解无理不等式·教案教学目标1．初步理解无理不等式的求解基本思路．2．进一步培养学生的逻辑推理能力和运算能力．3．进一步养成规范表述的习惯，提高学生思维的严谨性．教学重点和难点重点：求解的基本思路的形成与落实．难点：分类讨论的正确使用．教学过程设计（一）新课引入师：前面我们已经研究了一元一次不等式、一元二次不等式和一元高次不等式，它们统称为整式不等式，继续又学了分式不等式．它们又统称为有理不等式，今天我们该学习无理不等式的解法．（板书：4．无理不等式）（二）讲解新课师：无理不等式一般是指在根号下含有未知数的不等式．今天我们主要研究在二次根号下含有未知数的简单的无理不等式的解法．（板书）师：要解这个不等式，你的第一个想法是什么？生：想保证根式有意义，让被开方式非负即5-2x≥0．生：想去掉根号．师：这两个想法都有道理，也是我们必须要做的，若在这两件事中选择一个做为第一件事，应该是谁呢？生：应该先保证根式有意义，这是解决这个不等式的大前提．师：讲得很好，但有了5-2x≥0这个条件，我们并没有开始解，如果开始解的话，应该做的仍然是去掉根号．为什么一定要去掉根号呢？生：想把它化成学过的有理不等式．师：用什么方法化去根号呢？生：两边平方．师：解不等式所进行的变换必须保证是等价变换，平方之后能保证与原不等式等价吗？生：不能保证等价．师：为保证等价，不等式有什么根据可以用吗？①．师：要平方，就应以此为根据．就需看不等式两边是否符合条件，先看左式是否符合条件．生齐答：没有问题，能保证它大于等于零．师：右式怎样？生：右式的符号不能确定，可能正，可能负，也可能为零．师：怎么解决右式的符号问题呢？生：进行讨论，对于大于等于零情况，根据性质，可以平方．对于小于零情况可以单独研究．师：好，思路搞清楚了，下面把刚才分析的内容表述出来，先说能平方部分．师：另一种情况该怎样研究呢？生：若x-1＜0，则此时左式是非负数，右式是个负数，左式大于要求解无理不等式必须两边平方，但我们找到的可等价平方的根据是有条件的．如果满足条件都是正的，那就可以平方；如果不满足条件像x-1就必须进行分类讨论，这样将一个不等式等价地变换成两个不等式组．下面我们继续把它解出来，先把第一组解到底，每人只解一步．（每一个不等式由一个学生来解，并明确要求解到什么程度）（解到这里要求一定要画数轴找公共部分）师：观察数轴，公共部分是什么？生：等价于1≤x＜2．（最后指出表述上要加上等价符号，以体现各组不等式间的关系）师：下面再解第二组不等式．师：两个不等式组的解都有了，怎么处理两个组的解呢？生：应该取并．师：那么此不等式最终的解应是什么？生：是x＜2．师：经过我们共同研究，完成了这个不等式的求解，把刚才的过程简单小结一下．刚才我们主要做了这样两件事．（1）搞清了求解的基本思路，求解无理不等式必有理化，手段是平方，平方的根据是有条件的，满足条件直接平方，若不满足则需分类讨论．（2）在运算上，注意顺序要合理，采用先横（写出等价组）再二竖（分别解两个不等式组），最后再横（求两组的并），同时给出规范的表述，以作为示范．所以原不等式解集为｛x|x＜2｝．师：对于以上这两件事是否真清楚了，下面几个题目有了一些变化，看能否处理好．（先解决思路问题，第一组练习只要求做出等价变换）（三）巩固练习板书：（要求学生讲清每个不等式的由来，讲清理由才是真正理解每个不等式的功能）师：不仅等价组是正确的，而且也讲清了为什么是这样两个不等式组．师：为什么只有这一个不等式组？生：不等式两边均大于零，符合平方的条件，可以直接平方，无需讨论．师：讲得非常好，通过这个题目再次认识到分类讨论这种方法，一定要想清楚使用原因．再正确使用，不能盲目套用，下面再看第（3）题．师：此题在结构上与前面几个题目略有变化，请注意不等号的方向，这种结构上的变化，是否会带来解法上的变化呢？生：在解法上没有什么变化（此时有些学生开始议论并举于提出异议）生：我觉得解得不对，不应有第二个不等式组，原不等式应等价于师：他们两人的意见到底谁对呢？请大家讨论一下，发表意见，说明理由．生甲：由于右式x＋3的符号不能确定，所以要平方就必须进行分类讨论，所以应该有两组．生乙：由于左式是个非负数，右式大于等于一个非负数，所以右式也应为非负数，故无需讨论，即可平方，只有第一个不等式组就够了．生丙：我也认为应只有第一个不等式组．但我是这样考虑的．如果对右式的符号进行分类讨论，当x＋3＜0时，此时不等式变为“非负数小于等于一个负数”，这是个矛盾不等式，故不等式无解．因此，第二个不等式组写完整应该写为这个不等式组的解集应为空集，这个不等式组就可以被省掉不写，从形式上看就只有一个不等式组．师：以上几位同学的意见都有一定的道理，表明同学们对于求解思路都有自己的见解，通过分析最终我们发现这个不等式的求解应当等价理由除了刚才后两位同学的解释以外（它们的解释角度不同，本质相同），还有一点重要的补充说明，由于两个不等式组之间是并的关系，所以第二组不等式才可以被省掉．通过这几个小题，帮助我们真正理解了等价变换思想的使用，对搞清求解思路有一定的帮助．下面再来解决运算问题，大家一起解两个题，注意运算的正确性和合理性．（板书）练习二：解下列不等式：（由两个学生上黑板来做）解：（1）原不等式所以原不等式解集为｛x|x＜0｝．（2）原不等式所以原不等式的解集为｛x|-9≤x≤-1｝．（待黑板上的同学完成后，老师根据巡视中发现的问题进行简单的讲评）师：两位同学的答案都是正确的，但在表述上有个别不规范之处提醒大家注意．①每一步之间应当用等价符号连结，以表明实施的是等价变换；②求解不等式组的解应画出数轴，以便更直观地取公共部分．此外，请同学们再反思一下整个求解过程，看有什么地方可以改进．生：我觉得第（1）题中第一个不等式组可以不解2x2-3x＋1≥0，解另外两个就够了．师：这个想法很大胆，不过必须能讲得清理由．这件事可以从等价角度来加以解释，即是否等价的问题．生：这两个不等式组等价．因为是没有问题的，而根据不等式的传递性，由2x2-3x＋1＞（1＋2x）2，说明这两个不等式组是等价的．因此可以将2x2-3x+1≥0省掉．这种不等式组间的等价又称为系统等价．系统等价对这个题目来说能起到一定的简化作用，这种简化的思想应当贯穿于我们整个求解过程之中，但必须真正搞清原因才能省略．（四）小结师：这节课的主要内容是无理不等式的求解问题，对这个问题的掌握主要体现在（1）把握求解基本思路，能正确实现等价转化．（2）在表述上要规范，有条理，能在旧知识配合下，合理准确进行运算．（五）布置作业课本习题略．课堂教学设计说明无理不等式的求解是解不等式中的重点内容，也是学生学习比较困难的课题，困难主要发生在等价转化为有理不等式的思路上，所以本节课的设计重点放在求解思路形成与落实上．思路的形成重在学生的思维参与，学生获取知识必须通过学生自己的一系列思维活动来完成．教师的课堂设计应给学生设计好符合学生认知结构的学习程序，通过设问、提示、课堂讨论等多种方式，启发诱导学生，激发学生的学习热情，使学生思维从始至终处于一种积极进取的兴奋状态，这样通过教师引导，学生可自然有效地获取知识，就本节课而言，通过学生研究探索，得到求解的基本思路与方法，最终教师再进行概括、总结和提高．思路的落实是教学效果的体现．一节课课堂上再热闹，再活跃，而学生不能准确完成一个无理不等式的求解，这样的课堂设计是华而不实的，真正的课堂必须讲究落实且在课堂上尽量提高落实的效果，为了解决这个问题又重点在表述上下功夫．思维有方、表达无术，是很多学生一个突出的毛病，教师的示范和对学生进行适当的训练是纠正这一毛病的重要措施．例1的解题过程，既是利用学生思维得到求解思路，又是通过教师的示范，达到明确要求，规范书写的目的，而两个巩固练习题让学生通过必要的模仿，克服表达无术的不足，且在讲评中再次强化表述的要求，因此，无理不等式的求解，只有双管齐下，既理清思路又规范表述，才能保证运算的合理性和准确性．。
复习重点：不等式的解法，主要有一元一次、一元二次、一元高次不等式，分式不等式，无理不等式，指数、对数不等式及含绝对值的不等式的解法；在复习中强调基本方法及易错点。
复习难点：含字母系数的二次型不等式，无理不等式解法，数形结合的方法解不等式，及不等式变形的等价性问题。
（一）各种类型不等式基本解法中的易错点：1．二次型不等式：ax2+bx+c>0(<0)易错点：<1>是否为二次不等式；<2>含字母表示的二根的大小。
2．一元高次不等式：a(x-x1)(x-x2)……(x-x n)>0。
易错点：<1>a>0时，从右上方开始穿线；<2>奇穿偶切，如(x-2)2(x+1)3>0.各因式的幂指数为奇数时穿过ox轴，若幂指数为偶数时，与ox轴相切不穿过；<3>孤立点容易遗漏。
如：(x-3)(x+2)2(x-1)≥0(x-3)(x-1)≥0或x=-2。
3．分式不等式：，易错点：<1>方法的规范，化为(1)的形式；<2>等价性；如(2)。
4．无理不等式<1>易错点：①遗漏情况(2)；②不等式组(1)，省略f(x)≥0，可简化运算。
<2>注：g(x)=0为孤立点，易遗漏。
5．含绝对值不等式：注意：<1>方法的选择：分段去绝对值号；用等价不等式解或数形结合方法解决。
<2>形如的基本解法：<i>分段讨论；<ii>数形结合。
6．指数不等式及对数不等式基本类型：<1>同底型；<2>a f(x)<b、log a f(x)<b型用定义；<3>换元法解。
易错点：<1>定义域：对数式中底数、真数的限制条件；<2>利用函数单调性，要分成底数大于1还是在0与1之间考虑。
解不等式问题重点注意：i.等价变形；ii.数形结合的方法。
第十五教时教材：无理不等式目的：通过分析典型类型例题，讨论它们的解法，要求学生能正确地解答无理不等式。
过程：一、提出课题：无理不等式 — 关键是把它同解变形为有理不等式组 二、⎪⎩⎪⎨⎧>⇒⎭⎬⎫≥≥⇔>)()(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f 定义域型 例一 解不等式0343>---x x解：∵根式有意义 ∴必须有：303043≥⇒⎩⎨⎧≥-≥-x x x 又有 ∵ 原不等式可化为343->-x x两边平方得：343->-x x 解之：21>x ∴}3|{}21|{}3|{>=>⋂>x x x x x x 三、⎩⎨⎧<≥⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥⇔>0)(0)()]([)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或型 例二 解不等式x x x 34232->-+-解：原不等式等价于下列两个不等式组得解集的并集：Ⅰ：⎪⎩⎪⎨⎧->-+-≥-+-≥-222)34(23023034x x x x x x Ⅱ：⎩⎨⎧<-≥---0340232x x x解Ⅰ：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<⇒<<<≤≤345623562134x x x x 解Ⅱ：234≤<x ∴原不等式的解集为}256|{≤<x x 四、⎪⎩⎪⎨⎧<>≥⇔<2)]([)(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f 型 例三 解不等式24622+<+-x x x解：原不等式等价于⎪⎩⎪⎨⎧+<+->+≥+-222)2(462020462x x x x x x}10102|{100212≤<<≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧<<->≤≥⇒x x x x x x x 或或 特别提醒注意：取等号的情况五、例四 解不等式1112-+>+x x解 ：要使不等式有意义必须：2112101012-≥⇒⎪⎩⎪⎨⎧-≥-≥⇒⎩⎨⎧≥+≥+x x x x x 原不等式可变形为 1112+>++x x 因为两边均为非负∴22)1()112(+>++x x 即)1(122+->+x x ∵x +1≥0 ∴不等式的解为2x +1≥0 即 21-≥x 例五 解不等式36922>-+-x x x 解：要使不等式有意义必须：306033060922≤≤⇒⎩⎨⎧≤≤≤≤-⇒⎩⎨⎧≥-≥-x x x x x x 在0≤x ≤3内 0≤29x -≤3 0≤26x x -≤3 ∴29x ->3-26x x - 因为不等式两边均为非负 两边平方得：22266699x x x x x ---+>- 即26x x ->x 因为两边非负，再次平方：226x x x >- 解之0<x <3 综合 得：原不等式的解集为0<x <3例六 解不等式1123>-+-x x解：定义域 x -1≥0 x ≥1 原不等式可化为：3211->--x x 两边立方并整理得：)1(41)2(->-+x x x 在此条件下两边再平方, 整理得：0)10)(2)(1(>---x x x 解之并联系定义域得原不等式的解为}1021|{><<x x x 或六、小结七、作业：P24 练习 1、2、3 P25 习题 6.4 5补充：解下列不等式1．655332->-+-x x x )2(>x 2．33333++<++-x x x x )3(-≥x3．x x ->--214 (12135≤<+-x )s 4．02)1(2≥---x x x )12(-=≥x x 或 5．112>+--x x )2511(-≤≤-x。
