2．2.2 反 证 法
1．了解反证法是间接证明的一种基本方法．
2．理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．
基础梳理
1．定义：一般地，由证明p⇒q转向证明：綈q⇒r⇒„⇒t，t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾．从而判定┐q为假，推出q为真的方法，叫做反证法．
2．反证法常见的矛盾类型：反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与假设矛盾或与数学公理、定理、公式、定义或与公认的简单事实矛盾等．
想一想：(1)反证法的实质是什么？
(2)反证法属于直接证明还是间接证明？其证明过程属合情推理还是演绎推理？ (1)解析：反证法的实质就是否定结论，推出矛盾，从而证明原结论是正确的．
(2)解析：反证法是间接证明中的一种方法，其证明过程是逻辑非常严密的演绎推理．
自测自评
1．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个大于60°”时，反设正确的是(A)
A．假设三内角都不大于60°
B．假设三内角都大于60°
C．假设三内角至多有一个大于60°
D．假设三内角至多有两个大于60°
解析：“至少有一个”的否定是“一个都没有”，则反设为“三个内角都不大于60°”．
2．有以下结论：
①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2；②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.
下列说法中正确的是(D)
A．①与②的假设都错误
B．①与②的假设都正确
C．①的假设正确；②的假设错误
D．①的假设错误；②的假设正确
解析：用反证法证明问题时，其假设是原命题的否定，故①的假设应为“p＋q>2”；②的假设为“两根的绝对值不都小于1”，故①假设错误．②假设正确．
3.“实数a，b，c不全大于0”等价于(D)
A．a，b，c均不大于0
B．a，b，c中至少有一个大于0
高二数学 选修1-2 课案
直接证明与间接证明 第二课时
【教学目标】
1.了解间接证明的一种基本方法—反证法.
2.了解反证法的解题关键、过程及特点.
【重点难点】
了解反证法的解题关键、过程及特点.
【导学问题】
一.自主学习
1.一般地，由证明____________转向证明与假设矛盾，tt,rp或与某个真命题矛盾，从而判定q为假，推出q为真的方法，叫做___________.反证法是___________的一种方法.
2.反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与_________矛盾，或与______矛盾，或与数学公理、定理、_________、___________或___________矛盾.
3.反证法的证明步骤：
①________________________________________________________________________
②________________________________________________________________________
③________________________________________________________________________
二.举例应用
例1.求证：aaaa中不可能成等差数列，其2,1,＞0
例2.若a,b,c均为实数，且222yxa，322zyb，622xzc，求证a,b,c中至少有一个大于零.
例3.求证抛物线上任取四点所组成的四边形不可能是平行四边形.
【课堂小结】
【练习试题】
1.应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些条件使用 （ ）
①结论的相反判断，即假设；②原命题的条件；③公里公理、定理、定义等；④原结论.
A. ①② B. ①②④
§3.4反正法 第 1 页 共 4 页(文) 远东二中导学稿 ★ 高二数学选修1-2 ★ 总计第16期
课题：§3.4反证法
主备: 周雅萍审核：李建章 审批： 班级： 学习小组： 学生姓名:
【学习目标】
1.了解间接证明的一种基本方法---反证法.
2.了解反证法的思考过程与特点.
3.合理选用反证法证明数学命题.
【学习重点】
1.反证法的定义和思维过程.
2.反证法的特点与证明步骤．
【学习难点】反证法的应用.
【自主预习】
1.旧知回顾：
（1）综合法又称 ，它从命题的
出发，利用 ，通过
推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明
（2）分析法又称
，从求证的
出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的
条件，直到归结为这个命题的
，或者归结为 等。
（3）综合法与分析法的区别与联系：区别是综合法是 ，分析法是 ，它们是截然相反的两种证明方法，分析法便于我们去
，而综合法便于 ，两种方法各有所长，在解决具体问题时，结合起来效果会更好。联系是分析法倒推的证明方法就是综合法。
2.应知应会：
（1）在证明数学命题时，要证明的结论要么正确，要么错误，二者必居其一，我们可以假定
成立，在这个前提下，若推出的结果与
矛盾，或与
，相矛盾，从而断定
不可能成立，由此断定命题的结论成立，这种证明方法叫作反证
2
3 学业分层测评(十六)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1.(2016·西安高二检测)△ABC中，若AB＝AC，P是△ABC内的一点，∠APB>∠APC，求证：∠BAP<∠CAP.用反证法证明时的假设为________.
【答案】 ∠BAP≥∠CAP
2.(2016·无锡高二期末)用反证法证明命题“在一个三角形的三个内角中，至少有两个锐角”时，假设命题的结论不成立的正确叙述是“在一个三角形的三个内角中，________个锐角.”
【解析】 “至少有两个”的否定是“至多有一个”.
【答案】 至多有一个
3.(2014·山东高考改编)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是________.
【解析】 因为“方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”等价于“方程x3＋ax＋b＝0的实根的个数大于或等于1”，所以要做的假设是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”.
【答案】 方程x3＋ax＋b＝0没有实根
4.命题“a，b是实数，若|a－1|＋|b－1|＝0，则a＝b＝1”用反证法证明时应假设为________.
【导学号：01580049】
【解析】 “a＝b＝1”是“a＝1且b＝1”，
又因“p且q”的否定为“綈p或綈q”，
所以“a＝b＝1”的否定为“a≠1或b≠1”.
【答案】 a≠1或b≠1
5.若下列两个方程x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程2
3 有实根，则实数a的取值范围是______________.
【解析】 若两个方程均无实根，则
Δ1＝a－12－4a2<0，Δ2＝4a2＋8a<0，解得 a>13或a<－1，－2
∴－2
因此两方程至少有一个有实根时，应有a≤－2或a≥－1.
【答案】 {a|a≤－2或a≥－1}
6.用反证法证明命题“若a2＋b2＝0，则a，b全为0(a，b为实数)”，其反设为____________.
