二自由度系统振动

第六章 两自由度系统的振动§6.1 概述前一章介绍了单自由度系统的振动，它是振动理论的基础，有广泛的应用价值。

但在实际工程问题中，经常会遇到一些不能简化为单自由度系统的振动问题。

因此有必要进一步研究多自由度系统的振动理论。

两自由度系统是最简单的多自由度系统。

从单自由度系统到两自由度系统，振动的性质和研究方法有质的不同。

但从两自由度系统到多自由度系统的振动，无论从模型的简化、振动微分方程的建立和求解的一般方法，以及系统响应表现出来的振动特性等等，却没有什么本质上的区别，而主要是量上的差别。

因此研究两自由度系统是分析和掌握多自由度系统振动特性的基础。

所谓两自由度系统是指用两个独立坐标才能确定系统在振动过程中任何瞬时的几何位置的振动系统。

很多生产实际中的问题都可以简化为两自由度系统的振动系统。

图6-1所示的磨床磨头系统为例来分析，因为砂轮主轴安装在砂轮架内轴承上，可以近似地认为是刚性很好的、具有集中质量的砂轮主轴系统支承在弹性很好的轴承上，因此可以把它看成支承在砂轮架内的一个弹簧——质量系统。

此外，砂轮架安装在砂轮进刀拖板上，如果把进刀拖板看成是静止不动的，而砂轮架与进刀拖板的结合看成是弹簧，把砂轮架看成是集中的质量，则砂轮架系统又近似地简化为图示的支承在进刀拖板上的另一个弹簧——质量系统。

这样，磨头系统就可以近似地简化为图示的支承在进刀拖板上的两自由度系统。

在这一系统的动力学模型中，m 1是砂轮架的质量，k 1是砂轮架支承在进刀拖板上的静刚度，m 2是砂轮及其主轴系统的质量，k 2是砂轮主轴支承在砂轮架轴承上的静刚度。

取每个质量的静平衡位置作为坐标原点，取其铅垂位移x 1及x 2分别作为各质量的独立坐标。

这样x 1及x 2就是用以确定磨头系统运动位置的两个彼此独立的参数，也就是这个振动系统的广义坐标。

1k 2k)(a )(b图6-1 两自由度系统及其动力学模型在多自由度系统中，阻尼的作用与在单自由度系统中的作用相同。

振动理论(7-1)第七章二自由度系统陈永强北京大学力学系二自由度自由振动●单自由度系统⏹解释共振,计算固有频率,测振仪器原理,振动隔离●为了解释更复杂的现象，必须建立更复杂的理论⏹实际工程需要更多的自由度来描述⏹多自由度系统●二自由度系统⏹最简单的多自由度系统⏹本质上是相同的模型简化建立运动微分方程求解系统的响应特性2●典型的二自由度系统⏹耦合的弹簧-质量体系⏹两个单自由度系统通过弹簧耦合起来⏹对应的扭振/电磁激荡二自由度系统二自由度自由振动3m 1m 2●自由振动●整理之后二自由度自由振动4二自由度自由振动●假定质量和作谐振动⏹具有相同的频率⏹不同的振幅和●代入振动微分方程：5方程有非零解的条件为和的系数行列式为零●上式展开后是的二次方程，即为频率方程，或称特征方程●有两个根，称为特征值，确定了系统的两个固有频率6现在从另一个角度考虑这一问题方程组在任何瞬时都成立的条件：求出和使上面方程成立7得到频率方程：令，，，有解得这就是系统的两个固有频率：第一阶固有频率(基频)和第二阶固有频率8自由振动的振幅比利用第二个方程其中, 9B 频率方程改写成圆方程的形式：二自由度自由振动O D A EC2a OA ω=2b OB ω=2abBC ω=作图法：Mohr’s circle10考虑如下对称简化情形：,二自由度自由振动k x 1kmm x 2k 311系统的固有频率二自由度自由振动k 1x 1k 2m 1m 2x 2k 3起始扰动：1,起始扰动：,起始扰动：x 1=+1,x 2=0节点12二自由度自由振动起始扰动：x1=+1,x2=0看成是两部分的和：1. ＋2.－11221211cos cos2211cos cos22x t tx t tωωωω=+=-假定振动是以下两个运动的迭加：满足微分方程和初始条件，因而是正确的解13●持续振动是第一种振动方式（振幅和频率）,迭加在第二种方式的振动上（振幅,频率)●只要不为零，和必不相等，因此合成运动肯定不是正弦运动●如果相对很小，和很接近，合成运动会有拍的现象发生，两个频率之间的差别会把两个振动的相位改变。

第四章两自由度系统的振动介绍第四章是关于两自由度系统的振动的介绍。

在这一章中，我们将探讨两自由度系统的振动模型、动力学方程，并讨论其解析解和数值解。

此外，我们还将介绍两自由度系统的模态分析、共振现象以及一些相关的应用。

两自由度系统是一种具有两个自由度的振动系统，它由两个具有质量和弹性的物体通过柔性连接件或刚性连接件相互连接而成。

这些物体可以是质点、弹性体或刚体等，而连接件可以是弹性杆、弹簧、细梁等。

在两自由度系统中，每个物体都可以做平动或转动运动，因此系统具有两个自由度。

例如，双摆锤、双弹簧振子等都属于两自由度系统。

两自由度系统的动力学方程可以由拉格朗日方程或牛顿第二定律得到。

得到动力学方程后，我们可以通过解方程得到系统的解析解，以获得系统的振动特性。

在分析解时，通常要求系统的运动是简谐振动或近似简谐振动。

另一种求解两自由度系统的方法是数值解法。

数值解法可以通过数值积分来近似求解动力学方程，这种方法常用于求解复杂的系统，或者对系统参数进行优化等情况。

分析解和数值解法可以用来研究两自由度系统的固有振动频率、振型和动态响应等。

通过模态分析，我们可以得到系统的固有频率，并确定每个模态的振型。

对于实际工程问题，模态分析可以帮助我们了解系统的共振情况，并设计出合适的控制策略，以求减小共振现象的发生。

共振是两自由度系统中一个重要而常见的振动现象。

当外力的频率与系统的固有频率接近时，系统会发生共振现象。

共振的发生会导致系统振幅的急剧增加，并且可能对系统的稳定性产生不利影响。

因此，在设计过程中，需要避免共振现象的发生，并采取合适的措施来控制共振。

此外，两自由度系统的振动也有许多实际应用。

例如，双摆锤可以用来研究天体运动和天文学现象；双弹簧振子可以用来研究建筑物或桥梁的振动特性；双振子可以用来研究分子振动和分子动力学等。

总而言之，两自由度系统的振动是一种普遍且重要的物理现象。

通过对两自由度系统进行建模和分析，我们可以深入了解系统的振动特性，并在实际应用中进行优化和改进。