两自由度系统的振动

第四章两自由度系统的振动介绍第四章是关于两自由度系统的振动的介绍。

在这一章中，我们将探讨两自由度系统的振动模型、动力学方程，并讨论其解析解和数值解。

此外，我们还将介绍两自由度系统的模态分析、共振现象以及一些相关的应用。

两自由度系统是一种具有两个自由度的振动系统，它由两个具有质量和弹性的物体通过柔性连接件或刚性连接件相互连接而成。

这些物体可以是质点、弹性体或刚体等，而连接件可以是弹性杆、弹簧、细梁等。

在两自由度系统中，每个物体都可以做平动或转动运动，因此系统具有两个自由度。

例如，双摆锤、双弹簧振子等都属于两自由度系统。

两自由度系统的动力学方程可以由拉格朗日方程或牛顿第二定律得到。

得到动力学方程后，我们可以通过解方程得到系统的解析解，以获得系统的振动特性。

在分析解时，通常要求系统的运动是简谐振动或近似简谐振动。

另一种求解两自由度系统的方法是数值解法。

数值解法可以通过数值积分来近似求解动力学方程，这种方法常用于求解复杂的系统，或者对系统参数进行优化等情况。

分析解和数值解法可以用来研究两自由度系统的固有振动频率、振型和动态响应等。

通过模态分析，我们可以得到系统的固有频率，并确定每个模态的振型。

对于实际工程问题，模态分析可以帮助我们了解系统的共振情况，并设计出合适的控制策略，以求减小共振现象的发生。

共振是两自由度系统中一个重要而常见的振动现象。

当外力的频率与系统的固有频率接近时，系统会发生共振现象。

共振的发生会导致系统振幅的急剧增加，并且可能对系统的稳定性产生不利影响。

因此，在设计过程中，需要避免共振现象的发生，并采取合适的措施来控制共振。

此外，两自由度系统的振动也有许多实际应用。

例如，双摆锤可以用来研究天体运动和天文学现象；双弹簧振子可以用来研究建筑物或桥梁的振动特性；双振子可以用来研究分子振动和分子动力学等。

总而言之，两自由度系统的振动是一种普遍且重要的物理现象。

通过对两自由度系统进行建模和分析，我们可以深入了解系统的振动特性，并在实际应用中进行优化和改进。

两个自由度系统的振动理论曾凡林哈尔滨工业大学理论力学教研组本讲主要内容1、两个自由度系统的自由振动2、两个自由度系统的受迫振动1、两个自由度系统的自由振动（1）模型的简化同一物体的振动可以简化为不同的振动模型。

C研究上下平移振动研究前后颠簸振动两个自由度系统的自由振动模型112122222122()00mxk k x k x m x k x k x ++-=üý-+=þ&&&&2212121m k d m k c m k k b ==+=，，令方程变为：11221200xbx cx x dx dx +-=-+=&&&&，根据微分方程理论，可设上列方程组的解为：)sin()sin(21q w q w +=+=t B x t A x ，其中：A 、B 是振幅；ω为角频率，θ是初始相位角。

将上式代入微分方程组，得到：)sin()sin()sin(0)sin()sin()sin(22=+++++-=+-+++-q w q w q w w q w q w q w w t dB t dA t B t cB t bA t A 整理后得到：0)(0)(22=++-=--B d dA cB A b w w ，系统振动时，方程组具有非零解, 则方程组的系数行列式必须等于零，即：22=----ww d dc b —频率行列式①固有频率1、两个自由度系统的自由振动)()(24=-++-c b d d b w w 行列式展开后得到：—系统的本征方程，又称为频率方程21,22b d w +=m 2b d +=m i ω2的两个根都是实数，而且都是正数。

ii ω2的第一个根较小，称为第一固有频率。

iii ω2的第二个根较大，称为第二固有频率。

结论：两个自由度系统具有两个固有频率，这两个固有频率只与系统的质量和刚度等参数有关，而与振动的初始条件无关。

2、两个自由度系统的受迫振动将特解代入简化后的微分方程组，得到关于振幅的方程组：)()(22=-+-=--B d dA h cB A b w w ，解上述代数方程组得到两个振幅为：cd d b d h A ----=))(()(222w w w cdd b hdB ---=))((22w w （1）当激振频率ωà0此时激振周期T à∞，表示激振力变化极其缓慢，实际上相当于静力作用。

01b k H c b h B A ==-==b 0相当于在大小等于力幅H 的常力作用下主物体m1的静位移，这时两个物体具有相同的位移量。

（2）固有频率))((2222=---=----cd d b d d c b w w w w 频率方程：可解得系统的固有频率ω1和ω2。

当激振频率ω=ω1或ω=ω2时，，A 、B à∞，系统发生共振。

22()()0b d cd w w ---=两个自由度的系统具有两个共振频率。

2、两个自由度系统的受迫振动（3）振幅比d d B A 2w -=两物体的振幅比与激振频率有关，不再是自由振动的主振型。

d d B A 21w -=dd 22w -当激振频率ω=ω1或ω=ω2时，或，与自由振动对应的主振型相同。

当系统发生各阶共振时，受迫振动是各阶主振型。

利用实验测固有频率和固有振型。

（4）振幅与激振频率的关系实例：12k k k ==122m m m==20202w w ===c d b ，1222112122k k k kk k k H Hb c d h m m m m m m m m+=======，=，，令0w ==为没有m2时，主质量系统的固有频率222241.3586.0w w w w ==，2、两个自由度系统的受迫振动0H b k =20220011212112A b w w a w w æö-ç÷èø==éùæö--êúç÷êúèøëû2200112112B b b w w ==éùæö--êúç÷êúèøëû引入静变形并代入b 、c 、d 、h ，得到两个物体关于静变形的振幅比：α, β10234-4-3-2-1ω01ω0ωω02振幅比│频率比曲线i 当ω=0时, α=β=1, 即A =B =b 0。

第三章两自由度系统振动§3-1 概述单自由度系统的振动理论是振动理论的基础。

在实际工程问题中，还经常会遇到一些不能简化为单自由度系统的振动问题，因此有必要进一步研究多自由度系统的振动理论。

两自由度系统是最简单的多自由度系统。

从单自由度系统到两自由度系统，振动的性质和研究的方法有质的不同。

研究两自由度系统是分析和掌握多自由度系统振动特性的基础。

所谓两自由度系统是指要用两个独立坐标才能确定系统在振动过程中任何瞬时的几何位置的振动系统。

很多生产实际中的问题都可以简化为两自由度的振动系统。

例如，车床刀架系统（a）、车床两顶尖间的工件系统（b）、磨床主轴及砂轮架系统（c）。

只要将这些系统中的主要结合面（或芯轴）视为弹簧（即只计弹性，忽略质量），将系统中的小刀架、工件、砂轮及砂轮架等视为集中质量，再忽略存在于系统中的阻尼，就可以把这些系统近似简化成图（d）所示的两自由度振动系统的动力学模型。

以图3.1（c）所示的磨床磨头系统为例分析，因为砂轮主轴安装在砂轮架内轴承上，可以近似地认为是刚性很好的，具有集中质量的砂轮主轴系统支承在弹性很好的轴承上，因此可以把它看成是支承在砂轮架内的一个弹簧——质量系统。

此外，砂轮架安装在砂轮进刀拖板上，如果把进刀拖板看成是静止不动的，而把砂轮架与进刀拖板的结合面看成是弹簧，把砂轮架看成是集中的质量，则砂轮架系统又近似地可以看成是支承在进刀拖板上的另一个弹簧——质量系统。

这样，磨头系统就可以近似地简化为图示的支承在进刀拖板上的两自由度系统。

在这一系统的动力学模型中，m1是砂轮架的质量，k1是砂轮架支承在进刀拖板上的静刚度，m2是砂轮及其主轴系统的质量，k2是砂轮主轴支承在砂轮架轴承上的静刚度。

取每个质量的静平衡位置作为坐标原点，取其铅垂位移x1及x2分别作为各质量的独立坐标。

这样x1和x2就是用以确定磨头系统运动的广义坐标。

(工程实际中两自由度振动系统) [工程实例演示]§3-2 两自由度系统的自由振动一、系统的运动微分方程（①汽车动力学模型）②以图3.2的双弹簧质量系统为例。