传输函数在滤波器综合中的应用
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天馈伺系统传输函数在滤波器综合中的应用3
李宏军(中国电子科技集团公司第十三研究所, 石家庄050002)【摘要】 滤波网络传输函数的零点、极点位置对滤波性能起着决定作用。全极点滤波器的所有衰减极点都位于DC
和∞处。如果将传输零点放在S面有限频率处,则会形成特殊频率响应:虚轴上(实频)的传输零点,可形成准椭圆函数的陡降幅频响应;而实轴上(虚频)的和复数(实部非零)传输零点则起到类似时延均衡网络的作用,实现线性相位传输响应。在对不同文献关于传输函数的理论表述进行分析后,总结了传输函数、特征函数以及滤波网络综合中的一些重要概念,给出了几种典型函数的极点分布图对比,提供了几种运用特殊的传输零点放置来实现特殊滤波响应的设计应用。【关键词】 滤波器;滤波器综合;传输函数;零点;极点;非相邻耦合中图分类号:TN713 文献标识码:A
ApplicationofTransferFunctionstoSynthesisofFiltersLIHong2jun(CETC,the13thResearchInstitute, Shijiazhuang050002,China)
【Abstract】 Polesandzerosofthetransferfunctionplayandecisiveroleforfilterperformance.Foranall2polefilter,the
transmissionzeros(attenuationpoles)arealllocatedatinfinitefrequencyanddc.Finitetransmissionzerolocationscanbeusedtorealizespecialfeaturessuchasquasi2elliptic(realfrequencyzeros)response,equalizeddelay,i.e.linearphase(realaxisorcom2plexzeros).Someoftheimportantconceptsfornetworksynthesisareanalyzedwhichconsideredasagoodsummaryofthoseformu2latedinseveralclassicreferences.Pole&zeropatterncomparisonofsometypicaltransferfunctionsisgiven,aswellassomeusefuldesignexamplesusingpole&zerolocatingtechnique.【Keywords】 filter;filtersynthesis;transferfunction;zero;pole;cross2coupling
0 引 言基于传输函数的零、极点分布进行滤波器的直接综合,是滤波器设计中的高级技术,作为滤波器的精确、灵活、快速设计技术正被广泛应用。通过该技术综合的滤波器可实现多种特殊性能,且性能上不需要再进行优化,只需再辅以网络变换技术获得更便于实际制作的元件值即可。虽有CAD辅助设计工具,但这一技术的成功应用,离不开工程师们对传输函数理论和网络综合技术的深入理解,下面从理论和工程相结合的角度进行介绍。
1 滤波网络综合基础1.1 传输函数H(S)
如图1所示的一个线性时不变网络,电压传输系数(voltagetransmissioncoefficient)t表示为
t=ELEavail=RgRL・2EL
Eg
(t≤1)(1)
式中:EL为负载RL上的电压;Eavail为负载RL上的最大可用电压。
图1 电压源驱动的双端接载网络网络的传输函数(transferfunction、transducerfunc2tion)有如下两种定义方式,定义1:
H(S)=t=EL/Eavail(2)
S=σ+jω为复频变量,虚部为实频ω(rad/s),实部为虚频σ(neper/s)。|H(S)|≤1,网络功率损耗LA=-20lg|H(S)|,LA
≥0。
36第28卷 第5期 2006年5月
现代雷达
ModernRadar Vol.28 No.5May2006
3收稿日期:2005209226 修订日期:2006204221功率传输系数(powertransmissioncoefficient)为t2=|H(S)|2PL
Pavail
(3)
式中:PL为传输到负载的功率;Pavail为负载RL上的最大可用功率。
定义2:H(S)=
1
t(voltageattenuationcoefficient)
|H(S)|≥1
网络功率损耗LA=20lg|H(S)|,LA≥0。常采用定义1,因为H(S)=响应激励似乎更合常规,
以下讨论均基于定义1展开。1.2 特征函数K(S)
实际的滤波网络都是有耗的,可用功率P
avail:
一
部分传输至负载,一部分反射至源端,其余耗散在网络中。在综合滤波网络时都是假设电抗元件无耗的,即没有传输到负载的那部分功率将全部被反射回信号源。K(S)定义为反射电压与传输电压之比
K(S)=Er/EL(4)
|K(S)|2=Pr/PL(5)
式中:Er为反射回Rg的电压波;Pr为反射功率;EL为实际传输到负载RL上的电压波;PL为实际传输到负载的功率。由式(2)、式(4)得输入电压反射系数ρ1
ρ1=
Er
Eavail
=Zi-RgZi+Rg=K(S)・H(S)(6)
对无耗纯电抗网络,有Pavail=Pr+PL(7)
由式(3)、(5)得
|H(S)|2=11+|K(S)|
2
(8)
式(8)就是著名的FeldtkellerEquation,或写为H(S)H(-S)=11+K(S)K(-S
)
(9)
当传输函数H(S)按定义2时,FeldtkellerEqua2tion即为[1-2]
H(S)H(-S)=1+K(S)K(-S)(10)显然|K(S)|2为零,网络功率损耗LA也为零,而
且|H(S)|2为1时,LA才为零,这也是特征函数的一个特点。1.3 滤波网络综合滤波网络综合理论中,网络传输函数可表示为两个复频变量S的多项式之比
H(S)=Q(S)/E(S)(11)式(11)是基于传输函数定义1。K(S)=F(S)/Q(S)(12)由式(9),(11),(12)得E(S)E(-S)=Q(S)Q(-S)+F(S)F(-S)(13)
式(13)与传输函数采用定义1、定义2无关,因为如采用定义2,则H(S)=E(S)Q(S)和式(10)、(12)仍得此式。由式(6)或由式(11)、(12)得ρ1=K(S)・H(S)=F(S)/E(S)(14)
如果H(S)采用定义2,则有
ρ1=
K(S)H(S)=F(S)
E(S)(15)
传输函数的极点(poles)即为E(S)多项式的根,
也叫本征频率(naturalmodesofthefilter)。E(S)是严格的胡维茨多项式(strictlyHurwitzpolynomial),即传输函数的极点必须位于S面的开左半平面(σ<0),不能在虚轴上和S面右半面内,否则会导致纯电抗双端口网络有负阻振荡的错误结论[2-3]。有些滤波网络综合理论书集如文献[1,4]中所述可在虚轴上是有误的。传输函数的零点(zeros)即传输零点(transmission
zeros)为Q(S)多项式的根,也叫衰减极点,全极点(all2pole)滤波网络的传输零点(衰减极点)全部在
DC
和∞处。对于一个可以实现(综合)的LC滤波网络,Q
(S)为一纯奇或偶次多项式,其根的分布有图2所示的5种情况[2]:(1)虚轴上(实频)有限频率共轭对;
(2)实轴(虚频)上正、负对;(3)以原点对称分布的
共轭对、正负实部对同时存在(quadarranged)的四组合零点;(4)原点(DC)处零点;(5)无限远(∞)处零点,图2未示意。每种情况零点的阶数(multiplicityof
zero)都可以是多阶的,比如Q(S)中如有S
2项,则在
DC处有2阶零点。∞处零点阶数为特征函数K(S)的分子多项式F(S)阶数与分母多项式Q(S)阶数之差。对于LC梯形网络,传输零点全部在jω轴上且共轭成
46现代雷达28卷
