高中数学 空间向量的线性运算教案

§3.1.1 空间向量及其线性运算 编写：陶美霞 审核：赵太田一、知识要点1.空间向量定义及其记法；2.空间向量的线性运算OB OA AB a b =+=+BA OA OB a b =-=- ()OP a R λλ=∈3.空间向量的加法和数乘运算满足如下运算律：⑴a b b a +=+；⑵()()a b c a b c ++=++；⑶()()a b a b R λλλλ+=+∈4.共线向量(平行向量)定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量。

规定：零向量与任意向量共线。

5.共线向量定律：对空间任意两个向量,(0)a b a ≠，b 与a 共线的充要条件是存在实数λ，使b a λ=二、典型例题例 1.如图，在三棱柱__111ABC A B C 中，M 是1BB 的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量。

⑴1CB BA +；⑵112AC CB AA ++；⑶1AA AC CB --例2.如图，在长方体__OADB CA D B '''中，3,4,2,1OA OB OC OI OJ OK ======，点E F 、分别是,DB D B ''的中点，设,,OI i OJ j OK k ===，试用向量,,i j k 表示OE 和OF 。

例3.设四面体ABCD 的三条棱,,AB b AC c AD d ===，求四面体其他各棱所对应的向量，以及面BCD ∆上的中线所对应的向量DM 和向量AQ ，其中M 是BC 的中点，Q 是三角形BCD 的重心。

三、巩固练习1.如图，在空间四边形ABCD 中，E 是线段AB 的中点，2CF FD =，连结,,,EF CE AF BF ，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量。

⑴AC CB BD ++；⑵ AF BF AC --；⑶1223AB BC CD ++。

高二数学《空间向量的线性运算》(理科简案)第一课时 空间向量的线性运算（一）、复习回顾：（3分钟）1、平面向量的概念2、加法、减法和数乘运算及几何意义 （二）、概念形成（15分钟）1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量（1）空间中点的一个位移就是一个向量（2）向量一般用有向线段表示同向且等长的有向线段表示同一或相等的向量（3）零向量 记作 （4）向量的模 记作 （5）基线 （6）共线向量 记作 （7）零向量和任意向量共线。

练习；课本81页练习A 1 2、空间向量的运算（1）类比平面向量运算，定义空间向量的加法、减法与数乘向量运算实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，其长度和方向规定如下： |λa |＝|λ||a |当λ＞0时，λa 与a 同向；当λ＜0时，λa 与a 反向；当λ＝0时，λa ＝0（2）运算律：空间向量加法的运算律要注意以下几点： ⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：n n n A A A A A A A A A A 11433221=++++-因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量．⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：011433221=+++++-A A A A A A A A A n n n ．⑶两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立．因此，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑用平行四边形法则． （三）、概念深化（20分钟）例1 已知平行六面体ABCD －D C B A ''''化简下列向量表达式⑴BC AB +； ⑵A A AD AB ++；⑶C C AD AB ++21； ⑷)(21'DD -++； 引导学生画出一个平行六面体，在一个平行六面体中标出有关的向量，体会向量的加法、减法和数乘运算及其运算律。

得出三个不共面的向量的和的几何意义：三个不共面的向量的和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的对角线所表示的向量。

教案)空间向量及其运算一、教学目标1. 了解空间向量的概念，掌握空间向量的基本性质。

2. 学会空间向量的线性运算，包括加法、减法、数乘和点乘。

3. 能够运用空间向量解决实际问题，提高空间想象力。

二、教学内容1. 空间向量的概念：向量的定义、大小、方向、表示方法。

2. 空间向量的线性运算：(1) 向量加法：三角形法则、平行四边形法则。

(2) 向量减法：差向量、相反向量。

(3) 数乘向量：数乘的定义、运算规律。

(4) 向量点乘：点乘的定义、运算规律、几何意义。

三、教学重点与难点1. 教学重点：空间向量的概念、线性运算及应用。

2. 教学难点：空间向量线性运算的推导及证明，空间向量在实际问题中的应用。

四、教学方法1. 采用多媒体教学，结合图形、动画，直观展示空间向量的概念和运算。

2. 利用实际例子，引导学生运用空间向量解决实际问题。

3. 组织小组讨论，培养学生团队合作精神，提高解决问题的能力。

五、教学安排1. 第一课时：空间向量的概念及表示方法。

2. 第二课时：空间向量的线性运算（向量加法、减法）。

3. 第三课时：空间向量的线性运算（数乘向量、向量点乘）。

4. 第四课时：空间向量线性运算的应用。

5. 第五课时：总结与拓展。

六、教学评价1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的发言和提问情况，评估学生的参与度和积极性。

2. 作业完成情况：检查学生完成的作业质量，评估学生对空间向量及其运算的理解和掌握程度。

3. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，包括团队合作、问题解决能力和创新思维。

4. 课堂测试：通过课堂测试，了解学生对空间向量及其运算的掌握情况，及时发现并解决问题。

七、教学资源1. 多媒体教学课件：通过动画、图形等展示空间向量的概念和运算，增强学生的直观感受。

2. 实际例子：收集与空间向量相关的实际问题，用于引导学生运用空间向量解决实际问题。

3. 小组讨论材料：提供相关的问题和案例，供学生进行小组讨论。

4. 课堂测试卷：编写涵盖空间向量及其运算知识的测试卷，用于评估学生的学习效果。

本节课分为6个环节：引入概念，概念形成，概念深化，应用概念，归纳小结和布置作业。

其中重点是概念的形成和概念的深化，实际教学时间25分钟1。

引入概念在引入概念环节中，我以一个生活实例（学生从宿舍到操场上完操回到教室再由教室到餐厅就餐的过程）引出空间向量的问题，通过追问激发学生学习新概念的兴趣，并给出本节课具体的研究方向。

这节课作为《空间向量与立体几何》一章的第一节课，我希望让它也起到章节“导游图”的作用。

2。

概念形成首先我向学生展示预习学案当中学生复习巩固的平面向量的知识。

教师引导：接着我给出平面向量概念的PPT，由学生从定义、表示、方向刻画、大小刻画、特殊向量、向量间的特殊关系等方面探究空间向量的概念。

我想学生提出问题：在已知平面向量的基本概念情况下如何研究空间向量的基本概念？学生回答：将平面向量的相关知识推广到空间向量。

师生小结：我通过问题串帮助学生将概念梳理清楚，让他们体会到空间向量与平面向量的概念完全相同，只是所处的环境不同而已。

以前研究的向量都位于平面内，现在他们可以在空间中任意平移了。

在这个过程中让学生明确空间向量的研究方法，体会数学的严谨性。

接着我通过提问让学生类比平面向量去定义空间向量的加法，减法和数乘运算，同时得到多个空间向量求和的多边形法则，让学生进一步体会空间向量与平面向量之间的关系，突出教学重点。

3。

概念深化为了简化运算就需要研究空间向量线性运算的运算律。

我向学生提出以下问题：平面向量中学习过哪些线性运算的运算律？这些运算律是不是也可以推广到空间中去呢？咱们先来看看哪些可以直接由平面结论得到？（PPT给出）学生通过探究发现由于加法交换律和分配律都只涉及到一个或两个向量，可以看作同一平面上的问题，可由平面结论直接得出；而空间中任意三个向量可能不共面，所以加法结合律还需要重新证明。

接着由学生自主完成对加法结合律的证明。

教师小结：通过结合律的证明能培养学生的空间观念，他们还能进一步体会空间向量中的某些问题与平面向量中相应问题的不同之处。

新教材高中数学教案新人教A 版选择性必修第一册：第1章 空间向量与立体几何1.1 空间向量及其运算 1.1.1 空间向量及其线性运算学 习 目 标核 心 素 养1.理解空间向量的概念．(难点)2.掌握空间向量的线性运算．(重点)3.掌握共线向量定理、共面向量定理及推论的应用．(重点、难点)1.通过空间向量有关概念的学习，培养学生的数学抽象核心素养.2.借助向量的线性运算、共线向量及共面向量的学习，提升学生的直观想象和逻辑推理的核心素养.国庆期间，某游客从上海世博园(O )游览结束后乘车到外滩(A )观赏黄浦江，然后抵达东方明珠(B )游玩，如图1，游客的实际位移是什么？可以用什么数学概念来表示这个过程？图1 图2如果游客还要登上东方明珠顶端(D )俯瞰上海美丽的夜景，如图2，那么他实际发生的位移是什么？又如何表示呢？1．空间向量(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度或模：空间向量的大小． (3)表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a ，b ，c ，…表示；若向量a 的起点是A ，终点是B ，也可记作：AB →，其模记为|a |或|AB →|.2．几类常见的空间向量名称 方向 模 记法 零向量 任意 0 0 单位向量 任意 1相反向量 相反 相等 a 的相反向量：－aAB →的相反向量：BA →相等向量相同相等a ＝b3.空间向量的线性运算 (1)向量的加法、减法 空间向量的运算加法 OB →＝OA →＋OC →＝a ＋b减法CA →＝OA →－OC →＝a －b加法运算律①交换律：a ＋b ＝b ＋a②结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )①定义：实数λ与空间向量a 的乘积λa 仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 当λ>0时，λa 与向量a 方向相同； 当λ<0时，λa 与向量a 方向相反；当λ＝0时，λa ＝0；λa 的长度是a 的长度的|λ|倍． ②运算律a ．结合律：λ(μa )＝μ(λa )＝(λμ)a .b ．分配律：(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ，λ(a ＋b )＝λa ＋λb . 思考：向量运算的结果与向量起点的选择有关系吗？ [提示] 没有关系． 4.共线向量(1)定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．(2)方向向量：在直线l 上取非零向量a ，与向量a 平行的非零向量称为直线l 的方向向量．规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a ，都有0∥a .(3)共线向量定理：对于空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ使a ＝λb .(4)如图，O 是直线l 上一点，在直线l 上取非零向量a ，则对于直线l 上任意一点P ，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得OP →＝λa .5．共面向量(1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量．(2)共面向量定理：若两个向量a ，b 不共线，则向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b .(3)空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件：存在有序实数对(x ，y ), 使AP →＝xAB →＋yAC →或对空间任意一点O ，有OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →.思考：(1)空间中任意两个向量一定是共面向量吗？(2)若空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，满足OP →＝13OA →＋13OB →＋13OC →，则点P 与点A ，B ，C 是否共面？[提示] (1)空间中任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一个平面的两个向量，因此一定是共面向量．(2)由OP →＝13OA →＋13OB →＋13OC →得OP →－OA →＝13(OB →－OA →)＋13(OC →－OA →)即AP →＝13AB →＋13AC →，因此点P 与点A ，B ，C 共面．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)空间向量a ，b ，c ，若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ． ( ) (2)相等向量一定是共线向量． ( ) (3)三个空间向量一定是共面向量． ( ) (4)零向量没有方向．( )[提示] (1)× 若b ＝0时，a 与c 不一定平行． (2)√ 相等向量一定共线，但共线不一定相等．(3)× 空间两个向量一定是共面向量，但三个空间向量可能是共面的，也可以是不共面的．(4)× 零向量有方向，它的方向是任意的．2．如图所示，在四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1所有的棱中，可作为直线A 1B 1的方向向量的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 D [共四条AB ，A 1B 1，CD ，C 1D 1.]3．点C 在线段AB 上，且|AB |＝5，|BC |＝3，AB →＝λBC →，则λ＝________.－53 [因为C 在线段AB 上，所以AB →与BC →方向相反，又因|AB |＝5，|BC |＝3，故λ＝－53.] 4．在三棱锥A ­BCD 中，若△BCD 是正三角形，E 为其中心，则AB →＋12BC →－32DE →－AD →化简的结果为________．0 [延长DE 交边BC 于点F ，连接AF ，则有AB →＋12BC →＝AF →，32DE →＋AD →＝AD →＋DF →＝AF →，故AB →＋12BC →－32DE →－AD →＝0.]空间向量的有关概念【例1】 (1)给出下列命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；②若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |； ③在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AC →＝A 1C 1→；④若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p . 其中正确命题的序号是________．(2)如图所示，在平行六面体ABCD ­A ′B ′C ′D ′中，顶点连接的向量中，与向量AA ′→相等的向量有________；与向量A ′B ′→相反的向量有________．(要求写出所有适合条件的向量)(1)②③④ (2)BB ′→，CC ′→，DD ′→ B ′A ′→，BA →，CD →，C ′D ′→[(1)对于①，向量a 与b 的方向不一定相同或相反，故①错；对于②，根据相反向量的定义知|a |＝|b |，故②正确； 对于③，根据相等向量的定义知，AC →＝A 1C 1→，故③正确； 对于④，根据相等向量的定义知正确．(2)根据相等向量的定义知，与向量AA ′→相等的向量有BB ′→，CC ′→，DD ′→.与向量A ′B ′→相反的向量有B ′A ′→，BA →，CD →，C ′D ′→.]解答空间向量有关概念问题的关键点及注意点(1)关键点：紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方向． (2)注意点：注意一些特殊向量的特性．①零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的，且与任何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性．②单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1.③两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同.若两个向量模相等,方向相反,则它们为相反向量.[跟进训练]1．下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是( ) ①长度相等、方向相同的两个向量是相等向量； ②平行且模相等的两个向量是相等向量； ③若a ≠b ，则|a |≠|b |；④两个向量相等，则它们的起点与终点相同． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3B [根据向量的定义，知长度相等、方向相同的两个向量是相等向量，①正确；平行且模相等的两个向量可能是相等向量，也可能是相反向量，②不正确；当a ＝－b 时，也有|a |＝|b |，③不正确；只要模相等、方向相同，两个向量就是相等向量，与向量的起点与终点无关，④不正确．综上可知只有①正确，故选B.]空间向量的线性运算【例2】 (1)如图所示，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算结果为向量AC 1的有( )①(AB →＋BC →)＋CC 1→； ②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→； ③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→； ④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个(2)已知正四棱锥P ­ABCD ，O 是正方形ABCD 的中心，Q 是CD 的中点，求下列各式中x ，y ，z 的值．①OQ →＝PQ →＋yPC →＋zPA →； ②PA →＝xPO →＋yPQ →＋PD →.[思路探究] (1)合理根据向量的三角形和平行四边形法则，以及在平行六面体中，体对角线向量等于从同一起点出发的三条棱向量的和．如AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→.(2)根据数乘向量及三角形或平行四边形法则求解． (1)D [对于①，(AB →＋BC →)＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→； 对于②，(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→＝AD 1→＋D 1C 1→＝AC 1→； 对于③，(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→； 对于④，(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→.] (2)[解] ①如图，∵OQ →＝PQ →－PO →＝PQ →－12(PA →＋PC →)＝PQ →－12PC →－12PA →，∴y ＝z ＝－12.②∵O 为AC 的中点，Q 为CD 的中点， ∴PA →＋PC →＝2PO →，PC →＋PD →＝2PQ →， ∴PA →＝2PO →－PC →，PC →＝2PQ →－PD →， ∴PA →＝2PO →－2PQ →＋PD →，∴x ＝2，y ＝－2.1．空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．2．利用数乘运算进行向量表示的技巧(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质．[跟进训练]2．已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，设M ，G 分别是BC ，CD 的中点，则MG →－AB →＋AD →等于( )A ．32DB →B ．3MG →C ．3GM →D ．2MG → B [MG →－AB →＋AD →＝MG →－(AB →－AD →)＝MG →－DB → ＝MG →＋BD →＝MG →＋2MG →＝3MG →.]共线问题【例3】 (1)设e 1，e 2是空间两个不共线的向量，已知AB ＝e 1＋k e 2，BC ＝5e 1＋4e 2，DC ＝－e 1－2e 2，且A ，B ，D 三点共线，实数k ＝________.(2)如图所示，已知四边形ABCD ，ABEF 都是平行四边形且不共面，M ，N 分别是AC ，BF 的中点，判断CE →与MN →是否共线．[思路探究] (1)根据向量共线的充要条件求解．(2)根据数乘向量及三角形法则，把MN →表示成λCE →的形式，再根据向量共线的充要条件求解．(1)1 [AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(e 1＋k e 2)＋(5e 1＋4e 2)＋(e 1＋2e 2)＝7e 1＋(k ＋6)e 2. 设AD →＝λAB →，则7e 1＋(k ＋6)e 2＝λ(e 1＋k e 2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝7λk ＝k ＋6，解得k ＝1.](2)[解] 法一：因为M ，N 分别是AC ，BF 的中点，且四边形ABCD ，四边形ABEF 都是平行四边形，所以MN →＝MA →＋AF →＋FN →＝12CA →＋AF →＋12FB →.又因为MN →＝MC →＋CE →＋EB →＋BN →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →，以上两式相加得CE →＝2MN →，所以CE →∥MN →，即CE →与MN →共线．法二：因为四边形ABEF 为平行四边形，所以连接AE 时，AE 必过点N . ∴CE →＝AE →－AC →＝2AN →－2AM → ＝2(AN →－AM →)＝2MN →.所以CE →∥MN →，即CE →与MN →共线．证明空间三点共线的三种思路对于空间三点P ，A ，B 可通过证明下列结论来证明三点共线． (1)存在实数λ，使PA →＝λPB →成立． (2)对空间任一点O ，有OP →＝OA →＋tAB →(t ∈R )． (3)对空间任一点O ，有OP →＝xOA →＋yOB →(x ＋y ＝1)．[跟进训练]3.如图，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且A 1E →＝2ED 1→，F 在对角线A 1C 上，且A 1F→＝23FC →.求证：E ，F ，B 三点共线．[证明] 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ， 因为A 1E →＝2ED 1→，A 1F →＝23FC →，所以A 1E →＝23A 1D 1→，A 1F →＝25A 1C →，所以A 1E →＝23AD →＝23b ，A 1F →＝25(AC →－AA 1→)＝25(AB →＋AD →－AA 1→)＝25a ＋25b －25c ，所以EF →＝A 1F →－A 1E →＝25a －415b －25c ＝25⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23b －c . 又EB →＝EA 1→＋A 1A →＋AB →＝－23b －c ＋a ＝a －23b －c ，所以EF →＝25EB →，所以E ，F ，B 三点共线.向量共面问题1．什么样的向量算是共面向量？[提示] 能够平移到同一个平面内的向量称为共面向量． 2．能说明P ，A ，B ，C 四点共面的结论有哪些？ [提示] (1)存在有序实数对(x ，y )，使得AP →＝xAB →＋yAC →.(2)空间一点P 在平面ABC 内的充要条件是存在有序实数组(x ，y ，z )使得OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ＋y ＋z ＝1)．(3)四点中任意两点的方向向量与另外两点的方向向量共线，如PA →∥BC →.3．已知向量a ，b ，c 不共面，且p ＝3a ＋2b ＋c ，m ＝a －b ＋c ，n ＝a ＋b －c ，试判断p ，m ，n 是否共面．[提示] 设p ＝x m ＋y n ，即3a ＋2b ＋c ＝x (a －b ＋c )＋y (a ＋b －c )＝(x ＋y )a ＋(－x ＋y )b ＋(x －y )c . 因为a ，b ，c 不共面，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，－x ＋y ＝2，x －y ＝1，而此方程组无解，所以p 不能用m ，n 表示， 即p ，m ，n 不共面．【例4】 已知A ，B ，C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若点M 满足OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →. (1)判断MA →，MB →，MC →三个向量是否共面； (2)判断M 是否在平面ABC 内．[思路探究] (1)根据向量共面的充要条件，即判断是否MA →＝xMB →＋yMC →；(2)根据(1)的结论，也可以利用OM →＝xOA →＋yOB →＋zOC →中x ＋y ＋z 是否等于1.[解] (1)∵OA →＋OB →＋OC →＝3OM →， ∴OA →－OM →＝(OM →－OB →)＋(OM →－OC →)， ∴MA →＝BM →＋CM →＝－MB →－MC →， ∴向量MA →，MB →，MC →共面．(2)由(1)知向量MA →，MB →，MC →共面，而它们有共同的起点M ，且A ，B ，C 三点不共线，∴M ，A ，B ，C 共面，即M 在平面ABC 内．1．[变条件]若把本例中条件“OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →”改为“OA →＋2OB →＝6OP →－3OC →”，点P是否与点A 、B 、C 共面．[解] ∵3OP →－3OC →＝OA →＋2OB →－3OP →＝(OA →－OP →)＋(2OB →－2OP →)， ∴3CP →＝PA →＋2PB →，即PA →＝－2PB →－3PC →.根据共面向量定理的推论知：点P 与点A ，B ，C 共面．2．[变条件]若把本例条件变成“OP →＋OC →＝4OA →－OB →”，点P 是否与点A 、B 、C 共面． [解] 设OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →(x ，y ∈R )，则OA →＋xAB →＋yAC →＋OC →＝4OA →－OB →，∴OA →＋x (OB →－OA →)＋y (OC →－OA →)＋OC →＝4OA →－OB →，∴(1－x －y －4)OA →＋(1＋x )OB →＋(1＋y )OC →＝0，由题意知OA →，OB →，OC →均为非零向量，所以x ，y 满足：⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x －y －4＝0，1＋x ＝0，1＋y ＝0，显然此方程组无解，故点P 与点A ，B ，C 不共面．3．[变解法]上面两个母题探究，还可以用什么方法判断？[解] (1)由题意知，OP →＝16OA →＋13OB →＋12OC . ∵16＋13＋12＝1，∴点P 与点A 、B 、C 共面． (2)∵OP →＝4OA →－OB →－OC →，而4－1－1＝2≠1.∴点P 与点A 、B 、C 不共面．解决向量共面的策略1若已知点P 在平面ABC 内，则有AP →＝xAB →＋yAC →或OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →x ＋y ＋z ＝1，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数.2证明三个向量共面或四点共面，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示.1．一些特殊向量的特性(1)零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的．(2)单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1.(3)两个向量模相等，不一定是相等向量，反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同．若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量．2.OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →称为空间平面ABC 的向量表达式．由此可知空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．3．证明(或判断)A ，B ，C 三点共线时，只需证明存在实数λ，使AB →＝λBC →(或AB →＝λAC →)即可，也可用“对空间任意一点O ，有OC →＝tOA →＋(1－t )OB →”来证明A ，B ，C 三点共线．4．空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对(x ，y )，使MP →＝xMA →＋yMB →，满足这个关系式的点都在平面MAB 内；反之，平面MAB 内的任一点都满足这个关系式．这个充要条件常用于证明四点共面．5．直线的方向向量是指与直线平行或共线的非零向量，一条直线的方向向量有无穷多个，它们的方向相同或相反．6．向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是在a 与b 不共线的前提下才成立的，若a 与b 共线，则不成立．1．下列条件中使M 与A ，B ，C 一定共面的是( )A ．OM →＝2OA →－OB →－OC →B ．OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC → C ．MA →＋MB →＋MC →＝0D ．OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝0C [由MA →＋MB →＋MC →＝0得MA →＝－MB →－MC →，故M ，A ，B ，C 共面．]2．已知正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1，若点F 是侧面CD 1的中心，且AF →＝AD →＋mAB →－nAA 1→，则m ，n的值分别为( )A ．12，－12B ．－12，－12C ．－12，12D ．12，12A [由于AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋12(DC →＋DD 1→)＝AD →＋12AB →＋12AA 1→，所以m ＝12，n ＝－12，故答案为A.]3．化简：12(a ＋2b －3c )＋5⎝ ⎛⎭⎪⎫23a －12b ＋23c －3(a －2b ＋c )＝________. 56a ＋92b －76c [原式＝12a ＋b －32c ＋103a －52b ＋103c －3a ＋6b －3c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋103－3a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52＋6b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋103－3c ＝56a ＋92b －76c .]4．给出下列四个命题：①方向相反的两个向量是相反向量；②若a，b满足|a|＞|b|且a，b同向，则a＞b；③不相等的两个空间向量的模必不相等；④对于任何向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|.其中正确命题的序号为________．④[对于①，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故①错；对于②，向量是不能比较大小的，故不正确；对于③，不相等的两个空间向量的模也可以相等，故③错；只有④正确．]5．设两非零向量e1，e2不共线，且k e1＋e2与e1＋k e2共线，求k的值．[解]∵两非零向量e1，e2不共线，且k e1＋e2与e1＋k e2共线，∴k e1＋e2＝t(e1＋k e2)，则(k－t)e1＋(1－tk)e2＝0.∵非零向量e1，e2不共线，∴k－t＝0,1－kt＝0，解得k＝±1.。

空间向量的线性运算教案引言：本教案旨在介绍空间向量的线性运算，包括向量的相加、相减、数量乘积和点乘积等操作方法和性质。

通过清晰的教学步骤和实例讲解，学生将能够理解和掌握空间向量的线性运算，提高其数学运算和空间几何分析能力。

一、向量的表示与性质1. 向量的定义和表示方法向量是具有大小和方向的量，可以用有向线段来表示。

在空间中，向量通常用坐标表示，即(a, b, c)。

其中，a、b、c分别代表向量在三个坐标轴上的分量。

2. 向量的相等与零向量两个向量相等的条件是它们的对应分量全部相等。

而零向量的分量为0，记作O。

3. 向量的加法向量的加法满足交换律和结合律。

即对于向量a、b、c来说，有：a +b = b + a，(a + b) +c = a + (b + c)。

4. 向量的数量乘积向量的数量乘积是指一个向量与一个实数的乘积。

例如，k * a = (ka, kb, kc)，其中k为实数，a为向量。

二、向量的线性运算1. 向量的减法向量的减法可以通过向量加法和数量乘积来实现。

即a - b = a + (-1) * b。

2. 向量的数乘与共线关系若k≠0，k * a与a的方向相同；若k<0，k * a与a的方向相反；若k=0，k * a为零向量。

3. 线性相关与线性无关若存在实数k1、k2、...、kn，使得k1 * a1 + k2 * a2 + ... + kn * an= 0，其中a1、a2、...、an为不全为0的向量，则称向量组a1、a2、...、an线性相关。

否则，称它们线性无关。

4. 向量的点乘积向量的点乘积是指两个向量的数量乘积再求和。

即a · b = |a| * |b| * cosθ，其中θ为a和b之间的夹角。

5. 点乘积的性质- a · b = b · a，满足交换律；- a · a = |a|^2，其中|a|为向量a的模长；- 若a与b垂直，则a · b = 0；- 若a、b、c为三个向量，有(a + b) · c = a · c + b · c，满足分配律。

《3.1.1 空间向量及其线性运算》教案一､教学目标:1.运用类比的方法,经历向量及其线性运算由平面向空间推广的过程;2.了解空间向量的概念,掌握空间向量的线性运算及其性质;3.理解空间向量共线(平行)的充要条件及共线向量定理.二､教学重难点:1.空间向量的线性运算及其性质.2.空间向量及其线性运算法则的运算.三､教学方法建议:新授课､启发式——引导发现､合作探究.四､教学过程:(A)类问题(学生自学)1､在平面内既有大小又有方向的量叫平面向量.2､在空间,既有大小又有方向的量叫空间向量.3､空间向量的加法和数乘运算满足的运算律.加法交换律: a b b a ＋＝＋;加法结合律:()() a b c a b c ＋＋＝＋＋;数乘分配律:(λλλ a b a b ＋)＝＋.4､共线向量定理:空间任意两个向量 a , b ( a ≠0 ), a //b 的充要条件是存在实数λ,使 b =λ a .(B)类问题(学生练习,教师点拨)1､如图,在三棱柱111ABC A B C -中,M 是1BB 的中点,化简下列各式,并在图中标出化简得到的向量:(1)1 CB BA ＋; (2)112AC CB AA ＋＋; (3)1 AA AC CB －－.(C)类问题(学生思考,教师点拨)如图,在长方体111OADB CA D B 中,OA=3,OB=4,OC=2,OI=OJ=OK=1,点E,F 分别是DB,D1B1的中点.设 OI i ＝, OJ j ＝, OK k ＝,试用向量 i , j , k 表示OE 和 OF.五､问题解决情况检测:(A)类问题检测(B)类问题检测正方体AC1中,点E,F 分别为棱BC 和A1D1的中点,求证:四边形DEB1F 为平行四边形.(C)类问题检测已知空间四边形ABCD,连结AC,BD,设M,G 分别是BC,CD 的中点,化简下列各表达式,并标出化简结果向量:(1) AB BC CD ＋＋; (2)1()2AB BD BC ＋＋. 六､教学反思:。

空间向量及其线性运算教学设计(人教A版普通高中教科书数学选修第一册第一章)一、教学目标1.复习空间向量的相关概念2.能够熟练应用空间向量的线性运算及运算律3.理解并掌握共线、共面定理的推论，会用共线、共面定理及其推论解决问题二、教学重难点重点：空间向量的线性运算及运算律难点：共线、共面定理的推论三、教学过程1.复习回顾知识点一：空间向量的概念1.定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量.2.长度或模：向量的大小.3.表示方法：(1)几何表示法：空间向量用有向线段表示.(2)字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作：AB，其模记为a或AB.|知识点二：空间向量的线性运算知识点三：共线定理与共面定理2.空间向量概念的应用【设计意图】通过简单的习题，加深学生对于空间向量概念的理解，纠正易错点.3.空间向量的加减运算【设计意图】选自课本中本节习题，旨在让学生体会表示未知向量时，可将未知向量放入三角形中，通过向量加减的三角形法将其表示出来.4.空间向量的数乘运算【设计意图】与例2对比，此题在加减运算的基础上加入数乘运算，是一道线性运算的综合题型，通过此题可以使学生加深对空间向量线性运算的认识，提高计算能力.5.空间向量共线、共面定理【设计意图】通过将共线、共面定理的推论以思考题的形式给出，使学生在证明的过程中加深对共线、共面定理的理解与记忆，同时引出推论.【设计意图】将推论引出后通过两个较为简单的练习题，让学生初步感受共线、共面定理推论的应用.【设计意图】用共线定理及其推论两种解法解此题目，让学生再次感受共线定理及推论在证明三点共线时的应用.,,.ABCD .AC O OA,OB,OC,ODOE OF OG OHE,F,G,H ====k,OA OB OC ODE,F,G,H 例5.如图，已知平行四边形过平面外一点作射线在四条射线上分别取点使求证：四点共面1111,,,,,,.OE OF OG OH====k OA OB OC ODOA OE OB OF OC OG OD OHOA OD OB OC OE OB OC OD ∴====∴-=-∴=-+∴k k k kABCD E F G H 四边形为平行四边形四点共面【设计意图】此题是第一课时例题，用共面定理的推论给出此题目的第二种解法，让学生再次感受共面定理及推论在证明四点共面问题时的应用，以达到开拓学生的思路的目的.6.归纳小结(1).用好已有的定理及推论：如共线向量定理、共面向量定理及推论等， 并能运用它们证明空间向量的共线和共面的问题.(2).在解决空间向量问题时，结合图形，将未知向量放入三角形中，再运用向量加减的三角形法则解决问题。

人教版高中选修(B版)2-13.1.1空间向量的线性运算教学设计教学目标1.了解空间向量的基本概念和性质；2.掌握空间向量的线性运算，包括加法、减法、数乘；3.培养学生的抽象思维能力和运算能力。

教学内容1.空间向量的基本概念和性质；2.空间向量的加法、减法；3.空间向量的数乘。

教学重点难点1.空间向量的加法、减法的运算方法；2.空间向量的数乘的性质和计算方法。

教学方法1.讲授法：通过展示PPT、讲解案例等方式，向学生介绍空间向量的基本概念和线性运算的方法；2.实验法：通过实际操作，让学生亲身体验空间向量的线性运算，提升学生的运算能力；3.讨论法：通过组织学生讨论不同的空间向量问题，激发学生的思维能力，提升学生的抽象思维能力。

教学流程第一步：导入1.利用课件或者黑板，展示本节课的主要内容；2.带着学生回顾前置知识，即平面向量的相关概念；3.引出本节课的主题：空间向量的线性运算。

第二步：讲解空间向量的基本概念和性质1.展示空间向量的基本概念和性质的PPT，让学生对空间向量有一个初步的认知和了解；2.通过实际例子来解释空间向量的性质和概念，加深学生的印象；3.给学生讲解空间向量的坐标形式和分量形式，帮助学生理解空间向量在数学和物理中的应用。

第三步：讲解空间向量加法和减法1.给学生展示空间向量的加法和减法的PPT，并通过实际例子来演示向量的相加和相减；2.引导学生总结向量加法和减法的运算法则；3.帮助学生理解向量相减的意义，以及向量和向量之间的相互转换。

第四步：讲解空间向量的数乘1.展示空间向量的数乘的PPT，让学生了解数乘的基本概念和性质；2.通过实际例子来演示向量的数乘，帮助学生理解数乘的计算方法；3.帮助学生了解向量数乘的一些重要性质和应用。

第五步：练习与总结1.布置一些相关练习，让学生掌握向量的基本运算；2.带领学生总结本节课的重点和难点；3.通过掌握练习、总结知识，让学生对空间向量的线性运算有一个全面的了解。

3.1.1空间向量的线性运算教学过程：一、创设情景1、平面向量的概念及其运算法则；2、物体的受力情况分析二、建构数学1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量注：⑴空间的一个平移就是一个向量⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示2．空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下（如图） OB OA AB a b =+=+BA OA OB a b =-=-)(R a OP ∈=λλ运算律：⑴加法交换律：a b b a +=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++⑶数乘分配律：b a b a λλλ+=+)(3．平行六面体：平行四边形ABCD 平移向量a到的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD －````A B C D ，它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱。

4．共线向量与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作b a //．当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b 的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．5．共线向量定理及其推论：共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb .推论：如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，那么对于任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t 满足等式 t OA OP +=a ．其中向量a叫做直线l 的方向向量.三、数学运用1、例1已知平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量：````A B CD(1)AB →＋AD →＋AA ′→；(2)DD ′→－AB →＋BC →；(3)AB →＋AD →＋12(DD ′→－BC →).解：（1）AB →＋AD →＋AA ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→＝AC ′→；（2）DD ′→－AB →＋BC →＝DD ′→－(AB →－AD →)＝DD ′→－DB →＝BD ′→；（3） AB →＋AD →＋12(DD ′→－BC →) ＝AC →＋12(CC ′→＋CB →)＝AC →＋12CB ′→. 设M 是线段CB ′中点，则AB →＋AD →＋12(DD ′→－BC →)＝AC →＋CM →＝AM →. 2、例2 如图，M ，N 分别是四面体ABCD 的棱AB ，CD 的中点，求证：MN →＝12(AD →＋BC →).证明 显然MN →＝MA →＋AD →＋DN →，① MN →＝MB →＋BC →＋CN →.②①＋②得2MN →＝AD →＋BC →.因此MN →＝12(AD →＋BC →). 3、课堂练习 已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，设M ，G 分别是BC ，CD 的中点，化简下列各表达式：（1）（2）．解：（1）取BD 中点O ，连结BG 、OG 、MG ，∵空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，设M ，G 分别是BC ，CD 的中点，∴=+（+） =+ =． （2）取AB 中点E ，AC 中点F ，连结AM 、EM 、FM 、MD ，则==（） ==．四、回顾总结空间向量的定义与运算法则五、布置作业。

1.1.1空间向量及其线性运算教学设计一、教学目标（1）理解空间向量的概念，掌握空间向量的表示方法；会用图形说明空间向量加法，减法，数乘向量及它们的运算律；（2）会用向量共线和向量共面充要条件；（3）会用空间向量的运算及运算律解决简单的立体几何问题；形成事物与事物之间普遍联系及其相互转化的辨证观点；（4）通过探究、练习，提高学生对事物个性与共性之间联系的认识水平，提升学生的直观想象、数学运算、逻辑推理等数学学科核心素养.二、教学重难点教学重点：空间向量的概念和线性运算及其应用教学难点：空间向量的线性运算及其应用三、教学过程（一）创设情境，导入新课师生活动：阅读章前引言，章头图展示的是一个做滑翔伞运动的场景，可以想象在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向大小各异的力，你能用图示法表示这些力吗？设计意图：图1中的引入情境于学生而言，非常熟悉。

课堂上追问学生，飞行员收到来自不同方向的力又该如何表示，用图示法表示这些力吗?既贴近学生生活实际又自然将平面向量拓展到空间向量，既揭示了学习空间向量的必要性，又激发了学生的学习兴趣，也为后续空间向量的加法运算做了铺垫（尤其是在验证空间向量的加法结合律）.(二)类比归纳，形成概念问题 1 我们已经学习过平面向量的概念和线性运算，你能类比平面向量，给出空间向量的概念和线性运算吗？追问(1)：平面向量是什么的？你能类比平面向量给出空间向量的概念吗？追问（2）：如何表示平面向量？？你能类比平面向量的表示，给出空间向量的表示吗？追问（3）：从平面向量的概念出发，我们又学习了不少新的概念. 你还记得吗？有哪些？你能把这些概念推广到空间向量中吗？与平面向量一样，在空间,我们把具有大小和方向的量叫做空间向量,空间向量的大小叫做空间向量的长度或模.与平面向量一样，空间向量也用有向线段来表示，有向线段的长度表示空间向量的模。

空间向量可以用字母a,b,c,…表示.如图，若向量a的起点是A,终点是B,则向量a也可以记作向量AB,其模记为向量a的模或向量AB的模.如图所示，对于任意一个空间向量，我们都可以将其放在一个平面内研究，这时，这个空间向量就是我们熟悉的平面向量了.几何表示：字母表示：，向量的大小：，方向相同且长度相等问题2 在学习完平面向量的相关概念以后，我们研究了平面向量的线性运算.你能类比平面向量的线性运算，得出空间向量的线性运算及运算律吗？追问（1）：平面向量的线性运算有哪些？我们如何研究这些运算？答：平面向量有加法、减法和数乘运算. 先研究它们的定义及运算法则，再研究它们的运算律；追问（2）：平面向量的加法、减法和数乘运算的定义或法则分别是什么？你能类比它们得出空间向量的加、减和数乘运算的定义或法则吗？追问（3）：平面向量线性运算的运算律有哪些？你能类比它们得出空间线性运算的运算律吗？由于任意两个空间向量都可以通过平移，转化为同一平面内的向量，因此，我们猜想，空间向量的线性运算也具有和平面向量线性运算相同的运算律.数学结论是需要严格证明的, 由合情推理、猜想得到的结论不一定正确，需要严格证明.追问(4)：空间向量线性运算运算律的证明，和平面向量有哪些异同？除空间向量加法的结合律以外，其他运算律都可以转化为平面向量线性运算的运算律进行证明.结合律涉及三个向量，它们可能不在同一个平面内.追问（5）如何证明空间向量的加法结合律呢？如图，可将空间中任意三个不共面的向量，通过平移使它们起点重合，分别平移表示表示这三个向量的线段，构成一个平行六面体. 我们借助这个平行六面体来证明加法的结合律.一般地，对于三个不共面的向量a ，b ， c ，以任意点O 为起点， a ，b ， c 为邻边作平行六面体，则a ，b ， c 的和等于以O 为起点的平行六面体对角线所表示的向量.问题 3 平面向量的线性运算可以解决平面中的很多问题，空间向量的线性运算是否可以解决空间中相应的问题呢？由平面向量的线性运算，我们研究了平面向量的共线及线性表示等问题.追问（1）：你还记得两个向量共线的充要条件吗？这个充要条件对于空间向量也成立吗？ 追问（2）：任意两个空间向量都可以通过平移，移到同一平面内，三个向量呢？答：任意两个空间向量总是共面的，但三个空间向量既可能共面，也可能不共面.追问（3）：你还记得平面向量基本定理的内容吗？它和三个空间向量共面有什么关系？问题4 如右图，已知平行四边形ABCD ，过平面AC 外一点O 作射线OA ，OB ，OC ，OD ，在四条射线上分别取点E ，F ，G ，H ，使OE OF OG OH k OA OB OC OD====. 求证： E ，F ，G ，H 四点共面.追问(1):如何证明E ，F ，G ，H 四点共面？答：可以通过证明E ，F ，G ，H 这四点构成的三个向量，如EF EH EG ，，共面，来证明这四点共面.追问(2):如何证明这三个向量共面？答：根据向量共面的充要条件，用EF EH ，表示EG 即可. 追问(3):如何实现上述表示？答：可以根据三角形法则，把EF EH EG ，，分别用,,,OE OF OG OH 等向量来表示；再利用已知条件，将它们转化用,,,OA OB OC OC 表示的形式.而由已知平行四边形ABCD ，得到=+AC AD AB ，从而可以得到,,,OA OB OC OC 的关系，进一步得到,,,OE OF OG OH 的关系，最终用用EF EH ，表示EG .思路小结：选择恰当的向量表示问题中的几何元素，通过向量运算得出几何元素的关系是解决立体几何问题的常用方法.问题5 回顾本节课的探究过程，你都学到了什么？1. 从知识层面，我们学习了空间向量的有关概念和线性运算.包括空间向量的概念，表示法以及零向量、单位向量、共线向量等相关概念；我们把平面向量的线性运算推广空间向量，研究了空间向量的加法、减法、数乘运算的定义、运算法则以及运算律；通过空间向量的线性运算，我们有了直线的方向向量，以及空间中证明向量或点共面的方法.2. 从本节课的研究方法上来看，我们始终类比平面向量的相关内容，在空间中进行推广，同时比较它与平面向量的共性和差异，并对差异之处进行了严格的证明，最终，在平面向量的相关内容推广过程中，既保持了原结论的延续性，又保证了新结论的严谨性.原有内容的融入到新内容中，这种兼容性是数学的特点， 是数学中常用的研究方法.今后继续研究空间向量的过程中，还会不断使用这样的方法.希望同学们在今后的学习中，继续大胆发现，勇于探索，严谨推理，体会数学的逻辑之美，严谨之美和广泛的应用.四、课外作业布置作业：教科书练P9复习巩固1,2,3,41.如图，E,F 分别是长方体''''D C B A ABCD -的棱CD AB ,的中点，化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量：（1）CB AA -' （2）'''C B AB AA ++（3）''D B AD AB +- （4）CF AB +2.如图，用',,AA AD AB 表示''',DB BD C A 及.3.如图，已知正方体''''D C B A ABCD -，F E ,分别是上底面''C A 和侧面'CD 的中心，求下列各式中x,y 的值：（1）)(''CC BC AB x AC ++=（2）AD y AB x AA AE ++='设计意图：通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、数学建模的核心素养．。

《3.1.1 空间向量的线性运算》教学案1（ ）月（ ）日编者: 审稿人： 星期 授课类型： 学习目标1.通过自学指导知道空间向量的加法、减法和数乘向量是如何运算的2.通过探究会用空间向量分解定理课堂内容展示一、自学指导： 预习课本选修2-1 P79-81页，然后回答下列问题：1.向量、相等向量、零向量、模、基线、共线向量的概念？与平面向量有没有区别？2.空间向量的加法、减法和数乘向量是如何运算的？其运算律是什么？与平面向量有区别吗？3、三个不共线的向量的和如何表示？线段AB 的中点向量表示？4、共线定理的内容是什么？有何条件？共面定理的内容？定理的条件？二者有何区别？5、空间向量分解定理的内容？定理的条件？自我检测1、图，以图中一对顶点构造向量，使它们分别等于：；⑴BC AB + (2)11D A AB - (3)1AA CB AB ++ (4)1CC BC BA ++ (5)BA CC AD -+12、点E 是上底面的中心，求下列各题中的x,y 的值（1））（11AA AD AB x AC ++= (2)AD y AB x AA AE ++=13、已知空间四边形ABCD ，连结,AC BD ，设,M G 分别是,BC CD 的中点，化简下列规律总结各表达式，并标出化简结果向量： （1）AB BC CD ++；（2）1()2AB BD BC ++；（3）1()2AG AB AC -+．四、合作探究例1、在三棱锥P ABC -中，,,,E F G H 分别为,,,AB BC PC PA 的中点，求证,,,E F G H 四点共面。

变式1：已知非零向量e 1，e 2不共线，如果AB ＝e 1＋e 2，AC ＝2e 1＋8e 2，AD ＝3e 1－3e 2，求证：A 、B 、C 、D 共面．例2：在平行六面体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是1,AB BC 的中点，A,,OA OB OC表示向量OG11,,A B BC EF是共面向量。

3.1.1空间向量的线性运算教学目标：理解空间向量的概念，掌握其表示方式；会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律． 教学难点：由平面向量类比学习空间向量． 预习自测：1.空间任意四个点A 、B 、C 、D ，则BA CB CD +-等于（ ） A ．DB B ．AD C ．DA D ．AC 2．空间四边形ABCD 中，若AB a =，BD b =，AC c =，则CD 等于（ ）A ．()a b c -- B ．()c b a -- C ．a b c -- D ．()b c a -- 3．空间四边形OABC 中，E 、F 别离是对角线OB 、AC 的中点，若OA a =，OB b =，OC c =，则EF =________________________；4．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，化简1()AB AD DD BC ++-的结果为______________；学习进程一、温习导引一、有关平面向量的一些知识：什么叫做向量？向量是如何表示的呢？ 2. 向量的加减和数乘向量运算：向量的加法：______________；向量的减法：_______________；实数与向量的积：_________________,注意：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa ，其长度和方向规定如下：|λa |＝|λ||a| (2)当λ＞0时，λa 与a 同向； 当λ＜0时，λa 与a 反向； 当λ＝0时，λa＝0.3. 向量的运算律：_____________________________________________。

二、新课教学在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方式、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘和这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．1. 概念：咱们把空间中具有大小和方向的量叫做______．向量的大小叫做向量的_______.→ 举例？ 表示？（用有向线段表示） 记法？ → 零向量？ 单位向量？ 相反向量？→ 讨论：相等向量？ 同向且等长的有向线段表示同一贯量或相等的向量．→ 讨论：空间任意两个向量是不是共面？ 2. 空间向量的加法、减法、数乘向量的概念与平面向量的运算一样：OB OA AB =+=a +b， AB OB OA =-（指向被减向量）， OP =λa()R λ∈ （请试探数乘运算的概念？）3. 空间向量的加法与数乘向量的运算律． ⑴加法互换律：_______________________ ⑵加法结合律：__________________________； ⑶数乘分派律：___________________________；⑶数乘结合律：_____________________ ．4. 推行：⑴1223341_____n n A A A A A A A A -++++=； ⑵12233411___n n n A A A A A A A A A A -+++++=；⑶空间平行四边形法则．三、典型例题例１.已知平行六面体''''D C B A ABCD -（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：；⑴BC AB + ；⑵'AA AD AB ++ '21CC AD AB ++⑶ ．⑷)'(31AA AD AB ++例2.已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量。

《向量的线性运算》教学设计◆教学目标（1）掌握向量的加法与数乘向量的混合运算，提升学生的直观想象和数学运算核心素养．（2）了解向量线性运算的性质及其几何意义，借助向量线性运算及其应用，提升直观想象和逻辑推理素养．◆教学重难点◆教学重点：掌握向量的加法与数乘向量的混合运算．教学难点：向量线性运算的性质及其几何意义．◆课前准备PPT课件．◆教学过程一、整体概览问题1：阅读课本第147－150页，回答下列问题：（1）本节将要研究哪类问题？（2）本节要研究的对象在高中的地位是怎样的？师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括总结章引言的内容．预设的答案：（1）本节主要研究向量的加法与数乘向量的混合运算及向量的线性运算．（2）本小节教材设置了两个内容，先给出了向量加法与数乘向量的混合运算，然后给出了向量加法、减法与数乘向量的混合运算．之所以安排第一个内容，一方面是为了使知识学习简单、直观，从而有利于问题的研究解决，另一方面也是因为向量的减法可以转化为向量的加法理清楚本节和上节的关系，为后面后续学习打好基础，做好铺垫．设计意图：通过章引言内容的预习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架．二、探索新知1、形成定义问题2：之前我们学习了向量的数乘运算及加减法运算，其结果都是向量，那么是否可以进行混合运算，如果可以的话，其结果如何呢？又是遵循什么运算法则呢？试举例说明？师生活动：学生回顾之前学习的向量加减法运算及数乘运算，回答问题，并举例．预设的答案：向量的加法运算、数乘向量运算，它们的结果都是向量，这就是说，这两者可以进行混合运算．例如，对于任意向量a ，式子62a a +（）（）是有意义的．一个含有向量加法、数乘向量运算的式子，总是规定要先算数乘向量，再算向量加法．因此，62a a +（）（）可以简写成62a a +．另外，不难看出628a a a +=．设计意图：通过学生自己挖掘数乘运算及加法运算的混合运算，发现运算规律，提高学习兴趣，引出混合运算法则．引语：而本节要讲的内容即为向量的线性运算．（板书：向量的线性运算）教师讲解：一般地，对于实数λ与μ，以及向量a ，有()a a a λμλμ+=+． 问题3：33a b +与3()a b +是否相等？如何理解两者之间的这种关系？师生活动：学生自己做出向量，并进行运算，得出结论，教师总结发言．预设的答案：3,3,33,DE a EF b DF a b ===+注意到,||3||,||3||DEF ABC DE AB EF BC ∠=∠==，所以~DEF ABC ∆∆，因此，//,||3||DF AC DF AC =，从而有3,DF a b =+（）即333()a b a b +=+．设计意图：通过学生自己挖掘数乘运算及加法运算的混合运算，发现运算规律，提高学习兴趣，引出混合运算法则．教师讲解：一般地，对于任意实数λ，以及向量a 与b ，有()a b a b λλλ+=+．三、初步应用例1 化简：52()a b a b +++师生活动：学生通过学习上述运算法则，自己尝试解答问题．预设的答案：原式=52252273a b a b a a b b a b +++=+++=+．设计意图：通过实际例子加强对公式的理解和巩固．问题4：尝试解决如下运算：[(2)](6)a b a -+、-2a b -（）？ 师生活动：学生自己做出向量，并进行运算，得出结论．预设的答案：[(2)](6)(2)66(2)7(2)72a b a a b a a a b a b a b-+=+-+=++-=+-=--2-2a b a b -=+（）设计意图：通过学生自己挖掘数乘运算及加减法运算的混合运算，发现运算规律，提高学习兴趣，引出混合运算法则．教师讲解：向量的减法也能与向量的加法、数乘向量进行混合运算．向量的加法、减法、数乘向量以及它们的混合运算，统称为向量的线性运算，总规定要先计算数乘向量，再按从左往右的顺序进行计算，若有括号，要先算括号内各项．由于向量的加法满足交换律与结合律，减去个向量可以看成加上这个向量的相反向量．事实上，当一个向量的线性运算中含有括号时，我们可以用类似多项式运算中拆括号的方式来去掉其中的括号．初步应用例2：化简下列各式：（1）2()2();(2)()2();a b a b a b c a b c +---+-+-+113234;(4)()()()()32a b a a b a b λμλμ-⨯+⨯+-+-+（）师生活动：学生根据学习的公式自己进行运算．预设的答案：（1）原式=22224a b a b b +-+=；（2）原式=-22233a b c a b c a b c -++-+=-+；（3）原式=224a b a a b -+=-（4）原式=a b a b λμλμλμλμ+-++-+-（）（）（）（）=[()()][()()]2(2)22a b a b a b λμλμλμλμλμλμ++-+--+=+-=-设计意图：与向量有关的运算化简，教师可带领学生分别作图作出各向量，验证所得结果是否相等．培养学生利用几何求解相关向量的问题，进一步渗透数形结合的数学思想．例3如图6－1－23所示， 已知22,,33AD AB AE AC ==求证：23DE BC =．师生活动：先让学生利用初中的平面几何知识进行解决（要用到相似三角形的知识，学生对此应该是比较熟悉的），然后再呈现教材中的向量证明方法，最后再让学生把两种方法进行对比，让学生发现利用向量解决问题的优势．预设的答案：由已知得2222()3333DE AE AD AC AB AC AB BC =-=-=-= 设计意图：引导学生注意到向量表达式所蕴含的内容有时更丰富一些，比如中，既体现了线段AD 和AB 的位置关系，又体现了它们的长度之间的关系实际教学时，即要求学生证明初中学过的中位线定理，然后再与初中的证明方法进行类比．例4 已知M 为线段AB 的中点，且O 为任意一点，求证：12OM OA OB =+（）师生活动：学生自行解答，由老师指定学生回答．预设的答案：由M 为线段AB 的中点可知,AM MB =因此,OM OA OB OM -=-从而有2OM OA OB =+，即1()2OM OA OB =+ 设计意图：利用向量的混合运算进行命题的证明．例5 已知1()2OM OA OB =+，求证：M 为线段AB 的中点． 师生活动：学生自行解答，由老师指定学生回答． 预设的答案：由1()2OM OA OB =+可知2OM OA OB =+，因此,OM OA OB OM -=-，从而有AM MB =，即M 为线段AB 的中点．设计意图：引导学生运用例4的方法解决问题，最后得到M 为线段中点的充要条件， 这样的处理也能培养学生的数学素养．这一充要条件是高中阶段平面向量中最重要的内容之一，教师一定要让学生高度重视．,32AB AD =教师讲解：重要结论：M 为线段AB 的中点的充要条件是1()2OM OA OB =+． 例6 已知A ，B ，C 是三个不同的点，,23,35OA a b OB a b OC a b =-=-=-，求证：A ，B ，C 三点共线．师生活动：学生自行解答，由老师指定学生回答．预设的答案：因为23()2,AB OB OA a b a b a b =-=---=-（）35()24AC OC OA a b a b a b =-=---=-（）所以2,AC AB =因此A ，B ，C 三点共线．设计意图：引导学生运用本节知识证明三点共线的方法，但是注意选择的向量不同，给出来的答案可能会不同．巩固练习1、 （1）化简：（2a ＋3b －c ）－（3a －2b ＋c ）＝________．（2）已知向量a ，b ，x ，且（x －a ）－（b －x ）＝x －（a ＋b ），则x ＝________． 师生活动：（1）可类比实数运算中的合并同类项方法化简；（2）可类比解方程方法求解．预设的答案：（1）－a ＋5b －2c （2）0 [（1）（2a ＋3b －c ）－（3a －2b ＋c ）＝2a －3a ＋3b ＋2b －c －c ＝－a ＋5b －2c ．（2）因为（x －a ）－（b －x ）＝x －（a ＋b ），所以2x －a －b ＝x －a －b ，即x ＝0．] 设计意图：通过巩固训练的设置，加深概念的理解和应用．四、归纳小结，布置作业问题5：（1）向量的加法与数乘向量的混合运算是什么？（2）什么是向量的线性运算？师生活动：学生尝试总结，老师适当补充．预设的答案：（1）一般地，对于实数λ与μ，以及向量a ，有()a a a λμλμ+=+．（2）向量的减法也能与向量的加法、数乘向量进行混合运算．向量的加法、减法、数乘向量以及它们的混合运算，统称为向量的线性运算设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确向量加减法和数乘向量的混合运算以及向量的线性运算．．布置作业：教科书第150页练习A1，2，3题．练习B1，2，3题。

向量的线性运算【教课目的】1．经过经历向量加法的研究，掌握向量加法观点，联合物理学实质理解向量加法的意义。

能娴熟地掌握向量加法的平行四边形法例和三角形法例，并能做出已知两向量的和向量。

2．在应用活动中，理解向量加法知足互换律和联合律及表述两个运算律的几何意义。

掌握有特别地点关系的两个向量的和，比方共线向量、共起点向量、共终点向量等。

3．经过本节内容的学习，认识事物之间的相互转变，培育数学应意图识，领会数学在生活中的作用。

培育类比、迁徙、分类、概括等能力。

4．经过研究活动，掌握向量减法观点，理解两个向量的减法就是转变为加法来进行，掌握相反向量。

5．学会剖析问题和创建地解决问题。

能娴熟地掌握用三角形法例和平行四边形法例做出两向量的差向量。

6．经过经历研究数乘运算法例及几何意义的过程，掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义，掌握实数与向量的积的运算律。

【教课重难点】1．向量加法的运算及其几何意义。

2．对向量加法法例定义的理解。

3．向量的减法运算及其几何意义。

4．对向量减法定义的理解。

5．实数与向量积的意义。

6．实数与向量积的运算律。

7．两个向量共线的等价条件及其运用。

8．对向量共线的等价条件的理解运用。

【教课过程】一、求若干个向量的和的模（或最值）的问题往常按以下步骤进行：（1）找寻或结构平行四边形，找出所求向量的关系式；（2）用已知长度的向量表示待求向量的模，有时还要利用模的重要性质。

二、知识梳理：1．向量的加法定义：如图 3，已知非零向量 A ．B，在平面内任取一点A，作AB =a，BC =b，则向量AC叫做 a 与 b 的和，记作 a+b，即 a+b= AB + BC = AC。

求两个向量和的运算，叫做向量的加法。

2．向量加法的法例：（1）向量加法的三角形法例。

在定义中所给出的求向量和的方法就是向量加法的三角形法例。

运用这一法例时要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量。

第二章平面向量(向量线性运算)知识点一：向量的概念1．向量(有向线段): 既有大小又有方向的量叫做向量.2．向量的表示方法:(1)字母表示法: 如等.(2)几何表示法: 用一条有向线段表示向量.如等.3．向量的有关概念向量的模: 向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的长度).零向量: 长度为零的向量叫零向量.单位向量: 长度等于1个单位的向量.相等向量: 长度相等且方向相同的向量.相反向量: 长度相等且方向相反的向量.共线向量(平行向量): 方向相同或相反的非零向量，叫共线向量.规定: 与任一向量共线.练习1．判断下列各命题是否正确：(1)若，则；（）(2)若A、B、C、D是不共线的四点，则由可以推出四边形为平行四边形；（）(3)若，则;（）(4)如果两向量相等，则且.（）2. 下列说法正确的个数是( )①向量，则直线直线②两个向量当且仅当它们的起点相同，终点也相同时才相等；③向量既是有向线段；④在平行四边形中，一定有. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个3．下列说法中正确的个数有（ ）①零向量的长度为0；②零向量与任一向量平行；③零向量的方向是任意的； ④非零向量a 的单位向量是a a ±． A .1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个4．命题“若c b b a //,//，则c a //” （ ）（A ）总成立 （B ）当0≠a 时成立 （C ）当0≠b 时成立 （D ）当0≠c 时成立5．把平面上一切单位向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是（ ）（A ）一条线段（B ）一段圆弧 （C ）圆上一群孤立点 （D ）一个单位圆6．若向量a 与b 为相反向量，则下列命题中正确的个数有（ ）①b a // ②b a = ③b a -= ④0=+b a（A ） 1个 （B ） 2个 （C ） 3个 （D ） 4个知识点二：向量的加(减)法运算1．运算法则：三角形法则、平行四边形法则、多边形法则2．运算律：①交换律：； ②结合律：3． a + 0 = 0+ a= a知识点三：数乘向量1. 向量的数乘：一般地，我们规定实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa ，它的长度与方向规定如下：(1) 长度： ||||||λλ=a a ；(2) ①当时，的方向与的方向相同； ②当时.的方向与的方向相反； ③当时，.2. 数乘的运算律：(1) ()()λμλμ=a a ;(2) ()λμλμ+=+a a a ;(3) ()λλλ+=+a b a b .练习1. 如图所示，的两条对角线相交于点，且用表示2. 化简 （1）（AB +CD ）+BC（2）（AD +MB ）+（BC +CM ）3. 在平行四边形ABCD 中，BC +DC +BA 等于 （ ）A.BCB.DAC.ABD.AC4. 如图5—5，在ABCD 中，已知a AB =，b DB =，则=AD _______，=AC _______。

向量的线性运算【三维目标】：一、知识与技能1.理解向量加法的含义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和。

2.通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，表述两个运算律的几何意义，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；培养数形结合解决问题的能力；3.掌握有特殊位置关系的两个向量的和，比如共线向量、共起点向量、共终点向量等.4.初步体会数形结合在向量解题中的应用.二、过程与方法教材利用同学们熟悉的物理知识引出向量的加法，一方面启发我们利用位移的合成去探索两个向量的和，另一方面帮助我们利用物理背景去理解向量的加法。

最后通过讲解例题，指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力.三、情感、态度与价值观通过本节内容的学习，使同学们对向量加法的三角形法则和平行四边形法则有了一定的认识，进一步让学生理解和领悟数形结合的思想；同时以较熟悉的物理背景去理解向量的加法，感受数学与生活的联系，增强学习数学的兴趣和积极性。

【教学重点与难点】：重点：如何作两个向量的和向量难点：对向量加法定义的理解.【学法与教学用具】：1. 学法：(1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.2.学法指导数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法；借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章接受向量的加法定义；结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则；联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律。

3. 教学用具：多媒体、实物投影仪、尺规.【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题【复习】：1.向量的概念2.平行向量、相等向量的概念。

【情景设置】：利用向量的表示，从景点O到景点A的位移为→--OA，从景点A到景点B的位移为→--AB，那么经过这两次位移后游艇的合位移是→--OB●这里，向量→--OA,→--OB,→--OC三者之间有什么关系？二、研探新知1.向量的加法向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法。