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第二章1.波函数/平面波：（1）频率和波长都不随时间变化的波叫平面波。
（2）如果，粒子受到随时间或位置变化的力场作用，他的动量和能量不再是常量，这时的粒子就不能用平面波来描写。
在一般情况下，我们用一个复函数表示描写粒子的波，并称这个函数为波函数2.自由粒子/粒子的状态：不被位势束缚的粒子叫做自由粒子.3.波函数的几率解释/波恩解释： （1）粒子衍射试验中，如果入射电子流的强度很大，则照片上很快就会出现衍射图样；如果入射电子流强度很小，电子一个一个的从晶体表面上反射，开始它们看起来是毫无规则的散布着，随时间变化在照片上同样出现了衍射图样。
由此可见，实验所显示的电子的波动性是许多电子在同一实验的统计结果，或者是一个电子在许多次相同试验中的统计结果。
（2）波恩提出了统计解释，即：波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和该点找到粒子的概率成比例，按照这种解释，描写粒子的波乃是概率波。
4.几率密度: 在t 时刻r 点，单位体积内找到粒子的几率是： ω(r,t) ={dW(r,t)/d τ}= C|Ψ(r,t)|25.平方可积： 由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和湮灭情况）， 所以在全空间找到粒子的几率应为一，即： C ∫∞|Ψ(r,t)|2d τ= 1 而得常数C 之值为： C = 1/∫∞|Ψ(r,t)|2d τ 若 ∫∞|Ψ(r , t)|2d τ→∞,则 C → 0, 这是没有意义的。
故要求描写粒子量子状态的波函数Ψ必须是绝对值平方可积的函数。
7.归一化： C ∫∞|Φ(x,y,z,t)|2d τ= 1 （波函数乘以一个常数以后，并不改变空间各点找到粒子的概率，不改变波函数的状态） C = 1/∫∞|Φ(x,y,z,t)|2d τ 现把上式所确定的C 开平方后乘以Φ，并以Ψ表示所得函数： Ψ(x,y,z,t)=C ½Φ(x,y,z,t) 在t 时刻 在（x,y,z ）点附近单位体积内找到粒子的概率密度是： ω( x,y,z,t) = C|Φ(x,y,z,t)|2故把（1）式改写成 ∫∞|Ψ(r , t)|2d τ=1 把Φ换成Ψ的步骤称为归一化。
第二章薛定谔方程(4学时)§2.1 薛定谔得出的波动方程§2.2 无限深方势阱中的粒子§2.3 势垒穿透§2.4 谐振子§2.1 薛定谔得出的波动方程在§1.5中我们已说明,微观粒子的状态用波函数ψ描述,波动性和粒子性的关系为:波的强度正比于粒子到达的概率.具体来说,若ψ(r,t)为波函数,d V为空间r点附近的体积元,则t时刻在此体积元内发现粒子的概率正比于|ψ(r,t)|2d V.|ψ(r,t)|2叫做相对概率密度.波函数一般是空间坐标和时间的复函数由于波函数ψ的概率解释,ψ可以相差一个任意常数因子,即ψ和Aψ代表相同的状态.其中A为任意复常数.这是因为将ψ换为Aψ,空间各点的相对概率没有变化.这一点与经典力学有本质区别,在经典力学中,代表波动的函数如果增大A倍,表示振幅增大了A倍,它代表的是另一个振动状态.正因为波函数可以相差一个任意常数,使ψ满足以下归一化条件:1ψd2=⎰V例如,如果ϕ是一个未归一化的波函数,则可令ψ=Aϕ,由归一化条件12222=ϕ=ϕ=ψ⎰⎰⎰dV A dV A dV得到:⎰ϕ=dVA 21, ψ=ϕϕ⎰dV21这样得到的波函数ψ已经满足归一化条件,我们就说ψ已归一，并用它代替ϕ来描述状态.设ψ(r,t )是归一化波函数,则|ψ(r,t )|2d V 的物理意义为t 时刻在r 点附近d V 体积元内发现粒子的概率.|ψ(r,t )|2称为概率密度.由于概率必须单值,有界,连续,所以要求ψ单值,有界,连续.这称为波函数的标准条件,它在决定波函数时起着重要作用. 在经典力学中,粒子的运动满足牛顿定律,它给出了粒子的运动状态随时间的变化规律.上节我们已说明,微观粒子的运动状态用波函数描述.波函数ψ是时间和空间的函数:ψ=ψ(x,y,z,t ).所谓微观粒子的运动规律,也就是描述状态的波函数ψ随时间的变化规律,即ψ所满足的方程,它在量子力学中的地位就相当于经典力学中牛顿方程的地位.这样的方程肯定不能从经典物理学导出,因为经典物理学根本没有涉及微观粒子的波粒二象性.波函数满足的方程由薛定谔首先找到,它的一般形式是包含时间和空间变量的微分方程.叫做薛定谔方程,在一维情形下，其一般形式为：),()],(2[),(222t x t x U xm t x t i ψ+∂∂-=ψ∂∂ 式中U (x ,t )为粒子的势函数。
七个薛定谔方程薛定谔方程是量子力学中描述粒子行为的基本方程。
一般情况下，薛定谔方程可以写成如下的形式：1. 定态薛定谔方程（Stationary Schrödinger Equation）：iħ∂Ψ/∂t = HΨ其中，ħ是约化普朗克常数，Ψ是波函数，t是时间，H是哈密顿算符。
2. 非定态薛定谔方程（Time-dependent Schrödinger Equation）：iħ∂Ψ/∂t = HΨ其中，Ψ是波函数，t是时间，H是哈密顿算符。
3. 薛定谔方程的波函数形式（Schrödinger Equation in Wave Function Form）：iħ∂Ψ/∂t = -ħ²/2m ∇²Ψ + VΨ其中，ħ是约化普朗克常数，m是粒子质量，Ψ是波函数，t是时间，∇²是拉普拉斯算符，V是势能函数。
4. 薛定谔方程的路径积分形式（Path Integral Form of Schrödinger Equation）：Ψ(x,t) = ∫ Dx exp(iS[x]/ħ)Ψ(x₀,0)其中，Ψ(x,t)是波函数，S[x]是作用量，x₀是初始位置，Dx是路径积分测度。
5. 一维薛定谔方程（One-Dimensional Schrödinger Equation）：iħ∂Ψ/∂t = -ħ²/2m ∂²Ψ/∂x² + V(x)Ψ其中，ħ是约化普朗克常数，m是粒子质量，Ψ是波函数，t是时间，x是位置，V(x)是势能函数。
6. 三维薛定谔方程（Three-Dimensional Schrödinger Equation）：iħ∂Ψ/∂t = -ħ²/2m ∇²Ψ + V(r)Ψ其中，ħ是约化普朗克常数，m是粒子质量，Ψ是波函数，t是时间，r是位置矢量，∇²是拉普拉斯算符，V(r)是势能函数。
第27章薛定谔方程·德布洛意关于物质波的概念传到苏黎世后，薛定谔作了一个关于物质波的报告，报告后，德拜(P.Debye)评论说：有了波，就应有一个波动方程。
几个月后，薛定谔果然提出了一个波方程，这就是后来在量子力学中著名的薛定谔方程。
·薛定谔方程是量子力学的动力学方程，象牛顿方程一样，不能从更基本的方程推导出来；它是否正确，只能由实验检验。
§1 薛定谔方程的建立(一种方法)一.薛定谔方程1.一维薛定谔方程·一维自由运动粒子无势场，不受力，动量不变。
· 一维自由运动粒子的波函数(前已讲)由此有· 再利用 可得此即 一维自由运动粒子(无势场)的薛定谔方程·推广到若粒子在势场U (x , t ) 中运动由 有 ∂ψ∂ x = ( )P ψi h∂2ψ ∂ x 2 P 2h 2= -( ) ψ P 22m E = P 22m E = +U (x , t )∂ t= i h ( ) ψ (x , t )h 22m - ( ) ψ (x , t ) ∂x 2∂ ∂2一维薛定谔方程 式中 ψ =ψ (x , t )是粒子在势场U = U (x , t ) 中运动的波函数·和经典关系相比较,只要把再作用到波函数 ψ (x , t ) 上，即可得到 上述方程。
P 22m E = +U (x , t )2.三维薛定谔方程式由一维方程推广可得三维薛定谔方程式· 拉普拉斯算符(三维薛定谔方程式在球坐标下的形式请见 教材B 版p332)·当 U (r , t) = 0时，方程的解， 即三维自由运动粒子的波函数∂2 ∂x 2 ∂2 ∂y 2 ∇2≡ + + ∂2 ∂z 2·波函数的叠加原理薛定谔方程是ψ的线性微分方程；若ψ1、ψ2是方程的解，则c1ψ1 + c2ψ2也是方程的解。
(c1、c2是常数)★E.Schrodinger & P.A.M.Dirac 荣获1933年Nobel Prize (for the discovery of new productive forms of atomic theory)薛定谔(1887-1961)奥地利人创立量子力学二.定态薛定谔方程 1.一维定态薛定谔方程 若粒子在恒定势场U = U (x ) 中运动(含常数势场U = U 0 )薛定谔方程式可用分离变量法求解。
