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第五六讲两自由度系统的振动

第五六讲两自由度系统的振动


s in(02t


2
)
A(1) 1
,
A(2) 1
,
1,
2
由运动的初始条件确定。
3、系统对初始激励的响应
将（5）式写出以下形式：
x1(t) x2 (t)

C1 sin(01t C1r1 sin(01t
1) 1)
C2 sin(02t 2 ) C2r2 sin(02t 2
J1

0
0 J2

12

k1


k k 2
2
k 2
k 2 k
3
1


2


M1 (t ) M 2 (t)
多自由度系统的角振动与直线振动在数学描述上相同
如同在单自由度系统中做过的那样，在多自由度系统中 也将质量、刚度、位移、加速度及力都理解为广义的。
)
将 x10，x20，x10，x20 代入得：
其中C1、C2分别表 示A1(1)、A1(2)
C1
1 r2 r1
r2 x10 x20
2
r2 x10 x20
2 01
2
C2

1 r2 r1
x20 r1x10 2
x20 r1x10 2
量
量
若系统有 n 个自由度，则各项皆为 n 维
17
3.2 两自由度系统的自由振动
1、固有频率求解
有上一讲可知系统的
x1
k1
k2
m1
运动微分方程为：：
x2
k3
m2
m1x1 (k1 m2x2 k2 x1

第六节 两个自由度体系的自由振动

第六节 两个自由度体系的自由振动

4l 3 = , 243EI
δ 12 = δ 21
7l 3 = 486 EI
(2)求自振频率 求自振频率 将柔度系数及m 代入式(11-48)求得 将柔度系数及 1=m2=m代入式 代入式 求得
15ml 3 λ1 = (δ 11 + δ 12 )m = , 486 EI
于是得到两个自振频率
ml 3 λ2 = (δ 11 − δ 12 )m = 486 EI
y1 (t ) = −m1 ɺɺ1 (t )δ 11 − m2 ɺɺ2 (t )δ 12 y y y 2 (t ) = −m1 ɺɺ1 (t )δ 21 − m2 ɺɺ2 (t )δ 22 y y
或
δ 11m1 ɺɺ1 (t ) + δ 12 m2 ɺɺ2 (t ) + y1 (t ) = 0 y y δ 21m1 ɺɺ1 (t ) + δ 22 m2 ɺɺ2 (t ) + y 2 (t ) = 0 y y
大值)和 小值)如下 由此可解出 λ 的两个正实根 λ 1 (大值 和λ 2 (小值 如下： 大值 小值 如下：
λ1, 2 = [(δ 11 m1 + δ 22 m2 ) ± (δ 11 m1 − δ 22 m2 ) 2 + 4m1 m2δ 12 2 ]
1 2
λ1, 2 = [(δ 11 m1 + δ 22 m 2 ) ± (δ 11 m1 − δ 22 m2 ) 2 + 4m1 m2δ 12 2 ]
试求图a所示等截面简支梁的自振频率和主振型 所示等截面简支梁的自振频率和主振型。 例11-9 试求图 所示等截面简支梁的自振频率和主振型。
解：(1)求柔度系数 求柔度系数 体系有两个自由度。 如图b、 所示 所示。 体系有两个自由度。作 M 1、M图，如图 、c所示。由图乘法求得柔度系数 2

第六节 两个自由度体系的自由振动

第六节 两个自由度体系的自由振动

于是求得频率的两个值为
1
1
1
2
1
2
两或个基自本由频度率体；系另有一两个个用自ω 振2表频示率，，称其为中第较二小频的率一。个相用应ω的1两表个示自，振称周为期第分一别频为率:
2 T1 1
2 T2 2
将ω 1、ω 2分别代入下式可求相应的A1和A2
(11m1

1 2
由此可解出 的两个正实根1 (大值)和2 (小值)如下：
1,2

1 2
[(
11m1
22m2 )
(11m1 22m2 )2 4m1m2122 ]
1,2

1 2
[(
11m1
22m2 )
(11m1 22m2 )2 4m1m2122 ]
A2( 2 )
2 11m1
0.2183
EI

·2m 3EI


0.90
A1( 2 )
12 m2
l3
1
·m
2EI
两个主振型的形 状如图11-37d、e 所示
二. 刚度法
1.运动方程的建立
刚度法是列动力平衡方程来建立运动 方程，列动力平衡方程时，可以取质 点为隔离体用平衡条件建立运动方程， 也可以不将质点分离，而按第八章位
,
12
21

l3 2EI
(2)求自振频率
将柔度系数及m1=2m、m2=m代入式(11-48)求得
1

ml 3 EI

22ml 3 1.7817 ml 3 ,
6EI
EI
两个自振频率为
2

ml 3 EI

第四章(第2,3节) 两自由度系统的振动

第四章(第2,3节) 两自由度系统的振动


1 cos 3
k t 2 cos m3
5k t 2m
x2

1 3
cos1t

1 3
cos2t

1 cos 3
k t 1cos m3
5k t 2m
▲若初始条件符合第一阶固有振型，则运动是按固有频
率▲若1的初简始谐条振件动符，合不第出二现阶频固率有振2的型振，动则；运动是按固有频
▲率若2的给简出谐的振任动意，初不始出条现件，1的则振运动动；将为两种固有振型的
1) 1)
C2 sin(2t 2 ) C2r2 sin(2t
2
)
x1 x2

C11 cos(1t C1r11 cos(1t
1) 1)
C22 cos(2t 2 ) C2r22 cos(2t
2
)
式中四个常数C1, C2和1, 2，由上面的四个(4方.3程-1)
0 C11 cos1 C22 cos2
0 C11 cos1 0.5C22 cos2
4.3 任意初始条件的自由振动
例题：求解初始条件的响应（例4.3-1）
求得
C1=1/3，C2=2/3，1=2= 90
代入方程(4.1-17)，得
x1

1 3
cos1t

2 3
cos2t
于是得到两个固有频率为
1
g, l
2
g l

2
k m
a2 l2
4.3 任意初始条件的自由振动
例题：求解固有频率、固有振型和初始条件的响应（例4.3-2）
系统的固有振型可以由下面方程求出
i2
ml 2

第11讲两自由度振动

第11讲两自由度振动

对实际的工程系统，由于阻尼的存在，自由振动解会很快 地衰减掉，因此往往只关心受迫振动，受迫振动可写成：
x1 (t ) B1 sin t x2 (t ) B2
(2)
思考：为何与外部激励没有相位差？
因为忽略阻尼
x1 (t ) B 2 1 sin t x2 (t ) B2
对质量块m1： 对质量块m2：
m1 x1 k2 x2 x1 k1x1
m2 x2 k2 x2 x1
m1 x1 k1 k2 x1 k2 x2 0 m2 x2 k2 x1 k2 x2 0 (1)
x K x 0 M
称为系统的主振型，也可叫系统的固有振型。
当系统以某一阶固有频率振动时，称为系统的主振动。
第一阶主振动：
x1(1) A1(1) sin n1t 1
(1) (1) x2 A2 sin n1t 1 1 A1(1) sin n1t 1
(9)
第二阶主振动：
2 x 10 x 20 2 x10 x20 n1 2 1
2 2
A1(1)
四、自由振动特性
1、运动规律 1）两个简谐运动的合成； 2）各阶主振动所占的比例由初始条件确定（即振幅的 大小），但由于低阶主振动更容易被激起，因此一般情 况下总是低阶主振动占优势。 2、频率和振型 3、结点和结面
x1(2) A1(2) sin n 2t 2
(2) x2 2 A1(2) sin n 2t 2
(10)
讨论： 1）由于 1 0 ，因此如果系统作第一主振动时，根据 （9）可知，各点的运动方向相同。

第二章 两自由度系统振动

第二章 两自由度系统振动
(1) 1
d
2
d1
2

2
2 1 1
2

2
A
(2) 1
1 1 2
d
2
d1
1

2
2 1 2
1

2
两自由度系统振动规律总结
1）两自由度系统有两个固有频率，与之对应有两 个主振型，其形状是确定的，都只与系统物理 参数有关，与初始条件无关 2）两个质点的振动均为两个不同频率的谐振动的 叠加，只有当两个固有频率比之为有理数时， 才是周期振动，振幅和相位与初始条件有关。 3）主振动实现： 1 1 实现第一主振动 d2 d1 , 2 1 实现第二主振动
2.3 动力减振器 一个重要应用，动力减振器的设计。其中， m2 ，
k2 ， c2 以一个动力减振器的形式存在，如何设计它
们使得主质量 m1 在外力 F 作用下产生的振动变小。
F0 st k1 外力幅引起主质量静变形
0
k1 m1
单独主质量固有频率 单独减振器局部固有频率
a
k2 m2
k2 b m1
k2 c m2
由微分方程理论，可设通解为
x1 A1 sin t
x2 A2 sin t
代入运动方程，令两个方程两边 sin t 前系数 相等，得特征方程
( a 2 ) A1 bA2 0 cA1 (c 2 ) A2 0
A1 2 1 2 2 A1 2 A2
2 a 12 1 a c a c 1 bc 0 b b 2 2 2 2 ac a 2 1 a c 2 bc 0 b b 2 2 对应于 1 的解(微分方程第一特征值解)为：

《机械振动》张义民—第4章第1、2节ppt

《机械振动》张义民—第4章第1、2节ppt
第四章 两自由度系统的振动
◆当振动系统需要两个独立坐标描述其运动时， 那么这个系统就是两个自由度系统。
◆两自由度系统是最简单的多自由度系统。 ◆两自由度系统的振动微分方程一般由两个联立 的微分方程组成。 ◆两自由度系统有两个固有频率及固有振型。
◆在任意初始条件下的自由振动一般由这两个固 有振型叠加，只有在特殊的初始条件下系统才按某 一个固有频率作固有振动。
大象体积庞大，走起路来 更是别具一格，四只脚移动 时分别各自相差90度的位移 差。没有一只脚做的是相同 位移的移动。
◆四只脚动物可以看作是“四个振动体耦合在一起的 系统”吗？事实上，四个振动体组成的系统的基本运动 模式，确实与所提到的那四种走路方式一模一样。
◆可是动物们为什么会按照耦合振动体的方式来行走 呢？虽说现在关于这个问题还没有定论。生物学家们认 为，掌管运动的脑神经网(由数突连接起来的神经细胞) 看起来更接近“耦合振动体”一些。有推测认为，正是 脑神经网的动力学特性，使得动物走起路来才会表现出 振动体的特点。
1998年匈牙利的物理学家塔 马斯·维塞克在布达佩斯音乐学 院举行的一场音乐会上意外地发 现了同步化的现象。
演出相当成功，落幕后观众们热烈的掌声长达 3分钟之久，而维塞克博士便在这里发现了有趣 的东西。音乐会刚一结束，观众们雷鸣暴雨般的 掌声响起，然而过了一段时间之后，观众们的热 烈的掌声显然同步化了，变成了同一种节奏的拍 手。为了答谢观众们的热情，演奏者重新走上台 来谢幕，这时的掌声又突然之间失去了刚才的节 奏，雨点般疯狂地响起。在最后长达3分钟的鼓 掌声中，狂热的掌声和同步的掌声依次交替出现。
◆强迫简谐振动发生在激励频率，而这两个坐标 的振幅将在这两个固有频率下趋向最大值。共振时 的振型就是与固有频率相应的固有振型。

两自由度系统的振动

两自由度系统的振动
值，12 和 2 都是实数。
2 2） ad bc ， 12 和 2 都是正数，两个正实根。 3）方程仅有两个正实根的事实说明，系统可能有的同步 运动不仅是简谐的，且只能以两种频率作简谐运动。
4）ω1和ω2由由系统参数确定，称为系统的自然频率。两
2 (t ) c3 x 2 (t ) c2 [ x 2 (t ) x 1 (t )] k3 x2 (t ) k 2 [ x2 (t ) x1 (t )] F2 (t ) m2 x
整理得到
1 (t ) c1 c2 x 1 (t ) c2 x 2 (t ) k1 k 2 x1 (t ) k 2 x2 (t ) F1 (t ) m1 x m2 x2 (t ) (c2 c3 ) x2 (t ) c2 x1 (t ) (k 2 k 3 ) x2 (t ) k 2 x1 (t ) F2 (t )
由两自由度系统到更多自由度系统，则主要是量的扩充，
在问题的表述、求解方法及最主要的振动特性上没有本质 的区别。
1
2
1
2
1 1 2
2 3
6.2 两自由度系统的自由振动
一、两自由度振动系统的运动微分方程
1( 1 1
)
1(
)
2 2
2(
)
2
( )
3 3
1
2
(a)
1 1 1( 1 1(
( )
1
( )
2[ 2 (
2
1
上式表明：系统按其任一自然频率作简谐同步运动时，m1 和m2运动的振幅之比由系统本身的物理性质决定，对于特 定系统，是一个确定的量。 由于m1和m2作同步运动，任意时刻的位移之比等于振幅比

第三章二自由度系统

第三章二自由度系统
为了完全确定物体的位置而选定的任意一组彼此独立的 坐标参数，称为这个物体的广义坐标。在选定坐标时，除去 直角坐标Ｘ、Ｙ、Ｚ之外，我们也可以用角度φ、θ及从物体 中的一点到某些固定点的距离等参数来确定物体在空间的位 置。
二自由度系统振动 / 不同坐标系的运动微分方程
以汽车的二自由度振动模型为例
汽车板簧以上部分被简化成为一根刚性杆，具有质量m和绕质心 的转动惯量Ic。质心位于C 点。分别在A点和B点与杆相联的弹性 元件k1、k2为汽车的前，后板簧。
若系统有 n 个自由度，则各项皆为 n 维矩阵或列向量
二自由度系统振动 / 运动微分方程
式中：
[M
]

m11 m21
m12
m22


m1

0
0
m2

[K
]

k11 k 21
[C]

c11 c21
k12
k
22


k1 k2

k2
c12
c22
2 ET x1x1

2 ET x12
m1
m12

2 ET x1x2

2 ET x2x1
m21
0
m22
2ET x2x2

2 ET x22
m2
[M
]

m11 m21
m12
m22


m1

0
0
m2

二自由度系统振动 / 能量法
(t ) (t)
如同在单自由度系统中所定义的，在多自由度系统中 也将质量、刚度、位移、加速度及力都理解为广义的。

第三章 两自由度系统的振动

第三章 两自由度系统的振动

设两质量块振动时按同频率和同相位作简谐振动，即：令
一组解x1 A1 sin( t )、x2 A2 sin( t )，代入方程后得： [(a 2 ) A1 bA2 ]sin( t ) 0 [cA1 (d 2 )A2 ]sin( t ) 0
(a 2 ) A1 bA2 0
cA1
(d
一阶主振型。
例
练习1 如图，推导系统的频率方程并 求主振型。设滑轮为均质圆盘， 其质量为m2，质量块质量为m1， 弹簧刚度分别为K1和K2，并假定 滑轮与绳索间无相对滑动。
解：选取广义坐标为（ ），
取静x,平 衡位置作为坐标原点，
进行受力分析，建立系统的运 动微分方程：
m1x K1(x r) I0 K1(x r)r K2r 2
1) 当作用于系统的主动力都是有势力时（系统没有能
量损失时），则系统具有势能U（q1,q2,···,qn)，广义力
为
Qj
U q j
( j 1, 2, , n)
代入方程得： d ( T ) T U 0 dt qj q j q j
( j 1, 2, , n)
或
d ( L ) L 0 ( j 1, 2, , n)
m1l 21 (m1gl Ka2 )1 Ka22 0 m2l 22 Ka21 (m2gl Ka2 )2 0
1 2
K2 (u2 u1)2
u1
u2
代入拉氏方程，得系统的微分方程
(m1
m2 2
)u1
m2 2
u2
(K1
K2 )u1
K2u2
0
m2 2
u1
3u2 2
u2
K 2u1
K2u2
0
m1

两个自由度体系的自由振动

两个自由度体系的自由振动
两个自由度体系的自由振动
• 引言 • 两个自由度体系的模型建立 • 两个自由度体系的自由振动分析
• 两个自由度体系的振动控制 • 实验验证与结果分析 • 结论与展望
01
引言
背景介绍
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
自由振动是物理学中一个重要的概念，它描述了系统在没有外部作用力的情况下 ，通过自身内部能量进行的振动。两个自由度体系是指具有两个独立方向的振动 体系，例如弹簧振荡器、单摆等。
02
通过理论分析和数值模拟，我 们发现某些参数条件下，两个 自由度体系可以发生共振或反 共振现象。
03
系统的能量在振动过程中会在 两个自由度之间转移，表现出 能量的分散和集中现象。
研究不足与展望
1
当前的研究主要集中在理论分析和数值模拟上， 缺乏实验验证，因此需要进一步开展实验研究。
2
对于两个自由度体系自由振动的动力学行为，仍 有许多未知领域需要探索，例如更高维度的自由 度体系、不同阻尼机制等。
3
需要进一步研究两个自由度体系在受到外部激励 或约束条件下的振动行为，以及与其他动力学现 象的相互作用。
THANKS
感谢观看
分析振动响应的特性，如频率、振幅、相位等，以 了解系统的自由振动行为。
03
两个自由度体系的自由振动分析
振动特性分析
固有频率
描述体系对振动的敏感程度，与体系的质量和刚度有关。
阻尼比
描述体系能量耗散的快慢，与阻尼系数和固有频率有关。
模态振型
描述体系在不同方向的振动形态，是振动特性的重要参数。
振动频率计算
自由振动在工程、自然界和日常生活中广泛存在，如乐器振动、地震波传播、桥 梁振动等。
研究意义
自由振动研究有助于深入理解物理现象的本质，探究系统内部能量转换和 传递机制。

4二自由度系统振动

4二自由度系统振动

)
)
0
0
sin( t ) 0
( a 2 )A1 bA2 0
cA1
(
d
2
)A2
0
这是关于 A1 和 A2 的线性齐次代数方程组。显然，A1 A2 0 是它的解， 对应于系统处于静平衡的情况。若要使 A1 与 A2 具有非零解，此方程组
的系数行列式必须等于零，即：
2
F1(t ) F2 (t )
2.1 两自由度系统的振动微分方程
写为矩阵形式：
m1
0
0 m2
x1 x2
c1 c2
c2
其中定义：
c2 c2 c3
x1 x2
k1 k2
k2
k2 k2 k3
x1 x2
F1 F2
(t (t
) )
M
m1
0
0
m2
,
C
c1 c2
但是必须指出并非任何情况下系统都可能作主振动。
x1 ax1 bx2 0 x2 cx1 dx2 0
此方程组的通解是振系的两个主振动的叠加
x1 x2
x1(1) x2(1)
x1(2) x2(2)
x1 r (1) A2(1) sin(1t 1) r (2) A2(2) sin(2t 2 )
x1 x2
F1 F2
(t (t
) )
扭转振动系统
两者坐标形式相同
2.1 两自由度系统的振动微分方程
运动微分方程的矩阵形式
定义：x x1 x2 T x x1 x2 T
x x1 x2 T
F(t) F1(t) F2 (t)T
位移向量； 速度向量； 加速度向量； 激励向量；
矩阵形式的运动微分方程Mx Cx Kx F(t)

03二自由度系统的振动

03二自由度系统的振动

[u]T [M ][u]{&y&} + [u]T [K ][u]{y} = {0}
y 0 &&1 k1 + m 2 &&2 0 y 0 y1 0 = k 2 y 2 0
结果有 即是
m1 &&1 + k1 y1 = 0 y m 2 &&2 + k 2 y2 = 0 y
将方程组用矩阵表示如下: 将方程组用矩阵表示如下
m1 0
0 &&1 k1 + k 2 x + m 2 &&2 − k 2 x
− k 2 x1 0 = k 2 + k 3 x 2 0
一般可表示为: 一般可表示为
[M ]{&&} + [K ]{x} = {0} x
11/41
一般可表示为: 一ห้องสมุดไป่ตู้可表示为
m11 m 21
或:
m12 &&1 k11 x + m 22 &&2 k 21 x
k12 x1 0 = k 22 x 2 0
[u] =
u11 u21
u12 u22
而坐标变换为
12/41
{x} = [u]{y}
{&&} = [u]{&&} x y
一般化分析与推导如下： 一般化分析与推导如下：
m11 m 21
设变换矩阵为
m12 &&1 k11 x + m 22 &&2 k 21 x

第三章 两自由度系统振动

第三章 两自由度系统振动
解：m取 1、m2偏离平衡位置x1的 及x位 2为移 广义坐标。阻尼 拉系 氏统 方的 程可表示为
d d( tq L j) q L jQ j - q D j (j 1 ,2 , ,n )
式D 中 1 2 C 1 x 1 2 1 2 C 2 (x 1-x 2)2 1 2 C 3 x 2 2
例题： 置于光滑平面的小车质量m1，车上质量为m2的圆柱体可作 无滑动的纯滚动。试建立该系统的运动微分方程。
两自由度与单自由度系统振动特性与分析方法的不同：
①两自由度振动系统具有两阶固有频率； ②两自由度振动系统引入主振型的概念，与系统的固
有频率一样，是系统本身的物理特性与固有特性， 与其初始条件无关。 ③一般情况下系统的振动是两种主振动的叠加，是一 种复杂的非周期运动。当满足一定条件时，系统才 作主振动。
(j1,2, ,n)
或
dd(tqLj)qLj 0 (j1,2, ,n)
(1)
其中，L=T-U称为拉格朗日函数。
2)当作用在系统上的主动力中，部分为有势力，部分 是非有势力，广义力Qj可分为两部分：
Qj Qj Q (j1,2,,n) 其中 Q是对应于非有 义势 力力 Q， j是 的对 广应于有势 广义力。 拉氏方程可写成
1
第三节 两自由度系统振动模型的建立
动力学系统振动模型的建立方法： 牛顿运动定律 定轴转动微分方程 能量法
一、拉氏方程的原理
在理想、完整约束条件下的n个自由度系统，选取广义坐 标为qj（j=1,2, ···,n)，其运动可由如下拉格朗日方程来描述：
dT T d( tq j)qj Q j
取静x,平衡位置作为坐标原点，
进行受力分析，建立系统的运 动微分方程：
m1x K1(x r) I0 K1(xr)r K2r2

二自由度系统的振动

二自由度系统的振动

6.3.1 频域分析
首先分析受谐波激励的情况： 系统运动微分方程组是 Mu(t) Ku(t) F sin t
F
f1
f
2
方程特解为：
u(t) U sin t
代入到方程中得到： (K 2M )U F
U
u1
u2
定义：
def
Z() K 2M
为系统的动刚度矩阵。
其元素zij反映了系统第j个自由度具有单位位移响应 sinωt，而其余坐标不动时，应施加在第i个自由度 上的正弦广义力的幅值。
12
0 0
线性方程组
k11 m12
k12
k21
k22
m22
特征矩阵
r r2
特征值（特征根）
12rr
（r
=1,2）
与特征值对应的特征向量
6.2 无阻尼多自由度系统自由振动
将固有频率ω代入系统线性方程，得到系统作第一、二阶
固有振动时两质量块振幅之比，分别为：
s1
def
11 21
k11
由于在N自由度无阻尼系统总有N个线性无关的固有 振型φr，因此可以把它作为基底来张成系统运动空 间。
6.2 无阻尼多自由度系统自由振动
引入坐标变换： u q
代入到：Mu(t) Ku(t) 0
其中：u为物理坐标，q为模态坐标，Φ为固有振型矩阵。
得到：
Mq(t) Kq(t) 0
两边左乘 T
T Mq(t) T Kq(t) 0
二自由度微分方程组特点：
k2 u1
k2
k3
u2
f1 f2
1、形式上与单自由度系统受迫振动微分方程相同。但M，K，C 不是常数，而是矩阵。

两个自由度体系的自由振动

两个自由度体系的自由振动

由此求得：
12
2

1 2
(2

1) n
4 n

1 n2


k2 m2
代入式（4-5a）和（4-5b），可求出主振型：
Y2 1 n 1
Y1 2
4
如当n=90时， Y11 1 , Y12 1
Y21 10 Y22
Y11
k
1
Y21 2k 0.38197k 1.618
第一主 振型
Y12
k
1
Y22 2k 2.61803k 0.618
第二主 振型
如图 10所 示-33
（2）当 m1 nm2 , k1 nk2 时， 此时式（a）变为
(n 1)k2 2nm2 (k2 2nm2 ) k22 0

从以上的讨论中，归纳：
（1）在两个（多个）自由度体系自由振动问题中，主要问题是确定体系 的全部自振频率及其相应的主振型。
（2）两个（多个）自由度体系的自振频率不止一个，其个数与自由度 的个数相等。自振频率可由特征方程求出。
（3）每个自振频率有自己相应的主振型。主振型就是多自由度体系 能够按单自由度振动时所具有的特定形式。
式（b） 代入 式（a）,得：
mm12yy12((tt))kk1211yy11((tt))kk1222yy22(t(t))00
(b) (4-1)
m1 y1(t) k11 y1(t) k12 y2 (t) 0 m2 y2 (t) k21 y1(t) k22 y2 (t) 0
此时式（a）变为
(2k 2m)(k 2m) k 2 0
由此求得：
12

§10-5 两个自由度体系的自由振动(刚度法)解析

§10-5 两个自由度体系的自由振动(刚度法)解析
0 y1 k11 m2 y2 k21
2
y (t ) 0
m1 矩阵式： 0
k12 y1 0 k22 y2 0
两自由度体系 自振微分方程
（对角质量矩阵）
（刚度矩阵）
振动方程：
m1 y1(t ) k11 y1(t ) k12 y2 (t ) 0 m2 y2 (t ) k21 y1(t ) k22 y2 (t ) 0

2.频率方程和频率 y1 (t ) Y1 sin(t ) ① 假设位移
（振动方程的解，简谐）
y2 (t ) Y2 sin(t )
y1 (t ) Y1 =常数 y2 (t ) Y2
a）在振动过程中，两个质点具有相同的频率和相同的相位角；
b）在振动过程中，两个质点的位移之比为常数。
1 第一振型 1
(1)
y1 (t ) A2Y12 sin( 2 t 2 ) 1 (2) 第二振型 y2 (t ) A2Y22 sin( 2 t 2 ) 2
（2）通解
—— 两个特解的线性组合
（两自由度体系自由振动是两种频率及其主振型的组合振动）
② 幅值方程
（位移代入振动方程， 消去sin( )项，得）
(k11 2 m1 )Y1 k12Y2 0 2 k21Y1 (k22 m2 )Y2 0
当然 Y1=Y2=0 为零解（无意义解）； 而非零解的条件是：系数行列式＝0 。
③ 频率方程（特征方程） (k11 2m1 )
▲两个自由度体系自由振动的特点小结
1 、2 1.有两个自振频率：
(1 (基频） 2 )

04-1 两自由度系统的振动解析

04-1 两自由度系统的振动解析
K 2 K3 d m2
运动微分方程简化为标准 形式：
1 ax1 bx2 0 x 2 cx1 dx2 0 x
方程的特点： 二阶常系数齐次线 1 项，也含有-bx2项； 性常微分方程组。 x (1)第1个方程既含有 (2)第2个方程既含有 x2 项，也含有-cxl项。 显然，这两个方程是相互耦联的，将-bx2、-cxl称为耦合项。 与单自由度振动系统运动微分方程比较：两自由度振动系统运动 微分方程是含有耦合项的二级常微分方程组。
2
2
固有频率
2 1,2
燕山大学
Yanshan University
ad 2
ad ad ( ad bc ) 2 2
2
ad bc 2
2
2
2 (1)a、b、c、d是由弹簧刚度和质量所决定的正数，所以 1 与 2
均为实根。 (2)因为 ad bc ， 正实根。
燕山大学
Yanshan University
1 K 2 ( x2 x1 ) K1 x1 m1 x 2 K 2 ( x2 x1 ) K 3 x2 m2 x
1 ( K1 K 2 ) x1 K 2 x2 0 m1 x 2 K 2 x1 ( K 2 K 3 ) x2 0 m2 x
整理得：
燕山大学
Yanshan University
(a 2 ) A1 bA2 sin(t ) 0 2 cA ( d ) A2 sin(t ) 0 1 为使xl、x2是方程组的解，方程成立的条件为：
2 ( a ) A1 bA2 0 2 cA ( d ) A2 0 1
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m1m2
m1m2
6.2 无阻尼多自由度系统自由振动
将两个根代回到系统的齐次线性方程组得到非零解为：
1
11 21
2
12 22
因此，二自由度无阻尼系统可能产生的振动为：
ur
(t
)
r
sin(rt
r
)
1r 2r
sin(rt
r
)
（r =1,2）
每个根对应一种振动
说明，二自由度无阻尼系统的自由振动响应是由两种不同频
6.2 无阻尼二自由度系统自由振动
6.1.1分别以牛顿定律和拉格朗日方程为基础导出振动方程
6.1 建立系统微分方程组
6.1.1分别以牛顿定律和拉格朗日方 程为基础导出振动方程
6.1 建立系统微分方程组
矩阵形式：
m1
0
0 m2
••u••1 u2
c1 c2
c2
c2 c 2 c3
•
u1
•
u2
k1 k2
k2
第六章：二自由度系统的振动
在实际工程中，仅用一个独立坐标常常难以正 确描述系统的运动。本章介绍二自由度系统的动力 学问题。
最简单的多自由度系统是二自由度系统。然而 自由度由一增加到二，会产生质的变化，带来一系 列新的物理概念。而二自由度和三自由度以及更高 自由度的区别，仅仅在数量上和系统的复杂程度上。
k2 (u1 u2 ) c2 (u1 u2 )
u2 f2 m2
k3u2 c3u2
6.1 建立系统微分方程组
写成矩阵形式：
m1
0
0 m2
••u••1 u2
c1 c2
c2
c2 c 2 c3
•
u1
•
u2
k1 k2
k2
k2 k2 k3
u1
u2
f1 f2
m1u1 (c1 c2 )u1 c2u2 (k1 k2 )u1 k2u2 f1
u1 k2
m1 c2
u2 k3
m2 c3
u1
k1u1
k2 (u1 u2 )
c1u1
f1 c2 (u1 u2 ) m1
f2 k2u1 (k2 k3 )u2 (c2 c3 )u2 c2u1 m2u2 m2u2 (c2 c3 )u2 c2u1 k2u1 (k2 k3 )u2 f2
6.2 无阻尼多自由度系统自由振动
将解的形式代入到方程组得到： sin(t )(K 2M ) 0
要使方程任意时刻成立，必须： (K 2M ) 0
即
k11 m12
k21
k22
k12 m2
2
12
0 0
为两个未知数的齐 次线性方程组。
要使方程组有非零解，则它 的系数行列式必须为零，即
初始条件：
u1(0) u2 (0)
u10 u20
uu•• 12((00))
u•• 10 u20
对三个以上自由度系统，可以用同样的方法得到微分方程组。
简写为
Mu(t) Cu(t) Ku(t) f (t)
质量 矩阵
阻尼 刚度 矩阵 矩阵
加速度向量 速度向量 位移向量 激励向量
6.1 建立系统微分方程组
k2 k2 k3
u1
u2
f1 f2
二自由度微分方程组特点：
1、形式上与单自由度系统受迫振动微分方程相同。但M，K，C 不是常数，而是矩阵。
2、通常K，C矩阵不是对角阵，说明系统运动是关联的。这种运 动的关联称为耦合，是二自由度区别于单自由度的基本特征
6.2 无阻尼多自由度系统自由振动
det
k11
m12 k21
k22
k12
m2
2
0
行列式展开得到：
(2 )2 ( k11 k22 )2 k11k22 k122 0
m1 m2
m1m2
可看作是关于ω2的二次方程，解得一对根为：
2 1,2
m1k22 m2k11 2m1m2
1 2
( m1k22 m2k11 ) 4(k11k22 k122 )
12
0 0
线性方程组
k11 m12
k12
k21
k22
m2 2
特征矩阵
r r2
特征值（特征根）
1r 2r
（r
=1,2）
与特征值对应的特征向量
6.2 无阻尼多自由度系统自由振动
将固有频率ω代入系统线性方程，得到系统作第一、二阶
固有振动时两质量块振幅之比，分别为：
s1
def
11 21
因此二自由度系统是本章的重要基础部分。
第六章：二自由度系统的振动
建立系统微分方程 无阻尼二自由度系统自由振动 固有频率和主振型
6.1 建立系统微分方程组
6.1.1 分离体受力分析方法-牛顿定律 k1
假设：u1 u2 u1 u2
c1
k1、c1拉伸；k2、c2压缩； k3、c3压缩
f1 (k1 k2 )u1 k2u2 (c1 c2 )u1 c2u2 m1u1
M
m1
0
0
m2
K
k11 k21
k12
k22
u1
k1
k2
m1
u2 k3 m2
由于单自由度无阻尼系统自由振动是简谐振动，所以可以设 想二自由度无阻尼系统也有类似的作简谐振动的自由振动。
由于系统有两个自有度，它们的各自运动未必有相同 的幅值，所以方程解的形式为：
其中，
uu((tt))为解sin的(二t 维 )向def量，12 φsi表n(示t 振 幅) 的二频 但维率 振向、 幅量相 不。位 同相。 同 ，12
k11
k12 12m1
s2
def
12 22
k11k12Βιβλιοθήκη 22m1定义向量1
21
s1 1
2
22
s2
1
分别为第一、二阶固有振动的振型，简称固有振型。反映了 二自由度系统作固有振动时的形态。
无阻尼系统的固有频率和固有振型称为系统的固有模态，因 此固有振型向量也称为模态向量。
1 2 n 为固有振型矩阵，为所有模态向量组成。
率ω1、 ω2的简谐振动的合成。（ ω1 < ω2 ）
分别将ω1和ω2称为系统的第一阶固有频率和第二阶固有频 率，各阶固有频率所对应的振动分别称为系统的第一阶固 有振动和第二阶固有振动。 每个根对应一种固有振动
6.2 无阻尼多自由度系统自由振动
一些概念：
k11 m12
k21
k22
k12 m22
6.2.1坐标的选择与方程耦合
1 l2
J J
ml22 ml1l2
J J
ml1l2 ml12
••
x1
••
x2
k1 0
0 k2
x1 x2
0 0
6.2 无阻尼多自由度系统自由振动
6.2.1 二自由度无阻尼系统固有振动
微分方程组：
Mu(t) Ku(t) 0 u(0) u0 ,u(0) u0