第14课时§6.4不等式的解法举例(3)

教学内容：6.4 不等式的解法【基础知识精讲】我们已学过的一元一次不等式、一元二次不等式的解法是学习本节的基础.在解其它类型的不等式时 ：通过转化 ：将它们等价变形为一次、二次不等式(组).转化思想为：如果不等式是超越不等式 ：则把它等价变形为代数不等式 ：如果代数不等式是无理不等式 ：则把它等价变形为有理不等式 ：如果有理不等式是分式不等式 ：则把它等价变形为整式不等式 ：如果整式不等式是高次不等式 ：则把它等价变形为一次、二次不等式(组).注意：每一步变形 ：都应是不等式的等价变形.①一元一次不等式的解法一元一次不等式ax>b 的解集情况是：1°当a>0时 ：解集为｛x ｜x>a b ｝ 2°当a<0时 ：解集为｛x ｜x<ab｝3°当a ＝0时 ： b ≥0时 ：解集为φb<0时 ：解集为R.②一元二次不等式的解法： 设a>0 ：x 1 ：x 2是方程. 2类型 解集 ax+bx+c>0 ax 2+bx+c ≥0 ax 2+bx+c<0 ax 2+bx+c ≤0 Δ>0 ｛x ｜x<x 1或x>x 2｝ ｛x|x ≤x 1或x ≥x 2｝ ｛x ｜x 1<x<x 2｝ ｛x ｜x 1≤x ≤x 2｝Δ＝0 ｛x ｜x ≠-ab2 ： x ∈R ｝ R φ｛x ｜x ＝-ab 2｝ Δ<0RRφ φ注：当a<0时 ：可在不等式两边乘-1转化为二次项系数为正的情况 ：再按上表进行. ③高次不等式的解法：高次不等式用根轴法求解 ：其步骤是： 1°将f(x)的最高次项的系数化为正数. 2°将f(x)分解为若干个一次因式的积.3°将每一个一次因式的根标在数轴上 ：从右上方依次穿过每一个根点画曲线.4°根据曲线显现出f(x)的符号变化规律 ：写出不等式的解集. ④分式不等式的解法： 先将不等式整理成)()(x g x f >0或)()(x g x f ≥0的形式 ：再转化为整式不等式求解. 即)()(x g x f >0⇔f(x)·g(x)>0)()(x g x f ≥0⇔⎩⎨⎧≠≥•0)(0)()(x g x g x f ⑤无理不等式的解法：转化为有理不等式求解.)(x f >g(x) ⇔⎩⎨⎧≥≥2)]x (g [)x (f 0)x (g 或⎩⎨⎧≥<0)x (f 0)x (g)(x f <g(x) ⇔⎪⎩⎪⎨⎧<≥≥2)]([)(0)(0)(x g x f x f x g)(x f >)(x g ⇔⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥)x (g )x (f 0)x (f 0)x (g ⇔f(x)>g(x)≥0⑥指数不等式的解法. 1°同底法 af(x)>ag(x)⇔⎩⎨⎧>><<<)()(1)()(10x g x f a x g x f a 2°取对数法 af(x)>bg(x)⇔⎪⎩⎪⎨⎧<<<>>bab ax g x f a x g x f a log )()(10log )()(1 3°换元法⑦对数不等式的解法.1°同底法⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧>>>⎩⎨⎧><<<⇔>0)()()(10)()()(10log log )()(x g x g x f a x f x g x f a x g ax f a 2°换元法(1)解各种变型的不等式 ：关键要把它们变形为一次、二次不等式(组).(2)求函数的定义域、值域、二次方程的根的分布、讨论参变量的取值范围等均可化为解不等式的问题.通过本节学习 ：培养学生的运算能力 ：使学生理解掌握等价转化的致学思想方法. 【重点难点解析】知识的学习应遵循人类的认识规律和知识本身的渐近性、逻辑性.因此 ：建议同学们在学习本节时 ：应复习初中的一元一次不等式、一元二次不等式的解法 ：在此基础上 ：继续学习高次不等式、分式不等式、无理不等式、指数不等式及对数不等式的解法.例1 解关于x 的不等式：2)1(--x x a >1 (a ≠1)分析 这是一个分式不等式 ：应先移项 ：再通分进行因式分解变形.切忌两边同乘以(x-2)而转化为整式不等式 ：因为(x-2)的正负未知.另外 ：注意对参数a 的正确的分类讨论.解：原不等式等价于2)2()1(----x x x a >0即为 2)2()1(----x a x a >0⇔ ［(a-1)x-(a-2)］(x-2)>0⇔ (a-1)(x-12--a a )(x-2)>0 ① 当a>1时 ：式①⇔ (x-12--a a )(x-2)>0 ∵ 12--a a -2＝-11-a -1<0∴1a 2a --<2. ∴ 原不等式的解集为(-∞ ：12--a a )∪(2 ：+∞). 当a<1时 ：式①⇔(x-12--a a )(x-2)<0 由 2-12--a a ＝1-a a知 当0<a<1时 ：1a 2a -->2 ：则原不等式解集为(2 ：12--a a )当a ＝0时 ：原不等式(x-2)2<0 ：解集为φ.当a<0时 ：12--a a <2 ：则原不等式解集为(12--a a ：2). 综上所述：当a<0时 ：原不等式解集为(12--a a ：2) 当a ＝0时 ：原不等式解集为φ.当0<a<1时 ：原不等式解集为(2 ：12--a a ) 当a>1时 ：原不等式解集为(-∞ ：12--a a )∪(2 ：+∞)点评：本题需要两级分类 ：第一级按a>1和a<1分为两级 ：多数学生都能做到 ：在a<1的情况下 ：又要按两根12--a a 与2的大小关系分为a<0 ：a ＝0和0<a<1三类 ：这时就有不少学生找不到分类的依据 ：甚至缺乏分类讨论的意识.例2 解不等式222322x x x x -+-+<x分析 此题是分式不等式 ：可按分式不等式的解法求解.即需先移项通分 ：整理成)()(x g x f 0的形式 ：再转化为它们的整式不等式求解.解：移项整理 ：将原不等式转化为：)1)(3()1)(2(2+-++-x x x x x >0∵ x 2+x+1>0恒成立. ∴ 原不等式等价于)1)(3(2+--x x x >0解之 ：得原不等式解集为｛x ｜-1<x<2或x>3｝.注：此题也可用列表法或数轴标根法求解 ：但用根轴法更简捷. 例3 解不等式log 2)12(-x·log 21)22(1-+x >-2.分析 此题为对数不等式 ：(可通过换元) ：由log 21)22(1-+x ＝21log)]12(2[1x -+＝-1-log 2)12(-x：所以可通过换元令t ＝log 2)12(-x：则可转化为代数不等式求解.解：原不等式可化为： log 2)12(-x·［-1-log 2)12(-x］>-2令log 2)12(-x＝t ：则上面不等式可化为：2+t-2<0即 (t+2)(t-1)<0 ∴ -2<t<1 从而有 -2<log 2)12(-x<1则 2-2<2x-1<2即45<2x<3 ∴ log 245<x<log 23∴ log 25-2<x<log 23∴ 原不等式解集为｛x ｜log 25-2<x<log 23｝ 【难题巧解点拨】例1 关于x 的二次方程x 2+(m-1)x+1＝0在区间［0 ：2］上有解 ：求实数m 的取值范围.分析 此题为含参的一元二次方程解的情况 ：可由二次方程的实根分布来解.则可设f(x)＝x 2+(m-1)x+1 题意即为f(x)＝0在［0 ：2］上有解 ：其中包括两种情况：1°有一解 ：2°有两解.解：设f(x)＝x 2+(m-1)x+1 x ∈［0 ：2］ ：则： (1)f(x)＝0在区间［0 ：2］上有一解： 因为f(0)＝1>0 所以只需f(2)≤0 即 4+2(m-1)+1≤0⇒m ≤-23 (2)f(x)＝0在区间［0 ：2］上有二解.则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≤≤-⇒≤-≤≥0)2(12322100f m m △综上由(1)(2)可知：m ≤-1.例2 若关于x 的方程4x +a ·2x+a+1＝0有实数解 ：求实数a 的取值范围?解法一：令t ＝2x (t>0) ：则原方程化为t 2+at+a+1＝0(1)则问题转化为方程(1)在(0 ：+∞)上有实数解 ：求a 的取值范围.由⎩⎨⎧≥0)1(0的较大根大于方程△ 即⎪⎩⎪⎨⎧>+-≥+-020)1(42△a a a解得：a ≤2-22解法二：令t ＝2x(t>0) ：则原方程化为t 2+at+a+1＝0 ：变形为：a ＝-tt ++112＝-12)1(2++-t t＝-［(t-1)+12+t ］ ＝-［(t+1)+ 12+t -2］≤-(22-2)＝2-22例3 已知f(x)是定义在区间(-∞ ：4)上的减函数 ：是否存在实数m ：使得f(m-sinx)≤f(m 21+-47+cos 2x)对定义域内的一切实数x 均成立.若存在 ：求出m 的取值范围 ：若不存在 ：说明理由.解：假设存在实数m ：依题意得⎪⎩⎪⎨⎧--≥++-≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧+≥++-≤-22)21(sin 21214sin sin cos 47214sin x m m x m x x m m x m ∵sinx 的最小值为-1 ：且-(sinx-21)2的最大值为0 ：要满足题意 ：则须有： ⎪⎩⎪⎨⎧-=≥≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥++--≤-212330212114m m m m m m 或∴m 的取值范围是｛m ｜m ＝21或23≤x ≤3｝【命题趋势分析】平时要求：1.按解各类不等式的解法来求解不等式. 2.含参的不等式问题 ：能对参数进行正确的分类讨论.3.应用不等式可求函数的定义域、值域、讨论函数的单调区间、讨论函数的一元二次方程根的存在和根的分布.【典型热点考题】例1 实数m 在什么范围时方程x 2+(m-3)x+m ＝0的两根满足：(1)都是正根 ：(2)都在(0 ：2)内.解：(1)依题意 ：满足⎪⎩⎪⎨⎧>>-≥--=00304)3(2m m m m △时 ：即m ∈(0 ：1)时两根均为正.(2)设f(x)＝x 2+(m-3)x+m ：则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>><<-≤≥⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>><-<≥32031190)2(0)0(22300m m m m m f f m 或△⇒32<m ≤1 ：即m ∈(32：1)时 ：两根都在(0 ：2)内.例2 关于实数x 的不等式｜x-21(a+1)2｜≤21(a-1)2与x 2-3(a+1)x+2(3a+1)≤0 (a∈R)的解集分别为A 和B ：求使A ⊆B 的a 的取值范围.解：由｜x-21(a+1)2｜≤21(a+1)2得2a ≤x ≤a 2+1 ：∴A ＝｛x ｜2a ≤x ≤a 2+1 ：a ∈R ｝. 由x 2-3(a+1)x+2(3a+1)≤0 ：可得(x-2)［x-(3a+1)］≤0 ：当3a+1≥2即a ≥31时 ：B ＝｛x ｜2≤x ≤3a+1 a ∈R ｝ ： 当3a+1<2即a<31时 ：B ＝｛x ｜3a+1≤x ≤2 a ∈R ｝ ： ∴当a ≥31时 ：若A ⊆B ：则有⎩⎨⎧+≤+≤131222a a a ：解不等式组得1≤a ≤3.当a<31时 ：若A ⊆B ：则有⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤≤+211221322a a a a a ：解不等式组得：a ＝-1 ：故使A ⊆B 的a 的取值范围是｛a ｜1≤a ≤3或a ＝-1｝. 例3 设y ＝]1)(2[2122log +-+x x x b ab a (a>0 ：b>0) ：求使y 为负值的x 的取值范围.解：要y<0 ：只要a 2x +2(ab)x -b 2x >0 ：即b 2x［(b a )2x +2·(ba )x-1］>0 ： ∵b 2x>0 ：∴［(b a )x ］2+2(b a )x-1>0. 解这个关于(b a )x 的二次不等式得：(b a )x >2-1或(b a )x <-2-1 ：但(b a )x>0 ：∴只有(ba )x>2-1 ：∴当a ＝b>0时 ：x ∈R. 当a>b>0时 ：b a >1 ：两边取以b a 为底的对数 ：得x>)12(log -b a .当0<a<b 时 ：0<b a <1 ：两边取以b a 为底的对数 ：得x<)12(log -ba ：因此x 的取值范围是：当a ＝b>0时 ：x ∈R.当a>b>0时 ：x ∈()12(log -ba：+∞).当0<a<b 时 ：x ∈(-∞ ：)12(log -ba).【同步达纲练习】A一、选择题x 1<2与x1>-3则x 的取值范围是( ) A. -31<x<21 B .x>21C. x<-31 D. 0<x<21 2.函数y ＝)23(31log x -的定义域为( )A.｛x ｜x ≥-3｝B.｛x ｜-3≤x ≤23｝ C.｛x ｜1≤x ＜23D.｛x ｜x ≥-1｝ xx --45≥0同解的不等式是( ) A.(x-5)(4-x)≥0 (x-4)≤0C.xx --45≥0 (x-5)≥0 4.设0<a<1 ：给出下面四个不等式： ①)1(2log +a a <)1(3log +a a②2a a >(2a )a③(2a )a >a a ④a a >2a a 其中不成立的有( ) 2-2(m+2)x+(m+5)＝0有两个不同的正根 ：则m 的取值范围是( ) A.m<4 B.0<m<4C.m<-5或0<m<4D.m<-2或0<m<4 二、填空题21x -≥x 的解集为 .7.不等式(31)82-x >3-2x的解集为 . )22(2++x x <1的解集为 .三、解答题49)1(220822+++++-m x m mx x x <0的解集为R ：求实数m 的取值范围.)1(xx -<0AA 级一、选择题1.已知I ＝R ：集合M ＝｛x ｜20012000--x x ≤0 ：x ∈R ｝ ：N ＝｛x ｜(x-2000)(x-2001)≥0 ：x ∈R ｝ ：P ＝｛x ｜10(x-2000)(x-2001)≥1 ：x ∈R ｝ ：则( )A.M ∩N ＝P ∪P ＝N∩N ∪P ＝M ∪N ∪P ＝R 2-4x+3<0① x 2-6x+8<0② 2x 2-9x+m<0③ ：要使同时满足①②的x 也满足③ ：则有( )A.m>9B.m ＝9C.m ≤9D.0<m ≤93.若函数f(x)＝)2(212log ++kx x 的值域为(-∞ ：+∞) ：则实数k 的取值范围是( )A.(-22 ：22)B.［-22 ：22］C.(-∞ ：-22)∪(22 ：+∞)D.(-∞ ：-22)∪［22 ：+∞］4.关于x 的不等式(k 2-2k+25)x <(k 2-2k+25)1-x的解集为( ) A.｛x ｜x<21｝ B.｛x ｜x>21｝C.｛x ｜x>2｝D.｛x ｜x<2｝2+bx+c>0的解集为｛x ｜x<-2或x>4｝ ：那么对于函数f(x)＝ax 2+bx+c 会有( ) A.f(5)<f(2)<f(-1) B.f(2)<f(5)<f(-1) C.f(-1)<f(2)<f(5) D.f(2)<f(-1)<f(5) 二、填空题⎪⎩⎪⎨⎧>≤-0492x x 的解集是 . 2+bx+2>0的解集为(-21 ：31) ：则a+b 的值是 .x(x+2)-8·32x>0的解集为 .三、解答题9.已知A ＝｛x ｜5-x ≥21-x ｝B ＝｛x ｜x 2-ax ≤x-a ｝ ：当A ⊂B 时 ：求a 的取值范围. 2+(p-1)x+p+1＝0有两个不等的正根 ：且其中一根大于另一根的两倍 ：求p 的取值范围.【素质优化训练】 一、选择题a x +≥x 的解集在数轴上构成长度为2a 的区间 ：则a 的值等于( )A.1B.2C.32.设命题P:关于x 的不等式a 1x 2+b 1x+c 1>0与a 2x 2+b 2x+c 2>0的解集相同 ：命题Q ：21a a ＝21b b ＝21c c：则命题Q 是命题P 的( )1<x 2…<x n：n ∈N 且n ≥2.｛x ｜(x-x 1)(x-x 2)…(x-x n )>0｝⊃｛x ｜x 2-(x 1+x n )x+x 1x n >0｝ ：则n( )∈(31 ：3)上恒有｜log a x｜<1成立 ：则实数a 的取值范围是( ) ≥3 B.0<a ≤31≥3或0<a ≤31 ≥3或0<a<315.已知f(x)、g(x)都是奇函数 ：f(x)>0的解集为(a 2-b) ：g(x)>0的解集为(22a ：b) ：则f(x)·g(x)>0的解集为( )A.(22a ：2b ) B.(-b ：-a 2)C.(a 2： 2b )∪(-2b ：-a 2) D.(22a ：b)∪(-b 2 ：-a 2)二、填空题⎩⎨⎧>+->01a x ax 的解集不是空集 ：则实数a 的取值范围是 . 7.设函数f(x)＝122++x bax ：x ∈(-∞ ：+∞)的最大值为4 ：最小值为-1 ：则a 、b 的值为 .8.已知函数f(x)＝ax+2a+1的值在-1≤x ≤1时有正有负 ：则a 的取值范围为 .三、解答题9.已知F(x)＝f(x)-g(x) ：其中f(x)＝log a (x-b)：当且仅当点(x 0 ：y 0)在f(x)的图像上时 ：点(2x 0 ：2y 0)在y ＝g(x)的图像上.(b>0 ：a>0且a ≠1)(1)求y ＝g(x)的解析式. (2)当F(x)≥0时 ：求x 的范围.10.汽车在行驶过程中 ：由于惯性作用 ：刹车时还要继续向滑行一段距离才能停住 ：称这段距离为刹车距离 ：刹车距离是分析事故的一个重要因素 ：在一个限速为40千米/小时以内的弯道上 ：甲、乙两辆汽车相向而行 ：发现情况不对时 ：同时刹车 ：但还是相撞了.事故后 ：现场测得甲车的刹车距离是略超过12米 ：乙车的距离略超过10米 ：又已知甲、乙两种车型刹车距离s 米与车速x 千米/小时之间有如下关系：S 甲2 ：S 乙2：问超速应负责任的是谁?答案：A 级6.｛x ｜x ≤22｝ 7.｛x ｜-2<x<4｝ 8.｛x ｜-4<x<2｝ 9.解：∵x 2-8x+20＝(x-4)2+4>0恒成立 ：∴原不等式等价于mx 2+2(m+1)x+9m+4<0恒成立 ：则只须⎩⎨⎧<<00△m 即⎩⎨⎧<+-+<<0)49(4)1(402m m m m △ ：于是可得m ∈(-∞ ：- 21). 10.解：由对数函数的性质和定义知：0<x-x 1<1 ：即0<x x 12-<1 ：则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->-110122xx xx 即⎪⎩⎪⎨⎧<-->-0)1(0)1(22x x x x x ：当x>0时 ：有⎪⎩⎪⎨⎧<-->->0101022x x x x ：∴解集为｛x ｜1<x<251+｝ ：当x<0时 ：有⎪⎩⎪⎨⎧>--<-<0101022x x x x ：∴解集为｛x ｜-1<x<251-｝ ：∴原不等式解集为｛x ｜-1<x<251-｝∪｛x ｜1<x<251+｝. AA 级6.［3 ：5］7.-148.｛x ｜x>23或x<-1｝ 9.解：A ＝｛x ｜1≤x ≤3｝ ：B ＝｛x ｜(x-a)(x-1)≤0｝ ：要使A ⊂B ：则只需a>3即可 ：故a 的取值范围为a>3.10.解：方程有两不等正根的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧>>+>0002121x x x x △ ：即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+>->+--=01010)1(4)1(2p p p p p p p △解得：0<p<332-1 ：证x 1＝p p p p 216312+---- ：x 2＝pp p p 216312+--+- ：由x 2>2x 1并注意p>0得：31632+--p p >1-p>0 ：∴28p 2+52p-8<0 ：即7p 2+13p-2<0 ：∴-2<p<71 ：综上得p 的取值范围为｛P ｜0<p<71｝. 【素质优化训练】6.a>-17. ⎩⎨⎧==32b a 或⎩⎨⎧=-=32b a 8.-1<a<-319.解：(1)易知y 0＝log a )(0b x - ：令2x 0＝u ：2y 0＝v ：则x 0＝2u ：y 0＝2v代入得v ＝2log a )2(b u - ：又因为点(u 、v)在y ＝g(x)图象上 ：∴y ＝g(x)＝2log a)2(b x -. (2)F(x)＝f(x)-g(x)＝log a )(b x --2log a)2(b x - ：由F(x)≥0得log a)(b x --2log a)2(b x -≥0① ：当a>1时 ：不等式①等价于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->--≥-020)2(2b xb x b x b x ⇒⎩⎨⎧>≤+++-b x b b x b x 2044)44(22⇒⎩⎨⎧>+++≤≤+-+bx b b x b b 244224422⇒2b<x ≤2b+2+21+b .当0<a<1时 ：不等式①等价于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->--≤-020)2(2b xb x b x b x ⇒x ≥2b+2+21+b ：∴当a>1 ：2b<x ≤2b+2+21+b 时F(x)≥0 ：当0<a<1 ：x ≥2b+2+21+b 时 ：F(x)≥0.10.解：依题意⎪⎩⎪⎨⎧>+>+10005.005.01201.01.022乙乙甲甲x x x x ②① 由①解得x 甲<-40或x 甲>30 ：由②解得x 乙<-50或x 乙>40 ：∴乙车超速 ：应负事故的主要责任.。

不等式的解法不等式是数学中的一种基本关系符号，用于表示两个数的大小关系。

解不等式就是找到使不等式成立的数值范围，即满足不等式条件的数值。

在解不等式时，我们需要注意不等式的不同类型，包括一元一次不等式、一元二次不等式、绝对值不等式等。

下面将分别介绍这些类型不等式的解法。

一元一次不等式的解法：一元一次不等式的一般形式为：ax + b > c，其中a、b、c为已知常数，x为未知数。

我们可以按照以下步骤来解一元一次不等式：1. 将不等式转化为等价的形式，即去掉不等号，得到ax + b = c。

2. 根据已知条件和不等式的类型，确定不等号方向。

3. 利用正、负数的性质，将不等式中的未知数系数与常数项分离，得到x > c/a的形式。

4. 根据解集的要求，确定解的范围，即x的取值范围。

一元二次不等式的解法：一元二次不等式的一般形式为：ax^2 + bx + c > 0，其中a、b、c为已知常数，x为未知数。

解一元二次不等式的一种常用方法是利用因式分解和区间判断法，具体步骤如下：1. 将不等式转化为等价的形式，即ax^2 + bx + c = 0。

2. 根据已知条件和不等式的类型，确定不等号方向。

3. 利用因式分解将二次项拆解，得到(x + m)(x + n) > 0的形式。

4. 根据区间判断法，确定(x + m)(x + n)的符号性质，并绘制出二次函数的图像。

5. 根据二次函数图像和解集的要求，确定不等式的解集。

绝对值不等式的解法：绝对值不等式的一般形式为：|ax + b| > c，其中a、b、c为已知常数，x为未知数。

解绝对值不等式的一种常用方法是利用绝对值的性质和分情况讨论，具体步骤如下：1. 将不等式转化为等价的形式，即ax + b > c或ax + b < -c。

2. 将不等式分为两种情况讨论：- 当ax + b > c时，得到ax + b - c > 0的形式，利用绝对值的非负性质得到ax + b - c = ax + b - c > 0，即ax + b - c = ax + b > c。

不等式的解法不等式是数学中常见的一种表示数值关系的方法。

解不等式就是找出使不等式成立的数值范围。

在解不等式时，可以通过几种常见的方法来确定解集。

一、图像法图像法适用于简单的一元一次不等式。

通过将不等式转化为直线的形式，并在数轴上画出对应的线段，可以直观地找到满足不等式的数值范围。

例如，对于不等式x + 3 > 2，我们可以将其转化为x > -1的形式。

在数轴上，我们可以画出一个开口向右的箭头，箭头的起点为-1，表示解集为大于-1的所有实数。

二、代入法代入法是一种常见的解不等式的方法，特别适用于含有绝对值的不等式。

通过将可能的解代入到不等式中，验证是否满足不等式的关系，可以逐步缩小解集。

例如，对于不等式|2x - 3| < 5，我们可以先将其拆分成两个不等式：2x - 3 < 5和2x - 3 > -5。

然后分别解这两个不等式，可以得到解集为-1 < x < 4。

三、性质法性质法是解不等式的一种常用方法，通过利用不等式的性质和常用不等式的性质，可以快速求解不等式。

例如，对于不等式x^2 - 4x > 3，我们可以将其转化为x^2 - 4x - 3 > 0的形式。

通过因式分解或配方法，可以求得该不等式的根为x > 3或x < 1。

然后，结合二次函数的凹凸性质，可以得到解集为x < 1或x > 3。

四、区间法区间法是一种用于求解一元二次不等式的常用方法。

通过将一元二次不等式转化为标准形式，然后结合图像法和区间划分的方法，可以求解出不等式的解集。

例如，对于不等式x^2 - 5x + 6 > 0，可以将其转化为(x - 2)(x - 3) > 0的形式。

通过将x^2 - 5x + 6 = 0的根-1, 2, 3绘制在数轴上，并观察函数的正负性，可以得到解集为-1 < x < 2或x > 3。

综上所述，解不等式的方法有很多种，包括图像法、代入法、性质法和区间法等。

不等式的解法不等式是数学中常见的一种关系式，描述了数值之间的大小关系。

它是由不等号（例如>, <, ≥, ≤, ≠）连接的两个数或表达式组成的。

解不等式就是找出满足该不等式的所有数值。

在解不等式的过程中，需要考虑不等式中的未知数、常数以及可能存在的绝对值、平方根等特殊情况。

以下是几种常见的不等式解法方法：一、加减法解不等式若不等式中的未知数带有符号，并且仅涉及到加减法运算，则可以通过移项的方式解不等式。

具体步骤如下：1. 将所有含有未知数的项放在一边，将常数放在另一边，确保未知数的系数为正数；2. 合并同类项；3. 如果未知数系数为负数，将不等号反转；4. 如果不等式两侧都含有未知数，则根据大小关系进行筛选；5. 最后化简，得到不等式的解。

举例说明：解不等式2x + 5 < 7 - x。

1. 将所有含有未知数的项放在一边，将常数放在另一边，得到2x + x < 7 - 5；2. 合并同类项，得到3x < 2；3. 未知数系数为正数，不需要改变不等号；4. 进行筛选，得到x < 2/3；5. 最后化简，得到解集{x | x < 2/3}。

二、乘除法解不等式若不等式中的未知数带有符号，并且仅涉及到乘除法运算，则可以通过乘除法的逆运算解不等式。

具体步骤如下：1. 将不等式中的未知数项移动一侧，将常数项移动到另一侧；2. 如果是乘法，则将未知数系数为正数；3. 如果是除法，则需考虑被除数符号与除数符号的关系；4. 根据大小关系进行筛选；5. 最后化简，得到不等式的解。

举例说明：解不等式3x - 4 > 2x + 1。

1. 将未知数项移动到一侧，将常数项移动到另一侧，得到3x - 2x > 1 + 4；2. 未知数系数为正数，不需要改变不等号；3. 进行筛选，得到x > 5；4. 最后化简，得到解集{x | x > 5}。

三、绝对值不等式的解法对于含有绝对值的不等式，需要分情况进行讨论。

中国地大物博资源丰富，能源也不例外，从几种广泛利用的常能源来看，储量都比较大。

从表中可以看出。

煤炭储量居世界第3位，石油局每6位，天然气导第16位，水力资源居世界第一位。

虽然我国的能源比较丰富，但其分布很不均匀。

煤炭资源有60%分布在华北，水力资源有70%分布在西南。

而经济发达、工业和人口比较集中(约占全国人口总数的37%)的南方八省一市能源却比较缺乏(煤炭占全国的2%，水力占10%)能源生产的快速增长是从建国后开始的，同建国前相比，原煤产量增长近30倍，原油增长1000多倍，水电增长100多倍天然气达到1400倍这足可以看出新中国的发展速度。

中国中国：地大物博的8月23日至9月15日，中国将承办第22届万国邮政联盟大会，在以下三期《邮联》里，我们将为您介绍中华人民共和国，它的国土、人民及整体结构。

在第一部分文章里，《邮联》聚焦于该国的地理情况和主办城市北京。

世界第三大国中国陆地面积约960万平方公里，仅次于俄罗斯和加拿大，是世界上第三大国。

海域面积约473万平方公里，陆地边界线长达2.28万公里。

在中国广阔的海域内，分布着54000个岛屿，其中最大的是台湾岛，面积约3.6万平方公里;其次是海南岛。

世界最高峰--珠穆朗玛峰“世界屋脊”中国地形复杂多样，既有高耸入云的大山，也有大小不等的盆地;既有起伏不平的高原、丘陵，也有坦荡肥沃的平原。

中国的地势自西而东逐渐下降，最高处为青藏高原，平均海拔4000米以上，被世人誉为世界屋脊。

珠穆朗玛峰，是喜马拉雅山主峰，也是世界第一高峰，海拔8848米。

它就座落在这一雪域高原之中。

中国第一大河长江，全长6300公里运河和水道中国河流众多，仅流域面积在1000平方公里以上的就有1500多条。

新疆维吾尔自治区境内的塔里木河，是中国最长的内陆河。

由于主要河流皆发源于青藏高原，落差很大，因此中国的水力资源非常丰富，蕴藏量达6.8亿千瓦，居世界第一位。

长江全长6300公里，是中国最长的河流，仅次于非洲的尼罗河和南美洲的亚马逊河，为世界第三大河。

不等式的解法数学中的不等式是我们在初中阶段学习的重要内容之一。

解不等式是解决数学问题的基本技能，也是我们日常生活中需要运用的数学知识。

在这篇文章中，我将为大家介绍几种常见的不等式解法，并通过具体的例子来说明。

一、一元一次一元一次不等式是最基础的不等式类型，它的解法与一元一次方程类似。

我们以不等式2x + 3 > 5为例进行讲解。

首先，我们将不等式中的等号去掉，得到2x + 3 = 5。

然后，我们根据方程的性质，将x的系数化为1，得到x + 3/2 = 5/2。

最后，我们将x的系数化为1后的方程进行求解，得到x = 1/2。

根据不等式的性质，我们可以知道，当x > 1/2时，不等式2x + 3 > 5成立。

因此，不等式的解集为x > 1/2。

二、一元二次一元二次不等式是稍微复杂一些的不等式类型，它的解法需要运用到二次函数的性质。

我们以不等式x^2 - 4x + 3 > 0为例进行讲解。

首先，我们将不等式中的等号去掉，得到x^2 - 4x + 3 = 0。

然后，我们求出方程的根，得到x = 1和x = 3。

接下来，我们将数轴分成三段：x < 1，1 < x < 3和x > 3。

我们可以通过代入法来判断每一段的取值范围。

当x < 1时，代入x = 0，得到0^2 - 4*0 + 3 = 3 > 0，因此不等式在这一段成立。

当1 < x < 3时，代入x = 2，得到2^2 - 4*2 + 3 = -1 < 0，因此不等式在这一段不成立。

当x > 3时，代入x = 4，得到4^2 - 4*4 + 3 = 7 > 0，因此不等式在这一段成立。

综上所述，不等式的解集为x < 1或x > 3。

三、绝对值绝对值不等式是一种常见的不等式类型，它的解法需要运用到绝对值的性质。

我们以不等式|2x - 3| < 5为例进行讲解。

高二数学课件:《不等式的解法举例》过去的一切会离你越来越远，直到淡出人们的视野，而空白却会越放越大，直至铺成一段苍白的人生。

【教学目标】（1）能熟练运用不等式的基本性质来解不等式；（2）在巩固一元一次不等式和一元一次不等式组、一元二次不等式的解法基础上，掌握分式不等式、高次不等式的解法；（3）能将较复杂的绝对值不等式转化为简单的绝对值不等式、一元二次不等式（组）来解；（4）通过解不等式，要向学生渗透转化、数形结合、换元、分类讨论等数学思想；（5）通过解各种类型的不等式，培养学生的观察、比较及概括能力，培养学生的勇于探索、敢于创新的精神，培养学生的学习兴趣.【教学建议】一、知识结构本节内容是在高一研究了一元一次不等式，一元二次不等式，简单的绝对值不等式及分式不等式的解法基础上，进一步深入研究较为复杂的绝对值不等式及分式不等式的解法.求解的基本思路是运用不等式的性质和有关定理、法则，将这些不等式等价转化为一次不等式（组）或二次不等式的求解，具体地说就是含有绝对值符号的不等式去掉绝对值符号，无理不等式有理化，分式不等式整式化，高次不等式一次化.其基本模式为：；；；二、重点、难点分析本节的重点和一个难点是不等式的等价转化.解不等式与解方程有类似之处，但其二者的区别更要加以重视.解方程所产生的增根是可以通过检验加以排除的，由于不等式的解集一般都是无限集，如果产生了增根却是无法检验加以排除的，所以解不等式的过程一定要保证同解，所涉及的变换一定是等价变换.在学生学习过程中另一个难点是不等式的求解.这个不等式其实是一个不等式组的简化形式，当为一元一次式时，可直接解这个不等式组，但当为一元二次式时，就必须将其改写成两个一元二次不等式的形式，分别求解在求交集.三、教学建议（1）在学习新课之前一定要复习旧知识，包括一元二次不等式的解法，简单的绝对值不等式的解法，简单的分式不等式的解法，不等式的性质，实数运算的符号法则等.特别是对于基础比较差的学生，这一环节不可忽视.（2）在研究不等式的解法之前，应先复习解不等式组的基本思路以及不等式的解法，然后提出如何求不等式的解集，启发学生运用换元思想将替换成，从而转化一元二次不等式组的求解.（3）在教学中一定让学生充分讨论，明确不等式组中的两个不等式的解集间的交并关系，两个不等式的解集间的交并关系. （4）建议表述解不等式的过程中运用符号.（5）建议在研究分式不等式的解法之前，先研究简单高次不等式（一端为0，另一端是若干个一次因式乘积形式的整式）的解法.可由学生讨论不同解法，师生共同比较诸法的优劣，最后落实到区间法.（6）分式不等式与高次不等式的等价原因，可以认为是不等式两端同乘以正数，不等号不改变方向所得；也可以认为是与符号相同所得.（7）分式不等式求解时不能盲目地去分母，但当分母恒为正数（如分母是）时，应将其去掉，从而使不等式化简.（8）建议补充简单的无理不等式的解法，其中为一次式.教学中先由学生研究探索得到求解的基本思路及方法，再由教师概括总结，得出结论后一定要强调不等号的方向对的影响，即保证了，而却不能保证这一点，所以要分和两种情况进行讨论. （9）求解不等式不仅要重视思路的理解，更要重视表述的规范，作为教师应给学生做出示范，学生通过模仿掌握书写格式，这样才有可能保证运算的合理性与结果的准确性.【教学设计示例】分式不等式的解法【教学目标】1.掌握分式不等式向整式不等式的转化；2.进一步熟悉并掌握数轴标根法；3.掌握分式不等式基本解法.教学重点难点重点是分式不等式解法难点是分式不等式向整式不等式的转化教学方法启发式和引导式教具准备三角板、幻灯片【教学过程】1.复习回顾：前面，我们学习了含有绝对值的不等式的基本解法，还了解了数轴标根法的解题思路，本节课，我们将继续研究分式不等式的解法.2.讲授新课：例3 解不等式0.分析：这是一个分式不等式，其左边是两个关于x的二次三项式的商，根据商的符号法则，它可以化成两个不等式组：因此，原不等式的解集就是上面两个不等式组的解集的并集，此种解法从课本可以看到.另解：根据积的符号法则，可以将原不等式等价变形为（x2-3x+2）（x2-2x-3）0即（x+1）（x-1）（x-2）（x-3）0令（x+1）（x-1）（x-2）（x-3）=0可得零点x=-1或1，或2或3，将数轴分成五部分（如图）. 由数轴标根法可得所求不等式解集为：{x|-1说明：（1）让学生注意数轴标根法适用条件；（2）让学生思考0的等价变形.例4 解不等式1分析：首先转化成右端为0的分式不等式，然后再等价变形为整式不等式求解.解：原不等式等价变形为：-10通分整理得：0等价变形为：（x2-2x+3）（x2-3x+2）0即：（x+1）（x-1）（x-2）（x-3）0由数轴标根法可得所求不等式解集为：{x|x-1或13}说明：此题要求学生掌握较为一般的分式不等式的转化与求解.3.课堂练习：课本P19练习1.补充：（1）0；（2）x（x-3）（x+1）（x-2）0.课堂小结通过本节学习，要求大家在进一步掌握数轴标根法的基础上，掌握分式不等式的基本解法，即转化为整式不等式求解.课后作业习题6.4 3，4.板书设计●教学后记探究活动试一试用所学知识解下列不等式：（1）；（2）；（3）.答案：（1）原式观察这个不等式组，由于要求，同时要求，所以①式可以不解.原式如下图（2）分析当时，不等式两边平方，当时，在有意义的前提下恒成立.原式（Ⅰ）或（Ⅰ）由于同时满足（2）、（3）式，所以（1）式免解.（Ⅰ）式（Ⅰ）式.综合（Ⅰ）、（Ⅰ），得.（3）分析当时，不等式两边平方，当时，原式解集为. 原式观察不等式组，设有可以免解的不等式.原式如下图。