四、一元二次不等式的解法：
例3.解下列不等式（组）： (1)2+x-x2≥0 (2) x2-2x-8≤0
x2-1>0
一元二次不等式的解集与一元二次方程以及二次
函数的图象的关系：
Δ = b 2-4 a c Δ > 0
Δ =0
Δ <0
一元二次方程
的 根 (a> 0) ax2+ b x+ c= 0
一
有两异根 x1<x2
从函数观点看，不等式|x|<1的解集表示函数y=|x|的
图象位于函数y=1的图象下方的部分对应的x的取值范围.
y
所以，不等式|x|<1的 解集为{x|-1<x<1}
1 y=1 －1 o 1 x
一般地，可得解集规律: 形如|x|<a和|x|>a (a>0)的含绝对值的不等式
的解集:
① 不等式|x|<a的解集为{x|-a<x<a}
有理不等式 无理不等式
整式不等式 分式不等式
一次 二次
高次
初等超越不等式
指数不等式 对数不等式
三、一元一次不等式的解法：
axb(a0)
x b , (a 0) a
x b , (a 0) a
例1.解不等式 2(x1)x27x1 32
例2.解不等式组
10+2x≤11+3x 5x-3 ≤4x-1 7+2x>6+3x
探索：不等式|x|<1的解集. 方法一：利用绝对值的几何意义观察
不等式|x|<1的解集表示到原点的距离小于1的点的集合.
-1
0
1
所以，不等式|x|<1的解集为{x|-1<x<1}
方法二:利用绝对值的定义去掉绝对值符号,需要分类讨论
①当x≥0时，原不等式可化为x＜1 ∴ 0≤x＜1
②当x＜0时，原不等式可化为－x＜1，即x＞－1
方法一：利用绝对值的几何意义，体现了数形结 合的思想．
解:|x-1|+|x+2|=5的解为x=-3或x=2
-3 -2
12
所以原不等式的解为xx≥ 2或 x≤ 3
例2.解不等式|x-1|+|x+2|≥5
方法二：利用|x-1|=0，|x+2|=0的零点，将数轴分为三
个区间，然后在这三个区间上将原不等式分别化为不含
y
2x-4 (x>1)
f(x)= -2 (-2≤x≤1)
-2x-6 (x<-2)
-2 1
其图像如右，由图象知不等式的
解集为 xx≥2或 x≤3
-3
2x -2
课堂小结:
解绝对值不等式的基本思路是去绝对值符号 转化为一般不等式来处理。
主要方法有： ⑴同解变形法:运用解法公式直接转化； ⑵定义法:分类讨论去绝对值符号； ①含一个绝对值符号直接分类；②含两个或两 个以上绝对值符号:零点分段法确定. ⑶数形结合（运用绝对值的几何意义）; ⑷利用函数图象来分析.
⑵ f x a(a 0) a f x a；
⑶ f x g(x) f x g(x)或f x g(x)；
⑷ f x g(x) g(x) f x g(x)； ⑸ f x g x f x2 g x2
例2.试解不等式|x-1|+|x+2|≥5
解绝对值不等式关键是去绝对值符号, 你有什么方法解决这个问题?
-a
0
a
② 不等式|x|>a的解集为{x|x<-a或x>a }
-a
0
a
注：如果 a ≤0 ，不等式的解集易得.
利用这个规律可以解一些含有绝对值的不等式.
例1：试解下列不等式：
(1)|32x|≥7
(2)| x23x|4
解:∵| 3 2x |≥ 7 ∴ 2 x 3 ≥ 7
∴ 2x 3≥ 7或2x 3 ≤ 7 ∴ x ≥ 5或x ≤ 2
六、含绝对值的不等式的解法：
问题:你能一眼看出下面两个不等式的解
集吗?
⑴ x 1
⑵ x 1
主要方法有:
方法一: 利用绝对值的几何意义观察； 方法二: 利用绝对值的定义去掉绝对值符号,需要分类讨论; 方法三: 两边同时平方去掉绝对值符号; 方法四: 利用函数图象观察.
这也是解其他含绝对值不等式的四种常用思路.
作业:课本 P20 习题 1.2 6⑷、7⑵、8⑴三种方法求
∴原不等式的解集为,2 5, .
(1, 4)
(3)|3x 2|1
(4)1|3x4|≤ 6
(, 0) (1, )
(1, 2] [ 10 , 5)
3
33
解绝对值 不等式的思路是转 化为等价的不含绝 对值符号的不 等式（组），根据 式子的特点可用下列解法公式进行转 化：
⑴ f x a(a 0) f x a或f x a；
元 二
ax2+ b x+ c> 0 (a> 0)
x<x1或x>x2
次
不 等
ax2+ b x+ c< 0
式
(a> 0)
x1<x<x2
二次函数的图
象 (a> 0)
y= a x2+ b x+ c
有两重根
x1=x2=
b 2a
x b 2a
Ø
无实根Βιβλιοθήκη R Ø五、分式不等式的解法：
例4、解不等式 x 2 0
x5
∴ －1＜x＜0 综合①②得，原不等式的解集为{x|－1<x<1}
探索：不等式|x|<1的解集。 方法三：两边同时平方去掉绝对值符号.
对原不等式两边平方得x2<1 即 x2－1<0 即 (x+1)(x－1)<0 即－1<x<1
所以，不等式|x|<1的解集为{x|-1<x<1}
方法四：利用函数图象观察
绝对值符号的不等式求解．体现了分类讨论的思想．
解：１０当x ≥ 1时，原不等式同解于
x ≥1 (x-1)+(x+2)
≥5
x≥2
2０当-2<x<1时，原不等式同解于
-2≤x≤1
-(x-1)+(x+2)
≥5
x
3０当x ≤ -2时，原不等式同解于
x ≤ -
-2(x-1)-(x+2)
≥5
x≤-3
综合上述知不等式的解集为 xx≥ 2或 x≤ 3
例2.解不等式|x-1|+|x+2|≥5
方法三：通过构造函数，利用函数的图象，体现了函数
与方程的思想．
解 原不等式化为|x-1|+|x+2|-5 ≥0
令f(x)=|x-1|+|x+2|-5 ,则
f(x)=
(x-1)+(x+2)-5 -(x-1)+(x+2)-5
((-x2>≤1)x≤1)
-(x-1)-(x+2)-5 (x<-2)
不等式的解法举例
一、定义：
同解不等式： 如果两个不等式的解集相等，那么这两 个不等式就叫做同解不等式。 如：2x+6<0与x<-3
不等式的同解变形：
一个不等式变形为另一个不等式时，如果这 两个不等式是同解不等式，那么这种变形就 叫做不等式的同解变形。
如：2x+6<0与x<-3
二、不等式的分类
代数不等式
