浙江师范大学2012年硕士研究生入学考试数学分析初试试题
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浙江师范大学2012年硕士研究生入学考试初试试题(A 卷) 科目代码: 601 科目名称: 数学分析
适用专业: 070100数学、071101系统理论、071400统计学
提示：
1、请将所有答案写于答题纸上，写在试题纸上的不给分；
2、请填写准考证号后6位：____________。
一、是非判断题
（下列命题正确的证明之，错误的举出反例。
每小题6分，共18分）
1、若⎰∞
+a dx x f )(收敛，则0)(lim =+∞
→x f x 。
2、),(y x f 在),(000y x P 处两个偏导数存在，则在该点连续。
3、有限区间],[b a 上的Riemann 可积函数一定Riemann 绝对可积
二、简答题（每小题5分，共10分）
1、叙述含参量广义积分dx t x f c
),(⎰∞+在[a ，b]上一致收敛的柯西准则。
2、叙述函数极限)(lim 0x f x x →存在的Heine 归结原理。
三、计算题（每小题8分，共48分）
1、求极限))11ln((lim 2x
x x x +-+∞→； 2、求不定积分⎰x
x dx cos sin 2； 3、求)
1)(1(1142x x x +++）（在0=x 处的幂级数展开式，并确定其收敛域； 4、求⎰++L ds z y x )2(2
2, 其中L 为圆周：⎩⎨⎧=++=++02222z y x R z y x ；
5、设在),0(∞+上可微，且)0()(3)(00>=⎰⎰x dt t f x dt t f t x x ，求)(x f ；
6、计算⎰⎰⋅D
dxdy y x y x ),max(sin sin ，其中{}ππ≤≤≤≤=y x y x D 0,0),(。
四、（15分）二元函数
⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++=0001sin )(),(22222222y x y x y x y x y x f
（1）求)0,0(,)0,0(y x f f ；
（2）证明在原点)0,0(O 不连续；
（3）判断函数在原点)0,0(O 处的可微性。
五、（10分）设 ⎰⎰⎰≤++++=
2222)(,)()(222t z y x u f dxdydz z y x f t F 可微，求)(t F '。
六、（10分）求幂级数 ∑∞=----11
213)12()
1(n n n n n x 的和函数。
七、（12分）0=-xyz e z
确定了隐函数),(y x z z =，求y x z ∂∂∂2。
八、 （12分）证明：若⎰∞
+a dx x f )(收敛，且在)[∞+,a 上一致连续，则0)(lim =+∞→x f x 九、（15分）判定广义积分)0(arctan sin 1>⋅⎰∞
+p dx x
x x p 的敛散性。
（收敛性需说明绝对收敛和条件收敛）。
