5-2量子-波函数和薛定谔方程 大学物理作业习题解答

量子力学习题及解答第一章 量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。

解 根据普朗克的黑体辐射公式dv e chv d kThv v v 11833-⋅=πρ， （1）以及 c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。

本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。

但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kT hc kThce kT hc ehcλλλλλπρ⇒ 0115=-⋅+--kThc ekThcλλ⇒ kThcekThc λλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为 x e x =--)1(5这是一个超越方程。

首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。

据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。

1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。

解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λh P =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph=λnmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。

第二章 薛定谔方程 习题 (课本44页)2.1 证明在定态中，概率流密度与时间无关。

证明：当一个系统处于定态时，其波函数),(t rϕ可以写作，⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Et ir t rexp )(),(φϕ 于是便有，⎪⎭⎫⎝⎛=Et ir t rexp )(),(**φϕ 根据概率流密度的定义式(2.4-4)有，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∇⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∇⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-∇⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∇⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∇-∇≡ϕϕϕϕϕϕϕϕψψψψt iE t iE t iE t iE m i t iE t iE t iE t iE m i m i Jexp exp exp exp 2exp exp exp exp 2)(2******即有，)(2)(2****φφφφϕϕϕϕ∇-∇=∇-∇=mi m i J 显然，在定态中概率流密度与时间无关。

从某种意义上说明上述波函数称为定态波函数是名副其实的。

2.2 由下列两定态波函数计算概率流密度：⑴ )exp(11ikr r=ϕ，⑵ )exp(12ikr r-=ϕ。

从所得结果说明1ϕ表示向外传播的球面波，2ϕ表示向内(即向原点)传播的球面波。

解：在解本题之前，首先给出一个函数f 的梯度在球坐标系下的表达式，即ϕθθϕθ∂∂+∂∂+∂∂=∇f r e f r e r f e f r sin 1ˆ1ˆˆ ⑴ 首先求解函数1ϕ的概率流密度r ikrikr r ikr ikrikr r ikr e mr k r ike re e r e r ike r e e r e m i r ikr r ikr r ikr r ikr m i m i J ˆˆˆ2)exp()exp()exp()exp(2)(22221*1*111 =⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎪⎭⎫⎝⎛∇---∇=∇-∇=---ϕϕϕϕ可见，概率流密度1J 与r同号，这便意味着1J 的指向是向外的，即1ϕ表示向外传播的球面波。

量子力学例题第二章一．求解一位定态薛定谔方程1．试求在不对称势井中的粒子能级和波函数[解] 薛定谔方程:当, 故有利用波函数在处的连续条件由处连续条件:由处连续条件:给定一个n 值,可解一个, 为分离能级.2．粒子在一维势井中的运动求粒子的束缚定态能级与相应的归一化定态波函数[解]体系的定态薛定谔方程为当时对束缚态解为在处连续性要求将代入得又相应归一化波函数为:归一化波函数为:3分子间的范得瓦耳斯力所产生的势能可近似地表示为求束缚态的能级所满足的方程[解]束缚态下粒子能量的取值范围为当时当时薛定谔方程为令解为当时令解为当时薛定谔方程为令薛定谔方程为解为由波函数满足的连续性要求,有要使有非零解不能同时为零则其系数组成的行列式必须为零计算行列式,得方程例题主要类型: 1.算符运算; 2.力学量的平均值; 3.力学量几率分布.一. 有关算符的运算1.证明如下对易关系(1)(2)(3)(4)(5)[证](1)(2)(3)一般地,若算符是任一标量算符,有(4)一般地,若算符是任一矢量算符,可证明有(5)=0同理：。

2.证明哈密顿算符为厄密算符[解]考虑一维情况为厄密算符, 为厄密算符,为实数为厄密算符为厄密算符3已知轨道角动量的两个算符和共同的正交归一化本征函数完备集为,取: 试证明: 也是和共同本征函数, 对应本征值分别为: 。

[证]。

是的对应本征值为的本征函数是的对应本征值为的本征函数又:可求出:二.有关力学量平均值与几率分布方面1.(1)证明是的一个本征函数并求出相应的本征值；(2)求x在态中的平均值[解]即是的本征函数。

本征值2.设粒子在宽度为a的一维无限深势阱中运动，如粒子的状态由波函数描写。

求粒子能量的可能值相应的概率及平均值【解】宽度为a的一维无限深势井的能量本征函数注意:是否归一化波函数能量本征值出现的几率 , 出现的几率能量平均值另一做法3 .一维谐振子在时的归一化波函数为所描写的态中式中，式中是谐振子的能量本征函数，求（1）的数值；2）在态中能量的可能值，相应的概率及平均值；（3）时系统的波函数；（4）时能量的可能值相应的概率及平均值[解](1) , 归一化，，，（2），，；，；，；（3）时，所以：时，能量的可能值、相应的概率、平均值同（2）。

第二章定态薛定谔方程本章主要内容概要：1. 定态薛定谔方程与定态的性质：在势能不显含时间的情况下，含时薛定谔方程可以通过分离变量法来求解。

首先求解定态薛定谔方程（能量本征值方程）222.2d V E m dxψψψ-+= 求解时需考虑波函数的标准条件（连续、有限、单值等）。

能量本征函数n ψ具有正交归一性（分立谱）*()()m n mn x x dx ψψδ∞-∞=⎰或δ函数正交归一性（连续谱）'*'()()()q qx x dx q q ψψδ∞-∞=-⎰ 由能量本征函数n ψ可以得到定态波函数/(,)()niE t n n x t x eψ-ψ=定态波函数满足含时薛定谔方程。

对分立谱，定态是物理上可实现的态，粒子处在定态时，能量具有确定值n E ，其它力学量（不显含时间）的期待值不随时间变化。

对连续谱，定态不是物理上可实现的态（不可归一化），但是它们可以叠加成物理上可实现的态。

含时薛定谔方程的一般解可由定态解叠加而成，在分离谱情况下为 (,)(,)n n nx t c x t ψ=ψ∑系数n c 由初始波函数确定(,0)()n n nx c x ψψ=∑ ， *()(,0)n n c x x dx ψ∞-∞=ψ⎰由波函数(,)x t ψ的归一性，可以得到系数n c 的归一性21nnc=∑对(,)x t ψ态测量能量只能得到能量本征值，得到n E 的几率是2n c ，能量的期待值可由2n n nH c E =∑求出。

这种方法与用*ˆ(,)(,)H x t H x t dx∞-∞=ψψ⎰方法等价。

2. 一维典型例子：（a）一维无限深势阱（分立谱，束缚态）0, 0(),x aV x<<⎧=⎨∞⎩其它地方能量本征函数和能量本征值为2222(), 0;1,2,3,...2nnn xx x a nanEmaπψπ⎛⎫=<<=⎪⎝⎭=若0,(),a x aV x-<<⎧=⎨∞⎩其它地方则能量本征函数和能量本征值为2222()(), ;1,2,3,...22(2)nnnx x a a x a nanEm aπψπ⎛⎫=+-<<=⎪⎝⎭=1n=是基态（能量最低），2n=是第一激发态。

量子力学波函数练习题详解在量子力学中，波函数是描述微观粒子行为的数学工具。

通过解波函数方程，我们可以了解粒子的能量、位置以及其他一系列重要的物理性质。

为了更好地理解波函数的应用，下面将详细解答几个关于波函数的练习题。

题目一：给定一个波函数ψ(x) = Aexp(ikx)，求其归一化常数A和归一化因子。

解答：归一化常数A表示波函数的幅度，而归一化因子用于保证波函数的总概率为1。

首先，我们需要将波函数ψ(x)归一化以得到概率密度函数。

概率密度函数是波函数的模的平方，即|ψ(x)|^2。

对于给定的波函数ψ(x) = Aexp(ikx)，我们可以计算模的平方：|ψ(x)|^2 = |Aexp(ikx)|^2= A* A* exp(ikx) * exp(-ikx)= |A|^2我们可以发现，模的平方与A的平方成正比。

为了保证概率密度函数积分为1，我们需要要求 |A|^2 = 1。

因此，归一化常数A的值为A = 1。

归一化因子为整个波函数的积分常数，我们可以通过积分来计算归一化因子：∫|ψ(x)|^2 dx = ∫|A|^2 dx= ∫ dx= ∫ 1 dx= x + C其中C为积分常数。

由于波函数描述的是连续的空间，我们取积分区间为负无穷到正无穷，因此积分结果为无穷大。

为了保证积分结果为1，我们需要引入归一化因子N来调整积分结果：∫|ψ(x)|^2 dx = N ∫ dx= N(x + C)由于积分结果为1，我们可以得到归一化因子N的值为N = 1/√(2π)。

综上所述，给定的波函数ψ(x) = exp(ikx)的归一化常数A为1，归一化因子N为1/√(2π)。

题目二：给定一个波函数ψ(x) = A(x + 2)，求其归一化常数A和归一化因子。

解答：同样地，我们需要将给定的波函数ψ(x)归一化。

首先，计算波函数的模的平方：|ψ(x)|^2 = |A(x + 2)|^2= A*(x + 2)*(x + 2)= A^2*(x^2 + 4x + 4)为了保证概率密度函数积分为1，我们对模的平方进行积分并求出归一化因子N：∫|ψ(x)|^2 dx = ∫ A^2*(x^2 + 4x + 4) dx= A^2 ∫ (x^2 + 4x + 4) dx= A^2 * (1/3 * x^3 + 2 * x^2 + 4 * x) + C其中C为积分常数。

量子物理参考答案大全量子物理参考答案大全量子物理是一门研究微观世界的学科，它揭示了微观粒子的行为和性质，以及这些行为和性质如何影响宏观世界。

在量子物理中，有许多重要的概念和理论，这些概念和理论对于理解和解释微观世界的现象至关重要。

在本文中，我们将为您提供一份量子物理参考答案大全，希望能够帮助您更好地理解这个复杂而神奇的学科。

1. 什么是量子？量子是指物质和能量的最小单位。

在经典物理中，物质和能量可以连续地分割，而在量子物理中，它们只能以离散的方式存在。

量子的离散性质导致了一系列奇特的现象，如量子叠加和量子纠缠。

2. 什么是量子叠加？量子叠加是指量子系统可以同时处于多个状态的现象。

换句话说，一个粒子可以同时处于不同的位置、动量或能量状态。

这与我们在日常生活中观察到的经典物体的行为截然不同。

量子叠加是量子计算和量子通信等领域的基础。

3. 什么是量子纠缠？量子纠缠是指两个或更多个量子系统之间存在一种特殊的关联关系。

当两个量子系统纠缠在一起时，它们的状态是相互依赖的，即使它们之间的距离很远。

这种关联关系在量子通信和量子隐形传态等领域有着重要的应用。

4. 什么是波粒二象性？波粒二象性是指微观粒子既可以表现出粒子的特性，如位置和动量，又可以表现出波的特性，如干涉和衍射。

这一概念是量子物理的基石，它揭示了微观粒子行为的奇特性质。

5. 什么是量子力学？量子力学是研究量子系统行为的理论框架。

它提供了描述和计算量子系统的数学工具和规则。

量子力学包括波函数、薛定谔方程和量子力学算符等概念。

通过量子力学，我们可以预测和解释微观粒子的行为。

6. 什么是薛定谔方程？薛定谔方程是描述量子系统演化的基本方程。

它通过一个波函数来描述系统的状态，并通过一个算符来描述系统的物理量。

薛定谔方程可以用来计算系统的能量和波函数的演化。

7. 什么是量子力学算符？量子力学算符是描述量子系统物理量的数学对象。

它们对应于可观测量，如位置、动量和能量。

量子力学例题第二章一．求解一位定态薛定谔方程1．试求在不对称势井中的粒子能级和波函数[解] 薛定谔方程:当，故有利用波函数在处的连续条件由处连续条件:由处连续条件：给定一个n 值,可解一个, 为分离能级. 2．粒子在一维势井中的运动求粒子的束缚定态能级与相应的归一化定态波函数［解]体系的定态薛定谔方程为当时对束缚态解为在处连续性要求将代入得又相应归一化波函数为：归一化波函数为:3分子间的范得瓦耳斯力所产生的势能可近似地表示为求束缚态的能级所满足的方程[解] 束缚态下粒子能量的取值范围为当时当时薛定谔方程为令解为当时令解为当时薛定谔方程为令薛定谔方程为解为由波函数满足的连续性要求，有要使有非零解不能同时为零则其系数组成的行列式必须为零计算行列式,得方程例题主要类型：1。

算符运算；2。

力学量的平均值； 3.力学量几率分布.一。

有关算符的运算1。

证明如下对易关系（1)（2）（3)(4）(5)［证](1)(2）(3)一般地，若算符是任一标量算符,有(4)一般地，若算符是任一矢量算符，可证明有(5）=0同理:。

2。

证明哈密顿算符为厄密算符[解］考虑一维情况为厄密算符，为厄密算符，为实数为厄密算符为厄密算符3已知轨道角动量的两个算符和共同的正交归一化本征函数完备集为,取: 试证明：也是和共同本征函数, 对应本征值分别为: 。

［证］.是的对应本征值为的本征函数是的对应本征值为的本征函数又：可求出:二。

有关力学量平均值与几率分布方面1. (1)证明是的一个本征函数并求出相应的本征值；(2)求x在态中的平均值［解]即是的本征函数.本征值2. 设粒子在宽度为a的一维无限深势阱中运动,如粒子的状态由波函数描写.求粒子能量的可能值相应的概率及平均值【解】宽度为a的一维无限深势井的能量本征函数注意：是否归一化波函数能量本征值出现的几率, 出现的几率能量平均值另一做法3 。

一维谐振子在时的归一化波函数为所描写的态中式中，式中是谐振子的能量本征函数,求（1)的数值；2）在态中能量的可能值,相应的概率及平均值；（3）时系统的波函数；（4）时能量的可能值相应的概率及平均值[解］（1) ，归一化，，，（2）,，；，;，；(3）时，所以：时，能量的可能值、相应的概率、平均值同（2）.4．设氢原子处于状态求氢原子的能量，角动量平方以及角动量z分量的可能值,这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值.［解] 能量本征值能量本征态当n=2 时本征值为的，出现的几率为100%可能值为出现的几率分别为:.5 。

第十章 量子物理基础本章提要1． 光的量子性· 物体由于自身具有一定温度而以电磁波的形式向周围发射能量的现象称热辐射。

· 在任何温度下都能全部吸收照射到它表面上的各种波长的光（电磁波），则这种物体称为绝对黑体，简称黑体。

· 单位时间内物体单位表面积发出的包括所有波长在内的电磁波的辐射功率，称为辐射出射度。

2． 维恩位移定律· 在不同的热力学温度T 下，单色辐射本领的实验曲线存在一个峰值波长λm ，维恩从热力学理论导出T 和λm 满足如下关系λm T b =其中b 是维恩常量。

3． 斯忒藩—玻尔兹曼定律· 斯忒藩—玻尔兹曼定律表明黑体的辐射出射度M 与温T 的关系4T M σ=其中s 为斯忒藩—玻尔兹曼常量。

对于一般的物体4T M εσ=e 称发射率。

4． 黑体辐射· 黑体辐射不是连续地辐射能量，而是一份份地辐射能量，并且每一份能量与电磁波的频率ν成正比，这种能量分立的现象被称为能量的量子化，每一份最小能量E hv =被称为一个量子。

黑体辐射的能量为E nhv =，其中n ＝1，2，3，…，等正整数，h 为普朗克常数。

· 普朗克黑体辐射公式简称普朗克公式25/λ2πhc 1()λ1hc kT M T e l =-· 光是以光速运动的粒子流，这些粒子称为光量子，简称光子。

· 一个光子具有的能量为νh E =。

5． 粒子的波动性· 德布罗意认为实物粒子也具有波粒二象性，它的能量E 、动量p 跟和它相联系的波的频率ν、波长λ满足以下关系2E mc h ν==λh p m u == 这两个公式称为德布罗意公式或德布罗意假设。

与实物粒子相联系的波称为物质波或德布罗意波。

· x x p D D ?h 或者E t D D ?h 这一关系叫做不确定关系。

其中为位置不确定量、动量不确定量、能量不确定量、时间不确定量。

第二章 波函数与薛定谔方程 1．计算n=4时，所对应经典线性振子的振幅4A =？[解]：由线性谐振子能量公式 1()2E w n =+α=4n =时，2q E w ∴=又2212E w A μ=A A x ∴===即振幅4A =2. 证明在定态中，几率流密度与时间无关2 **()()() () ()，iEtr t r f t r e iJ mψψ-ψ===ψ∇ψ-ψ∇ψ22**** [()()()()] [()()()()]（）（）i i i i Et Et Et Et i r e r e r e r e m ir r r r mψψψψψψψψ----=∇-∇=∇-∇可见t J 与无关。

3. 由下列两定态波函数计算几率流密度ikr ikr e re r -==1)2( 1)1(21ψψ 从所得结果说明ψ1表示向外传播的球面波，ψ1表示向内（即向原点）传播的球面波。

解：分量只有和r J J 21在球坐标中ϕθθϕθ∂∂+∂∂+∂∂=∇sin r 1e r 1e r r 0**111110(1) ()21111 [()()]2ikr ikr ikr ikriJ mi e e e e r m r r r r r rψψψψ--=∇-∇∂∂=-∂∂022023111111[()()]2 i ik ik r m r r r r r rk kr r mr mr=----+==r J 1与同向。

表示向外传播的球面波。

rmrk r mr k r )]r 1ik r 1(r 1)r 1ik r 1(r 1[m 2i r )]e r 1(r e r 1)e r 1(r e r 1[m 2i )(m2i J )2(3020220ikr ikr ikr ikr *2*222-=-=---+-=∂∂-∂∂=∇-∇=--ψψψψ可见，r J与2反向。

表示向内(即向原点) 传播的球面波。

4．求自由粒子的几率流密度J =？[解]自由粒子波函数()()iEx v Ax r e-=2*()()ii Et EtA x r x r ee--∇2*2*[()()()()]2iA x r x r A x r x r M=∇-∇ 对于自由粒子 ()i p rx r e ⋅= ()ip rix r pe⋅∇=*()i p rx r e-⋅=*()i p rix r pe-⋅∇=-22[()]2i i J A P x r M∴=- 5． 下列波函数中，哪些是定态？哪些是非定态？]（1）1()()()i i ix ETix ETx x xt u eU x e ---=+（2）122()()()i i E T E Thx x xt u e u x e--=+ 12()E E ≠（3）3()()i iETETx x xt u eu x e-=+[解]：（1）是定态，（2）（3）是非定态。

量子力学练习参考解答第一章 波函数与薛定谔方程1.1，1.2，1.3题解答略。

1.4（a ）设一维自由粒子的初态为一个Gauss 波包，222412)(1)0,(απαψxx p i e e x -=证明：初始时刻，0=x ，0p p =[]2)(12α=-=∆x x x[]α2)(12=-=∆p p p2 =∆⋅∆p x证：初始时刻012222===-+∞∞-+∞∞-⎰⎰dx exdx x x x απαψ2122222222απαψα===-∞+∞-∞+∞-⎰⎰dx exdx x x x()22122α=-=∆xx x)0,(x ψ的逆变换为⎰+∞∞--=dx ex p ipx/)0,(21)(ψπϕ＝⎰+∞∞---dx eeeipx x x p i/2412220)(121απαπ＝2220()22214(/)p p eααπ--22202()()p p p eααϕπ--=因此02)(p dp p p p ==⎰+∞∞-ϕ2222222)(0αϕ +==⎰∞+∞-p dp p p p()α22122 =-=∆p p p2 =∆⋅∆p x注：也可由以下式子计算p 和2p ：2222(,0)()(,0)(,0)()(,0)dp x ix dx dxd p x x dxdx ψψψψ+∞*-∞+∞*-∞=-=-⎰⎰1.5 设一维自由粒子的初态为)0,(x ψ，证明在足够长时刻后，()[]⎪⎭⎫⎝⎛⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-=t mx t imx i t m t x ϕπψ2exp 4exp ,2式中()()⎰+∞∞--=dx e x k ikx0,21ψπϕ是)0,(x ψ的Fourier 变换。

提示：利用()x e e x i i δπααπα=-∞→24/lim。

证：依照平面波的时刻转变规律 ()t kx i ikxe e ω-→ ， m k E 22==ω，任意时刻的波函数为()()()dk e k t x mtkkx i 2/221, -+∞∞-⎰=ϕπψ()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅=⎰∞+∞-22/2ex p 212t mx k m t i k dk etimx ϕπ（1） 那时刻足够长后（所谓∞→t ），上式被积函数中的指数函数具有δ函数的性质，取m t 2 =α ， （2）参照此题的解题提示，即得()()⎰+∞∞--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅≈k d t mx k k e t m et x i timx δϕππψπ4/2221,2⎪⎭⎫⎝⎛=-t mx e e t m t imx i ϕπ2/4/2 （3） 1.6 依照粒子密度散布ρ和粒子流密度散布j的表示式， ()()()t r t r t r ,,,*ψψρ=()()()()()[]t r t r t r t r mi t r j ,,,,2,**ψψψψ∇-∇-=概念粒子的速度散布v()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡∇-∇-==t r t r t r t r m i j v ,,,,2**ψψψψρ 证明：0=⨯∇v 。

一、 波函数及薛定谔方程1.推导概率（粒子数）守恒的微分表达式;()(),,w r t J r t o t∂+∇•=∂解答：由波函数的概率波解释可知，当(),r t ψ已经归一化时，坐标的取值概率密度为()()()()2,,,,w r t r t r t r t ψψψ*== （1） 将上式的两端分别对时间t 求偏微商，得到()()()()(),,,,,w r t r t r t r t r t t t tψψψψ**∂∂∂=+∂∂∂ （2） 若位势为实数，即()()V r V r *=，则薛定谔方程及其复共轭方程可以分别改写如下形式()()()()2,,,2r t ih ir t V r r t t m h ψψψ∂=∇-∂ （3）()()()()2,,,2r t ih ir t V r r t t m hψψψ***∂=-∇+∂ （4） 将上述两式代入（2）式，得到()()()()()22,,,,,2r t ih r t r t r t r t t mψψψψψ**∂⎡⎤=∇-∇⎣⎦∂ ()()()(),,,,2ihr t r t r t r t mψψψψ**⎡⎤=∇•∇-∇⎣⎦ （5） 若令()()()()(),,,,,2ih J r t r t r t r t r t mψψψψ**⎡⎤=∇-∇⎣⎦ （6） 有()(),,0w r t J r t t∂+∇•=∂ （7） 此即概率（粒子数）守恒的微分表达式。

2.若线性谐振子处于第一激发态()2211exp 2x C x α⎛⎫ψ=- ⎪⎝⎭求其坐标取值概率密度最大的位置，其中实常数0α>。

解答：欲求取值概率必须先将波函数归一化，由波函数的归一化条件可知()()222221exp 1x dx Cx x dx ψα∞∞-∞-∞=-=⎰⎰（1）利用积分公示())2221121!!exp 2n n n n x x dx αα∞++--=⎰ （2） 可以得到归一化常数为C = （3）坐标的取值概率密度为 ()()()322221exp w x x x x ψα==- （4）由坐标概率密度取极值的条件())()3232222exp 0d w x x x x dx αα=--= （5） 知()w x 有五个极值点，它们分别是 10,,x α=±±∞（6）为了确定极大值，需要计算()w x 的二阶导数()()()232222322226222exp d w x x x x x x dx αααα⎤=----⎦)()32244222104exp x x x ααα=-+- （7）于是有()23200x d w x dx ==> 取极小值 （8）()220x d w x dx =±∞= 取极小值 （9）()23120x d w x dx α=±=< 取极大值 （10）最后得到坐标概率密度的最大值为2111w x x ψαα⎛⎫⎛⎫=±==±= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（11）3.半壁无限高势垒的位势为()()()()000x v x x a v x a ∞<⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩求粒子能量E 在00E v <<范围内的解。