2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(浙江卷) （优选.)rd2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（浙江卷）评卷人得分一、选择题（题型注释）1．已知集合2{20}P x x x =-≥，{12}Q x x =<≤，则（ ）A.[0,1)B.(0,2]C.(1,2)D.[1,2]2．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（ ）A.38cmB.312cmC.3323cm D.3403cm3．已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若3a ，4a ，8a 成等比数列，则（ ） A.140,0a d dS >> B.140,0a d dS << C.140,0a d dS >< D.140,0a d dS <>4．命题“**,()n N f n N ∀∈∈且()f n n ≤的否定形式是（ ） A.**,()n N f n N ∀∈∈且()f n n > B.**,()n N f n N ∀∈∈或()f n n > C.**00,()n N f n N ∃∈∈且00()f n n > D.**00,()n N f n N ∃∈∈或00()f n n >5．如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则BCF ∆与ACF ∆的面积之比是（ ）A.11BF AF -- B.2211BF AF -- C.11BF AF ++ D.2211BF AF ++6．设A ，B 是有限集，定义(,)()()d A B card A B card A B =-，其中()card A 表示有限集A 中的元素个数，命题①：对任意有限集A ，B ，“A B ≠”是“(,)0d A B >”的充分必要条件； 命题②：对任意有限集A ，B ，C ，(,)(,)(,)d A C d A B d B C ≤+，（ ） A.命题①和命题②都成立B.命题①和命题②都不成立C.命题①成立，命题②不成立D.命题①不成立，命题②成立7．存在函数()f x 满足，对任意x R ∈都有（ ） A.(sin 2)sin f x x = B.2(sin 2)f x x x =+ C.2(1)1f x x +=+ D.2(2)1f x x x +=+8．如图，已知ABC ∆，D 是AB 的中点，沿直线CD 将ACD ∆折成A CD '∆，所成二面角A CD B '--的平面角为α，则（ ）A.A DB α'∠≤B.A DB α'∠≥C.A CB α'∠≤D.A CB α'∠≤第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明评卷人得分二、填空题（题型注释）9．双曲线2212x y -=的焦距是，渐近线方程是．10．已知函数223,1()lg(1),1x x f x xx x ⎧+-≥⎪=⎨⎪+<⎩，则((3))f f -=，()f x 的最小值是． 11．函数2()sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是，单调递减区间是． 12．若4log 3a =，则22a a -+=．13．如图，三棱锥A BCD -中，3,2AB AC BD CD AD BC ======，点,M N 分别是,AD BC 的中点，则异面直线AN ，CM所成的角的余弦值是．14．若实数,x y 满足221x y +≤，则2263x y x y +-+--的最小值是． 15．已知12,e e 是空间单位向量，1212e e ⋅=，若空间向量b 满足1252,2b e b e ⋅=⋅=，且对于任意,x y R∈，12010200()()1(,)b xe ye b x e y e x y R -+≥-+=∈，则0x =，0y =，b =．评卷人得分三、解答题（题型注释）16．（本题满分14分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知4A π=，22b a -=122c .（1）求tan C 的值；（2）若ABC ∆的面积为7，求b 的值.17．（本题满分15分）如图，在三棱柱111ABC A B C --中，90BAC ∠=，2AB AC ==，14A A =，1A 在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 为11B C 的中点.（1）证明：1A D ⊥平面1A B C ；（2）求二面角1A -BD-1B 的平面角的余弦值.18．（本题满分15分）已知函数2()(,)f x x ax b a b R =++∈，记(,)M a b 是|()|f x 在区间[1,1]-上的最大值.（1）证明：当||2a ≥时，(,)2M a b ≥；（2）当a ，b 满足(,)2M a b ≤，求||||a b +的最大值. 19．（本题满分15分）已知椭圆2212x y +=上两个不同的点A ，B 关于直线12y mx =+对称．（1）求实数m 的取值范围；（2）求AOB ∆面积的最大值（O 为坐标原点）．20．（本题满分15分）已知数列{}n a 满足1a =12且1n a +=n a -2n a （n ∈*N ）（1）证明：112nn a a +≤≤（n ∈*N ）； （2）设数列{}2n a 的前n 项和为n S ，证明112(2)2(1)n S n n n ≤≤++（n ∈*N ）.参考答案1．C.【解析】由题意得，)2,0(=P C R ，∴，故选C.考点：1.解一元二次不等式；2.集合的运算. 2．C. 【解析】由题意得，该几何体为一立方体与四棱锥的组合，如下图所示，∴体积3322231223=⨯⨯+=V ，故选C.考点：1.三视图；2.空间几何体的体积计算. 3．B.【解析】∵等差数列}{n a ，3a ，4a ，8a 成等比数列，∴d a d a d a d a 35)7)(2()3(11121-=⇒++=+，∴d d a a a a S 32)3(2)(211414-=++=+=，∴03521<-=d d a ，03224<-=d dS ，故选B.考点：1.等差数列的通项公式及其前n 项和；2.等比数列的概念 4．D.【解析】根据全称命题的否定是特称命题，可知选D. 考点：命题的否定 5．A. 【解析】11--===∆∆AF BF x x AC BC S S A B ACF BCF ，故选A.考点：抛物线的标准方程及其性质 6．A. 【解析】命题①显然正确，通过如下文氏图亦可知),(C A d 表示的区域不大于),(),(C B d B A d +的区域，故命题②也正确，故选A.考点：集合的性质 7．D. 【解析】A ：取0=x ，可知0sin )0(sin =f ，即0)0(=f ，再取2π=x ，可知2sin)(sin ππ=f ，即1)0(=f ，矛盾，∴A 错误；同理可知B 错误，C ：取1=x ，可知2)2(=f ，再取1-=x ，可知0)2(=f ，矛盾，∴C错误，D ：令)0(|1|≥+=t x t ， ∴1)()0()1(2+=⇔≥=-x x f t t t f ，符合题意，故选D.考点：函数的概念 8．B. 【解析】设ADC θ∠=，设2AB =，则由题意1AD BD ==，在空间图形中，设A B t '=，在A CB '∆中，2222222112cos 22112A D DB AB t t A DB A D DB '+-+--'∠==='⨯⨯⨯，在空间图形中，过A '作AN DC ⊥，过B 作BM DC ⊥，垂足分别为N，M ，过N 作//NP MB ，连结A P '，∴NP DC ⊥，则A NP '∠就是二面角A CD B '--的平面角，∴A NP α'∠=，在Rt A ND '∆中，cos cos DN A D A DC θ''=∠=，sin sin A N A D A DC θ'''=∠=， 同理，sin BMPN θ==，cos DM θ=，故2cos BP MN θ==，显然BP ⊥面A NP '，故BP A P '⊥，在Rt A BP '∆中，2222222(2cos )4cos A P A B BP t t θθ''=-=-=-，在A NP '∆中，222cos cos 2A N NP A P A NP A N NP α''+-'=∠='⨯2222sin sin (4cos )2sin sin t θθθθθ+--=⨯222222222222cos 2cos 1cos cos 2sin 2sin sin sin sin t t A DB θθθθθθθθ+--'==+=∠+，∵210sin θ>，22cos 0sin θθ≥，∴cos cos A DB α'≥∠（当2πθ=时取等号），∵α，[0,]A DB π'∠∈，而cos y x =在[0,]π上为递减函数，∴A DB α'≤∠，故选B.考点：立体几何中的动态问题 9．32，x y 22±=. 【解析】由题意得：2=a ，1=b ，31222=+=+=b a c ，∴焦距为322=c ， 渐近线方程为x x ab y 22±=±=. 考点：双曲线的标准方程及其性质 10．0，3-22. 【解析】0)1())3((==-f f f ，当1≥x 时，322)(-≥x f ，当且仅当2=x 时，等号成立，当1<x 时，0)(≥x f ，当且仅当0=x 时，等号成立，故)(x f 最小值为322-. 考点：分段函数 11．π，]87,83[ππππk k ++，Z k ∈. 【解析】1cos 2sin 223()1)22242x x f x x π-=++=-+，故最小正周期为π，单调递减区间为 ]87,83[ππππk k ++，Z k ∈. 考点：1.三角恒等变形；2.三角函数的性质 12．334.【解析】∵3log 4=a ，∴3234=⇒=a a ，∴33431322=+=+-a a . 考点：对数的计算 13．87.【解析】如下图，连结DN ，取DN 中点P ，连结PM ，PC ，则可知PMC ∠即为异面直 线AN ，CM 所成角（或其补角）易得221==AN PM， 31222=+=+=CN PN PC ，2222=-=AM AC CM ，∴872222328cos =⨯⨯-+=∠PMC ，即异面直线AN，CM 所成角的余弦值为87.考点：异面直线的夹角. 14．3.【解析】122≤+y x 表示圆122=+y x 及其内部，易得直线y x 36--与圆相离，故y x y x 36|36|--=--，当022≥-+y x 时，2263=24x y x y x y +-+---+，如下图所示，可行域为小的弓形内部，目标函数42+-=y x z ，则可知当53=x ，54=y 时，3min =z ，当022<-+y x 时，2263=834x y x y x y +-+----，可行域为大的弓形内部，目标函数y x z 438--=，同理可知当53=x ，54=y 时，3min =z ，综上所述，|36||22|y x y x --+-+.考点：1.线性规划的运用；2.分类讨论的数学思想；3.直线与圆的位置关系 15．1，2，22.【解析】问题等价于12()b xe ye -+当且仅当0x x =，0y y =时取到最小值1，两边平方即xy y x y x |b |+--++5422在0x x =，0y y =时，取到最小值1，2245|b|x y x y xy ++--+22(4)5||x y x y b =+--+22243()(2)7||24y x y b -=++--+，∴⎪⎩⎪⎨⎧===⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=-=-+22||211||702024002000b y x b y y x . 考点：1.平面向量的模长；2.函数的最值 16．（1）2；（2）3b =. 【解析】（1）根据正弦定理可将条件中的边之间的关系转化为角之间满足的关系，再将式子作三角恒等变形即可求解；（2）根据条件首先求得sin B 的值，再结合正弦定理以及三角 形面积的计算公式即可求解. 试题解析：（1）由22212b ac -=及正弦定理得2211sin sin 22B C -=，∴2cos 2sin B C -=，又由4A π=，即34B C π+=，得cos 2sin 22sin cos B C C C -==，解得tan 2C =；（2）由tan 2C =，(0,)C π∈得25sin C =5cos C =，又∵sin sin()sin()4B AC C π=+=+，∴310sin B =，由正弦定理得22c =，又∵4A π=，1sin 32bc A =，∴62bc =，故3b =. 考点：1.三角恒等变形；2.正弦定理. 17．（1）详见解析；（2）18-. 【解析】（1）根据条件首先证得AE ⊥平面1A BC ，再证明1//A D AE ，即可得证；（2） 作1A F BD ⊥，且1A F BD F =，可证明11A FB ∠为二面角11A BD B --的平面角，再由 余弦定理即可求得111cos 8A FB ∠=-，从而求解.试题解析：（1）设E 为BC 的中点，由题意得1A E ⊥平面ABC ，∴1A E AE ⊥，∵AB AC =， ∴AE BC ⊥，故AE ⊥平面1A BC ，由D ，E 分别11B C ，BC 的中点，得1//DE B B 且1DE B B =，从而1//DE A A ，∴四边形1A AED 为平行四边形，故1//A D AE ，又∵AE ⊥平面11A BC ，∴1A D ⊥平面11A BC ；（2）作1A F BD ⊥，且1A F BD F =，连结1B F ， 由2AE EB ==，1190A EA A EB ∠=∠=，得114A B A A ==，由11A D B D =，11A B B B =，得11A DB B DB ∆≅∆，由1A F BD ⊥，得1B F BD ⊥，因此11A FB ∠为二面角 11A BD B --的平面角，由12A D =，14A B =，190DA B ∠=，得32BD =，1143A FB F ==，由余弦定理得，111cos 8A FB ∠=-.考点：1.线面垂直的判定与性质；2.二面角的求解 18．（1）详见解析；（2）3. 【解析】（1）分析题意可知()f x 在[1,1]-上单调，从而可知(,)max{|(1)|,|(1)|}M a b f f =-，分类讨论a 的取值范围即可求解.；（2）分析题意可知 ||,0||||||,0a b ab a b a b ab +≥⎧+=⎨-<⎩，再由(,)2M a b ≤可得|1||(1)|2a b f ++=≤， |1||(1)|2a b f -+=-≤，即可得证.试题解析：（1）由22()()24a a f x xb =++-，得对称轴为直线2ax =-，由||2a ≥，得||12a -≥，故()f x 在[1,1]-上单调，∴(,)max{|(1)|,|(1)|}M ab f f =-，当2a ≥时，由 (1)(1)24f f a --=≥，得max{(1),(1)}2f f -≥，即(,)2M a b ≥，当2a ≤-时，由(1)(1)24f f a --=-≥，得max{(1),(1)}2f f --≥，即(,)2M a b ≥，综上，当||2a ≥时，(,)2M a b ≥；（2）由(,)2M a b ≤得|1||(1)|2a b f ++=≤，|1||(1)|2a b f -+=-≤，故||3a b +≤，||3a b -≤，由||,0||||||,0a b ab a b a b ab +≥⎧+=⎨-<⎩，得||||3a b +≤，当2a =，1b =-时，||||3a b +=，且2|21|x x +-在[1,1]-上的最大值为2，即(2,1)2M -=，∴||||a b +的最大值为3..考点：1.二次函数的性质；2.分类讨论的数学思想.19．（1）m <3m >；（2）2. 【解析】（1）可设直线AB 的方程为1y x b m =-+，从而可知22121x y y x b m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩有两个不同 的解，再由AB 中点也在直线上，即可得到关于m 的不等式，从而求解；（2）令1t m =，可 将AOB ∆表示为t 的函数，从而将问题等价转化为在给定范围上求函数的最值，从而求解.试题解析：（1）由题意知0m ≠，可设直线AB 的方程为1y x b m =-+，由22121x y y x b m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩， 消去y ，得222112()102b x x b m m +-+-=，∵直线1y x b m =-+与椭圆2212x y +=有两 个不同的交点，∴224220b m ∆=-++>，①，将AB 中点2222(,)22mb m b M m m ++代入直线 方程12y mx =+解得2222m b m +=-，②。
