基础_知识讲解_空间向量及其线性运算(理)126

空间向量及其运算1.空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量. 注：⑴空间的一个平移就是一个向量 .⑵向量一般用有向线段表示■同向等长的有向线段表示同一或相等的向量⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示2.空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下OB OA AB a b ; BA OA OB a b; OP a(R)运算律：⑴加法交换律：abb aD' ----------------- .C'⑵加法结合律：（a b） c a(b c)J /f /.⑶数乘分配律：（a b）a b，A'.a ---------- .B'i * 3•平行六面体：C4 1 1I平行四边形ABCD平移向量a到A BCD的轨迹所形成的几何体，D ----------------------------------- C叫做平行六面体，并记作：ABCD- A B CD •它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱一A B4.平面向量共线定理方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量.由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量.向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数入使b = ^a.要注意其中对向量a的非零要求.5，共线向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量.a平行于b记作a〃b .当我们说向量a、b共线（或a// b ）时，表示a、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线.6.共线向量定理：空间任意两个向量a、b （b丰0 ）, a// b的充要条件是存在实数入使a=Ab .推论：如果I为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意一点0,点P在直线|上的充要条件是存在实数t满足等式OP 0A t a•其中向量a叫做直线I的方向向量.空间直线的向量参数表示式：tOB ,OP 0A t a或OP 0A t（OB 0A）（1 t）OA一，1 ——一中点公式.OP -（0A OB）2uuu rr7.向量与平面平行：已知平面和向量a，作OA a , 如果直线OA平行于或在内，那么我们说向量a平行于平面，记作：a〃•通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量说明：空间任意的两向量都是共面的•r&共面向量定理：如果两个向量a,b不共线，P与向量r r r r ra,b共面的充要条件是存在实数x, y使p xa yb ■推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对x,y ,使uju uuur uuir uuu uuuu uur uuirMPxMA yMB ①或对空间任一点 O ，有OP OM xMA yMB ② uuu uuu uuu uuuu或 OP xOA yOB zOM ,(x y z 1)③上面①式叫做平面 MAB 的向量表达式*r9，空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有r序实数组x, y,z ,使p xa yb zC.rr r若三向量a,b,c 不共面，我们把｛^bd ｝叫做空间的一个基底，a,b,C 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底 推论：设O,代B,C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数x,y,z ,uuu uuu uuu uuir 使 OP xOA yOB zOC +10 .空间向量的夹角及其表示： 则 AOB 叫做向量a, b, a 11.向量的模：设 ;若uuuOAa,，则称a 与b 互相垂直，记作： a b .2则有向线段 OA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作:12.向量的数量积: 已知向量 iai .a,b ，则|a | |b | cos a,b 叫做a,b 的数量积，记作 ab ,即|a| |b| cos a,b . uuu r已知向量AB a 和轴 uumr 在I 上的射影B ，则ABuuu uuu r r| A B | | AB | cos a, e 13.空间向量数量积的性质： r r r r r(1) a e | a | cos a, e 14•空间向量数量积运算律： r r b) r 1，e 是1上与1同方向的单位向量，作点A 在1上的射影u A u ,作点B i 上或在e 上的正射影.可以证明A B 的长度 叫做向量 |a e|. uuuAB 在轴 r ■) b 0. (3) |a|(1) ( a) b (a r rr r (3)a (b C )aa (b). ( 2)ab b a (交换律).b ac (分配律)+空间向量的直角坐标及其运算1 •空间直角坐标系： (1) 若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为 1,这个基底叫单位正交基底，用｛i, j, k ｝表示；r r r (2) 在空间选定一点 O 和一个单位正交基底｛i, j,k ｝，以点O 为原点， 分别以i,j,k 的方向为正方向建立三条数轴： x 轴、y 轴、z 轴，它 们都叫坐标轴•我们称建立了一个空间直角坐标系 向量.通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为 2.空间直角坐标系中的坐标： 在空间直角坐标系 O xyz 中，对空间任一点 uuu r rxyz ，点0叫原点，向量 xOy 平面，yOz 平面，r r ri, j,k 都叫坐标zOx 平面；A ，存在唯一的有序实数组 A 在空间直角坐标系 O xyz 中的坐标，记作(x, y,z)，使r ruju 已知两非零向量 a,b ，在空间任取一点 O ,作OAr r rb 的夹角，记作 a,b ；且规定0 a,br uuua, OB ,显然有A(x, y,z) , x 叫横坐标, y 叫纵坐标，z 叫竖坐标.常见坐标系① 正方体：如图所示， 选择点D 为原点，DA 、 立空间直角坐标系 D 正方体 ABCD A'B'C'D'的棱长为a ，一般 DC 、DD'所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建 xyz ，则各点坐标为 亦可选A 点为原点•在长方体中建立空间直角坐标系与之类似 ② 正四面体：如图所示，正四面体 A BCD 的棱长为a ，一般选择 A 在 BCD 上的射影为原点，0C 、OD （或0B ）、OA 所在直线分别为x 轴、 y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 0 xyz ，则各点坐标为 ③ 正四棱锥：如图所示，正四棱锥 P ABCD 的棱长为a ，一般选择点P 在平面ABCD 的射影为原点，0A （或0C ）、0B （或0D ）、0P 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 0 xyz ，则各点 坐标为 ④ 正三棱柱：如图所示，正三棱柱 ABC A'B'C'的底面边长为a , 高为h ，一般选择AC 中点为原点，0C （或0A ）、0B 、0E （ E 为0 在A'C'上的射影）所在直线分别为 x 轴、 系0 xyz ，则各点坐标为 3.空间向量的直角坐标运算律：（i ） 若 a y 轴、z 轴建立空间直角坐标 (a i (a i aib (a i ,a 2,a 3，b (^,b 2,b 3)，bi,a 2 b 2,a 3 bi,a 2 b 2,a 3 d)， b s ), a i > a 2>a 3)( R)，a 2b 2 a//b a i b 2,a 3R)，a^ a ?b 2 a s bj 1zzC 1/B ID zC:A\ zl\1 \ i l -----Buuu （2）若 A （X i ,y i ,z i ） , B （X 2,y 2,Z 2），则 AB （x 2 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标r r 4 ■模长公式：若a ⑻忌怎）,b （以6,6）,x i , y 2 y i ,Z 2 Z i ) •A2a 2 a 32 , |b | \ b b 、t ^2 b 22b 32•5.夹角公式： cos ：a aib i a 2b 2 asd2 2b 2b3|a| |b|,a i 2 a 22 a 32、bi A(x i ,y i ,z i ) , Bgy zZ ), 6.两点间的距离公式：若UJU /L L U2I ----------------- 2 --------------------- 2 ------------------- 2 则 | AB| \AB J (X 2 X i ) (y 2 y i )亿 z)，或 d A,BX i )2(y 2 y i )2②乙)2空间向量应用一、直线的方向向量 把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量uuuA （x i , y i , z i ）与B （x 2, y 2, z 2）确定直线AB 的方向向量是 AB （x 2平面法向量 如果a ，那么向量a 叫做平面 的法向量••在空间直角坐标系中，由X i , y 2 y iZ 乙）.二、证明平行问题 1 •线线平行：证明两直线平行可用 a//b 冃 ba b 2,a 3t 3( R)或 a//ba ? a 32. 线面平行：直线I 的方向向量为3. 面面平行：平面 的法向量为 三、证明垂直问题 &，平面 n ，平面 的法向量为、n u 且1卄 的法向量为n 2，右 n // n 2 即 n 1 r即 a n 0 则 a//.uu n 2 则〃.i .线线垂直：证明两直线垂直可用 a b a i b i a z ba 3b 3 02. 线面垂直：直线I 的方向向量为3. 面面垂直：平面 四、求夹角 的法向量为 u ?,平面 n ，平面 的法向量为％且1的法向量为n 2，若 u 岛〃 n 即a n则arii n 2 即 n, n 2 0 则1.线线夹角：设a 佝,@,a 3)b (bbb) (0,90］为一面直线所成角，贝^： a b |a| |b| cos a,b ; cos a,b|a| |b| a 12.线面夹角：如图，已知PA 为平面 垂线PO ，连结OA 则 PAO 为斜线 uuu unr sin |sin(— OP,AP ) | 2=；cos | cos a,b |. b 3 a ； a 3 ,b 12 的一条斜线，n 为平面 的一个法向量，过P 作平面 的 所成的角，记为 易得 PA 和平面 | cos | cos r uuu r uunn, AP | | cos n, PA 3.面面夹角: ir uu n 、n 2分别是二面角两个半平面 uu uuu uuu OP, AP |r uuu |n PA| -4—tuu- |n ||PA| 的法向量，当法向量 当法向量 五、距离 设 ir n 、n 2同时指向二面角内或二面角外时，二面角 ir uu 厲、n 2 一个指向二面角内， 另一外指向二面角外时， Oir uumm .面角 的大小为的大小为 ir uumm 1.点点距离：设 A(X 1,y 1,w) , B(X 2,y 2,Z 2), d A,B .区 x 1) uuu uu tur ----------------------- -------------- 2~ | AB| x AB AB . (X 2 xj ® %) (z> 対2 %)2亿乙)2乙)2 2.点面距离： 过P 作平面 uuur uuu uuu uuu r | PO | | PA | sin | PA| | cos PA, n | | PA | n 为平面 的一个法向量， 所成的角，记为易得uuu r|PA n| |n|.设两条异面直线a 、b 的任一点，已知 PA 为平面 的一条斜线， 的垂线PO ,连结OA 则 PAO 为斜线PA 和平面 uuu rG UPA 甲|PA| |n| 3. 线线距离：求异面直线间的距离可以利用向量的正射影性质直接计算r 公垂线的方向向量为 n ,这时分别在a 、b 上任取A 、B 两点，则向量在n 上的正射影长就是两 条异面直线a 、b 的距离.即两异面直线间的距离等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线 r uurur uuu n | AB n | .直线a 、b 的距离d |AB 卓| LA B Bn|. |n||n|4.线面距离：一条直线和一个平面平行时， 这条直线上任意一点到这个平面的距离叫做这条直线 到这个平面的距离.直线到平面的距离可转化为求点到平面的距离 A 为平面 方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值 •公垂线夹在这两个平平面间的部分叫做两个平行平面的公垂线段•公垂线段的长度叫做两个平行平面间的距离。

（新教材）第一章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算1.1.1空间向量及其线性运算课程标准学习目标1.经历由平面向量推广到空间向量的过程,了解空间向量的概念.2.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程.3.掌握空间向量的线性运算1.类比平面向量,能直接获得空间向量的概念,以及零向量、单位向量、相等向量、相反向量、共线向量的概念.2.结合立体几何与空间向量的特征,知道共面向量的概念.3.在平面向量的基础上,能应用平行四边形法则和三角形法则进行空间向量的加减运算.4.类比平面向量,能进行空间向量的数乘运算知识点一空间向量及有关概念名称定义表示空间向量在空间,具有和的量①几何表示法:空间向量用表示;②字母表示法:用字母a,b,c,…表示,若向量的起点是A,终点是B,也可记作AB⃗⃗⃗⃗⃗ ;③图形表示法:向量的模(长度)空间向量a的,也就是表示向量a的有向线段AB的或零向量长度为的向量单位向量模为的向量相反向量与向量a相等而方向的向量向量a的相反向量是共线(平行)向量如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或,那么这些向量叫作共线向量或平行向量相等向量相同且模相等的向量叫作相等向量.在空间,同向且等长的有向线段表示同一向量或规定:零向量与任意向量,即对于任意向量a,都有.【诊断分析】判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)当有向线段的起点A与终点B重合时,AB⃗⃗⃗⃗⃗ =0.()(2)在空间中,单位向量唯一. ()(3)同平面向量一样,任意两个空间向量都不能比较大小. ()(4)若向量a与b都是单位向量,则a=b.()(5)在空间中,互为相反向量的两个向量必共线. ()知识点二空间向量的线性运算1.空间向量的自由性任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内,成为同一平面内的两个向量,这样任意两个的运算就可以转化为的运算.2.空间向量的线性运算运算定义法则(或几何意义) 运算律加法求两个向量的运算法则法则(1)加法交换律: a+b=;(2)加法结合律: (a+b)+c=减法 减去一个向量相当于加上这个向量的法则a-b=数乘 实数λ与向量a 的积是一个 ,这种运算叫作向量的 ,记作(1)|λa|= .(2)当λ>0时,λa 与a 的方向 ;当λ<0时,λa 与a 的方向 ;当λ=0时,λa=(1)对向量加法的分配律: λ(a+b )= ;(2)对实数加法的分配律: (λ+μ)a=【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ . ( )(2)有限个向量求和,交换相加向量的顺序,其和不变. ( )2.对于三个不共面的向量a ,b ,c ,在空间中取任意一点O ,作OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,以OA ,OB ,OC 为过同一顶点的三条棱作平行六面体,则a ,b ,c 的和等于以O 为起点的平行六面体的 所表示的向量.3.空间向量的加、减法运算与平面向量的加、减法运算是否相同?平面向量加、减法的运算律在空间向量中还适用吗?知识点三 空间向量共线与共面的充要条件 1.空间两向量共线的充要条件对任意两个空间向量a ,b (b ≠0),a ∥b 的充要条件是存在实数λ,使 . 2.空间直线的确定 (1)直线的方向向量的定义在直线l 上取 ,把与向量a 的非零向量称为直线l 的方向向量. (2)空间直线的确定空间直线可以由其上一点和它的 确定. 3.共面向量的定义 (1)向量与直线平行图1-1-1如图1-1-1,如果表示向量a 的有向线段OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 所在的直线OA 与直线l 或 ,那么称向量a 平行于直线l. (2)向量与平面平行如图1-1-1,如果表示向量a 的有向线段OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 所在的直线OA 或 ,那么称向量a 平行于平面α. (3)共面向量平行于同一个平面的向量,叫作 . 4.共面向量定理如果两个向量a ,b 不共线,那么向量p 与向量a ,b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ,y ),使 .【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)若p=xa+yb ,则p 与a ,b 共面. ( ) (2)若p 与a ,b 共面,则p=xa+yb. ( ) (3)若MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则P ,M ,A ,B 共面. ( ) (4)若P ,M ,A ,B 共面,则MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . ( )2.一条直线的方向向量有多少个?探究点一 空间向量的有关概念及应用例1 (1)下列关于空间向量的说法中正确的是 ( ) A .若向量a ,b 平行,则a ,b 所在的直线平行 B .若|a|=|b|,则a ,b 的长度相等而方向相同或相反 C .若向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 满足|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |>|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ >CD⃗⃗⃗⃗⃗ D .若两个非零向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 满足AB⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥CD ⃗⃗⃗⃗⃗ (2)如图1-1-2所示,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=4,AD=2,AA 1=1,以该长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中,单位向量共有 个,模为√5的所有向量为 .图1-1-2变式 (多选题)在如图1-1-3所示的平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,下列各对向量是相反向量的是( )图1-1-3A .AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗B .AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗C .AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与C 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗D .CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ [素养小结]解答空间向量有关概念问题的关键点及注意点: (1)关键点:紧紧抓住向量的两个要素,即大小和方向.(2)注意点:①零向量不是没有方向,它的方向是任意的.②单位向量方向虽然不一定相同,但它们的长度都是1.③两个向量的模相等,不一定是相等向量;反之,若两个向量相等,则它们不仅模相等,而且方向相同.若两个向量的模相等,方向相反,则它们为相反向量. 探究点二 空间向量的线性运算例2 (1)如图1-1-4所示,在三棱锥O-ABC 中,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,且OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =NC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( )图1-1-4A .14a+13b+13c B .-14a+13b+13c C .-34a+12b+12c D .34a+12b+12c(2)(多选题)如图1-1-5所示,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,下列各式中运算的结果为AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的有( )图1-1-5A .(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B .(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+D 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C .AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +D 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D .(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗变式 如图1-1-6所示,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,O 为AC 的中点. (1)化简:A 1O ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ = ; (2)用AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示OC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则OC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = .图1-1-6[素养小结]空间向量线性运算的技巧:(1)向量加、减法的三角形法则是解决空间向量加、减法运算的关键,灵活应用相反向量可使向量间首尾相接.(2)利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时,务必要注意和向量的方向,必要时可对空间向量自由平移进而获得更准确的结果.(3)利用数乘运算解题时,要结合具体图形,利用三角形法则或平行四边形法则将目标向量转化为已知向量.探究点三 空间向量的共线、共面问题例3 (1)已知空间向量a ,b ,且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+2b ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-5a+6b ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =7a-2b ,则一定共线的三点是 ( ) A .A ,B ,D B .A ,B ,C C .B ,C ,D D .A ,C ,D(2)若非零空间向量e 1,e 2不共线,则使2ke 1-e 2与e 1+2(k+1)e 2共线的k 的值为 .例4 如图1-1-7所示,已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在的平面互相垂直,点M ,N 分别在BD ,AE 上,且BM=13BD ,AN=13AE.证明:MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DE ⃗⃗⃗⃗⃗ 共面.图1-1-7变式1 如图1-1-8所示,四边形ABCD ,ABEF 都是平行四边形且不共面,M ,N 分别是AC ,BF 的中点,判断CE ⃗⃗⃗⃗⃗ 与MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是否共线.图1-1-8变式2 已知A ,B ,C 三点不共线,点M 满足OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OC ⃗⃗⃗⃗⃗ . (1)MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 三个向量是否共面? (2)点M 是否在平面ABC 内? [素养小结](1)判断向量共线的方法:利用已知条件找到实数λ,使a=λb (b ≠0)成立,同时要运用空间向量的运算法则,结合空间图形,化简得出a=λb (b ≠0),从而得出a ∥b.(2)证明空间三点共线的思路:对于空间三点P ,A ,B ,可通过证明下列结论来证明P ,A ,B 三点共线.①存在实数λ,使PA⃗⃗⃗⃗⃗ =λPB ⃗⃗⃗⃗⃗ 成立. ②对空间任一点O ,有OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +t AB ⃗⃗⃗⃗⃗ (t ∈R). ③对空间任一点O ,有OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗ (x+y=1). (3)证明空间三向量共面或四点共面的方法:①向量表示:证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合,即若p=xa+yb ,则向量p ,a ,b 共面.②若存在有序实数组(x ,y ,z )使得对于空间任一点O ,有OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +z OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且x+y+z=1成立,则P ,A ,B ,C 四点共面.1.下列说法中正确的是 ( )A .若|a|=|b|,则a ,b 的长度相等,方向相同B .若向量a 是向量b 的相反向量,则|a|=|b|C .若向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 是共线向量,则点A ,B ,C ,D 必在同一条直线上 D .有向线段就是向量,向量就是有向线段 2.在三棱锥O-ABC 中,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -CB ⃗⃗⃗⃗⃗ = ( ) A .OA⃗⃗⃗⃗⃗ B .AB⃗⃗⃗⃗⃗ C .OC⃗⃗⃗⃗⃗ D .AC⃗⃗⃗⃗⃗ 3.(多选题)[2020·安庆高二月考] 下列结论正确的是 ( ) A .向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度与向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度相等 B .若向量a 与向量b 平行,则向量a 与向量b 的方向相同或相反 C .两个有共同起点且相等的向量,其终点必相同 D .两个有相同终点的向量,一定是共线向量4.如图1-1-9,在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,M 为A 1C 1的中点,若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,则下列向量与BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的是 ( )图1-1-9A .-12a+12b+c B .12a+12b+c C .-12a-12b+c D .12a-12b+c5.如图1-1-10,在平行六面体ABCD-EFGH 中,若AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -2y BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +3z DH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x+y+z= .图1-1-10答案解析知识点一⃗⃗⃗⃗⃗ |001长度相反-a重合方大小方向有向线段大小长度|a||AB向相等向量平行0∥a诊断分析⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度为(1)√(2)×(3)√(4)×(5)√[解析] (1)当有向线段的起点A与终点B重合时,AB⃗⃗⃗⃗⃗ =0.0,故AB(2)模为1的向量称为单位向量,显然单位向量不唯一.(3)向量是一个“量”,而不是一个“数”,所以不能比较大小.(4)向量a与b都是单位向量,其模相等,但是其方向不一定相同,所以a与b不一定相等.(5)模相等,且方向相反的向量为相反向量,显然,互为相反向量的两个向量必共线.知识点二1.空间向量平面向量2.和三角形平行四边形b+a a+(b+c)相反向量三角形a+(-b)向量数乘运算λa|λ||a|相同相反0λa+λbλa+μa诊断分析1.(1)√(2)√2.体对角线3.解:因为任意两个空间向量都可以通过平移转化到同一个平面内,所以任意两个空间向量的运算就可以转化为平面向量的运算,由此可知,空间向量的加、减法运算与平面向量的加、减法运算相同.平面向量加、减法的运算律在空间向量中同样适用.知识点三1.a=λb2.(1)非零向量a平行(2)方向向量3.(1)平行重合(2)平行于平面α在平面α内(3)共面向量4.p=xa+yb诊断分析1.(1)√(2)×(3)√(4)×[解析] (1)若p=xa+yb,则p与a,b一定共面.(2)当a ,b 共线,而p 与a ,b 不共线时,p=xa+yb 是不成立的.(3)若MP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共面,又因为MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 有公共点M ,所以P ,M ,A ,B 共面. (4)当MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,而MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线时,MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 不成立. 2.解:根据直线方向向量的定义可知,一条直线有无数个方向向量. 【课中探究】探究点一例1 (1)D (2)8 AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,D 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,C 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ [解析] (1)A 中,若向量a ,b 平行,则a ,b 所在的直线平行或重合,故A 错误;B 中,|a|=|b|只能说明a ,b 的长度相等,而方向不确定,故B 错误;C 中,向量作为矢量不能比较大小,故C 错误.故选D .(2)因为AA 1=1,所以向量AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,C 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,D 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的模均为1,又其他向量的模均不为1,故共有8个单位向量.长方体的左、右两个侧面的对角线长均为√5,故模为√5的向量有AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,D 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,C 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .变式 CD [解析] AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与C 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是相反向量,CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是相反向量.故选CD .探究点二例2 (1)C (2)ABD [解析] (1)MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-34OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(OC⃗⃗⃗⃗⃗ -OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=-34a+12b+12c ,故选C .(2)对于A,(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ;对于B,(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+D 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +D 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ;对于C,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +D 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +D 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +D 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,不符合题意;对于D,(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .故选ABD .变式 (1)A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (2)12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ [解析] (1)A 1O ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1O ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1O ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .(2)OC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .探究点三例3 (1)A (2)-12 [解析] (1)BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-5a+6b )+(7a-2b )=2a+4b=2(a+2b )=2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,又因为BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 有公共点B ,所以A ,B ,D 三点一定共线. (2)若2ke 1-e 2与e 1+2(k+1)e 2共线,则存在实数λ,使得2ke 1-e 2=λ[e 1+2(k+1)e 2],又非零空间向量e 1,e 2不共线,∴{2k =λ,−1=2λ(k +1),∴k=-12.例4 证明:因为M 在BD 上,且BM=13BD ,所以MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ . 同理可得AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +13DE ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +13DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =23BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +13DE ⃗⃗⃗⃗⃗ . 又CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 与DE ⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线,所以根据向量共面的充要条件可知MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DE ⃗⃗⃗⃗⃗ 共面. 变式1 解:∵M ,N 分别是AC ,BF 的中点,∴MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ +FN ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ +12FB ⃗⃗⃗⃗⃗ . 又∵MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ -AF ⃗⃗⃗⃗⃗ -12FB ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ +12FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ -AF ⃗⃗⃗⃗⃗ -12FB ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴CE⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AF ⃗⃗⃗⃗⃗ +FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ +FN ⃗⃗⃗⃗⃗ )=2MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,即CE ⃗⃗⃗⃗⃗ 与MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线. 变式2 解:(1)由题意知OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ -OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ), ∴MA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴向量MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共面. (2)由(1)知向量MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共面, ∵它们有共同的起点M ,且A ,B ,C 三点不共线,∴M ,A ,B ,C 四点共面,即点M 在平面ABC 内.【课堂评价】1.B [解析] |a|=|b|,只是说明a ,b 的长度相等,但方向不确定,A 错误;相反向量的方向相反,长度相等,B 正确;共线向量所在直线可以重合,也可以平行,C 错误;向量可用有向线段来表示,但并不是有向线段,D 错误.2.C [解析] OA⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故选C . 3.AC [解析] 对于A,显然|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |,故A 正确;对于B,当a 为零向量时,其方向是不确定的,但a 与b 平行,故B 错误;对于C,两个有共同起点且相等的向量,其终点必相同,故C 正确;对于D,终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反,故D 错误.故选AC .4.A [解析] 因为M 是A 1C 1的中点,所以BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-12a+12b+c.故选A . 5.56 [解析] 由题意知AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,对照已知式子可得x=1,-2y=1,3z=1,故x=1,y=-12,z=13,从而x+y+z=56.。

空间向量及其线性运算1.空间向量及其线性运算【知识点的认识】1 .空间向量：在空间内，我们把具有大小和方向的量叫做向量，用有向线段表示.f f2.向量的模：向量的大小叫向量的长度或模.记为I, II特别地：f①规定长度为0的向量为零向量，记作0;②模为1的向量叫做单位向量；3.相等的向量：两个模相等且方向相同的向量称为相等的向量.ff4.负向量：两个模相等且方向相反的向量是互为负向量.如的相反向量记为. _5.平行的向量：两个方向相同或相反的向量称为平行的向量.6.注意：f①零向量的方向是任意的，规定0与任何向量平行；②单位向量不一定相等，但单位向量的模一定相等且为1；③方向相同且模相等的向量称为相等向量，因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量;④空间任意两个向量都可以通过平移成为共面向量；⑤一般来说，向量不能比较大小.1.加减法的定义：空间任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法.空间向量和平面向量一样满足三角形法则和平行四边形法则.BA = OA - OB = a - b2 .加法运算律: 空间向量的加法满足交换律及结合律.(1)交换律：+3.推广: (1)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量:1 2 + 2 3 + 3 4 +^+ _1(求空间若干向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向量)(2)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为：零向量1 .空间向量的数乘运算④|入|=|入|・加法的三甬形法则 加法的平行四边形法贝ij 减法的三眉形法则 一 的长度是 的长度的|入|倍.(2)结合律：(+ ) ++( + )•1 2 +2 3 + 3 4 +一 + 一1=0.实数入与空间向量的乘积仍是一个向量，称为向量的数乘运算. ①当入 >0时 一与的方向相同;②当入<0时 一与的方向相反; ③当入=0时 一 0.空间向量的数乘满足分配律及结合律.一②(入+P )=+一一 (2)结合律：()=( )A<0(1)分配律:一 一 ①（+ ）= + 注意：实数和空间向量可 行数乘运算，但不能进行加减运算，如 等无法计算.。

-@>% )一空间向量的概念1.空间向量的有关概念及线性运算(1)空间向量的定义:在空间内具有大小和方向的量叫作空间向量.(2)空间向量的表示:空间向量可用有向线段来表示.(3)零向量:起点与终点重合的向量叫作零向量.(4)空间向量的模(或长度):表示空间向量的有向线段的长度叫作向量的模(或长度).(5)共线向量(或平行向量):基线互相平行或重合的向量叫作共线向量(或平行向量).(6)共面向量:向量所在的直线与平面平行或在平面内,称向量与平面平行,平行于同一平面的向量叫作共面向量.(7)空间向量的加法㊁减法㊁数乘向量运算的定义㊁92.空间向量的有关定理(1)共线向量定理:对空间向量aң,bң(bңʂ0ң),aңʊbң的充要条件是存在实数k,使aң=k bң.推论:①对于空间任一点O,点P在直线A B上的充要条件是存在实数t,使O Pң=(1-t)O Aң+t O Bң或O Pң=xO Aң+y O Bң(其中x+y=1).②如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量aң的直线,那么对任一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,满足关系式O Pң=O Aң+t aң,该方程称为直线方程的向量表达式.(2)共面向量定理:如果两个向量aң,bң不共线,则向量cң与向量aң,bң共面的充要条件是存在唯一的一对实数x,y,使cң=x aң+y bң.推论:空间一点P位于平面A B C内的充要条件是:存在有序实数对x,y,使C Pң=xC Aң+y C Bң,或对空间任一定点O,有O Pң=O Cң+xC Aң+y C Bң,该式称为平面C A B的向量表示式.(3)空间向量分解定理:如果三个向量aң,bң,cң不共面,那么对于空间任意一个向量pң,存在唯一的有序实数组x,y,z,使pң=x aң+y bң+z cң.其中不共面的三个向量aң,bң,cң叫作空间的一个基底,每一个向量aң,bң,cң叫8作基向量.3.空间向量的数量积(1)两个向量的夹角:对于两个非零向量aң,bң,在空间任取一点O,作O Aң=aң,O Bң=bң,则øA O B叫作向量aң,bң的夹角,记作<aң,bң>.注意:两个向量的夹角的取值范围是:0ɤ<aң,bң>ɤπ.(2)两个向量的数量积的定义:aң㊃bң=|aң||bң|㊃c o s<aң,bң>.二空间向量的坐标运算若向量aң=(a1,a2,a3),bң=(b1,b2,b3),则有:(1)aң+bң=(a1+b1,a2+b2,a3+b3);(2)aң-bң=(a1-b1,a2-b2,a3-b3);(3)λaң=(λa1,λa2,λa3);(4)aң㊃bң=a1b1+a2b2+a3b3;(5)距离公式:|aң|=aң2=a21+a22+a23;(6)夹角公式:c o s<aң,bң>=a1b1+a2b2+a3b3a21+a22+a23㊃b21+b22+b23;9(7)aңʊbң(bңʂ0ң)⇔a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λɪR)或aңʊbң(bң与三条坐标轴都不平行)⇔a1b1=a2b2=a3b3;(8)aңʅbң⇔a1b1+a2b2+a3b3=0.三利用空间向量证明空间中的位置关系1.直线的方向向量与平面的法向量(1)直线的方向向量:基线和直线平行的向量叫作这条直线的方向向量.(2)平面的法向量:基线和平面垂直的向量叫作这个平面的法向量.2.利用空间向量证明空间中的位置关系(1)证明直线与直线平行的方法是:若直线l1和l2的方向向量分别为vң1和vң2,则l1ʊl2⇔vң1ʊvң2.(2)证明直线与平面平行的方法有两种:若直线l 的方向向量为vң,平面α内的两个不共线向量是vң1和vң2,平面α的法向量为nң,则有:①lʊα⇔存在实数x,y,使vң=x vң1+y vң2;②lʊα⇔vңʅnң.(3)证明平面与平面平行的方法是将其转化为直线与直线平行或直线与平面平行,然后利用向量方法证明.也可以用如下方法:若平面α和β的法向量分别为nң1和0010 n ң2,则αʊβ⇔n ң1ʊn ң2.(4)证明直线与直线垂直的方法是:若直线l 1和l 2的方向向量分别为v ң1和v ң2,则l 1ʅl 2⇔v ң1ʅv ң2.(5)证明直线与平面垂直的方法是:若直线l 的方向向量为v ң,平面α的法向量为n ң,则l ʅα⇔v ңʊn ң.(6)证明平面与平面垂直的方法是:若平面α和β的法向量分别为n ң1和n ң2,则αʅβ⇔n ң1ʅn ң2.四利用空间向量求空间角1.有关角的概念(1)空间角主要包括两条异面直线所成的角㊁直线与平面所成的角㊁二面角.(2)斜线与平面所成的角:平面的一条斜线和它在这个平面内的射影的夹角叫作斜线和平面所成的角.规定:若一条直线与一个平面平行或在平面内,则这条直线和平面所成的角为0;若一条直线与一个平面垂直,则这条直线和平面所成的角为π2.因此,斜线和平面所成的角的范围是0,π2();直线和平面所成的角的范围是0,π2[].(3)二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面二面角的平面角:在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,在两个半平面内分别作射线O Aʅl,O Bʅl,则øA O B叫作二面角α-l-β的平面角.直二面角:平面角是直角的二面角叫作直二面角,互相垂直的两个平面相交所形成的二面角就是直二面角.二面角的取值范围是[0,π].(4)最小角原理:斜线和平面所成的角,是斜线和这个平面所有直线所成角中的最小的角.(5)从角的顶点出发的一条直线,如果它和这个角的两条边所成的角相等,那么它在这个角所在平面内的射影是这个角的平分线.这个结论常用于确定一条直线在一个平面内的射影.(6)利用射影面积公式:S'=S㊃c o sθ,也可以求一些二面角的大小.2.利用空间向量求空间角的方法(1)若异面直线l1和l2的方向向量分别为vң1和vң2,它们所成的角为θ,则c o sθ=|c o s<vң1,vң2>|.(2)利用空间向量求直线与平面所成的角,可以有两种办法:一是分别求出直线和它在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(或其补02(3)利用空间向量方法求二面角,也有两种办法:一是分别在二面角的两个面内找到一个与棱垂直且从垂足出发的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小;二是通过平面的法向量来求:设二面角的两个面的法向量分别为nң1和nң2,则二面角的大小等于<nң1,nң2>(或π-<nң1,nң2>).五利用空间向量求点到平面的距离1.定义一个点到它在一个平面内的正射影的距离叫作这个点到平面的距离.2.求法一是根据定义,按照作(或找) 证 求的步骤求解;二是利用空间向量,首先求出平面的单位法向量nң0,再任意找一个从该点出发的平面的斜线段对应的向量vң,则点到平面的距离为d=|nң0㊃vң|.10。

空间向量及其运算知识点总结空间向量及其运算是一个数学领域的重要知识点，涉及到向量理论在三维空间中的应用，包括向量的表示、运算、分解和向量间的关系等。

以下是对该知识点的总结：一、基本概念1. 向量：在空间中，向量是由大小和方向组成的物理量，可以用有向线段来表示。

2. 向量加法：两个向量和差运算的几何实现是平行四边形。

3. 向量减法：两个向量被同一个向量所连接。

4. 向量数乘：数与向量的乘法是数乘向量的一种方式。

5. 向量的模：向量的长度或大小称为向量的模。

二、基本运算法则1. 平行四边形法则：两个向量的加法可以扩展到多个向量。

2. 三角形法则：对于两个不能直接相加的向量，可以先将其分解为若干个互相平行或垂直的向量，再对这些向量进行加法运算。

3. 数乘结果：数乘向量时，不改变方向。

4. 向量的分解：一个向量可以通过添加一组垂直的单位向量来分解成若干个互相垂直的单位向量。

三、向量的分解与表示对于空间中的每一个点，都存在一组与之垂直的单位向量，可以通过这个单位向量来将该点表示为其他点的线性组合。

对于平面上任意的非零点，都存在唯一的一组平行于坐标轴的单位基底和数量因子，使得点在坐标轴上的投影可以用基底和数量因子的线性组合来表示。

四、空间向量的数量积空间向量的数量积是一个重要的概念，它表示的是两个向量对应坐标的乘积的标量结果。

空间向量的数量积具有一些重要的性质，如它是一个实数，它与向量的方向无关等。

五、空间向量的坐标表示空间向量的坐标表示是空间向量的基本运算之一，可以将空间向量用一组有序实数来表示，从而方便了对空间向量的各种运算和讨论。

以上就是空间向量及其运算的一些基本知识点，理解和掌握这些知识对于解决空间几何问题、向量问题以及更广泛的数学问题都具有重要的意义。

空间向量及其线性运算一、目标与策略明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！学习目标：●了解空间向量的概念，体会向量由平面向空间的推广过程．●掌握空间向量的线性运算，掌握向量共线的充要条件．●掌握空间向量的数量积，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．重点难点：●重点：空间向量的线性运算和空间向量的数量积；空间向量共线与垂直的充要条件．●难点：空间向量的数量积，空间向量共线与垂直的充要条件．学习策略：●把向量的研究范围从平面扩大到空间，就得到空间向量，因此，空间向量是平面向量的推广，学习空间向量的相关概念及其运算时，完全类比平面向量的概念及其运算．二、学习与应用知识点一：空间向量的相关概念（一）空间向量的定义：在空间，我们把具有的量叫做向量．与平面向量一样，空间向量也用表示；记作：．注意：（1）空间中点的一个平移就是一个向量；（2）数学中讨论的向量与向量的无关，只与有关，只要不改“凡事预则立，不预则废”。

科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。

我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。

知识要点——预习和课堂学习认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习。

课堂笔记或者其它补充填在右栏。

预习和课堂学习更多知识点解析请学习网校资源ID: #tbjx6#285416变 ，空间向量可在空间内任意 ，故我们称之为自由向量． （二）空间向量的长度（模）：表示空间向量的有向线段的 叫做向量的长度或模，记作 （三）空间向量的有关概念：零向量：长度为 或者说起点和终点 的向量，记为 ． 单位向量：长度为 的空间向量，即||a =． 相等向量：方向 且模 的向量． 相反向量：方向 但模 的向量．共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线 ，则这些向量叫做共线向量或 ．a平行于b记作 ．共面向量： ，叫做共面向量． 两个规定：（1） 与任意向量平行； （2） 与任意向量垂直． 注意：（1）当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b的有向线段所在的直线可能是 直线，也可能是 直线．（2）向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，因此我们说空间任意两个向量是 的． （四）两个向量的夹角已知两非零向量,a b，在空间任取一点O ，作向量OA a = ，OB b =，则A O B∠叫做a与b 的 ，记作 ．规定：,a b 〈〉的取值范围是当,0a b 〈〉=或π时，向量a与b，记作 当,2a b π〈〉=时，向量a与b，记作知识点二：空间向量的加减法因为空间任意两个向量是共面的．定义空间向量的加法、减法、数乘向量及运算律与平面向量一样．（一）空间向量的加减法运算（1）如图,若,OA a AB b==，则OB=（2）如图，若,OA a OB b==则BA=（二）空间向量的加法运算律：加法交换律：a b+=加法结合律：()a b c++=注意：空间向量加法的运算律要注意以下几点：（1）首尾相接的若干向量之和，等于，即：1223341n nA A A A A A A A-++++=因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为的向量；（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为，即：12233411n n nA A A A A A A A A A-+++++=；知识点三：空间向量的数乘（一）实数与空间向量的积的定义：实数λ与向量a的积是一个 ，记为 ，模和方向规定如下：||a λ=()R λ∈当0λ>时，a λ 与向量a的方向 ； 当0λ=时，0a λ=；当0λ<时，a λ 与向量a的方向 ． （二）实数与空间向量的积的运算律：设λμ、为实数，则有 结合律：)a λμ=（ 第一分配律：()a λμ+=第二分配律：()a b λ+=（三）共线向量定理和共面向量定理共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 的充要条件是 ．共面向量定理：如果两个向量a、b 不共线，则向量p与a、b共面的充要条件是 ．知识点四：空间向量的数量积（一）数量积定义已知空间两向量,a b，则||||cos ,a b a b ⋅⋅<>叫做,a b的 ，记作 ，即a b ⋅=．注意：空间两向量的数量积是一个 ，实数与空间向量的积是一个 ． （二）空间向量数量积的运算律（1）a b ⋅=（交换律）；（2）()a b c ⋅+=（分配律）；（3）()a b λ⋅=()R λ∈ （三）空间向量数量积的性质设,a b是非零向量，e是单位向量，则 （1）||cos ,a e e a a a e ⋅=⋅=<>；（2）0a b ⋅=⇔；（3）2||a=或||a=；（4）cos,a b<>=；（5）||a b⋅||||a b⋅【变式3】如图，平行六面体A 1B 1C 1D 1—ABCD ，M 分AC成的比为12，N 分1A D 成的比为2，设AB a = ，AD b = ，1AA c =，试用a 、b 、c 表示MN ．例2．如图，已知长方体''''ABCD A B C D -，化简下列向量表达式：（1）'AA CB -；（2）111'222AD AB A A +-．总结升华： 举一反三：【变式1】如图，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点，化简下列向量表达式： （1）111AA A B +；（2）11111122A B A D +； （3）111111122AA A B A D ++； （4）1111AB BC CC C A A A ++++ ．【变式2】已知空间四边形ABCD ，连接AC 、BD ，设M 、G 分别是BC 、CD 的中点，则MG AB AD -+等于（ ） A ．32DBB ．3MGC ．3GMD ．2MG例3．已知正方体''''ABCD A B C D -，点E 是上底面''''A B C D 的中心，求下列各式中x 、y 、z 的值：（1）''BD xAD yAB zAA =++ ；（2）'AE xAD yAB z AA =++ ．举一反三：【变式】已知''''ABCD A B C D -是平行六面体．（1）化简12'23AA BC AB ++，并在图中标出其结果； （2）设M 是底面ABCD 的中心、N 是侧面''BCC B 对角线'BC 上的34分点，设'MN AB AD AA αβγ=++，试求α、β、γ的值．例4．若三棱锥O 一ABC 中G 是ΔABC 的重心，求证：1()3OG OA OB OC =++．总结升华：举一反三：【变式1】在如图所示的平行六面体中，求证：''2'AC AB AD AC ++=．【变式2】如图，在四边形ABCD 中，E 、F 分别为AD 、BC 的中点，试证：1()2EF AB DC =+．类型二：共线向量定理的应用例5．已知E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点．（1）用向量法证明BD ∥平面EFGH ；（2）设M 是EG 和FH 的交点，求证：对空间任意一点O ，有1()4OM OA OB OC OD =+++．总结升华： 举一反三：【变式1】设1e 、2e 是平面上不共线的向量，已知122AB e k e =+ ，123CB e e =+，122CD e e =-，若A 、B 、D 三点共线，求k 的值．解：【变式2】V 为矩形ABCD 所在平面外一点，且V A =VB =VC =VD ，13VP VC =，23VM VB = ，23VN VD =．求证：V A ∥平面PMN ．【变式3】如图，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 分别是A 1D 1、D 1D 、D 1C 1的中点．求证：平面EFG ∥平面AB 1C ．类型三：空间向量的数量积的计算例6．已知||2a =，||3b =，,60a b 〈〉=︒，求|2-3|a b 的值． 解：举一反三：【变式1】已知向量a 、b 、c 两两之间的夹角都为60°，其模都为1，则|2|a b c -+等于（ ）AB ．5C ．6D 【变式2】设a b ⊥，,3a c π〈〉=，,6b c π〈〉=，且||1a =，||2b =，||3c =，则向量a b c ++的模是 ．【变式3】已知：0a b c ++= , ||3,||1,||4a b c === ，试计算a b b c c a ⋅+⋅+⋅．解：类型四：利用空间向量的数量积求线段的长度例7．在直二面角的棱上有两点A 、B ，AC 和BD 各在这个二面角的一个面内，并且都垂直于棱AB ，设AB =8cm ，AC =6cm ，BD =24cm ，求CD 的长．总结升华： 举一反三：【变式1】已知PA ⊥平面ABC ，∠ABC =120°，PA =AB =BC =6，求线段PC 的长．【变式2】已知平行六面体''''ABCD A B C D-中，AB=4，AD=3，AA′=5，90BAD∠= ，∠BAA′=∠DAA′=60°，则AC＇等于（）A．85 B．．50类型五：利用空间向量的数量积求异面直线所成的角例8．正四面体S—ABC中，E、F分别为SA和BC的中点，求异面直线BE和SF所成角．总结升华：举一反三：【变式1】如图所示，在空间四边形OABC中，OA=8，AB=6，AC=4，BC=5，∠OAC=45°，∠OAB=60°，求异面直线OA与BC所成角的余弦值．A CSEF【变式2】如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D-中，M、N分别是11A B和1BB 的中点，那么直线AM与CN所成的角的余弦值是（）ABC．25D．35【变式3】正四棱锥C ABD E-中，2CA AB==，M N，分别是AC BC，的中点，求EM AN，所成角的余弦值．类型六：空间向量的数量积在立体几何中的应用例9．如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点M、N分别是边AB、CD的中点．（1）求证：MN为AB和CD的公垂线；（2）求MN的长；（3）求异面直线AN与MC所成角的余弦值．总结升华：DABCENM举一反三：【变式】如图，平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°． （1）求AC 1的长；（2）求AC 1与面ABCD 所成的角．三、总结与测评要想学习成绩好，总结测评少不了！课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力。

空间向量及其线性运算【学习目标】1. 理解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示方法与字母表示方法． 2．掌握空间向量的线性运算（加法、减法和数乘）及其运算律．3．掌握空间向量的共线定理和共面定理，并能用它们分析解决有关问题． 【要点梳理】要点一、空间向量的相关概念 1.空间向量的定义：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示；记作：AB 或a。

（要注意印刷体用a ，而手写体为a，要区分开）要点诠释：（1）空间中点的一个平移就是一个向量；（2）数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量。

2.空间向量的长度（模）：表示空间向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作||AB 或||a3．空间向量的有关概念：零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为0 。

规定：0与任意向量平行。

单位向量：长度为1的空间向量，即||1a.相等向量：方向相同且模相等的向量。

相反向量：方向相反但模相等的向量。

共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作b a//．共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量。

要点诠释：①当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．②向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，因此我们说空间任意两个向量是共面的．要点二、空间向量的加减法 1．加减法定义空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法．（如下图）．2．运算律交换律：a b b a +=+结合律：()()a b c a b c ++=++要点诠释：（1） 空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则．而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并；（2） 向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则． （3） 空间向量加法的运算的小技巧：①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即：12233411n n n A A A A A A A A A A -++++=因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量；②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，即：122334110n n n A A A A A A A A A A -+++++= ；要点三、空间向量的数乘运算1. 定义：实数λ与空间向量a 的乘积a λ仍是一个向量，称为向量的数乘运算．当λ＞0时，λa 与a 方向相同；当λ＞0时，λa 与a 方向相反； 当λ=0时，λa=0．λa 的长度是a 的长度的|λ|倍．如右图所示．2．运算律．分配律：λ(a+b)=λa+λb ； 结合律：λ(μa)= (λμ)a ． 要点诠释：（1）实数λ与空间向量a 的乘积λa （λ∈R ）为空间向量的数乘运算，空间向量的数乘运算可把向量伸长或缩短或改为反方向的向量，当0＜λ＜1时，向量缩短；当λ＞1时，向量伸长；当λ＜0时，改为反方向的向量．（2）注意实数与向量的积的特殊情况，当λ=0时，λa=0；当λ≠0时．若a≠0时，有λa≠0．（3）实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算，比如：λ+a ，λ－a 无意义．要点四、共线定理 1．共线向量的定义．与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作a ∥b ．注意： 0与任意向量是共线向量．2．共线向量定理．空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 的充要条件是存在实数λ，使b aλ=．要点诠释：此定理可分解为以下两个命题：① a ∥b （b≠0）⇒存在唯一实数λ，使得a=λb ； ② 存在唯一实数λ，使得a=λb （b≠0），则a ∥b ．注意: b ≠0不可丢掉，否则实数λ就不唯一．3. 共线向量定理的用途： ①判定两条直线平行；（进而证线面平行） ②证明三点共线。

空间向量及其运算知识总结精品文档收集于网络，如有侵权请联系管理员删除空间向量及其运算1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量 注：⑴空间的一个平移就是一个向量⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2．空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下b a AB OA OB ;b a OB OA BA ;)(R a OP运算律：⑴加法交换律：a b b a⑵加法结合律：)()(c b a c b a⑶数乘分配律：b a b a )( 3．平行六面体：平行四边形ABCD 平移向量a 到D C B A 的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD －D C B A 它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱 4. 平面向量共线定理方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量．向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b ＝λa .要注意其中对向量a的非零要求． 5 共线向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作b a//．当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．6． 共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb .推论：如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t 满足等式t OA OP a ．其中向量a叫做直线l 的方向向量. 空间直线的向量参数表示式：t OA OP a或)(OA OB t OA OP OB t OA t )1(，中点公式．)(21OB OA OP aC'B'A'D'D A CA 'pb aOPA B M精品文档收集于网络，如有侵权请联系管理员删除yk i A(x,y,z)O jxz 7．向量与平面平行：已知平面 和向量a r，作OA a u u u r r ，如果直线OA 平行于 或在内，那么我们说向量a r 平行于平面 ，记作：//a r．通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量说明：空间任意的两向量都是共面的8．共面向量定理：如果两个向量,a b r r 不共线，p r与向量,a b r r 共面的充要条件是存在实数,x y 使p xa yb r r r推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对,x y ，使MP xMA yMB u u u r u u u r u u u r ①或对空间任一点O ，有OP OM xMA yMB u u u r u u u u r u u u r u u u r ②或,(1)OP xOA yOB zOM x y z u u u r u u u r u u u r u u u u r③ 上面①式叫做平面MAB 的向量表达式9 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c r r r 不共面，那么对空间任一向量p r ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc r r r r若三向量,,a b c r r r不共面，我们把{,,}a b c r r r 叫做空间的一个基底，,,a b c r r r 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB zOC u u u r u u u r u u u r u u u r10 空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量,a b rr ，在空间任取一点O ，作,OA a OB b u u u r u u u r r r ，则AOB 叫做向量a r 与b r的夹角，记作,a b r r ；且规定0,a b r r ，显然有,,a b b a r r r r ；若,2a b r r ，则称a r 与b r互相垂直，记作：a b r r .11．向量的模：设OA a u u u r r ，则有向线段OA u u u r 的长度叫做向量a r的长度或模，记作：||a r .12．向量的数量积：已知向量,a b r r ，则||||cos ,a b a b r r r r 叫做,a b rr 的数量积，记作a b r r ，即a b r r ||||cos ,a b a b r rr r ．已知向量AB a u u u r r 和轴l ，e r是l 上与l 同方向的单位向量，作点A 在l 上的射影A ，作点B 在l 上的射影B ，则A B u u u u r 叫做向量AB u u u r 在轴l 上或在e r上的正射影. 可以证明A B u u u u r 的长度||||cos ,||A B AB a e a e u u u u r u u u r r r r r． 13．空间向量数量积的性质：（1）||cos ,a e a a e r r r r r．（2）0a b a b r r r r ．（3）2||a a a r r r ．14．空间向量数量积运算律： （1）()()()a b a b a b r r r r r r ．（2）a b b a r r r r（交换律）．（3）()a b c a b a c r r r r r r r空间向量的直角坐标及其运算精品文档收集于网络，如有侵权请联系管理员删除1 空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}i j k r r r表示；（2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底{,,}i j k r r r，以点O 为原点，分别以,,i j k r r r的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系O xyz ，点O 叫原点，向量 ,,i j k r r r都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面；2．空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O xyz 中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使OA xi yj zk u u u r r r，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz 中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标． 常见坐标系①正方体：如图所示，正方体''''ABCD A B C D 的棱长为a ，一般选择点D 为原点，DA 、DC 、'DD 所在直线分别为x轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D xyz ，则各点坐标为亦可选A 点为原点.在长方体中建立空间直角坐标系与之类似②正四面体：如图所示，正四面体A BCD 的棱长为a ，一般选择A 在BCD 上的射影为原点，OC 、OD （或OB ）、OA 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O xyz ，则各点坐标为③正四棱锥：如图所示，正四棱锥P ABCD 的棱长为a ，一般选择点P 在平面ABCD 的射影为原点，OA （或OC ）、OB（或OD ）、OP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O xyz ，则各点坐标为④正三棱柱：如图所示，正三棱柱 '''ABC A B C 的底面边长为a ，高为h ，一般选择AC 中点为原点，OC （或OA ）、OB 、OE （E 为O 在''A C 上的射影）所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O xyz ，则各点坐标为3．空间向量的直角坐标运算律：（1）若123(,,)a a a a r ，123(,,)b b b b r，则112233(,,)a b a b a b a b r r ，112233(,,)a b a b a b a b r r ，123(,,)()a a a a R r， 112233a b a b a b a b r r ，112233//,,()a b a b a b a b R r r ，x C精品文档收集于网络，如有侵权请联系管理员删除1122330a b a b a b a b r r．（2）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z u u u r．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标4 模长公式：若123(,,)a a a a r ，123(,,)b b b b r，则||a r||b r5．夹角公式：cos ||||a ba b a b rr r r r ．6．两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则||AB u u u r,A B d空间向量应用一、直线的方向向量把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量.在空间直角坐标系中，由111(,,)A x y z 与222(,,)B x y z 确定直线AB 的方向向量是212121(,,)AB x x y y z z u u u r.平面法向量 如果a r ，那么向量a r叫做平面 的法向量.二、证明平行问题1．线线平行：证明两直线平行可用112233//,,()a b a b a b a b R r r 或312123//aa a ab b b b r r .2.线面平行：直线l 的方向向量为a r ，平面 的法向量为n r ，且l ，若a n r r 即0a n r r则//a r.3.面面平行：平面 的法向量为1n u r ，平面 的法向量为2n u u r ，若12//n n u r u u r 即12n n u r u u r则// .三、证明垂直问题1．线线垂直：证明两直线垂直可用1122330a b a b a b a b a b r r r r2．线面垂直：直线l 的方向向量为a r ，平面 的法向量为n r ，且l ，若//a n r r即a n r r 则a r.3.面面垂直：平面 的法向量为1n u r ，平面 的法向量为2n u u r ，若12n n u r u u r 即120n n u r u u r则 .四、求夹角1．线线夹角：设123(,,)a a a a r 123(,,)b b b b r(0,90] 为一面直线所成角，则：||||cos ,a b a b a b r r r r r r；cos ,||||a b a b a br rr r r r ；cos |cos ,|a b r r. 2．线面夹角：如图，已知PA 为平面 的一条斜线，n 为平面 的一个法向量，过P 作平面精品文档收集于网络，如有侵权请联系管理员删除的垂线PO ，连结OA 则PAO 为斜线PA 和平面 所成的角，记为 易得sin |sin(,)|2OP APu u u r u u u r|cos ,|OP AP u u u r u u u r|cos ,|n AP r u u u r |cos ,|n PA r u u u r ||||||n PA n PA r u u u rr u u u r . 3． 面面夹角：设1n u r 、2n u u r分别是二面角两个半平面 、 的法向量，当法向量1n u r 、2n u u r同时指向二面角内或二面角外时，二面角 的大小为12,n n u r u u r；当法向量1n u r 、2n u u r一个指向二面角内，另一外指向二面角外时，二面角 的大小为12,n n u r u u r .五、距离1．点点距离：设111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z，,A B d||AB u u u r 2．点面距离：A 为平面 任一点，已知PA 为平面 的一条斜线，n r为平面 的一个法向量，过P 作平面 的垂线PO ，连结OA 则PAO 为斜线PA 和平面 所成的角，记为 易得||||sin |||cos ,|PO PA PA PA n u u u r u u u r u u u r u u u r r ||||||||PA n PA PA n u u u r r u u u r u u u r r ||||PA n n u u u r rr . 3．线线距离：求异面直线间的距离可以利用向量的正射影性质直接计算.设两条异面直线a 、b的公垂线的方向向量为n r , 这时分别在a 、b 上任取A 、B 两点，则向量在n r上的正射影长就是两条异面直线a 、b 的距离.即两异面直线间的距离等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值.直线a 、b 的距离||||||||n AB n d AB n n r uuu r r uuu r r r .4．线面距离：一条直线和一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离叫做这条直线到这个平面的距离.直线到平面的距离可转化为求点到平面的距离.5.面面距离：和两个平行平面同时垂直的直线叫做两个平行平面的公垂线.公垂线夹在这两个平行平面间的部分叫做两个平行平面的公垂线段.公垂线段的长度叫做两个平行平面间的距离.。

空间向量及其运算（理科 ）一、 学习目标：1、知识与技能：了解空间向量的概念、空间向量的基本定理及其意义.掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。

掌握空间向量的线性运算、数量积及其坐标表示，用向量的数量积判断向量的共线与垂直2、过程与方法：通过合作、探究、展示、点评培养学生的自主学习能力。

3、情感、态度、价值观：增强数学学习信心，体会数学的科学价值，获得学习的快乐。

二、知识梳理：：已知向量111222(,,),(,,)x y z x y z ==a b1、±=a b2、λa =3、⋅a b =4、共线向量定理：（1）//a b ()≠⇔0b ⇔（2）//a b 222(0)x y z ≠⇔ （3）与)0(≠a a 共线的单位向量是5、共面向量定理：6、空间向量分解定理：7、空间向量b a ,的数量积（1）夹角 ；（2）两个向量b a ,数量积的定义： ；（3）两个向量b a ,数量积的性质 ， ， ， 。

（4）数量积满足的运算律： ， ， 。

8、两个向量的夹角及长度的计算：设),,(),,,(321321b b b b a a a a ==，= ________，cos<b a ,>= ____________三、基础训练： （1）在空间四边形OABC 中，,,,OA OB OC ===a b c 点M 在OA 上，且OM=2MA ，N 是BC 的中点，则MN = .（2）已知,R λ∈a 为非零向量，则下列结论正确的是（ ）（A ）λa 与a 同向 （B ）|λa |=λ|a | （C ）（λa ）//a (D) |λa |=|λ|a（3）设非零向量a ，b ，c ，,||||||=++a b c p a b c 那么||p 的取值范围是（ ） （A ）[0,1] （B ）[1,2] （C ）[0,3] (D) [1,3]（4）在平行六体ABCD A B C D ''''-中,AB=4,AD=3,5,AA '=90BAD ∠=,BAA '∠=60DAA '∠=则AC '的长度为四、合作、探究、展示：例1、如图所示，在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，,,AB AD ==a b ,AA '=c P 是CA '的中点，M 是CD '的中点，N 是C D ''的中点，点Q 在CA '上，且:4:1,CQ QA '=用基底{a ，b ，c }表示以下四个向量：（1）;AP （2）;AM （3）;AN （4）AQ例2、 棱长为1的正方体111111BB BD,,DD G F E 分别是，，中，D C B A ABCD -的中点。

空间向量知识点总结图一、空间向量的概念1.1 空间向量的定义空间中具有大小和方向的量称为空间向量，通常用有向线段表示。

1.2 空间向量的表示空间向量通常用坐标表示，如果空间中有两点A(X1, Y1, Z1)和B(X2, Y2, Z2)，则向量AB 可以表示为AB = (X2 - X1, Y2 - Y1, Z2 - Z1)。

1.3 空间向量的运算空间向量之间可以进行加法和数量乘法运算。

1.3.1 加法两个空间向量A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)的和为A+B = (x1+x2, y1+y2, z1+z2)。

1.3.2 数量乘法一个空间向量A(x, y, z)和一个实数k的乘积为kA = (kx, ky, kz)。

二、空间向量的性质2.1 零向量的性质零向量是长度为0的向量，任何向量与零向量的和都是它自身。

2.2 相等向量的性质如果两个向量A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)的对应坐标相等，则它们是相等向量。

2.3 空间向量的线性运算性质空间向量的加法和数量乘法满足交换律、结合律和分配律。

2.4 向量共线的性质如果两个非零向量A和B共线，则存在一个非零实数k，使得A = kB。

2.5 向量共面的性质如果三个向量A、B、C共线，则它们共面。

三、空间向量的应用3.1 向量的数量积向量的数量积又称为点积，定义为A·B = |A| |B| cosθ，其中|A|和|B|分别为向量A和B的模，θ为向量A和B的夹角。

数量积的性质有交换律、分配律和数量积的几何意义。

3.2 向量的向量积向量的向量积又称为叉积，定义为A × B = |A| |B| sinθ n，其中|A|和|B|分别为向量A和B 的模，θ为向量A和B的夹角，n为垂直于A和B的单位向量。

向量积的性质有反交换律、分配律和向量积的几何意义。

3.3 应用举例空间向量在物理学、工程学和计算机图形学等领域有着广泛的应用，如力的合成、面积计算、三维坐标系中的投影等。

第十七章 空间向量（理科）一 空间向量的线性运算知识点1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

注：(1)向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。

(2)空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。

2. 空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下(如下图)。

OB OA AB a b =+=+ ;BA OA OB a b =-=- ;()O P a R λλ=∈ 运算律：⑴加法交换律：a b b a +=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++⑶数乘分配律：b a b a λλλ+=+)(二 空间向量的基本定理知识点1. 共线向量(1)如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a 平行于b ，记作b a //。

当我们说向量a 、b 共线(或a //b )时，表示a 、b 的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线。

(2)共线向量定理：空间任意两个向量a 、b (b ≠0 )，a //b 存在实数λ，使a ＝λb 。

深化：(1)对于空间中的任意两个向量来说都是共面的，但三个向量不一定共面．(2)当p 、a 、b 都是非零向量时，共面向量定理实际上也是p 、a 、b 所在的三条直线共面的充要条件，但用于判定时，还需证明其中一条直线上有一点在另外两直线确定的平面内．2. 共面向量(1)定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。

说明：空间任意的两向量都是共面的。

(2)共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+ 。

3. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++ 。

若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。