《一元二次方程根的判别式》课件.ppt

名师堂屈老师数学 8年级春季英才班系列教材（14）

第十四讲 一元二次方程

—根的判别式与根系关系（1）

【新知讲解】

1、一元二次方程的根的判别式

一元二次方程ax 2 +bx+c=0 (a ≠0）是否有实根，完全取决于b 2 - 4ac的值的符号，我们就把 b 2 - 4ac 叫做一元二次方程

ax 2 +bx+c=0的根的判别式，通常用“△”来表示，即：△= b 2 - 4ac

注意：

（1）根的判别式是指△=b 2 - 4ac，而不是△= 24bac

（2）使用判别式之前一定要先把方程变为一元二次方程的一般形式.

2、一元二次方程的根的情况与判别式“△”的关系。

（1）判别式定理：

△>0 方程有两个不相等的实数根； △=0 方程有两个相等的实数根；

△<0 方程没有实数根； △≥0 方程有两个实数根。

（2）判别式定理的逆定理：

方程有两个不相等的实数根 △ > 0；

方程有两个相等的实数根 △ = 0；

方程没有实数根 △ < 0；

方程有两个实数根 △ ≥ 0；

【例题解析】

一、不解方程，判断方程根的情况。

例1：不解方程判断下列一元二次方程根的情况：

（1）3x 2 -3x+1=0 (2) 2x 2 +1=25x

(3) ax 2 +bx=0(a≠0) (4) (x-1) 2 -7x=0

名师堂屈老师数学 8年级春季英才班系列教材（14）

思路点拨：按照“一求二判”的思路来完成。“一求”是指第一步求方程中“△”的值，“二判”是指第二步判断△的符号从而确定方程根的情况。

1 第十七章 第3讲 一元二次方程根的判别式

知识概要

1.根的判别式

在推导一元二次方程)0(02acbxax的求根公式时，我们得到 22244)2(aacbabx.

我们发现，一元二次方程是否有实数根或者实数根的情况具体如何，关键在于acb42.因此，我们把acb42叫做一元二次方程)0(02acbxax的根的判别式，用符号“”表示，读作“/'/'delt”

(1)当042acb时，一元二次方程有两个不相等的实数根，aacbbx2421，

aacbbx2422；

(2)当042acb时，一元二次方程有两个相等的实数根，abxx221；

(3)当042acb时，一元二次方程没有实数根.

显然，上述结论，反过来亦成立.

2.根的判别式的应用

判别式是判别一元二次方程有无实数根的主要方法.从判别式与零的大小关系上，有两个相等与不相等的实数根，还有无实数根三种情况，合理地运用这种关系，能够巧妙地解决某些方程问题、不等式问题、最值问题以及字母参数的取值范围问题等.

经典题型精析

(一)根的判别式

例1.不解方程，判断下列关于x(或y)的方程的根的情况：

(1)03452xx； (2)01232xx； (3)01442xx；

(4)0)1(422mmyy； (5)0)52(2422nnmxx； (6)02cax.

试一试：不解方程，判断下列方程的根的情况：

(1)03542xx； (2)03422xx； (3)xx62322.

2 例2.在关于x的一元二次方程1)2(42kxkx中，k为何值时，方程有两个相等的实数根?并求出这两个实数根.

试一试：当m取何值时，关于x的方程041)2(22mxmx

一元二次方程根的判别式

(第1课时)

【目标导航】

通过本课的学习，让学生在知识上了解掌握根的判别式．在能力上在求不解方程能判定一元二次方程根的情况；根据根的情况，探求所需的条件．

【预习引领】

解下列一元二次方程.

(1)x2－1=0 (2)x2 －2x =－1

(3)(x+1)2－24=0 (4)x2 +2x+2=0

问题：(1)为什么会出现无解？

(2) 回顾用配方法解方程ax2+bx+c=0(a ≠ 0)的过程.

【要点梳理】

１．一元二次方程ax2+bx+c=0(a ≠ 0)的根的判别式是b2－4ac．

2．判别一元二次方程根的情况：

（1）当b2－4ac＞0时，___________ _____;

（2）当b2－4ac＝0时，__________________;

（3）当b2－4ac＜0时，________ _______．

例1 不解方程，判别下列方程的根的情况：

（1）2x2＋3x－4＝0；

（2）16y2＋9＝24y；

（3）5(x2+1)－7x＝0．

【课堂操练】

不解方程，判别下列方程根的情况：

（1）3x2+4x－2=0；

（2）2y2+5=6y；

（3）4p(p－1)－3＝0；

（4）(x－2)2＋2(x－2)－8＝0；

（5）23220xx

例2求证：关于x的方程x2+（2k+1）x+k-1=0有两个不相等的实数根．

【课堂操练】

1．不解方程，判别下列方程根的情况．

(1) a2x2－ax－1＝0（a≠0）

(2) (2m2＋1)x2－2mx＋1=0．

(3)x2 +22kx+k2=0

例3 关于x的方程2x2－（4k+1）x+2k2－1=0当k取何值时，（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；

（3）方程没有实数根．

【课堂操练】 1．若关于x的方程x2+(2k－1)x+k2－14=0

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教学目标

1、感悟一元二次方程的根的判别式的产生的过程；

2、能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行有关的推理论证；

3、会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围

重点、难点

根的判别式的应用与相关推理论证

考点及考试要求

用根的判别式进行根的判定

一、一元二次方程根的判别式的定义

运用配方法解一元二次方程过程中得到 2224()24bbacxaa，显然只有当240bac时，才能直接开平方得：22424bbacxaa．

也就是说，一元二次方程20(0)axbxca只有当系数a、b、c满足条件240bac时才有实数根．这里24bac叫做一元二次方程根的判别式．

二、判别式与根的关系

在实数范围内，一元二次方程20(0)axbxca的根由其系数a、b、c确定，它的根的情况（是否有实数根）由24bac确定．

设一元二次方程为20(0)axbxca，其根的判别式为：24bac则

①0方程20(0)axbxca有两个不相等的实数根21,242bbacxa．

②0方程20(0)axbxca有两个相等的实数根122bxxa．

③0方程20(0)axbxca没有实数根．

若a，b，c为有理数，且为完全平方式，则方程的解为有理根；

若为完全平方式，同时24bbac是2a的整数倍，则方程的根为整数根．

说明：

⑴用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值：上述判定方法也可以反过来使用，当方程有

两个不相等的实数根时，0；有两个相等的实数根时，0；没有实数根时，0．

⑵在解一元二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判别式24bac判定方程的根的情况（有两个

不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根）．当240bac时，方程有两个相等的实数根（二重根），不能说方程只有一个根．