高一数学不等式的解法举例

高一数学学习单 不等式的解法（一） 姓名________________班级___________2011年10月13日一、自我诊断：1．解关于x 的不等式：()210x m x m +--≥；解：1x m =-，21x =①当1m =-时，解集是{}1x x ≠②当1m >-时，1m -<，解集是{}1x x x m ≥≤-或③当1m <-时，1m ->，解集是{}1x x m x ≥-≤或2．解不等式：2111x x +≤-； 解：21101x x +-≤-，201x x +≤-，口上，两根之间[]2 1-，．3．解不等式：ax b >；解：①若0a >，则解集是bx a >②若0a =，且0b <，则解集是任意实数；若0a =，且0b ≥，则解集是∅． ③若0a <，则解集是bx a <4．若关于x 的不等式02<++c bx ax 的解集为{|2x x <-或1}2x >-，求关于x 的不等式02>+-c bx ax 的解集．二、问题讨论：1．解一元二次不等式的基本思路；2．含参不等式需要注意的问题；3．分式不等式的解题技巧；4．不等式恒成立问题．三、例题分析：例1、解关于x 的不等式：()2110ax a x -++<．（1）若0a =，则1x >；（2）若0a ≠，则11x =，21x a =①当1a =时，121x x ==，口上，∅②当10a >>时，12x x <，口上，11 a ⎛⎫⎪⎝⎭，③当0a <或1a >时，12x x >，口下，()1 1 a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ ，，例2、不等式()2110mx m x --+>对任意实数x 都成立，求实数m 的取值范围． 解：当0m =时，10x -+>没有恒成立；()20140m m m >⎧⎪⎨∆=--<⎪⎩，解得：(0 3+，． 四、巩固练习：1．不等式223221x x m x x ++≥++对任意实数x 都成立，求自然数m 的值．解析：因为210x x ++>恒成立，所以原式可以转化为：22322x x mx mx m ++≥++，即：()()23220m x m x m -+-+-≥，需要恒成立，故()()()23024320m m m m ->⎧⎪⎨∆=----≤⎪⎩ 解得：2m ≤因为取自然数，所以m =0，1，2．五、课后作业：1．解下列不等式：（1）214602x x -+<；（2）21111x x ≥--；（3）3224x x +≥-．解：（1）()2 6，（2）(]()1 01 -+∞ ，， （3）(]() 104 -∞-+∞ ，， 2．解关于x 的不等式：()210x a x a -++>． 解：原不等式因式分解得()()10x x a -->，若1a >，则不等式的解集为(,1)(,)a -∞+∞ ；若1a <，则不等式的解集为(,)(1,)a -∞+∞ ；若1a =，则不等式的解集为实数集(,1)(1,)-∞+∞ ；3．解关于x 的不等式()22140ax a x -++> 解：若0a =，原不等式化为240x -+>，从而解集为(,2)-∞； 若0a ≠，原不等式因式分解得()()220x ax -->；若1a >，22a <，则不等式的解集为2(,)(2,)a -∞+∞ ；若1a =，原不等式化为()220x ->，从而解集为(,2)(2,)-∞+∞ ； 若01a <<，22a >则不等式的解集为2(,2)(,)a -∞+∞ ； 若0a <，22a <，则不等式的解集为2(,2)a ；4．已知不等式20ax bx c ++>的解集为()m n ，，且0n m >>，求不等式20cx bx a ++>的解集． 解：由题知两个信息：①方程20ax bx c ++=的两根分别是m 、n ，所以b m n a -=+，c m m a =，②0a <， 所以20cx bx a ++>可变为：210c b x x a a ++<，即()210mnx m n x -++<，其中0n m >>，0m n > 11n m <，所以解集是11 nm ⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 5．关于x 的不等式()2310mx m x -+-<对于任意实数x 均成立，求实数m 的取值范围．解析：若0m =，则310x --<没有恒成立；若0m ≠，则：()20340m m m <⎧⎪⎨∆=++<⎪⎩，解得：()9 1--，．。

不等式的解法不等式是数学中常见的问题，解不等式可以帮助我们找到满足特定条件的数值范围。

本文将介绍几种常用的不等式的解法。

一、一元一次一元一次不等式是形如ax+b>c或ax+b<c的不等式，其中a、b、c都是已知的实数，x是未知数。

1. 等价变形法通过对不等式进行等价变形，使得未知数x单独在一边，从而得到不等式的解。

例如，对于不等式3x+4>10，我们可以通过减4，并除以3来消去4和3，得到x>2。

所以x的取值范围为大于2的所有实数。

2. 符号法考虑不等式中的符号，根据不等式关系的性质确定解的范围。

例如，对于不等式5x-7≥8，我们观察到不等式中的符号是≥，根据≥的意义，我们知道等号成立时也是一个解。

所以我们可以解得5x-7=8，得到x=3。

因此，x的取值范围为大于等于3的所有实数。

二、一元二次一元二次不等式是形如ax^2+bx+c>d或ax^2+bx+c<d的不等式，其中a、b、c、d都是已知的实数，x是未知数。

1. 图像法将一元二次不等式转化为二次函数的图像，通过观察函数图像来确定不等式的解。

例如，对于不等式x^2-4x<3，我们可以将不等式转化为方程x^2-4x=3，并求得其根为x=1和x=3。

然后绘制出函数图像y=x^2-4x的图像，在图像上观察x轴上落在1和3之间的部分，即得到不等式的解为1<x<3。

2. 化简法将一元二次不等式进行化简，将不等式转化为一个或多个一元一次不等式，然后求解这些一元一次不等式的解。

例如，对于不等式x^2+2x-3>0，我们可以将不等式因式分解为(x-1)(x+3)>0。

然后我们考虑两个因式的正负情况，得到两个一元一次不等式x-1>0和x+3>0。

解这两个一元一次不等式，得到x>1和x>-3。

因此，x的取值范围为大于1和大于-3的所有实数。

三、多元多元不等式是包含两个或多个未知数的不等式，解多元不等式可以使用代入法、图像法或数学方法。

完整版)高一不等式及其解法习题及答案教学目标】1.能够熟练解一元二次不等式、高次不等式和分式不等式2.理解分类讨论的数学思想并能够应用于解含参不等式教学重难点】分类讨论的数学思想教学过程】题型一：解一元二次不等式例1：解下列不等式1）2x²-3x-2>0；（2）-6x²-x+2≥0；（3）2x²-4x+70方法总结：对于一元二次不等式ax²+bx+c>0或ax²+bx+c<0，可以通过求出其判别式Δ=b²-4ac的值，来判断其解的情况。

1.当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根，解集为x根2；2.当Δ=0时，方程有两个相等的实数根，解集为x=根1=根2；3.当Δ<0时，方程无实数根，解集为空集。

变式练】1-1.已知不等式ax²+bx+c的解集为(2,3)，求不等式cx²+bx+a的解集。

题型二：解高次不等式例2：求不等式(x-4)(x-6)≤0的解集。

方法总结：对于高次不等式，可以通过将其化为一元二次不等式的形式，再利用一元二次不等式的解法来求解。

变式练】2-1.解不等式x(x-1)(x+1)(x+2)≥0.题型三：解分式不等式例3-1：解下列不等式1) 23/(x²-4x+1) < 1；(2) 23/(x²-4x+1) ≤ 2；(3) 23x-7/(x²-2x+1)。

方法总结：对于分式不等式，可以通过将其化为分子分母同号的形式，再利用一元二次不等式的解法来求解。

题型四：解含参数的一元二次不等式例4-1：解关于x的不等式2x+ax+2>(a∈R)。

方法总结：对于含参不等式，可以通过分类讨论的思想来解决。

首先讨论a的值，然后根据a的取值再讨论不等式的解集。

变式练】1.已知a∈R，解关于x的不等式ax-(a+1)x+1<2.2.解不等式a(x-1)/(x-2)。

高一基本不等式题型及解题方法高一基本不等式是数学中的重要内容，它在实际生活中有着重要的应用价值。

通过学习基本不等式，可以帮助学生理解数学的逻辑推理和解决实际问题的能力。

在高中数学的学习中，基本不等式是一个非常基础的知识点，因此学生需要掌握其基本概念和解题方法。

一、基本不等式的定义基本不等式是指在数字和代数问题中最基础的不等式关系。

它通常以不等式的形式表示，包括大于号（>）、小于号（<）、大于等于号（≥）和小于等于号（≤）。

不等式的解是指满足不等式关系的一组实数。

在解不等式时，通常需要找出使不等式成立的一组解集。

解不等式的方法通常包括化简、加减法则、乘除法则、分拆法则、平方法则等。

学生需要掌握这些方法，并能够灵活应用于解题过程中。

二、基本不等式的题型在高一的数学学习中，基本不等式通常包括一元一次不等式、一元二次不等式、绝对值不等式等。

以下将分别介绍这些不等式的解题方法。

1.一元一次不等式一元一次不等式是指含有一个未知数的一次不等式。

其一般形式为ax+b＞0或者ax+b＜0，其中a和b为常数，x为未知数。

解一元一次不等式的基本步骤通常为：（1）移项：把不等式中的常数项移到一边，未知数移到另一边；（2）合并同类项；（3）整理化简；（4）根据不等式的正负情况给出解的范围。

例如，解不等式2x+3＞5，首先将常数项3移到另一边，得到2x ＞2，然后除以2得到x＞1。

因此，不等式的解为x的取值范围为大于1的实数。

2.一元二次不等式一元二次不等式是指含有一个未知数的二次不等式。

其一般形式为ax^2+bx+c＞0或者ax^2+bx+c＜0，其中a、b和c为常数，x为未知数。

解一元二次不等式的基本步骤通常为：（1）化简：将不等式化为标准形式，即将不等式移项并合并同类项；（2）求解方程：求出二次方程ax^2+bx+c=0的两个根；（3）根据方程的根和系数的关系求解不等式的解集。

例如，解不等式x^2+2x-3＞0，首先化简得到(x+3)(x-1)＞0，然后求出方程x^2+2x-3=0的解为x=-3和x=1，再根据不等式的正负情况得到不等式的解集为x＜-3或者x＞1。

不等式的解法高中数学高中数学：不等式与不等式组的解法1.一元一次不等式的解法任何一个一元一次不等式经过变形后都可以化为ax>b或axb而言，当a>0时，其解集为(ab，+∞)，当a<0时，其解集为(-∞，ba)，当a=0时，b<0时，期解集为R，当a=0，b≥0时，其解集为空集。

例1：解关于x的不等式ax-2>b+2x解：原不等式化为(a-2)x>b+2①当a>2时，其解集为(b+2a-2，+∞)②当a<2时，其解集为(-∞，b+2a-2)③当a=2，b≥-2时，其解集为φ④当a=2且b<-2时，其解集为R.2.一元二次不等式的解法任何一个一元二次不等式都可化为ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a>0)的形式，然后用判别式法来判断解集的各种情形(空集，全体实数，部分实数)，如果是空集或实数集，那么不等式已经解出，如果是部分实数，则根据“大于号取两根之外，小于号取两根中间”分别写出解集就可以了。

例2：解不等式ax2+4x+4>0(a>0)解：△=16-16a①当a>1时，△<0，其解集为R②当a=1时，△=0，则x≠-2，故其解集(-∞，-2)∪(-2，+∞)③当a<1时，△>0，其解集(-∞，-2-21-aa)∪(-2+21-aa，+∞)3.不等式组的解法将不等式中每个不等式求得解集，然后求交集即可.例3：解不等式组m2+4m-5>0(1)m2+4m-12<0(2)解：由①得m<-5或m>1由②得-6，故原不等式组的解集为(-6，-5)∪(1，2)4.分式不等式的解法任何一个分式不等都可化为f(x)g(x)>0(≥0)或f(x)g(x)<0(≤0)的形式，然后讨论分子分母的符号，得两个不等式组，求得这两个不等式组的解集的并集便是原不等式的解集.例4：解不等式x2-x-6-x2-1>2解：原不等式化为：3x2-x-4-x2-1>0它等价于(I)3x2-x-4>0-x2-1>0和(II)3x2-x-4<0-x2-1<0解(I)得解集空集，解(II)得解集(-1，43).故原不等式的解集为(-1，43).5.含有绝对值不等式的解法去绝对值号的主要依据是：根据绝对值的定义或性质，先将含有绝对值的不等式中的绝对值号去掉，化为不含绝对值的不等式，然后求出其解集即可。

“不等式的解法”专题一．整式不等式的解法步骤：正化，求根，标轴，穿线（奇过偶不过），定解1. 一元一次不等式ax >b 解的讨论： 当a>0时解集为⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,a b ，当a<0时解集为,b a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭当a=0且b<0时解集为R ，当a=0且b ≥0时，解集为Φ；2. 一元二次不等式我们总可化为ax 2+bx+c>0和ax 2+bx+c+<0(a>0)两形式之一，记△=b 2-4ac 。

跟踪训练1.若01,a <<则不等式()10x a x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭的解是 2. x 的取值范围是3. 若ax 2＋bx －1＜0的解集为{x|－1＜x ＜2}，则a ＝________，b ＝________．4.解下列不等式(1)(x －1)(3－x)＜5－2x (2)x(x ＋11)≥3(x ＋1)2 (3)(2x ＋1)(x －3)＞3(x 2＋2)(4)3x 2-+--+-31325113122x x x x x x ＞＞()()二．分式不等式的解法先移项通分化为一边为()()f xg x ，一边为0的形式，再等价转化为整式不等式，即： ()()0()()0()()0;0()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩跟踪训练 1.下列不等式与012≤+x x同解的是（ ） (A)01≤+xx (B)0)1(≤+x x (C) 0)1lg(≤+x (D)21|1|≤+x x 2. 不等式x x<1的解集为 .3. 不等式1213≥--xx 的解集为（ ） (A){x |43≤x ≤2} (B) {x |43≤x <2} (C) {x |x >2或x ≤43} (D){x |x ＜2} 4. 不等式21≥+x x的解集为 .5.解不等式237223x x x -≥+- 巩固训练不等式(x －2)2·(x －1)>0的解集为 . 不等式(x ＋1) ·(x －1)2≤0的解集为 .1. 不等式(x 2－2x －3)(x 2－4x +4)<0的解集为（ ） A .{x | x <－1或x >3} B .{x | －1<x <3}C .{x | x <－3或x >1}D .{x | －1<x <2或2<x <3} 2.与不等式023≥--xx 同解的不等式是 （ ） A.(x －3)(2－x )≥0 B.lg(x －2)≤0 C.032≥--x xD.(x －3)(2－x )>0 3.不等式12x x-≥的解集为（ ） A. [1,0)- B. [1,)-+∞C. (,1]-∞-D. (,1](0,)-∞-+∞U含绝对值的不等式1.应用分类讨论思想去绝对值；2.应用数形结合思想；3.应用平方法（要求不等式两端同号）基础训练1. 不等式|8－3x|＞0的解集是（ ）A B RC {x|x }D {83}．．．≠．∅83 2.不等式1|1|3x <+<的解集为（ ）.C. (4,0)-D. (4,2)(0,2)--U3. 不等式4＜|1－3x|≤7的解集为指数、对数不等式的解法解指数、对数不等式的一些常用方法：（1） 同底法：能化为同底数先化为同底，再根据指数、对数的单调性转化为代数不等式，底是参数时要注意分类讨论，并注意到对数真数大于零的限制条件 （2） 转化法：多用于指数不等式，通过两边取对数转化为对数不等式（3） 换元法：多用于不等式两边均有统一的组合形式，或取对数后再换元，注意所换“元”的范围 （4） 数形结合 基础训练 1. 不等式2261xx +-<的解集为2.不等式1(33>的解集为 3. 不等式2log (2)0x -≤的解集为 4.函数()f x =为5. 不等式20.20.2log (23)log (31)x x x +->+的解集为6. 不等式0.51log x x ->的解集为 巩固训练 1.已知当94x =时，不等式22log (2)log (23)a a x x x x -->-++成立，则不等式的解集为 2.设1232,(2)()log (1),(2)x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则不等式()2f x >的解集为 3. 已知集合22{228,},{log 1,}x A x x Z B x x x R -=≤≤∈=>∈，则()R A C B ⋂的元素个数为_____个5 若关于x 的方程2222x xxxa ---=+有解，求实数a 的取值范围6 已知0,1a a >≠，若2log 2log a a <，求实数a 的取值范围不等式解法六种典型例题典型例题一（整式不等式） 例1. 解不等式：（1）015223>--x x x ； （2）0)2()5)(4(32<-++x x x说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”。

例1若OVaVl,则不等式(x-a)(x--)<0的解是a[]1A・ a<x< 一1B・一Vx<aaC・ x>1 或xVaaD・ x< -或x>aa分析比较a与丄的大小后雪出答案.a解VO<a<l, Aa<-,解应当在“两根之间”，得aVxV丄.a a选A.例2 Jx2-x-6有意义,贝收的取值范围是___________ .分析求算术根，被开方数必须是非负数.解据题意有，x2-x-620,即(x—3)(x+2)20,解在“两根之外”，所以xN3或xW—2.例 3 若ax2+bx-l<0 的解集为{xl~l<x<2},则a= _______ , b= _________ .分析根据一元二次不等式的解公式可知，一1和2是方程ax?+bx—l= 0的两个根，考虑韦达定理.解根据题意，一1, 2应为方程ax2+bx—1= 0的两根，则由韦达定理知b__ =(_l)+ 2 = 1< : 得—— =(—l)X2 = —2a1 1 ap，b—亍例4解下列不等式(1)(x-l)(3-x)<5-2x(2)x(x+ll)23(x+l)2(3)(2x +l)(x-3)> 3(x2+2), 3 , (4)3x~ -3x + 1> - —9 1(5)x~ -x + 1> -x(x- 1)分析将不等式适当化简变为ax^+bx+c>0(<0)形式, 然后根据“解公式”给出答案(过程请同学们自己完成).答(l){xlx<2 或x>4}3(2){xllWxW 寸(3)0(4)R(5)R说明：不能使用解公式的时候要先变形成标准形式.例5不等式l+x> 丄的解集为1-X[A.{xlx>0}B.{xIxNl}C. {xlx>l}D. {xlx>l 或 x=0}分析直接去分母需要考虑分母的符号，所以通常是采用移项后通分.解不等式化为1+X —丄>0,通分得三即土>。

高一基本不等式题型及解题方法基本不等式是高中数学中非常重要的一个概念，通过学习基本不等式可以帮助学生建立正确的数学思维和解题方法。

下面我们将介绍高一基本不等式的题型及解题方法，希望能够帮助学生更好地理解和掌握这一部分知识。

一、基本不等式的定义基本不等式是指在数学中常见的一种不等式形式，通常是指关于未知数的一种关系式，其特点是不等式的左边和右边可以通过一定的运算关系来进行比较。

在高中数学中，我们通常会遇到一元一次不等式、一元二次不等式以及多项式不等式等基本不等式的形式。

二、一元一次不等式题型及解题方法1.解一元一次不等式的基本步骤：（1）将不等式化为一元一次不等式；（2）合并同类项，消去括号；（3）进行移项操作；（4）化简不等式，解得不等式的解集。

2.举例说明一元一次不等式的解题方法：解不等式：2x+3 < 5x-2解：（1）将不等式化为一元一次不等式：2x - 5x + 3 + 2 < 0 （2）合并同类项，消去括号：-3x + 5 < 0（3）进行移项操作：-3x < -5 + 3（4）化简不等式，解得不等式的解集：x > 2/3三、一元二次不等式题型及解题方法1.解一元二次不等式的基本步骤：（1）将不等式化为一元二次不等式；（2）将不等式化为标准形式；（3）确定不等式的开口方向和位置；（4）求出不等式的解集。

解不等式：x^2 - 4x + 3 > 0解：（1）将不等式化为一元二次不等式：x^2 - 4x + 3 > 0（2）将不等式化为标准形式：(x-1)(x-3) > 0（3）确定不等式的开口方向和位置：不等式开口向上，开口在1和3的位置；（4）求出不等式的解集：x<1或x>3四、多项式不等式题型及解题方法1.解多项式不等式的基本步骤：（1）将多项式不等式化为标准形式；（2）确定多项式的零点和不等式的区间；（3）确定区间内的符号变化；（4）求出不等式的解集。

第4讲 不等式的解法一、简单一元高次不等式解法（解一元高次不等式，一般采取数轴标根法） 其步骤如下：（1）将f(x)的最高次项的系数化为正数；（2）将f(x)分解为若干个一次因式的积；（3）将每一个根顺次表在数轴上，再从右到左依次标出区间；（4）f(x)>0时取奇数区间；f(x)<0时取偶数区间.例1、解不等式（1）2 >0； （2）（x+4） <0.解析：（1）原式=x （2 -x-15）>0⟹x （x-3）（2x+5）>0，得不等式的解集为奇数区间，即{x ∣- <x <0或x >3}.（2）学生自行解决.答案：{x ∣x <-5或-5<x <-4或x >2}.二、分式不等式的解法例2、解不等式： > . 解析：原式变为 >0，通分 （ ） （ ）>0， ⟹ （ ）（ ）>0⟹ >0⟹ 或0<x<1. 练习：1、解下列不等式（1）2 ； （2）-4 ；（3）（x-2）( ；（4）（x-3）(x+2) (x-4)>0.2、解不等式：<0. 三、无理不等式解法 （1） g(x)⇔ 或 ；-5/203（2）g(x)⇔ ；（3）f(x)>g(x)0.例3、若不等式+的解集为（4，b），求a、b的值.解析：设=u，则原不等式为u>a+，即a-u+<0，∵不等式的解集为（4，b），∴方程a-u+=0的两个根分别为2，，由韦达定理得解得.练习：解不等式（1）<x-1；（2）>x+3.解析：（1）<x-1，⟹x∈(2，3]；①等价转化法：⟹或②换元法：设t=（t0）x=3-，即t<3--1， ⟹（t-1）(t+2)<0，-2<t<1，故0t<1,0<1⟹2<x3.③求补集法：x-1⟹ 或⟹x2或x>3，故原不等式解集为(2，3].<即x∈（2，3].（2）>x+3，解析:用①②③④种方法由学生完成.答案：（-∞，-）.四、指数、对数不等式的解法例4、解关于x的不等式lg(2ax)-lg(a+x)<1.解析：⟹a>0，x>0⟹ lg(2ax)<lg(10a+10x)⟹2ax<10a+10x，即（a-5）x<5a.当0<a<5时，a-5<0，x>0当a=5时，不等式0x<25，得x>0；当a>5时，a-5>0，解得0<x<.五、含绝对值不等式的解法例5、解不等式：∣∣x+1∣+∣x-1∣∣<+1.解析：+1>0恒成立，x>-2.①当x1时，原不等式可以变形为2x<+1，，无解；②当-1x<1时，∣∣x+1∣+∣x-1∣∣=2，则原不等式可变形为无解；③当-2<x<-1时，原不等式可以变形为，无解.综合①②③可知，原不等式无解.六、含参不等式的解法例4、试求不等式>-1对一切实数x恒成立的θ取值范围.解析：∵>0，故原不等式变为（θθ）θθθθ>0，令θθ=t，则t∈[-，]，不等式变为（t+1）-(t-4)x+t+4>0对x∈R恒成立，由二次函数可知，∴t>0或t<(舍)，故0<θθ ，即2k-<θ2k+（k∈Z）.练习：1、解不等式（1）2ax>5-x(a∈R)；（2）mx>k-nx （m、n、k∈R）解析：（1）（2a+1）x>5，（2）（m+n）x>ka>-时，x>；m+n>0，x>；a<- 时，x<；m+n<0，x<；a=- 时，x∈∅. m+n=0，，∈，∈∅.2、解不等式>1.解析：原不等式变为>0⟹[(a-1)x-(a-2)]（x-2）>0，⟹（a-1）[x-](x-2)>0，当a>1时，[x-](x-2)>0⟹（-∞，）∪（2，+∞）；当a<1时，[x-](x-2)<0，∵2-=，①当0<a<1时，解是（2，）②当a=0时，解为空集，即x∈∅；③a<0时，解为（，2）.课外练习：一、选择题1、若0<a<1，则不等式（a-x）(x- )>0的解集为（）A 、{x∣a<x<}；B、{x∣<x<a}；C、{x∣x>或x<a}；D、{x∣x<或x>a}.2、不等式∣x+1∣(2x-1)0的解集为（）A、{x∣x=-1或x}；B、{x∣x-1或x}；C、{x∣x}；D、{x∣-1x}.3、若a>1且0<b<1，则不等式的解集为（）A、x>3；B、x<4；C、3<x<4；D、x>4.4、不等式2的解集是（）A、[-3，]；B、[- ,3]；C、[,1）∪（1,3]；D、[- ,1）∪（1,3].5、已知∣a-c∣<∣b∣，则（）A、a<b+c；B、a>c-b；C、∣a∣>∣b∣-∣c∣；D、∣a∣<∣b∣+∣c∣.6、设f(x)，，则不等式f(x)>2的解集为（）A、（1,2）∪（3，+∞）；B、（，+∞）；C、（1,2）∪（，+∞）；D、（1,2）.二、填空题7、不等式-∣x∣<0的解集是 .8、不等式的解集是.9、定义符号函数sgn x=，当x∈R时，则不等式x+2>的解集为.三、解答题10、解不等式（∣3x-1∣-1）（.11、已知函数f(x)=，当a>0时，解关于x的不等式f(x)<0.12、设有关于x的不等式lg（∣x+3∣+∣x-7∣）>a.（1）当a=1时，解此不等式；（2）求当a为何值时，此不等式的解集为R.。

高一数学不等式知识点总结及例题一、不等式知识点总结。

（一）不等式的基本性质。

1. 对称性：如果a > b，那么b < a；如果b < a，那么a > b。

2. 传递性：如果a > b，b > c，那么a > c。

3. 加法单调性：如果a > b，那么a + c>b + c。

- 推论1：移项法则，如果a + b>c，那么a>c - b。

- 推论2：同向不等式可加性，如果a > b，c > d，那么a + c>b + d。

4. 乘法单调性：如果a > b，c>0，那么ac > bc；如果a > b，c < 0，那么ac < bc。

- 推论1：同向正数不等式可乘性，如果a > b>0，c > d>0，那么ac > bd。

- 推论2：乘方法则，如果a > b>0，那么a^n>b^n(n∈ N,n≥slant1)。

- 推论3：开方法则，如果a > b>0，那么sqrt[n]{a}>sqrt[n]{b}(n∈N,n≥slant2)。

（二）一元二次不等式及其解法。

1. 一元二次不等式的一般形式。

- ax^2+bx + c>0(a≠0)或ax^2+bx + c < 0(a≠0)。

2. 一元二次函数y = ax^2+bx + c(a≠0)的图象与一元二次不等式的解集关系。

- 当a>0时，Δ=b^2-4ac：- 若Δ>0，方程ax^2+bx + c = 0有两个不同的实根x_1,x_2(x_1，则不等式ax^2+bx + c>0的解集为{xx < x_1或x>x_2}，不等式ax^2+bx + c < 0的解集为{xx_1。

- 若Δ = 0，方程ax^2+bx + c = 0有两个相同的实根x_0=-(b)/(2a)，则不等式ax^2+bx + c>0的解集为{xx≠-(b)/(2a)}，不等式ax^2+bx + c < 0的解集为varnothing。

典型例题一例1 假如10<<x ，证明)1(log )1(log x x a a +>-〔0>a 且1≠a 〕．分析1 用作差法来证明．需分为1>a 和10<<a 两种情况，去掉绝对值符号，然后比拟法证明．解法1 〔1〕当1>a 时，因为 11,110>+<-<x x ， 所以 )1(log )1(log x x a a +--)1(log )1(log x x a a +---=0)1(log 2>--=x a ．〔2〕当10<<a 时， 因为 11,110>+<-<x x 所以 )1(log )1(log x x a a +--)1(log )1(log x x a a ++-=0)1(log 2>-=x a ．综合〔1〕〔2〕知)1(log )1(log x x a a +>-．分析2 直接作差，然后用对数的性质来去绝对值符号． 解法2 作差比拟法．因为 )1(log )1(log x x a a +--a x a x lg )1lg(lg )1lg(+--=[])1lg()1lg(lg 1x x a+--=[])1lg()1lg(lg 1x x a+---=0)1lg(lg 12>--=x a， 所以)1(log )1(log x x a a +>-．说明：解法一用分类相当于增设了条件，便于在变形中脱去绝对值符号；解法二用对数性质〔换底公式〕也能达到同样的目的，且不必分而治之，其解法自然简捷、明快．典型例题二例2 设0>>b a ，求证：.abba b a b a >分析：发现作差后变形、判断符号较为困难．考虑到两边都是正数，可以作商，判断比值与1的大小关系，从而证明不等式．证明：b a a b ba ab b a b a b aba b a ---=⋅=)( ∵0>>b a ，∴.0,1>->b a ba∴1)(>-b a b a . ∴a b ba ba b a .1> 又∵0>abb a ， ∴.abba b a b a >.说明：此题考查不等式的证明方法——比拟法(作商比拟法).作商比拟法证明不等式的步骤是：判断符号、作商、变形、判断与1的大小.典型例题三例3 对于任意实数a 、b ，求证444()22a b a b ++≥〔当且仅当a b =时取等号〕 分析 这个题假如使用比拟法来证明，将会很麻烦，因为，所要证明的不等式中有4()2a b +，展开后很复杂。

方法技巧专题30不等式的解法与基本不等式不等式是数学中常见的一类问题，解决不等式问题需要掌握一些方法和技巧。

本文将介绍不等式的解法以及基本不等式。

一、不等式的解法1.同加同减法：对于不等式a<b，可以在两边同时加上（或减去）同一个数得到新的不等式，即：a+c<b+ca-c<b-c2.同乘同除法：对于不等式a<b，可以在两边同时乘上（或除以）同一个正数得到新的不等式，即：a*c<b*c，c>0a/c<b/c，c>0需要注意的是，当同乘或同除的数为负数时，不等号的方向需要颠倒，即：a*c>b*c，c<0a/c>b/c，c<03.倒置不等号：对于不等式a<b，如果两边同时乘以-1，不等号的方向需要颠倒，即：-a>-b4.分类讨论：对于一些复杂的不等式，可以通过分类讨论的方法进行求解。

根据不等式中出现的变量或系数的范围，将不等式分为几个情况进行讨论，然后逐一解决。

5.代换法：对于一些复杂的不等式，可以通过代换一些变量来简化问题。

选择合适的代换变量，使得不等式中的形式更加简单，从而更容易求解。

二、基本不等式基本不等式是不等式求解中常用且重要的技巧，掌握了基本不等式可以更方便地求解复杂的不等式问题。

以下是几个常用的基本不等式：1.平均值不等式：对于任意一组非负实数a1, a2, ..., an，平均值不等式成立：(a1 + a2 + ... + an) / n ≥ √(a1 * a2 * ... * an)即算术平均数大于等于几何平均数。

2.均值不等式：对于任意一组非负实数a1, a2, ..., an，有下列不等式成立：(a1 + a2 + ... + an) / n ≥ (√a1 + √a2 + ... + √an) / √n 即算术平均数大于等于几何平均数。

3.柯西-施瓦茨不等式：对于任意一组实数a1, a2, ..., an和b1, b2, ..., bn，有下列不等式成立：(a1 * b1 + a2 * b2 + ... + an * bn)^2 ≤ (a1^2 + a2^2 + ... + an^2) * (b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)即两组数的乘积之和的平方不超过各自平方和的乘积之和。

高一数学不等式经典例题与解析
对于即将升入高中的同学来说，高中数学是一个让人比较头疼的科
目，下面是小编为大家整理的高一数学不等式经典例题与解析，希望能对大
家有所帮助。

 高一数学不等式经典例题与解析 例1 解下列不等式(1)(x-1)(3-x);3(x2+2)分
析将不等式适当化简变为ax2+bx+c>;0(;4}解关于x的不等式(x-2)(ax-2)>;0.
分析不等式的解及其结构与a相关，所以必须分类讨论.解1° 当a=0时，
原不等式化为x-2;0，其解集是{x|x≠2};从而可以写出不等式的解集为：a=0
时，{x|x 例2 若不等式ax2+bx+c>;0的解集为{x|α分析
 由一元二次函数、方程、不等式之间关系，一元二次不等式的解集实质上
是用根来构造的，这就使“解集”通过“根”实现了与“系数”之间的联系.考虑使
用韦达定理：解法一由解集的特点可知a;0，c;0解为α说明：要在一题多解
中锻炼自己的发散思维.分析将一边化为零后，对参数进行讨论.进一步化为
(ax+1-a)(x-1);0时，不等式化为(2)a=0时，不等式化为x-1 例3 绝对值大
于2且不大于5的最小整数是[ ]A.3 B2C.-2 D5分析列出不等式.解根据题意得2 例5 实数a，b满足ab;|a-
b|C.|a+b|;0，原不等式的解集为{x|a-b答选D.说明：本题实际上是利用端点
的位置关系构造新不等式组.以上是小编整理的《高一数学不等式经典例题与
解析》，了解更多关于高中数学的最新资讯，请随时关注!。