杭州师范大学2006年数学分析考研试题
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杭州师范学院研究生入学考试命题纸
杭 州 师 范 学 院 2006 年攻读硕士学位研究生入学考试题
学科专业： 学科专业： 基础数学、应用数学 研究方向： 研究方向： 考试科目： 考试科目： 数 学 分 析
杭州师范学院研究生入学考试命题纸 2. 利用 Gauss 公式计算曲面积分： ∫∫ x dydz + y dzdx + z dxdy ，其中 S 是立方体：
五、 （12 分）设 f ( x) 在区间 I 上有定义，则 f ( x) 在 I 上一致连续的充分必要条件是：对区间 I 上任意两个数列 {x } 与 { y } ，当 lim ( x − y ) = 0 时，有 lim ( f ( x ) − f ( y ) ) = 0 . 六、 （12 分）设 f ( x) 在区间 [a, b] 上连续，且 ∀x ∈ [a, b] ，有 f ( x) ∈ [a, b] . 试证存在 x ∈ [a, b] ， 使得 f ( x ) = x .
2 2 2
的外表面. 1 ∂u ∂u 3. 设 u = ln ( x + y ) ， 求 + 2 ∂x ∂y
0 ≤ x, y , z ≤ a
2 2
பைடு நூலகம்
S
2
2
2
2
4.
计算无穷积分 ∫
+∞
2
dx x + x−2
2
说明：1、命题时请按有关说明填写清楚、完整； 2、命题时试题不得超过周围边框； 3、考生答题时一律写在答题纸上，否则漏批责任自负； 4、 5、
n n n →∞ n n n →∞ n n 0 0 0
n =1
n x0
0
n x
n =1
3
．∫
D
x 1+ x
2
七、 （12 分）求函数 f ( x) = ∑ n3+ 1 ⋅ x 的导数 f ′( x) 与定积分 ∫
∞
2n n n =1
x
0
f (t )dt
，并给出收敛区间.
∞
⋅ tan 1 + x 2 dx
4
． ∫∫ | x + y | dxdy ，其中 D = {( x, y) | −1 ≤ x ≤ 1, −1 ≤ y ≤ 1}
2 2 2 l
八、 （10 分）设 α > 1 是一个常数， a 2
在 (−∞, +∞) 上一致收敛.
1
n
≥0
且级数 ∑ a 收敛. 证明函数项级数 ∑
∞
n n =1
n =1
an sin nx nα
二、解答下列各题： （每小题 解答下列各题： （每小题 8 分，共 32 分） 1. 求曲线积分 ∫ ( x + y + z ) ds 的值，其中曲线 l 是圆螺旋线： x = a cos t ， y = a sin t ，
z = bt (0 ≤ t ≤ 2π )
九、 （10 分）证明：若函数 f ( x) = f ( x) = x ， ∀n ∈ N ，定义 f 1+ x 函数列 { f ( x)} 在 (−∞, +∞) 上一致收敛于 0 .
∞
一、计算下列各题： （每小题 计算下列各题： （每小题 10 分，共 40 分）
1
． lim 1 n
n →∞
2
．设函数 f ( x) 在 a 可导，求下面的极限：
f (a + 2t ) − f (a + t ) lim t →0 2t
1+
1 2 n −1 + 1+ +L+ 1+ n n n
2
n +1
( x) = f ( f n ( x) )
，则
n
2006
年 专业
基础数学、应用数学
科目
数学分析
（本考试科目共 2 页 本页第 1 页）
2006
年 专业
基础数学、应用数学
科目
数学分析
（本考试科目共 2 页 本页第 2 页）
三、 （10 分）证明函数
2 xy 2 2 x2 + y 2 , x + y ≠ 0 f ( x, y ) = 2 2 0 ，x + y = 0
分别对每一个变量 x 和 y 是连续的，
∞
但非关于二个变元 ( x, y) 的连续函数. a 四、 （12 分）证明：如果级数 ∑ na 收敛，则当 x > x 时，级数 ∑ n 也收敛.
杭 州 师 范 学 院 2006 年攻读硕士学位研究生入学考试题
学科专业： 学科专业： 基础数学、应用数学 研究方向： 研究方向： 考试科目： 考试科目： 数 学 分 析
杭州师范学院研究生入学考试命题纸 2. 利用 Gauss 公式计算曲面积分： ∫∫ x dydz + y dzdx + z dxdy ，其中 S 是立方体：
五、 （12 分）设 f ( x) 在区间 I 上有定义，则 f ( x) 在 I 上一致连续的充分必要条件是：对区间 I 上任意两个数列 {x } 与 { y } ，当 lim ( x − y ) = 0 时，有 lim ( f ( x ) − f ( y ) ) = 0 . 六、 （12 分）设 f ( x) 在区间 [a, b] 上连续，且 ∀x ∈ [a, b] ，有 f ( x) ∈ [a, b] . 试证存在 x ∈ [a, b] ， 使得 f ( x ) = x .
2 2 2
的外表面. 1 ∂u ∂u 3. 设 u = ln ( x + y ) ， 求 + 2 ∂x ∂y
0 ≤ x, y , z ≤ a
2 2
பைடு நூலகம்
S
2
2
2
2
4.
计算无穷积分 ∫
+∞
2
dx x + x−2
2
说明：1、命题时请按有关说明填写清楚、完整； 2、命题时试题不得超过周围边框； 3、考生答题时一律写在答题纸上，否则漏批责任自负； 4、 5、
n n n →∞ n n n →∞ n n 0 0 0
n =1
n x0
0
n x
n =1
3
．∫
D
x 1+ x
2
七、 （12 分）求函数 f ( x) = ∑ n3+ 1 ⋅ x 的导数 f ′( x) 与定积分 ∫
∞
2n n n =1
x
0
f (t )dt
，并给出收敛区间.
∞
⋅ tan 1 + x 2 dx
4
． ∫∫ | x + y | dxdy ，其中 D = {( x, y) | −1 ≤ x ≤ 1, −1 ≤ y ≤ 1}
2 2 2 l
八、 （10 分）设 α > 1 是一个常数， a 2
在 (−∞, +∞) 上一致收敛.
1
n
≥0
且级数 ∑ a 收敛. 证明函数项级数 ∑
∞
n n =1
n =1
an sin nx nα
二、解答下列各题： （每小题 解答下列各题： （每小题 8 分，共 32 分） 1. 求曲线积分 ∫ ( x + y + z ) ds 的值，其中曲线 l 是圆螺旋线： x = a cos t ， y = a sin t ，
z = bt (0 ≤ t ≤ 2π )
九、 （10 分）证明：若函数 f ( x) = f ( x) = x ， ∀n ∈ N ，定义 f 1+ x 函数列 { f ( x)} 在 (−∞, +∞) 上一致收敛于 0 .
∞
一、计算下列各题： （每小题 计算下列各题： （每小题 10 分，共 40 分）
1
． lim 1 n
n →∞
2
．设函数 f ( x) 在 a 可导，求下面的极限：
f (a + 2t ) − f (a + t ) lim t →0 2t
1+
1 2 n −1 + 1+ +L+ 1+ n n n
2
n +1
( x) = f ( f n ( x) )
，则
n
2006
年 专业
基础数学、应用数学
科目
数学分析
（本考试科目共 2 页 本页第 1 页）
2006
年 专业
基础数学、应用数学
科目
数学分析
（本考试科目共 2 页 本页第 2 页）
三、 （10 分）证明函数
2 xy 2 2 x2 + y 2 , x + y ≠ 0 f ( x, y ) = 2 2 0 ，x + y = 0
分别对每一个变量 x 和 y 是连续的，
∞
但非关于二个变元 ( x, y) 的连续函数. a 四、 （12 分）证明：如果级数 ∑ na 收敛，则当 x > x 时，级数 ∑ n 也收敛.
