河北省唐山市开滦第二中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学(理)试卷Word版含解析
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河北开滦二中2014-2015学年上学期高二年级期中考试数学（理）试题说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第6页。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 本大题共12小题，每小题5分，共60分.）1．在下列命题中，不是公理的是( ) A.平行于同一个平面的两个平面相互平行B.过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 【答案】A 【解析】公理一：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内 公理二：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 公理三：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 2．点(1,-1)到直线3x +4y +3=0的距离为( ) A.2 B.1 C.25 D. 65【答案】B【解析】()314131.2d ⨯+⨯-+==3．在空间直角坐标系中，已知点),2,1,1(-A ),1,0,1(B 则→AB =（ ）A B ． C ．10 D ．102 【答案】C 【解析】()(0,1,3,1AB AB =-∴=-=4．过点)1,3(A 且倾斜角为60°的直线方程为（ ）A ．23-=x yB ．23+=x yC ．233-=x y D ．233+=x y 【答案】A【解析】所求直线的斜率为tan60k︒==由点斜式得1, 2.y x y-=-=-即5．将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积为（）A.4π B.3π C.2π D.π【答案】C【解析】将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，得到底面半径为1，高为1的圆柱体，所以其侧面积为2Sπ=.6．若直线210ax y++=与直线20x y+-=互相垂直，那么a的值等于( )A．1 B．13-C．23-D．2-【答案】D【解析】由题设得，20, 2.a a+=∴=-7．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是()A.若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB.若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC.若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD.若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β【答案】D【解析】//,,,//,//,,,,.nn l lm nl mmllDβγβααβαβ∴∴⊥∴⊥⊂∴⊥过作平面交与则n//又故正确.8．若某三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体的三视图如下图所示，则此几何体的体积等于（）A.30B.12C.24D.4【答案】C正视图侧视图俯视图【解析】由三视图知，几何体是底面为边长为3，4，5的三角形高为5的三棱柱截得，如图所示，所以，几何体的体积为113434324.23⨯⨯-⨯⨯⨯=9．已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为( )A.16B.C.13D. 【答案】B【解析】如图所示，取AD 的中点F ，连接EF ，CF ，则EF ∥BD ，故EF 与CE 所成的角即为异面直线CE 与BD 所成的角．设正四面体的棱长为2，则CE ＝CF ＝3，EF ＝1.在△CEF 中，cos ∠CEF ＝CE 2＋EF 2－CF 22CE ·EF ＝3＋1－32×3×1＝36，所以异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为36.10．某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为( )A ．4BC ．262D ．8 【答案】B【解析】由三视图知，几何体为四棱锥和三棱锥的组合体，其直观图如图，11．若动点A ，B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为( )A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】由题意知，M 点的轨迹为平行于直线l 1、l 2且到l 1、l 2距离相等的直线l ，故其方程为x +y-6=0，12．正四面体的外接球和内切球的半径的关系是( )A.B.C.D.【答案】D 【解析】如图所示，设点O 是内切球的球心，正四面体棱长为a ．由图形的对称性知，点O 也是外接球的球心．设内切球半径为r ，外接球半径为R ．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
把答案填在题中的横线上） 13．若直线a ∥b 且a α⊥平面,则b 与α的关系是__________. 【答案】b α⊥【解析】.//αα⊥⇒⎭⎬⎫⊥b b a a 14．正方体1111D C B A ABCD -中，二面角111C D A B --的大小为__________． 【答案】4π二面角111C D A B --的的平面角为.411π=∠C BA15．三棱锥P ABC -的四个顶点均在同一球面上，其中△ABC 为等边三角形，PA ABC ⊥平面，22PA AB a ==，则该球的体积是 ．3【解析】由题意画出几何体的图形如图，把A 、B 、C 、P 扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与A 的距离为球的半径，PA=2AB=2a ，OE=a ，△ABC 是正三角形，∴AB=a ，2∴=∴34=3V π球3a .16．当k ＞0时，两直线0,220kx y x ky －＝＋－＝与x 轴围成的三角形面积的最大值为 .【解析】由两直线0,220kx y x ky －＝＋－＝与x 轴围成的三角形如图所示，三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）。
17．（本题10分）已知两条直线1:3420l x y +-=与2:220l x y ++=的交点P ，求：（1）过点P 且过原点的直线方程；（2）过点P 且垂直于直线3:210l x y --=的直线l 的方程。
18．（本题12分）已知三角形的三个顶点是A （4，0），B （6，6），C （0，2）．（1）求AB 边上的高所在直线的方程； （2）求AC 边上的中线所在直线的方程． 【解析】∴AB 边上的高所在直线的斜率k=﹣， ∴AB 边上的高所在直线的方程为y ﹣2=﹣，整理，得x+3y ﹣6=0．--------6分（2）∵AC 边的中点为（2，1）， ∴AC 边上的中线所在的直线方程为，整理，得5x ﹣4y ﹣5=0. --------12分 19．（本题12分）如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是正方形,侧面PAD ⊥底面ABCD ，若E 、F 分别为PC 、BD 的中点. (Ⅰ) 求证：EF //平面PAD ； (Ⅱ) 求证：平面PDC ⊥平面PAD；A【解析】 证明：（1）取AD 中点G ，PD 中点H ，连接FG ,GH,HE ，由题意：11//,//,//,//22FG AB HE CD AB CD FG HE ∴//EFGH EF GH ∴∴四边形是平行四边形， --------4分又,GH PAD EF PAD ⊆⊄平面平面，EF //平面PAD --------6分 （2）平面PAD ⊥底面ABCD ，,PAD ABCD AD ⋂=平面平面,CD AD CD ABCD ⊥⊆平面，∴CD PAD ⊥平面，--------10分又CD PDC ⊆平面，∴平面PDC ⊥平面PAD --------12分20．（本题12分）如图，在三棱锥V ABC -中，VC ⊥底面ABC , ,AC BC D ⊥为AB 的中点,AC BC VC a ===.（1）求证：AB ⊥平面VCD ；（2）求点C 到平面VAB 的距离。
【解析】（1）因为VC ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以VC AB ⊥ --------2分 又因为在ABC ∆中，AC BC =，D 为AB 的中点，所以CD AB ⊥ --------4分 又VC ⊂平面VCD ，CD ⊂平面VCD ，且VC CD C =，所以AB ⊥平面VCD ------------------------------------------6分（2）法一：因为AB ⊥平面VCD 且AB ⊂平面VAB ，所以平面VCD ⊥平面VAB ， 又因为平面VCD 平面VAB VD =，所以点C 到VD 的距离h 即为点C 到平面VAB 的距离， --------8分 在直角三角形VCD 中，由VD h VC DC⨯=⨯得 VC DCh VD⨯===所以点C 到平面VAB .--------12分 法二：设点C 到平面VAB 的距离为h ， 据V V =V-ABC C-VAB --------8分即)2111323a a ah ⨯⋅⋅=，得h =所以点C 到平面VAB . --------12分 21．（本题12分）如图，在直三棱柱中111A B C -ABC 中，AB ⊥ AC ， AB =AC =2，1AA =4，点D 是BC 的中点．（1）求异面直线1A B 与1C D 所成角的余弦值；（2）求平面1ADC 与1ABA 所成二面角的正弦值.【解析】（1）以},,{1→→→AA AC AB 为单位正交基底建立空间直角坐标系xyz A -, ------1分则)0,0,0(A ,)0,0,2(B ,)0,2,0(C ,)4,0,0(1A ,)0,1,1(D ,)4,2,0(1C .)4,0,2(1-=∴→B A ,)4,1,1(1--=→D C --------3分10103182018,cos 111111==⋅>=<∴→→→→DC B A DC B AD C B A --------5分 ∴异面直线B A 1与D C 1所成角的余弦值为10103. --------6分 （2） (0,2,0)AC =是平面1ABA 的的一个法向量，设平面1ADC 的法向量为),,(z y x m =→,)0,1,1(=→AD ，)4,2,0(1=→AC ，由→→⊥AD m ，→→⊥1AC m 得 ⎩⎨⎧=+=+0420z y y x ，取1=z ,得2-=y ，2=x ,所以平面1ADC 的法向量为)1,2,2(-=→m . --------9分 设平面1ADC 与1ABA 所成二面角为θ .42cos cos ,233AC m AC m AC mθ→→→⋅-∴=<>===⨯, --------11分 得35sin =θ.所以平面1ADC 与1ABA 所成二面角的正弦值为35. --------12分 22．（本题12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为正方形，ABE ∆为等腰直角三角形，90BAE ∠=︒，且AD AE ⊥．（1）证明：平面AEC ⊥平面BED ． （2）求直线EC 与平面BED 所成角的正弦值．【解析】 解法一：（1）由已知有AE ⊥AB ，又AE ⊥AD ， 所以AE ⊥平面ABCD ，所以AE ⊥DB ， 又ABCD 为正方形，所以DB ⊥AC ， 所以DB ⊥平面AEC ， --------3分 而BD ⊂平面BED 故有平面AEC ⊥平面BED. --------5分 （2）设AC 与BD 交点为O ，所以OE 为两平面AEC 和BED 的交线. 过C作平面BED 的垂线，其垂足必在直线EO 上， 即∠OEC 为EC 与平面BED 所成的角.--------8分 设正方形边长为2a ，则，AE=2a ， 所以，EC=，所以在三角形OEC 中，由余弦定理得 cos ∠， ---11分故所求为sin ∠OEC=13--------12分解法二：以A 为原点，AE 、AB 、AD 分别为x,y,z 轴建立空间直 角坐标系． --------1分（1）设正方形边长为2，则E(2,0,0)，B(0,2,0)，C(0,2,2)，D(0,0,2) AC =(0,2,2)，BD =(0,-2,2)，AE =(2,0,0)，ED =(-2,0,2)， 从而有0BD AC ⋅=，0BD AE ⋅=， --------3分 即BD ⊥AC ，BD ⊥AE ， 所以BD ⊥平面AEC ， 故平面BED ⊥平面AEC. --------5分 （2）设平面BED 的法向量为(,,)n x y z =，由00n ED n BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得z x y z =⎧⎨=⎩，故取(1,1,1)n = --------9分ABCDE 图1Oy图2而EC =(-2,2,2)，所以31||||,cos =>=<EC n EC n - -------11分 设直线EC 与平面BED 所成的角为θ， 则有||1sin |cos ,|3||||n EC n EC n EC θ⋅=<>== --------12分。
