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量子力学-第二章-定态薛定谔方程教学提纲

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量子力学-第二章波函数和薛定谔方程

量子力学-第二章波函数和薛定谔方程

因发现原子理论新的有 效形式与狄拉克
荣获1933年
RETURN
诺贝尔物理学奖
32
二. 方程的讨论
1. 概率流密度和守恒定律 设t时刻，x点周围单位体积内粒子出现的概率
w x,t * x,t x,t
概率随时间的变化规律
w * *
t
t t
因为 i 2 1 U x
t 2m
概率密度：
w x, y, z,t dW C x, y, z,t 2
dV
3.波函数的性质
(1) x, y,是z,t单 值、有界、连续的； (2) x, y,与z,t C描x写, y同, z,一t 状态。
20
(3)波函数的归一性 ① (x, y是, z)平方可积的,则可归一化，
2
dV 1
玻恩（M.Born)：在某一时刻, 空间 x 处粒子出现 的概率正比于该处波函数的模方。粒子在空间出 现的概率具有波动性的分布，它是一种概率波。
19
设波函数 x, y, z,t t 时刻处于 x—x+dx，y—y+dy，z—z+dz内的
概率
dW x, y, x,t C x, y, z,t 2 dxdydz
c
q v B mv 2
q Br v
c
r
mc
与玻尔量子化条件联立,得
r2
n
1 2
2 q
c B
所以,粒子能量可能值为
En
1 2
mv 2
(n
1) 2
qB mc
(n 0,1, 2, )
10
V(x) 3.德布罗意假设的实验V(验x)证
（1）德布罗意—革末（Davison—Germer）

第二章波动方程和薛定谔方程

第二章波动方程和薛定谔方程

1 (2πh )3 / 2 1 (2πh )3 / 2
p ⋅r v h C p t e dp x dp y dp z ， ( , ) ∫∫∫ ∞
i vv
− p ⋅r v h Ψ r t e dxdydz 。 ( , ) ∫∫∫
i vv
&&dinger 方程给出： 4、波函数随时间变化的规律由 Schro
ih h2 2 ∂Ψ v =− ∇ Ψ + U (r , t )Ψ 。 ∂t 2μ
据此，可以得到几率守恒律的微分形式：
１
v ∂ω +∇⋅J =0 ， ∂t
v ih v v v 其中： ω (r , t ) = Ψ * (r , t )Ψ (r , t ) （假设 Ψ 归一化） ，J ≡ ( Ψ ∇Ψ * − Ψ * ∇Ψ ) 。 2μ

任意形状的势垒 U ( x) ，透射系数为：
D = D0 exp[−
四、典型例题
例 1、证明动量算符的属于本征值为 p' 的本征函数在动量表象中的表示是 δ ( p − p ' ) 。 证明：设 Ψ ( x, t ) 所描写的状态是具有动量 p ' 的自由粒子的状态，即
Ψ ( x, t ) = ψ p ' ( x )e
[−
h2 d2 * + U( x )]ψ * n = Enψn 2μ dx 2
，
（2）
即 ψ n 及 ψ* n 皆是与能量 E n 相对应的波函数。 而一维束缚定态不存在简并，于是：
４
ψ n = cψ * ， n （c 为复常数）
* 即： ψ * n = c ψn ，
则： ψ n = cc * ψ n = c ψ n ， 即： c = 1 ， 所以： c = e iδ ，可以取 δ = 0 ，即： ψ n = ψ * n 。 故 ψ n 为实数（无损一般性， ψ n 可取为实函数） 。

量子力学概论第2章 定态薛定谔方程

量子力学概论第2章 定态薛定谔方程
E0=12ћω(2.60) 现在我们安全地站在梯子的最底部(量子谐振
子的基态)，从而我们可以反复应用升阶算 符生成激发态,20 每升一步增加能量ћω ψn(x)=An(a+)nψ0(x)，和En=n+12ћω， (2.61)
例题2.4 求出谐振子的第一激发态。 解：利用式2.61
ψ1(x)=A1a+ψ0=A12ћmω-ћddx+mωxmωπћ1/4emω2ћx2=A1mωπћ1/42mωћxe-mω2ћx2.(2.62)
我们可以直接用“手算”对它进行归一化：
∫ψ12dx=A12mωπћ2mωћ∫+∞-∞x2e-mωћx2dx=A12, 恰好，A1=1。 我们不想用这种方法去计算ψ50(那需要应用升阶算符
(式２.５)称为定态(time-independent)薛定谔方程； 如果不指定V(x)我们将无法继续求它的解。
Ψ(x，t)=∑∞n=1cnψn(x)e-iEnt/ћ=∑∞n=1cnΨn(x， t).(2.17)
尽管分离解自身是定态解，
Ψn(x,t)=ψn(x)e-iEnt/ћ,(2.18)
即，概率和期望值都不依赖时间，但是需要强调的 是，一般解(式2.17)并不具备这个性质；因为不同 的定态具有不同的能量，在计算Ψ2的时候，含时指 数因子不能相互抵消
f(x)=∑∞n=1cnψn(x)=2a∑∞n=1cnsinnπax.(2.32)
例题2.2 在一维无限深方势阱中运动的粒子，其初始波函数 是Ψ(x,0)=Ax(a-x), (0≤x≤a),A是常数(如图2.3)。设在势阱外 Ψ=0。求Ψ(x,t)。
解：首先需要归一化波函数Ψ(x,0)求出A 1=∫a0Ψ(x,0)2dx=A2∫a0x2(a-x)2dx=A2a530， 所以A=30a5. 第n项的系数(式2.37)是 cn=2a∫a0sinnπax30a5x(a-x)dx

量子物理第二章-薛定谔方程ppt课件.ppt

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P2 Ψ 2
2 2Ψ
2m
x 2
i Ψ t
E
Ek
P2 2m
一维自由粒子的 含时薛定谔方程
2、一维势场 U (x,t) 中运动粒子薛定谔方程
E
Ek
U
(x,t)
P2 2m
U
(x,t)
Ψ t
i
EΨ
2Ψ x 2
P2 2
Ψ
Ψ t
i
[
P2 2m
U
(x,
t)]Ψ
2
2m
2Ψ x2
P2 Ψ 2m
2 2m
0
波函数本身无直观物理意义，只有模的平方反映粒子出 现的概率，在这一点上不同于机械波，电磁波!
2、玻恩（M..Born)的波函数统计解释:
概率密度： w Ψ (r,t) 2 ΨΨ*
单位体积内粒子出现的概率! 3、波函数满足的条件
1、单值： 在一个地方出现只有一种可能性； 2、连续：概率不会在某处发生突变； 3、有限 4、粒子在整个空间出现的总概率等于 1
(x) Asin(kx ) ( a x a)
（2）确定常数 A、
2
2
由波函数连续性， 边界条件 (-a/2) = 0 (a/2) = 0
Asin( ka 2 ) 0 ka 2 l1
Asin( ka 2 ) 0
2 (l1 l2) l
ka 2 l2 l
2
1）当 l 0 时 o Asin kx ——奇函数。 2）当 l 1 时 e Acos kx ——偶函数。
3. 薛定谔方程是对时间的一阶偏微分方程, 因此波动形式 解要求在方程中必须有虚数因子 i，波函数是复函数。
4. 只有动量确定的自由粒子才能用平面波的描写。

量子物理第二章薛定谔方程

量子物理第二章薛定谔方程

量⼦物理第⼆章薛定谔⽅程第2章薛定谔⽅程·德布洛意关于物质波的概念传到苏黎世后，薛定谔作了⼀个关于物质波的报告，报告后，德拜(P.Debye)评论说：有了波，就应有⼀个波动⽅程。

⼏个⽉后，薛定谔果然提出了⼀个波⽅程，这就是后来在量⼦⼒学中著名的薛定谔⽅程。

·薛定谔⽅程是量⼦⼒学的动⼒学⽅程，象⽜顿⽅程⼀样，不能从更基本的⽅程推导出来；它是否正确，只能由实验检验。

§1 薛定谔⽅程的建⽴(⼀种⽅法)⼀、薛定谔⽅程 1.⼀维薛定谔⽅程 · ⼀维⾃由运动粒⼦⽆势场，不受⼒，动量不变。

· ⼀维⾃由运动粒⼦的波函数(前已讲)由此有· 再利⽤可得此即ψ ? x = ( )P ψi h2ψ ? x 2 P 2h 2= -( ) ψ P 22m E = ? t= i h ( ) ψ (x , t )h 22m - ( ) ψ (x , t ) ?x 22⼀维⾃由运动粒⼦(⽆势场)的薛定谔⽅程·推⼴到若粒⼦在势场U (x , t ) 中运动由有⼀维薛定谔⽅程式中ψ =ψ (x , t )是粒⼦在势场U = U (x , t ) 中运动的波函数·和经典关系相⽐较,只要把P 22mE = +U (x , t ) P 22m E = +U (x , t )再作⽤到波函数ψ(x, t)上，即可得到上述⽅程。

2.三维薛定谔⽅程式由⼀维⽅程推⼴可得三维薛定谔⽅程式·拉普拉斯算符·当 U (r , t ) = 0时，⽅程的解，即三维⾃由运动粒⼦的波函数· 波函数的叠加原理薛定谔⽅程是ψ的线性微分⽅程；若ψ1、ψ2是⽅程的解，则 c 1ψ1 + c 2ψ2也是⽅程的解。

(c 1 、c 2是常数)★ E.Schrodinger & P.A.M.Dirac荣获1933年Nobel Prize (for the discovery of new productive forms of atomic theory)2 x 2 2y 22≡ + + ?2z 2⼆、定态薛定谔⽅程 1.⼀维定态薛定谔⽅程若粒⼦在恒定势场U = U (x ) 中运动(含常数势场U = U 0 )薛定谔⽅程式可⽤分离变量法求解。

量子力学概论第2章 定态薛定谔方程

量子力学概论第2章 定态薛定谔方程

图2.3 例题2.2中的初始波函数
所有这些概率的之和一定为1， ∑∞n=1cn2=1.(2.38)
能量的期望值一定是 〈H〉=∑∞n=1cn2En.(2.39)
例题2.3 在例题2.2中的初始波函数(图2.3)与基态 ψ1(图2.2)很相似，这意味着 c12将是主要的，事实 上c12=815π32=0.998555….其余的系数之和为与1 的差额
2.3.1 代数法 2.3.2 解析法
2.3 谐振子
图2.4 对任意势能极小值点附近的抛物线形近似(虚线)
图2.5 谐振子的能态“梯子”
2.3.1 代数法
ψ0(x)=mωπћ1/4e-mω2ћx2。(2.59) 我们把它代入薛定谔方程以确定相应的能量
(以式2.57的形式)，ћω(a+a-+1/2)ψ0=E0ψ0， 利用a-ψ0=0，有：
解：第一问很简单： Ψ(x,t)=c1ψ1(x)e-iE1t/ћ+c2ψ2(x)e-iE2t/ћ， 这里的E1,E2是ψ1,ψ2相应的能量，由此 Ψ(x,t)2=(c1ψ1eiE1t/ћ+c2ψ2eiE2/ћ)(c1ψ1e-
iE1t/ћ+c2ψ2eiE2/ћ)=c21ψ21+c22ψ22+2c1c2ψ1ψ2cos［(E2E1)t/ћ］. (这里用了欧拉公式expiθ=cos θ+isin θ来化简。)很显 然，概率密度以正弦形式振动，角频率是(E2E1)t/ћ；这当然不是一个定态。但是注意它是(具有 不同能量的)定态的线性组合，并且这种组合会产生 运动
2.1 定态
1.它们是定态(stationary states)。 ２.它们是具有确定总能量的态。 3.一般解是分离变量解的线性组合。

量子力学-薛定谔方程

量子力学-薛定谔方程
的方程称为该算符的本征方程，常数称为本 征值，方程的解称为(该算符的属于该本征值 的)本征函数。所以定态Schrodinger方程也就 是能量本征方程。
30
2.3 一维运动的一般分析
31
一、 一维势场中粒子能量本征态的一般性质 1、定态
2、简并 如果系统的能级是分立的，即 E En，若对 同一个能级，有两个及其以上的本征函数与 其对应，则称这个能级是简并的。
5
2 物理意义： 对实物粒子的波动性有两种解释
（1）第一种解释，认为粒子波就是粒子 的某种实际结构，即将粒子看成是三维 空间中连续分布的一种物质波包。波包 的大小即粒子的大小，波包的群速度即 粒子的运动速度。粒子的干涉和衍射等 波动性都源于这种波包结构。
6
能量和动量的关系为， E p2 / 2m
d

dt WV
S
J dS,
WV 是在体积V内发现粒子的总几率，而
S
J dS
穿过封闭曲面S向外的总通量。所以

J 是“几率流密度”，而上式表现了几率守恒。
几率守恒也就是粒子数守恒。 27
三 定态Schrodinger方程
若
U
(r
)
与时间无关，则Schrodinger方程
A
12
说明：
1 即使要求波函数是归一化的，它仍有一个 位相因子的不确定性（相位不确定性）。
例如：常数 c ei ，则 (x, y, z)
和 c (x, y, z) 对粒子在点（x,y,z）附近
出现概率的描述是相同的。
2 有些波函数不能（有限地）归一，如平面 波。
13
五、对波函数的要求
E p

i

量子力学2波函数和薛定谔方程

量子力学2波函数和薛定谔方程
传统对波粒二象性的理解： （1）物质波包 物质波包会扩散， 电子衍射，
波包说夸大了波动性一面。 （2）大量电子分布于空间形成的疏密波。 电子双
缝衍射表明，单个粒子也有波动性。疏密波说夸大了粒 子性一面。
对波粒二象性的辨正认识：微观粒子既是粒子，也 是波，它是粒子和波动两重性矛盾的统一，这个波不再 是经典概念下的波，粒子也不再是经典概念下的粒子。 在经典概念下，粒子和波很难统一到一个客体上。
也是一个可能的波动过程。
波的干涉、衍射现象可用波的迭加原理解释。 二、量子力学的态迭加原理
如果 1 和 2 是体系的可能状态，那么它们的线性 迭加： c11 c21（c1 ，c2是复数）也是这个体系 的一个可能状态。
三、电子双缝衍射 P
设 1 表示电子穿过上面窄
缝到达屏的状态，设 2 表 示电子穿过下面窄缝到达
二、波函数的(Born)统计解释
1、几率波
1926年玻恩提出了几率波的概念: 在数学
上，用一函数表示描写粒子的波，这个函数叫波函数。波
函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该
点找到粒子的几率成正比。既描写粒子的波叫几率波。
描写粒子波动性的几率波是一种统计结果，即许多电子同 一实验或一个电子在多次相同实验中的统计结果。
dW 应正比于体积 d dxdydz 和强度 2
dW(x, y, z,t) C (x, y, z,t) 2 d
2.1 归一化条件：在整个空间找到粒子的几率为1。
2
dW (x, y, z,t) C (x, y, z,t) d 1
2.2 归一化常数
C
1
2
可由归一化条件确定
(x, y, z,t) d
的线性迭加： c11 c22 cn n cn n

量子力学-第二章-定态薛定谔方程详解

量子力学-第二章-定态薛定谔方程详解

需要注意的是，尽管分离解自身是定态解，
n (x,t) n (x)eiEnt , 其几率和期望值都不依赖时间，但是一般解并不具备这个性质；
因为不同的定态具有不同的能量，在计算时含时指数因子不能相互抵消
2.2一维无限深势阱
0, V ( x)
| x | a | x | a
V(x)
I
II
III
l 求解 S — 方程 分四步： l （1）列出各势域的一维S—方程 l （2）解方程 l （3）使用波函数标准条件定解 l （4）定归一化系数
（三）求解定态问题的步骤
讨论定态问题就是要求出体系可能有的定态波函数 Ψ(r,t)和在这些态中的能量 E。其具体步骤如下：
（1）列出定态 Schrodinger方程
[
2
2
V ] (r )
E (r )
2
（2）根据波函数三个标准 本征值： 条件求解能量 E 的
E1, E2 , , En ,
本征值问题，得：
i
d dt
f (t) Ef (t)
[
2
2
V
]
(r )
E
(r )
2
f (t ) ~ eiEt /
于是：
(r ,
t
)
(r )e
i
Et
(r ,
t
)
(
r
)e
i
Et
此波函数与时间t的关系是正弦型的，其角频率ω=2πE/h。 由de Broglie关系可知： E 就是体系处于波函数Ψ(r,t)所描写 的状态时的能量。也就是说，此时体系能量有确定的值，所以这 种状态称为定态，波函数Ψ(r,t)称为定态波函数。
（3）写出定态波函数即得 到对应第 n 个本征值 En 的定态波函数

量子力学chapter2-薛定谔方程解析

量子力学chapter2-薛定谔方程解析
平面波归一化以后讨论
12
§2 态叠加原理
（一）态叠加原理
微观粒子具有波动性，会产生衍射图样。而干 涉和衍射的本质在于波的叠加性，即可相加性， 两个相加波的干涉的结果产生衍射。因此，同 光学中波的叠加原理一样，量子力学中也存在 波叠加原理。因为量子力学中的波，即波函数 决定体系的状态，称波函数为状态波函数，所 以量子力学的波叠加原理称为态叠加原理。
|Ψ(r,t)|2 的意义是代表电子在 t 时刻出现在 r 点附近几率的大小， 确切的说，|Ψ(r,t)|2 Δx Δy Δz 表示在 t 时刻，在 r 点处，体 积元ΔxΔyΔz中找到粒子的概率。波函数在空间某点的强度（振幅绝 对值的平方）和在这点找到粒子的概率成比例，
Ψ(r，t)
概率波
8
（三）波函数的性质
= |C1 Ψ1|2+ |C2Ψ2|2 + [C1*C2Ψ1*Ψ2 + C1C2*Ψ1Ψ2*]
电子穿过狭缝 １出现在Ｐ点
题，以后再予以讨论。
10
（3）归一化波函数
Ψ(r,t )和CΨ(r,t )所描写状态的相对概率是相同的，这
里的 C 是常数。因为在 t 时刻，空间任意两点 r1 和 r2 处找到粒子的相对概率之比是：
2
2
C(r1 , t ) (r1 , t )
C(r2 , t )
(r2 , t )
可见，Ψ(r,t) 和 CΨ(r,t )描述的是同一概率波，所以波函 数有一常数因子不定性。
C = 1/∫∞|Ψ(r,t)|2dτ
这即是要求描写粒子量子 状态的波函数Ψ必须是
绝对值平方可积的函数。
若 ∫∞|Ψ(r,t)|2dτ∞, 则 C0, 这是没有意义的。
除了个别孤立奇点外,波函数单值,有界,连续

量子力学电子教案(第二章 波函数和 薛定谔方程)

量子力学电子教案(第二章 波函数和 薛定谔方程)

�
i ( E t px x) i + px x i Et i Et
Ψ ( x, t ) = Ψ0 e
与驻波类比
= Ψ0 e
i px x
e
= Ψ ( x) e
式中: 式中: Ψ ( x ) = Ψ e 0
振幅函数
∵ Ψ ( x, t ) = Ψ ( x ) e
i Et
| Ψ ( x, t ) |2 = Ψ Ψ * = Ψ ( x )e
代入 得 即
d Ψ ( x) p x = 2 Ψ ( x) 2 dx
2 2
2 x
*
d 2 Ψ ( x ) 2m + 2 ( E U )Ψ ( x) = 0 2 dx
一维定态薛定谔方程
三维定态薛定谔方程 振幅函数 Ψ = Ψ ( x, y , z )
Ψ Ψ Ψ 2m + 2 + 2 + (E U)Ψ = 0 2 x y z
Ψ(r , t ) = Ψ0e
i ( Et pr )
2. 波函数的强度 波函数的强度——模的平方 模的平方 | Ψ |2 = Ψ Ψ * 波函数与其共轭复数的积 例:一维自由粒子: 一维自由粒子:
| Ψ ( x, t ) | = Ψ Ψ* = Ψ0 e
2
i ( E t px x )
Ψ0 e
x x Ψ = Ψ0 cos ω (t ) = Ψ0 cos 2π (ν t ) λ u 1 E x = Ψ0 cos 2π ( t ) = Ψ0 cos ( Et x p x ) h h p
Ψ(x, t) = Ψ e 0
i ( Et px x)
(取实部) 取实部)
推广 :三维自由粒子波函数

定态薛定谔方程讲义

定态薛定谔方程讲义

定态薛定谔方程一、定态Schrödinger方程(1)在一般情况下，从初始状态(r,0)求 (r,t)是不容易的。

以下，我们考虑一个很重要的特殊情形——假设势场V不显含时间 t（在经典力学中，在这种势场中运动的粒子，其机械能守恒），此时薛定谔方程（1）可以用分离变量数法求其特解。

与t无关时，可以分离变量令代入(1)式其中E是即不依赖于t，也不依赖于r的常量，这样(2)(3) ——定态薛定谔方程由(2)解得其中为任意常数。

把常数放到里面去，则(4)这个波函数与时间的关系是正弦式的，其角频率是ω=Ε/ħ按照德布罗意关系E=hν=ħω，E就是该体系处于这个波函数所描写状态时的能量。

由此可见，当体系处于（4）式所描写状态时，能量具有确定值E，所以这种状态称为定态，波函数(r,t)称为定态波函数。

定态有两个含义：1、；2、E具有确定值；（判断是否为定态的依据）空间波函数可由方程和具体问题应满足的边界条件得出。

方程(3)称为定态Schrödinger方程，也可称为定态波函数，或可看作是t=0时刻E(r,0)的定态波函数。

二、Hamilton算符和能量本征值方程1、Hamilton算符(2)(3)再由Schrödinger方程：也可看出，作用于任一波函数上的二算符,作用于体系任意一个波函数效果是相当的。

这两个算符都称为能量算符。

与经典力学相同，Ĥ称为Hamilton量，亦称Hamilton算符。

2、能量本征值方程将改写成三、求解定态问题的步骤从数学上讲，对于任何E值，不含时的薛定谔方程（3）都有解，但并非对于一切E值所得出的解(r)都满足物理上的要求。

这要求有的是根据波函数的统计解释而提出的，有的是根据具体的物理情况而提出的，例如束缚态边条件，周期性边条件，散射态边条件等。

在有的条件下，特别是束缚态边条件，只有某些E值所对应的解才是物理上可以接受的。

这些E值称为体系的能量本征值，而相应的解E(r)称为能量本征函数，不含时薛定谔方程（3）实际上就是在势场V（r）中粒子的能量本征方程。

量子力学_第二章_薛定谔方程

量子力学_第二章_薛定谔方程

（2）量子力学情况 1．t = t0 时刻，已知初态ψ ( r,t0) 且只知道这样一个初 条件，所以，描写粒子状态的波函数所满足的方程只能含ψ 对时间 的一阶导数
2．另一方面，ψ 要满足态叠加原理，即，若ψ 1( r, t ) 和 ψ 2( r, t )是方程的解，那末。 ψ ( r, t)= C1ψ 1( r, t ) + C2ψ 2( r, t ) 也应是该方程的解。这就要求方程应是线性的，也就是说方程 中只能包含ψ , ψ 对时间的一阶导数和对坐标各阶导数的一次 项，不能含它们的平方或开方项
得到了圆满解决。
（二）引进方程的基本考虑 先回顾经典粒子运动方程 （1）经典情况
dr t t 0时刻，已知初态：0 , p0 m r dt
t t 0
2 d r 粒子满足的方程是牛顿方程：F m 2 dt
• 从牛顿方程，人们可以确定以后任何时刻 t 粒子的 状态 r 和 p 。因为初条件知道的是坐标及其对时 间的一阶导数，所以方程是时间的二阶常微分方程
满足上述构造方程 的三个条件
所以
2 2 i t 2
由引出自由粒子波动方程知 若能量关系式 E = p2/2μ
E p 2 p
（3 ）
讨论：
写成如下方程形式：
i t
p2 (E ) 0 2
做算符替换（4）即得自由 粒子满足的方程（3）
而原子核对第 i 个电子的 Coulomb 吸引能为：
Ze2 U i (ห้องสมุดไป่ตู้ri ) ri
假定原子核位于坐标原点，无穷远为势能零点。
2
py
2
pz 2 2 2 z
2
（三）

量子力学薛定谔方程及理论(2)

量子力学薛定谔方程及理论(2)


，m是整数
2
x
2m 1 =Bcos 2
a
x
把以上两种情况合并得
n n x =C sin 2a x+a ,C n 2 2 2 E n = 2 8 a
1 , n 0, 1, ,....., x a a
为了确定常系数C，引入归一化条件
态叠加原理
微观粒子具有波动性，会产生衍射图样。而干涉和衍射的本 质在于波的叠加性，即可相加性，两个相加波的干涉的结果 产生衍射。 因此，同光学中波的叠加原理一样，量子力学 中也存在波叠加原理。因为量子力学中的波，即波函数决定 体系的状态，称波函数为状态波函数，所以量子力学的波叠 加原理称为态叠加原理。
在量子力学中，不可能同时用粒子坐标和动量的 确定值来描述粒子的量子状态，因为粒子具有波 粒二象性，粒子的坐标和动量不可能具有确定值。 波函数描述粒子的状态，波函数的模的平方表示粒 子在空间一点出现的概率。 并且粒子在空间中个点出现的概率总和等于1，另外 要注意要是把波函数乘上一个常数后，所描写的粒 子的状态并不改变
量子力学第二章
• • • • • • • • 波函数的统计解释 态叠加原理 薛定谔方程 粒子流密度和粒子守恒定律 定态薛定谔方程 一维无限深势阱 线性谐振子 势垒贯穿
1、波函数的指数形式：E =E0 e 2


正余弦形式：E =E0 cos t-k r k=
d2 则薛定谔方程可写为 2 ( )+ - 2 ( )=0 d
d2 当 时，有 2 ( )- 2 ( )=0 d 2 2 2 其解的形式为 ( )=Ae +Be 2 ， 因为函数有界，所以A 0， ( )=Be 2 ， 2 令 ( )=e 2 H ，对 求二阶导数并化简为 d2 d H( ) H( )-2 + -1 H( )=0 2 d d

量子力学第二章波函数及薛定谔方程 ppt课件

量子力学第二章波函数及薛定谔方程 ppt课件

例.1 已知一维粒子状态波函数为
(rv,t)Aexp 1 2a2x22 it
求归一化的波函数，粒子的几率分布，粒子在何处 出现的几率最大。
解:
(1).求归一化的波函数
(r ,t)2d xA2 e d a2x2 x A 2
归一化常数 Aa/ 1/2
1
a2
归一化的波函数
(rv,t)a/
则微观粒子在t 时刻出现在 rv 处体积元dτ内的
几率
d W (r v ,t) C (r v ,t)2d
观客这体表运明动描的写一粒种子统的计波规是律几性率，波波(函概数率波 )rr,,反t 有映时微
也称为几率幅。
某一点按Brov r处n提出出现的的波概函率数与的粒统子计的解波释函,数粒在子该在点空模间的中
3 3 e i(2 x h )/h , 6 (4 2 i)e i2 x /h .
2.已知下列两个波函数
1(x)
Asin

n
2a
(xa)
0
| x|a | x|a
n1,2,3,L
2(x)
Asin
n
2a
(xa)
| x|a
n1,2,3,L
0
| x|a
试判断: (1)波函数 1 ( x ) 和 2 ( x ) 是否描述同一状态?
440 Hz + 439 Hz + 438 Hz + 437 Hz + 436 Hz
实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。 例如一个原子内的电子，其广延不会超过原子大小 ≈1A0 。
电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？
“ 电子既不是粒子也不是波 ”，既不是经典的粒 子也不是经典的波，但是我们也可以说，“ 电子既 是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统一。”

考研量子力学量子力学大纲

考研量子力学量子力学大纲

《量子力学》课程教学大纲课程英文名称：Quantum Mechanics课程简介：本课程为专业基础课。

通过该课程的学习，学生可以掌握量子力学的基本理论与基本方法，能提高本科生分析和解决实际物理问题的能力，为本科生后续的专业课程学习和今后的实际工作奠定一定的理论基础，并掌握初步的解决问题方法。

让学生掌握描述量子力学的一些基本量子思想和量子理论方法。

这些内容将为今后本科生在固体物理学、磁性物理学、凝聚态物理等理论方面的进一步学习奠定一定的理论基础，并可以使本科生初步掌握分析问题和解决问题的方法。

一、课程教学内容及教学基本要求第一章绪论本章重点：1)介绍量子力学的产生背景时要说明提出问题和解决问题的条件：社会的需求、科学技术的水平、人们的前期努力和成就等等，用历史唯物主义的观点看待问题。

介绍杰出的人物的工作和贡献时同样应注意突出重点，兼顾全面的原则，从科学史的角度考察，借以获得更多的教益。

2)要着重注意介绍德布罗意假设、波粒二象性的概念，借以初步认识微观客体运动的特殊性和唯物主义思想的指导作用；介绍相应的实验验证和实践应用，认识理论和实践的关系。

3)使学员能从较宽广的角度认识量子力学的地位和作用，增强学习自觉性。

同时初步了解学科的特点，对下一步的学习有相应的准备。

难点：康普顿散射的推导及理解，微观粒子的波粒二象性。

第一节经典物理学的困难（之一：黑体辐射问题和Plank量子论）本节要求：理解：黑体辐射问题中经典理论所遇到的困难和Plank量子论。

掌握：Plank 量子论（重点：考核概率50%）。

1 黑体辐射问题中经典理论所遇到的困难（维恩公式、瑞利-金斯公式）。

2 Plank的电磁辐射能量量子化的思想，并推导Plank的黑体辐射公式，理解并掌握Plank 的能量量子化的假设。

第二节经典物理学的困难（之二：光电效应与爱因斯坦的光量子论；之三：A.Einstein光量子论在Compton效应的解释）本节要求：掌握：光电效应概念（脱出功A的概念、光电流等）；爱因斯坦的光量子论解释光电效应；Compton效应概念；A.Einstein光量子论在Compton效应的解释（重点：考核概率100%）；理解：在微观单个碰撞事件中能量动量守恒定律仍然成立）。

量子力学2波函数和薛定谔方程

量子力学2波函数和薛定谔方程
第二章 波函数和薛定谔方程
【教学目的】 正确了解波粒二象性的本质及波函数的统计解 释，了解薛定谔的建立过程，了解态迭加原理，掌握几种 典型一维定态问题的求解方法（一维无限深势阱、一维线 性谐振子）。
§2.1 波函数的统计解释 §2.6 一维无限深势阱
§2.2 态迭加原理
§2.3 薛定谔方程
§2.4 粒子流密度和粒子 数守恒定律
t
称为定态波函数
3、定态下几率流不随时间变化。
J
i ( )
i ( (r) (r) (r) (r) )
2
2
4、任何力学量的平均值不随时间变化。
三、哈密顿（Hamilton）算符
i (r, t ) E(r, t ) t
i E t
2 2 (r, t) U (r)(r, t) E(r, t)
dW 应正比于体积 d dxdydz 和强度 2
dW(x, y, z,t) C (x, y, z,t) 2 d
2.1 归一化条件：在整个空间找到粒子的几率为1。
2
dW (x, y, z,t) C (x, y, z,t) d 1
2.2 归一化常数
C
1
2
可由归一化条件确定
(x, y, z,t) d
一．连续性方程
设描写粒子的状态波函数为：(r, t)，
则几率密度为：
w(r, t) (r, t)(r, t)
几率密度随时间的变化率是 w
t
t t
由薛定谔方程和其共轭复数方程得
i 2 2 U (r)
t 2
i 2 2 U (r)
t
2
将上两式代入得
w i (2 2 ) i • ( )
也是一个可能的波动过程。

薛定谔方程教案

薛定谔方程教案

粒子最小能量（n取1）为基态能量；n >1为激发态能量 n=2为第一激发态…
3、一维无限深势阱中粒子的能级和概率密度
wn n 2
En
n2 2 2 n2h2
En 2ma2 8ma2
n(x)
2 a
sin
n
a
x
n = 3 w3 E3 9E1
概率密度不是均匀的，其 峰值个数与量子数n相等
n=1时，粒子在x=a/2处出现的
2
2
UE 2m x2
2 2 U E U=0（0<x<a）
2m x2
U = x>a x<0
2、解方程
在阱外，定态薛定谔方程为
U U0
2
2
E
粒子能 量E有限
1
23
2m x2
0
a
x
其解为 3 = 0 1= 0
在阱内，定态 薛定谔方程为
2 2 E
2m x2
（0<x<a）
在阱内，定态 薛定谔方程为
三.氢原子的薛定谔方程
2
2 U E
2m
r
e2
U
4π 0r
2 2 2 2 x2 y2 z2
x r sin 用球坐标 cos y r
y
sin sin z
通过分离变量r 将co方s程分解为分别与变量
r、、 有关的三个方程。
r
O
x
z
四、量子化条件和量子数
1、能量量子化和主量子数
氢原子的
W ( x, y, z, ) V 2 d x d y d z
2. 波函数的条件
(1)（r） 必须是时空的单值函数 。
——确定的时间，地点，粒子出现的概 率是确定的。
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空间波函数ψ(r)由方程
[ 2 2 V ] (r) E (r) 2
和具体的边界条件所确定。
该方程称为定态 Schrödinger 方程。
（二）能量本征值方程
[ 2 V ] E
2
或
Hˆ E
（1）一个算符作用于一个函数上得到一个常数乘以该函数 这与数学物理方法中的本征值方程相同。
数学物理方法中：微分方程 + 边界条件构成本征值问题；
n
m
e e c c iEnt / iEmt / * nm
nm
n
m
cn*cn
c2 n
n
n
从上面两个式子可以看出，
c2 n
具有几率的概念，当对
(x,t) 测量能量时，测到 En
的几率是
c2 n
也可以说体系
是部分地处于1, 2,...n ,... 态，各个态出现的几率分别是
c1 2, c2 2,..., cn 2,..
n
(r ,
t
)
nn
[ n exp( iEnt / )][ n exp( iEnt / )]
n
n
(erx)p(inE(rn)t
/
)
n
exp(iEnt
/
)
（2）几率流密度与时间无关
Jn(r , t)
i
2
[nn
nn ]
i
2
[ n
e xp( iEn t
/
)
n
e xp(iEn t
/
)
n
e
xp(iEnt
用 I 、II 和 III
表示，其上的波函数分 别为ψI(x),ψII(x) 和 ψIII (x)。则方程为：
/
)
n
e
xp(iEnt
/
)]
i
2
[
n
(r)
n
(r )
n
(r)
n
(r )]
Jn(r )
（3）处于定态时力学量（不显含时间）的期待值是常数
Q(x, p)
* n
(
x,
t
)
Q(
x,i
/
x)n
(
x,
t
)dx
* n
(
x)
Q(
ห้องสมุดไป่ตู้
x,i
/
x)
n
(
x)dx
常量（不随时间变化）
推论
x 常量 p 0
4. 能量本征函数是完备的正交归一系 可以证明（以后证明）
l 求解 S — 方程 分四步： l （1）列出各势域的一维S—方程 l （2）解方程 l （3）使用波函数标准条件定解 l （4）定归一化系数
-a 0 a
（1）列出各势域的 S — 方程
2
2
d2 dx 2
(
x)
V
(
x )
(
x)
E ( x)
d2 dx 2
( x)
2
2
[V
( x)
E ]
( x)
0
势V(x)分为三个区域，
2
2
V
(r )](r ,
t)
t
2
令：
(r ,
t
)
(r )
f
(t
)
代
入
两边同除
(r )
f
(t )
i (r) d f (t) f (t)[ 2 2 V ] (r)
dt
2
等式两边是相互无 关的物理量，故应
i
1d f (t) dt
f
(t
)
1 (r )
[
2
2
2
V
]
(r)
E
等于与 t, r 无关 的常数
H * ( x, t ) H ( x, t )dx
e e c c iEnt / iEmt /
* nm
* n
(
x)
H
m ( x)dx
n
m
e e c c iEnt / iEmt /
* nm
* n
(
x
)
Em
m ( x)dx
n
m
e e c c E iEnt / iEmt / * nm
i
d dt
f (t) Ef (t)
[
2
2 V ] (r) E (r)
2
f (t ) ~ eiEt /
于是：
(r ,
t
)
(r )e
i Et
(r,
t
)
(
r)e
i
Et
此波函数与时间t的关系是正弦型的，其角频率ω=2πE/h。 由de Broglie关系可知： E 就是体系处于波函数Ψ(r,t)所描写 的状态时的能量。也就是说，此时体系能量有确定的值，所以这 种状态称为定态，波函数Ψ(r,t)称为定态波函数。
（2）量子力学中：波函数要满足三个标准条件，对应数学物 理方法中的边界条件，称为波函数的自然边界条件。
因此，在量子力学中称与上类似的方程为束缚的本征值方程。 常量 E 称为算符 H 的本征值；Ψ称为算符 H 的本征函数。
（3）由上面讨论可知，当体系处于能量算符本征函数所描写 的状态（简称能量本征态）时，粒子能量有确定的数值，这个数 值就是与这个本征函数相应的能量算符的本征值。
本征值问题，得：
本征函数
（3）写出定态波函数即得
1， 2 , , n ,
到对应第 n 个本征值 En 的定态波函数
n
(r ,
t
)
n
(r )
exp[
iEnt
/
]
（4）通过归一化确定归一化系数 Cn
| Cn n (r) |2 d 1
（四）定态的性质
（1）粒子在空间几率密度分布与时间无关
第二章 定态薛定鄂方程
（一）定态Schrödinger方程，定态 （二）能量本征值方程 （三）求解定态问题的步骤 （四）定态的性质
（五）如何由定态得到一般解
（一）定态Schrödinger方程，定态
讨论有外场情况下的 Schrödinger 方程：
V(r)与t无关时，可以 分离变量
i
(r , t) [
* m
(r)
n
(r)dr
mn
正交归一性
薛定鄂方程的通解可以用定态波函数的叠加表示为
(x,t)
cnn (x,t)
c eiEnt / n
n (x)
其中展开系数由初n始条件定
n
(x,0) cnn (x,0) cn n (x)
n
n
由定态波函数的正交归一性
cn *(x)(x,0)dx
我们来求处在 (x,t) 能量的期待值
需要注意的是，尽管分离解自身是定态解，
n (x,t) n ( x)eiEnt h , 其几率和期望值都不依赖时间，但是一般解并不具备这个性质；
因为不同的定态具有不同的能量，在计算时含时指数因子不能相互抵消
2.2一维无限深势阱
0, V ( x)
| x | a | x | a
V(x)
I
II
III
（三）求解定态问题的步骤
讨论定态问题就是要求出体系可能有的定态波函数 Ψ(r,t)和在这些态中的能量 E。其具体步骤如下：
（1）列出定态 Schrodinger方程 [ 2 2 V ] (r) E (r) 2
（2）根据波函数三个标准 本征值： 条件求解能量 E 的
E1, E2 , , En ,
m nm
n
m
cn*cn En
cn
E 2 n
n
n
我们在来看(x,t) 的归一化
1 * ( x, t )( x, t )dx
e e iEnt / iE mt /
cn*cm
* n
(
x
)
m ( x)dx
n
m
e e iEnt / iE mt /
cn*cm
* n
(
x
)
m ( x)dx