河北省石家庄市2020-2021学年高二上学期期末数学试题

河北省石家庄市二中2020-2021学年高二生物8月线上考试试题（一）（含解析）一、选择题1. 如图中a代表某信号分子，下列相关叙述不正确的是A. 图中反映了细胞膜具有细胞间信息交流的功能B. 图中乙细胞表示靶细胞C. 图中a可能是胰岛素D. 图中b表示细胞膜上的受体，其可以接收任何信号分子【答案】D【解析】【分析】本题考查细胞膜的功能,细胞膜的成分。

据图分析，甲细胞表示分泌细胞，图中乙细胞表示靶细胞，a可能表示某种信号分子，b表示受体。

【详解】图示甲细胞产生的某种物质通过运输作用于乙细胞，反映了细胞膜具有细胞间信息交流的功能，A正确；图中甲细胞表示分泌细胞，图中乙细胞表示靶细胞，B正确；图中a可能表示某种信号分子，可能是胰岛素，C正确；图中b表示细胞膜上受体，受体具有特异性，特定的受体只能接受特定的信号分子，D错误。

【点睛】细胞间信息交流的方式可归纳为三种主要方式：1、相邻细胞间直接接触，通过与细胞膜结合的信号分子影响其他细胞，即细胞←→细胞；如精子和卵细胞之间的识别和结合。

2、相邻细胞间形成通道使细胞相互沟通，通过携带信息的物质来交流信息，即细胞←通道→细胞，如高等植物细胞之间通过胞间连丝相互连接，进行细胞间的信息交流。

3、通过体液的作用来完成的间接交流，如内分泌细胞分泌→激素进入体液→体液运输→靶细胞受体信息→靶细胞，即激素→靶细胞。

2. 下图为植物细胞部分膜结构示意图，它们分别属于哪一部分，按①②③④顺序依次（）A. 细胞膜、高尔基体膜、线粒体膜、核膜B. 细胞膜、叶绿体膜、线粒体膜、内质网膜C. 线粒体膜、核膜、内质网膜、高尔基体膜D. 叶绿体膜、细胞膜、线粒体膜、核膜【答案】D【解析】【分析】该题主要考察了学生通过细胞的结构示意图来判定细胞结构的能力，线粒体具有双层膜结构，其中内膜向内折叠形成嵴，核膜也具有双层膜结构，其上还分布有很多核孔，外面连接内质网，附着有核糖体。

【详解】①细胞内具有双层膜的结构有叶绿体、线粒体和核膜，其中叶绿体的外膜和内膜相似，①为叶绿体；②所示结构具有单层膜，可能是细胞膜、液泡膜、溶酶体膜等单层膜结构；③所示结构具有双层膜，且内膜向内折叠凹陷形成嵴，③为线粒体；④所示结构上有核孔，一般在模式图上表现为一种不连续的膜结构，其外侧分布有核糖体，④为核膜；故选D。

2020-2021学年河北省石家庄市某校高二下学期第一次月考 (化学)试卷一、选择题1. 提出“杂化轨道理论”的科学家是（）A.门捷列夫B.普鲁特C.玻尔D.鲍林2. 下列各组元素中不符合“对角线法则”的是（）A.Li、MgB.C、PC.B、SiD.Be、Al3. 下列基态原子或离子的相关电子排布图正确的是（）A.Fe3+的价电子：B.Cr原子的价电子：C.N原子的核外电子：D.S2−的L层电子：4. 短周期主族元素W、X、Y、Z的原子序数依次增大，W、X同周期且基态原子均含有2个未成对电子。

Z的单质常温下为气体且价电子数和：W+X=Y+Z，下列有关说法正确的是（）A.简单离子半径：X<YB.最高正价：X>WC.Y与Z形成的化合物为非电解质D.W、Z形成的二元化合物中可能同时含有σ键和π键5. 下列关于卤族元素单质及其化合物的结构与性质说法错误的是（）A.相对分子质量：CH2Cl2>CH3Cl，因此熔沸点：CH2Cl2>CH3ClB.键长H−Br>H−Cl，因此稳定性：HCl>HBrC.单质氧化性F2>Cl2，因此F2可氧化水溶液中的Cl−D.非金属性：Cl>Br，因此含氧酸酸性：HClO4>HBrO46. 下列关于物质结构和性质的说法正确的是（）A.BF3中的键角大于BF4−的键角B.CH3CN中σ键和π键的数目之比为4:3C.含氧酸酸性：HClO>HClO2D.CH3OH易溶于水的原因仅仅是因为CH3OH和水分子都是极性分子7. 反应SiHCl3(g)+H2(g)===Si(s)+3HCl(g)可用于纯硅的制备，下列说法正确的是（）A.SiHCl3中Si原子的杂化方式为sp2杂化B.SiHCl3中Si元素的化合价为+2C.键长：Si−Si>C−C，故键能：Si−Si<C−CD.HCl易溶于水是因为HCl和水分子之间能形成氢键8. 已知X、Y元素同周期，且电负性X大于Y，下列说法一定错误的是（）A.第一电离能：Y大于XB.气态氢化物的稳定性：Y大于XC.最高价含氧酸的酸性：X强于YD.X和Y形成化合物时，X显负价，Y显正价9. 已知HF沸点为19.5∘C，BF3沸点为−100∘C，HF+BF3===HBF4，下列有关说法错误的是（）A.HBF4中B原子为sp3杂化B.BF3和HBF4分子中B最外层均为8e−稳定结构C.HBF4中存在配位键D.HF沸点高于BF3沸点的原因可能为HF分子之间存在氢键10. 根据价层电子对互斥理论，NCl3、SO2、SO3、BF3的气态分子中，中心原子价层电子对数不同于其他分子的是（）A.NCl3B.SO2C.SO3D.BF311. 元素的基态气态原子得到一个电子形成气态−1价离子时所放出的能量称作第一电子亲和能（E），−1价阴离子再获得一个电子的能量变化叫做第二电子亲和能，部分元素或离子的电子亲和能数据如表所示。

空间向量与立体几何（选择题、填空题）一、单项选择题1．（江西省赣州市赣县第三中学2020-2021学年高二8月入学考试）已知点(,1,2)A x 和点(2,3,4)B ，且AB =x 的值是（ ）A ．6或2-B ．6或2C ．3或4-D ．3-或4【答案】A【解析】AB ==()2216x -=，解得：2x =-或6x =．故选A2．（2020江西省新余期末质量检测）在空间直角坐标系中，已知P(－1，0，3)，Q(2，4，3)，则线段PQ 的长度为( )A B ．5C D 【答案】B【解析】由题得2(3,4,0),35PQ PQ =∴=+=，所以线段PQ 的长度为5． 故答案为B3．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）已知空间向量()3,1,3m =，()1,,1n λ=--，且//m n ，则实数λ=（ ）A ．13- B ．-3 C ．13D ．6【答案】A【解析】因为//m n ，所以,m n R μμ=∈，即：()3,1,3m ==(),,n μλμμμ--=， 所以3,1μλμ=-=，解得13λ=-．故选A ．4．（江西省新余一中、宜春一中2021届高二联考）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，O 是底面正方形ABCD 的中心，M 是1D D 的中点，N 是11A B 的中点，则直线NO ，AM 的位置关系是（ ）A ．平行B ．相交C ．异面垂直D ．异面不垂直【答案】C【分析】建立空间直角坐标系，写出NO 与AM 的坐标，即可判断位置关系．【解析】建立空间直角坐标系，如图所示．设正方体的棱长为2，则(2,0,0)A ，(0,0,1)M ，(1,1,0)O ，(2,1,2)N ，∴(1,0,2)NO =--，(2,0,1)AM =-．∵0NO AM ⋅=，∴直线NO ，AM 的位置关系是异面垂直． 故选: C5．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点,E F 分别是,BC AD 的中点，则AE AF ⋅的值为（ ） A ．2aB ．212aC ．214a D 2 【答案】C【分析】由题意可得11()22AB AC AE AF AD ⋅=+⋅，再利用两个向量的数量积的定义求得结果．【解析】11()22AB AC AE AF AD ⋅=+⋅1()4AB AD AC AD =⋅+⋅ ()22211cos60cos6044a a a ︒︒=+=，故选C. 6．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）已知M ，N 分别是四面体OABC 的棱OA ，BC 的中点，点P 在线段MN 上，且2MP PN =，设向量OA a =，OBb =，OC c =则OP =（ ）A ．111666a b c ++B ．111333a b c ++C ．111633a b c ++D ．111366a b c ++【答案】C【解析】如图所示，连接ON ，∵OP ON NP =+，1()2ON OB OC =+，所以13NP NM =，NM OM ON =-，12OM OA =，∴13OP ON NP ON NM =+=+121()333ON OM ON ON OM =+-=+21()32OB OC =⨯+1132OA +⨯111633OA OB OC =++111633a b c =++．故选C ． 7．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）若两条不重合直线1l 和2l 的方向向量分别为()11,0,1ν=-，()22,0,2ν=-，则1l 和2l 的位置关系是（ ） A ．平行 B ．相交 C ．垂直D ．不确定【答案】A【解析】因为两条不重合直线1l 和2l 的方向向量分别为()11,0,1ν=-，()22,0,2ν=-， 所以212v ν=-，即2ν与1v 共线，所以两条不重合直线1l 和2l 的位置关系是平行，故选A8．（山东省滕州市第一中学2020-2021学年高二9月开学收心考试）设,x y R ∈，向量()()(),1,1,1,,1,2,4,2,a x b y c ===-且,//a c b c ⊥，则a b +=（ ）A ．BC ．3D ．4【答案】C【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示求得参数,x y ，再求向量模长即可． 【解析】()//,241,2,1,21b c y y b ∴=-⨯∴=-∴=-，，(),1210,1a b a b x x ⊥∴⋅=+⋅-+=∴=，()()1,112,1,2a a b ∴=∴+=-，，(2213a b ∴+=+-=，故选C ．9．（江西省宜春市2016-2017学年高二上学期期末统考理）如图所示，在空间四边形OABC 中，OA a OB b OC c ==＝，，，点M 在OA 上，且2,OM MA N =为BC 中点，则MN =（ ）A ．121232a b c -+B ．211322a b c -++ C ．111222a b c +-D ．221b 332a c -+-【答案】B【解析】由向量的加法和减法运算：12211()23322MN ON OM OB OC OA a b c =-=+-=-++．故选B10．（陕西省商洛市商丹高新学校2019-2020学年高二下学期4月学情质量检测数学（理））如图，已知正方体ABCD A B C D ''''-，点E 是A C ''的中点，点F 是AE 的三等分点，且12AF EF =，则AF =（ ）A ．1122AA AB AD '++ B ．111222AA AB AD '++ C ．111266AA AB AD '++D ．111366AA AB AD '++【答案】D【解析】∵点E 是A C ''的中点，点F 是AE 的三等分点，且12AF EF =， ∴111111()333236AF AE AA A E AA A C AA A C ⎛⎫''''''''==+=+=+ ⎪⎝⎭ 11()36AA A B A D '''''=++111366AA AB AD '=++，故选D ． 11．（安徽省六安市舒城中学2020-2021学年高二上学期开学考试数学（文）试题）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，()1,2,,8i P i =是上底面上其余的八个点，则()1,2,,8i AB AP i ⋅=⋅⋅⋅的不同值的个数为（ ）A ．8B ．4C ．2D ．1【答案】D【解析】()2i i i AB AP AB AB BP AB AB BP ⋅=⋅+=+⋅，AB ⊥平面286BP P P ，i AB BP ∴⊥，i AB BP ∴⋅=，21i AB AP AB ∴⋅==，则()1,2,,8i AB AP i ⋅=⋅⋅⋅的不同值的个数为1个，故选D .12．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）点P (1，2，3）关于xOy 平面的对称点的坐标为（ ） A ．(－1，2，3) B ．(1，－2，－3) C ．(－1，－2，－3) D ．(1，2，－3)【答案】D【分析】关于xOy 平面对称的点的,x y 坐标不变，只有z 坐标相反． 【解析】点P (1，2，3）关于xOy 平面的对称点的坐标为(1,2,)3-．故选D ．13．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）若向量(2,0,1)a =-，向量(0,1,2)b =-，则2a b -=（ ）A ．(4,1,0)-B ．(4,1,4)--C ．(4,1,0)-D ．(4,1,4)--【答案】C【分析】根据题意求出2(4,0,2)a=-，再根据向量的减法坐标运算，由此即可求出结果．【解析】因为向量(2,0,1)a =-，向量(0,1,2)b =-，则2(4,0,2)a =-，则2(4,0,2)(0,1,2)(4,1,0)a b -=---=-，故选C ．14．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）已知正方体1111ABCD A B C D -，点E 是上底面11A C 的中心，若1AE AA xAB yAD =++，则x y +等于（ ） A ．13B ．12C ．1D ．2【答案】C【解析】如图，()111111112AE AA A E AA A B A D =+=++ ()11111222AA AB AD AA AB AD =++=++，所以12x y ==，所以1x y +=．故选C15．（江苏省南京市秦淮区2019-2020学年高一下学期期末）空间直角坐标系O xyz -中，已知两点()11,2,1P -，()22,1,3P -，则这两点间的距离为（ ）A BC ．D ．18【答案】B【解析】根据题意，两点()11,2,1P -，()22,1,3P -，则12||PP =B ．16．（湖北省恩施高中2020届高三下学期四月决战新高考名校交流卷（B ））已知向量()1,2a =，()3,b x =，()1,1c y =--，且//a b ，b c ⊥，则x y ⋅的值为（ ）A ．6B ．32 C ．9D ．132-【答案】C【解析】∵//a b ，∴60x -=，6x =，∴向量()3,6b =， ∵b c ⊥，∴()3610y -+-=，∴32y =，∴9x y ⋅=．故选C ． 17．（四川省绵阳市2019-2020学年高二下学期期末教学质量测试数学（理）试题）在空间直角坐标系中，若()1,1,0A ，()13,0,12AB =，则点B 的坐标为（ ） A ．()5,1,2-- B ．()7,1,2- C ．()3,0,1 D ．()7,1,2【答案】D【分析】首先设出点(,,)B x y z ，利用向量坐标公式以及向量相等的条件得到等量关系式，求得结果． 【解析】设(,,)B x y z ，所以(1,1,)2(3,0,1)(6,0,2)AB x y z =--==，所以16102x y z -=⎧⎪-=⎨⎪=⎩，所以712x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以点B 的坐标为(7,1,2)，故选D ．18．（广东省云浮市2019-2020学年高二上学期期末）如图，在三棱锥P ABC -中，点D ，E ，F 分别是AB ，PA ，CD 的中点，设PA a =，PB b =，PC c =，则EF =（ ）A ．111442a b c --B ．111442a b c -+ C ．111442a b c +-D ．111442a b c -++【答案】D 【解析】点D ，E ，F 分别是AB ，PA ，CD 的中点，且PA a =，PB b =，PC c =，∴()11112224EF EP PC CF PA PC CD PA PC CA CB =++=-++=-+++()1111124442PA PC PA PC PB PC PA PB PC =-++-+-=-++111442a b c =-++．故选D ．19．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）一个向量p 在基底{},,a b c 下的坐标为()1,2,3，则p 在基底{},,a b a b c +-下的坐标为（ ）A ．31322⎛⎫- ⎪⎝⎭，，B ．31322⎛⎫- ⎪⎝⎭，， C ．13322⎛⎫- ⎪⎝⎭，，D ．13322⎛⎫- ⎪⎝⎭，，【答案】B【解析】因为向量p 在基底{},,a b c 下的坐标为()1,2,3，所以23p a b c =++， 设p 在基底{},,a b a b c +-下的坐标为(),,x y z ，所以()()()()p x a b y a b zc x y a x y b zc =++-+⇒++-+，有13223x y x y x z +=⎧⎪-=⇒=⎨⎪=⎩，12y，3z =，p 在基底{},,a b a b c +-下的坐标为31,,322⎛⎫- ⎪⎝⎭．故选B ．20．（湖北省武汉襄阳荆门宜昌四地六校考试联盟2020-2021学年高三上学期起点联考）如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，12AA AB ==，60BAD ∠=︒，M 是1BB 的中点，则异面直线1A M 与1B C所成角的余弦值为（ ）A． B ．15- C ．15D．5【答案】D【分析】用向量1,,AB BC BB 分别表示11,AM BC ，利用向量的夹角公式即可求解． 【解析】由题意可得221111111111,5,2A M AB B M AB BB A M A B B M=+=-=+=221111,2BC BC BB B C BC BB =-=+=，()211111111111cos ,AB BB BC BB AB BC BB A M B C A M B C A M B C⎛⎫-⋅-⋅+ ⎪⋅⎝〈〉===0122cos604⨯⨯+⨯==故选D21．（河北省石家庄市第二中学2020-2021学年高二上学期8月线上考试（二））长方体1111ABCD A B C D -中，11,2,AB AD AA E ===为棱1AA 的中点，则直线1C E 与平面11CB D 所成角的余弦值为（ ） A．9 B．9CD ．23【答案】A【解析】根据题意，建立如图所示直角坐标系：则1C E (1,1,1)=--，设平面11B D C 的法向量为n (,,)x y z =，则100n B D n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得：020x y x z --=⎧⎨--=⎩，取n (2,2,1)=--，则1,cos n C E =11n C E nC E⋅9==，设直线1C E 与平面11B D C 的夹角为θ，则9sin θ=，9cos θ==．故选A ． 22．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）已知点()1,1,A t t t --，()2,,B tt ，则A ，B 两点的距离的最小值为A．10 B．5C．5D ．35【答案】C【分析】由两点之间的距离公式求得AB 之间的距离用t 表示出来，建立关于t 的函数，转化为求函数的最小值．【解析】因为点()1,1,A t t t --，()2,,B t t ，所以22222(1)(21)()522AB t t t t t t =++-+-=-+，有二次函数易知，当15t =时，取得最小值为95，AB ∴，故选C ．23．（湖南省邵阳市邵东县第十中学2020届高三下学期模拟考试数学（文）试题）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是棱AB ，1BB 的中点，点P 在对角线1CA 上运动．当△PMN 的面积取得最小值时，点P 的位置是（ ）A ．线段1CA 的三等分点，且靠近点1AB ．线段1CA 的中点C ．线段1CA 的三等分点，且靠近点CD ．线段1CA 的四等分点，且靠近点C【答案】B【解析】设正方体的棱长为1，以A 为原点，1,,AB AD AA 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则1(,0,0)2M ，1(1,0,)2N ，MN 的中点31(,0,)44Q ，1(0,0,1)A ，(1,1,0)C ，则1(1,1,1)AC =-，设(,,)P t t z ，(1,1,)PC t t z =---， 由1AC 与PC 共线，可得11111t t z---==-，所以1t z =-，所以(1,1,)P z z z --，其中01z ≤≤，因为||(1PM ==||(11)(1PN z =--+=所以||||PM PN =，所以PQ MN ⊥，即||PQ 是动点P 到直线MN 的距离，由空间两点间的距离公式可得||PQ ===12c =时，||PQ 取得最小值4，此时P 为线段1CA 的中点，由于||4MN =为定值，所以当△PMN 的面积取得最小值时，P 为线段1CA 的中点．故选B24．（云南省梁河县第一中学2019-2020学年高二7月月考数学（理）试题）长方体1111ABCD A B C D -中，12AB AA ==，1AD =，E 为1CC 的中点，则异面直线1BC 与AE 所成角的余弦值为（ ）A BCD ．【答案】B【分析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线1BC 与AE 所成角的余弦值．【解析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A 、()2,0,0B 、()12,1,2C 、()2,1,1E ，()2,1,1AE =，()10,1,2BC =，111cos ,6AE BC AE BC AEBC ⋅<>===⋅． 因此，异面直线1BC 与AE ．故选B ． 25．（广西桂林市2019-2020学年高二下学期期末质量检测数学（理））在正方体ABCD --A 1B 1C1D 1中，E 是C 1C 的中点，则直线BE 与平面B 1BD 所成角的正弦值为( ) A．5-B．5C ．D 【答案】B【分析】以D 为坐标原点，以DA 为x 轴，以DC 为y 轴，以1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BE 与平面1B BD 所成角的正弦值．【解析】以D 为坐标原点，以DA 为x 轴，以DC 为y 轴，以1DD 为z 轴，建立如图空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则()000D ，，，()220B ，，，()1222B ，，，()021E ，，， ∴() 220BD =--，，，()1 002BB =，，，() 201BE =-，，， 设平面1B BD 的法向量为() ,,x n y z =，∵ n BD ⊥，1n BB ⊥， ∴22020x y z --=⎧⎨=⎩，令y 1=，则() 110n =-，，，∴10cos ,n BE n BE n BE ⋅==⋅，设直线BE 与平面1B BD 所成角为θ，则10sin cos ,5n BE θ==，故选B ．26．（陕西省商洛市商丹高新学校2020届高三下学期考前适应性训练理科）如图在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱12AA =且1160A AD A AB ∠=∠=︒，则1AC =（ ）A ． BC ．D 【答案】B【解析】因为底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱12AA =且1160A AD A AB ∠=∠=︒，则2=1AB ，2=1AD ，21=4AA ，0AB AD ⋅=，111cos 1AB AA AB AA A AB ⋅=⋅⋅∠=，111cos 1AD AA AD AA A AD ⋅=⋅⋅∠=，则1AC 1AB AD AA =++()1222111222AB AD AA AB AA AB AD AD AA =+++⋅+⋅+⋅==，故选B ．27．（2020届上海市七宝中学高三高考押题卷）已知MN 是正方体内切球的一条直径，点P 在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则PM PN →→⋅的取值范围为（ ） A ．[]0,4 B ．[]0,2 C ．[]1,4D ．[]1,2【答案】B【分析】利用向量的线性运算和数量积运算律可将所求数量积化为21PO →-，根据正方体的特点可确定PO →的最大值和最小值，代入即可得到所求范围．【解析】设正方体内切球的球心为O ，则1OM ON ==，2PM PN PO OM PO ON PO PO OM ON OM ON →→→→→→→→→→→→⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+⋅++⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，MN 为球O 的直径，0OM ON →→∴+=，1OM ON →→⋅=-，21PM PN PO →→→∴⋅=-，又P 在正方体表面上移动，∴当P 为正方体顶点时，PO →P 为内切球与正方体的切点时，PO →最小，最小值为1，[]210,2PO →∴-∈，即PM PN →→⋅的取值范围为[]0,2．故选B ．【点睛】本题考查向量数量积的取值范围的求解问题，关键是能够通过向量的线性运算将问题转化为向量模长的取值范围的求解问题．28．（湖北省荆门市2019-2020学年高二下学期期末）在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，若2AC x AB y BC z CC →→→→''=++，则x y z ++=（ ）A ．52B ．2C ．32D ．116【答案】A【解析】由空间向量的线性运算，得AB BC AC AC CC CC →→→→→→⎛⎫=+=++ ⎪⎭'''⎝， 由题可知，2AC x AB y BC z CC →→→→''=++，则1,1,21x y z ===，所以11,2y z ==， 151122x y z ∴++=++=．故选A ．29．（安徽省六校教育研究会2020-2021学年高三上学期第一次素质测试理科）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知90ABC ∠=︒，P 为侧棱1CC 上任意一点，Q 为棱AB 上任意一点，PQ 与AB 所成角为α，PQ 与平面ABC 所成的角为β，则α与β的大小关系为（ ）A ．αβ=B ．αβ<C ．αβ>D ．不能确定【答案】C【分析】建立空间直角坐标系设()()(),0,,0,,00,0,0P x z Q y x y z >≥≥，利用空间向量法分别求得cos ,cos αβ，然后根据(0,],0,22ππαβ⎡⎤∈∈⎢⎥⎣⎦，利用余弦函数的单调性求解．【解析】建立如图所示空间直角坐标系：设()()(),0,,0,,00,0,0P x z Q y x y z >≥≥，则()(),,,0,,0QP x y z QB y =-=-， 所以2222,,QP QB y QP x y z QB y ⋅==++=，所以2cos QP QB QP QBx zα⋅==⋅+又(0,],0,22ππαβ⎡⎤∈∈⎢⎥⎣⎦，sin QP CP QPβ⋅==所以cos β=cos cos βα>，因为cos y x = 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上递减，所以αβ>，故选C 30．（江西省赣州市赣县第三中学2019-2020学年高二6月份考试数学（理）试题）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，侧棱1AA ⊥底面ABCD ，3AB =，14AA =，P 是侧面11BCC B 内的动点，且1AP BD ⊥，记AP 与平面11BCC B 所成的角为θ，则tan θ的最大值为（ ）A ．43B ．53 C ．2D ．259【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线面角的正切值的最大值． 【解析】以1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系， 设(,3,)P x z ，则1(3,3,),(3,3,4)AP x z BD =-=--，11,0AP BD AP BD ⊥∴⋅=，33(3)3340,4x z z x ∴---⨯+=∴=，||BP ∴==9255=， ||5tan ||3AB BP θ∴=，tan θ∴的最大值为53．故选B ．31．（江西省赣州市赣县第三中学2019-2020学年高二6月份考试数学（理）试题）如图，在棱长都相等的正三棱柱111ABC A B C -中，D 是棱1CC 的中点，E 是棱1AA 上的动点．设AE x =，随着x 增大，平面BDE 与底面ABC 所成锐二面角的平面角是（ ）A ．增大B ．先增大再减小C ．减小D ．先减小再增大【答案】D【解析】设正三棱柱111ABC A B C -棱长为2，,02AE x x =≤≤， 设平面BDE 与底面ABC 所成锐二面角为α，以A 为坐标原点，过点A 在底面ABC 内与AC 垂直的直线为x 轴，1,AC AA 所在的直线分别为,y z 轴建立空间直角坐标系，则(0,2,1),(0,0,),(3,1,1),(0,2,1)B D E x BD ED x =-=-，设平面BDE 的法向量(,,)m s t k =，则m BD m ED⎧⊥⎨⊥⎩，即02(1)0t k t x k ⎧++=⎪⎨+-=⎪⎩，令k =33,1t x s x =-=+，所以平面BDE的一个法向量(m x=+-，底面ABC的一个法向量为(0,0,1)n =，cos|cos,|m nα=<>==当1(0,)2x∈，cosα随着x增大而增大，则α随着x的增大而减小，当1(,2)2x∈，cosα随着x增大而减小，则α随着x的增大而增大．故选D．32．（山东省滕州市第一中学2020-2021学年高二9月开学收心考试）已知空间直角坐标系O xyz-中，()1,2,3OA =，()2,1,2OB =，()1,1,2OP =，点Q在直线OP上运动，则当QA QB⋅取得最小值时，点Q 的坐标为（）A．131,,243⎛⎫⎪⎝⎭B．133,,224⎛⎫⎪⎝⎭C．448,,333⎛⎫⎪⎝⎭D．447,,333⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【分析】设(,,)Q x y z，根据点Q在直线OP上，求得(,,2)Qλλλ，再结合向量的数量积和二次函数的性质，求得43λ=时，QA QB⋅取得最小值，即可求解．【解析】设(,,)Q x y z，由点Q在直线OP上，可得存在实数λ使得OQ OPλ=，即(,,)(1,1,2)x y zλ=，可得(,,2)Qλλλ，所以(1,2,32),(2,1,22)QA QB λλλλλλ=---=---，则2(1)(2)(2)(1)(32)(22)2(385)QA QB λλλλλλλλ⋅=--+--+--=-+， 根据二次函数的性质，可得当43λ=时，取得最小值23-，此时448(,,)333Q ． 故选C ．【点睛】本题主要考查了空间向量的共线定理，空间向量的数量积的运算，其中解答中根据向量的数量积的运算公式，得关于λ的二次函数是解答的关键，着重考查运算与求解能力．33．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）如图该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成，半圆柱体底面直径BC ＝4，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D 为半圆弧的中点，若异面直线BD 和AB 1所成角的余弦值为23，则该几何体的体积为（ ）A ．16+8πB ．32+16πC ．32+8πD ．16+16π【答案】A【解析】设D 在底面半圆上的射影为1D ，连接1AD 交BC 于O ，设1111A D B C O ⋂=． 依题意半圆柱体底面直径4,,90BC AB AC BAC ==∠=︒，D 为半圆弧的中点， 所以1111,AD BC A D B C ⊥⊥且1,O O 分别是下底面、上底面半圆的圆心．连接1OO ， 则1OO 与上下底面垂直，所以11,,OO OB OO OA OA OB ⊥⊥⊥，以1,,OB OA OO 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设几何体的高为()0h h >，则()()()()12,0,0,0,2,,0,2,0,2,0,B D h A B h -，所以()()12,2,,2,2,BD h AB h =--=-，由于异面直线BD 和1AB 所成的角的余弦值为23，所以11238BD AB BD AB ⋅==⋅，即2222,16,483h h h h ===+．所以几何体的体积为2112442416822ππ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+．故选A.34．（安徽省阜阳市太和第一中学2020-2021学年高二（平行班）上学期开学考试）在正方体1111ABCD A B C D -中，直线1BC 与平面1A BD 所成角的余弦值为（ ）A ．24B ．23 C ．3 D ．3 【答案】C【分析】分别以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立如图所示空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量后可得所求线面角的余弦值． 【解析】分别以1,,DA DC DD 为,,x y z轴建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，可得()()()()110,0,0,1,1,0,0,1,1,1,0,1D B C A ∴()()()111,0,1,1,0,1,1,1,0BC A D BD =-=--=--， 设(),,n x y z =是平面1A BD 的一个法向量，∴100n A D n BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即00x z x y +=⎧⎨+=⎩，取1x =，得1y z ==-，∴平面1A BD 的一个法向量为()1,1,1n =--，设直线1BC 与平面1A BD 所成角为θ， ∴11126sin cos ,323BC nBC n BC nθ⋅-=〈〉===⨯， ∴23cos 1sin θθ=-1BC 与平面1A BD 所成角的余弦值是33， 故选C.【点睛】用向量法求二面角大小的两种方法：（1）分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小即为二面角的大小；（2）分别求出二面角的两个半平面的法向量，然后通过两个法向量的夹角得到二面角大小，解题时要注意结合图形判断出所求的二面角是锐角还是钝角．35．（2020届重庆市第一中学高三下学期6月模拟数学（理）试题）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是底面1111D C B A 内（含边界）的一点，且//AP 平面1DBC ，则异面直线1A P 与BD 所成角的取值范围为（ ）A ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】过A 作平面α平面1DBC ，点P 是底面1111D C B A 内（含边界）的一点，且//AP 平面1DBC ，则P ∈平面α，即P 在α与平面1111D C B A 的交线上，连接111,,AB AD B D ，11DD BB =，则四边形11BDD B 是平行四边形，11B D BD ∴，11B D ∴平面1DBC ，同理可证1AB ∥平面1DBC ，∴平面11AB D ∥平面1DBC ，则平面11AB D 即为α，点P 在线段11B D 上，以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 建立如图坐标系，设正方体棱长为1， 则()0,0,0D ，()1,1,0B ，()1,0,0A ，设(),,1P λλ，[]0,1λ∈， ()1,1,0DB ∴=，()1,,1AP λλ=-，21DB AP λ∴⋅=-，2DB =，2AP λ=，设1A P 与BD 所成角为θ，则cos 2DB APDB APθ⋅===⋅ ==12λ=时，cos θ取得最小值为0， 当0λ=或1时，cos θ取得最大值为12，10cos 2θ∴≤≤，则32ππθ≤≤．故选C ． 36．（重庆市第八中学2020届高三下学期第五次月考数学（理）试题）如图，矩形ABCD 中，2AB AD ==E 为边AB 的中点，将ADE 沿直线DE 翻折成1A DE △．在翻折过程中，直线1A C 与平面ABCD 所成角的正弦值最大为（）A．4B ．6C．14D【答案】A【解析】分别取DE ，DC 的中点O ，F ，则点A 的轨迹是以AF 为直径的圆， 以,OA OE 为,x y 轴，过O 与平面AOE 垂直的直线为z 轴建立坐标系，则()2,1,0C -，平面ABCD 的其中一个法向量为n = (0，0．1)， 由11A O =，设()1cos ,0,sin A αα，则()1cos 2,1,sin CA αα=+-，记直线1A C 与平面ABCD 所成角为θ，则11sin 4cos ||CA nCAn θ⋅===⋅设315cos ,,sin 222t αθ⎡⎤=+∈=≤=⎢⎥⎣⎦ 所以直线1A C 与平面ABCD ，故选A ． 二、多项选择题37．（江苏省南京市秦淮中学2019-2020学年高二（美术班）上学期期末）对于任意非零向量()111,,a x y z =，()222,,b x y z =，以下说法错误的有( )A ．若a b ⊥，则1212120x x y y z z ++=B ．若//a b ，则111222x y z x y z == C ．cos ,a b =><D ．若1111===x y z ，则a为单位向量 【答案】BD【解析】对于A 选项，因为a b ⊥，则1212120a b x x y y z z ⋅=++=，A 选项正确；对于B 选项，若20x =，且20y ≠，20z ≠，若//a b ，但分式12x x 无意义，B 选项错误； 对于C 选项，由空间向量数量积的坐标运算可知cos ,a b =><，C 选项正确；对于D 选项，若1111===x y z，则211a =+=，此时，a 不是单位向量，D 选项错误．故选BD ．38．（2020届百师联盟高三开学摸底大联考山东卷）下面四个结论正确的是（ ） A ．向量(),0,0a b a b ≠≠，若a b ⊥，则0a b ⋅=．B ．若空间四个点P ，A ，B ，C ，1344PC PA PB =+，则A ，B ，C 三点共线． C ．已知向量()1,1,a x =，()3,,9b x =-，若310x <，则,a b 为钝角．D ．任意向量a ，b ，c 满足()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅． 【答案】AB【解析】由向量垂直的充要条件可得A 正确；1344PC PA PB =+，∴11334444PC PA PB PC -=-即3AC CB =，∴A ，B ，C 三点共线，故B 正确；当3x =-时，两个向量共线，夹角为π，故C 错误；由于向量的数量积运算不满足结合律，故D 错误．故选AB.39．（广东省中山市2019-2020学年高一下学期期末）在空间直角坐标系中，下列结论正确的是（ ） A ．点()2,1,4-关于x 轴对称的点的坐标为()2,1,4 B ．到()1,0,0的距离小于1的点的集合是()(){}222,,11x y z x y z -++<C ．点()1,2,3与点()3,2,1的中点坐标是()2,2,2D ．点()1,2,0关于平面yOz 对称的点的坐标为()1,2,0- 【答案】BCD【解析】对于选项A ：点()2,1,4-关于x 轴对称的点的坐标为()2,1,4---，所以A 不正确； 对于选项B ：点(),,x y z到()1,0,0的距离小于11<，所以B 正确；对于选项C ：点()1,2,3与点()3,2,1的中点坐标是()132231,,2222,2,2⎛⎫=⎪⎝⎭+++，所以C 正确；对于选项D ：由点(),,x y z 关于平面yOz 对称的点的坐标为(),,x y z -，所以D 正确． 故选B C D ．40．（山东省威海市文登区2019-2020学年高二上学期期末）正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则下列结论正确的是（ ）A ．211AB AC a ⋅=- B ．212BD BD a ⋅= C ．21AC BA a⋅=- D ．212AB AC a ⋅=【答案】BC【解析】如下图所示：对于A 选项，()2211AB AC AB AC AB AB AD AB a ⋅=⋅=⋅+==，A 选项错误；对于B ，()()()()2221112BD BD AD AB BD DD AD AB AD AB AA AD AB a ⋅=-+=--+=+=，B 选项正确；对于C 选项，()()2211AC BA AB AD AA AB AB a ⋅=+⋅-=-=-，C 选项正确；对于D 选项，()2211AB AC AB AB AD AA AB a ⋅=⋅++==，D 选项错误．故选BC ．41．（福建省泉州市普通高中2019-2020学年毕业班第一次质量检查（理））如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是1DD 的中点，则（ ）A ．直线1//BC 平面1A BD B ．11B C BD ⊥C ．三棱锥11C B CE -的体积为13D ．异面直线1B C 与BD 所成的角为60︒【答案】ABD【解析】如图建立空间直角坐标系，()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,1,0C ，()0,1,0D ，()10,0,1A ，()11,0,1B ，()11,1,1C ，()10,1,1D ，10,1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭E ，()1B C 0,1,1=-，()11,1,1BD =-，()1,1,0BD =-，()11,0,1BA =-，所以()111011110B C BD =-⨯+⨯+-⨯=，即11BC BD ⊥，所以11B C BD ⊥，故B 正确；()11011101B C BD =-⨯+⨯+-⨯=，12B C =，2BD =，设异面直线1B C 与BD 所成的角为θ，则111cos 2B C BD B C BDθ==，又0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以3πθ=，故D 正确；设平面1A BD 的法向量为(),,n x y z =，则1·0·0n BA n BD ⎧=⎨=⎩，即0x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，取()1,1,1n =，则()10111110n B C =⨯+⨯+⨯-=，即1C n B ⊥，又直线1B C ⊄平面1A BD ，所以直线1//B C 平面1A BD ，故A 正确；111111111111113326C B CE B C CE C CE V B C S V -∆-===⨯⨯⨯⨯=⋅，故C 错误；故选ABD.42．（海南省海南中学2019-2020学年高三第四次月考）如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，点P 在侧面11BCC B 及其边界上运动，并且总是保持1AP BD ⊥，则以下四个结论正确的是（）A ．113P AA D V -=B ．点P 必在线段1BC 上C ．1AP BC ⊥D ．//AP 平面11AC D【答案】BD 【解析】对于A ，P 在平面11BCC B 上，平面11//BCC B 平面1AA D ，P ∴到平面1AA D 即为C 到平面1AA D 的距离，即为正方体棱长，1111111113326P AA D AA D V S CD -∴=⋅=⨯⨯⨯⨯=△，A 错误；对于B ，以D 为坐标原点可建立如下图所示的空间直角坐标系：则()1,0,0A ，(),1,P x z ，()1,1,0B ，()10,0,1D ，()11,1,1B ，()0,1,0C()1,1,AP x z →∴=-，()11,1,1BD →=--，()11,0,1B C →=--，1AP BD ⊥，1110AP BD x z →→∴⋅=--+=，x z ∴=，即(),1,P x x ，(),0,CP x x →∴=，1CP x B C →→∴=-，即1,,B P C 三点共线，P ∴必在线段1B C 上，B 正确；对于C ，()1,1,AP x x →=-，()11,0,1BC →=-，111AP BC x x →→∴⋅=-+=，AP ∴与1BC 不垂直，C 错误；对于D ，()11,0,1A ，()10,1,1C ，()0,0,0D ，()11,0,1DA →∴=，()10,1,1DC →=，设平面11AC D 的法向量(),,n x y z →=，1100n DA x z n DC y z ⎧⋅=+=⎪∴⎨⋅=+=⎪⎩，令1x =，则1z =-，1y =，()1,1,1n →∴=-， 110AP n x x →→∴⋅=-+-=，即AP n →→⊥，//AP ∴平面11ACD ，D 正确．故选BD ． 43．（福建省宁德市2019-2020学年高二上学期期末考试）如图所示，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D-中，P 为线段1A B 上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（ ）A ．平面11D A P ⊥平面1A APB ．1AP DC ⋅不是定值 C ．三棱锥11BD PC -的体积为定值 D ．11DC D P ⊥【答案】ACD【解析】A ．因为是正方体，所以11D A ⊥平面1A AP ，11D A ⊂平面11D A P ，所以平面11D A P ⊥平面1A AP ，所以A 正确；B ．11111111()AP DC AA A P DC AA DC A P DC ⋅=+⋅=⋅+⋅ 11112cos 45cos901212AA DC A P DC =+=⨯⨯=，故11AP DC ⋅=，故B 不正确； C ．1111B D PC P B D C V V --=，11B D C 的面积是定值，1//A B 平面11B D C ，点P 在线段1A B 上的动点，所以点P 到平面11B D C 的距离是定值，所以1111B D PC P B D C V V --=是定值，故C 正确； D ．111DC A D ⊥，11DC A B ⊥，1111A D A B A =，所以1DC ⊥平面11A D P ，1D P ⊂平面11A D P ，所以11DC D P ⊥，故D 正确．故选ACD44．（山东省济南莱芜市第一中学2019-2020学年高二下学期第一次质量检测）关于空间向量，以下说法正确的是（ ）A ．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面B ．若对空间中任意一点O ，有111632OP OA OB OC =++，则P ，A ，B ，C 四点共面 C ．设{},,a b c 是空间中的一组基底，则{},,a b b c c a +++也是空间的一组基底 D ．若0a b ⋅<，则,a b 是钝角 【答案】ABC【解析】对于A 中，根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，所以是正确的；对于B 中，若对空间中任意一点O ，有111632OP OA OB OC =++，根据空间向量的基本定理，可得,,,P A B C 四点一定共面，所以是正确的；对于C 中，由{},,a b c 是空间中的一组基底，则向量,,a b c 不共面，可得向量,a b b c ++，c a +也不共面，所以{},,a b b c c a +++也是空间的一组基底，所以是正确的； 对于D 中，若0a b ⋅<，又由,[0,]a b π∈，所以,(,]2a b ππ∈，所以不正确．故选ABC ．45．（河北省沧州市盐山中学2019-2020学年高一下学期期末）若长方体1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的正方形，高为4，E 是1DD 的中点，则（ ）A ．11B E A B ⊥B ．平面1//B CE 平面1A BDC ．三棱锥11C B CE -的体积为83D ．三棱锥111C B CD -的外接球的表面积为24π【答案】CD【解析】以1{,,}AB AD AA 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则 (0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ，1(0,0,4)A ，1(2,0,4)B ，(0,2,2)E ，所以1(2,2,2)B E =--，1(2,0,4)A B =-， 因为1140840B E A B ⋅=-++=≠，所以1B E 与1A B 不垂直，故A 错误； 1(0,2,4)CB =-，(2,0,2)CE =-，设平面1B CE 的一个法向量为111(,,)n x y z =，则由100n CB n CE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得1111240220y z x z -+=⎧⎨-+=⎩，所以11112y z x z =⎧⎨=⎩，不妨取11z =，则11x =，12y =，所以(1,2,1)n =， 同理可得设平面1A BD 的一个法向量为(2,2,1)m =，故不存在实数λ使得n λm =，故平面1B CE 与平面1A BD 不平行，故B 错误； 在长方体1111ABCD A B C D -中，11B C ⊥平面11CDD C ，故11B C 是三棱锥11B CEC -的高，所以111111111184223323三棱锥三棱锥CEC C B CE CEC B V V S B C --==⋅=⨯⨯⨯⨯=△，故C 正确； 三棱锥111C B CD -的外接球即为长方体1111ABCD A B C D -的外接球，故外接球的半径2R ==所以三棱锥111C B CD -的外接球的表面积2424S R ππ==，故D 正确．故选CD ．46．（山东省济南市2019-2020学年高二下学期末考试）如图，棱长为的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1A B 上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（ ）A ．直线1D P 与AC 所成的角可能是6π B ．平面11D A P ⊥平面1A AP C ．三棱锥1D CDP -的体积为定值D ．平面1APD 截正方体所得的截面可能是直角三角形 【答案】BC【解析】对于A ，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，()()()10,0,1,1,0,0,0,1,0D A C ，设()()1,,01,01P a b a b <<<< ()()11,,1,1,1,0D P a b AC =-=-，(111cos ,01D P AC D P AC D P ACa b ⋅==<++-1301,01,,24a b D P AC ππ<<<<∴<<∴直线D 1P 与AC 所成的角为,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭，故A 错误； 对于B ，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，A 1D 1⊥AA 1，A 1D 1⊥AB ， ∵AA 1AB ＝A ，∴A 1D 1⊥平面A 1AP ，∵A 1D 1⊥平面D 1A 1P ，∴平面D 1A 1P ⊥平面A 1AP ，故B 正确；对于C ，1111122CDD S=⨯⨯=，P 到平面CDD 1的距离BC ＝1， ∴三棱锥D 1﹣CDP 的体积：111111326D CDP P CDD V V --==⨯⨯=为定值，故C 正确；对于D ，平面APD 1截正方体所得的截面不可能是直角三角形，故D 错误；故选BC ．47．（江苏省苏州中学园区校2020-2021学年高三上学期8月期初调研）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且12EF =，则下列结论中正确的是（ ）A ．线段11B D 上存在点F ，使得AC AF ⊥ B ．//EF 平面ABCD C ．AEF 的面积与BEF 的面积相等 D ．三棱锥A BEF -的体积为定值【答案】BD【解析】如图，以C 为坐标原点建系CD ，CB ，1CC 为x ，y ，z 轴，()1,1,0A ，()0,0,0C ，()1,1,0AC =--，1B F B λ=11D ，即()()0,1,11,1,0x y z λ---=-,∴x λ=，1y λ=-，1z =，∴(),1,1F λλ-，()1,,1AF λλ=--,()()11010AC AF λλ⋅=--++=≠， ∴AC 与AF 不垂直，A 错误．E ，F 都在B ，D 上，又11//BD B D ，∴//EF BD ，BD ⊂平面ABCD ，EF ⊄平面ABCD ，∴//EF 平面ABCD ，B 正确AB 与EF 不平行，则1A B 与EF 的距离相等，∴AEF BEF S S ≠△△，∴C 错误A 到BEF 的距离就是A 到平面11BDDB 的距离，A 到11BDD B 的距离为22AC =1111224BEF S =⨯⨯=△，∴1134224A BEF V -=⨯⨯=是定值，D 正确．故选BD ．48．（江苏省扬州市宝应中学2020-2021学年高三上学期开学测试）在正三棱柱ABC A B C '''-中，所有棱长为1，又BC '与B C '交于点O ，则（ ）A ．AO =111222AB AC AA '++ B ．AO B C '⊥C ．三棱锥A BB O '-D ．AO 与平面BB ′C ′C 所成的角为π6【答案】AC【解析】由题意，画出正三棱柱ABC A B C '''-如图所示，向量()()111222AO AB BO AB BC BB AB AC AB AA ''=+=++=+-+ 111222AB AC AA '=++，故选项A 正确；在AOC △中，1AC =，22OC，1OA ==， 222OA OC AC +≠，所以AO 和B C '不垂直，故选项B 错误；在三棱锥A BB O '-中，14BB O S '=，点A 到平面BB O '的距离即ABC 中BC 边上的高，所以h =以111334A BB O BB O V S h ''-==⨯=C 正确； 设BC 中点为D ，所以AD BC ⊥，又三棱柱是正三棱柱，所以AD ⊥平面BB C C ''，所以AOD ∠即AO 与平面BB ′C ′C 所成的角，112cos 12OD AOD OA ∠===，所以3AOD π∠=，故选项D 错误．故选AC49．（山东省泰安肥城市2020届高三适应性训练（一））如图四棱锥P ABCD -，平面PAD ⊥平面ABCD ，侧面PAD 是边长为ABCD 为矩形，CD =Q 是PD 的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．CQ ⊥平面PADB ．PC 与平面AQC所成角的余弦值为3C ．三棱锥B ACQ -的体积为D ．四棱锥Q ABCD -外接球的内接正四面体的表面积为【答案】BD【解析】取AD 的中点O ，BC 的中点E ，连接,OE OP ，因为三角形PAD 为等边三角形，所以OP AD ⊥，因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以OP ⊥平面 ABCD ，因为AD OE ⊥，所以,,OD OE OP 两两垂直，所以，如下图，以O 为坐标原点，分别以,,OD OE OP 所在的直线为x 轴，y 轴 ，z 轴，建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(O D A ，(P C B ，因为点Q 是PD 的中点，所以Q ，平面PAD 的一个法向量为(0,1,0)m =，6(QC =，显然 m 与QC 不共线，所以CQ 与平面PAD 不垂直，所以A 不正确；3632(6,23,32),(,0,),(26,PC AQ AC =-==， 设平面AQC 的法向量为(,,)n x y z =，则3602260n AQ x zn AC ⎧⋅==⎪⎨⎪⋅=+=⎩， 令=1x ，则y z ==(1,2,3)n =--，设PC 与平面AQC 所成角为θ，则21sin 36n PC n PCθ⋅===，所以22cos 3θ=，所以B 正确；三棱锥B ACQ -的体积为1132B ACQ Q ABC ABCV V S OP --==⋅ 1116322=⨯⨯⨯=，所以C 不正确；设四棱锥Q ABCD -外接球的球心为)M a ，则MQ MD =，所以22222222a a ⎛⎫⎛++-=++ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，解得0a =，即M 为矩形ABCD 对角线的交点，所以四棱锥Q ABCD -外接球的半径为3，设四棱锥Q ABCD -外接球的内接正四面体的棱长为x ，将四面体拓展成正方体，其中正四面体棱为正方体面的对角线，故正方体的棱长为2x ，所以2236⎫=⎪⎪⎝⎭，得224x =，所以正四面体的表面积为244x ⨯=，所以D 正确．故选BD.50．（山东省滕州市第一中学2020-2021学年高二9月开学收心考试）在四面体P ABC -中，以上说法正确的有（ ）A ．若1233AD AC AB =+，则可知3BC BD = B ．若Q 为△ABC 的重心，则111333PQ PA PB PC =++C ．若0PA BC =，0PC AB =，则0PB AC =D ．若四面体P ABC -各棱长都为2，M N ，分别为,PA BC 的中点，则1MN = 【答案】ABC 【解析】对于A ，1233AD AC AB =+，32AD AC AB ∴=+， 22AD AB AC AD ∴-=- ， 2BD DC ∴=，3BD BD DC BC ∴=+=即3BD BC ∴=，故A 正确；对于B ，Q 为△ABC 的重心，则0QA QB QC ++=，33PQ QA QB QC PQ∴+++=()()()3PQ QA PQ QB PQ QC PQ ∴+++++=，3PA PB PC PQ ∴++=，即111333PQ PA PB PC ∴=++，故B 正确；对于C ，若0PA BC =，0PC AB =，则0PA BC PC AB +=，()0PA BC PC AC CB ∴++=，0PA BC PC AC PC CB ∴++=0PA BC PC AC PC BC ∴+-=，()0PA PC BC PC AC ∴-+= 0CA BC PC AC ∴+=，0AC CB PC AC ∴+=()0AC PC CB ∴+=，0AC PB ∴=，故C 正确；对于D ，111()()222MN PN PM PB PC PA PB PC PA ∴=-=+-=+- 1122MN PB PC PA PA PB PC ∴=+-=-- 222222PA PB PC PA PB PC PA PB PA PC PC PB --=++--+==2MN ∴=D 错误．故选ABC.三、填空题51．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）O 为空间中任意一点，A ，B ，C 三点不共线，且3148OP OA OB tOC =++，若P ，A ，B ，C 四点共面，则实数t ＝_________．。

2020-2021学年河北省石家庄市七年级（上）期末数学测试卷第I卷（选择题）一、选择题（本大题共16小题，共42.0分）1.某年，一些国家的服务出口额比上年的增长率如下：这一年，增长率最低的国家是()A. 英国B. 中国C. 日本D. 美国2.在12，−20，−112，0，−(−5)，−|+3|中，负数有()A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个3.在数110，−9，−5，0中，最小的数是()A. 110B. −9C. −5D. 04.55°角的余角是()A. 55°B. 45°C. 35°D. 125°5.单项式−x2y3的系数是()A. 0B. 6C. −1D. 56.用一个正方形在四月份的日历上，圈出4个数，这四个数的和不可能是()A. 104B. 108C. 24D. 287.已知a2=b3(a≠0,b≠0)，下列变形中错误的是()A. ab =23B. 2a=3bC. ba=32D. 3a=2b8.把(+5)−(+3)−(−1)+(−5)写成省略括号的和的形式是()A. −5−3+1−5B. 5−3−1−5C. 5+3+1−5D. 5−3+1−59.下列算式正确的是()A. (−14)−5=−9B. 0−3=3C. (−3)−3=−6D. |5−3|=−(5−3)10. 下列各组单项式，不是同类项的是( )A. −2a 2与3a 2B. 3p 2q 与−qp 2C. 6m 2n 与−2mn 2D. 5与011. 当x =−2，y =3时，代数式4x 3−x 2−2y(y +x 2)+x 2(2y +1)的值是( )A. 14B. −50C. −14D. 5012. 下列各数(−2)2，13，−(−0.75)，π−3.14，−|−9|，−3，0，4中，属于非负整数的有 个，属于正数的有 个( )A. 4，4B. 4，5C. 3，5D. 3，613. 如图所示，数轴上A ，B 两点所表示两数的( )A. 和为正数B. 和为负数C. 积为正数D. 积为负数14. 某市规定：每户居民每月用水不超过20m 3，按2元/m 3收费；超过20m 3，超过的部分按4元/m 3收费.某户居民十二月份交水费72元，则该户居民本月的实际用水量为( )A. 8m 3B. 18m 3C. 28m 3D. 36m 315. 如果关于x 的方程3x +2a +1=x −6(3a +2)的解是x =0，那么a 等于( )A. −1120B. −1320C. 1120D. 132016. 有下列四个算式：①(−5)+(+3)=−8，②−(−2)3=6，③(+36)+(−16)=23，④−3÷(−13)=9.其中正确的有( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共3小题，共11.0分） 17. 方程29x =−18的解是______ ．18. 如图，将△ABC 绕点A 顺时针旋转60°得到△AED ，若∠EAD =30°，则∠CAE 的度数为______．19. 观察下列顺序排列的等式：a 1=1−13，a 2=12−14，a 3=13−15，a 4=14−16，….试猜想第n 个等式(n 为正整数)：a n =______． 三、计算题（本大题共2小题，共12.0分）20. 计算：[−1+(1−0.5×13)]×[2−(−3)2]÷(−12)21. 化简并求值：(6a 2+4ab)−2(3a 2+ab −12b 2)，其中a =2，b =1．四、解答题（本大题共5小题，共40.0分）22. 下表为今年雨季某防汛小组测量的某条河流在一周内的水位变化情况(单位：米)(注：正号表示比前一天上升，负号表示比前一天水位下降)(1)若本周日达到了警戒水位73.4米，那么本周一水位是多少？上周末的水位是多少？(2)本周哪一天河流水位最高，哪一天水位最低？它们位于警戒水位之上还是之下？ (3)与上周相比，本周末河流水位是上升还是下降了？23.某单位今年为灾区捐款25000，比去年的2倍还多1000元，去年该单位为灾区捐款多少元？24.观察与思考将连续的奇数1，3，5，7，…排列成如下的数表，用十字框框出5个数(如图)(1)若将十字框上下左右平移，但一定要框住数列中的5个数，若设中间的数为a，用含a的代数式表示十字框框住的5个数字之和．(2)十字框框住的5个数之和能等于2020吗？若能，分别写出十字框框住的5个数；若不能，请说明理由．(3)十字框框住的5个数之和能等于2025吗？若能，分别写出十字框框住的5个数；若不能，请说明理由．25.已知将一副三角板(直角三角板OAB和直角三角板OCD，∠AOB=90°，∠ABO=45°，∠CDO=90°，∠COD=60°)(1)如图1摆放，点O、A、C在一直线上，则∠BOD的度数是多少？(2)如图2，将直角三角板OCD绕点O逆时针方向转动，若要OB恰好平分∠COD，则∠AOC的度数是多少？(3)如图3，当三角板OCD摆放在∠AOB内部时，作射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOD，如果三角板OCD在∠AOB内绕点O任意转动，∠MON的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由．26.如图，数轴上A，B两点间的距离为2个单位长度，C，D两点间的距离为4个单位长度，点A在数轴上表示的数是−10，点C在数轴上表示的数是16.若线段AB以每秒6个单位长度的速度向右匀速运动，同时线段CD以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．(1)求运动前B，C两点间的距离；(2)求运动多少秒时，B，C两点间的距离为8个单位长度？并求出此时点B在数轴上表示的数．答案和解析1.【答案】C【解析】解：因为−7.3%<−5.3%<−3.4%<−0.9%<2.8%<7.0%，所以增长率最低的国家是日本．故选：C．比较各国出口额比上年的增长率得结论．本题考查了有理数大小的比较．会比较有理数的大小是解决本题的关键．2.【答案】B【解析】【分析】本题考查了正负数，判断一个数是正数还是负数，要把它化简成最后形式再判断．此题要注意0既不是正数也不是负数．根据相反数、绝对值的概念，将相关数值化简，再根据负数的定义作出判断．【解答】解：∵−(−5)=5，−|+3|=−3，∴在这一组数中负数有−20，−11，−|+3|，共3个．2故选B．3.【答案】B【解析】解：根据有理数比较大小的方法，可得−9<−5<0<1，10∴在数1，−9，−5，0中，最小的数是−9．10故选：B．有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．4.【答案】C【解析】解：55°的余角=90°−55°=35°．故选C．相加等于90°的两角称作互为余角，也作两角互余，即一个角是另一个角的余角．因而，求这个角的余角，就可以用90°减去这个角的度数．本题考查了余角的定义，互余是反映了两个角之间的关系即和是90°．5.【答案】C【解析】【分析】本题考查的是单项式，熟知单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数是解答此题的关键．直接根据单项式系数的定义进行解答即可．【解答】解：单项式−x2y3的系数是−1，故选C．6.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了用字母表示数，先设最小的数是x，则其余的三个数分别是x+1，x+7，x+8，求出它们的和，再把A、B、C、D中的四个值代入，若算出的x是正整数，且使得最大的数x+8<31，则符合题意，否则就不合题意．【解答】解：设最小的代数式是x，则其它三个数分别是x+1，x+7，x+8，四数之和=x+x+1+x+7+x+8=4x+16，A、根据题意得4x+16=104，解得x=22，正确；B、根据题意得4x+16=108，解得x=23，而x+8=31，因为四月份只有30天，不合实际意义，故不正确；C、根据题意得4x+16=24，解得x=2，正确；D、根据题意得4x+16=28，解得x=3，正确．故选：B．7.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查比例的性质，根据比例的性质可逐项计算求解即可．【解答】解：由a2=b3得3a=2b．A.由等式性质可得3a=2b，正确；B.错误；C.由等式性质可得3a=2b，正确；D.正确．故选B．8.【答案】D【解析】【分析】先把加减法统一成加法，再省略括号和加号．【详解】解：原式=(+5)+(−3)+(+1)+(−5)=5−3+1−5．故选：D．【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，加减混合运算的算式必须统一成加法后，才能省略括号和加号．熟练掌握去括号法则是解题的关键．9.【答案】C【解析】【分析】本题考查有理数的减法运算及其绝对值，根据运算法则逐项进行判断即可得到结果．【解答】解：A.(−14)−5=−19，故选项错误；B.0−3=−3，故选项错误；C.(−3)−3=−6，故选项正确；D.|5−3|=5−3=2，−(5−3)=−2，故选项错误.故选C.10.【答案】C【解析】【分析】本题考查了单项式，同类项的知识点，利用同类项的定义，得出正确答案。

2020-2021学年河北省石家庄市栾城区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题2分，共24分，把每小题的正确选项填涂在答题纸上）1．（2分）若函数y＝的图象在其所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而增大，则m的取值范围是（）A．m＜﹣2B．m＜0C．m＞﹣2D．m＞02．（2分）如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB的值为（）A．B．C．D．3．（2分）如图，在△ABC中，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，不一定能使△ADE 与△ABC相似的条件是（）A．∠AED＝∠B B．∠ADE＝∠C C．D．4．（2分）在一次数学测试中，小明成绩72分，超过班级半数同学的成绩，分析得出这个结论所用的统计量是（）A．中位数B．众数C．平均数D．方差5．（2分）冉冉的妈妈在网上销售装饰品．最近一周，每天销售某种装饰品的个数为：11，10，11，13，11，13，15．关于这组数据，冉冉得出如下结果，其中错误的是（）A．众数是11B．平均数是12C．方差是D．中位数是136．（2分）已知x＝1是一元二次方程（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0的一个根，则m的值为（）A．﹣1或2B．﹣1C．2D．07．（2分）用配方法解一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0，配方正确的是（）A．（x﹣）2＝B．（x﹣）2＝C．（x﹣）2＝D．（x﹣）2＝8．（2分）已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两根，则该等腰三角形的底边长为（）A．2B．4C．8D．2或49．（2分）定义运算：m☆n＝mn2﹣mn﹣1．例如：4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7，则方程1☆x ＝0的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．只有一个实数根10．（2分）下图中反比例函数y＝与一次函数y＝kx﹣k在同一平面直角坐标系中的大致图象是（）A．B．C．D．11．（2分）如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB的高度，他做了如下操作：（1）在点C处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角∠ACE＝α；（2）量得测角仪的高度CD＝a；（3）量得测角仪到旗杆的水平距离DB＝b．利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（）A．a+b tanαB．a+b sinαC．a+D．a+12．（2分）如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点E在AC边上，过点E作EF∥BC，交AD于点F，过点E作EG∥AB，交BC于点G，则下列式子一定正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，将正确答案填写在答题纸上）13．（3分）今年某果园随机从甲、乙、丙三个品种的枇杷树中各选了5棵，每棵产量的平均数（单位：千克）及方差s2（单位：千克2）如表所示：甲乙丙454542s2 1.8 2.3 1.8明年准备从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种是．14．（3分）如图，已知双曲线y＝上有一点A，过A作AB垂直x轴于点B，连接OA，则△AOB的面积为．15．（3分）某校在全校学生中举办了一次“交通安全知识”测试，张老师从全校学生的答卷中随机地抽取了部分学生的答卷，将测试成绩按“差”、“中”、“良”、“优”划分为四个等级，并绘制成如图所示的条形统计图．若该校学生共有2000人，则其中成绩为“良”和“优”的总人数估计为．16．（3分）如图，坡角为30°的斜坡上两树间的水平距离AC为2m，则两树间的坡面距离AB为17．（3分）方程（x+1）2＝9的根是．18．（3分）已知关于x的方程x2+2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值是．19．（3分）如图，EF是△ABC纸片的中位线，将△AEF沿EF所在的直线折叠，点A落在BC边上的点D处，已知△AEF的面积为7，则图中阴影部分的面积为．20．（3分）阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题．sin230°+cos230°＝；sin245°+cos245°＝；sin260°+cos260°＝；……观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin2A+cos2A＝．三、解答题（本大题共5个小题，满分52分，解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤，将答案写在答题纸上）21．（8分）某果园有100棵桃树，一棵桃树平均结1000个桃子，现准备多种一些桃树以提高产量，试验发现，每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个，如果要使产量增加15.2%，且所种桃树要少于原有桃树，那么应多种多少棵桃树？22．（10分）为增强学生垃圾分类意识，推动垃圾分类进校园．某初中学校组织全校1200名学生参加了“垃圾分类知识竞赛”，为了解学生的答题情况，学校考虑采用简单随机抽样的方法抽取部分学生的成绩进行调查分析．（1）学校设计了以下三种抽样调查方案：方案一：从初一、初二、初三年级中指定部分学生成绩作为样本进行调查分析；方案二：从初一、初二年级中随机抽取部分男生成绩及在初三年级中随机抽取部分女生成绩进行调查分析；方案三：从三个年级全体学生中随机抽取部分学生成绩进行调查分析．其中抽取的样本具有代表性的方案是．（填“方案一”、“方案二”或“方案三”）（2）学校根据样本数据，绘制成下表（90分及以上为“优秀”，60分及以上为“及格”）：样本容量平均分及格率优秀率最高分最低分10093.5100%70%10080分数段统计（学生成绩记为x）分数段0≤x＜8080≤x＜8585≤x＜9090≤x＜9595≤x≤100频数05253040请结合表中信息解答下列问题：①估计该校1200名学生竞赛成绩的中位数落在哪个分数段内；②估计该校1200名学生中达到“优秀”的学生总人数．23．（10分）一次函数y1＝kx+b与反比例函数y2＝（n＞0）交于点A（1，3），B（3，m）．（1）分别求两个函数的解析式；（2）根据图象直接写出，当x为何值时，y1＜y2；（3）在x轴上找一点P，使得△OAP的面积为6，求出P点坐标．24．（12分）如图，BE、CD是△ABC的高，连接DE．（1）求证：AE•AC＝AB•AD；（2）若∠BAC＝120°，点M为BC的中点，求证：DE＝DM．25．（12分）共抓长江大保护，建设水墨丹青新岳阳，推进市中心城区污水系统综合治理项目，需要从如图A，B两地向C地新建AC，BC两条笔直的污水收集管道，现测得C地在A地北偏东45°方向上，在B地北偏西68°方向上，AB的距离为7km，求新建管道的总长度．（结果精确到0.1km，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，≈1.41）2020-2021学年河北省石家庄市栾城区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题2分，共24分，把每小题的正确选项填涂在答题纸上）1．（2分）若函数y＝的图象在其所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而增大，则m的取值范围是（）A．m＜﹣2B．m＜0C．m＞﹣2D．m＞0【解答】解：∵函数y＝的图象在其所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而增大，∴m+2＜0，解得：m＜﹣2，故选：A．2．（2分）如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB的值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于H．在Rt△ACH中，∵AH＝4，CH＝3，∴AC＝＝＝5，∴sin∠ACH＝＝，故选：D．3．（2分）如图，在△ABC中，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，不一定能使△ADE 与△ABC相似的条件是（）A．∠AED＝∠B B．∠ADE＝∠C C．D．【解答】解：由题意得，∠A＝∠A，A、当∠ADE＝∠B时，△ADE∽△ABC；故本选项不符合题意；B、当∠ADE＝∠C时，△ADE∽△ACB；故本选项不符合题意；C、当时，不能推断△ADE与△ABC相似；故选项符合题意；D、当时，△ADE∽△ACB；故本选项不符合题意．故选：C．4．（2分）在一次数学测试中，小明成绩72分，超过班级半数同学的成绩，分析得出这个结论所用的统计量是（）A．中位数B．众数C．平均数D．方差【解答】解：班级数学成绩排列后，最中间一个数或最中间两个分数的平均数是这组成绩的中位数，半数同学的成绩位于中位数或中位数以下，小明成绩超过班级半数同学的成绩所用的统计量是中位数，故选：A．5．（2分）冉冉的妈妈在网上销售装饰品．最近一周，每天销售某种装饰品的个数为：11，10，11，13，11，13，15．关于这组数据，冉冉得出如下结果，其中错误的是（）A．众数是11B．平均数是12C．方差是D．中位数是13【解答】解：数据11，10，11，13，11，13，15中，11出现的次数最多是3次，因此众数是11，于是A选项不符合题意；将这7个数据从小到大排列后，处在中间位置的一个数是11，因此中位数是11，于是D 符合题意；＝（11+10+11+13+11+13+15）÷7＝12，即平均数是12，于是选项B不符合题意；S2＝[（10﹣12）2+（11﹣12）2×3+（13﹣12）2×2+（15﹣12）2]＝，因此方差为，于是选项C不符合题意；故选：D．6．（2分）已知x＝1是一元二次方程（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0的一个根，则m的值为（）A．﹣1或2B．﹣1C．2D．0【解答】解：把x＝1代入（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0得：m﹣2+4﹣m2＝0，﹣m2+m+2＝0，解得：m1＝2，m2＝﹣1，∵（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0是一元二次方程，∴m﹣2≠0，∴m≠2，∴m＝﹣1，故选：B．7．（2分）用配方法解一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0，配方正确的是（）A．（x﹣）2＝B．（x﹣）2＝C．（x﹣）2＝D．（x﹣）2＝【解答】解：由原方程，得x2﹣x＝，x2﹣x+＝+，（x﹣）2＝，故选：A．8．（2分）已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两根，则该等腰三角形的底边长为（）A．2B．4C．8D．2或4【解答】解：x2﹣6x+8＝0（x﹣4）（x﹣2）＝0解得：x＝4或x＝2，当等腰三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；当等腰三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，此时三角形的底边长为2，故选：A．9．（2分）定义运算：m☆n＝mn2﹣mn﹣1．例如：4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7，则方程1☆x ＝0的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．只有一个实数根【解答】解：由题意可知：1☆x＝x2﹣x﹣1＝0，∴Δ＝1﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，∴有两个不相等的实数根故选：A．10．（2分）下图中反比例函数y＝与一次函数y＝kx﹣k在同一平面直角坐标系中的大致图象是（）A．B．C．D．【解答】解：（1）当k＞0时，一次函数y＝kx﹣k经过一、三、四象限，反比例函数经过一、三象限，如图所示：（2）当k＜0时，一次函数y＝kx﹣k经过一、二、四象限，反比例函数经过二、四象限．如图所示：故选：B．11．（2分）如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB的高度，他做了如下操作：（1）在点C处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角∠ACE＝α；（2）量得测角仪的高度CD＝a；（3）量得测角仪到旗杆的水平距离DB＝b．利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（）A．a+b tanαB．a+b sinαC．a+D．a+【解答】解：过C作CF⊥AB于F，则四边形BFCD是矩形，∴BF＝CD＝a，CF＝BD＝b，∵∠ACF＝α，∴tanα＝＝，∴AF＝b•tanα，∴AB＝AF+BF＝a+b tanα，故选：A．12．（2分）如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点E在AC边上，过点E作EF∥BC，交AD于点F，过点E作EG∥AB，交BC于点G，则下列式子一定正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【解答】解：∵EF∥BC，∴，∵EG∥AB，∴，∴，故选：C．二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，将正确答案填写在答题纸上）13．（3分）今年某果园随机从甲、乙、丙三个品种的枇杷树中各选了5棵，每棵产量的平均数（单位：千克）及方差s2（单位：千克2）如表所示：甲乙丙454542s2 1.8 2.3 1.8明年准备从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种是甲．【解答】解：因为甲、乙的平均数比丙大，所以甲、乙的产量较高，又甲的方差比乙小，所以甲的产量比较稳定，即从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种是甲；故答案为：甲．14．（3分）如图，已知双曲线y＝上有一点A，过A作AB垂直x轴于点B，连接OA，则△AOB的面积为2．【解答】解：根据题意得△OAB的面积＝×|4|＝2．故答案为：2．15．（3分）某校在全校学生中举办了一次“交通安全知识”测试，张老师从全校学生的答卷中随机地抽取了部分学生的答卷，将测试成绩按“差”、“中”、“良”、“优”划分为四个等级，并绘制成如图所示的条形统计图．若该校学生共有2000人，则其中成绩为“良”和“优”的总人数估计为1100人．【解答】解：根据题意得：2000×＝1100（人），答：其中成绩为“良”和“优”的总人数估计为1100人．故答案为：1100人．16．（3分）如图，坡角为30°的斜坡上两树间的水平距离AC为2m，则两树间的坡面距离AB为m【解答】解：在Rt△ABC中，cos A＝，∴AB＝＝，故答案为：m．17．（3分）方程（x+1）2＝9的根是x1＝2，x2＝﹣4．【解答】解：（x+1）2＝9，x+1＝±3，x1＝2，x2＝﹣4．故答案为：x1＝2，x2＝﹣4．18．（3分）已知关于x的方程x2+2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值是1．【解答】解：∵关于x的方程x2+2x+k＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝22﹣4×1×k＝0，解得：k＝1．故答案为：1．19．（3分）如图，EF是△ABC纸片的中位线，将△AEF沿EF所在的直线折叠，点A落在BC边上的点D处，已知△AEF的面积为7，则图中阴影部分的面积为14．【解答】解：∵EF是△ABC纸片的中位线，∴EF∥BC，BC＝2EF，∴△AEF∽△ABC，∴＝（）2，∴，∴S＝28，△ABC∵将△AEF沿EF所在的直线折叠，∴S＝S△DEF＝7，△AEF∴阴影部分的面积为＝28﹣7﹣7＝14，故答案为14．20．（3分）阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题．sin230°+cos230°＝1；sin245°+cos245°＝1；sin260°+cos260°＝1；……观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin2A+cos2A＝1．【解答】解：sin230°+cos230°＝（）2+（）2＝+＝1，sin245°+cos245°＝（）2+（）2＝+＝1，sin260°+cos260°＝＝（）2+（）2＝+＝1，如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，∴sin A＝，cos A＝，a2+b2＝c2，∴sin2A+cos2A＝＝（）2+（）2＝＝＝1，故答案为：1，1，1，1；三、解答题（本大题共5个小题，满分52分，解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤，将答案写在答题纸上）21．（8分）某果园有100棵桃树，一棵桃树平均结1000个桃子，现准备多种一些桃树以提高产量，试验发现，每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个，如果要使产量增加15.2%，且所种桃树要少于原有桃树，那么应多种多少棵桃树？【解答】解：设应多种x棵桃树，则由题意可得：（100+x）（1000﹣2x）＝100×1000×（1+15.2%）整理，得：x2﹣400x+7600＝0，即（x﹣20）（x﹣380）＝0，解得：x1＝20，x2＝380因为所种桃树要少于原有桃树，所以x＝380不符合题意，应舍去，取x＝20，答：应多种20棵桃树．22．（10分）为增强学生垃圾分类意识，推动垃圾分类进校园．某初中学校组织全校1200名学生参加了“垃圾分类知识竞赛”，为了解学生的答题情况，学校考虑采用简单随机抽样的方法抽取部分学生的成绩进行调查分析．（1）学校设计了以下三种抽样调查方案：方案一：从初一、初二、初三年级中指定部分学生成绩作为样本进行调查分析；方案二：从初一、初二年级中随机抽取部分男生成绩及在初三年级中随机抽取部分女生成绩进行调查分析；方案三：从三个年级全体学生中随机抽取部分学生成绩进行调查分析．其中抽取的样本具有代表性的方案是方案三．（填“方案一”、“方案二”或“方案三”）（2）学校根据样本数据，绘制成下表（90分及以上为“优秀”，60分及以上为“及格”）：样本容量平均分及格率优秀率最高分最低分10093.5100%70%10080分数段统计（学生成绩记为x）分数段0≤x＜8080≤x＜8585≤x＜9090≤x＜9595≤x≤100频数05253040请结合表中信息解答下列问题：①估计该校1200名学生竞赛成绩的中位数落在哪个分数段内；②估计该校1200名学生中达到“优秀”的学生总人数．【解答】解：（1）根据抽样的代表性、普遍性和可操作性可得，方案三：从三个年级全体学生中随机抽取部分学生成绩进行调查分析，是最符合题意的．故答案为：方案三；（2）①样本100人中，成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数都在90≤x＜95，因此中位数在90≤x＜95组中；②由题意得，1200×70%＝840（人），答：该校1200名学生中达到“优秀”的有840人．23．（10分）一次函数y1＝kx+b与反比例函数y2＝（n＞0）交于点A（1，3），B（3，m）．（1）分别求两个函数的解析式；（2）根据图象直接写出，当x为何值时，y1＜y2；（3）在x轴上找一点P，使得△OAP的面积为6，求出P点坐标．【解答】解：（1）把A（1，3）代入y2＝得n＝1×3＝3，∴反比例函数解析式为y2＝，把B（3，m）代入y2＝得3m＝3，解得m＝1，则B（3，1），把A（1，3），B（3，1）代入y1＝kx+b得，解得，∴一次函数解析式为y1＝﹣x+4；（2）当0＜x＜1或x＞3时，y1＜y2；（3）设P（t，0），∵△OAP的面积为6，∴×|t|×3＝6，解得t＝4或﹣4，∴P点坐标为（﹣4，0）或（4，0）．24．（12分）如图，BE、CD是△ABC的高，连接DE．（1）求证：AE•AC＝AB•AD；（2）若∠BAC＝120°，点M为BC的中点，求证：DE＝DM．【解答】证明：（1）∵BE、CD是△ABC的高，∴∠AEB＝∠ADC＝90°，而∠EAB＝∠DAC，∴△AEB∽△ADC，∴AB：AC＝AE：AD，∴AE•AC＝AB•AD；（2）连接ME，如图，∵∠BAC＝120°，∴∠BAE＝60°，∴∠EBA＝30°，∵点M为BC的中点，∴MB＝ME＝MD＝MC，∴点B、E、D、C在以M点为圆心，MD为半径的圆上，∴∠DME＝2∠EBD＝2×30°＝60°，∴△MED为等边三角形，∴DE＝DM．25．（12分）共抓长江大保护，建设水墨丹青新岳阳，推进市中心城区污水系统综合治理项目，需要从如图A，B两地向C地新建AC，BC两条笔直的污水收集管道，现测得C地在A地北偏东45°方向上，在B地北偏西68°方向上，AB的距离为7km，求新建管道的总长度．（结果精确到0.1km，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，≈1.41）【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，根据题意可知：AB＝7，∠ACD＝45°，∠CBD＝90°﹣68°＝22°，∴AD＝CD，∴BD＝AB﹣AD＝7﹣CD，在Rt△BCD中，∵tan∠CBD＝，∴≈0.40，∴CD≈2，∴AD＝CD＝2，∴BD≈7﹣2≈5，∴AC＝2≈2.82，BC＝≈≈5.41，∴AC+BC≈2.82+5.41≈8.2（km）．答：新建管道的总长度约为8.2km．。

河北省石家庄市重点高中2020-2021学年高二上学期开学化学试卷一、选择题1. 反应8NH3+3Cl2=6NH4Cl+N2可用于氯气管道的检漏。

下列表示相关微粒的化学用语正确的是（）A.中子数为9的氮原子：79NB.N2分子的电子式：C.Cl2分子的结构式：Cl—ClD.Cl−的结构示意图：2. 短周期主族元素X、Y、Z、W的原子序数依次增大，Z可与X形成淡黄色化合物Z2X2，Y、W最外层电子数相同。

下列说法正确的是（）A.氢化物的沸点：Y>XB.简单离子的还原性：Y>X>WC.简单离子的半径：W>X>Y>ZD.氢化物水溶液的酸性：Y>W3. X、Y、Z、M、Q五种短周期元素，原子序数依次增大。

Y元素的最高正价为+4价，Y元素与Z、M元素相邻，且与M元素同主族；化合物Z2X4的电子总数为18个；Q元素的原子最外层电子数比次外层少一个电子。

下列说法不正确的是（）A.原子半径：Z<Y<MB.最高价氧化物对应水化物的酸性：Z>Y>MC.X、Y和氧三种元素形成的阴离子有2种以上D.X、Z和Q三种元素形成的化合物一定是共价化合物4. 短周期元素W、X、Y、Z的原子序数依次增大，其中Z为金属且Z的原子序数为W的2倍。

n、p、q是由这些元素组成的二元化合物，常温下n为气体。

m、r、s分别是Z、W、X的单质，t的水溶液显碱性且焰色反应呈黄色，上述物质间的转化关系如图所示。

下列说法正确的是（）A.X元素的一种核素可用于测定文物的年代B.2.4gm在足量的n中充分燃烧，固体质量增加1.6gC.最简单气态氢化物的稳定性：W>XD.n+p→s+t的过程中，有离子键、共价键的断裂，也有离子键、共价键的形成5. a、b、c、d为短周期元素，原子序数依次增大。

a原子最外层电子数等于电子层数的3倍，a和b能组成两种常见的离子化合物，其中一种含两种化学键，d的最高价氧化物对应的水化物和气态氢化物都是强酸。

2023-2024学年河北省石家庄市高一上册期末数学试题一、单选题1．已知全集{}1,2,3,4,5U =，{}1,3M =，{}3,5N =，则如图所示的阴影部分表示的集合是（）A ．{}3,4,5B ．{}1,3,5C ．{}1,2,5D ．{}2,4【正确答案】D【分析】分析韦恩图可知，其阴影部分所表示的集合为()U M N ð，再利用集合的交并补运算即可得解.【详解】分析韦恩图可知，其阴影部分所表示的集合为()U M N ð，因为{}1,3M =，{}3,5N =，所以{}1,3,5M N ⋃=，因为{}1,2,3,4,5U =，所以(){}2,4U M N ⋃=ð.故选：D.2．命题“21,0x x x ∃>->”的否定是（）A ．21,0x x x ∃≤->B ．21,0x x x ∀>-≤C ．21,0x x x ∃>-≤D ．21,0x x x ∀≤->【正确答案】B【分析】本题从存在量词的否定为全称量词出发即可得出答案.【详解】 存在量词命题的否定是全称量词命题，即先将量词“∃"改成量词“∀”,再将结论否定，∴该命题的否定是“21,0x x x ∀>-”.故选：B.3．函数()2log 21y x =++）A ．13,24⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．13,24⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．()1,00,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【正确答案】B【分析】令210340x x +>⎧⎨-≥⎩，解不等式可得答案．【详解】令210340x x +>⎧⎨-≥⎩，解得1324x -<≤，故定义域为13,24⎛⎤- ⎥⎝⎦.故选：B.4．已知角α的终边经过点()2,1P -，则sin α的值为（）A B C ．D ．5-【正确答案】A【分析】利用三角函数的定义即可得解.【详解】因为角α的终边经过点()2,1P -，所以sin 5α==.故选：A.5．设3log 7a =， 1.12b =， 3.10.8c =，则（）A ．b a c <<B ．a c b<<C ．c b a<<D ．c<a<b【正确答案】D【分析】利用对数函数、指数函数的单调性确定,,a b c 的范围，进而比较大小可得答案.【详解】因为3log y x =在()0,∞+上单调递增，所以333log 3log 7log 9<<，即12a <<；因为2x y =在R 上单调递增，所以 1.11222b =>=，因为0.8x y =在R 上单调递减，所以 3.100.80.81c =<=，所以c<a<b .故选：D ．6．函数()()2cos ln 2xf x x =+的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】C【分析】先判断函数奇偶性，排除A 、D 选项，再根据()0f 排除B 选项，即可得结果.【详解】函数()()2cos ln 2x f x x =+定义域为R ,且()()()()()22cos cos ln 2ln 2x xf x f x x x --===++，所以()f x 为偶函数，排除A 、D 选项；因为()100ln 2f =≠，所以排除B ，故选：C.7．数学中常用记号{}max ,p q 表示p ，q 两者中较大的一个，用{}min ,p q 表示p ，q 两者中较小的一个，若函数(){}min ,f x x x t =+的图象关于12x =-对称，则t 的值为（）A ．2-B ．2C ．1-D ．1【正确答案】D【分析】先分析||y x =与||y x t =+的图像性质，再在同一个坐标系中作出两个函数的图像，结合图像可分析得()f x 的图像关于直线2tx =-对称，从而求得t 值．【详解】对于||y x =，易得其图像关于y 轴对称；对于||y x t =+，易得其图像关于x t =-对称；如图，在同一个坐标系中做出两个函数||y x =与||y x t =+的图象，则函数(){}min ,f x x x t =+的图象为两个图象中较低的一个，结合图像可知()f x 的图象关于直线2tx =-对称，所以要使函数(){}min ,f x x x t =+的图象关于直线12x =-对称，则122t -=-，故1t =．故选：D.8．已知函数()()1,2121,2xa x f x a x x ⎧≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩在R 上单调递增，则a 的取值范围是（）A ．23122⎛⎤⎥⎝⎦B ．232⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭C ．23,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭D ．231,2⎛ ⎝⎦【正确答案】B【分析】先利用指数函数与一次函数的单调性，分段讨论()f x 的单调性，从而得到1a >，再由()f x 在R 上的单调性得12x =处有()121212a a -≥，从而得到232a ≥，由此得解.【详解】因为()f x 在R 上单调递增，当12x ≤时，()xf x a =在1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上单调递增，所以1a >；当12x >时，()()21f x a x =-在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以210a ->，即12a >；同时，在12x =处，()21x a x a -≥，即()121212a a -≥，即1212a a -≥，因为1a >，所以214a a a -+≥，即24810a a -+≥，解得aa ≤（舍去），综上：22a ≥，即22a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎪⎣⎭.故选：B.二、多选题9．已知函数()af x x =图象经过点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则下列命题正确的有（）A ．函数()f x 为奇函数B ．函数()f x 在定义域内为减函数C ．若120x x <<，则()()12f x f x >D ．若0x <，则()0f x >【正确答案】AC【分析】将点代入函数得到1()f x x=，利用函数奇偶性的定义可判断A ，举反例可判断BD ，利用作差法可判断D.【详解】因为()a f x x =图象经过点12,2⎛⎫⎪⎝⎭，所以122a=，即1a =-，则1()f x x=，对于A ，易得()f x 的定义域为()(),00,∞-+∞U ，关于原点对称，又()1()f x f x x-=-=-，所以()f x 为奇函数，故A 正确；对于B ，()()1111f f -=-<=，函数不是减函数，故B 错误；对于C ，因为120x x <<，所以()()21121212110x x f x f x x x x x --=-=>，即()()12f x f x >，故C 正确.对于D ，()110f -=-<，故D 错误；故选：AC.10．2230x x --≤成立的充分不必要条件可以是（）A ．04x ≤≤B ．03x ≤≤C ．12x -≤≤D ．13x -≤≤【正确答案】BC【分析】先求得2230x x --≤的等价条件，再利用充分不必要条件的性质得到集合的包含关系，从而得解.【详解】令{}A x x p =∈，{}2230B x x x =--≤，由2230x x --≤得13x -≤≤，故{}13B x x =-≤≤，若p 是2230x x --≤成立的充分不必要条件，则A 是B 的真子集，对于A ，{}04A x x =≤≤不是{}13B x x =-≤≤的真子集，故A 错误；对于B ，{}03A x x =≤≤是{}13B x x =-≤≤的真子集，故B 正确；对于C ，{}12A x x =-≤≤是{}13B x x =-≤≤的真子集，故C 正确；对于D ，{}13A x x =-≤≤不是{}13B x x =-≤≤的真子集，故D 错误；故选：BC.11．下列函数中以2π为周期的是（）A ．tan2x y =B ．sin2x y =C ．sin y x =D ．cos y x=【正确答案】AD【分析】对于ABD ，利用三角函数的性质以及周期公式逐一判断即可；对于C ，举例子证明()f x 不是周期函数即可判断.【详解】对于A ，tan 2x y =，则π2π12T ==，故A 正确；对于B ，sin 2x y =，则2π4π12T ==，所以sin 2xy =不以2π为周期，故B 错误；对于C ，因为()sin y f x x ==，所以πππsin sin 1222f ⎛⎫-=-== ⎪⎝⎭，π3π3π3π2πsin sin 12222f f ⎛⎫⎛⎫-+====- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以至少存在π2x =-，使得()()2πf x f x +≠，所以()f x 不是以2π为周期的周期函数，故C 错误；对于D ，cos ||cos y x x ==，则2π2π1T ==，故D 正确.故选：AD.12．已知正数x 、y ，满足2x y +=，则下列说法正确的是（）A ．xy 的最大值为1B 的最大值为2C ．21x y+的最小值为D ．2211x y x y +++的最小值为1【正确答案】ABD【分析】对于AB ，利用基本不等式及其推论即可判断；对于CD ，利用换元法与基本不等式“1”的妙用即可判断.【详解】对于A ，因为0,0,2x y x y >>+=，所以2x y =+≥1xy ≤，当且仅当x y =且2x y +=，即1x y ==时，等号成立，所以xy 的最大值为1，故A 正确；对于B ，因为()2222222()2()0a b a b a b ab a b +-+=+-=-≥，所以()222()2a b a b +≤+，当且仅当a b =时，等号成立，所以()222224x y ⎡⎤≤+=+=⎣⎦2≤，=2x y +=，即1x y ==时，等号成立，2，故B 正确；对于C ，211213()313222212y x x y x y y y x x ++⎛⎛⎫⎛⎫=+=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝当且仅当2y xx y=且2x y +=，即42x y =-=-时等号成立，所以21x y +的最小值为32+，故C 错误；对于D ，令1s x =+，1t y =+，则1x s =-，1y t =-，24s t x y +=++=，0,0s t >>，所以()()22221111112211s t x y s t x y s t s t s --+=+=-++-+=+++()11111221444t s s t s t s t ⎛⎛⎫⎛⎫=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当s t =且4s t +=，即2s t ==，即1x y ==时，等号成立，所以2211x y x y +++的最小值为1，故D 正确.故选：ABD.方法点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．三、填空题13．已知tan α=3ππ,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则α=__________.【正确答案】4π3【分析】利用诱导公式转化为锐角的三角函数求解.【详解】∵3ππ,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴ππ0,2α⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，∵tan(π)tan αα-==∴ππ=3α-，π4ππ+=33α=.故答案为.4π314．斐波那契螺旋线被称为自然界最完美的“黄金螺旋”，它的画法是：以斐波那契数1，1，2，3，5，8……为边长的正方形按如图的方式拼成长方形，并以每个正方形的某一顶点为圆心画一个圆心角为90︒的圆弧，这些圆弧连成的弧线被称为斐波那契螺旋线，图中的弧线就是斐波那契螺旋线的前一部分，则阴影部分的面积与矩形ABCD 的面积之比为________．【正确答案】4π/14π【分析】由圆的面积公式和矩形的面积公式，分别求得其面积，即可得解.【详解】由题意知，矩形ABCD 的面积为(35)(58)104S =+⨯+=，而阴影部分的面积为22222211π(112358)26π4S =+++++=，所以阴影部分的面积与矩形ABCD 的面积之比为26ππ1044=.故答案为.π415．已知函数()sin 2f x x x m =++在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上有零点，则实数m 的取值范围是________．【正确答案】()1π,0--【分析】先利用基本初等函数的单调性判断得()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上都单调递增，再利用零点存在定理得到()00π02f f ⎧<⎪⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩，解之即可得解.【详解】因为sin y x =与2y x m =+在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上都单调递增，所以()sin 2f x x x m =++在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，因为()sin 2f x x x m =++在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上有零点，所以()00π02f f ⎧<⎪⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩，即sin 0200ππsin 2022m m +⨯+<⎧⎪⎨+⨯+>⎪⎩，即01π0m m <⎧⎨++>⎩，解得1π0m --<<，所以实数m 的取值范围为()1π,0--.故答案为.()1π,0--四、双空题16．已知()()3log 41xf x kx =+-是偶函数，则k =________，()f x 的最小值为________．【正确答案】3log 23log 2【分析】先利用函数奇偶性的定义可求得实数k 的值，从而得到()31log 22x x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再利用基本不等式即可推得()3log 2f x ≥，由此得解.【详解】因为函数()f x 为偶函数，则()()f x f x -=，即()()33log 41log 41x xkx kx -+++-=，所以()()()()333333441412log 41log 41log log log 4log 441441x x x x xx x x x kx x ---++=+-+====++，由x 的任意性可得332log 42log 2k ==，故3log 2k =，所以()()3333411log 41log 2log log 222x xx x x f x x +⎛⎫=+-==+ ⎪⎝⎭，因为20x >，所以1222x x +≥=，当且仅当122xx=，即0x =时，等号成立，即1222xx +≥，所以()331log 2log 22x x f x ⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭，即()f x 的最小值为3log 2.故3log 2；3log 2.五、解答题17．已知()1sin 535α︒-=，且27090α-︒<<-︒，求()()2tan 127sin 37αα︒+-︒+的值．【分析】利用诱导公式和同角三角函数关系得()sin 375α︒+=-，再结合同角三角函数的商的关系求出()tan 127α︒+的值，代入计算即可.【详解】设53βα︒=-,37γα︒=+,那么90βγ︒+=,从而90γβ︒=-.于是()sin sin 90cos γββ︒=-=.因为27090α︒︒-<<-,所以143323β︒︒<<.由1sin 05β=>,得143180β︒︒<<.所以cos 5β=-,所以()sin 37sin αγ︒+==()()()22222sin tan 127tan 18053tan 53tan cos βαααββ︒⎛⎫⎡⎤+=--=-== ⎪⎣⎦⎝⎭211524⎛⎫ ⎪==，则()()215tan 127sin 37245120αα︒︒++-+=+=.18．已知全集为R ，集合103x A x x ⎧⎫+=>⎨⎬-⎩⎭，()(){}22330B x x ax a a =-++-<．(1)若3a =-，求集合()R A B ⋂ð；(2)请在①“x B ∈”是“x A ∈”的充分条件，②()R B A ⋂=∅ð，③A B A ⋃=这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上，并完成问题解答．若________，求实数a 的取值范围．【正确答案】(1){3xx >∣或6}x ≤-(2)6a ≥或4a ≤-.【分析】（1）直接根据集合的补集以及交集的定义计算即可；（2）若选①，则可知B A ⊆，列出相应的不等式，解得答案；若选②，求出{}R 13A xx =-≤≤∣ð，再根据集合的交集运算，列出相应的不等式，解得答案；若选③，根据集合的并集运算，列出相应的不等式，解得答案；【详解】（1）集合{3A xx =>∣或1}x <-，集合{|33}B x a x a =-<<+，若3,{60}a B xx =-=-<<∣，所以R {0B x x =≥∣ð或6}x ≤-所以R {3A B xx ⋂=>∣ð或6}x ≤-.（2）若选①“x B ∈”是“x A ∈”的充分条件，则B A ⊆，即{33}{3xa x a x x -<<+⊆>∣∣或1}x <-，所以33a -≥或31a +≤-，6a ∴≥或4a ≤-；若选②{}R 13A xx =-≤≤∣ð，()R B A ⋂=∅ð所以33a -≥或31a +≤-6a ∴≥或4a ≤-若选③，A B A =Q U ，B A∴⊆则31a +≤-或33a -≥，6a ∴≥或4a ≤-.19．设()log a f x x =（0a >，且1a ≠）其图象经过点12⎫⎪⎭，又()g x 的图象与()f x 的图象关于直线y x =对称．(1)若()f x 在区间c ⎤⎦上的值域为[],m n ，且32n m -=，求c 的值；(2)若()24g m =，()25g n =，求2m n +的值．【正确答案】(1)2e c =(2)ln100【分析】（1）将点12⎫⎪⎭代入解析式，即可求出()ln f x x =，根据其单调性得2n =，则()2f c =，解出即可；（2）根据指数函数与对数函数的关系得()e xg x =，则有2e 100m n +=，则2ln100m n +=.【详解】（1）因为()log a f x x =（0a >，且1a ≠）的图象经过点12⎫⎪⎭，所以1log 2a =1122e a =，所以e a =，所以()ln f x x =，因为()f x 在区间]c 上单调递增，则12m f==，因为32n m -=，所以3132222n m =+=+=，所以()2f c n ==，即ln 2c =，解得2e c =.（2）()g x 的图象与()f x 的图象关于直线y x =对称，()e x g x =，若(2)4,()25g m g n ==，则2e 4m =，e 25n =，所以22e e e 100m n m n +⋅==，所以2ln100m n +=.20．已知函数()()π2sin 03f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象相邻两条对称轴之间的距离为π2．(1)求()f x 的解析式和单调递增区间；(2)求函数()f x 在区间ππ,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上值域．【正确答案】(1)()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，单调增区间为5,,(Z)1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.(2)⎡⎤⎣⎦【分析】（1）根据正弦型函数的性质得出ω的值，结合正弦函数的单调性确定函数()f x 的单调递增区间；（2）根据正弦函数的性质得出πsin 2,132x ⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，进而得出函数()f x 在区间ππ,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域.【详解】（1）因为相邻两条对称轴之间的距离为π2，所以()f x 的最小正周期πT =，所以2πT ω=，0ω> ，则2ω=，()π2sin 23f x x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，又因为当πππ222π232k x k π-≤+≤+，Z k ∈时函数()f x 单调递增，即5ππππ1212k x k -≤≤+，Z k ∈,所以函数()f x 的单调递增区间为()5πππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）（2）当ππ,62x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π4π20,33x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以πsin 232x ⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦所以函数()f x 在区间ππ,62⎡⎤-⎢⎣⎦的值域为⎡⎤⎣⎦.21．酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL 血液中酒精含量达到2079mg 的驾驶员即为酒后驾车，80mg 及以上认定为醉酒驾车．假设人在喝一定量的酒后，如果停止喝酒，血液中的酒精含量会以每小时p 的比率减少．现有驾驶员甲乙三人喝了一定量的酒后，测试他们血液中的酒精含量均上升到了1mg/mL ．（运算过程保留4位小数，参考数据：lg 20.3010≈，lg30.4771≈．lg 70.8451≈0.7647≈，0.7946≈）(1)若驾驶员甲停止喝酒后，血液中酒精含量每小时下降比率为130%p=，则驾驶员甲至少要经过多少个小时才能合法驾驶？（最后结果取整数）(2)驾驶员乙在停止喝酒5小时后驾车，却被认定为酒后驾车，请你结合（1）的计算，从数学角度给驾驶员乙简单分析其中的原因，并为乙能够合法驾驶提出合理建议；(3)驾驶员乙听了你的分析后，在不改变饮酒量的条件下，在停止饮酒后6小时和7小时各测试一次并记录结果，经过一段时间观察，乙发现自己至少要经过7个小时才能合法驾驶．请你帮乙估算一下：他停止饮酒后，血液中酒精含量每小时减少比率的取值范围．（最后结果保留两位小数）【正确答案】(1)驾驶员甲至少要经过5个小时才能合法驾驶(2)答案见解析(3)(]0.21,0.24【分析】（1）根据题意得到()110.30.2t⨯-<，利用对数运算法则与换底公式运算即可得解；（2）根据（1）中计算结果，给予驾驶员乙合理的建议即可；（3）设驾驶员乙停止喝酒后，血液中酒精含量每小时下降比率为2p，根据题意得到关于2p 的不等式组，解之即可.【详解】（1）根据题意，驾驶员甲停止喝酒后，经过t小时后，体内的酒精含量为()110.3mg/mLt⨯-，只需()110.30.2t⨯-<，即0.70.2t<，所以0.70.7log0.7log0.2t>，可得0.7lg0.2lg2lg100.30101log0.2 4.5126lg0.7lg7lg100.84511t-->==≈≈--，取整数为5t=时，满足题意.所以驾驶员甲至少要经过5个小时才能合法驾驶.（2）因为驾驶员乙在停止喝酒5小时后驾车，却被认定为酒后驾车，说明驾驶员乙血液中的酒精含量每小时下降比率比驾驶员甲小，所以驾驶员乙在停止喝酒5小时后其血液中的酒精含量大于国家有关规定的含量，故此，建议驾驶员乙在停止饮酒后的若干个小时进行测试其血液中的酒精含量，从而确定自己停止饮酒后需要经过多少小时，才能合法驾驶.（3）设驾驶员乙停止喝酒后，血液中酒精含量每小时下降比率为2p ，则经过t 小时后，驾驶员乙体内的酒精含量为()211mg/mL tp ⨯-，根据题意可知，驾驶员乙在停止喝酒6小时后其血液中的酒精含量仍不达标，在7小时后其血液中的酒精含量达标，所以()()6272110.2110.2p p ⎧⨯-≥⎪⎨⨯-<⎪⎩，对于()62110.2p ⨯-≥，即()62115p -≥，则21p -≥2110.76470.23530.24p ≤-≈-=≈；对于()72110.2p ⨯-<，即()72115p -<，则21p -<2110.79460.20540.21p >≈-=≈；综上：20.210.24p <≤，所以驾驶员乙停止饮酒后，血液中酒精含量每小时减少比率的取值范围为(]0.21,0.24.22．已知函数()2f x ax bx c =++（a ，b ，c ∈R ）有最小值4-，且()0f x <的解集为{}13x x -<<．(1)求函数()f x 的解析式；(2)若对于任意的()1,x ∈+∞，不等式()6f x mx m >--恒成立，求实数m 的取值范围．【正确答案】(1)2()23f x x x =--(2)m <【分析】（1）根据韦达定理列出方程组解出即可；（2）分离参数得()2122111x m x x x -+∴<=-+--，1x >，利用基本不等式求出右边最值即可.【详解】（1）令()0f x =，则1,2-为方程20ax bx c ++=的两根，则0a ≠，则由题有244423ac b a b a c a ⎧-=-⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪=-⎪⎩，解得123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，2()23f x x x ∴=--.（2）由（1）得对()1,x ∀∈+∞，2236x x mx m -->--，即()2231x x m x -+>-，1x >Q ，10x ∴->，()2122111x m x x x -+∴<=-+--，令()211h x x x =-+-，1x >，则()2121h x x x =-+≥-当且仅当211x x -=-，即1x =+时等号成立，故()min hx =m <.。

2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若3324A 10A n n =，则n =（ ）A ．1B ．8C ．9D ．102．期末考试结束后，某班要安排6节课进行试卷讲评，要求课程表中要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物共六节课，如果第一节课只能排语文或数学，最后一节不能排语文，则不同的排法共有（ ） A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种3．一台X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8，有4台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是（ ） A ．0.1536B ．0.1808C ．0.5632D ．0.97284．某市气象部门根据2021年各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值（单位：℃）数据，绘制如下折线图：那么，下列叙述错误的是（ ）A ．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B ．全年中，2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C ．全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有5个D ．从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值都呈下降趋势5．若()2N 1,X σ~，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，已知()21,3X N ~，则(47)P X <≤=（ ）A ．0.4077B ．0.2718C ．0.1359D ．0.04536．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算()200.01P K k ≥=，根据这一数据分析，下列说法正确的是（ ）A ．有1%的人认为该栏目优秀；B ．有1%的把握认为该栏目是否优秀与改革有关系；C ．有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系；D ．没有理由认为电视栏目是否优秀与改革有关系.7．若1021001210)x a a x a x a x =++++，则012310a a a a a -+-++的值为．A 1B 1C ．101)D ．101)8．关于()72x +的二项展开式，下列说法正确的是（ ） A ．()72x +的二项展开式的各项系数和为73B ．()72x +的二项展开式的第五项与()72x +的二项展开式的第五项相同C ．()72x +的二项展开式的第三项系数为4372CD ．()72x +的二项展开式第二项的二项式系数为712C9．如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个3×2×3的长方体框架，一个建筑工人欲从A 处沿脚手架攀登至B 处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（ ）A ．528B ．514C ．29D ．1210．三棱锥P ABC -中P A ､PB ､PC 两两互相垂直，4PA PB +=，3PC =，则其体积（ ） A ．有最大值4B ．有最大值2C ．有最小值2D ．有最小值4二、填空题11．最小二乘法得到一组数据(),(1,2,3,4,5)i i x y i =的线性回归方程为ˆ23yx =+，若5125ii x==∑，则51i i y ==∑___________.12．某班举行的联欢会由5个节目组成,节目演出顺序要求如下: 节目甲不能排在第一个,并且节目甲必须和节目乙相邻.则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有____种. 13．若随机变量X 的概率分布如表，则表中a 的值为______.14．设随机变量ξ~B (2，p )，若P (ξ≥1)=59，则D (ξ)的值为_________.15．已知等差数列{}n a 中，33a =，则1a 和5a 乘积的最大值是______.16．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为___________.17．经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是_____．18．点A ，B ，C 在球O 表面上，2AB =，BC =90ABC ∠=︒，若球心O 到截面ABC的距离为___________.19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AAC C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面11AAC C ，3AB =，5BC =.（℃）求证：1AA ⊥平面；（℃）若点E 是线段的中点，请问在线段是否存在点E ，使得面11AAC C ？若存在，请说明点E 的位置，若不存在，请说明理由； （℃）求二面角的大小.20．四根绳子上共挂有10只气球,绳子上的球数依次为1,2,3,4，每枪只能打破一只球,而且规定只有打破下面的球才能打上面的球,则将这些气球都打破的不同打法数是________.三、解答题21．已知集合(){}()12,,,|,1,2,,1nn i R x x x x R i n n =∈=≥，定义n R 上两点()12,,,n A a a a ，()12,,,n B b b b 的距离()1,ni i i d A B a b ==-∑.（1）当2n =时，以下命题正确的有__________（不需证明）： ℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),7d A B =；℃在ABC 中，若90C =∠，则()()()222,,,d A C d C B d A B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦⎣⎦； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，则B C ∠=∠;（2）当2n =时，证明2R 中任意三点A B C ，，满足关系()()(),,,d A B d A C d C B ≤+；（3）当3n =时，设()0,0,0A ，()4,4,4B ，(),,P x y z ，其中x y z Z ∈，，，()()(),,,d A P d P B d A B +=.求满足P 点的个数n ，并证明从这n 个点中任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.22．今年4月，教育部办公厅印发了《关于加强义务教育学校作业管理的通知》，规定初中学生书面作业平均完成时长不超过90分钟．某市为了更好地贯彻落实“双减”工作要求，作教育决策，该市教育科学研究院就当前全市初三学生每天完成书面作业时长抽样调查，结果是学生书面作业时长（单位：分钟）都在区间[]50,100内，书面作业时长的频率分布直方图如下：(1)若决策要求：在国家政策范围内，若当前初三学生书面作业时长的中位数估计值大于或等于平均数（计算平均数时，同一组中的数据用该区间的中点值代表）估计值，则减少作业时长；若中位数估计值小于平均数，则维持现状．请问：根据这次调查，该市应该如何决策？(2)调查统计时约定：书面作业时长在区间[]90,100内的为A 层次学生，在区间[)80,90内的为B 层次学生，在区间[70,80)内的为C 层次学生，在其它区间内的为D 层次学生．现对书面作业时长在70分钟以上（含70分钟）的初三学生，按作业时长出现的频率用分层抽样的方法随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人作进一步调查，设这3人来自X 个不同层次，求随机变量X 的分布列及数学期望．23．国家文明城市评审委员会对甲､乙两个城市是否能入围“国家文明城市”进行走访调查.派出10人的调查组.先后到甲､乙两个城市的街道､社区进行问卷调查，然后打分（满分100分）.他们给出甲､乙两个城市分数的茎叶图如图所示：(1)请你用统计学的知识分析哪个城市更应该入围“国家文明城市”，请说明理由；(2)从甲､乙两个城市的打分中各抽取2个，在已知有大于80分的条件下，求抽到乙城市的分数都小于80分的概率；(3)从对乙城市的打分中任取2个，设这2个分数中不小于80分的个数为X，求X的分布列和期望.参考答案：1．B【分析】根据排列数的运算求解即可.【详解】由332A 10A n n =得，2(21)(22)10(1)(2)n n n n n n --=--，又3,n n *≥∈N ，所以2(21)5(2)n n -=-，解得8n =， 所以正整数n 为8． 故选：B. 2．B【分析】对第一节课的安排进行分类讨论，结合分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得结果.【详解】分以下两种情况讨论：℃若第一节课安排语文，则后面五节课的安排无限制，此时共有55A 种；℃若第一节课安排数学，则语文可安排在中间四节课中的任何一节，此时共有444A 种.综上所述，不同的排法共有54544216A A +=种.故选：B. 3．D【详解】设在一个小时内有ξ台机床需要工人照看，则ξ～B (4,0.2)，所以P (ξ≤2)＝04C (0.8)4＋14C (0.8)3×0.2＋24C (0.8)2×(0.2)2＝0.972 8. 故选D 4．D【分析】利用折线图可以判断选项ABC 正确，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，所以选项D 错误.【详解】解：由2021年各月的每天最高气温平均值和最低气温平均值（单位：C)︒数据，绘制出的折线图，知：在A 中，各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关，故A 正确；在B 中，全年中，2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故B 正确； 在C 中，全年中各月最低气温平均值不高于10C ︒的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5个，故C 正确；在D 中，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，故D 错误. 故选：D ． 5．C【分析】由题意，得(47)(2)P X P X μσμσ<≤=+<≤+，再利用3σ原则代入计算即可.【详解】℃()21,3X N ~，由()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，℃1(47)(2)(0.95450.6827)0.13592P X P X μσμσ<≤=+<≤+=-=.故选：C 6．C【分析】利用独立性检验的基本原理即可求出答案．【详解】解：℃()200.01P K k ≥=表示“电视栏目是否优秀与改革没有关系”的概率，℃有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系， 故选：C ．【点睛】本题主要考查独立性检验的基本应用，准确的理解判断方法是解决本题的关键，属于基础题． 7．D【详解】分析：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，再求f(-1)的值得解.详解：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，1001210(1)1)f a a a a -==-+++．故答案为D ．点睛：（1）本题主要考查二项式定理中的系数求法问题，意在考查学生对这些基础知识 的掌握水平.(2) 二项展开式的系数0123,,,,n a a a a a ⋅⋅⋅的性质：对于2012()?··n n f x a a x a x a x =++++，0123(1)n a a a a a f ++++⋅⋅⋅+=， 0123(1)(1)n n a a a a a f -+-+⋅⋅⋅+-=-.8．A【分析】利用赋值法求出展开式各项系数和，即可判断A ，根据二项式展开式的通项，即可判断B 、C 、D ；【详解】解：()72x +展开式的通项为7172rrr r T C x -+=⋅⋅，故第二项的二项式系数为177C =，故D 错误； 第三项的系数为2572C ⋅，故C 错误；()72x +的展开式的第五项为43472C x ⋅⋅，()72x +的展开式的第五项为44372C x ⋅⋅，故B 错误； 令1x =则()7723x +=，即()72x +的二项展开式的各项系数和为73，故A 正确； 故选：A 9．B【解析】将问题抽象成“向左三次，向前两次，向上三次”，计算出总的方法数，然后利用插空法计算出最近的行走路线中不连续向上攀登的事件数，最后根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】从A 的方向看，行走方向有三个：左、前、上. 从A 到B 的最近的行走线路，需要向左三次，向前两次，向上三次，共8次.所以从A 到B 的最近的行走线路，总的方法数有88332332560A A A A =⋅⋅种. 不连续向上攀登的安排方法是：先将向左、向前的安排好，再对向上的方法进行插空.故方法数有：53563232200A C A A ⨯=⋅.所以最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为200556014=. 故选：B【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，考查有重复的排列组合问题，考查插空法，属于中档题. 10．B【分析】依题意可得1113332P ABC PABV PC SPA PB -=⋅=⨯⨯⋅再利用基本不等式计算可得； 【详解】解：依题意21111132332222P ABCPABPA PB V PC S PA PB PA PB -+⎛⎫=⋅=⨯⨯⋅=⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2PA PB ==时取等号，所以()max 2P ABC V -=， 故选：B11．65【分析】由最小二乘法得到的线性回归方程过点(),x y ，代入即可解决 【详解】由5125i i x ==∑可知，数据的平均数2555x ==， 又线性回归方程ˆ23yx =+过点(),x y ， 所以25313y =⨯+=，故51551365i i y y ===⨯=∑故答案为：65 12．42【分析】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，再根据甲、乙相邻，分别计算. 【详解】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，当甲排在第二、三、四个时，甲乙相邻，有22A 种排法，将甲乙当做一个整体，剩下三个节目全排列，共3×22A ×33A =36种当甲排在第五个时，甲乙相邻，只有一种排法，剩下三个节目全排列，共33A =6种 综上，编排方案共36+6=42种【点睛】本题考查了分类计数原理，分类时要注意不重不漏；解决排列问题时，相邻问题常用捆绑法，特殊位置要优先考虑. 13．0.2【解析】利用概率和为1可求出答案. 【详解】由随机变量X 的概率分布表得： 0.20.30.31a +++=，解得0.2a =. 故答案为：0.2【点睛】本题考查的是分布列的性质，较简单. 14．49【分析】由二项分布的特征，先求出13p =，套公式即可求出D (ξ). 【详解】因为随机变量ξ~B (2，p )，且P (ξ≥1)=59，所以P (ξ≥1)=()11P ξ-<= ()10P ξ-==()25119p --=. 解得：13p =. 所以D (ξ)()12412339np p =-=⨯⨯=.故答案为：4915．9【分析】设出公差，根据等差数列的性质，表示出15,a a ，再列式即可求得结果. 【详解】因为{}n a 是等差数列，设公差为d ，可得13532,2a a d a a d =-=+，于是得()()2153322949a a a d a d d =-+=-≤，当且仅当d =0，即153a a ==时，取得最大值. 故答案为：9.【点睛】本题考查等差数列的下标和性质，属基础题. 16．1443125##0.04608 【分析】认真分析该选手所有可能的答题情况，是本题的关键【详解】由该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮，说明他第4、第5两个问题是连续答对的，第3个问题没有答对，第1和第2两个问题也没有全部答对，即他答题结果可能有三种情况：⨯⨯⨯√√或⨯√⨯√√或√⨯⨯√√，根据独立事件同时发生的概率公式，可得该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为0.20.20.20.80.8+0.20.80.20.80.8+0.80.20.20.80.8=0.04608⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯故答案为：0.04608 17．0.74【详解】试题分析：x 表示人数，(2)(2)(3)(4)(5)P x P x P x P x P x ≥==+=+=+≥0.30.30.10.040.74=+++=.考点：互斥事件的概率.18．【分析】根据截面圆性质，先求出截面圆半径，然后由求得球半径，从而求得体积．【详解】因为2AB =，BC =90ABC ∠=︒，所以4AC ==，所以三角形外接圆半径22ACr ==，又球心O 到截面ABC 的距离为R =球体积为(334433V R ππ==⨯=．故答案为：．19．（℃）（℃）（℃）见解析【详解】试题分析：（℃）由正方形的性质得1AC AA ⊥，然后由面面垂直的性质定理可证得结果；（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，利用中位线定理可得1DE AC ，进而得出DE 面11AAC C ；（℃）利用二面角的定义先确定11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角，易求得11tan C A C ∠，从而求得二面角的平面角为的度数．试题解析：（℃）因为四边形11AAC C 为正方形，所以1AC AA ⊥． 因为平面ABC ⊥平面11AAC C ，且平面ABC ⋂平面11AAC C AC =， 所以1AA ⊥平面ABC ．（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，有DE 面11AAC C ， 连结1AB 交1AB 于点E ，连结BC ，因为点E 是1AB 中点，点⊄是线段DE 的中点，所以1DE AC ． 又因为BC ⊂面11AAC C ，11A C 面11AAC C ，所以DE 面11AAC C .（℃）因为1AA ⊥平面ABC ，所以.又因为，所以面11AAC C ，所以11A B ⊥面11AAC C ，所以11A B ⊥1A C ，11A B ⊥11A C ，所以11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角， 易得，所以二面角111C A B C --的平面角为45°.考点：1、线面垂直的判定；2、线面平行的判定；2、二面角．【方法点睛】立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究．解决这类问题时一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在假设下进行推理，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设． 20．12600【详解】问题等价于编号为1,2,3,10的10个小球排列，其中2,3号，4,5,6号，7,8,9,10号的排列顺序是固定的，据此可得：将这些气球都打破的不同打法数是101023423412600A A A A =⨯⨯. 21．（1）℃；（2）证明见解析；（3）125n =，证明见解析．【解析】（1）℃根据新定义直接计算．℃根据新定义，写出等式两边的表达式，观察它们是否相同，即可判断；℃由新定义写出等式()(),,d A B d A C =的表达式，观察有无AB AC =； （2）由新定义，写出不等式两边的表达式，根据绝对值的性质证明；（3）根据新定义，及绝对值的性质得P 点是以AB 为对角线的正方体的表面和内部的整数点，共125个，把它们分布在五个平面(0,1,2,3,4)z =上，这五个面一个面取3个点，相邻面上取一个点，以它们为顶点构成三棱锥（能构成时），棱锥的体积不超过83，然后任取11点中如果没有4点共面，但至少有一个平面内有3个点．根据这3点所在平面分类讨论可得． 【详解】（1）当2n =时，℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),41627d A B =-+-=，℃正确；℃在ABC 中，若90C =∠，则222AC BC AB +=，设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，所以222222131323231212()()()()()()x x y y x x y y x x y y -+-+-+-=-+-而()2221212121221212()()()2)),((x x y y x x y y d A x B x y y =⎡⎤⎣-+-+⎦=--+--， ()()22,,d A C d C B ⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦22221313232313132323()()()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y x x y y -+-+-+-+--+--，但1313232312122()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y --+--=--不一定成立，℃错误； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，在℃中的点坐标，有12121313x x y y x x y y -+-=-+-，但1212131322x x y y x x y y -⋅-=-⋅-不一定成立，因此AB AC =不一定成立，从而B C ∠=∠不一定成立，℃错误．空格处填℃（2）证明：设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，根据绝对值的性质有132312x x x x x x -+-≥-，132312y y y y y y -+-≥-，所以(,)(,)(,)d A C d B C d A B +≥．,（3）(,)12d A B =，44,44,44x x y y z z +-≥+-≥+-≥，所以(,)(,)12d A P d B P +≥，当且仅当以上三个等号同时成立，(,)(,)12d A P d B P +=又由已知()()(),,,d A P d P B d A B +=，℃04,04,04x y z ≤≤≤≤≤≤， 又,,x y z Z ∈，℃,,0,1,2,3,4x y z =，555125⨯⨯=，点P 是以AB 为对角线的正方体内部（含面上）的整数点，共125个，125n =． 这125个点在0,1,2,3,4z z z z z =====这五面内．这三个平面内，一个面上取不共线的3点，相邻面上再取一点构成一个三棱锥．则这个三棱锥的体积最大为118441323V =⨯⨯⨯⨯=，现在任取11个点，若有四点共面，则命题已成立，若其中无4点共面，但11个点分在5个平面上至少有一个平面内有3个点（显然不共线），若这三点在1,2,3z z z ===这三个平面中的一个上，与这个面相邻的两个面上如果有一点，那么这一点与平面上的三点这四点可构成三棱锥的四个顶点，其体积不超过83，否则还有8个点在平面0z =和4z =上，不合题意，若这三个点在平面0z =或5z =上，不妨设在平面0z =，若在平面1z =在一个点，则同样四点构成的三棱锥体积不超过83，否则剩下的8个点在2,3,4z z z ===三个平面上，只能是3，3，2分布，不管哪一种分布都有四点构成的三棱锥体积不超过83，综上，任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.【点睛】关键点点睛：本题新定义距离(,)d A B ，解题关键是利用新定义转化为绝对值，利用绝对值的性质解决一些问题．本题还考查了抽屉原理，11个放在5个平面上，至少有一个平面内至少有3点，由此分类讨论可证明结论成立． 22．(1)该市应该作出减少作业时长的决策； (2)分布列见解析；期望为167.【分析】（1）根据题意，结合频率分布直方图，分别求出中位数和平均数，即可求解； （2）根据题意，结合分层抽样以及离散型随机变量的分布列与期望求法，即可求解. (1)作业时长中位数的估计值为直方图中等分面积的线对立的值，设为x ．0.01100.01100.02100.5⨯+⨯+⨯<． 0.01100.01100.02100.03100.5⨯+⨯+⨯+⨯>，()0.01100.01100.02100.03800.5x ∴⨯+⨯+⨯+⨯-=．解得2503x =，即中位数的故计值2503分钟．又作业时长平均数估计值为0.0110550.0110650.021075⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 2500.0310850.031095813+⨯⨯+⨯⨯=<． 因为中位数的估计值2503分钟大于平均数估计值81分钟， 所以，根据这次调查，该市应该作出减少作业时长的决策. (2)由题，作业时长在70分钟以上（含70分钟）为[90.100]，[80,90)，[70,80)三个区间，其频率比为3：3：2，分别对应A ，B ，C 三个层次．根据分层抽样的方法，易知各层次抽取的人数分别为3，3，2， 因此X 的所有可能值为1，2，3．因为333821(1)28C P X C ⨯===，111233389(3)28C C C P X C ⋅⋅===， 121221333232382229(2)14C C C C C C P X C ⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅===， 所以X 的分在列为：故数学期望19916()1232814287E X =⨯+⨯+⨯=. 23．(1)乙城市更应该入围“国家文明城市”．理由见解析． (2)425； (3)分布列见解析，期望为1．【分析】（1）根据得分的平均值与方差说明，极差最值也可用来说明；（2）记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，由()()(|)()()P AC P C P C A P A P A ==计算； （2）X 的可能值是0,1,2，分别求得概率得概率分布列，由期望公式计算出期望． (1)乙城市更应该入围“国家文明城市”． 理由如下：由茎叶图，计算两个城市的得分的均值为 甲：6365987910x +++==，乙：6568927910y +++==，均值相等，方差为甲：222211[(16)(14)19]13610s =-+-++=， 乙：222221[(14)(11)13]59.810s =-+-++=，甲的方差远大于乙的方差，说明乙的得分较稳定，甲极其不稳定，因此乙城市更应该入围“国家文明城市”． (2)记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，262102()13C P B C =-=，252107()19C P C C =-=，2725()1(1)(1)3927P A =--⨯-=，7()()9P AC P C ==， 所以()()()()749(|)1(|)111252527P AC P C P C A P C A P A P A =-=-=-=-=；(3)乙城市10个人中5个大于80分，5个小于80，X 的可能是0,1,2，252102(0)9C P X C ===，11552105(1)9C C P X C ===，252102(2)9C P X C ===，所以X 的分布列为：52()12199E X =⨯+⨯=．。

2020-2021学年河北省石家庄市辛集市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题有16个小题，共42分．1～10小题各3分，11～16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）用长为1cm，2cm，3cm的三条线段围成三角形的事件是（）A．随机事件B．必然事件C．不可能事件D．以上说法都不对2．（3分）若函数是反比例函数，且它的图象在第一、三象限，则m的值为（）A．2B．﹣2C．D．3．（3分）如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（）A．a＝b B．a＝2b C．a＝2b D．a＝4b4．（3分）如图，已知∠1＝∠2，那么添加一个条件后，仍不能判定△ABC与△ADE相似的是（）A．∠C＝∠AED B．∠B＝∠D C．＝D．＝5．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA＝DC，若∠CBE＝55°，则∠DAC的度数为（）A．70°B．67.5°C．62.5°D．65°6．（3分）一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为2的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的表面积是（）A．6πB．4πC．8πD．47．（3分）在一个不透明的布袋中装有52个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小强每次摸出一个球记录下颜色后并放回，通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.2左右，则布袋中黑球的个数可能有（）A．11B．13C．24D．308．（3分）已知关于x的方程x2+2x﹣k﹣2＝0没有实数解，则函数y＝的图象大致是图中的（）A．B．C．D．9．（3分）已知（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）在二次函数y＝﹣x2+4x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y2 10．（3分）2020年，新型冠状病毒感染的肺炎疫情牵动着全国人民的心．雅礼中学某学生写了一份预防新型冠状病毒倡议书在微信朋友圈传播，规则为：将倡议书发表在自己的朋友圈，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮转发后，共有931人参与了转发活动，则方程列为（）A．（1+n）2＝931B．n（n﹣1）＝931C．1+n+n2＝931D．n+n2＝931 11．（3分）如图，一块直角三角板的30°角的顶点P落在⊙O上，两边分别交⊙O于A 、B两点，若⊙O的直径为4，则弦AB长为（）A．2B．3C．D．12．（3分）已知抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A、B两点，将这条抛物线的顶点记为C ，连接AC、BC，则tan∠CAB的值为（）A．B．C．D．213．（3分）如图，从渔船A处测得灯塔M在北偏东55°方向上，这艘渔船以28km/h的速度向正东方向航行，半小时后到达B处，在B处测得灯塔M在北偏东20°方向上，此时灯塔M与渔船的距离是（）A．28km B．14km C．7km D．14km 14．（3分）如图，已知正方形ABCD与正方形AEFG的边长分别为4cm、1cm，若将正方形AEFG绕点A旋转，则在旋转过程中，点C、F之间的最小距离为（）cm．A．3B．2C．4﹣1D．315．（3分）如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB＝30°，若点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则经过点B的反比例函数解析式为（）A．y＝﹣B．y＝﹣C．y＝﹣D．y＝16．（3分）我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：其中正确结论的个数是（）①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；②图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；③当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；④当x＝﹣1或x＝3时，函数的最小值是0；⑤当x＝1时，函数的最大值是4，A．4B．3C．2D．1二、填空题（本大题有3个小题，共11分．17小题3分；18～19小题各有2个空，每空2分．把答案写在题中横线上）17．（2分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个解是x＝1，则2021﹣a﹣b＝．18．（10分）如图，在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，有点P1、P2、P3、P4，它们的横坐标依次为2，4，6，8…．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1、S2、S3…，则点P1的坐标为，阴影部分的面积和S1+S2+S3为．19．（4分）曲线L在直角坐标系中的位置如图所示，曲线L是由半径为2，圆心角为120°的（O是坐标原点，点A在x轴上）绕点A旋转180°，得到；再将绕点A1旋转180°，得到；……依此类推，形成曲线L，现有一点P从O点出发，以每秒π个单位长度的速度，沿曲线L向右运动，则点A的坐标为；在第2020s时，点P的坐标为．三．解答题（本大题有7个小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20．（8分）解方程：（1）（2x﹣1）2＝（2﹣x）2；（2）x2x＝0．21．（8分）某商场销售一批衬衫，每件成本为50元，如果按每件60元出售，可销售800件；如果每件提价5元出售，其销售量就减少100件．如果商场销售这批衬衫要获利润12000元，又使顾客获得更多的优惠，那么这种衬衫应提价多少元？（1）设这种衬衫应提价x元，则这种衬衫的销售价为元，销售量为件．（2）列方程并完成本题的解答．22．（8分）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（3，n）和点B（n+，2），与y轴交于点C．（1）反比例函数的表达式；一次函数的表达式；（2）若在x轴上有一点D，其横坐标是1，连接AD，CD，求△ACD的面积．23．（8分）“五一”期间甲乙两商场搞促销活动，甲商场的方案是：在一个不透明的箱子里放4个完全相同的小球，球上分别标“0元”“20元”“30元“50元”，顾客每消费满300元就可从箱子里不放回地摸出2个球，根据两个小球所标金额之和可获相应价格的礼品；乙商场的方案是：在一个不透明的箱子里放2个完全相同的小球，球上分别标“5元”“30元”，顾客每消费满100元，就可从箱子里有放回地摸出1个球，根据小球所标金额可获相应价格的礼品．某顾客准备消费300元．（1）请用画树状图或列表法，求出该顾客在甲商场获得礼品的总价值不低于50元的概率；（2）判断该顾客去哪个商场消费使获得礼品的总价值不低于50元机会更大？并说明理由．24．（9分）探究：某学校数学社团遇到这样一个题目：如图①，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO＝30°，∠OAC＝75°，AO＝3，BO：CO＝1：3，求AB的长．经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，连接BD，如图②所示，通过构造△ABD就可以解决问题．请你写出求AB长的过程．应用：如图③，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，∠ABC＝∠ACB＝75°，BO：OD＝1：3．若AO＝3，请你求出AB的长．25．（10分）如图，抛物线C1：y＝x2﹣2x与抛物线C2：y＝ax2+bx开口大小相同、方向相反，它们相交于O，C两点，且分别与x轴的正半轴交于点B，点A，OA＝2OB．（1）求抛物线C2的解析式；（2）在抛物线C2的对称轴上是否存在点P，使P A+PC的值最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由；（3）M是直线OC上方抛物线C2上的一个动点，连接MO，MC，M运动到什么位置时，△MOC面积最大？并求出最大面积．26．（10分）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠CAB＝30°，AC＝8，半径为2的⊙O从点A开始（如图1）沿直线AB向右滚动，滚动时始终与直线AB相切（切点为D），当⊙O 与△ABC只有一个公共点时滚动停止，作OG⊥AC于点G．（1）图1中，⊙O在AC边上截得的弦长AE＝；（2）当圆心落在AC上时，如图2，判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由．（3）在⊙O滚动过程中，线段OG的长度随之变化，设AD＝x，OG＝y，求出y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围．2020-2021学年河北省石家庄市辛集市九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题有16个小题，共42分．1～10小题各3分，11～16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）用长为1cm，2cm，3cm的三条线段围成三角形的事件是（）A．随机事件B．必然事件C．不可能事件D．以上说法都不对【分析】根据三角形三边关系和不可能事件的概念进行解答即可．【解答】解：∵1cm+2cm＝3cm，∴用长为1cm，2cm，3cm的三条线段不能围成三角形，∴用长为1cm，2cm，3cm的三条线段围成三角形是不可能事件．故选：C．【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．2．（3分）若函数是反比例函数，且它的图象在第一、三象限，则m的值为（）A．2B．﹣2C．D．【分析】根据反比例函数的定义列式求出m，根据反比例函数的性质得到m＞0，得到答案．【解答】解：∵函数y＝mx是反比例函数，∴m2﹣5＝﹣1，解得，m＝±2，∵它的图象在第一、三象限，∴m＞0，∴m＝2，故选：A．【点评】本题考查的是反比例函数的定义和性质，形如y＝（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．3．（3分）如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（）A．a＝b B．a＝2b C．a＝2b D．a＝4b【分析】根据对折表示出小长方形的长和宽，再根据相似多边形的对应边成比例列式计算即可得解．【解答】解：对折两次后的小长方形的长为b，宽为a，∵小长方形与原长方形相似，∴＝，∴a＝2b．故选：B．【点评】本题考查了相似多边形对应边成比例的性质，准确表示出小长方形的长和宽是解题的关键．4．（3分）如图，已知∠1＝∠2，那么添加一个条件后，仍不能判定△ABC与△ADE相似的是（）A．∠C＝∠AED B．∠B＝∠D C．＝D．＝【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．【解答】解：∵∠1＝∠2∴∠DAE＝∠BAC∴A，B，D都可判定△ABC∽△ADE选项C中不是夹这两个角的边，所以不相似，故选：C．【点评】此题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．5．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA＝DC，若∠CBE＝55°，则∠DAC的度数为（）A．70°B．67.5°C．62.5°D．65°【分析】由圆周角定理得出∠ADC＝55°，再根据等腰三角形的性质得出∠DAC＝∠DCA，求出即可．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠CBE＝55°，∴∠ABC＝180°﹣∠CBE＝180°﹣55°＝125°，∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣125°＝55°，∵AD＝DC，∴∠DAC＝∠DCA＝（180°﹣∠DAC）＝（180°﹣55°）＝62.5°，故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，能根据圆内接四边形的性质求出∠ADC＝∠CBE是解此题的关键．6．（3分）一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为2的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的表面积是（）A．6πB．4πC．8πD．4【分析】根据题意，可判断出该几何体为圆柱．且已知底面半径以及高，易求表面积．【解答】解：根据题目的描述，可以判断出这个几何体应该是个圆柱，且它的底面圆的半径为1，高为2，那么它的表面积＝2π×2+π×1×1×2＝6π，故选：A．【点评】本题要判断出几何体的形状然后再根据其面积公式进行计算，注意本题中的圆柱有上下底，不要漏掉任何一个．7．（3分）在一个不透明的布袋中装有52个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小强每次摸出一个球记录下颜色后并放回，通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.2左右，则布袋中黑球的个数可能有（）A．11B．13C．24D．30【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设出未知数列出方程求解．【解答】解：设袋中有黑球x个，由题意得：＝0.2，解得：x＝13，经检验x＝13是原方程的解，则布袋中黑球的个数可能有13个．故选：B．【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．8．（3分）已知关于x的方程x2+2x﹣k﹣2＝0没有实数解，则函数y＝的图象大致是图中的（）A．B．C．D．【分析】利用根的判别式得到k的取值范围，即可判断函数y＝的图象所处的象限．【解答】解：∵关于x的方程x2+2x﹣k﹣2＝0没有实数解，∴Δ＝22﹣4（﹣k﹣2）＜0，解得，k＜﹣3，∴函数y＝的图象在二四象限，故选：B．【点评】本题考查了根的判别式以及反比例函数图象与系数的关系，牢记“当Δ＜0时，方程无实数根”是解题的关键．9．（3分）已知（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）在二次函数y＝﹣x2+4x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y2【分析】首先根据二次函数解析式确定抛物线的对称轴为x＝2，再根据抛物线的增减性以及对称性可得y1，y2，y3的大小关系．【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+4x+c＝﹣（x﹣2）2+c+4，∴对称轴为x＝2，∵a＜0，∴x＜2时，y随x增大而增大，当x＞2时，y随x的增大而减小，∵（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）在二次函数y＝﹣x2+4x+c的图象上，且﹣1＜2＜3，|﹣1﹣2|＞|2﹣3|，∴y1＜y3＜y2．故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，以及二次函数的性质，关键是掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式．10．（3分）2020年，新型冠状病毒感染的肺炎疫情牵动着全国人民的心．雅礼中学某学生写了一份预防新型冠状病毒倡议书在微信朋友圈传播，规则为：将倡议书发表在自己的朋友圈，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮转发后，共有931人参与了转发活动，则方程列为（）A．（1+n）2＝931B．n（n﹣1）＝931C．1+n+n2＝931D．n+n2＝931【分析】设邀请了n个好友转发倡议书，第一轮转发了n个人，第二轮转发了n2个人，根据两轮转发后，共有931人参与列出方程即可．【解答】解：由题意，得n2+n+1＝931，故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解答时先由条件表示出第一轮增加的人数和第二轮增加的人数，根据两轮总人数为931人建立方程是关键．11．（3分）如图，一块直角三角板的30°角的顶点P落在⊙O上，两边分别交⊙O于A 、B两点，若⊙O的直径为4，则弦AB长为（）A．2B．3C．D．【分析】连接AO并延长交⊙O于点D，连接BD，根据圆周角定理得出∠D＝∠P＝30°，∠ABD＝90°，再由直角三角形的性质即可得出结论．【解答】解：连接AO并延长交⊙O于点D，连接BD，∵∠P＝30°，∴∠D＝∠P＝30°．∵AD是⊙O的直径，AD＝4，∴∠ABD＝90°，∴AB＝AD＝2．故选：A．【点评】本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．12．（3分）已知抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A、B两点，将这条抛物线的顶点记为C ，连接AC、BC，则tan∠CAB的值为（）A．B．C．D．2【分析】先求出A、B、C坐标，作CD⊥AB于D，根据tan∠ACD＝即可计算．【解答】解：令y＝0，则﹣x2﹣2x+3＝0，解得x＝﹣3或1，不妨设A（﹣3，0），B（1，0），∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴顶点C（﹣1，4），如图所示，作CD⊥AB于D．在RT△ACD中，tan∠CAD＝＝＝2，故选：D．【点评】本题考查二次函数与x轴交点坐标，锐角三角函数的定义，解题的关键是熟练掌握求抛物线与x轴交点坐标的方法，记住锐角三角函数的定义，属于中考常考题型．13．（3分）如图，从渔船A处测得灯塔M在北偏东55°方向上，这艘渔船以28km/h的速度向正东方向航行，半小时后到达B处，在B处测得灯塔M在北偏东20°方向上，此时灯塔M与渔船的距离是（）A．28km B．14km C．7km D．14km【分析】根据题意证明△ABM是等腰三角形，即可得此时灯塔M与渔船的距离．【解答】解：根据题意可知：∠MAB＝90°﹣55°＝35°，∠ABM＝90°+20°＝110°，∴∠AMB＝180°﹣∠ABM﹣∠MAB＝35°，∴∠MAB＝∠AMB，∴BM＝AB＝28×＝14（km）．所以此时灯塔M与渔船的距离是14km．故选：B．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义．14．（3分）如图，已知正方形ABCD与正方形AEFG的边长分别为4cm、1cm，若将正方形AEFG绕点A旋转，则在旋转过程中，点C、F之间的最小距离为（）cm．A．3B．2C．4﹣1D．3【分析】如图，连接AF，CF，AC．利用勾股定理求出AF，AC即可解决问题．【解答】解：如图，连接AF，CF，AC．∵正方形ABCD与正方形AEFG的边长分别为4cm、1cm，∴∠B＝∠G＝90°，AB＝BC＝4cm，AG＝GF＝1cm，∴AF＝＝＝，AC＝＝＝4，∵CF≥AC﹣AF，∴CF≥3，∴CF的最小值为3，故选：D．【点评】本题考查旋转变换，正方形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是求出AF，AC的长，属于中考选择题中的压轴题．15．（3分）如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB＝30°，若点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则经过点B的反比例函数解析式为（）A．y＝﹣B．y＝﹣C．y＝﹣D．y＝【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出＝，进而得出S△AOD＝3，即可得出答案．【解答】解：过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，∵∠BOA＝90°，∴∠BOC+∠AOD＝90°，∵∠AOD+∠OAD＝90°，∴∠BOC＝∠OAD，又∵∠BCO＝∠ADO＝90°，∴△BCO∽△ODA，∴＝tan30°＝，∴＝，∵×AD×DO＝xy＝3，∴S△BCO＝×BC×CO＝S△AOD＝1，∵经过点B的反比例函数图象在第二象限，故反比例函数解析式为：y＝﹣．故选：C．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及反比例函数数的性质，正确得出S△AOD＝2是解题关键．16．（3分）我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：其中正确结论的个数是（）①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；②图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；③当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；④当x＝﹣1或x＝3时，函数的最小值是0；⑤当x＝1时，函数的最大值是4，A．4B．3C．2D．1【分析】由（﹣1，0），（3，0）和（0，3）坐标都满足函数y＝|x2﹣2x﹣3|知①是正确的；从图象可以看出图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线x＝1，②也是正确的；根据函数的图象和性质，发现当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，因此③也是正确的；函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y＝0，求出相应的x的值为x＝﹣1或x＝3，因此④也是正确的；从图象上看，当x＜﹣1或x＞3，函数值要大于当x＝1时的y＝|x2﹣2x﹣3|＝4，因此⑤时不正确的；逐个判断之后，可得出答案．【解答】解：①∵（﹣1，0），（3，0）和（0，3）坐标都满足函数y＝|x2﹣2x﹣3|，∴①是正确的；②从图象可知图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线x＝1，因此②也是正确的；③根据函数的图象和性质，发现当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，因此③也是正确的；④函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y＝0，求出相应的x的值为x＝﹣1或x＝3，因此④也是正确的；⑤从图象上看，当x＜﹣1或x＞3，存在函数值要大于当x＝1时的y＝|x2﹣2x﹣3|＝4，因此⑤是不正确的；故选：A．【点评】考查了二次函数图象与x轴的交点问题，理解“鹊桥”函数y＝|ax2+bx+c|的意义，掌握“鹊桥”函数与y＝|ax2+bx+c|与二次函数y＝ax2+bx+c之间的关系；两个函数性质之间的联系和区别是解决问题的关键；二次函数y＝ax2+bx+c与x轴的交点、对称性、对称轴及最值的求法以及增减性应熟练掌握．二、填空题（本大题有3个小题，共11分．17小题3分；18～19小题各有2个空，每空2分．把答案写在题中横线上）17．（2分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个解是x＝1，则2021﹣a﹣b＝2020．【分析】利用一元二次方程解的定义得到a+b＝1，然后把2021﹣a﹣b变形为2021﹣（a+b），再利用整体代入的方法计算．【解答】解：把x＝1代入方程ax2+bx﹣1＝0得a+b﹣1＝0，所以a+b＝1，所以2021﹣a﹣b＝2021﹣（a+b）＝2021﹣1＝2020．故答案为：2020．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．18．（10分）如图，在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，有点P1、P2、P3、P4，它们的横坐标依次为2，4，6，8…．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1、S2、S3…，则点P1的坐标为（2，5），阴影部分的面积和S1+S2+S3为7.5．【分析】将x＝2代入反比例函数y＝，求出y，得到点P1的坐标；根据反比例函数的几何意义，可知图中所构成的阴影部分的总面积正好是从点P1向x轴、y轴引垂线构成的长方形面积减去最下方的长方形的面积，据此可得S1+S2+S3的值．【解答】解：∵在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，有点P1，它的横坐标为2，∴当x＝2时，y＝5，∴点P1的坐标为（2，5）．由题意，可知点P2、P3、P4坐标分别为：（4，），（6，），（8，），∵图中所构成的阴影部分的总面积正好是从点P1向x轴、y轴引垂线构成的长方形面积减去最下方的长方形的面积，∴阴影部分的面积和S1+S2+S3＝2×5﹣2×＝7.5．故答案为：（2，5），7.5．【点评】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴的垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．也考查了反比例函数图象上点的坐标特征．19．（4分）曲线L在直角坐标系中的位置如图所示，曲线L是由半径为2，圆心角为120°的（O是坐标原点，点A在x轴上）绕点A旋转180°，得到；再将绕点A1旋转180°，得到；……依此类推，形成曲线L，现有一点P从O点出发，以每秒π个单位长度的速度，沿曲线L向右运动，则点A的坐标为（2）；在第2020s时，点P的坐标为（3030）．【分析】如图，设的圆心为J，过点J作JK⊥OA于K．解直角三角形求出OA的长，即可得到点A坐标，再求出点P的运动路径，判断出点P的位置，求出OP可得结论．【解答】解：如图，设的圆心为J，过点J作JK⊥OA于K．由题意JO＝JA＝2，∠AJO＝120°，∵JK⊥OA，∴OK＝KA，∠OJK＝∠AJK＝60°，∴KO＝KA＝OJ•sin60°＝，∴OA＝2，∴A（2，0），∵的长＝＝π，点P的运动路径＝2020π，又∵2020π÷π＝1515，∴点P在x轴上，OP的长＝1515×2＝3030，∴此时P（3030，0）．故答案为（2，0），（3030，0）．【点评】本题考查弧长公式，规律型问题，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．三．解答题（本大题有7个小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20．（8分）解方程：（1）（2x﹣1）2＝（2﹣x）2；（2）x2x＝0．【分析】（1）利用直接开平方法求解可得；（2）利用公式法求解可得．【解答】解：（1）∵（2x﹣1）2＝（2﹣x）2，∴2x﹣1＝2﹣x或2x﹣1＝x﹣2，解得x1＝1，x2＝﹣1；（2）∵a＝1，b＝﹣，c＝﹣，∴△＝2﹣4×1×（﹣）＝3＞0，则x＝，即．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．21．（8分）某商场销售一批衬衫，每件成本为50元，如果按每件60元出售，可销售800件；如果每件提价5元出售，其销售量就减少100件．如果商场销售这批衬衫要获利润12000元，又使顾客获得更多的优惠，那么这种衬衫应提价多少元？（1）设这种衬衫应提价x元，则这种衬衫的销售价为（60+x）元，销售量为（800﹣20x）件．（2）列方程并完成本题的解答．【分析】（1）根据销售价等于原售价加上提价，销售量等于原销售量减去减少量即可；（2）根据销售利润等于单件的利润乘以销售量即可解答．【解答】解：（1）设这种衬衫应提价x元，则这种衬衫的销售价为（60+x）元，销售量为（800﹣x）＝（800﹣20x）件．故答案为（60+x）、（800﹣20x）．（2）根据（1）得：（60+x﹣50）（800﹣20x）＝12000整理，得x2﹣30x+200＝0解得：x1＝10，x2＝20．为使顾客获得更多的优惠，所以x＝10，60+x＝70，800﹣20x＝600．答：这种衬衫应提价10元，则这种衬衫的销售价为70元，销售量为600件．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握销售问题的关系式．22．（8分）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（3，n）和点B（n+，2），与y轴交于点C．（1）反比例函数的表达式y＝；一次函数的表达式y＝﹣x+3；（2）若在x轴上有一点D，其横坐标是1，连接AD，CD，求△ACD的面积．【分析】（1）将A，B两点坐标代入反比例函数y＝，可求m，n即A，B两点坐标，再代入一次函数y＝kx+b，可求解析式．（2）由题意可得S△ACD＝S COEA﹣S△COD﹣S△ADE，将线段长度代入上式，即可求解．【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（3，n）和点B（n+，2），∴3n＝m，2（n+）＝m，∴n＝1，m＝3，∴A（3，1），B（，2），反比例函数表达式：y＝，由题意得：，解得，∴一次函数的表达式y＝﹣x+3，故答案为：y＝，y＝﹣x+3；（2）作AE⊥x轴于E，即E（3，0）∵一次函数的表达式y＝﹣x+3与y轴交于C，∴C（0，3），∵D（1，0），∴DE＝2，OD＝1，∵S△ACD＝S梯形COEA﹣S△COD﹣S△ADE＝（1+3）×3﹣×1×3﹣×（3﹣1）×1＝．【点评】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法，关键是用待定系数法求两解析式．23．（8分）“五一”期间甲乙两商场搞促销活动，甲商场的方案是：在一个不透明的箱子里放4个完全相同的小球，球上分别标“0元”“20元”“30元“50元”，顾客每消费满300元就可从箱子里不放回地摸出2个球，根据两个小球所标金额之和可获相应价格的礼品；乙商场的方案是：在一个不透明的箱子里放2个完全相同的小球，球上分别标“5元”“30元”，顾客每消费满100元，就可从箱子里有放回地摸出1个球，根据小球所标金额可获相应价格的礼品．某顾客准备消费300元．（1）请用画树状图或列表法，求出该顾客在甲商场获得礼品的总价值不低于50元的概率；（2）判断该顾客去哪个商场消费使获得礼品的总价值不低于50元机会更大？并说明理由．【分析】（1）树状图展示所有12种等可能的结果数，找出获得礼品的总价值不低于50元的结果数，则可计算出该顾客在甲商场获得礼品的总价值不低于50元的概率；（2）利用同样方法计算出该顾客在乙商场获得礼品的总价值不低于50元的概率，然后比较两概率大小进行判断．【解答】解：（1）若在甲商场消费，画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中获得礼品的总价值不低于50元的结果数为8，所以该顾客在甲商场获得礼品的总价值不低于50元的概率＝＝；（2）该顾客去甲商场消费使获得礼品的总价值不低于50元机会更大．理由如下：若在乙商场消费，画树状图为：共有8种等可能的结果数，其中获得礼品的总价值不低于50元的结果数为4，所以该顾客在乙商场获得礼品的总价值不低于50元的概率＝＝，因为＞，所以该顾客去甲商场消费使获得礼品的总价值不低于50元机会更大．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．24．（9分）探究：某学校数学社团遇到这样一个题目：如图①，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO＝30°，∠OAC＝75°，AO＝3，BO：CO＝1：3，求AB的长．。

河北省石家庄市2022-2023学年高二上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知直线l 的方程10x -=，则直线l 的倾斜角为（）A ．π6B ．π3C ．5π6D ．2π32．用火柴棒按下图的方法搭三角形，前4个图形分别如下，按图示的规律搭下去，第10个图形需要用多少根火柴（）A ．20B ．21C ．22D ．233．已知圆的圆心为（-2,1），其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是A ．224250x y x y ++--=B ．224250x y x y +-+-=C ．22420x y x y ++-=D ．22420x y x y +-+=4．已知空间四边形ABCD 中，G 为CD 的中点，则()12AB BD BC ++等于（）A ．AGB ．CGC ．BCD ．12BC5．已知圆22:40C x y x +-=与直线l 切于点(P ，则直线l 的方程为（）A ．20x +=B ．40x +=C ．40x -=D ．20x -=6．设12,F F 是双曲线22:13y C x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且||2OP =，则12PF F △的面积为（）A ．72B ．3C ．52D ．27．如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11A D 的中点，Q 为11A B 上任意一点，E ，F 为CD 上两个动点，且EF 的长为定值，则点Q 到平面PEF 的距离（）A B ．和EF 的长度有关C ．等于3a D ．和点Q 的位置有关8．已知1F ，2F 为椭圆()221112211:10x y C a b a b +=>>与双曲线()222222222:10,0x y C a b a b -=>>的公共焦点，M 是它们的一个公共点，且12π3F MF ∠=，1e ，2e 分别为曲线1C ，2C 的离心率，则12e e 的最小值为（）A ．2B C ．1D ．12二、多选题9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为67,n S S S <，且78S S >，则（）A ．在数列{}n a 中，1a 最大B ．在数列{}n a 中，3a 或4a 最大C ．310S S =D ．当8n ≥时，0n a <10．已知直线l ：()2110a a x y ++-+=，其中R a ∈，下列说法正确的是（）A ．当1a =-时，直线l 与直线0x y +=垂直B ．若直线l 与直线0x y -=平行，则0a =C ．直线l 过定点()0,1D ．当0a =时，直线l 在两坐标轴上的截距相等11．已知直线0l y -=过抛物线2:2C y px =的焦点F ，且与抛物线C 交于A ，B两点，过A ，B 两点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为M ，N ，则下列说法正确的是（）A ．抛物线的方程为24y x =B ．线段AB 的中点到y 轴的距离为83C ．线段AB 的长度为163D ．90MFN ∠=︒12．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，曲线22:||||C x y x y +=+就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论，其中结论正确的有（）A ．曲线C 围成的图形的面积是2π+B ．曲线C 围成的图形的周长是C ．曲线C 上的任意两点间的距离不超过2D ．若(,)P m n 是曲线C 上任意一点，则|3412|m n +-的最小值是172-三、填空题13．抛物线24y x =的焦点到双曲线2213y x -=的渐近线的距离是_____．14．设,x y ∈R ，向量()()()3,2,1,1,,1,,4,2a b x c y === ，且,a b a c ⊥∥，则b c +=___________．15．已知各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则3810b b b =______．16．已知AB 为圆()22:11C x y -+=的直径，点P 为直线20x y -+=上的任意一点，则PA PB ⋅的最小值为______．四、解答题17．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，225+=-a S ，515=-S .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()1nn n b a =-，求数列{}n b 的前20项和20T .18．在平面直角坐标系中，曲线261y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上．(1)求圆C 的方程；(2)若圆C 与圆()()22:434D x y -+-=相交于A 、B 两点，求AB 弦长．19．如图，四棱锥P ABCD -的底面为菱形且60BAD ∠=︒，PA ⊥底面ABCD ，AB =2，PA =，E 为PC的中点．(1)求直线DE 与平面PAC 所成角的大小；(2)求二面角E AD C --平面角的正切值．20．已知O 为坐标原点，点(2,0)G -和点(2,0)H ，动点P 满足||||2PG PH -=.(1)求动点P 的轨迹曲线W 的方程并说明W 是何种曲线；(2)若抛物线2:2Z y px =（0p >）的焦点F 恰为曲线W 的顶点，过点F 的直线l 与抛物线Z 交于M ，N 两点，||8MN =，求直线l 的方程.21．已知数列{}n a 满足()1122n n n a a n a *+=∈+N ，11a =．(1)证明：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2)若记n b 为满足不等式()11122nn k a n -*⎛⎫⎛⎫<≤∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭N 的正整数k 的个数，数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，求关于n 的不等式2023n S <的最大正整数解．22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>(-．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点0)作直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，试问在x 轴上是否存在定点Q ，使得直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．参考答案：1．C【分析】求出直线l 的斜率，结合直线倾斜角的取值范围可求得直线l 的倾斜角.【详解】设直线l 的倾斜角为α，则tan3α==-，又因为0πα≤<，因此，5π6α=.故选：C.2．B【分析】根据图形可知：第一个图形需要3根火柴棒，后面每多一个图形，则多用2根火柴棒，根据此规律即可计算求解.【详解】结合图形，发现：搭第n 个图形，需要32(1)21n n +-=+，则搭第10个图形需要21根火柴棒，故选：B .3．C【详解】设直径的两个端点分别A （a ，0）、B （0，b ），圆心C 为点（-2，1），由中点坐标公式得002,122a b++=-=解得a=-4，b=2．∴半径=（x+2）2+（y-1）2=5，即x 2+y 2+4x-2y=0．故选C ．4．A【分析】利用向量平行四边形法则、三角形法则即可得出．【详解】解：如图：由平行四边形法则可得：1()2BG BD BC =+，∴1()2AB BD BC AB BG AG ++=+= ．故选：A ．5．A【分析】由圆心和切点求得切线的斜率后可得切线方程．【详解】圆22:40C x y x +-=可化为()2224x y -+=，所以点P 与圆心连线所在直线的斜率为021=-由点斜式方程，可得)13y x =-，整理得20x +=.故选：A.6．B【分析】由12F F P 是以P 为直角直角三角形得到2212||||16PF PF +=，再利用双曲线的定义得到12||||2PF PF -=，联立即可得到12||||PF PF ，代入12F F P S =△121||||2PF PF 中计算即可.【详解】由已知，不妨设12(2,0),(2,0)F F -，则1,2a c ==，因为12122OP F F ==，所以点P 在以12F F 为直径的圆上，即12F F P 是以P 为直角顶点的直角三角形，故2221212||||||PF PF F F +=，即2212||||16PF PF +=，又12||||22PF PF a -==，所以2124||||PF PF =-=2212||||2PF PF +-12||||162PF PF =-12||||PF PF ，解得12||||6PF PF =，所以12F F P S =△121||||32PF PF =故选：B【点晴】本题考查双曲线中焦点三角形面积的计算问题，涉及到双曲线的定义，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.7．A【分析】取11B C 的中点G ，连接,,PG CG DP ，利用线面平行判断出选项B,D 错误；建立空间直角坐标系，利用平面的法向量结合空间向量数量积公式求得点到面的距离，从而得出结论.【详解】取11B C 的中点G ，连接,,PG CG DP ，则//PG CD ，所以点Q 到平面PEF 的距离即点Q 到平面PGCD 的距离，与EF 的长度无关，B 错．又11//A B 平面PGCD ，所以点1A 到平面PGCD 的距离即点Q 到平面PGCD 的距离，即点Q 到平面PEF 的距离，与点Q 的位置无关，D 错．如图，以点D 为原点，建立空间直角坐标系，则1(0,,0),(0,0,0),(,0,),,0,2a C a D A a a P a ⎛⎫⎪⎝⎭，∴(0,,0)DC a = ，1(,0,)DA a a = ，,0,2a DP a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设(,,)n x y z = 是平面PGCD 的法向量，则由0,0,n DP n DC ⎧⋅=⎨⋅=⎩ 得0,20,a x az ay ⎧+=⎪⎨⎪=⎩令1z =，则2,0x y =-=，所以(2,0,1)n =-是平面PGCD 的一个法向量．设点Q 到平面PEF 的距离为d，则1||DA n d n ⋅===A 对，C 错．故选：A．【点睛】本题主要考查点到直线的距离，意在考查学生的数学抽象的学科素养，属中档题.8．A【分析】由题可得112212MF a a MF a a =+⎧⎨=-⎩，在12MF F △中，由余弦定理得2221212122cos 3F F MF MF MF MF π=+-⋅⋅，结合基本不等式得222121243c a a a =+≥，即可解决.【详解】由题知，1F ，2F 为椭圆()221112211:10x y C a b a b +=>>与双曲线()222222222:10,0x y C a b a b -=>>的公共焦点，M 是它们的一个公共点，且123F MF π∠=，1e ，2e 分别为曲线1C ，2C 的离心率，假设12MF MF >，所以由椭圆，双曲线定义得12112222MF MF a MF MF a +=⎧⎨-=⎩，解得112212MF a a MF a a =+⎧⎨=-⎩，所以在12MF F △中，122F F c =，由余弦定理得222121212π2cos3F F MF MF MF MF =+-⋅⋅，即()()()()22212121212π42cos3c a a a a a a a a =++--+⋅-，化简得2221243=+c a a ，因为222121243c a a a =+≥，所以21242c a a ≥=，即12e e当且仅当12a =时，取等号，故选：A 9．AD【分析】根据67S S <，且78S S >，可推出70a >，8780a a a <>，，故0d <，可判断AD 正确，B 错误，结合等差数列的性质可判断103770S S a -=>，判断C.【详解】{}n a 为等差数列，∵67S S <，且78S S >，∴7678787800S S a S S a a a -=>-=<>，，，即0d <，∴{an }是递减等差数列，1a 最大，当7n ≤时，0n a >，当8n ≥时，0n a <，故AD 正确，B 错误，10310987654770S S a a a a a a a a ++++=++-=>，则103S S ≠，故C 错误，故选：AD ．10．AC【分析】对于A ，代入1a =-，利用斜率之积为1-得知直线l 与直线0x y +=垂直；对于B ，由两平行线的一般式有111222A B C A B C =≠求得a ，从而可判断正误；对于C ，求定点只需令参数的系数为0即可，故直线l 过定点()0,1；对于D ，代入0a =，分别求得直线l 在两坐标轴上的截距即可判断正误.【详解】对于A ，当1a =-时，直线l 的方程为10x y -+=，故l 的斜率为1，直线0x y +=的斜率为1-，因为1(1)1⨯-=-，所以两直线垂直，所以A 正确；对于B ，若直线l 与直线0x y -=平行，则2110111a a -=≠++-，解得0a =或1a =-，所以B错误；对于C ，当0x =时，则1y =，所以直线过定点()0,1，所以C 正确；对于D ，当0a =时，直线l 的方程为10x y -+=，易得在x 轴、y 轴上的截距分别是1,1-，所以D 错误.故选：AC.11．ACD【分析】根据给定条件，求出焦点F 的坐标判断A ；联立直线l 与抛物线C 的方程，利用韦达定理，结合抛物线定义、向量垂直的坐标表示判断BCD 作答.【详解】显然抛物线2:2C y px =的焦点F 在x 轴上，直线0l y -=与x 轴交于点(1,0)，即(1,0)F ，则12p=，解得2p =，抛物线C 的方程为24y x =，准线方程为=1x -，A 正确；由204y y x-==⎪⎩消去y 并整理得：231030x x -+=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则有1212110,3x x x x +==，线段AB 的中点横坐标为53，因此线段AB 的中点到y 轴的距离为53，B 错误；121016||||||11233AB AF BF x x =+=+++=+=，因此线段AB 的长度为163，C 正确；显然点12(1,),(1,)M y N y --，12(2,),(2,)FM y FN y =-=-，则1211121210443(1)(1)733()731303FM FN y y x x x x x x ⋅=+=+--=+-+=+⨯-⨯= ，即FM FN ⊥，因此90MFN ∠=︒，D 正确.故选：ACD 12．ABD【分析】根据方程分析曲线C 的性质以及图象，根据曲线C 的性质和图象结合直线与圆的相关知识逐项分析判断.【详解】对于曲线22:||||C x y x y +=+上任一点(),P m n ，则22||||m n m n +=+，点(),P m n 关于y 轴对称的点为()1,P m n -，则()2222||||||||m n m n m n m n -+=+=+=-+，即点()1,P m n -在曲线C 上，故曲线C 关于y 轴对称；点(),P m n 关于x 轴对称的点为()2,P m n -，则()2222||||||||m n m n m n m n +-=+=+=+-，即点()2,P m n -在曲线C 上，故曲线C 关于x 轴对称；点(),P m n 关于原点对称的点为()3,P m n --，则()()2222||||||||m n m n m n m n -+-=+=+=-+-，即点()3,P m n --在曲线C 上，故曲线C 关于原点对称；综上所述：曲线C 关于坐标轴和原点对称.对于方程22||||x y x y x y +=+=+，令0y =，则2||x x =，解得0x =或1x =±，即曲线C 与x 轴的交点坐标为()()()1,0,0,0,1,0A O C -，同理可得：曲线C 与y 轴的交点坐标为()()()0,1,0,0,0,1B O D -，当0,0x y ≥≥时，则22||||x y x y x y +=+=+，整理得22111222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且90AOB ∠=︒，故曲线C 在第一象限内为以111,22O ⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心，半径r =由对称性可得曲线C 为四个半圆外加坐标原点，对A ：曲线C 围成的图形的面积211411π2π222S ⎡⎤⎛⎢⎥=⨯⨯+⨯=+ ⎢⎥⎝⎭⎣⎦，A 正确；对B ：曲线C 围成的图形的周长是142π22L =⨯⨯=，B 正确；对C ：联立方程22111222x y y x ⎧⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪ ⎨⎝⎭⎝⎭⎪=⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩或11x y =⎧⎨=⎩，即曲线C 与直线y x =在第一象限内的交点坐标为()1,1M ，由对称可知曲线C 与直线y x =在第三象限内的交点坐标为()1,1N --，则2MN =，C 错误；对D ：由图结合对称性可知：当(,)P m n 在第一象限时，点(,)P m n 到直线:34120l x y +-=的距离|3412|5m n d +-=相对较小，∵111,22O ⎛⎫ ⎪⎝⎭到直线:34120l x y +-=的距离111|3412|1722510d ⨯+⨯-==，则点(,)P m n 到直线:34120l x y +-=的距离117102d d r ≥-=-，∴|3412|5m n d +-=≥故|3412|m n +-的最小值是172-，D 正确.故选：ABD.【点睛】方法点睛：（1）通过方程研究曲线的对称性时，往往通过点的对称证明曲线的对称性；（2）研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离和半径的比较实现，两个圆的位置关系的判断依据是两圆心距离与两半径差与和的比较．13．2【详解】双曲线2213y x -=0y -=2=4y x 的焦点(10)，14【分析】根据空间向量的垂直及平行的坐标表示求出,x y ，再由向量的坐标运算及模的坐标表示求解．【详解】因为a b ⊥ ，所以3210x ++=，解得2x =-，则()1,2,1b =- ．因为a c ∥，所以42321y ==，解得6y =，则()6,4,2c = ．()7,2,3,b c b c ∴+=+=故答案为.15．8【分析】首先根据题意得到772a b ==，在利用等比数列的性质求解即可.【详解】因为26780a a a -+=，所以()()27770a d a a d --++=，即27720a a -+=，因为0n a ≠，所以72a =，则72b =.337381077748b b b b b q b q b q=⋅⋅==.故答案为：816．72【分析】分析可得21PA PB PC ⋅=- ，可知当PC 与直线20x y -+=垂直时，PC 取最小值，利用点到直线的距离公式可求得PA PB ⋅ 的最小值.【详解】圆心()1,0C ，半径为1，且点C 为线段AB 的中点，()()()()2221PA PB PC CA PC CB PC CA PC CA PC CA PC ⋅=+⋅+=+⋅-=-=- ，圆心C 到直线20x y -+=的距离为2d ==，当PC 与直线20x y -+=垂直时，PC 取最小值，即21PA PB PC ⋅=- 取最小值，且()()22min min 7112PA PB PC d ⋅=-=-= .故答案为：72.17．（1）n a n =-（2）10-【解析】（1）根据等差数列通项公式及前n 项和公式，可得1,a d 的方程组，解方程组即可确定数列{}n a 的通项公式；（2）根据数列{}n a 的通项公式，代入数列{}n b ，利用分组求和法即可求得数列{}n b 的前20项和20T .【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由221325+=+=-a S a d ，5151015=+=-S a d ，即123+=-a d ，所以1132523a d a d +=-⎧⎨+=-⎩，解得111a d =-⎧⎨=-⎩，所以()11=---=-n a n n .（2）因为()1nn n b a =-，所以2012341920...T b b b b b b =++++++()()()12341920...a a a a a a =-++-+++-+...d d d=+++()1010110d ==-=-.【点睛】本题考查了等差数列通项公式及前n 项和公式的简单应用，分组求和法的应用，属于基础题.18．(1)22(3)(1)9x y -+-=(2)4【分析】（1）写出曲线与坐标轴的交点坐标，利用圆心的几何特征设出圆心坐标，构造关于圆心坐标的方程，通过解方程确定出圆心坐标，进而算出半径，写出圆的方程；（2）根据圆与圆相交得相交直线所在方程，利用直线与圆求相交弦长即可.【详解】（1）曲线261y x x =-+与y 轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为(3+,0)，(3-,0)．可知圆心在直线3x =上，故可设该圆的圆心C 为(3,)t ，则有22223(1)t t +-=+，解得1t =，故圆C的半径为3r ==，所以圆C 的方程为22(3)(1)9x y -+-=；（2）C 的方程为22(3)(1)9x y -+-=．即226210x y x y +--+=圆D ：22(4)(3)4x y -+-=，即2286210x y x y +--+=两圆方程相减，得相交弦AB 所在直线方程为2100x y +-=圆C 的圆心(3,1)到直线2100x y +-=距离为d ==，所以4AB ===.19．(1)30︒(2)2【分析】（1）建系，利用空间向量求线面夹角；（2）利用空间向量求二面角.【详解】（1）连结对角线AC 、BD 相交于点O ，连结DE 、OE ，∵,O E 分别为,AC PC 的中点，则EO PA，12EO PA ==且PA ⊥平面ABCD ，则EO ⊥平面ABCD ，∵底面是菱形ABCD ，60BAD ∠=︒，AB =2，PA =BD =2，AC =以O 为原点，OA 、OB 、OE 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则有(0,0,0)O，)A，()C ，(0,1,0)D -，(E ，可得(DE =，()1,0AD =- ．∵平面PAC 的法向量为()0,1,0OD =-uuu r ，11cos ,122OD DE OD DE OD DE ⋅-〈〉===⨯ ，设直线DE 与平面PAC 所成的角[]0,90θ∈︒︒，则1sin 2θ=，故直线DE 与平面PAC 所成的角为30︒.（2）设二面角E AD C --的平面角为()0,90α∈︒︒，平面ADC的法向量为(OE = ，设平面EAD 的法向量为(,,)n x y z =，则00AD n y DE n y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，令1x =，则1y z ==，得到()1,n = ，∴cos ,OE n n OE n OE⋅〈>=uu u r r uu u r r uu u r r即cos α=sin α==tan 2α=，故二面角E AD C --的平面角的正切值是2．20．(1)曲线W 的方程为221(1)3y x x -= ，它是焦点为(2,0),(2,0)-的双曲线的右支.(2)10x y --=或10x y +-=．【分析】（1）由动点P 满足：||||2PG PH -=可得到轨迹曲线为双曲线的右支；（2）由（1）可得F 的坐标，然后再求出抛物线的方程，设出直线的方程为1x my =+，后根据弦长公式得到关于m 的方程，解出即可．【详解】（1）解： 动点P 满足||||2||PG PH GH -=<，∴点P 的轨迹曲线W 为双曲线的一支，由双曲线的定义有1a =，2c =，b ∴=∴曲线W 的方程为221(1)3y x x -= ；（2）解：由（1）可知曲线W 的顶点(1,0)F ，∴12p =，2p ∴=，所以抛物线Z 的方程为24y x =．由题意，直线l 的倾斜角不能为0，设直线l 的方程为1x my =+，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，代入到24y x =消去x 得：2440y my --=，∆216160m =+>，124y y m ∴+=，124y y =-，∴||MN2448m =+=，1m ∴=或1m =-，∴直线l 的方程为10x y --=或10x y +-=．21．(1)证明见解析，21n a n =+(2)7【分析】（1）在等式1122n n n a a a +=+两边取倒数，结合等差数列的定义可证得数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，确定该数列的公差，可求得数列{}n a 的通项公式；（2）解不等式()11122n n k a n -*⎛⎫⎛⎫<≤∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭N 可得到满足条件的正整数k 的个数，可得出{}nb 的通项公式，利用错位相减法可求得n S ，再利用数列的单调性可求得满足题意的最大正整数n 的值.【详解】（1）解：由1122n n n a a a +=+取倒数得11221112n n n n n a a a a a +++=⇔=+，即11112n n a a +-=，所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为公差为12的等差数列，则1111122n n n a a -+=+=，所以，21n a n =+.（2）解：当11122n n k a -⎛⎫⎛⎫<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，1112221212n n n n k k -++≤<⇔-≤<-，所以，满足条件的整数k 的个数为()()121212n n n +---=，即2n n b =，所以，()1012n n nb n a -=+⋅>，故数列{}n S 单调递增，所以，()012122324212n n S n -=⨯+⨯+⨯+++⨯ ，则()12122232212n n n S n n -=⨯+⨯++⨯++⨯ ，上式-下式得()()()()112121222221221212n n n n n S n n ----=++++-+⨯=+-+⨯- 2n n =-⨯，所以，2n n S n =⋅，因为7772896S =⨯=，88822048S =⨯=，则782023S S <<，因此，满足2023n S <的最大正整数n 的值为7.22．（1）2214x y +=；（2）存在，,03Q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.【分析】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程，列出方程求出a ，b ，由此能求出椭圆C 的方程；（Ⅱ）假设存在点(,0)Q t 满足题设条件，分AB 与x 轴重合和PQ 与x 轴不重合两种情况分类讨论，利用韦达定理化简计算能求出结果．【详解】解：（Ⅰc a=，221314a b +=，又222a c b -=，解得24a =，21b =，所以，椭圆的方程为2214x y +=．（Ⅱ）存在x 轴上在定点Q ，使得直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称，设直线l的方程为0x my +-=，与椭圆联立可得22(4)10m y +--=．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，假设在x 轴上存在定点(,0)Q t．12x x +12214x x m -=+．PN 与QN 关于x 轴对称，0AQ QB k k ∴+=，即121221120()()0y yy x t y x t x t x t +=⇒-+-=--，⇒1221))0y my t y my t -+-=，⇒1212)()20t y y my y +-=，⇒2(40m t =⇒=∴在x 轴上存在定点(3Q ，0)．使得直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称．特别地，当直线l 是x 轴时，点Q ，0)．也使得直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称．综上，在x 轴上存在定点Q 0)．使得直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称．【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．。

绝密★启用前 2020-2021学年河北省石家庄市新华区冀教版四年级上册期末测试数学试卷 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题） 请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题 1．下面各数，读数时读两个零的是（ ）。

A ．303080 B ．3030800 C ．3003800 2．一个数既有因数3，又是4的倍数，这个数可能是（ ）。

A ．6 B ．36 C ．68 3．云云从一楼走到三楼要用30秒，如果她用同样的速度再走到八楼，还需要（ ）。

A ．2分钟 B ．105秒 C ．75秒 4．用三个7和三个0组成的六位数，读数时，一个0也不读出来，这个数是（ ）。

A ．777000 B ．700077 C ．707070 5．一筐苹果，2个2个地数，5个5个地数或7个7个地数，都正好数完，没有剩余，这筐苹果至少有( )个． A ．35 B ．70 C ．140 第II 卷（非选择题） 请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题6．河北省是我国的高考大省，2020年河北省高考报名人数达到六十二万四千八百人，横线上的数写作( )，改写成以“万”为单位的近似数约为( )万。

7．一个十位数，最高位上是7，百万位和百位上都是5，其他各数位上都是0，这个数写作( )，读作( )，这个数的最高位是( )位。

8．60的因数共有( )个，其中质数有( )个，合数有( )个，偶数有( )个，奇数有( )个。

这些因数中既是偶数又是质数的数是( )，既是奇数又是合数的数是( )。

9．900除以45的结果是( )；32与25的乘积是( )。

10．三个连续偶数的平均数是24，这三个连续偶数分别是( )、( )、( )。

11．一个圆形溜冰场的周长为500米，每隔25米安装一盏灯，一共要安装( )盏灯。

12．从直线外一点到这条直线所画的所有线段中，( )最短，它的长度叫做这点到( )的距离。

2020-2021学年高二数学下学期期末考试试题一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知随机变量X 服从正态分布N (μ,σ2),且P (μ-2σ<X<μ+2σ)=0．954 4,P (μ-σ<X<μ+σ)=0．682 6．若μ=4,σ=1,则P (5<X<6)=( )A ．0．135 9B ．0．135 8C ．0．271 8D ．0．271 6 1．(文科做)若f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4)上是减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．a <－3B ． a >－3C ． a ≤－3D ．a ≥－32．集合A ＝｛1，2，3，a ｝，B ＝｛3，a ｝，则使A ∪B ＝A 成立的a 的个数是 （ ） A ．2个 B ．5个 C ．3个 D ． 4个3．设集合U ＝{1,2,3,4,5,6}，A ＝{1,3,5}，B ＝{3,4,5}，则∁U (A ∪B )＝( )A ．{3,6}B ．{2,6}C ．{1,3,4,5}D ．{1,2,4,6}4．已知随机变量ξ,η满足ξ+η=8,且ξ服从二项分布B (10,0．6),则E (η)和D (η)的值分别是( ) A ．6和2．4B ．2和5．6C ．2和2．4D ．6和5．64．(文科做)函数y ＝f (2x －1)的定义域为[0,1]，则y ＝f (x )的定义域为( )A ． [0,1]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 C ． [－1,1] D ．[]－1，0其线性回归方程一定过的定点是（ ） A ．(2,2) B ．(1,2) C ．(1．5,0)D ．(1．5,5)6．已知集合A={x|2<x<4},B={x|x<3或x>5},则A ∩B=( )A ．{x|2<x<3}B ．{x|x<4或x>5}C ．{x|2<x<5}D ．{x|x<2或x>5}7．设x ∈R ，则“1<x <2”是“|x －2|<1”的( )A ．必要而不充分条件B ．充分而不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 8．(文科做)已知某四个家庭xx 上半年总收入x (单位：万元)与总投资y (单位：万元)的对照数据如表所示：根据上表提供的数据，若用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程为y ^＝0．7x ＋0．35，则m 的值为( )A ． 3B ． 5C ． 4D ．68．有10件产品，其中3件是次品，从这10件产品中任取两件，用ξ表示取到次品的件数，x 0 1 2 3 y2468x 3 4 5 6y 2．5 3 m 4．5则E (ξ)等于( )A ．35B ．815C ．1415D ．1 9． 甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0．6，乙被录取的概率为0．7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为( )A ．0．12B ．0．42C ．0．46D ．0．889．(文科做)函数f (x )＝x 2＋x －6的单调增区间是( )A ．(－∞，－3)B ．[2，＋∞)C ．[0,2)D ．[－3,2]10(文科做)．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋2a －b 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，则a ＋b ＝( )A ．13B ．0C ．－13D ．1 10．箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为( )A ．C 35C 14C 45B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫593×49C ．35×14D ．C 14×⎝ ⎛⎭⎪⎫593×4911． f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1， 当f (x )＋f (x －8)≤2时，x 的取值范围是( )A ．(8，＋∞) B．[8,9] C ．(8,9] D ．(0,8) 12．函数f (x )＝log 2(x 2＋2x －3)的定义域是( )A ．[－3,1]B ．(－3,1)C ． (－∞，－3)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．从装有3个红球,2个白球的袋中随机取出2个球,用ξ表示取到白球的个数,则P (ξ=1)= 13．（文科做）下列不等式：①x <1；②0<x <1；③－1<x <0；④－1<x <1．其中可以作为“x 2<1”的一个充分条件的所有序号为_______14,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为125个同样大小的小正方体．经过搅匀后,从中随机取一个小正方体,记它的涂漆面数为X ,则X 的均值E (X )=14(文科做)．已知f (x )＝ax 3＋bx ＋xx ，且f (xx)＝xx ，则f (－xx)＝________．15．下列是关于男婴与女婴出生时间调查的列联表：那么a= ,b= ,c= ,d= ,e= ．16．已知命题“∀x ∈R ，x 2－5x ＋152a >0”的否定为假命题，则实数a 的取值范围是________三．解答题：（本大题共６小题，共70分）17．（本题满分10分）已知集合P ＝{x |a ＋1≤x ≤2a ＋1}，Q ＝{x |x 2－3x ≤10}．(1)若a ＝3，求(∁R P )∩Q ；(2)若P ∪Q ＝Q ，求实数a 的取值范围．18．（本题满分12分）设命题p ：函数f (x )＝lg (ax 2－4x ＋a )的定义域为R ；命题q ：不等式2x 2＋x >2＋ax 在x ∈(－∞，－1)上恒成立，如果命题“p ∨q ”为真命题，命题“p ∧q ”为假命题，求实数a 的取值范围．19．（本题满分12分）甲、乙两人各进行3次射击,甲每次击中目标的概率为1/2，乙每次击中目标的概率为2/3 (1)记甲击中目标的次数为X ,求X 的概率分布列及数学期望E (X ); (2)求乙至多击中目标2次的概率; (3)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率19(文科做)已知p ：A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈R }，q ：B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－9≤0，x ∈R ，m ∈R }．(1)若A ∩B ＝[1,3]，求实数m 的值；(2)若p 是非q 的充分条件，求实数m 的取值范围20（本题满分12分）将编号为1,2,3,4的四个材质和大小都相同的球，随机放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，每个盒子放一个球，ξ表示球的编号与所放入盒子的编号正好相同的个数． (1)求1号球恰好落入1号盒子的概率；(2)求ξ的分布列．20(文科做)某城市随机抽取一年(365天)内100天的空气质量指数API 的监测数据，结果统计如下： API [0， 50] (50， 100] (100， 150] (150， 200] (200， 250] (250， 300] (300， ＋∞) 空气 质量 优 良 轻微 污染 轻度 污染 中度 污染 中度 重污染 重度 污染 天数413183091115(1)若某企业每天由空气污染造成的经济损失S (单位：元)与空气质量指数API(记为ω)的关系式为S ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0≤ω≤100，3ω－200，100<ω≤300，2000，ω>300.试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S 大于400元且不超过700元的概率；(2)若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？附：P (K 2≥k 0)0．25 0．15 0．10 0．05 0．025 0．010 0．005 0．001 k 0 1．323 2．072 2．706 3．841 5．024 6．635 7．87910．828K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d非重度污染重度污染合计供暖季非供暖季合计10021．（本题满分12分）已知函数f(x)＝x·|x|－2x．(1)求函数f(x)＝0时x的值；(2)画出y＝f(x)的图象，并结合图象写出f(x)＝m有三个不同实根时，实数m的取值范围．22．已知关于x的不等式|2x＋1|－|x－1|≤log2a(其中a>0)．(1)当a＝4时，求不等式的解集；(2)若不等式有解，求实数a的取值范围．西宁市第四高级中学xx —17xx 第二学期期末测试试题答案高二数学1 2 3 4 5 6 A DABCD7 8 9 10 11 12 AB D D D B （13)0.6 13文(2)(3)(4) （14)6/5 文 xx （15)47 92 88 82 53 （16) a>5/617. 解 (1)因为a ＝3，所以P ＝{x |4≤x ≤7}，∁R P ＝{x |x <4或x >7}．又Q ＝{x |x 2－3x －10≤0}＝{x |－2≤x ≤5}，所以(∁R P )∩Q ＝{x |x <4或x >7}∩{x |－2≤x ≤5}＝{x |－2≤x ＜4}．(2)当P ≠∅时，由P ∪Q ＝Q 得P ⊆Q ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥－2，2a ＋1≤5，2a ＋1≥a ＋1，解得0≤a ≤2；当P ＝∅，即2a ＋1<a ＋1时，有P ⊆Q ，得a <0. 综上，实数a 的取值范围是(－∞，2]． 18.对于命题p ：Δ<0且a >0，故a >2；对于命题q ：a >2x －2x＋1在x ∈(－∞，－1)上恒成立，又函数y ＝2x －2x＋1为增函数，所以⎝⎛⎭⎪⎫2x －2x＋1<1，故a ≥1，命题“p ∨q ”为真命题，命题“p ∧q ”为假命题，等价于p ，q 一真一假．故1≤a ≤2.19. (1)X 的概率分布列为X 0 1 2 3 PE (X )=0E (X )=3(2)乙至多击中目标2次的概率为1(3)设甲恰好比乙多击中目标2次为事件A ,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标0次为事件B 1,甲恰好击中目标3次且乙恰好击中目标1次为事件B 2,则A=B 1+B 2.B 1,B 2为互斥事件,P (A )=P (B 1)+P (B 2)19 文科做(1)A ＝{x |－1≤x ≤3，x ∈R }，B ＝{x |m －3≤x ≤m ＋3，x ∈R ，m ∈R }，∵A ∩B ＝[1,3]，∴m ＝4.(2)∵p 是綈q 的充分条件，∴A ⊆∁R B ，∴m >6或m ＜－4.20.(1)设事件A 表示“1号球恰好落入1号盒子”，P (A )＝A 33A 44＝14，所以1号球恰好落入1号盒子的概率为14.(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,4.P (ξ＝0)＝3×3A 44＝38，P (ξ＝1)＝4×2A 44＝13， P (ξ＝2)＝C 24A 44＝14，P (ξ＝4)＝1A 44＝124.所以随机变量ξ的分布列为20．文科做(1)记“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S 大于400元且不超过700元”为事件A .由400<S ≤700，即400<3ω－200≤700，解得200<ω≤300，其满足条件天数为20.所以P (A )＝20100＝15. (2)根据以上数据得到如下列联表：非重度污染重度污染合计 供暖季 22 8 30 非供暖季 63 7 70 合计85 15100K 2＝100×63×8－22×7285×15×30×70≈4.575>3.841，所以有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关．21.(1)由f (x )＝0可解得x ＝0，x ＝±2，所以函数f (x )＝0时x 的值为－2,0,2. (2)f (x )＝x |x |－2x ，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0.图象如图由图象可得实数m ∈(－1,1)．22. (1)当a ＝4时，不等式为|2x ＋1|－|x －1|≤2.当x <－12时，－x －2≤2，解得－4≤x <－12；当－12≤x ≤1时，3x ≤2，解得－12≤x ≤23；当x >1时，x ≤0，此时x 不存在，∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－4≤x ≤23. (2)令f (x )＝|2x ＋1|－|x －1|，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －2，x <－12，3x ，－12≤x ≤1，x ＋2，x >1.故f (x )∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，＋∞，即f (x )的最小值为－32. 若f (x )≤log 2a 有解，则log 2a ≥－32，解得a ≥24，即a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫24，＋∞ 【感谢您的阅览，下载后可自由编辑和修改，关注我 每天更新】。

2020-2021学年河北省石家庄二中教育集团高二（上）期中数学试卷一、选择题（本题1-10题为单选题，11-12为多选题，每小题5分，共60分） 1．（5分）已知命题:0p x ∀，22x x >，则命题p 的否定为( ) A ．0x ∀，22x x <B ．0x ∀，22x xC ．00x ∃，0202x x <D ．00x ∃，0202x x2．（5分）某公司决定利用随机数表对今年新招聘的800名员工进行抽样调查他们对目前工作的满意程度，先将这800名员工进行编号，编号分别为001，002，⋯，799，800，从中抽取80名进行调查，如下提供随机数表的第4行到第6行32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42 84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04 32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 43 77 89 23 45 若从表中第5行第6列开始向右依次读取3个数据，则抽到的第5名员工的编号是( ) A ．007B ．253C ．328D ．7363．（5分）2019年被誉为“5G 商用元年”．6月，5G 商用牌照正式发放；9月，5G 套餐开启预约；11月，5G 套餐公布；12月，5G 手机强势营销．据统计2019年网络上与“5C ”相关的信息量总计高达6875.4万条．从下面的2019年全网信息走势图中可以看到，下列哪个选项是错误的( )A ．相关活动是5G 信息走势的关键性节点B ．月均信息量超过600万条C ．第四季度信息量呈直线增长态势D ．月信息量未出现持续下降态势4．（5分）已知椭圆22143x y +=的两个焦点为1F ，2F ，M 是椭圆上一点，且12||||1MF MF -=，则△12MF F 是( ) A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形5．（5分）从分别写有号码1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，号码记为x ，放回后再随机抽取1张，号码记为y ，则x y 的概率为( ) A ．23 B ．13C ．35D ．256．（5分）已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在y 轴正半轴，过焦点F 的直线交抛物线C 于M ，N 两点，线段MN 的长为4，且MN 的中点到x 轴的距离为1，则抛物线的标准方程为( ) A ．22x y =B ．24x y =C ．22y x =D ．24y x =7．（5分）设命题p ：双曲线：2221()2x y m R m m -=∈+的离心率(1e ∈，2]，则p 的一个充分不必要条件是( ) A ．1m 或2mB ．12mC ．02m <D ．2m =8．（5分）已知下列说法：①如果数据1x ，2x ，⋯，n x 的平均数是x ，方差是2s ，则123x +，223x +，⋯，23n x +的平均数和方差分别是23x +和223s +；②若事件A 、B 互为对立事件，则事件A 、B 满足P （A ）P +（B ）1=； ③互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件；④至少有一个样本点落在回归直线ˆˆˆybx a =+上； ⑤对于回归方程ˆ20204yx =-，变量x 增加一个单位，ˆy 大约减少4个单位． 其中错误的结论有几个( ) A ．1B ．2C ．3D ．49．（5分）省实验中学为预防秋季流感爆发，计划安排学生在校内进行常规体检，共有3个检查项目，需要安排在3间空教室进行检查，学校现有一排6间的空教室供选择使用，但是为了避免学生拥挤，要求作为检查项目的教室不能相邻，则共有( )种安排方式． A ．12B ．24C ．36D ．4810．（5分）已知定点(3,1)A ，F 是双曲线221412x y -=的右焦点，P 是双曲线右支上的动点，则||||PA PF +的最小值为( ) A ．2B ．524+C ．524-D ．24+11．（5分）已知223(3)n x x +展开式中，各项系数的和比它的二项式系数的和大992，则下列结论正确的为( )A ．展开式中偶数项的二项式系数之和为52B ．展开式中二项式系数最大的项只有第三项C ．展开式中系数最大的项只有第五项D ．展开式中有理项为第三项、第六项12．（5分）阿基米德（公元前287年-公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，他研究抛物线的求积法，得出一个著名的阿基米德定理，并享有“数学之神”的称号．抛物线的弦与过弦的端点的两切线所围成的三角形被称为“阿基米德三角形”，如图所示，在抛物线22(0)x py p =>上有两个不同的点A ，B ，坐标分别为1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，以A ，B 为切点的切线PA ，PB 相交于点P ，给出以下结论，其中正确的为( )A ．点P 的坐标是12(2x x +，??)2x x pB ．PAB ∆的边AB 所在的直线方程为：1212()20x x x py x x +--=C ．PAB ∆的面积为212()8PABx x S p∆-=D ．PAB ∆的边AB 上的中线平行（或重合） 于y 轴 二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率2e =，则该双曲线的渐近线方程为 ．14．（5分）现有红、黄、蓝三种颜色，对如图所示的正五角星的内部涂色（分割成六个不同部分），要求每个区域涂一种颜色且相邻部分（有公共边的两个区域）的颜色不同，则不同的涂色方案有 种．（用数字作答）15．（5分）6260126(12)x a a x a x a x -=+++⋯+，则0126||||||||a a a a +++⋯+= ．16．（5分）在平面直角坐标系中，已知抛物线24y x =的准线与双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的渐近线分别交于P ，Q 两点，若POQ ∆的内切圆半径为13，则双曲线的离心率为 ．三、解答题（本题共6个小题，17题10分，18-22每题12分，共70分）17．（10分）已知命题:[1p m ∀∈-，1]，不等式2572a a m -++恒成立；命题q ：方程221tx ay +=表示焦点在x 轴上的椭圆．（Ⅰ）若1t =，()p q ⌝∨为假命题，求a 的取值范围； （Ⅱ）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数t 的取值范围．18．（12分）2020年5月28日，十三届全国人大三次会议表决通过了《中华人民共和国民法典》，此法典被称为“社会生活的百科全书”，是新中国第一部以法典命名的法律，在法律体系中居于基础性地位，也是市场经济的基本法．民法典与百姓生活密切相关，某高校为了解学生对民法典的认识程度，随机抽取40名学生进行测试，将其成绩分为六段[70，75)，[75，80)，[80，85)，[85，90)，[90，95)，[95，100]，得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中a 的值及样本的中位数；如果抽查的测试平均分超过85分，就表示该学校通过测试，试判断该校能否通过测试；（Ⅱ）若从测试成绩在[70，75)与[95，100]两个分数段的学生中随机选取两名学生，设这两名学生的测试成绩之差的绝对值不大于5分为事件M ，求事件M 发生的概率．19．（12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>经过点(31)2，其左焦点1F 的坐标为(3-0)．过1F 的直线交椭圆于A ，B 两点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）当线段AB 的中点的横坐标为3时，求直线AB 的方程． 20．（12分）某工厂新研发了一种产品，该产品每件成本为5元，将该产品按事先拟定的价格进行销售，得到如下数据： 单价x （元) 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 销量y （件)908483807568（1）求销量y （件)关于单价x （元)的线性回归方程ˆˆˆybx a =+； （2）若单价定为10元，估计销量为多少件；（3）根据销量y 关于单价x 的线性回归方程，要使利润P 最大，应将价格定为多少？参考公式：1221ˆni ii nii x ynxy bxnx ==-=-∑∑，ˆˆa y bx =-．参考数据：614066i ii x y ==∑，621434.2i i x ==∑ 21．（12分）已知直线1:1l y x =+与抛物线2:2(0)C y px p =>相切于点P ． （Ⅰ）求抛物线C 的方程及点P 的坐标；（Ⅱ）设直线2l ，过点1(2Q -，1)2-，且与抛物线C 交于（异于点)P 两个不同的点A 、B ，直线PA ，PB 的斜率分别为1k 、2k ，那么是否存在实数λ，使得12k k λ+=？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．22．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点为1F 、2F ，A 为椭圆C 上的任一点，且△12AF F 面积的最大值的取值范围是2[c 2]． （Ⅰ）求椭圆的离心率e 的取值范围；（Ⅱ）当椭圆C 经过点3(1,)2P 离心率e 取最小值时，经过右焦点2F 的直线（不经过点)P 与椭圆C 交于两点M 和N ，线段MN 的垂直平分线与y 轴交于点Q ，当点Q 的纵坐标的取值范围是1(0,)8，求线段MN 长的取值范围．2020-2021学年河北省石家庄二中教育集团高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题1-10题为单选题，11-12为多选题，每小题5分，共60分） 1．（5分）已知命题:0p x ∀，22x x >，则命题p 的否定为( ) A ．0x ∀，22x x <B ．0x ∀，22x xC ．00x ∃，0202x x <D ．00x ∃，0202x x【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为：00x ∃，0202x x ．故选：D ．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．2．（5分）某公司决定利用随机数表对今年新招聘的800名员工进行抽样调查他们对目前工作的满意程度，先将这800名员工进行编号，编号分别为001，002，⋯，799，800，从中抽取80名进行调查，如下提供随机数表的第4行到第6行32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42 84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04 32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 43 77 89 23 45 若从表中第5行第6列开始向右依次读取3个数据，则抽到的第5名员工的编号是( ) A ．007B ．253C ．328D ．736【分析】根据随机数表法，抽取，重复和不在0800-的舍弃，得到结论 【解答】解：依次读取的数据为253，313，457，860（超过800，舍去）， 736，253（与前面重复，舍去），007，⋯， 所以抽到的第5名员工的编号是007， 故选：A ．【点评】考查随机数表法抽取样本，基础题．3．（5分）2019年被誉为“5G 商用元年”．6月，5G 商用牌照正式发放；9月，5G 套餐开启预约；11月，5G 套餐公布；12月，5G 手机强势营销．据统计2019年网络上与“5C ”相关的信息量总计高达6875.4万条．从下面的2019年全网信息走势图中可以看到，下列哪个选项是错误的( )A ．相关活动是5G 信息走势的关键性节点B ．月均信息量超过600万条C ．第四季度信息量呈直线增长态势D ．月信息量未出现持续下降态势【分析】根据所给统计图，利用排除法可得答案【解答】解：由题知6月、9月、11月、12月活动月的走势均有明显提升，故相关活动是5G 信息走势的关键性节点，即A 正确；由统计图可知第四季度信息量呈直线增长态势，月信息量未出现持续下降态势，故CD 正确； 故选：B ．【点评】本题考查统计的相关知识，考查学生合情推理的能力，属于基础题4．（5分）已知椭圆22143x y +=的两个焦点为1F ，2F ，M 是椭圆上一点，且12||||1MF MF -=，则△12MF F 是( ) A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形【分析】由椭圆的定义知，12||2F F =，12||||4MF MF +=，又由12||||1MF MF -=可知，2222121||||||MF F F MF +=．【解答】解：由题意， 12||2F F =，12||||4MF MF +=， 12||||1MF MF -=，15||2MF ∴=，23||2MF =，2222121||||||MF F F MF ∴+=，故选：B ．【点评】本题考查了椭圆的定义以及简单性质的应用，属于基础题．5．（5分）从分别写有号码1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，号码记为x ，放回后再随机抽取1张，号码记为y ，则x y 的概率为( ) A ．23 B ．13C ．35D ．25【分析】先求出基本事件总数，再求出满足x y 的基本事件个数，利用古典概型的概率公式即可求解．【解答】解：从分别写有号码1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，号码记为x ，放回后再随机抽取1张，号码记为y ， 基本事件总数为5525⨯=，满足x y 的基本事件有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,2)， (2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,4)，(4,5)，(5,5)共15个，所以x y 的概率为153255=， 故选：C ．【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式，是基础题．6．（5分）已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在y 轴正半轴，过焦点F 的直线交抛物线C 于M ，N 两点，线段MN 的长为4，且MN 的中点到x 轴的距离为1，则抛物线的标准方程为( ) A ．22x y =B ．24x y =C ．22y x =D ．24y x =【分析】设抛物线的方程为22x py =，由抛物线的定义和已知条件可得p 的方程，解p 可得； 【解答】解：设抛物线的方程为22(0)x py p =>， 设(A A x ，)A y ，(B B x ，)B y ， 由抛物线定义可知4A B y y p ++=， 又AB 中点到x 轴的距离为1， 2A B y y ∴+=，2p ∴=， ∴抛物线的标准方程是24x y =；故选：B ．【点评】本题考查抛物线方程的求法，考查抛物线的简单性质的应用，属基础题．7．（5分）设命题p ：双曲线：2221()2x y m R m m -=∈+的离心率(1e ∈，2]，则p 的一个充分不必要条件是( ) A ．1m 或2mB ．12mC ．02m <D ．2m =【分析】利用双曲线的离心率的范围求出m 的范围，然后通过充要条件求解即可．【解答】解：双曲线：2221()2x y m R m m -=∈+的离心率(1e ∈，2]，所以0m >，可得22221(1m m e m m m ++==++∈，4]，即203m m <+，解得12m ，又222m m+，当且仅当m =命题p ：双曲线：2221()2x y m R m m -=∈+的离心率(1e ∈，2]，则p 的一个充分不必要条件是：2m =．故选：D ．【点评】本题考查双曲线的简单性质以及充要条件的应用，是中档题． 8．（5分）已知下列说法：①如果数据1x ，2x ，⋯，n x 的平均数是x ，方差是2s ，则123x +，223x +，⋯，23n x +的平均数和方差分别是23x +和223s +；②若事件A 、B 互为对立事件，则事件A 、B 满足P （A ）P +（B ）1=； ③互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件；④至少有一个样本点落在回归直线ˆˆˆybx a =+上； ⑤对于回归方程ˆ20204yx =-，变量x 增加一个单位，ˆy 大约减少4个单位． 其中错误的结论有几个( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】根据平均数，方差判断①，根据对立事件和互斥事件判断②③，根据线性回归方程判断④⑤．【解答】解：对于①如果数据1x ，2x ，⋯，n x 的平均数是x ，方差是2s ， 则123x +，223x +，⋯，23n x +的平均数和方差分别是23x +和24s ，故①错误； 对于②若事件A 、B 互为对立事件，则事件A 、B 满足P （A ）P +（B ）1=，故②正确；对于③互斥事件不一定是对立事件，但对立事件一定是互斥事件，故③错误；对于④样本中心(x ，)y 一定在回归直线ˆˆˆy bx a =+上，但是样本点不一定落在回归直线ˆˆˆybx a =+上，故④错误； 对于⑤回归方程ˆ20204yx =-，变量x 增加一个单位，ˆy 大约减少4个单位，故⑤正确． 故结论错误的有3个， 故选：C ．【点评】本题考查了命题的真假判断，关键掌握平均数方差，对立事件和互斥事件判断，线性回归方程，属于中档题．9．（5分）省实验中学为预防秋季流感爆发，计划安排学生在校内进行常规体检，共有3个检查项目，需要安排在3间空教室进行检查，学校现有一排6间的空教室供选择使用，但是为了避免学生拥挤，要求作为检查项目的教室不能相邻，则共有( )种安排方式． A ．12B ．24C ．36D ．48【分析】根据题意，假设6间教室依次为1、2、3、4、5、6，分2步进行讨论：①，在6间教室中选出3间不相邻的教室，由135--，136--，146--，246--，共4种选法，②，在三间选出的教室安排3个检查项目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，假设6间教室依次为1、2、3、4、5、6，分2步进行讨论： ①，在6间教室中选出3间不相邻的教室，由135--，136--，146--，246--，共4种选法，②，在三间选出的教室安排3个检查项目，有336A =种情况，则有4624⨯=种安排方法， 故选：B ．【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．10．（5分）已知定点(3,1)A ，F 是双曲线221412x y -=的右焦点，P 是双曲线右支上的动点，则||||PA PF +的最小值为( )A B ．4C ．4D 4【分析】设双曲线左焦点为2F ，根据双曲线的定义可知2||||||2||PA PF PF a PA +=-+，进而可知当P 、2F 、A 三点共线时有最小值，根据双曲线方程可求2F 的坐标，此时22||||||PF PA AF +=，利用两点间的距离公式求得答案．【解答】解：设双曲线221412x y -=的左焦点为2F ，由双曲线的定义可得2||||2PF PF a -=， 即2||||2PF PF a =-，则22||||||||2||2PA PF PF PA a F A a +=+--， 当P 、2F 、A 三点共线时，2||||PF PA +有最小值， 此时2(4,0)F -、(3,1)A ，则222||||||(34)152PF PA AF +==++=， 而对于这个双曲线，24a =， 所以最小值为524-． 故选：C ．【点评】本题主要考查了双曲线的定义，考查了两点的距离公式，运用两点间线段最短是解题的关键．11．（5分）已知223(3)n x x +展开式中，各项系数的和比它的二项式系数的和大992，则下列结论正确的为( )A ．展开式中偶数项的二项式系数之和为52B ．展开式中二项式系数最大的项只有第三项C ．展开式中系数最大的项只有第五项D ．展开式中有理项为第三项、第六项【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】解：223(3)n x x +展开式中，各项系数的和比它的二项式系数的和大992，42992nn∴-=，求得232n=，5n ∴=，故展开式中偶数项的二项式系数之和为54222=，故A 错误．二项展开式的通项公式为1043153r r rr T C x++=，展开式中，故当2r =或3时，即第三项、第四项的二项式系数5r C 最大，故B 错误． 故当4r =时，展开式中第1r +项的系数53r r C 最大，即第五项得系数最大． 由于223(3)nx x +展开式的通项公式为1043153r r rr T C x++=，故C 正确．故当2r = 或5时，展开式中为理项，即第三项、第六项为有理项，故D 正确． 故选：CD ．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．12．（5分）阿基米德（公元前287年-公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，他研究抛物线的求积法，得出一个著名的阿基米德定理，并享有“数学之神”的称号．抛物线的弦与过弦的端点的两切线所围成的三角形被称为“阿基米德三角形”，如图所示，在抛物线22(0)x py p =>上有两个不同的点A ，B ，坐标分别为1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，以A ，B 为切点的切线PA ，PB 相交于点P ，给出以下结论，其中正确的为( )A ．点P 的坐标是12(2x x +，??)2x x pB ．PAB ∆的边AB 所在的直线方程为：1212()20x x x py x x +--=C ．PAB ∆的面积为212()8PABx x S p∆-=D ．PAB ∆的边AB 上的中线平行（或重合） 于y 轴【分析】写出点A 处的切线方程，同理得点B 处的切线方程，联立解得P 坐标，进而可得AD 正确．由坐标求出AB k ，再写出直线AB 的方程，进而得B 正确，写出点P 到直线AB 的距离d ，由弦长公式得||AB ，进而得ABC S ∆，然后可判断C 错误． 【解答】解：由212y x p =，得x y p'=， 由题意，点A 处的切线方程为2111()2x x y x x p p -=-， 点B 处的切线方程为2222()2x x y x x p p-=-， 联立两个方程并消去y 得122x x x +=， 代入点A 处的切线方程得21112121()222x x x x x x y x p p p+=+-=， 所以点P 坐标为12(2x x +，12)2x x p ，故AD 正确， 设直线AB 的斜率为AB k ，则222121122121222ABx x y y x x p p k x x x x p--+===--， 故直线AB 的方程为21121()22x x x y x x p p+-=-， 化简得1212()20x x x py x x +--=，故B 正确，由AB 得点P 到直线AB的距离121212122|()2|22x x x xx x p x x p d ++--==，221221212()4||||||x x p AB x x x x ++=-=-，故222312121212212()4||11||||282()4ABCx x px x S AB d x x p x x ∆++-==-=++，故C 错误． 故选：ABD ．【点评】本题考查直线与抛物线相交问题，解题中需要一定的运算化简能力，属于中档题． 二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率2e =，则该双曲线的渐近线方程为3y x =± ．【分析】根据双曲线离心率为2，列出关于a 、b 的方程，解之得3b a =，由双曲线渐近方程的公式可得到该双曲线的渐近线方程．【解答】解：双曲线的方程是22221(0,0)x y a b a b-=>>，∴双曲线渐近线为by x a=±又离心率为2ce a==，可得2c a = 224c a ∴=，即2224a b a +=，可得3b a =由此可得双曲线渐近线为3y x =± 故答案为：3y x =±【点评】本题给出含有字母参数的双曲线方程，在已知离心率的情况下求它的渐近线，着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．14．（5分）现有红、黄、蓝三种颜色，对如图所示的正五角星的内部涂色（分割成六个不同部分），要求每个区域涂一种颜色且相邻部分（有公共边的两个区域）的颜色不同，则不同的涂色方案有 96 种．（用数字作答）【分析】根据题意，假设正五角星的区域依次为A 、B 、C 、D 、E 、F ，依次分析6个区域的涂色方案数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，假设正五角星的区域依次为A 、B 、C 、D 、E 、F ， 区域A ，可以涂红、黄、蓝三种颜色，有3种选择， 剩下的5个区域都与A 相邻，都有2种选择， 则有32222296⨯⨯⨯⨯⨯=种涂色方法，故答案为：96．【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．15．（5分）6260126(12)x a a x a x a x -=+++⋯+，则0126||||||||a a a a +++⋯+= 729 ． 【分析】解由6260126(12)x a a x a x a x -=+++⋯+，可得：1a ，3a ，50a <，0a ，2a ，4a ，60a >．令1x =-，即可得出．【解答】解：由6260126(12)x a a x a x a x -=+++⋯+，可得：1a ，3a ，50a <，0a ，2a ，4a ，60a >．令1x =-，可得60126||||||||3729a a a a +++⋯+==． 故答案为：729．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16．（5分）在平面直角坐标系中，已知抛物线24y x =的准线与双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的渐近线分别交于P ，Q 两点，若POQ ∆的内切圆半径为13，则双曲线的离心率为 2 ．【分析】先求出抛物线的准线方程以及双曲线的渐近线方程，然后再求出P ，Q 的坐标，进而可以求出||PQ ，||OP ，||OQ 的长度，利用三角形OPQ 的面积关系即可求解． 【解答】解：由已知可得抛物线的准线方程为：1x =-， 双曲线的渐近线方程分别为：a y x b =和ay x b=-， 因为抛物线的准线和双曲线的渐近线相交，不妨设(1,)a P b -，则(1,)aQ b --，所以22||||1a c OP OQ b b ==+=，2||aQP b=，由三角形OPQ 的面积关系可得：2(||||||)1aOP OQ PQ r b++=⨯， 解得2c a =，则2ca=， 所以双曲线的离心率为2， 故答案为：2．【点评】本题考查了抛物线的准线方程以及双曲线的渐近线方程，涉及到三角形面积问题以及三角形的内切圆半径，属于基础题．三、解答题（本题共6个小题，17题10分，18-22每题12分，共70分）17．（10分）已知命题:[1p m ∀∈-，1]，不等式2572a a m -++恒成立；命题q ：方程221tx ay +=表示焦点在x 轴上的椭圆．（Ⅰ）若1t =，()p q ⌝∨为假命题，求a 的取值范围； （Ⅱ）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数t 的取值范围． 【分析】根据题意，化简命题p ，q ，得出a 的取值范围：（Ⅰ）由()p q ⌝∨为假命题，故P 为真命题q 为假命题，求出a 的取值范围即可； （Ⅱ）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，即q 是p 的充分不必要条件，即(t ，)(+∞-∞，1][4，)+∞，解出即可．【解答】解：命题:[1p m ∀∈-，1]，不等式2572a a m -++恒成立， 即2573a a -+，解得：4a 或1a ， 故p 为真时，(a ∈-∞，1][4，)+∞； 方程221tx ay +=表示焦点在x 轴上的椭圆， 故q 为真时，0t a <<；（Ⅰ）1t =时，q 为真时：1a >， ()p q ⌝∨为假命题，p ∴⌝假且q 假，即p 真且q 假，则141a a a ⎧⎨⎩或，即(a ∈-∞，1]． （Ⅱ）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，即q 是p 的充分不必要条件， (t ，)(+∞-∞，1][4，)+∞，4t ∴；故实数t 的取值范围是：[4，)+∞．【点评】本题考查了简易逻辑的判定、椭圆的方程、二次函数恒成立问题，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18．（12分）2020年5月28日，十三届全国人大三次会议表决通过了《中华人民共和国民法典》，此法典被称为“社会生活的百科全书”，是新中国第一部以法典命名的法律，在法律体系中居于基础性地位，也是市场经济的基本法．民法典与百姓生活密切相关，某高校为了解学生对民法典的认识程度，随机抽取40名学生进行测试，将其成绩分为六段[70，75)，[75，80)，[80，85)，[85，90)，[90，95)，[95，100]，得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中a的值及样本的中位数；如果抽查的测试平均分超过85分，就表示该学校通过测试，试判断该校能否通过测试；（Ⅱ）若从测试成绩在[70，75)与[95，100]两个分数段的学生中随机选取两名学生，设这两名学生的测试成绩之差的绝对值不大于5分为事件M，求事件M发生的概率．【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图列出方程，求出a的值．由此能求出抽查的测试的中位数和平均分，进而得到该校能通过测试．（Ⅱ）从测试成绩在[70，75)中有2名学生，成绩在[95，100]中4名学生，则基本事件总数2615n C==，事件M包含的基本事件个数22247m C C=+=，由此能求出事件M发生的概率．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图得：(0.010.020.040.050.02)51a+++++⨯=．解得0.06a=．[70，85)的频率为：(0.010.020.04)50.35++⨯=，[85，90)的频率为：0.0650.3⨯=，∴中位数为0.50.3585587.50.3-+⨯=．抽查的测试平均分为：72.50.01577.50.02582.50.04587.50.06592.50.05597.50.02587x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，8785>，∴该校能通过测试．（Ⅱ）从测试成绩在[70，75)与[95，100]两个分数段的学生中随机选取两名学生， 成绩在[70，75)中有400.0152⨯⨯=名学生， 成绩在[95，100]中有400.0254⨯⨯=名学生，则基本事件总数2615n C ==，设这两名学生的测试成绩之差的绝对值不大于5分为事件M ，则事件M 包含的基本事件个数22247m C C =+=，∴事件M 发生的概率715m P n ==． 【点评】本题考查频率、中位数、平均分、概率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19．（12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>经过点1)2，其左焦点1F的坐标为(0)．过1F 的直线交椭圆于A ，B 两点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）当线段AB的中点的横坐标为时，求直线AB 的方程． 【分析】（1）由已知可得c 的值，再把已知点代入椭圆方程即可求解；（2）先设出直线AB 的方程，再与椭圆方程联立，求出A ，B 的横坐标的和，由此可得AB 的中点的横坐标，再结合已知即可求解．【解答】aa 解：（1）由已知可得c ，所以223a b -=⋯①把点1)2代入椭圆方程可得：221341a b +=⋯②①②联立可得：24a =，21b =，所以椭圆的标准方程为：2214x y +=；（2）由已知可得直线AB 的斜率存在，则可设直线AB的方程为：(y k x =，联立方程：2214(x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，消去y可得：2222(14)1240k x x k +++-=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则由韦达定理可得：12x x +=，又由已知可得：122x x +==解得12k =±，所以直线AB的方程为：1(2y x =±，即20x y ±．【点评】本题考查了椭圆的标准方程以及直线与椭圆相交问题，涉及到中点问题，属于中档题．20．（12分）某工厂新研发了一种产品，该产品每件成本为5元，将该产品按事先拟定的价格进行销售，得到如下数据：（1）求销量y （件)关于单价x （元)的线性回归方程ˆˆˆybx a =+； （2）若单价定为10元，估计销量为多少件；（3）根据销量y 关于单价x 的线性回归方程，要使利润P 最大，应将价格定为多少？参考公式：1221ˆni ii nii x ynxy bxnx ==-=-∑∑，ˆˆa y bx =-．参考数据：614066i ii x y ==∑，621434.2i i x ==∑ 【分析】（1）由已知求得ˆb与ˆa 的值，则线性回归方程可求； （2）在（1）中求得的线性回归方程中取10x =求得y 值即可； （3）写出利润P 关于价格的函数，再由配方法求最值．【解答】解：（1）由题意可得1(88.28.48.68.89)8.56x =+++++=，1(908483807568)806y =+++++=，则12221406668.58014ˆ20434.26850.7ni ii nii x ynxybxnx ==--⨯⨯-====--⨯-∑∑，从而ˆˆ80208.5250ay bx =-=+⨯=， 故所求回归直线方程为ˆ20250yx =-+； （2）当10x =时，201025050y =-⨯+=，故当销售单价定为10元时，销量为50件；（3）由题意可得，2(5)(20250)(5)20(8.75)281.25P y x x x x =-=-+-=--+．故要使利润达到最大，应将价格定位8.75元．【点评】本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是中档题．21．（12分）已知直线1:1l y x =+与抛物线2:2(0)C y px p =>相切于点P ．（Ⅰ）求抛物线C 的方程及点P 的坐标；（Ⅱ）设直线2l ，过点1(2Q -，1)2-，且与抛物线C 交于（异于点)P 两个不同的点A 、B ，直线PA ，PB 的斜率分别为1k 、2k ，那么是否存在实数λ，使得12k k λ+=？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）根据题意，联立212y x y px=+⎧⎨=⎩，得2(22)10x p x +-+=有两个相等的实数根，即△0=，解得p ，进而可得抛物线方程及切点P 坐标．（Ⅱ）设直线2l 方程为：11()22x m y =+-，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立直线2l 与抛物线方程，结合韦达定理得12y y +，12y y ，1112423y k my m -=+-，同理得2222423y k my m -=+-，化简12k k λ=+即可得出答案． 【解答】解：（Ⅰ）直线1:1l y x =+与抛物线2:2(0)C y px p =>相切于点P ．所以联立212y x y px=+⎧⎨=⎩，得2(22)10x p x +-+=有两个相等的实数根， 所以△2(22)40p =--=，解得2p =，方程2(22)10x p x +-+=，即为2210x x -+=，解得1x =，把1x =代入1y x =+得，2y =，所以(1,2)P所以抛物线方程为：24y x =．（Ⅱ）设直线2l 方程为：11()22x m y =+-， 1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 联立211()224x m y y x⎧=+-⎪⎨⎪=⎩，得24220y my m --+=，124y y m+=，1222y y m=-+，△222(4)41(22)4884(1)120m m m m m=--⨯⨯-+=+-=+->，解得1m>或1m<--11112211112224412144y y yky yx y---====--+-，同理可得，2242ky=+，211212121212124(2)4(2)4()164422(2)(2)2()4y y y yk ky y y y y y y yλ+++++=+=+==+++++++44822244mm m⨯+=-++⨯+44168222443mm m⨯+=-++⨯+．【点评】本题考查抛物线方程，直线与抛物线相交，定值，解题中需要一定的化简能力，属于中档题．22．（12分）已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的左、右焦点为1F、2F，A为椭圆C上的任一点，且△12AF F面积的最大值的取值范围是2[c2]．（Ⅰ）求椭圆的离心率e的取值范围；（Ⅱ）当椭圆C经过点3(1,)2P离心率e取最小值时，经过右焦点2F的直线（不经过点)P与椭圆C交于两点M和N，线段MN的垂直平分线与y轴交于点Q，当点Q的纵坐标的取值范围是1(0,)8，求线段MN长的取值范围．【分析】（1）利用椭圆中焦点三角形的性质可得当A在y轴上时面积最大，由此可求出三角形的面积的表达式，进而可以求解；（2）由（1）的结论以及已知可求出椭圆的标准方程，然后设直线MN的方程并与椭圆方程联立，写出根与系数的关系式，然后利用弦长公式求出MN的长度，再求出线段MN的垂直平分线方程，求出Q的纵坐标，根据已知求出直线MN的斜率的范围，进而可以求出||MN的范围．【解答】解：（1）由焦点三角形的性质可知当A在y轴上时，三角形12AF F的面积最大，则2212[]2maxS c b bc c=⨯⨯=∈，所以3c b c，即22223c a c c-，则22224c a c2a c，。

河北省石家庄市第十二中学2020-2021学年高二英语上学期期末试题含解析一、选择题1. To be qualified for the job ___________.A. one’s knowledge of electronics is neededB. it is required that one have knowledge of electronicsC. one needs to have professional knowledge of electronicsD. one’s knowledge of electronics is more important参考答案：C2. May I ask you a(n)____ whether you will accompany my old father while I am away?A. favourB. approvalC. assessmentD. sympathy参考答案：A3. After a number of disagreements with the committee, the chairman decided to_______.A. retireB. retreatC.withdraw D. resign参考答案：D4. Take the umbrella with you ___________ it rains.A.as long asB. even thoughC. in caseD. so that参考答案：C5. －How about going to the jazz concert tonight? －I’d rather not. ___________.A. That’s settledB. It’s up to youC. Let’s get goingD. It’s not my cup of tea参考答案：D考查交际用语。