奇异最优控制

奇异二次型最优控制是一类常见的最优化奇
异解问题，该问题可以用数学语言描述如下：
考虑线性受控系统
(t ) A(t ) X (t ) B(t )U (t ) X
(9-8)
B 是具有适当维数的常数矩阵。 系数矩阵 A，
控制变量受如下不等式约束
u j (t ) 1 , j 1,2, , r
实际上，上述问题的奇异弧段必满足
d H d T T T ( B ) B ( QX A ) 0 dt U dt
(9-16)
d 2 H d T T [ B ( QX A )] 2 dt U dt BT [QAX QBU AT QX AT AT ] 0
上述 2r 1 个方程。因此，若最优奇异弧存
在，必在由上述
2r 1 个方程所决定的超曲
面上，此超曲面称为奇异超曲面。
例9-1 已知二阶受控系统
1 x2 (t ) u (t ) x 2 u (t ) x
标量约束满足如下不等式约束
(9-20)
u(t ) 1
(9-21)
试求系统(9-20)由已知初态 x1 (0) x10 , x2 (0) x20 转移到坐标原点。且使性能指标
性能指标仅取为状态的二次型，即
1 T 1 tf T J X PX X QX dt 2 2 t0
(9-9)


(9-10)
假定其中的加权阵 P 和 Q都是非负定对称阵。
哈密顿函数 H 为 U 的线性函数，即
H 1 T X QX T ( AX BU ) 2
(9-11)
根据极小值原理可知，在正常弧段上最优控制 具有Bang-Bang形式，即
1 T 2 J x1 (t ) dt 2 0
为极小的最优控制。
(9-22)
解 哈密顿函数为
1 2 H x1 1 ( x 2 u ) 2 u 2
(9-23)
由极小值原理可知，正常弧段上的最优控制为 Bang-Bang形式，即：
u * sgn{1 2 }
(9-24)
第九章 奇异最优控制
9.1 9.2 9.3 9.4
奇异最优控制问题的提出 奇异线性二次型最优控制问题 奇异最优控制的算法 小结
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(9-31)
此即奇异弧上的最优控制，它是状态的线性反馈。
现在讨论如下两种情况。 (1)T 为给定的有限值，式(9-29)中的常数 C
取决于初态的非零值。这时，奇异弧是双曲线，
它不通过原点，因此，不是最优轨线的最后一段
弧线。典型的最优轨线由三段组成： 第一段控制取其边界值1 ，将系统转移到
奇异弧上。
9.2 奇异线性二次型最优控制问题
把奇异和线性二次型这两个概念结合在一起 就得到了奇异线性二次型这个概念。一个奇异线 性二次型问题的奇异性等价于性能指标中的被积 函数 X T QX U T RU 中矩阵 R 的奇异性。奇异线性 二次型问题可以是直接提出的，也可以作为对一 般的最优控制问题应用二次变分原理的结果而产 生的。
这时就没有必要在性能指标中出现U T RU项 了。此类问题与规范调节器的差别在于控 制的不等式约束，且 R 0 。哈密顿函数 H 也是控制变量 U 的线性函数。若在控制区 [t0 , t f ]上，H B T 只存在有限个零值点， 则是Bang-Bang控制。如果在某一控
制区间 [t1 , t 2 ] [t0 , t f ] 上满足 H BT 0 ，那 么，控制变量在控制边界内取值总满足极 小值原理。但是，由极小值原理同样很难 解出最优控制的具体形式。考虑到上述线 性二次型问题的最优控制一般情况下是由 Bang-Bang控制和线性反馈控制两部分组 成的。
相应的最优控制轨线（Bang-Bang弧段）满足如下 的规范方程：
x 1 x 2 sgn{1 2 } 2 sgn{1 2 } x 1 x1 1 2
(9-25)
因为曲线 H 可能依赖于 u ，所以可能存在奇异弧， 满足
在线性二次型性能指标最优控制问题中也有 类似的奇异情况。可以将性能指标中的被积函数 取为 X T QX U T RU 。其中 U T RU 项的出现体现了 对控制变量的约束，可以使最优控制 U * 的值在 合理的范围内。如果直接规定控制变量满足如下 不等式约束
uj 1 , j 1,2, , r
9.1 奇异最优控制问题的提出
在研究时间最短和燃料最少的最优控 制问题时就会涉及到奇异解问题，在时间 最短最优控制问题中，应用庞特里亚金极 小值原理可得
u j* (t ) sgn q j (t ) j 1, 2,, r , t [t0 , t f ]
(9-1)
在正常情况下，函数 q j (t ) 在控制区间[t0 , t f ] 中只有有限个零值点。控制变量在其约束的边 界上取值，得到的最优控制为Bang-Bang控制。 但在奇异情况下，至少有一个函数 q j (t )在某一 区间 [t1 , t 2 ] [t 0 , t f ] 上恒等于零。
dx2 u dx1 x2 u dx2 lim 1 u dx 1 dx2 lim 1 u dx 1
(9-32)
x2
A(t=0) (t=T) O C(t=T-)
x1
B(t=0+) 奇异弧
图9-1 最优轨线
在 x1 x2 相平面上，这是一条斜率为-1的直线。 正的脉冲控制导致状态向右下方移动，而负的脉冲
控制会使状态向左上方转移。因此，假如已知的初
态为图中的 A 点，则最优轨线 ABCO （如图9-1所
示）。利用脉冲函数的控制，系统的状态沿 ( x1 x2 )
等于常数的直线瞬时地由 A 转移到 B 点。
在奇异孤上，使用式(9-31)的控制律，由状态方 程解得
1 2 x1 x1 x 2 C 2
(9-29)
上式表示一个单参数的双曲线族。如果存在奇异弧， 它必是某一特定双曲线的一部分。
现在进一步利用条件
d2 dt 2 H x u x 0 1 x 1 2 1 u
(9-30)
解得
u ( x1 x2 )
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奇异最优控制问题是在以下情况下产生的。 对于任何最优控制问题，无论是奇异的还是非奇 异的，使得哈密顿函数H取极值的弧被定义为极 值弧。如果此极值弧不能使控制向量表示成状态 向量和协状态向量的函数，那么问题就是奇异的， 下面具体分析一下奇异最优控制问题。
若哈密顿函数 H 不显含 t ，且末端时间 t 未定， 由极小值原理可知沿最优轨迹哈密顿函数 值恒等于零，即
H 0
(9-19)
式(9-14)、(9-16)和(9-19)共 2r 1 个标量方程。 它们共同决定 2 n 维空间 ( X , )中的2(n r ) 1维超
曲面。这是因为奇异弧上的各点 ( X , ) 满足
(9-17)
假设 B T QB 是非奇异阵，否则，奇异控制不存在。 解得
U (BT QB)1 BT [(QA A TQ) X AT AT ]
(9-18)
上式表明，若存在奇异解，则奇异解必具有 式(9-18)的形式。将式(9-18)和式(9-8)、(9-13) 联立求解两点边值问题，可求出最优奇异弧段及 其上的奇异最优控制。
件(9-6)只取严格的不等式符号，则称 强化的勒让德－克莱勃希条件。
如果在某一时间间隔 [t1 , t 2 ] [t 0 , t f ] 上， 矩阵 H uu 是奇异的，即
det (H uu) 0
(9-7)
或者 H uu是非负定的，不满足强化的勒让德－克 莱勃希条件，则称Bolza问题为奇异的。此时的 最优控制为奇异最优控制。与此对应的最优轨线 部分称为奇异孤， [t1 , t2 ] 则称为奇异区间。
第二段采用状态的线性反馈控制律(9-31)， 系统沿着双曲线奇异弧运动。 第三段是再一次应用 u 1 ，使系统沿着 Bang-Bang弧转移到坐标原点。
下面讨论一种控制不受约束的特殊情况(见 图9-l)。这时，第一段是脉冲控制（控制的幅度 为无穷大，持续时间为无穷小）。脉冲控制所对 应的轨线可由下式定出
u * sgn{BT }
协态方程与边界条件为
H QX AT , (T ) PX (T ) X
(9-12)


(9-13)
的解。
若存在奇异解，则在奇异弧段上有下式成立，
H BT 0 U
2H 0 2 U
(9-14) (9-15)
其哈密顿函数为
H ( X ,U , , t ) F ( X ,U , t ) T f ( X ,U , t )
(9-4)
当控制变量在约束的边界范围内取值时，极 值条件应为
Hu 0
H uu 0
(9-5)
(9-6)
条件(9-6)常称勒让德－克莱勃希条件 (Legaudre-lebsch Condition)。若条
这时，控制满足极小值原理，但是，由极小 值原理解不出最优控制的具体形式,需要用其它方 法来计算奇异弧。