推理与证明
一、核心知识
1.合情推理
（1）归纳推理的定义：从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。
（2）类比推理的定义：根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理。类比推理是由特殊到特殊的推理。
2.演绎推理
(1)定义：演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。演绎推理是由一般到特殊的推理。
(2)演绎推理的主要形式：三段论
“三段论”可以表示为：①大前题：M 是P②小前提：S 是M ③结论：S 是 P。其中①是大前提，它提供了一个一般性的原理；②是小前提，它指出了一个特殊对象；③是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。
3.直接证明
直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。直接证明包括综合法和分析法。
（1）综合法就是“由因导果” ，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条件，直至推出要证的结论。
（2）分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子，可称为“由果索因” 。要注意叙述的形式：要证 A，只要证 B，B 应是 A 成立的充分条件. 分析法和综合法常结合使用，不要将它们割裂开。
4反证法
（1）定义：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。
（2）一般步骤：（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；②从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③从矛盾判定假设不正确，即所求证命题正
确。
（3）反证法的思维方法:正难则反 ．．．．
5．数学归纳法（只能证明与正整数有关的数学命题）的步骤 (1)证明：当 n 取第一个值 n0（n0∈N*）时命题成立；
(2)假设当 n=k (k ∈N*，且 k≥n0)时命题成立，证明当 n=k+1 时命题也成立 由(1)，(2)可知，命题对于从 n0 开始的所有正整数 n 都正确。 二、典型例题 例1. 已知 ，猜想的表达式为（ B ） A.； B.； C.； D.. 例2. 已知，计算得，，
，，，由此推测：当时，有 例3. 已知：； 通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题：
_______________________________________=（ * ）并给出（ * ）式的证明.
解：一般形式:
证明：左边 = =
= =
= （将一般形式写成
等均正确。
） 2()
(1),(1)1()2
f x f x f f x +==+*x N ∈（）
(f x ）4()22x
f x =
+2()1f x x =+1()1f x x =+2
()21
f x x =+*11
1()1()23f n n N n
=+++
+
∈3
(2)2f =(4)2f >5(8)2f >
(16)3f >7
(32)2
f >2n ≥*21
(2)()2
n n f n N +>
∈23150sin 90sin 30sin 222=
++ 2
3125sin 65sin 5sin 222=++ 2
3
2
3
)120(sin )60(sin sin 222=++++ ααα2)
2402cos(12)1202cos(122cos 1 +-++-+-ααα)]2402cos()1202cos(2[cos 21
23 ++++-ααα-+-+- 240cos 2cos 120sin 2sin 120cos 2cos 2[cos 2
1
23ααα]240sin 2sin α]2sin 232cos 212sin 232cos 212[cos 2123ααααα+----右边=2
32223sin (60)sin sin (60),2
ααα-+++=2223
sin (240)sin (120)sin 2
ααα︒︒-+-+=
例4．若均为实数，且。
求证：中至少有一个大于0。 答案：（用反证法）
假设都不大于0，即，则有，
而
=
∴均大于或等于0，，∴，这与假设矛盾，故中至少有一个大于0。 例5.求证：1+3+5+…+（2n+1）=n 2（n ∈N*） 三、课后练习
1．数列1,3,6,10,15，…的递推公式可能是( B ) A.⎩⎨⎧
a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋n (n ∈N *
)
B.⎩⎨⎧
a 1＝1，
a n ＝a n －1＋n (n ∈N *
，n ≥2)
C.⎩⎨⎧
a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋(n －1)(n ∈N *
)
D.⎩⎨⎧
a 1＝1，
a n ＝a n －1＋(n －1)(n ∈N *
，n ≥2)
[解析] 记数列为{a n }，由已知观察规律：a 2比a 1多2，a 3比a 2多3，a 4比a 3多4，…，可知当n ≥2时，a n 比a n －1多n ，可得递推关系⎩⎨
⎧
a 1＝1，
a n －a n －1＝n (n ≥2，n ∈N *)．
2．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n ＋3)＝(n ＋3)(n ＋4)
2
(n ∈N *)时，验
证n ＝1，左边应取的项是( D )
A ．1
B ．1＋2
C ．1＋2＋3
D ．1＋2＋3＋4
[解析] 当n ＝1时，左＝1＋2＋…＋(1＋3)＝1＋2＋…＋4，故应选D. 3．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1
n 2，则( D )
A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋1
3
c b a ,,6
2,3
2,2
2222πππ+-=+-=+-=x z c z y b y x a c b a ,,c b a ,,0,0,0≤≤≤c b a 0≤++c b a 3)6
3
2()1()1()1()6
2()3
2()2
2(222222-+
+
+-+-+-=+-++-++-=++π
π
π
πππz y x x z z y y x c b a 3)1()1()1(222-+-+-+-πz y x 222)1(,)1(,)1(---z y x 03>-π0>++c b a 0≤++c b a c b a ,,
