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第六章 二自由度系统的振动

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第六章 多自由度系统固有频率和主振型的两种近似解法.doc

第六章 多自由度系统固有频率和主振型的两种近似解法.doc

第六章 多自由度系统固有频率和主振型的两种近似解法从多自由度问题的精确解的求解过程可知，求振系的固有频率及主振型是一项必不可少的过程，当自由度较少时，可直接求固有频率及主振型，但当自由度较多时，关于固有频率的求解就很复杂，如一个16自由度的振动问题，仅为展开频率方程的行列式，就需要进行720次计算，当然这些计算可借助计算机解决，但关于固有频率的近似计算及其计算思想，在实际应用及理论研究中仍具有一定的意义。

本章主要介绍求固有频率的两种方法：矩阵迭代法及传递矩阵法。

6-1矩阵迭代法矩阵迭代法适合于自由度较多的复杂系统，该法可以同时计算出系统的固有频率和相应的主振型，当自由度很多，但只要计算出低阶的几个频率时，矩阵迭代法很为适用，其大量的计算可由计算机完成。

在第五章已经介绍过，多自由度无阻尼系统的振动微分方程有两种形式，一种是用刚度矩阵建立的，其固有频率和主振型可由下式求，[]{}[]{}{}02=-A M p A K或写成[]{}[]{}A M p A K 2= （6-1）另一种是用柔度矩阵建立的，其固有频率和主振型可由下式求出{}[][]{}{}012=-A M R A p 或写成{}[][]{}A M R A p=21（6-2） 用[]1-M 前乘（6-1）式，得[]1-M []{}{}A p A K 2= （6-3）方程（6-2）（6-3）可写成如下统一的形式[]{}{}A A D λ= (6-4)（6-4）式称为特征值问题的标准形式，即矩阵迭代法的基本迭代公式。

式中[]D 称为动力矩阵，λ则是矩阵[]D 的特征值，当[]D 是按刚度矩阵形成时，即[][][]K M D 1-=，则λ表示固有频率的平方，λ＝p 2，而当[]D 是按柔度矩阵形成时，即[][][]K R D =，则λ表示固有频率的平方的倒数，λ＝1/p 2。

显然，任一阶固有频率和主振型都是（6-4）式的精确解。

下面介绍从（6-4）式出发进行迭代的基本过程：1) 某个经过基准化了的初始迭代向量{}1A （所谓基准化就是选取迭代向量的某个分量为基准值1），现选取{}1A ，使其第一个元素A 1，1为基准值1，并作[]{}1AD =运算，运算得到一个新的列阵{}1B ，再将{}1B 基准化，即将新的列阵{}1B 中的各元素均除以B 1，1，可得[]{}{}{}21,111A B B A D ==2) 与{}2A ，如果{}1A ≠{}2A ，则重复上述步骤，以[]D 乘{}2A ，得[]{}{}{}32,122A B B A D ==3) 比{}2A 与{}3A ，如果{}3A ≠{}2A ，则继续重复上述步骤，以[]D 乘{}3A ，…，直到第k 次迭代[]{}{}{}1,1+==k k k k A B B A D ，当式中{}k A ＝{}1+k A 时停止，这时，特征值1λ＝B 1，k ，而相应的特征向量就等于{}k A 。

第6章 两自由度系统的振动

第6章 两自由度系统的振动

第六章 两自由度系统的振动§6.1 概述前一章介绍了单自由度系统的振动，它是振动理论的基础，有广泛的应用价值。

但在实际工程问题中，经常会遇到一些不能简化为单自由度系统的振动问题。

因此有必要进一步研究多自由度系统的振动理论。

两自由度系统是最简单的多自由度系统。

从单自由度系统到两自由度系统，振动的性质和研究方法有质的不同。

但从两自由度系统到多自由度系统的振动，无论从模型的简化、振动微分方程的建立和求解的一般方法，以及系统响应表现出来的振动特性等等，却没有什么本质上的区别，而主要是量上的差别。

因此研究两自由度系统是分析和掌握多自由度系统振动特性的基础。

所谓两自由度系统是指用两个独立坐标才能确定系统在振动过程中任何瞬时的几何位置的振动系统。

很多生产实际中的问题都可以简化为两自由度系统的振动系统。

图6-1所示的磨床磨头系统为例来分析，因为砂轮主轴安装在砂轮架内轴承上，可以近似地认为是刚性很好的、具有集中质量的砂轮主轴系统支承在弹性很好的轴承上，因此可以把它看成支承在砂轮架内的一个弹簧——质量系统。

此外，砂轮架安装在砂轮进刀拖板上，如果把进刀拖板看成是静止不动的，而砂轮架与进刀拖板的结合看成是弹簧，把砂轮架看成是集中的质量，则砂轮架系统又近似地简化为图示的支承在进刀拖板上的另一个弹簧——质量系统。

这样，磨头系统就可以近似地简化为图示的支承在进刀拖板上的两自由度系统。

在这一系统的动力学模型中，m 1是砂轮架的质量，k 1是砂轮架支承在进刀拖板上的静刚度，m 2是砂轮及其主轴系统的质量，k 2是砂轮主轴支承在砂轮架轴承上的静刚度。

取每个质量的静平衡位置作为坐标原点，取其铅垂位移x 1及x 2分别作为各质量的独立坐标。

这样x 1及x 2就是用以确定磨头系统运动位置的两个彼此独立的参数，也就是这个振动系统的广义坐标。

1k 2k)(a )(b图6-1 两自由度系统及其动力学模型在多自由度系统中，阻尼的作用与在单自由度系统中的作用相同。

第六章 结构振动特征值问题的矩阵摄动法

第六章 结构振动特征值问题的矩阵摄动法

第六章 结构振动特征值问题的矩阵摄动法§6.1 概述工程振动问题中经常遇到结构有小改动的情形，例如结构的制造误差、结构的小修改设计、对结构参数改变进行灵敏度分析等。

这些情况都有一个共同的特点，就是结构的参数仅发生很小的变化。

结构参数的小变化所引起的结构振动特性变化问题，对工程结构优化设计有重要意义。

经典的方法是每修改一次方案就需要求解一次结构的固有特性，即求解广义特征值问题。

这对于大型结构的振动分析，是非常麻烦的。

我们希望能找到一种能够利用修改前结构的固有特性信息，且计算量小的方法，来解决上述问题。

矩阵摄动法就是这种结构特征值重分析和灵敏度快速分析的计算方法。

§6.2 孤立特征值的摄动法对离散系统特征值问题，假定已经得到了其特征对的解：（6－1）分别为参数未变化的原结构刚度矩阵和质量矩阵，第个特征值，为第阶固有频率，为第阶特征向量（固有模态）。

结构参数的变化或修改设计一般通过刚度矩阵和质量矩阵的改变反映出来。

即（6－2）（6－3）称为小参数。

先看是单根的情形。

上标代表第个根，下标代表参数未变化的原结构。

从物理意义上知道，绝大多数情况下，质量阵和刚度阵只有小变化时，特征值和特征向量也只有小量变化，根据摄动理论，特征值和特征向量按小参数展开为：（6－4）代入方程（6－1），略去以上的项，比较同次幂的系数，得到： }]{[}]{[)(00)(0)(00i i i u M u K λ=][],[00M K i 2)(0)(0)(i i ωλ=)(0i ωi }{)(0i u i ][][][10M M M ε+=][][][10K K K ε+=ε）（i 0λ)(i i 0)(ε+++=+++=)(22)(1)(0)()(22)(1)(0)(}{}{}{}{i i i i i i i i u u u u λεελλλεε)(2εO ε（6－5）（6－6）（6－7）、、、分别是特征值与特征向量的第一阶摄动和第二阶摄动。

Two Degree of Freedom System (第六章多自由度振动系统)

Two Degree of Freedom System (第六章多自由度振动系统)
i 2,3, n 1
mi xi ci xi1 ci ci1 xi ci1xi1 ki xi1 ki ki1 xi ki1xi1 Fi ;
i 2,3, n 1
12
• The equations of motion of the masses m1 and mn can be derived by setting i = 1 along with x0 = 0 and i =n along with xn+1 = 0
of Freedom Systems 3. Using Newton’s Second Law of Motion to Derive
Equation of Motion 4. Influence Coefficients 5. Potential and Kinetic Energy Expressions in
3
Introduction
• The aim of research in Multidegree System
• From 2 degree to Multidegree System
4
Modeling of Continuous System as Multidegree of Freedom Systems
M自由度振动系统
Dr. Dong, Mingming 董明明
Lab. of Vibration and Noise Controlling 振动与噪声控制实验室
1
Contensts-1
1. Introduction 2. Modeling of Continuous System as Multidegree
5
Example-1 Three-Story Building

多旋翼无人机技术基础课件第六章PPT演示课件

多旋翼无人机技术基础课件第六章PPT演示课件
输入（激励） 输出（响应）
结构动力系统
多旋翼无人机结构动力学目的
多旋翼无人机结构动力学的目的就是研究关于多旋翼无 人机结构动力系统振动固有特性，它在外激励作用下产生动 响应的基本理论和分析方法，以使多旋翼无人机结构具有优 良的动力学特性。根据多旋翼无人机结构动力系统输入、输 出与系统特性三者之间的关系，可归纳为三类问题。
多旋翼无人机振动的类型（4）
4．按照系统振动的运动规律分类 （1）周期振动：振动量（如位移、速度、加速度等）是
时间的周期函数。
（2）简谐振动：振动量为时间的正弦或余弦函数的周期
振动，是最简单的周期振动。

（3）非周期振动和瞬态振动：非周期振动的振动量是
时间的非周期函数，如果这种振动只在很短的时间内 存在，则称为瞬态振动。
多旋翼无人机技术基础 （6）
符长青博士
多旋翼无人机结构动力学的定义
多旋翼无人机结构动力学是一门在多旋翼无人机设计中受到普遍重视 且仍处于不断发展中的学科，它主要研究多旋翼无人机结构的强迫振动、 自由振动和动稳定性，不考虑空气动力与结构的弹性力、阻尼力和惯性力 之间的相互作用，如果涉及空气动力，也只把它作为与结构振动运动无关 的外力对待，结构动力学是研究气动弹性响应的基础。 （1）结构 （2）振动 （3）结构动力系统 （4）振动固有特性
（4）随机振动：振动量不是时间的确定性函数，因而不
能预测，只能用概率统计的方法进行研究。
多旋翼无人机振动的类型（5）
5．按照系统结构参数的特性分类 （1）线性振动：线性振动是系统内的恢复力、阻尼
力和惯性力分别与振动位移、速度和加速度成线性关系的 振动，可用常系数线性微分方程来描述。线性振动叠加原 理成立，系统自由振动的频率及模态是系统所固有的，其 特性不随时间改变。

结构动力学多自由度系统振动

结构动力学多自由度系统振动

运用功旳互等原理可知，刚度矩阵是对称阵，即有kij＝kji， 于是上述刚度矩阵为：
k1 k2
k2
K 0
0
0
k2 k2 k3
k3 0
0
0 k3 k3 k4 k4
0
0 0 k4 k4 k5 k5
0
0
0
k5
k5
⒉ 柔度法 柔度系数aij定义为：
在第j个质量上作用单位力时在第i个质量上产生旳位移。
K12 k2 K22 k2 k3
K32 k3 K42 0 K52 0
K13 0 K23 k3 K33 k3 k4 K43 k4 K53 0
K14 0 K24 0 K34 k4 K44 k4 k5 K54 k5
K15 0 K25 0 K35 0 K45 k5 K55 k5
(a) m1 mi
mj mn
y1
yi yj yn
m1 y1
(b)
mi yi
1
i
j
m j y j
mn yn
ii
ji
1
(c)
ij
ij
jj
(a) m1
mi
mj mn
y1
yi yj yn
m1 y1
(b)
mi yi
1
i
j
m j y j
mn yn
ii
ji
1
(c)
ij
ij
jj
于是： 若在第j个质量上作用有力F，则在第i个质量上产
2
2
2
1 Mx 2 1 m[x 2 2Lx cos L2 2 ] 1 kx2 mgL(1 cos)
2
2
2
d dt

第六章 二自由度系统的振动分析

第六章 二自由度系统的振动分析
6.2.1坐标的选择与方程耦合
1 l2
J J
ml22 ml1l2
J J
ml1l2 ml12
••
x1
••
x2
k1
0
0 k2
x1 x2
0 0
6.2 无阻尼多自由度系统自由振动
6.2.1 二自由度无阻尼系统固有振动
微分方程组：
Mu(t) Ku(t) 0 u(0) u0,u(0) u0
u1(0) u2 (0)
u10
u20
uu•• 12
(0) (0)
u•• 10
u 20
对三个以上自由度系统，可以用同样的方法得到微分方程组。
简写为
Mu(t) Cu(t) Ku(t) f (t)
质量 矩阵
阻尼 刚度 矩阵 矩阵
加速度向量 速度向量 位移向量 激励向量
6.1 建立系统微分方程组
率ω1、 ω2的简谐振动的合成。（ ω1 < ω2 ）
分别将ω1和ω2称为系统的第一阶固有频率和第二阶固有频 率，各阶固有频率所对应的振动分别称为系统的第一阶固 有振动和第二阶固有振动。 每个根对应一种固有振动
6.2 无阻尼多自由度系统自由振动
一些概念：
k11 m12
k21
k22
k12
m22
6.2 无阻尼二自由度系统自由振动
固有振动的初始条件
无阻尼系统的固有振动仅是可能存在的运动形式。要使 系统真正产生固有振动，还应满足一定的运动初始条件。
第六章：二自由度系统的振动
在实际工程中，仅用一个独立坐标常常难以正 确描述系统的运动。本章介绍二自由度系统的动力 学问题。
最简单的多自由度系统是二自由度系统。然而 自由度由一增加到二，会产生质的变化，带来一系 列新的物理概念。而二自由度和三自由度以及更高 自由度的区别，仅仅在数量上和系统的复杂程度上。

机械振动基础

机械振动基础

Td
T
1 2
① 阻尼对振动周期的影响
由
Td
T
1 2
Td T
所以，阻尼使自由振动的周期变长。
☆ 阻尼使周期变长的程度
当 = 0.05 时，Td = 1.00125 T，增大 0.125%; 当 = 0.3 时， Td = 1.048 T ，增大 4. 8 %
机械动力学
Chapter6 单自由度系统的振动
则此一半长度的弹簧的刚度系数是多少？
机械动力学
Chapter6 单自由度系统的振动
4 其它类型的单自由度振动系统
■ 扭振系统 扭杆（扭转刚度 kt ） 扭簧产生的力矩:
扭簧
M kt
运动微分方程:
JO kt
kt 0
JO
n2
机械动力学
Chapter6 单自由度系统的振动
■ 摆振系统
微分方程：J0 mgl k(0 b)b
n c , 2m
2 n
k m
将方程化为标准形式:（阻尼系数n）
x 2nx n2 x 0
■阻尼自由振动微分方程的通解
设解的形式为:
x ert
机械动力学
Chapter6 单自由度系统的振动
有阻尼自由振动微分方程的标准形式:
x 2nx n2 x 0
■ 阻尼自由振动微分方程的通解
设解的形式为:
A为振幅， 为初相位角。
设初始条件为: t 0时, x x0, x x0
则有: A
x02
x02
n2
,
tan
x0n
x0
机械动力学
Chapter6 单自由度系统的振动
3 、弹簧的并联和串联
并

机械振动第6章-多自由度振动系统的数值方法

机械振动第6章-多自由度振动系统的数值方法
第六章 多自由度振动系统的数值方法
一、瑞利法 假设系统的主振型以估计固有频率，一般
只用于估计基频上限。
1. 第一瑞利商
KX MX
X T KX X T MX
X T KX X T MX
RI (X )
对精确振型，上式给出 精确的频率值，对假设 振型，上式给出固有频 率估值，一般用于估计 基频。（因高阶振型难
瑞利法：
2 n1
3EI (1 33
)ml
2.43(
EI ml 3
)
140
例
k
k1
k
m1
m2
m1 m2 m ， k1 ck
系统 1 m2 0
k
k1
k
m1
m2
系统 2： m1 0
k
k1
k
m1
m2
12
2 2
(k 2k1 )k (k k1 )m
1 2c 1 c
k m
有：
2 n1
12
2 2
- 0.802]T
ω
2 3
3.247
k m
， x3 [1, -1.247,
0.555]T
五、子空间迭代法
同时假定前 r 阶振型（矩阵迭代法是
每次假定一个振型）求解
运算步骤为
K 1Mxi i xi
1.
令 0 [10 , 20 r0 ]
2.
I K 1M
3. 解特征问题 K I a ω 2 M I a
展开det([D] I ) 0 有
n (D11 D22 L Dnn ) n1 L 0
从代数方程理论
n
i Dii trD
i 1
近似的
1

两自由度系统的振动

两自由度系统的振动
值，12 和 2 都是实数。
2 2） ad bc ， 12 和 2 都是正数，两个正实根。 3）方程仅有两个正实根的事实说明，系统可能有的同步 运动不仅是简谐的，且只能以两种频率作简谐运动。
4）ω1和ω2由由系统参数确定，称为系统的自然频率。两
2 (t ) c3 x 2 (t ) c2 [ x 2 (t ) x 1 (t )] k3 x2 (t ) k 2 [ x2 (t ) x1 (t )] F2 (t ) m2 x
整理得到
1 (t ) c1 c2 x 1 (t ) c2 x 2 (t ) k1 k 2 x1 (t ) k 2 x2 (t ) F1 (t ) m1 x m2 x2 (t ) (c2 c3 ) x2 (t ) c2 x1 (t ) (k 2 k 3 ) x2 (t ) k 2 x1 (t ) F2 (t )
由两自由度系统到更多自由度系统，则主要是量的扩充，
在问题的表述、求解方法及最主要的振动特性上没有本质 的区别。
1
2
1
2
1 1 2
2 3
6.2 两自由度系统的自由振动
一、两自由度振动系统的运动微分方程
1( 1 1
)
1(
)
2 2
2(
)
2
( )
3 3
1
2
(a)
1 1 1( 1 1(
( )
1
( )
2[ 2 (
2
1
上式表明：系统按其任一自然频率作简谐同步运动时，m1 和m2运动的振幅之比由系统本身的物理性质决定，对于特 定系统，是一个确定的量。 由于m1和m2作同步运动，任意时刻的位移之比等于振幅比

机械制造工艺学知识点汇总

机械制造工艺学知识点汇总

第一章:00；（1）工序：一个或一组工人，在一个工作地对同一个或同时对几个工件所连续完成的工艺过程，称为工序。

工序是组成工艺过程的基本单元。

（2）工位：为了完成一定的工序部分，一次装夹工件后，工件（或装配单元）与夹具或设备的可动部分一起相对刀具或设备的固定部分所占据的每一个位置称为工位。

（3）工步：在加工表面（或装配时的连续表面）和加工（或装配）工具不变的情况下所连续完成的工序，称为工步。

（4）生产纲领：生产纲领是指企业在计划期内应当生产的产品产量和进度计划。

计划期常定位一年，因此生产纲领有时也称为年产量。

（5）生产类型：生产类型对工厂的生产过程和生产组织起决定性的作用。

生产类型是指企业（或车间、班组、工作地）生产专业化程度的分类，一般分为大量生产、成批生产和单件生产三种类型。

根据批量的大小，成批生产又可分为小批生产、中批生产和大批生产。

01; 制定机械加工工艺规程的步骤:(1)研究产品的装配图和零件图,进行工艺分析;(2)确定生产类型;(3)熟悉或确定毛坯;(4)拟定工艺路线;(5)确定各工序的加工余量,计算工序尺寸及其公差;(6)选择各工序使用的机床设备及工艺装备;(7)确定切削用量及时间定额;(8)填写工艺文件02;基准的概念和分类(1) 基准是用来确定生产对象上几何要素间的几何关系所依据的那些点、线、面。

基准根据其功用的不同可分为设计基准和工艺基准。

（2）工艺基准是在工艺过程中所采用的基准。

工艺基准按它的用途不同又可分为测量基准、装配基准、工序基准和定位基准。

03；定位基准的选择原则选择定位基准时，总是先考虑选择怎样的精基准把各个主要表面加工出来，然后再考虑选择怎样的粗基准把作为精基准的表面加工出来，即先考虑精基准的选择，后考虑粗基准的选择。

精基准的选择原则：（1）基准重合原则；（2）基准统一原则；（3）互为基准原则；（4）自为基准原则。

粗基准的选择原则：（1）若工件必须首先保证某重要表面的加工余量均匀，应选择该表面为粗基准；（2）在没有要求保证重要表面加工余量均匀的情况下，若零件上每个表面都要加工，则应该以加工余量最小的表面作为粗基准，以避免该表面在加工时因余量不足而留下部分毛坯面，造成工件废品；（3）在与上一项相容的前提条件下，若零件上有些表面无须加工，则应以不加工表面中与加工表面的位置精度要求较高的表面为粗基准，以达到壁厚均匀、外形对称等要求；（4）选用粗基准的表面应尽量平整光洁，不应有飞边、浇口、冒口及其他缺陷，这样可减小定位误差，并能保证零件加紧可靠；（5）粗基准一般只使用一次。

汽车理论第六章答案

汽车理论第六章答案

6-1 人体对振动的反应和平顺性的评价
一、人体对振动的反应
97标准用加速度均方根值给出了1～80Hz振 动频率范围内人体对振动反应的三个不同 界限。反应界限（疲劳、不舒服）都是由 人体感觉到的振动强度大小和暴露时间长 短综合作用的结果。
暴露界限 疲劳－工效降低界限 舒适降低界限
6-1 人体对振动的反应和平顺性的评价
∫
2）均方值
T 2 T − 2
q (t )dt
T 2 T − 2
1 2 E q (t ) = μ q = lim T →∞ T 3）方差
[
]
∫
q 2 (t )dt
σ q2
1 = lim T →∞ T
∫ [q(t ) − μ ] dt
T 2 T − 2 2 q
随机过程统计基础知识
q(t)的5种数字特征： 4）自相关函数 1 Rq (t ) = lim T →∞ T 5）谱密度函数
⎡ T a 4 (t )dt ⎤ VDV＝ ∫ w ⎢0 ⎥ ⎣ ⎦
1 4
ms
−1.75
第六章 汽车的平顺性
§6-2 路面不平度的统计特性
主要内容：
1. 功率谱密度（PSD）－平均能量的谱分布。 2. 空间频率与时间频率的关系。 利用输入的路面不平度功率谱以及车辆系统的频 响函数，可以求出各响应物理量的功率谱，用 来分析振动系统参数对各响应物理量的影响和 评价平顺性。
§6-3 汽车振动系统的简化，单 质量系统的振动
一、汽车振动系统的简化 1.四轮汽车简化的立体模型
汽车的悬挂质量为：m2（车身、车架等） 汽车的非悬挂质量：m1（车轮、车轴） 汽车共7个自由度：
车身垂直、俯仰、侧倾3个自由度 车轮4个垂直自由度

机械动力学教学大纲及实验大纲

机械动力学教学大纲及实验大纲

《机械动力学》教学大纲大纲说明课程代码：0803532011总学时：40学时（讲课32学时，实验8学时）总学分： 2学分课程类别：专业选修课适用专业：机械设计制造及其自动化预修要求：工程力学课程的性质、目的、任务：机械动力学是机械设计制造及自动化专业的主干技术基础课之一。

本课程主要讨论机械振动的基本理论、建模方法与分析计算方法。

旨在培养学生分析、解决一般机械系统和工程结构振动的能力。

通过本课程的学习，要求学生掌握机械振动的基本理论，并能应用基本理论分析和解决工程振动问题。

教学基本方式：本课程以课堂讲授为主，并充分重视实验教学。

在课堂教学中，充分结合大型工程应用软件（Matlab/Simulink）对振动理论与工程问题进行仿真与分析，帮助学生掌握机械振动基本理论、建模方法和分析计算方法；在实验教学中，重点结合动态测试与分析技术，搭建振动测量与抑制系统，对振动系统进行动态测试与分析，培养学生解决工程振动问题的能力。

大纲的使用说明：有关振动的抑制与利用部分的内容可穿插在其它章节中进行教学。

大纲正文第一章绪论学时：2学时基本要求：了解机械动力学的研究内容、工程中的机械振动问题，掌握振动系统概念与对应的三种基本课题，理解机械动力学的研究方法。

重点：振动系统概念与对应的三种基本课题难点：机械动力学研究方法的理解教学内容：第一节机械动力学的研究内容第二节工程中的机械振动问题第三节振动系统概念与振动问题分类第四节机械动力学的研究方法第五节课程内容体系第二章机械振动基础学时：4学时基本要求：了解振动的分类、线性振动系统的叠加原理与振动的频谱；掌握简谐振动的表示方法及其特征，了解简谐振动幅值和频率的测量方法，掌握机械系统的动力学模型。

重点：简谐振动及其特征、机械振动系统的三个要素及其动力学模型难点：振动的频谱教学内容：第一节振动的分类第二节简谐振动及其特征第三节线性振动系统的叠加原理第四节振动的频谱第五节机械振动系统的动力学模型第三章单自由度系统的自由振动学时：6学时基本要求：理解机械振动系统的简化与模型建立方法，掌握单自由度系统的运动微分方程及其建立方法、无阻尼自由振动与阻尼自由振动的特征及其模型参数的测量方法。

6《结构动力学》-第六章

6《结构动力学》-第六章

x2
x3
k4
x4
k5
x5
m2
k3
m3
m4
m5
解：首先用力使m1产生单位位移，并用力使其余质量不动， 首先用力使 产生单位位移，并用力使其余质量不动， 则需要给m 的力为k 的弹性力和， 则需要给 1的力为 1与k2的弹性力和，即k11＝k1+k2。此时 m2需加力为 2，沿x的负方向，即k21＝-k2，其余质量不必 需加力为k 的负方向， 的负方向 施加任何力， 施加任何力，即k31＝k41＝k51＝0。 。 用类似方法可得其余刚度系数，于是有： 用类似方法可得其余刚度系数，于是有：
m2上加单位力，各质量的位移分别为： 上加单位力，各质量的位移分别为：
a12 = 1 k1 a 22 = 1 1 + k1 k 2 a 32 = a 22 = 1 1 + k1 k 2
〈例〉求图示三自由度系统的刚度矩阵和柔度矩阵。 求图示三自由度系统的刚度矩阵和柔度矩阵。
k1
m1
x1 k2
x2
x3 m3
LL
用矩阵符号可写成： 用矩阵符号可写成：
LL
mn &&n = −k n1 x1 − k n 2 x2 − LL − k nn xn + Fn (t ) x
& [M ]{X& }+ [K ]{X } = {F (t )}
〈例〉求图示五自由度系统的刚度矩阵。 求图示五自由度系统的刚度矩阵。
k1
m1
x1 k2
或写成： 或写成：
& {X } + [A][M ]{X& } = {0}
在刚度矩阵[K]非奇异条件下，柔度矩阵 与刚度矩 在刚度矩阵 非奇异条件下，柔度矩阵[A]与刚度矩 非奇异条件下 存在如下的互逆关系： 阵[K]存在如下的互逆关系： 存在如下的互逆关系

车身和车轮双质量系统的振动(教案)

车身和车轮双质量系统的振动(教案)

图 6-9 车身与车轮二自由度系统幅频特性曲线
从幅频特性曲线图 6-9 可看出，对于车身与车轮二自由度振动系统，车身位移 z2 ~ q 的 幅频特性和车轮位移 z1 ~ q 的幅频特性，都有低频、高频两个共振峰，当激振频率接近系统两 阶固有频率 p1 和 p2 时，都会发生共振。
（二）双轴汽车二自由度系统的振动 图 6-10 a) 是双轴汽车二自由度系统振动模型。该模型是考虑汽车纵向对称性，忽略车身
L1 L22 yLFra bibliotek22 y
。
图 6-12 系统前后悬架独立振动的振型
256
由式（6-42），可以得到系统的两个固有频率为
其中：
p12,2
2(1
1 '1
'2
)
120
220
(120 220 )2 4 '1 '2 120220
'1
(1
)
L1 L
L2 L
L1 L
'2
振幅比确定了系统的振动形态，称为主振型。与固有频率一样，主振型也只与振动系统
本身的物理性质有关，与初始条件无关。系统有几个固有频率，对应就有几个主振型。对应于
p1 的 1 称为第一阶主振型；对应于 p2 的 2 称为第二阶主振型。 下面将举例说明固定频率和主振型的概念。
设汽车的车身部分固有圆频率 20 K / m2 3 （rad/s），车身与车轮的质量比 m2 / m1
频率方程（特征方程）为
250
p4 (a d ) p2 (ad bc) 0
（6-24）
频率方程的两根即为二自由度振动系统两个固有频率 p1 和 p2 的平方，亦即
p12,2
a

第六章汽车的平顺性

第六章汽车的平顺性
Gq (n) (2n)2 Gq (n) Gq(n) (2n)4 Gq (n)
二﹑空间频率功率谱密度 Gq(n) 化为时间频率 功率频谱密度 Gq( f )
考虑车速u的影响 Gq (n) Gq ( f ) 汽车以一定车速u驶过空间频率n的路面平 度时输入的时间频率 f=un
图6—6
时间频率带宽 f un
w02
K m2
q
则齐次方程为：
••
•
z 2n z w02 z 0
阻尼运动的影响取决于n和w0的比值 ，
称为阻尼比
n C
w0 2 m2 K 汽车悬架系统的阻尼 通常在0.25左右，属于小阻尼。
该微分方程的解为 z Aent sin( w02 n2 t a)
图6—14
2．阻尼比对衰减振动的影响
评价方法：根据乘员舒适程度评价
汽车振动系统及其评价指标
输入－振动系统－输出－评价指标
输 入：路面不平度、 车速。 振动系统：弹性元件、阻尼元件、车身、
车轮质量。 输 出：车身传至人体加速度、悬架弹簧
动动挠度、车轮于路面之间的 动载荷。 评价指标：加权加速度均方根值、撞击悬 架限位概率、行驶安全性。
第一节 人体对振动的反应和平顺性的评价
第一节 人体对振动的反应和平顺性的评价
一 ﹑人体对振动的反应 人体坐姿受振模型：座椅支承面处输入点3个 方向的线振动，及该点3个方向的角振动，座椅 靠背和脚支承面两个输入点个3个方向的线振动。
图6—3 各轴向频 率加权函数
1.人体对振动的响应
人体对振动的响应取决于：①频率与强度； ②作用方向； ③暴露时间。
x(I),y(I)的自谱、互谱分别为
Gxx (n) . Gyy (n). Gxy (n)和 Gyx (n)
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6.1 建立系统微分方程组
写成矩阵形式：
m 0 1 u1 c1 c2 0 m c 2 2 u 2 c2 u1 k1 k2 c 2 c3 k2 u 2
u r (t ) r sin( r t r ) 1r sin( r t r ) （r =1,2） 2r 每个根对应一种振动
说明，二自由度无阻尼系统的自由振动响应是由两种不同频
率ω1、 ω2的简谐振动的合成。（ ω1 < ω2 ）
分别将ω1和ω2称为系统的第一阶固有频率和第二阶固有频 率，各阶固有频率所对应的振动分别称为系统的第一阶固
def
1 u(t ) sin( t ) sin( t ) 2
6.2 无阻尼多自由度系统自由振动
将解的形式代入到方程组得到： sin( t )( K 2 M ) 0
( K 2 M ) 0 要使方程任意时刻成立，必须： k11 m1 2 1 0 为两个未知数的齐 k12 即 2 k k m 21 22 2 2 0 次线性方程组。
其中，常数α1、 α2、θ1、 θ2由初始条件决定。
6.2 无阻尼多自由度系统自由振动
例题: 设如图系统物理参数为： m1=m2=m；k1=k2=k3=k；系统运动 的初始条件为：
1 0 (0) u (0) , u 0 0
u1 k1 m1 k2 m2
模态坐标下的质量矩阵
均为对角阵 模态坐标下的刚度矩阵
6.2 无阻尼二自由度系统自由振动
系统方程变成：
M1 0 Mq 0 0 M2 0
(t ) K q q(t ) 0 M qq
K1 0 Kq 0 0 K2 0 0 0 Kn
0 0 Mn
M r rT M r Kr rT K r
第r阶模态质量
第r阶模态刚度 ( r 1n)
由于Mq、Kq是对角阵，所以系统方程已是独立的n个标量 函数qr(t)的微分方程。
r (t ) Kr qr (t ) 0 Mrq (r 1,2,, n)
6.2 无阻尼多自由度系统自由振动
6.2.1坐标的选择与方程耦合
1 l2
J ml J ml1l2
2 2
k 0 x J ml1l2 x1 1 1 0 0 k x 0 2 J ml1 2 2 x2
m1
k2
m2
k3
由于单自由度无阻尼系统自由振动是简谐振动，所以可以设 想二自由度无阻尼系统也有类似的作简谐振动的自由振动。 由于系统有两个自有度，它们的各自运动未必有相同 的幅值，所以方程解的形式为： 频率、相位相同， 但振幅不同。 1 其中， u(t)为解的二维向量，φ表示振幅的二维向量。 2
第六章：二自由度系统的振动
建立系统微分方程 无阻尼二自由度系统自由振动 固有频率和主振型



6.1 建立系统微分方程组
6.1.1 分离体受力分析方法-牛顿定律
u1 k1 c1 m1 c 2 u1 f1 m1 k2
u2 k3
假设：u1 u2
1 u 2 u
m2 c 3
k1、c1拉伸；k2、c2压缩； k3、c3压缩
6.2 无阻尼多自由度系统自由振动
6.2.1 二自由度无阻尼系统固有振动
m 0 M 1 0 m2
微分方程组：
(t ) Ku(t ) 0 Mu
(0) u 0 u(0) u0 , u
u1 k1
u2
k k K 11 12 k21 k22
1 c2u 2 m1u 1 f1 (k1 k2 )u1 k2u2 (c1 c2 )u 1 (c1 c2 )u 1 c2u 2 (k1 k2 )u1 k2u2 f1 m1u
2 c2u 1 m2u 2 f 2 k2u1 (k2 k3 )u2 (c2 c3 )u
2 m1k22 m2k11 1 m1k22 m2k11 4(k11k22 k12 ) ( ) 2m1m2 2 m1m2 m1m2 2 1, 2
6.2 无阻尼多自由度系统自由振动
将两个根代回到系统的齐次线性方程组得到非零解为： 1 11 2 12 21 22 因此，二自由度无阻尼系统可能产生的振动为：
1 2 n
为固有振型矩阵，为所有模态向量组成。
6.2 无阻尼二自由度系统自由振动
固有振动的初始条件
无阻尼系统的固有振动仅是可能存在的运动形式。要使 系统真正产生固有振动，还应满足一定的运动初始条件。 系统产生第 r 阶固有振动的运动初始条件为：
u(0) r sin r (0) rr cos r u
第六章：二自由度系统的振动
在实际工程中，仅用一个独立坐标常常难以正 确描述系统的运动。本章介绍二自由度系统的动力 学问题。
最简单的多自由度系统是二自由度系统。然而 自由度由一增加到二，会产生质的变化，带来一系 列新的物理概念。而二自由度和三自由度以及更高 自由度的区别，仅仅在数量上和系统的复杂程度上。 因此二自由度系统是本章的重要基础部分。
k2 u1 f1 u f k 2 k3 2 2
二自由度微分方程组特点：
1、形式上与单自由度系统受迫振动微分方程相同。但M，K，C不 是常数，而是矩阵。
2、通常K，C矩阵不是对角阵，说明系统运动是关联的。这种运 动的关联称为耦合，是二自由度区别于单自由度的基本特征
k2 u1 f1 u f k 2 k3 2 2
初始条件： u1 (0) u10
u (0) u 2 20
1 ( 0) u10 u u 2 (0) u 20
有振动和第二阶固有振动。
每个根对应一种固有振动
6.2 无阻尼多自由度系统自由振动
一些概念：
k11 m1 2 k21 k11 m1 2 k21 1 0 k12 2 k22 m2 2 0 k12 k22 m2 2
u2
k3
确定系统固有振动及自由振动，并作出振型图。
1
1
固有振动
0.5 0 -0.5
0.5 0 -0.5
固有振动
自由振动
-1 0 0.5 1
-1 0 0.5
自由振动
1
1 1 1 1
6.2 无阻尼二自由度系统自由振动
振 型 图：
一阶：
1
1 1
节点
二阶：
1 2 1
k1u1 1 c1u
k2 (u1 u2 ) 1 u 2 ) c2 (u
k2 (u1 u2 )
u2 f2 m2
k3u2 2 c3u
2 (c2 c3 )u 2 c2u 1 k2u1 (k2 k3 )u2 f 2 c (u m2u 2 1 u2 )
r = 1,2
即初始位移的幅值组成的向量和初始速度的幅值组成的向 量都是某阶固有振型，则该振动就是该阶固有振动。
6.2 无阻尼二自由度系统自由振动
6.2.2 二自由度系统自由振动
如果系统不满足产生固有振动的初始条件，则自由振动将 不再是任一阶固有振动。而是这两种固有振动的线性组合。 即
u(t ) 1u1 (t ) 2u2 (t ) 11 sin( 1t 1 ) 22 sin( 2t 2 )
def
s2
def
12 k12 2 22 k11 2 m1
定义向量
s1 1 21 1
s2 2 22 1
分别为第一、二阶固有振动的振型，简称固有振型。反映了 二自由度系统作固有振动时的形态。 无阻尼系统的固有频率和固有振型称为系统的固有模态，因 此固有振型向量也称为模态向量。
引入坐标变换：
u q
(t ) Ku(t ) 0 代入到：Mu
其中：u为物理坐标，q为模态坐标，Φ为固有振型矩阵。 得到： 两边左乘 T 其中：
T M M q T K Kq
(t ) Kq(t ) 0 Mq
(t ) T Kq(t ) 0 T Mq
线性方程组
特征矩阵
r r2
1r （r =1,2） 2 r
特征值（特征根）
与特征值对应的特征向量
6.2 无阻尼多自由度系统自由振动
将固有频率ω代入系统线性方程，得到系统作第一、二阶
固有振动时两质量块振幅之比，分别为：
k12 s1 11 21 k11 12m1
6.1.1分别以牛顿定律和拉格朗日方 程为基础导出振动方程
6.1 建立系统微分方程组
矩阵形式：
m 0 1 u1 c1 c2 0 m c 2 2 u 2 c2 u1 k1 k2 c 2 c3 k2 u 2
对三个以上自由度系统，可以用同样的方法得到微分方程组。 简写为
(t ) Cu (t ) Ku(t ) f (t ) Mu
阻尼 矩阵
加速度向量
质量 矩阵
刚度 矩阵
速
6.1.1分别以牛顿定律和拉格朗日方程为基础导出振动方程
6.1 建立系统微分方程组
1 1
k1 m1
u1
k2 m2
u2
k3
1 k1 k2 m1 0 u 0 m u k 2 2 2