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/系统的数学模型,物理约束条件及性能指标。
数学描述:设被控对象的状态方程及初始条件为()[(),(),],(0)0x t f x t u t t x t x ==；其中,()x t X Rn ∈⊂为状态向量，X 为状态向量的可容许集；()u t Rm ∈Ω⊂为控制向量，Ω为控制向量的可容许集。
试确定容许的最优控制*()u t 和最优状态轨迹*()x t ，使得系统实现从初始状态(0)x t 到目标集[(),]0x tf tf ψ=的转移,同时使得性能指标0[(),][(),(),]tft J x tf tf L x t u t t dt ϕ=+⎰达到极值。
系统状态方程形式(连续,离散)(2)最优控制形式(开环,闭环) (3)实际应用(时间,燃料,能量,终端) (4)终端条件(固定,自由) (5)被控对象形目标函数及约束条件组成的静态优化问题可以描述为：在满足一系列约束条件的可行域中，确定一组优化变量，(极大值或极小值)。
数学描述：min (),,:n nf x x R f R R ∈→，..()0,:;()0,:n m n l s tg x g R R h x h R R =→≥→静态最优化问题，也称为参数最优化问题，它的三个基本要素是优化变量、目标函数和约束条件，其本质是解决函数，也称为最优控制问题，它的三个基本要素是被控对象数学模型、物理约束条件和性能指标，其本质是解 多变量目标函数沿着初始搜索点的负梯度方向搜索,函数值下降最快,又称最速下降法;(2)多变量无约束。
根据具体的最优换问题构造合适的惩罚函数,将多变量有约束最优化问题转换为一系列多变量无约束最优化问题,从而采用合适;(2)多变量有约束(外点法:等式约,不等式约束;内点法:不等式约束)。
通过构造拉格朗日函数,将原多变量有约束最优化问题转化为一个多变量无约束最优化问题,从而采用合适的无约束方法继(等式约束,不等式约束)。
梯度定义12()()()()f x x f x f x f x xx ∂⎡⎤⎢⎥∂∂⎢⎥=∇=⎢⎥∂∂⎢⎥∂⎣⎦，Hessian 矩阵22221212222212()()f f x x x f x H x x f f x x x ⎡⎤∂∂⎢⎥∂∂∂∂⎢⎥==⎢⎥∂∂∂⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎣⎦,最优梯度法(无约束)：迭代(1)()()()()k k k k x x f x α+=-∇，()()()()()()()()()()()k T k k k T k k f x f x f x H x f x α∇∇=∇∇，终止误差()()()k p k f x ε=-∇≤ 例：(),(0),()f x f x H x ∇∇；(0)[(0)(0)]f x T f x α=∇•∇/[(0)(0)]T f x H f x ∇••∇；(1)(0)(0)(0)x x f x α=-•∇；()f xk ε∇<，()x k 是极()0,()0x x =≥g h (1) 等式约束：(,)()()T H x f x x λ=+λg ，利用1210,0,0,0,0n mH H H H Hx x xλλ∂∂∂∂∂=====∂∂∂∂∂解出极大值点或极小值点。
2020年12月第27卷第12期控制工程Control Engineering of ChinaDec. 2020Vol.27, No. 12文章编号：1671-7848(2020)12-2226-08 DOI: 10.14107/ki.kzgc.20180699双时间尺度系统最优控制设计方法的综述钟珊珊ia,杨春雨ib,黄新利2(1.中国矿业大学a.电气与动力工程学院：b.信息与控制工程学院，江苏徐州221006; 2.酒泉卫星发射中心，甘肃酒泉735000)H摘要：双时间尺度系统最优控制设计方法是近年来的研究热点。
本文对双时间尺度系统 最优控制的设计方法、双时间尺度系统的特性分析、双时间尺度系统最优控制问题相关应用等方面进行了全面的梳理。
首先，给出双时间尺度系统最优控制问题的数学模型，并分析相关研究的关键难点；其次，分别给出基于糢型和数据驱动的双时间尺度系统最优控制设计方法：然后，综述双时间尺度系统稳定性和次优性分析方法；接下来，概述了双时间尺度系统最优控制方法的应用案例；最后，展望双时间尺度系统最优控制的研究方向。
关键词：双时间尺度系统；奇异摄动理论；最优控制；穗定性；次优性中图分类号：T P13 文献标识码：AAn Overview on the Design Method for Optimal Control ofTwo-time-scale SystemsZHONG Shan-shan x\YANG Chun-yu xb,HUANGXin-li2(1. a. School o f Electrical and Power Engineering; b. School o f Information and Control Engineering, China University of Miningand Technology, Xuzhou 221006, China; 2. Jiuqan Satellite Launch Center, Jiuquan 73500, China)Abstract: The design method of optimal control for two-time-scale systems i s a research hotspot in recent years. In t h i s paper,the design method for optimal control of two-time-scale systems,characteristic analysis of two-time-scale systems and related application of optimal control for two-time-scale systems are reviewed. Firstly, the mathematical model and challenges for optimal control problem of two-time-scale systems are given. Secondly, the model based and data-driven design methods for optimal control of two-time-scale systems are presented respectively.Then,the analysis methods for st a b i l i t y and sub-optimality of the two-time-scale systems are presented. Next, the typical application cases of optimal control of two-time-scale systems are summarized. Finally, the future research directions for optimal control of two-time-scale systems are prospected.Key words:T w o-time-scale systems;singularly perturbed theory;optimal control;stab ility;sub-optimalityi引言在航空航天、电力、化工和机械等工程领域的 控制系统设计中，大量研宄对象具有显著的双时间 尺度特性。
