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量子力学-第二章-定态薛定谔方程教学提纲

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量子力学-第二章波函数和薛定谔方程

量子力学-第二章波函数和薛定谔方程

因发现原子理论新的有 效形式与狄拉克
荣获1933年
RETURN
诺贝尔物理学奖
32
二. 方程的讨论
1. 概率流密度和守恒定律 设t时刻，x点周围单位体积内粒子出现的概率
w x,t * x,t x,t
概率随时间的变化规律
w * *
t
t t
因为 i 2 1 U x
t 2m
概率密度：
w x, y, z,t dW C x, y, z,t 2
dV
3.波函数的性质
(1) x, y,是z,t单 值、有界、连续的； (2) x, y,与z,t C描x写, y同, z,一t 状态。
20
(3)波函数的归一性 ① (x, y是, z)平方可积的,则可归一化，
2
dV 1
玻恩（M.Born)：在某一时刻, 空间 x 处粒子出现 的概率正比于该处波函数的模方。粒子在空间出 现的概率具有波动性的分布，它是一种概率波。
19
设波函数 x, y, z,t t 时刻处于 x—x+dx，y—y+dy，z—z+dz内的
概率
dW x, y, x,t C x, y, z,t 2 dxdydz
c
q v B mv 2
q Br v
c
r
mc
与玻尔量子化条件联立,得
r2
n
1 2
2 q
c B
所以,粒子能量可能值为
En
1 2
mv 2
(n
1) 2
qB mc
(n 0,1, 2, )
10
V(x) 3.德布罗意假设的实验V(验x)证
（1）德布罗意—革末（Davison—Germer）

第二章波动方程和薛定谔方程

第二章波动方程和薛定谔方程

1 (2πh )3 / 2 1 (2πh )3 / 2
p ⋅r v h C p t e dp x dp y dp z ， ( , ) ∫∫∫ ∞
i vv
− p ⋅r v h Ψ r t e dxdydz 。 ( , ) ∫∫∫
i vv
&&dinger 方程给出： 4、波函数随时间变化的规律由 Schro
ih h2 2 ∂Ψ v =− ∇ Ψ + U (r , t )Ψ 。 ∂t 2μ
据此，可以得到几率守恒律的微分形式：
１
v ∂ω +∇⋅J =0 ， ∂t
v ih v v v 其中： ω (r , t ) = Ψ * (r , t )Ψ (r , t ) （假设 Ψ 归一化） ，J ≡ ( Ψ ∇Ψ * − Ψ * ∇Ψ ) 。 2μ

任意形状的势垒 U ( x) ，透射系数为：
D = D0 exp[−
四、典型例题
例 1、证明动量算符的属于本征值为 p' 的本征函数在动量表象中的表示是 δ ( p − p ' ) 。 证明：设 Ψ ( x, t ) 所描写的状态是具有动量 p ' 的自由粒子的状态，即
Ψ ( x, t ) = ψ p ' ( x )e
[−
h2 d2 * + U( x )]ψ * n = Enψn 2μ dx 2
，
（2）
即 ψ n 及 ψ* n 皆是与能量 E n 相对应的波函数。 而一维束缚定态不存在简并，于是：
４
ψ n = cψ * ， n （c 为复常数）
* 即： ψ * n = c ψn ，
则： ψ n = cc * ψ n = c ψ n ， 即： c = 1 ， 所以： c = e iδ ，可以取 δ = 0 ，即： ψ n = ψ * n 。 故 ψ n 为实数（无损一般性， ψ n 可取为实函数） 。

量子力学概论第2章 定态薛定谔方程

量子力学概论第2章 定态薛定谔方程
E0=12ћω(2.60) 现在我们安全地站在梯子的最底部(量子谐振
子的基态)，从而我们可以反复应用升阶算 符生成激发态,20 每升一步增加能量ћω ψn(x)=An(a+)nψ0(x)，和En=n+12ћω， (2.61)
例题2.4 求出谐振子的第一激发态。 解：利用式2.61
ψ1(x)=A1a+ψ0=A12ћmω-ћddx+mωxmωπћ1/4emω2ћx2=A1mωπћ1/42mωћxe-mω2ћx2.(2.62)
我们可以直接用“手算”对它进行归一化：
∫ψ12dx=A12mωπћ2mωћ∫+∞-∞x2e-mωћx2dx=A12, 恰好，A1=1。 我们不想用这种方法去计算ψ50(那需要应用升阶算符
(式２.５)称为定态(time-independent)薛定谔方程； 如果不指定V(x)我们将无法继续求它的解。
Ψ(x，t)=∑∞n=1cnψn(x)e-iEnt/ћ=∑∞n=1cnΨn(x， t).(2.17)
尽管分离解自身是定态解，
Ψn(x,t)=ψn(x)e-iEnt/ћ,(2.18)
即，概率和期望值都不依赖时间，但是需要强调的 是，一般解(式2.17)并不具备这个性质；因为不同 的定态具有不同的能量，在计算Ψ2的时候，含时指 数因子不能相互抵消
f(x)=∑∞n=1cnψn(x)=2a∑∞n=1cnsinnπax.(2.32)
例题2.2 在一维无限深方势阱中运动的粒子，其初始波函数 是Ψ(x,0)=Ax(a-x), (0≤x≤a),A是常数(如图2.3)。设在势阱外 Ψ=0。求Ψ(x,t)。
解：首先需要归一化波函数Ψ(x,0)求出A 1=∫a0Ψ(x,0)2dx=A2∫a0x2(a-x)2dx=A2a530， 所以A=30a5. 第n项的系数(式2.37)是 cn=2a∫a0sinnπax30a5x(a-x)dx

量子物理第二章-薛定谔方程ppt课件.ppt

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P2 Ψ 2
2 2Ψ
2m
x 2
i Ψ t
E
Ek
P2 2m
一维自由粒子的 含时薛定谔方程
2、一维势场 U (x,t) 中运动粒子薛定谔方程
E
Ek
U
(x,t)
P2 2m
U
(x,t)
Ψ t
i
EΨ
2Ψ x 2
P2 2
Ψ
Ψ t
i
[
P2 2m
U
(x,
t)]Ψ
2
2m
2Ψ x2
P2 Ψ 2m
2 2m
0
波函数本身无直观物理意义，只有模的平方反映粒子出 现的概率，在这一点上不同于机械波，电磁波!
2、玻恩（M..Born)的波函数统计解释:
概率密度： w Ψ (r,t) 2 ΨΨ*
单位体积内粒子出现的概率! 3、波函数满足的条件
1、单值： 在一个地方出现只有一种可能性； 2、连续：概率不会在某处发生突变； 3、有限 4、粒子在整个空间出现的总概率等于 1
(x) Asin(kx ) ( a x a)
（2）确定常数 A、
2
2
由波函数连续性， 边界条件 (-a/2) = 0 (a/2) = 0
Asin( ka 2 ) 0 ka 2 l1
Asin( ka 2 ) 0
2 (l1 l2) l
ka 2 l2 l
2
1）当 l 0 时 o Asin kx ——奇函数。 2）当 l 1 时 e Acos kx ——偶函数。
3. 薛定谔方程是对时间的一阶偏微分方程, 因此波动形式 解要求在方程中必须有虚数因子 i，波函数是复函数。
4. 只有动量确定的自由粒子才能用平面波的描写。

量子物理第二章薛定谔方程

量子物理第二章薛定谔方程

量⼦物理第⼆章薛定谔⽅程第2章薛定谔⽅程·德布洛意关于物质波的概念传到苏黎世后，薛定谔作了⼀个关于物质波的报告，报告后，德拜(P.Debye)评论说：有了波，就应有⼀个波动⽅程。

⼏个⽉后，薛定谔果然提出了⼀个波⽅程，这就是后来在量⼦⼒学中著名的薛定谔⽅程。

·薛定谔⽅程是量⼦⼒学的动⼒学⽅程，象⽜顿⽅程⼀样，不能从更基本的⽅程推导出来；它是否正确，只能由实验检验。

§1 薛定谔⽅程的建⽴(⼀种⽅法)⼀、薛定谔⽅程 1.⼀维薛定谔⽅程 · ⼀维⾃由运动粒⼦⽆势场，不受⼒，动量不变。

· ⼀维⾃由运动粒⼦的波函数(前已讲)由此有· 再利⽤可得此即ψ ? x = ( )P ψi h2ψ ? x 2 P 2h 2= -( ) ψ P 22m E = ? t= i h ( ) ψ (x , t )h 22m - ( ) ψ (x , t ) ?x 22⼀维⾃由运动粒⼦(⽆势场)的薛定谔⽅程·推⼴到若粒⼦在势场U (x , t ) 中运动由有⼀维薛定谔⽅程式中ψ =ψ (x , t )是粒⼦在势场U = U (x , t ) 中运动的波函数·和经典关系相⽐较,只要把P 22mE = +U (x , t ) P 22m E = +U (x , t )再作⽤到波函数ψ(x, t)上，即可得到上述⽅程。

2.三维薛定谔⽅程式由⼀维⽅程推⼴可得三维薛定谔⽅程式·拉普拉斯算符·当 U (r , t ) = 0时，⽅程的解，即三维⾃由运动粒⼦的波函数· 波函数的叠加原理薛定谔⽅程是ψ的线性微分⽅程；若ψ1、ψ2是⽅程的解，则 c 1ψ1 + c 2ψ2也是⽅程的解。

(c 1 、c 2是常数)★ E.Schrodinger & P.A.M.Dirac荣获1933年Nobel Prize (for the discovery of new productive forms of atomic theory)2 x 2 2y 22≡ + + ?2z 2⼆、定态薛定谔⽅程 1.⼀维定态薛定谔⽅程若粒⼦在恒定势场U = U (x ) 中运动(含常数势场U = U 0 )薛定谔⽅程式可⽤分离变量法求解。

量子力学概论第2章 定态薛定谔方程

量子力学概论第2章 定态薛定谔方程

图2.3 例题2.2中的初始波函数
所有这些概率的之和一定为1， ∑∞n=1cn2=1.(2.38)
能量的期望值一定是 〈H〉=∑∞n=1cn2En.(2.39)
例题2.3 在例题2.2中的初始波函数(图2.3)与基态 ψ1(图2.2)很相似，这意味着 c12将是主要的，事实 上c12=815π32=0.998555….其余的系数之和为与1 的差额
2.3.1 代数法 2.3.2 解析法
2.3 谐振子
图2.4 对任意势能极小值点附近的抛物线形近似(虚线)
图2.5 谐振子的能态“梯子”
2.3.1 代数法
ψ0(x)=mωπћ1/4e-mω2ћx2。(2.59) 我们把它代入薛定谔方程以确定相应的能量
(以式2.57的形式)，ћω(a+a-+1/2)ψ0=E0ψ0， 利用a-ψ0=0，有：
解：第一问很简单： Ψ(x,t)=c1ψ1(x)e-iE1t/ћ+c2ψ2(x)e-iE2t/ћ， 这里的E1,E2是ψ1,ψ2相应的能量，由此 Ψ(x,t)2=(c1ψ1eiE1t/ћ+c2ψ2eiE2/ћ)(c1ψ1e-
iE1t/ћ+c2ψ2eiE2/ћ)=c21ψ21+c22ψ22+2c1c2ψ1ψ2cos［(E2E1)t/ћ］. (这里用了欧拉公式expiθ=cos θ+isin θ来化简。)很显 然，概率密度以正弦形式振动，角频率是(E2E1)t/ћ；这当然不是一个定态。但是注意它是(具有 不同能量的)定态的线性组合，并且这种组合会产生 运动
2.1 定态
1.它们是定态(stationary states)。 ２.它们是具有确定总能量的态。 3.一般解是分离变量解的线性组合。

量子力学-薛定谔方程

的方程称为该算符的本征方程，常数称为本 征值，方程的解称为(该算符的属于该本征值 的)本征函数。所以定态Schrodinger方程也就 是能量本征方程。
30
2.3 一维运动的一般分析
31
一、 一维势场中粒子能量本征态的一般性质 1、定态
2、简并 如果系统的能级是分立的，即 E En，若对 同一个能级，有两个及其以上的本征函数与 其对应，则称这个能级是简并的。
5
2 物理意义： 对实物粒子的波动性有两种解释
（1）第一种解释，认为粒子波就是粒子 的某种实际结构，即将粒子看成是三维 空间中连续分布的一种物质波包。波包 的大小即粒子的大小，波包的群速度即 粒子的运动速度。粒子的干涉和衍射等 波动性都源于这种波包结构。
6
能量和动量的关系为， E p2 / 2m
d

dt WV
S
J dS,
WV 是在体积V内发现粒子的总几率，而
S
J dS
穿过封闭曲面S向外的总通量。所以

J 是“几率流密度”，而上式表现了几率守恒。
几率守恒也就是粒子数守恒。 27
三 定态Schrodinger方程
若
U
(r
)
与时间无关，则Schrodinger方程
A
12
说明：
1 即使要求波函数是归一化的，它仍有一个 位相因子的不确定性（相位不确定性）。
例如：常数 c ei ，则 (x, y, z)
和 c (x, y, z) 对粒子在点（x,y,z）附近
出现概率的描述是相同的。
2 有些波函数不能（有限地）归一，如平面 波。
13
五、对波函数的要求
E p

i

量子力学2波函数和薛定谔方程

传统对波粒二象性的理解： （1）物质波包 物质波包会扩散， 电子衍射，
波包说夸大了波动性一面。 （2）大量电子分布于空间形成的疏密波。 电子双
缝衍射表明，单个粒子也有波动性。疏密波说夸大了粒 子性一面。
对波粒二象性的辨正认识：微观粒子既是粒子，也 是波，它是粒子和波动两重性矛盾的统一，这个波不再 是经典概念下的波，粒子也不再是经典概念下的粒子。 在经典概念下，粒子和波很难统一到一个客体上。
也是一个可能的波动过程。
波的干涉、衍射现象可用波的迭加原理解释。 二、量子力学的态迭加原理
如果 1 和 2 是体系的可能状态，那么它们的线性 迭加： c11 c21（c1 ，c2是复数）也是这个体系 的一个可能状态。
三、电子双缝衍射 P
设 1 表示电子穿过上面窄
缝到达屏的状态，设 2 表 示电子穿过下面窄缝到达
二、波函数的(Born)统计解释
1、几率波
1926年玻恩提出了几率波的概念: 在数学
上，用一函数表示描写粒子的波，这个函数叫波函数。波
函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该
点找到粒子的几率成正比。既描写粒子的波叫几率波。
描写粒子波动性的几率波是一种统计结果，即许多电子同 一实验或一个电子在多次相同实验中的统计结果。
dW 应正比于体积 d dxdydz 和强度 2
dW(x, y, z,t) C (x, y, z,t) 2 d
2.1 归一化条件：在整个空间找到粒子的几率为1。
2
dW (x, y, z,t) C (x, y, z,t) d 1
2.2 归一化常数
C
1
2
可由归一化条件确定
(x, y, z,t) d
的线性迭加： c11 c22 cn n cn n

量子力学-第二章-定态薛定谔方程详解


需要注意的是，尽管分离解自身是定态解，
n (x,t) n (x)eiEnt , 其几率和期望值都不依赖时间，但是一般解并不具备这个性质；
因为不同的定态具有不同的能量，在计算时含时指数因子不能相互抵消
2.2一维无限深势阱
0, V ( x)
| x | a | x | a
V(x)
I
II
III
l 求解 S — 方程 分四步： l （1）列出各势域的一维S—方程 l （2）解方程 l （3）使用波函数标准条件定解 l （4）定归一化系数
（三）求解定态问题的步骤
讨论定态问题就是要求出体系可能有的定态波函数 Ψ(r,t)和在这些态中的能量 E。其具体步骤如下：
（1）列出定态 Schrodinger方程
[
2
2
V ] (r )
E (r )
2
（2）根据波函数三个标准 本征值： 条件求解能量 E 的
E1, E2 , , En ,
本征值问题，得：
i
d dt
f (t) Ef (t)
[
2
2
V
]
(r )
E
(r )
2
f (t ) ~ eiEt /
于是：
(r ,
t
)
(r )e
i
Et
(r ,
t
)
(
r
)e
i
Et
此波函数与时间t的关系是正弦型的，其角频率ω=2πE/h。 由de Broglie关系可知： E 就是体系处于波函数Ψ(r,t)所描写 的状态时的能量。也就是说，此时体系能量有确定的值，所以这 种状态称为定态，波函数Ψ(r,t)称为定态波函数。
（3）写出定态波函数即得 到对应第 n 个本征值 En 的定态波函数

量子力学chapter2-薛定谔方程解析

平面波归一化以后讨论
12
§2 态叠加原理
（一）态叠加原理
微观粒子具有波动性，会产生衍射图样。而干 涉和衍射的本质在于波的叠加性，即可相加性， 两个相加波的干涉的结果产生衍射。因此，同 光学中波的叠加原理一样，量子力学中也存在 波叠加原理。因为量子力学中的波，即波函数 决定体系的状态，称波函数为状态波函数，所 以量子力学的波叠加原理称为态叠加原理。
|Ψ(r,t)|2 的意义是代表电子在 t 时刻出现在 r 点附近几率的大小， 确切的说，|Ψ(r,t)|2 Δx Δy Δz 表示在 t 时刻，在 r 点处，体 积元ΔxΔyΔz中找到粒子的概率。波函数在空间某点的强度（振幅绝 对值的平方）和在这点找到粒子的概率成比例，
Ψ(r，t)
概率波
8
（三）波函数的性质
= |C1 Ψ1|2+ |C2Ψ2|2 + [C1*C2Ψ1*Ψ2 + C1C2*Ψ1Ψ2*]
电子穿过狭缝 １出现在Ｐ点
题，以后再予以讨论。
10
（3）归一化波函数
Ψ(r,t )和CΨ(r,t )所描写状态的相对概率是相同的，这
里的 C 是常数。因为在 t 时刻，空间任意两点 r1 和 r2 处找到粒子的相对概率之比是：
2
2
C(r1 , t ) (r1 , t )
C(r2 , t )
(r2 , t )
可见，Ψ(r,t) 和 CΨ(r,t )描述的是同一概率波，所以波函 数有一常数因子不定性。
C = 1/∫∞|Ψ(r,t)|2dτ
这即是要求描写粒子量子 状态的波函数Ψ必须是
绝对值平方可积的函数。
若 ∫∞|Ψ(r,t)|2dτ∞, 则 C0, 这是没有意义的。
除了个别孤立奇点外,波函数单值,有界,连续
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空间波函数ψ(r)由方程
[ 2 2 V ] (r) E (r) 2
和具体的边界条件所确定。
该方程称为定态 Schrödinger 方程。
（二）能量本征值方程
[ 2 V ] E
2
或
Hˆ E
（1）一个算符作用于一个函数上得到一个常数乘以该函数 这与数学物理方法中的本征值方程相同。
数学物理方法中：微分方程 + 边界条件构成本征值问题；
n
m
e e c c iEnt / iEmt / * nm
nm
n
m
cn*cn
c2 n
n
n
从上面两个式子可以看出，
c2 n
具有几率的概念，当对
(x,t) 测量能量时，测到 En
的几率是
c2 n
也可以说体系
是部分地处于1, 2,...n ,... 态，各个态出现的几率分别是
c1 2, c2 2,..., cn 2,..
n
(r ,
t
)
nn
[ n exp( iEnt / )][ n exp( iEnt / )]
n
n
(erx)p(inE(rn)t
/
)
n
exp(iEnt
/
)
（2）几率流密度与时间无关
Jn(r , t)
i
2
[nn
nn ]
i
2
[ n
e xp( iEn t
/
)
n
e xp(iEn t
/
)
n
e
xp(iEnt
用 I 、II 和 III
表示，其上的波函数分 别为ψI(x),ψII(x) 和 ψIII (x)。则方程为：
/
)
n
e
xp(iEnt
/
)]
i
2
[
n
(r)
n
(r )
n
(r)
n
(r )]
Jn(r )
（3）处于定态时力学量（不显含时间）的期待值是常数
Q(x, p)
* n
(
x,
t
)
Q(
x,i
/
x)n
(
x,
t
)dx
* n
(
x)
Q(
ห้องสมุดไป่ตู้
x,i
/
x)
n
(
x)dx
常量（不随时间变化）
推论
x 常量 p 0
4. 能量本征函数是完备的正交归一系 可以证明（以后证明）
l 求解 S — 方程 分四步： l （1）列出各势域的一维S—方程 l （2）解方程 l （3）使用波函数标准条件定解 l （4）定归一化系数
-a 0 a
（1）列出各势域的 S — 方程
2
2
d2 dx 2
(
x)
V
(
x )
(
x)
E ( x)
d2 dx 2
( x)
2
2
[V
( x)
E ]
( x)
0
势V(x)分为三个区域，
2
2
V
(r )](r ,
t)
t
2
令：
(r ,
t
)
(r )
f
(t
)
代
入
两边同除
(r )
f
(t )
i (r) d f (t) f (t)[ 2 2 V ] (r)
dt
2
等式两边是相互无 关的物理量，故应
i
1d f (t) dt
f
(t
)
1 (r )
[
2
2
2
V
]
(r)
E
等于与 t, r 无关 的常数
H * ( x, t ) H ( x, t )dx
e e c c iEnt / iEmt /
* nm
* n
(
x)
H
m ( x)dx
n
m
e e c c iEnt / iEmt /
* nm
* n
(
x
)
Em
m ( x)dx
n
m
e e c c E iEnt / iEmt / * nm
i
d dt
f (t) Ef (t)
[
2
2 V ] (r) E (r)
2
f (t ) ~ eiEt /
于是：
(r ,
t
)
(r )e
i Et
(r,
t
)
(
r)e
i
Et
此波函数与时间t的关系是正弦型的，其角频率ω=2πE/h。 由de Broglie关系可知： E 就是体系处于波函数Ψ(r,t)所描写 的状态时的能量。也就是说，此时体系能量有确定的值，所以这 种状态称为定态，波函数Ψ(r,t)称为定态波函数。
（2）量子力学中：波函数要满足三个标准条件，对应数学物 理方法中的边界条件，称为波函数的自然边界条件。
因此，在量子力学中称与上类似的方程为束缚的本征值方程。 常量 E 称为算符 H 的本征值；Ψ称为算符 H 的本征函数。
（3）由上面讨论可知，当体系处于能量算符本征函数所描写 的状态（简称能量本征态）时，粒子能量有确定的数值，这个数 值就是与这个本征函数相应的能量算符的本征值。
本征值问题，得：
本征函数
（3）写出定态波函数即得
1， 2 , , n ,
到对应第 n 个本征值 En 的定态波函数
n
(r ,
t
)
n
(r )
exp[
iEnt
/
]
（4）通过归一化确定归一化系数 Cn
| Cn n (r) |2 d 1
（四）定态的性质
（1）粒子在空间几率密度分布与时间无关
第二章 定态薛定鄂方程
（一）定态Schrödinger方程，定态 （二）能量本征值方程 （三）求解定态问题的步骤 （四）定态的性质
（五）如何由定态得到一般解
（一）定态Schrödinger方程，定态
讨论有外场情况下的 Schrödinger 方程：
V(r)与t无关时，可以 分离变量
i
(r , t) [
* m
(r)
n
(r)dr
mn
正交归一性
薛定鄂方程的通解可以用定态波函数的叠加表示为
(x,t)
cnn (x,t)
c eiEnt / n
n (x)
其中展开系数由初n始条件定
n
(x,0) cnn (x,0) cn n (x)
n
n
由定态波函数的正交归一性
cn *(x)(x,0)dx
我们来求处在 (x,t) 能量的期待值
需要注意的是，尽管分离解自身是定态解，
n (x,t) n ( x)eiEnt h , 其几率和期望值都不依赖时间，但是一般解并不具备这个性质；
因为不同的定态具有不同的能量，在计算时含时指数因子不能相互抵消
2.2一维无限深势阱
0, V ( x)
| x | a | x | a
V(x)
I
II
III
（三）求解定态问题的步骤
讨论定态问题就是要求出体系可能有的定态波函数 Ψ(r,t)和在这些态中的能量 E。其具体步骤如下：
（1）列出定态 Schrodinger方程 [ 2 2 V ] (r) E (r) 2
（2）根据波函数三个标准 本征值： 条件求解能量 E 的
E1, E2 , , En ,
m nm
n
m
cn*cn En
cn
E 2 n
n
n
我们在来看(x,t) 的归一化
1 * ( x, t )( x, t )dx
e e iEnt / iE mt /
cn*cm
* n
(
x
)
m ( x)dx
n
m
e e iEnt / iE mt /
cn*cm
* n
(
x
)
m ( x)dx