量子力学-第二章-定态薛定谔方程

单值条件
有界条件
其中A、B、k 均为常数，A、B由边界条件确定。 边界条件： (0) A 0 (a ) B sin ka 0 连续条件
B 0 （若B=0，则势阱内无粒子）
sin ka 0
n ( x ) B sin x a
ka n
n 1,2,3, n 叫量子数
2 2 能量算符 (哈密顿算符) H U 2m
ˆ 本征方程 H n En n
当粒子处在 n 态时，则实验测量该粒子有确定的能量 En。 ˆ n 称为能量算符 H 的本征态，En 为与其对应的本征值。
叠加原理：薛定谔方程是线性微分方程，如果 1,2,3,…,n 是体系的可能状态 (解)，那其线性叠加态也是体系 的一个可能状态。
薛定谔方程
§2.2 无限深方势阱中的粒子 (Particle in infinite square-well otential)
一、无限深一维方势阱 粒子在力场中的势能函数为：
U
U
0 xa
x 0, x a
U 0 U
U 0
0
a
x
粒子处于束缚态：在阱内势能为零，粒子不受力的 作用；在边界处，势能突然增加到无限大，粒子受 到无限大的斥力。粒子被限制在 0< x < a 的范围内， 不可能到此范围外。
第二章 薛定谔方程（4学时）
(Schrö dinger Equation)
§2.1 薛定谔得出的波动方程 §2.2 无限深方势阱中的粒子
§2.3 势 垒 穿 透
§2.4 谐
量子力学体系
振
子
总 结
§2.1 薛定谔得出的波动方程
(Wave equation of Schrö dinger ) 一、波函数

规律。 2 、建立方程而不是推导方程，正确性由实验验证。薛定谔方程实质 上是一种基本假设，不能从其他更基本原理或方程推导出来，它的正 确性由它解出的结果是否符合实验来检验。 3、薛定谔方程是线性方程。是微观粒子的基本方程，相当于牛顿方 程。 4、自由粒子波函数必须是复数形式，否则不满足自由粒子薛定谔方 程。 5、薛定谔方程是非相对论的方程。 量子力学的中心任务就是求解薛定谔方程。 求解问题的思路：
系数。

势垒的投射
第二章 波函数和薛定谔方程 （小结）
一.波函数统计解释 二.态迭加原理 三.薛定谔方程 四.粒子流密度和粒子数守恒定律 五.定态薛定谔方程 六.一维无限深势阱 七.线性谐振子 八.势垒贯穿 几个概念：波函数，宇称，定态，简并，
束缚态，量子化，零点能，隧道效应， 数学：厄米方程，厄米方程多项式 势垒。P244。 超越方程曾书p34，一维有限深势阱。
量子力学的二个态的迭加原理（P22倒7行）：如果Ψ1与Ψ2是体 系的可能状态，那么它们的 线性迭加态 Ψ=c1Ψ1+c2Ψ2，（c1 、c2 是复数）
也是这个体系的一个可能状态。 2、例：以双缝衍射实验（见上面图），推广到任意多态的一般态迭加 原理：
衍射图样的产生证实了干涉项的存在。 3、态的迭加原理
如果Ψ1、Ψ2、Ψ3…是体系可能的状态，则它们的线性迭加态 Ψ=c1Ψ1+c2Ψ2+ c3Ψ3…=∑ciΨi
也是体系的一个可能状态。当体系处在迭加态Ψ时，体系部分处 在Ψ1态、也部分处在Ψ2态，…等，即各有一定几率处在迭加之前的 各个态Ψi。
4、说明：
（1）量子力学使用最多的是把可以实现的态分解
为某一个算符本征态的迭加。 （2）如同经典波的分解和迭加，量子力学的态的 迭加也是波函数的迭加，而不是的迭加。

第二章薛定谔方程(4学时)§2.1 薛定谔得出的波动方程§2.2 无限深方势阱中的粒子§2.3 势垒穿透§2.4 谐振子§2.1 薛定谔得出的波动方程在§1.5中我们已说明,微观粒子的状态用波函数ψ描述,波动性和粒子性的关系为:波的强度正比于粒子到达的概率.具体来说,若ψ(r,t)为波函数,d V为空间r点附近的体积元,则t时刻在此体积元内发现粒子的概率正比于|ψ(r,t)|2d V.|ψ(r,t)|2叫做相对概率密度.波函数一般是空间坐标和时间的复函数由于波函数ψ的概率解释,ψ可以相差一个任意常数因子,即ψ和Aψ代表相同的状态.其中A为任意复常数.这是因为将ψ换为Aψ,空间各点的相对概率没有变化.这一点与经典力学有本质区别,在经典力学中,代表波动的函数如果增大A倍,表示振幅增大了A倍,它代表的是另一个振动状态.正因为波函数可以相差一个任意常数,使ψ满足以下归一化条件:1ψd2=⎰V例如,如果ϕ是一个未归一化的波函数,则可令ψ=Aϕ,由归一化条件12222=ϕ=ϕ=ψ⎰⎰⎰dV A dV A dV得到:⎰ϕ=dVA 21, ψ=ϕϕ⎰dV21这样得到的波函数ψ已经满足归一化条件,我们就说ψ已归一，并用它代替ϕ来描述状态.设ψ(r,t )是归一化波函数,则|ψ(r,t )|2d V 的物理意义为t 时刻在r 点附近d V 体积元内发现粒子的概率.|ψ(r,t )|2称为概率密度.由于概率必须单值,有界,连续,所以要求ψ单值,有界,连续.这称为波函数的标准条件,它在决定波函数时起着重要作用. 在经典力学中,粒子的运动满足牛顿定律,它给出了粒子的运动状态随时间的变化规律.上节我们已说明,微观粒子的运动状态用波函数描述.波函数ψ是时间和空间的函数:ψ=ψ(x,y,z,t ).所谓微观粒子的运动规律,也就是描述状态的波函数ψ随时间的变化规律,即ψ所满足的方程,它在量子力学中的地位就相当于经典力学中牛顿方程的地位.这样的方程肯定不能从经典物理学导出,因为经典物理学根本没有涉及微观粒子的波粒二象性.波函数满足的方程由薛定谔首先找到,它的一般形式是包含时间和空间变量的微分方程.叫做薛定谔方程,在一维情形下，其一般形式为：),()],(2[),(222t x t x U xm t x t i ψ+∂∂-=ψ∂∂ 式中U (x ,t )为粒子的势函数。

第二章 波函数和薛定谔方程 2.3、 薛定谔方程 2.3.2、 薛定谔方程的建立
2.3.2、 薛定谔方程的建立 1、自由粒子满足的微分方程: 由自由粒子波函数
i ( p⋅r − Et ) ψ p ( r , t ) = Ae
（1）
将上式两边对时间 t 求一次偏导，得：
∂ψ p
i ( p⋅r − Et ) i i = − EAe = − Eψ p ∂t
第二章 波函数和薛定谔方程 2.3、 薛定谔方程 2.3.1、 描写波函数随时间变化的方程应满足条件
经典力学和量子力学关于描述粒子运动状态的差别。 经典力学 质点的状态用 r , p 描述。 量子力学
微观粒子状态用波函数 Ψ (r , t ) 描述。
每个时刻， r , p 均有确定值， 波函数 Ψ 描述的微观粒子不可能同
第二章 波函数和薛定谔方程 2.3、 薛定谔方程 2.3.1、 描写波函数随时间变化的方程应满足条件
2.3、 薛定谔方程
在 2.1 节中， 我们讨论了微观粒子在某一时刻 t 的状态， 以及描写这个状态的波函数 Ψ 的性质， 但未涉及当时间改 变时粒子的状态将怎样随着变化的问题。本节中我们来讨 论粒子状态随时间变化所遵从的规律。
。
第二章 波函数和薛定谔方程 2.3、 薛定谔方程 2.3.3、 关于薛定谔方程的几点说明
2.3.3、 关于薛定谔方程的几点说明 （1）薛定谔方程是建立的，而不是推导出来的，建立的 方式有多种。 （2）薛定谔方程是量子力学最基本的方程，也是量子力 学的一个基本假定。薛定谔方程正确与否靠实验检验。 （3）薛定谔方程描述了粒子运动状态随时间的变化，揭 示了微观世界中物质的运动规律。
第二章 波函数和薛定谔方程 2.4、 粒子流密度和粒子数守恒定律2.4.1、 几率分布变化及连续性方程