两自由度系统的振动

解： 1）求柔度系数
m
31
k/5
m
21
k/3
P=1
2m k
11
32 4
P=1
22 4 12
P=1
33 9
23 4 13
11 1/ k 21 31 11
22
1 k
1 k /3
4
22
1 k
1 k/3
1 9
k /5
3.3.1 柔度法
1 1 1
柔度矩阵: [ ] 1 4 4
1 4 9
2）求频率
2 0 0
质量矩阵: [M] m 0 1 0
0 0 1
由频率方程: M I 0
2 1 1 m 2 4 4 0 ,
2 4 9
展开式为： 3 15 2 42 30 0
1 m m2
方程三个根为: 1 11.601 2 2.246 3 1.151
三个频率为:
1 0.2936
k m
4Y
4 4
3.4.1 主振型矩阵与正则坐标
（2）正则坐标 任意一个质点的位移 y 都可按主振型来组合：
y1 1Y11 2Y12 3Y13 y2 1Y21 2Y22 3Y23
yi 1Yi1 2Yi2 3Yi3
yn 1Yn1 2Yn2 3Yn3
nY1n nY2n
y1
y2
Y1 Y121
Y YYY132111
Y2 1
Y2 2
Y32
Y3 1
Y3 2
Y33
Y14 Y4
2
Y34
Y41
Y2 4
Y3 4
Y44
主 振
型 矩 阵
第一振型
1

u
(2)
A2 1 A2 B2 2
式中 u (1) 和 u (2) 称为振型向量或模态向量。 u (1) 为第一 阶固有振型， u (2) 为第二阶固有振型。
11
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设初始条件为：t=0时，x1 x10 , x2 x20 , x 1 x 10 , x 2 x 20 经过运算，可以求出：
17
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解特征方程得，
,
2 1 2 2
6k I 36k2 I 2 4 2I 2 3k2 4I 2
k 2 1.538 I
3k 3k 2I
k 1 0.796 I
求振型，
k 1 0.732 2 2k I 1
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第四章
教学内容：
第一节 第二节
二自由度系统的振动
二自由度系统的运动微分方程 无阻尼系统的自由振动
第三节
无阻尼系统的受迫振动
1
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第一节
二自由度系统的运动微分方程
单自由度系统的振动理论是振动理论的基础。在实际 工程问题中，还经常会遇到一些不能简化为单自由度系 统的振动问题，因此有必要进一步研究多自由度系统的 振动理论。
23
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例3：如下图所示，梁上有一固定转速的马达，运转时由 于偏心而产生受迫振动，激振力 Q1 sin t 。马达的质 量为m1、梁的质量忽略不计，梁的刚度为k1。通过附加 弹簧质量（m2,k2)系统可进行动力消振，试推导消振系 Q1 统应满足的条件。

Theory of Vibration with Applications
2 m2 x
第3章 两自由度系统的振动
解：
k1x1
P1(t) k2(x1-x2)
3.1 振动微分方程的建立
P2(t)
k2(x1-x2)
m1
m2
k3x2
1 m1 x
建立方程： 矩阵形式：
2 m2 x
1 k1 x1 k2 ( x1 x2 ) P x m1 1 (t ) 2 k2 ( x1 x2 ) k3 x3 P2 (t ) x m2
2
k 3
I2
Theory of Vibration with Applications

第3章 两自由度系统的振动
解：
k 1
M1 (t )
3.1 振动微分方程的建立
1
k 2
I1
M 2 (t )
2
k 3
I2
受力分析：
k 11
k 2 (2 1 )
k 2 (1 2 )
3.1 振动微分方程的建立
Theory of Vibration with Applications
第3章 两自由度系统的振动
3.1 振动微分方程的建立
例3-1：双质量弹簧系统，两质量分别受到激振力, 不计摩擦和其他形式的阻尼.
P1(t) k1
x1 k2 P2(t) x2
k3
m1
m2
试建立系统的振动微分方程。
坐标间的耦合项
第3章 两自由度系统的振动
3.1 振动微分方程的建立
例3-2：双转盘系统扭转振动微分方程的建立。
两圆盘 外力矩 M 1 (t ), M 2 (t ) 轴的三个段的扭转刚度 转动惯量 I 1 , I 2

两自由度振动系统是一个经典的物理学问题，它描述了两个质点在受到某种力的作用下进行复杂振动的情况。

在工程和物理学领域，研究两自由度振动系统可以帮助我们更好地理解和控制实际系统中的振动现象，比如建筑结构、机械系统和电路等。

而利用Matlab来模拟和分析两自由度振动系统，可以更直观地展现系统的运动规律和特性。

让我们来定义一个经典的两自由度振动系统。

假设有两个质点$m_1$和$m_2$，它们分别位于$x_1$和$x_2$的位置上，通过弹簧和阻尼器相连接。

系统中存在的力包括弹簧力、阻尼力和外力，而质点的运动受到这些力的综合作用而产生振动。

我们可以利用Newton力学原理建立方程来描述系统的运动。

对于一个给定的两自由度振动系统，我们可以通过编写Matlab代码来模拟其振动过程。

在Matlab中，我们可以利用ODE求解器来求解系统的微分方程，从而得到系统的位置随时间的变化。

通过改变系统的参数和初始条件，我们可以观察到系统的不同运动模式和特性。

另外，Matlab还提供了丰富的绘图函数，可以直观地展现系统振动的过程和特性。

当我们编写Matlab代码来模拟两自由度振动系统时，我们需要注意几个关键的步骤。

我们需要建立系统的微分方程模型，这涉及到物理建模和方程的推导。

我们需要选择合适的数值方法和求解器来求解微分方程，比如常见的四阶Runge-Kutta法。

我们可以用Matlab来进行数值模拟，并利用绘图函数来展现系统的振动规律。

我们可以对模拟结果进行分析，比如计算系统的频率响应、模态分析和阻尼比等特性。

对于我个人的观点和理解，两自由度振动系统的分析和模拟在工程和科学研究中具有重要意义。

通过对系统振动特性的研究，我们可以更好地设计和控制实际系统，从而提高系统的性能和稳定性。

而利用Matlab来模拟系统的振动行为，则可以帮助我们更直观地理解系统的动态特性，为工程实践提供有力的支持。

两自由度振动系统是一个具有重要应用价值的物理问题，通过Matlab 代码的编写和模拟分析，我们可以更好地理解和掌握系统的振动特性。