量都可以用三个不共面向量（即是一组基向量）唯一的表示．举一反三：【变式】已知''''ABCD A B C D -是平行六面体．（1）化简12'23AA BC AB ++u u u r u u ur u u u r ，并在图中标出其结果；（2）设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面''BCC B 对角线'BC 上的34分点，设'MN AB AD AA αβγ=++u u u u r u u u r u u u r u u u r ，试求α、β、γ的值．【答案】12α=，14β=，34γ=（1）如图所示，取'AA 的中点为E ，则1''2AA EA =u u u r u u ur取F 为''D C 的一个三等分点，则2'3D F AB =u u u u r u u u r又''BC A D =u u u r u u u u u r ，''AB D C =u u u r u u u u u r ，∴12'''''23AA BC AB EA A D D F EF ++=++=u u u r u u ur u u u r u u u r u u u u u r u u u u r u u u r ．（表示法不唯一） （2）13'24MN MB BN DB BC =+=+u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r 13()(')24DA AB BC CC =+++u u u r u u u r u u u r u u u u r13113()(')'24244AD AB AD AA AB AD AA =-+++=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r ∴12α=，14β=，34γ=．类型二：空间向量的数量积例5．已知向量a b ⊥r r ，向量c r 与,a b r r 的夹角都是60o，且||1,||2,||3a b c ===r r r ，试求：（1）2(2)a b c +-r r r ； （2）(32)(3)a b b c -⋅-r r r r ． 【思路点拨】和平面向量一样，空间向量数量积运算类似于多项式的乘法.【解析】∵向量a b ⊥r r ，向量c r 与,a b r r 的夹角都是60o，且||1,||2,||3a b c ===r r r ，∴22231,4,9,0,cos60,cos6032a b c a b a c a c b c b c ===•=•=•=•=•=o or r r r r r r r r r r r r（1）2(2)a b c +-r r r =222(2)2224a b c a b a c b c +++•-•-•r r r r r r r rr＝1+16+9+0-3-12=11；（2）(32)(3)a b b c -⋅-r r r r =2333223a b a c b b c •-•-+•r r r r r r r ＝0-272-8+18=72.【总结升华】向量的数量积运算除不满足乘法结合律外，其它都满足，所以其运算和实数的运算基本相同.举一反三：【变式1】设向量a 与b 互相垂直，向量c 与它们构成的角都是60°，且|a |=5，|b |=3，|c |=8，那么()()33-2a c b a +⋅= ；()22-3+a b c = .【答案】-62；373()()33232963cos9029cos606cos6062++=︒+︒-︒=-22a cb a =a b ac b a ca b a c b a c g g g g. 同理可得()223+-a b c =373【变式2】已知：0a b c ++=r r r r ， 314|a |,|b |,|c |===r r r，试计算a b b c c a ⋅+⋅+⋅r r r r r r .【答案】13由 0a b c ++=r r r r ，可得 0a b c a b c ++⋅++=r r r r r r （）（）⇒2222220|a ||b ||c |a b b c c a +++⋅+⋅+⋅=r r r r r r r r r . ∵ 314|a |,|b |,|c |===r r r，∴ 13a b b c c a ⋅+⋅+⋅=-r r r r r r.例6. 如右图，已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线长都等于a ，点E F G 、、分别是AB AD DC 、、的中点，求下列向量的数量积．（1）AB AC ⋅u u u r u u u r ； （2）AD BD ⋅u u u r u u u r ； （3）GF AC ⋅u u u r u u u r ； （4）EF BC ⋅u u u r u u u r．【思路点拨】首先要在空间四边形中选一组恰当的基底. 【解析】 在空间四边形ABCD 中，（1） ∵||||AB AC a ==u u u r u u u r ，,60AB AC 〈〉=︒u u u r u u u r，∴21cos602AB AC a a a ⋅=⋅︒=u u u r u u u r ．（2） ∵||AD a =u u u r ，||BD a =u u u r ，,60AD BD 〈〉=︒u u u r u u u r ， ∴221cos602AD BD a a ⋅=︒=u u u r u u u r ．（3） ∵1||2GF a =u u u r ，||AC a =u u u r ，又//GF AC u u u r u u u r ，∴,GF AC π〈〉=u u u r u u u r,∴2211cos 22GF AC a a π⋅==-u u u r u u u r ．（4）∵1||2EF a =u u u r ，||BC a =u u u r，//EF BD u u u r u u u r ，∴,,60EF BC BD BC 〈〉=〈〉=︒u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴2211cos6024EF BC a a ⋅=︒=u u u r u u u r ．【总结升华】 求空间向量数量积的运算同平面向量一样，关键在于确定两个向量之间的夹角以及它们的模，利用公式：cos =a b a b a b g ，即可顺利计算．举一反三：【变式】已知在长方体''''?ABCD A B C D 中，'2AB AA ==，4AD =，E 为侧面''AA B B 的中心，F 为''A D 的中点．求下列向量的数量积：（1）'BC ED ⋅u u u r u u u u r ； （2）'EF FC ⋅u u u r u u u u r ．【答案】 (1)'(''')'''04416BC ED BC EA A D BC EA BC A D ⋅=⋅+=⋅+⋅=+⨯=u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u u r(2)'('')(''')''''''''''EF FC EA A F FD D C EA FD EA D C A F FD A F D C ⋅=++=⋅+⋅+⋅+⋅u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u u u r u u u r u u u u r u uu r u u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u u r04400=-++=.类型三：共线向量定理的应用例7． 证明：在四面体中连接对棱中点的三条直线交于一点且互相平分．（此点称为四面体的重心） 【思路点拨】 如图．在四面体ABCD 中，E 、F 、G 、H 、P 、Q 分别是所在棱的中点，要证明EF 、GH 、PQ 相交于一点O ，且O 为它们的中点．【解析】 ∵E 、G 分别为AB 、AC 的中点，∴1//2EG BC ，同理1//2HF BC ， ∴//EG HF ．从而四边形EGFH 为平行四边形，故其对角线EF 、GH 相交于一点O ，且O 为它们的中点．连接OP 、OQ ．只要能证明向量OP OQ =-u u u r u u u r，就可以说明P 、O 、Q 三点共线，且O 为PQ 的中点．事实上，OP OG GP =+u u u r u u u r u u u r ，OQ OH HQ =+u u u r u u u r u u u r ，而O 为GH 的中点，∴OG OH +=0u u u r u u u r ，1//2GP CD ，1//2QH CD ．∴12GP CD =u u u r u u u r ，12QH CD =u u u r u u u r ．∴1122OP OQ OG OH GP HQ CD CD +=+++=+-=00u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ．∴OP OQ =-u u u r u u u r ．∴PQ 经过O 点，且O 为PQ 的中点．即证得EF 、GH 、Q 相交于点O ，且O 为它们的中点，故原命题得证．【总结升华】 利用共线向量定理可以判定两直线平行、证明三点共线．证平行时，先从直线上取有向线段来表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，此为证明平行问题的一种重要方法；证明三点共线问题时，通常不用图形．直接利用向量的线性运算，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点．举一反三：【变式1】设1e 、2e 是平面上不共线的向量，已知122AB k =+u u u r e e ，123CB =+u u u r e e ，122CD =-u u u re e ，若A B D 、、三点共线，求k 的值．【答案】8由共线的向量定理列出关系式．∵121212(2)(3)4BD CD CB =-=--+=-u u u r u u u r u u u re e e e e e ，122AB k =+e e ．又∵A 、B 、D 三点共线， 由共线向量定理，得142k=-，∴8k =-． 【变式2】如图所示，已知空间四边形ABCD ，E 、H 分别是边AB 、AD 的中点，F 、G 分别是CB 、CD 上的点，且23CF CB =u u u r u u u r ，23CG CD =u u u r u u u r．求证：四边形EFGH 是梯形．【答案】证明过程如下：∵ E 、H 分别是边AB 、AD 的中点， ∴12AE AB =u u u r u u u r ，12AH AD =u u u u r u u u r ，1111()2222EH AH AE AD AB AD AB BD =-=-=-=u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r113333()()222244CD CB CG CF CG CF FG ⎛⎫=-=-=-= ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， ∴//EF FG u u u r u u u r 且3||||||4EH FG FG =≠u u u r u u u r u u u r，又F 不在EH 上，∴四边形EFGH 是梯形．【变式3】如图，在平行六面体1111—ABCD A B C D 中，E F G 、、分别是11111A D D D D C 、、的中点． 求证：平面EFG ∥平面1AB C ．【答案】用共线向量定理证明线线平行，从而证明面面平行．证明：设AB =u u u r a ，AD =u u u r b ，1AA =u u u r c ， 则111()2EG ED D G =+=+u u u r u u u u r u u u u r a b ， ∴2AC EG =+=u u u r u u u r a b ， ∴//EG AC u u u r u u u r，∴EG ∥AC又∵11111()222EF ED D F =+=-=-u u u r u u u u r u u u u r b c b c ，∴11112BC BC C C EF =+=-=u u u r u u u u r u u u u r u u u r b c ，∴1//EF BC u u u r u u u r ，EF ∥B 1C ．又∵EG 与EF 相交，AC 与B 1C 相交， ∴平面EFG ∥平面AB 1C ． 类型四：共面向量及应用 例8．已知ABCD Y，从平面AC 外一点O 引向量,,,OE kOA OF KOB OG kOC OH kOD ====u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r，（1）求证：四点,,,E F G H 共面；（2）平面AC //平面EG ． 【解析】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AC AB AD =+u u u r u u u r u u u r，∵EG OG OE =-u u u r u u u r u u u r()()()k OC k OA k OC OA k AC k AB AD k OB OA OD OA OF OE OH OE EF EH=⋅-⋅=-==+=-+-=-+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r ∴,,,E F G H 共面；（2）∵()EF OF OE k OB OA k AB =-=-=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，又∵EG k AC =⋅u u u r u u u r ，∴//,//EF AB EG AC所以，平面//AC 平面EG ．【总结升华】在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算．【变式】已知,,A B C 三点不共线，对平面外任一点，满足条件122555OP OA OB OC =++u u u r u u u r u u u r u u u r，试判断：点P 与,,A B C 是否一定共面？【答案】由题意：522OP OA OB OC =++u u u r u u u r u u u r u u u r，∴()2()2()OP OA OB OP OC OP -=-+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，∴22AP PB PC =+u u u r u u u r u u u r ，即22PA PB PC =--u u u r u u u r u u u r ，∴点P 与,,A B C 共面．例9．如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D －中，O 是11B D 的中点． 求证：1B C ∥平面ODC ． 【解析】11111===C B C D C C a b c u u u u r u u u u u r u u u u r，，，（1）利用共面向量定理证明线面平行时，只需考虑一个向量可以用平面内的两个不共线的向量表示即可． （2）利用共面向量定理证明四点共面时，通常构造有公共起点的三个向量，用其中的两个向量线性表示另一个向量，得到向量共面，即四点共面． 举一反三：【变式1】已知斜三棱柱111ABC A B C -，设AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r， 1AA c =u u u r r．在面对角线1AC 和棱BC 上分别取点M 和N ， 1AM k AC =u u u u r u u u r ， BN k BC =u u u r u u u r（01k ≤≤）．求证：MN u u u u r 与向量 a r ，c r共面．【答案】证明如下：1AM k AC =u u u u r u u u r Q ，∴1()MA k AC k b c =-=-+u u u r u u u r r r()()(1)MN MA AB BN k b c a k b a k a kc =++=-+++-=--u u u u r u u u r u u u r u u u r r r r r r r r∴MN u u u u r 与向量 a r ，c r共面．【变式2】 如右图，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在平面互相垂直，点M N ，分别在对角线BD AE ，上，且13BM BD =，13AN AE =． 求证：MN ∥平面CDE ． 【答案】证明： 如题图，因为M 在BD 上，且13BM BD =， 所以 111333MB BD DA AB ==+u u u r u u u r u u u r u u u r．同理 1133AN AD DE =+u u u r u u u r u u u r．所以 MN MB BA AN =++u u u u r u u u r u u u r u u u r 11113333DA AB BA AD DE ⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r21213333BA DE CD DE =+=+u uu r u u u r u u u r u u u r ． 又 CD uuu r 与DE u u u r不共线，根据向量共面的充要条件可知MN u u u u r ，CD uuu r ，DE u u u r共面．由于 MN 不在平面CDE 内， 所以 MN ∥平面CDE ．。

空间向量的线性运算与应用在线性代数中，空间向量的线性运算是一种常见的运算方式，它涉及向量的加法、减法、数乘、内积和投影等操作。

这些运算不仅在理论上有重要意义，而且在实际应用中也发挥着重要作用。

本文将介绍空间向量的线性运算及其应用。

一、向量的加法向量的加法是指将两个向量进行对应分量的相加。

设有两个向量a=[a₁,a₂,a₃]和a=[a₁,a₂,a₃]，则它们的和记作a+a，即：a+a=[a₁+a₁, a₂+a₂, a₃+a₃]向量的加法满足交换律和结合律，即a+a=a+a和(a+a)+a=a+(a+a)。

向量的加法应用广泛，例如在力学中，我们可以利用向量的加法来求解多个力的合力，进而研究物体的平衡和运动状态。

二、向量的减法向量的减法是指将两个向量进行对应分量的相减。

设有两个向量a=[a₁,a₂,a₃]和a=[a₁,a₂,a₃]，则它们的差记作a-a，即：a-a=[a₁-a₁, a₂-a₂, a₃-a₃]向量的减法和向量的加法类似，满足交换律和结合律。

向量的减法可以用于求解两个物体之间的位移或距离等问题。

三、向量的数乘向量的数乘是指将一个标量与一个向量的每个分量分别相乘，得到一个新的向量。

设有一个向量a=[a₁,a₂,a₃]和一个实数k，它们的数乘记作k a，即：k a=[k a₁, k a₂, k a₃]向量的数乘满足分配律，即k(a+a)=k a+k a。

向量的数乘可以改变向量的大小和方向，在几何上有重要应用。

四、向量的内积向量的内积又称为点积，是指将两个向量的对应分量相乘后相加所得到的一个标量。

设有两个向量a=[a₁,a₂,a₃]和a=[a₁,a₂,a₃]，则它们的内积记作a·a，即：a·a=a₁a₁+a₂a₂+a₃a₃向量的内积有一些重要的性质，如a·a=a·a（交换律）和a·(a+a)=a·a+a·a（分配律）等。

向量的内积可以用于计算夹角、判断两个向量的正交性以及求解投影等问题。