高二数学推理与证明

推理与证明对于数学的学习，应具备“能力”，其中本章的“推理与证明”就是一种重要的“逻辑思维”能力形式．通过本章的复习，要有着扎实的推理、论证能力，以增强对问题的敏锐的观察，深刻的理解、领悟能力．一．推理部分1．知识结构：2．和情推理：归纳推理与类比推理统称为和情推理．①归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．②类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理．③定义特点；归纳推理是由特殊到一般、由部分到整体的推理；而类比推理是由特殊到特殊的推理；都能由已知推测、猜想未知，从而推理结论．但是结论的可靠性有待证明．例如：已知2()53f n n n =-+-，可以(1)10f =>，(2)30,f =>(3)30,(4)10f f =>=>，于是推出：对入任何n N *∈，都有()0f n >；而这个结论是错误的，显然有当5n =时，(5)30f =-<．因此，归纳法得到的结论有待证明．例如：“在平面内与同一条直线垂直的两条直线平行”；类比线与线得到：“在空间与同一条直线垂直的两条直线平行“；显然此结论是错误的”．类比线与面得到：在空间与同一个平面垂直的两个平面平行；显然此结论是错误的．④推理过程：从具体问题出发 观察、分析、比较、联想 归纳、类比 猜想．3．演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理（逻辑推理）．①定义特点：演绎推理是由一般到特殊的推理；②数学应用：演绎推理是数学中证明的基本推理形式；推理模式：“三段论”：ⅰ大前提：已知的一般原理（M 是P ）；ⅱ小前提：所研究的特殊情况（S 是M ）；ⅲ结论：由一般原理对特殊情况作出判断（S 是P ）；集合简述：ⅰ大前提：x ∈M 且x 具有性质P ；ⅱ小前提：y ∈S 且S ⊆M ；ⅲ结论： y 也具有性质P ；例题1．若定义在区间D 上的函数()f x 对于D 上的n 个值12,,n x x x ，总满足[]12121()()()()n n x x x f x f x f x f n n ++++++≤，称函数()f x 为D 上的凸函数；现已知()sin f x x =在(0,)π上是凸函数，则ABC ∆中，sin sin sin A B C ++的最大值是 ．解答：由[]12121()()()()n n x x x f x f x f x f n n ++++++≤（大前提）因为()sin f x x =在(0,)π上是凸函数 （小前提）得()()()3()3A B C f A f B f C f ++++≤ （结论）即sin sin sin 3sin 3A B C π++≤=因此，sin sin sin A B C ++的最大值是2 注：此题是一典型的演绎推理“三段论”题型4.和情推理与演绎推理的关系：①和情推理是由特殊到一般的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理；②它们又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性；例2．设()2x x a a f x -+=，()2x xa a g x --=（其中0a >且1a ≠） （1）5＝2＋3请你推测(5)g 能否用(2),(3),(2),(3)f f g g 来表示；（2）如果（1）中获得了一个结论，请你推测能否将其推广.解答:（1）由(3)(2)(3)(2)f g g f +＝332a a -+222a a --＋332a a --222a a -+ ＝552a a -- 又(5)g ＝552a a -- 因此，(5)g ＝(3)(2)(3)(2)f g g f +（2）由(5)g ＝(3)(2)(3)(2)f g g f +即(23)g +＝(3)(2)(3)(2)f g g f +于是推测()g x y +＝()()()()f x g y g x f y + 证明：因为：()2x x a a f x -+=，()2x xa a g x --=（大前提） 所以()g x y +＝2x y x ya a ++-， ()g y ＝2y y a a --，()f y ＝2y ya a -+，（小前提及结论） 所以()()()()f x g y g x f y +＝2x x a a -+2y y a a --＋2x x a a --2y ya a -+ ＝2x y x ya a ++-＝()g x y + 解题评注：此题是一典型的由特殊到一般的推理，构造(23)g +＝(3)(2)(3)(2)f g g f +是此题的一大难点，要经过观察、分析、比较、联想而得到；从而归纳推出一般结论()g x y +＝()()()()f x g y g x f y +．二．证明部分1．知识结构2．综合法与分析法①综合法；利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，经过一系列推理论证，推导出所要证明的结论成立．②分析法：从要证明的结论出发逐步寻求使它成立的充分条件，直至把要证明的结论归结为判别一个明显成立的条件为止．③综合应用：在解决问题时，经常把综合法与分析法和起来使用；使用分析法寻找成立的条件，再用综合法写出证明过程．例3．已知：0a b >>，求证：22()()828a b a b a b ab a b-+-<-< 证明：因为0a b >> 所以22()()828a b a b a b ab a b-+-<< ⇔222()()()44a b a b a b a b--<< ⇔|22a b a b<< ⇔2a b a b a b<< ⇔121b a a b < ⇔1b a a b<又由已知0a b >>1b a a b<<成立． 由于以上分析步步等价，因此步步可逆．故结论成立．解题评注：(1)以上解答采用恒等变形，其实质从上往下属于分析法，反之属于综合法．(2)1b a a b<,(0a b >>)是结论成立的充要条件,当然找到了结论成立的充分条件就可以了.例4.求证抛物线22(0)y px p =>，以过焦点的弦为直径的圆必与2p x =-相切. 证明：（如图）作AA ／、BB ／垂直准线，取AB 的中点M ，作MM ／垂直准线. 要证明以AB 为直径的圆与准线相切只需证｜MM ／｜＝12｜AB ｜ 由抛物线的定义：｜AA ／｜＝｜AF ｜，｜BB ／｜＝｜BF ｜所以｜AB ｜＝｜AA ／｜＋｜BB ／｜因此只需证｜MM ／｜＝12（｜AA ／｜＋｜BB ／｜） 根据梯形的中位线定理可知上式是成立的. 所以以过焦点的弦为直径的圆必与2p x =-相切. 以上解法同学们不难以综合法作出解答.解题评注:分析法是从结论出发寻找证题思路的一种重要的思维方法,特别是题设和结论相结合,即综合法与分析法相结合,可使很多较为复杂的问题得到解决.3.数学归纳法一般地，证明一个与正整数ｎ有关的命题的步骤如下：（1）（归纳奠基）证明当ｎ取第一个值ｎ0时命题成立；（2）（归纳递推）假设ｎ＝k （0(,)k n k n ≥∈*时命题成立，证明当1n k =+ 时命题也成立。

高二数学推理与证明试题答案及解析1.下列推理合理的是（）A．是增函数，则B．因为，则C．为锐角三角形，则D．直线，则【答案】C【解析】根据题意，由于是增函数，则或者f’(x)=0在个别点成立，故错误对于B，因为，则显然不成立，对于D直线，则，可能斜率都不存在，故错误，故选C.【考点】推理与证明点评：主要是考查了合情推理的运用，属于基础题。

2.对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想出：正四面体的内切球切于四面都为正三角形的什么位置？（）A．正三角形的顶点B．正三角形的中心C．正三角形各边的中点D．无法确定【答案】B【解析】根据题意，由于命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想出：正四面体的内切球切于四面都为正三角形的中心，故可知答案为B.【考点】类比推理点评：主要是考查了类比推理的运用，属于基础题。

3.对大于或等于2的自然数的次方幂有如下分解方式：根据上述分解规律，若的分解中最小的数是73，则的值为 .【答案】9【解析】根据题意，可知，，，，那么可知的分解中最小的数是73，那么可知m的值为9.故答案为9.【考点】归纳推理点评：主要是考查了归纳推理的运用，属于基础题。

4.观察式子：1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，，则可归纳出一般式子为() A．1＋＋＋＋<(n≥2)B．1＋＋＋＋<(n≥2)C．1＋＋＋＋<(n≥2)D．1＋＋＋＋<(n≥2)【答案】C【解析】根据题意，由于观察式子：1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，左边是n 个自然数平方的倒数和，右边是项数分之项数的二倍减去1，那么可得到，推广到一般1＋＋＋＋<(n≥2)，故选C.【考点】归纳推理点评：主要是考查了归纳推理的基本运用，属于基础题。

5.在平面上，若两个正三角形的边长比为，则它们的面积比为，类似地，在空间中若两个正四面体的棱长比为，则它们的体积比为____________。

数学·选修2－2(人教A版)推理是人们思维活动的过程，本章主要介绍人们在日常生活和科学研究中经常使用的两种推理——合情推理和演绎推理．合情推理包括归纳推理和类比推理，演绎推理部分主要学习直接证明、间接证明和数学归纳法．1．归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般、部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但两者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明．2．演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本形式，也是公理化体系所采用的推理形式；另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性．3．直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法．直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推出结论的证明方法，分析法是从结论追溯到条件的证明方法．在解决数学问题时，常把它们结合起来使用．间接证明的一种方法是反证法．反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的方法．4．数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学命题．证明时，它的两个步骤缺一不可，它的第一步(归纳奠基)是证n＝n0时结论成立；第二步(归纳递推)是假设n＝k时结论成立，推得n＝k＋1时结论也成立．数学归纳法原理建立在归纳推理的基础上，它可用有限的步骤(两步)证明出无限的命题成立．题型一合情推理与演绎推理(1)对奇数列1,3,5,7,9，…，进行如下分组：第一组含一个数{1}；第二组含两个数{3,5}；第三组含三个数{7,9,11}；第四组含四个数{13,15,17,19}；…试观察猜想每组内各数之和f(n)(n∈N*)与组的编号数n的关系式为____________．(2)在平面几何中，对于Rt△ABC，设AB＝c，AC＝b，BC＝a，则：①a2＋b2＝c2；②cos2A＋cos2B＝1；③Rt△ABC的外接圆半径为r＝a2＋b2 2.把上面的结论类比到空间写出相类似的结论解析：(1)由于1＝13,3＋5＝8＝23,7＋9＋11＝27＝33,13＋15＋17＋19＝64＝43，…，猜想第n组内各数之和f(n)与组的编号数n的关系式为f (n)＝n3.(2)选取3个侧面两两垂直的四面体作为直角三角形的类比对象．①设3个两两垂直的侧面的面积分别为S1，S2，S3，底面面积为S，则S21＋S22＋S23＝S2.②设3个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.③设3个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为a，b，c，则这个四面体的外接球的半径为R＝a2＋b2＋c22.点评：(1)归纳推理的难点是由部分结果得到一般结论，破解的方法是充分考虑这部分结果提供的信息，从中发现一般规律，解题的一般步骤是：①对有限的资料进行观察、分析、归纳整理；②提出带有规律性的结论，即猜想；③检验猜想．(2)类比是从已经掌握了的事物的属性，推测正在研究的事物的属性，是以旧有的认识为基础，类比出新的结果；类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性；类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却有发现的功能．题型二综合法与分析法(1)若实数a，b满足a＋b＝3，证明：2a＋2b≥42；(2)设a ＞b ＞0，证明：a 2－b 2a 2＋b 2＞a －b a ＋b.证明：(1)因为2a ＋2b ≥22a ·2b ＝2v 2a ＋b ，又a ＋b ＝3，所以2a ＋2b ≥223＝4 2.当且仅当a ＝b ＝32时等号成立． 故2a ＋2b ≥42成立．(2)要证明a 2－b 2a 2＋b 2＞a －b a ＋b(由a ＞b ＞0，得a －b ＞0)，只需证(a 2－b 2)(a ＋b )＞(a 2＋b 2)(a －b )，只需证(a ＋b )2＞a 2＋b 2，即2ab ＞0，因为a ＞b ＞0，所以2ab ＞0显然成立．因此当a ＞b ＞0时，a 2－b 2a 2＋b 2＞a －b a ＋b成立． 点评：分析法和综合法是对立统一的两种方法，在使用这两种方法解题是，一般步骤是：①分析条件和结论之间的联系和区别，选择解题方向．②确定恰当的解题方法，若能够结合题设条件，通过相关的公理、定理、公式、结论推得所求结果，则用综合法，若从条件出发，应用相关的公理、定理、公式、结论难以推得所求结果，则可以考虑使用分析法．③解题反思，回顾解题过程，对所得结果和解题步骤进行检查，确保解题的严谨性和完备性．题型三 反证法已知直线ax －y ＝1与曲线x 2－2y 2＝1相交于P ，Q 两点，证明：不存在实数a ，使得以PQ 为直径的圆经过坐标原点O .证明：假设存在实数a ，使得以PQ 为直径的圆经过坐标原点O ，则OP ⊥OQ .设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1x 1·y 2x 2＝－1， 所以(ax 1－1)(ax 2－1)＝－x 1·x 2，即(1＋a 2)x 1·x 2－a (x 1＋x 2)＋1＝0.由题意得(1－2a 2)x 2＋4ax －3＝0，所以x 1＋x 2＝－4a 1－2a 2，x 1·x 2＝－31－2a 2. 所以(1＋a 2)·－31－2a 2－a ·－4a 1－2a 2＋1＝0， 即a 2＝－2，这是不可能的．所以假设不成立．故不存在实数a ，使得以PQ 为直径的圆经过坐标原点O .点评：一般以下题型用反证法：①当“结论”的反面比“结论”本身更简单、更具体、更明确； ②否定性命题、唯一性命题，存在性命题、“至多”“至少”型命题； ③有的肯定形式命题，由于已知或结论涉及无限个元素，用直接证明比较困难，往往用反证法．用反证法证明不等式要把握三点：①必须先否定结论，即肯定结论的反面；②必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证；③推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实矛盾等，但是推导出的矛盾必须是明显的．题型四 数学归纳法用数学归纳法证明122＋132＋142＋ (1)2<1－1n (n ≥2，n ∈N *)．证明：当n ＝2时，左式＝122＝14，右式＝1－12＝12，因为14<12，所以不等式成立．假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式成立，即122＋132＋142＋…＋1k 2<1－1k ，则当n ＝k ＋1时，122＋132＋142＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2<1－1k ＋1(k ＋1)2＝1－(k ＋1)2－k k (k ＋1)2＝1－k 2＋k ＋1k (k ＋1)2<1－k (k ＋1)k (k ＋1)2＝1－1k ＋1，所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．综上所述，对任意n ≥2的正整数，不等式都成立．点评：(1)用数学归纳法证明与n 有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小．对第二种形式往往要先对n 取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n 值开始都成立的结论，再用数学归纳法证明．(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n ＝k 时成立得n ＝k ＋1时成立，主要方法有：①放缩法；②利用基本不等式法；③作差比较法等．一、选择题1．“因为指数函数y ＝a x是增函数(大前提)，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 是指数函数(小前提)，所以函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 是增函数(结论)”，以上推理的错误的原因是( )A ．大前提错误导致结论错B ．小前提错误导致结论错C ．推理形式错误导致结论错D ．大前提和小前提错误导致结论错解析：推理形式没有错误，而大前提“y ＝a x 是增函数”是不正确的，当0＜a ＜1时，y ＝a x 是减函数；当a ＞1时，y ＝a x 是增函数．故选A.答案：A2．锐角三角形的面积等于底乘高的一半；直角三角形的面积等于底乘高的一半；钝角三角形的面积等于底乘高的一半．所以，凡是三角形的面积都等于底乘高的一半．以上推理运用的推理规则是( )A ．三段论推理B ．假言推理C ．关系推理D ．完全归纳推理解析：所有三角形按角分，只有锐角三角形、直角三角形和钝角三角形三种情形，上述推理穷尽了所有的可能情形，故为完全归纳推理．答案：D3．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n＋3)(n＋4)2(n∈N*)时，验证n＝1，左边应取的项是()A．1 B．1＋2C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4解析：当n＝1时，左＝1＋2＋…＋(1＋3)＝1＋2＋…＋4，故应选D.答案：D4．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比：正四面体的内切球切于四个面()A．各正三角形内一点B．各正三角形的某高线上的点C．各正三角形的中心D．各正三角形外的某点解析：正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形所在的正四面体的侧面，所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心．故选C.答案：C5．已知a＋b＋c＝0，则ab＋bc＋ca的值() A．大于0 B．小于0C．不小于0 D．不大于0解析：解法一因为a＋b＋c＝0，所以a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝0，所以ab＋bc＋ca＝－a2＋b2＋c22≤0.解法二令c＝0，若b＝0，则ab＋bc＋ca＝0，否则a、b异号，所以ab＋bc＋ca＝ab＜0，排除A、B、C，故选D.答案：D6．若凸k边形的内角和为f(k)，则凸(k＋1)边形的内角和f(k＋1)(k≥3且k∈N*)等于()A．f(k)＋π2B．f(k)＋πC．f(k)＋32π D．f(k)＋2π解析：由凸k边形到凸(k＋1)边形，增加了一个三角形，故f(k＋1)＝f(k)＋π.故选B.答案：B7．公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n.若a4是a3与a7的等比中项，S8＝32，则S10＝()A．18 B．24 C．60 D．90解析：由a24＝a3a7得(a1＋3d)2＝(a1＋2d)(a1＋6d)，2a1＋3d＝0.再由S8＝8a1＋562d＝32，得2a1＋7d＝8，则d＝2，a1＝－3.所以S10＝10a1＋902d＝60，选C.答案：C8．设函数f (x)定义如下表，数列{x n}满足x0＝5，且对任意的自＝f(x n)，则x2 011＝()然数均有x n＋1A.1 B．2 C．4 D．5解析：x1＝f(x0)＝f(5)＝2，x2＝f(2)＝1，x3＝f(1)＝4，x4＝f(4)＝5，x5＝f(5)＝2，…，数列{x n}是周期为4的数列，所以x2 011＝x3＝4，故应选C.答案：C二、填空题9．命题“在△ABC 中，A ＞B ，则a >b ”，用反证法证明时，假设是________．解析：命题的结论是a ＞b ，假设应是“a ≤b ”． 答案： a ≤b10．若数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，则a 5＝________；前8项的和S 8＝________(用数字作答)．解析：a 1＝1，a 2＝2a 1＝2，a 3＝2a 2＝4，a 4＝2a 3＝8，a 5＝2a 4＝16，易知S 8＝28－12－1＝255，∴应填255.答案：16 25511．(2013·济南高二检测)如果x ＞0，y ＞0，x ＋y ＋xy ＝2，则x ＋y 的最小值__________．解析：由x ＞0，y ＞0，x ＋y ＋xy ＝2，得2－(x ＋y )＝xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋y 22，所以(x ＋y )2＋4(x ＋y )－8≥0，所以x ＋y ≥23－2或x ＋y ≤－2－23， 因为x ＞0，y ＞0，所以x ＋y 的最小值为23－2. 答案：23－212．已知数列{a n }满足：a 4n －3＝1，a 4n －1＝0，a 2n ＝a n ，n ∈N *，则a 2 009＝________，a 2 014＝________.解析：依题意，得a 2 009＝a 4×503－3＝1，a 2 014＝a 2×1 007＝a 1 007＝a 4×252－1＝0.∴应填1,0. 答案：1 0三、解答题13．证明不等式：12×34×…×2n －12n <12n ＋1(n ∈N *)．证明：(1)当n ＝1时，左边＝12，右边＝13，显然12 < 13，不等式成立．(2)假设n＝k时，不等式成立，即1 2×34×…×2k－12k<12k＋1，则n＝k＋1时，12×34×…×2k－12k×2k＋12k＋2<12k＋1×2k＋12k＋2＝2k＋12k＋2，要证n＝k＋1时，不等式成立，只要2k＋1 2k＋2<12k＋3成立．即证(2k＋1)(2k＋3)<(2k＋2)2，即证4k2＋8k＋3<4k2＋8k＋4.该不等式显然成立．即n＝k＋1时，不等式成立．由(1)(2)知，对任意的正整数n，不等式成立．14．如图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．(1)若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，求MN的长；解析：如下图，取CD的中点G，连接MG，NG，因为ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，所以MG⊥CD，MG＝2，NG＝ 2.因为平面ABCD⊥平面DCEF，所以MG⊥平面DCEF.所以MG⊥GN.所以MN＝MG2＋GN2＝ 6.(2)用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线．证明：假设直线ME与BN共面，则AB⊂平面MBEN，且平面MBEN ∩平面DCEF ＝EN .由已知，两正方形ABCD 和DCEF 不共面，故AB ⊄平面DCEF . 又AB ∥CD ，所以AB ∥平面DCEF . 所以EN ∥AB ，又AB ∥CD ∥EF ， 所以EF ∥NE ，这与EF ∩EN ＝E 矛盾， 故假设不成立．所以ME 与BN 不共面，它们是异面直线．15．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；解析：选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．解析：三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：证法一 sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－ sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.证法二 sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝1－cos 2α2＋1＋cos (60°－2α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α) ＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2α＝1－12cos 2α＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－14(1－cos 2α)＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34.16．已知{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，{b n }是等比数列，且a 1＝b 1＝2，a 4＋b 4＝27，S 4－b 4＝10.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；解析：设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q .由a 1＝b 1＝2，得a 4＝2＋3d ，b 4＝2q 3，S 4＝8＋6d .由条件得方程组⎩⎨⎧2＋3d ＋3q 3＝27，8＋6d －2q 3＝10⇒⎩⎨⎧d ＝3，q ＝2.故a n ＝3n －1，b n ＝2n ，n ∈N *.(2)记T n ＝a n b 1＋a n －1b 2＋…＋a 1b n ，n ∈N *，证明：T n ＋12＝－2a n＋10b n (n ∈N *)．证明：证法一 T n ＝a n b 1＋a n －1b 2＋a n －2b 3＋…＋a 1b n ＝2n a 1＋2n －1a 2＋…＋2a n ＝2n ⎝⎛ a 1＋a 22＋…＋⎭⎪⎪⎫a n 2n －1. 令a n 2n －1＝3n －12n －1＝3n ＋22n －2－3n ＋52n －1＝c n －c n ＋1， ∴T n ＝2n [(c 1－c 2)＋(c 2－c 3)＋…＋(c n －c n ＋1)]＝10×2n －2(3n ＋5)＝10b n －2a n －12⇔T n ＋12＝10b n －2a n .证法二(数学归纳法)①当n＝1时，T1＋12＝a1b1＋12＝16，－2a1＋10b1＝16，故等式成立．②假设当n＝k时等式成立，即T k＋12＝－2a k＋10b k，则当n＝k＋1时，有：T k＋1＝a k＋1b1＋a k b2＋a k－1b3＋…＋a1b k＋1＝a k＋1b1＋q(a k b1＋a k－1b2＋…＋a1b k)＝a k＋1b1＋qT k＝a k＋1b1＋q(－2a k＋10b k－12)＝2a k＋1－4(a k＋1－3)＋10b k＋1－24＝－2a k＋1＋10b k＋1－12，即T k＋1＋12＝－2a k＋1＋10b k＋1，因此n＝k＋1时等式也成立．由①②可知，对任意n∈N*，T n＋12＝－2a n＋10b n成立．。

第二章推理与证明知识点：1、归纳推理把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。

归纳推理的一般步骤：•通过观察个别情况发现某些相同的性质；•从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）；•证明（视题目要求，可有可无）.2、类比推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理.类比推理的一般步骤：•找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；•用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；•检验猜想。

3、合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理.归纳推理和类比推理统称为合情推理，通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理.4、演绎推理从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理.演绎推理的一般模式———“三段论”，包括⑴大前提-----已知的一般原理；⑵小前提-----所研究的特殊情况；⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．5、直接证明与间接证明⑴综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.要点：顺推证法；由因导果.⑵分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.要点：逆推证法；执果索因.⑶反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.的证明方法.它是一种间接的证明方法.反证法法证明一个命题的一般步骤：(1)（反设）假设命题的结论不成立；(2)（推理）根据假设进行推理,直到导出矛盾为止；(3)（归谬）断言假设不成立；(4)（结论）肯定原命题的结论成立.6、数学归纳法数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法.用数学归纳法证明命题的步骤;（1）（归纳奠基）证明当n 取第一个值*00()n n N ∈时命题成立；（2）（归纳递推）假设*0(,)n k k n k N =≥∈时命题成立，推证当1n k =+时命题也成立.只要完成了这两个步骤，就可以断定命题对从0n 开始的所有正整数n 都成立. 考点：无第三章 数系的扩充与复数的引入知识点：一:复数的概念(1) 复数:形如(,)a bi a R b R +∈∈的数叫做复数，a 和b 分别叫它的实部和虚部.(2) 分类:复数(,)a bi a R b R +∈∈中,当0b =,就是实数; 0b ≠,叫做虚数;当0,0a b =≠时,叫做纯虚数.(3) 复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等.(4) 共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数.(5) 复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x 轴叫做实轴，y 轴除去原点的部分叫做虚轴。

高二推理与证明知识点推理和证明是高中数学中的重要内容之一，它们不仅是数学思维的核心，也是培养学生逻辑思维和分析能力的有效方式。

在高二阶段，学生需要掌握一定的推理和证明的知识点，下面将介绍其中的几个重要内容。

一、命题与命题联结词在推理与证明中，命题是基础概念。

命题是陈述性的句子，要么是真的，要么是假的。

命题可以使用命题联结词进行逻辑联结，常见的命题联结词有“与”、“或”、“非”等。

例如，p与q的合取命题可以表示为p∧q，表示p并且q同时为真；p或q的析取命题可以表示为p∨q，表示p或q至少有一个为真；非p的命题可以表示为¬p，表示p的否定。

二、条件与充分必要条件条件是推理与证明中常用的一种命题形式，它具有“如果...，那么...”的形式。

其中，前件称为充分条件，后件称为必要条件。

例如，若p，则q，表示p是q的充分必要条件。

在证明中，我们通常需要探究条件的真假关系并进行推理推导。

三、直接证明直接证明是常用的证明方法之一。

它通过运用已知条件和数学推理，按照一定的逻辑思路来证明命题的真实性。

直接证明的基本框架是：先假设命题为真，然后基于这一假设，利用数学定理、定义、公理等进行推导，最终得出结论，证明命题是真的。

在直接证明过程中，需要严密的逻辑推理和合理的论证步骤。

四、间接证明间接证明也是常用的证明方法之一，它通过假设命题的否定形式为真，然后通过推理推导推出一个矛盾的结论，从而得出原命题为真的结论。

间接证明通常运用反证法，即假设命题不成立，然后通过推理推导出一个与已知条件矛盾的结论，从而否定了假设，证明了原命题的真实性。

五、反证法反证法是一种特殊的间接证明方法，它通过假设命题的否定形式为真，然后推导出一个明显的矛盾结论，从而否定了假设，得出原命题为真的结论。

反证法常用于证明某些数论命题，其中典型的例子就是证明“根号2是无理数”。

反证法的关键在于找到一个能够导致矛盾结论的假设，从而否定假设，证明原命题的真实性。

推理与证明(推荐时间：50分钟)一、选择题1．(2010·山东)观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )等于( )A ．f (x )B ．－f (x )C ．g (x )D ．－g (x )2．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2a n (n ≥2)，而a 1＝1，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n 等于( )A.2(n ＋1)2B.2n (n ＋1)C.22n －1D.22n －13．用反证法证明命题：若整数系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a ≠0)有有理根，那么a ，b ，c 中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是( )A ．假设a ，b ，c 都是偶数B ．假设a ，b ，c 都不是偶数C ．假设a ，b ，c 至多有一个是偶数D ．假设a ，b ，c 至多有两个是偶数4．(2011·江西)观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2 401，…，则72 011的末两位数字为( )A ．01B ．43C ．07D ．495．定义一种运算“*”：对于自然数n 满足以下运算性质：（ⅰ）1*1=1,(ⅱ)( n +1)*1= n *1+1,则n *1等于（ ）A ．nB ．n ＋1C ．n －1D ．n 26．已知数列{a n }中，a n ∈(0，12)，a n ＋1＝38＋12·a 2n，则数列{a n }是( ) A ．单调递增数列B ．单调递减数列C ．摆动数列D ．先递增后递减数列二、填空题7．(2011·北京)设A (0,0)，B (4,0)，C (t ＋4,3)，D (t,3) (t ∈R )．记N (t )为平行四边形ABCD 内部(不含边界)的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则N (0)＝________；N (t )的所有可能取值为________．8．(2011·山东)设函数f (x )＝x x ＋2(x >0)，观察： f 1(x )＝f (x )＝x x ＋2， f 2(x )＝f (f 1(x ))＝x 3x ＋4， f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x 7x ＋8， f 4(x )＝f (f 3(x ))＝x 15x ＋16， ……根据以上事实，由归纳推理可得：当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝________.9．若数列{a n }的通项公式a n ＝1(n ＋1)2，记f (n )＝2(1－a 1)·(1－a 2)…(1－a n )，试通过计算f (1)，f (2)，f (3)的值，推测出f (n )＝________.10．在公比为4的等比数列{b n }中，若T n 是数列{b n }的前n 项积，则有T 20T 10，T 30T 20，T 40T 30仍成等比数列，且公比为4100；类比上述结论，在公差为3的等差数列{a n }中，若S n 是{a n }的前n 项和，则有________________________也成等差数列，该等差数列的公差为________．三、解答题11．在数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S 满足S 2n ＝a n ⎝⎛⎭⎫S n －12. (1)求1S 2，1S 3，1S 4，…，并求1S n(不需证明)； (2)求数列{a n }的通项公式.12.观察下列三角形数表假设第n 行的第二个数为a n (n ≥2，n ∈N *)，(1)依次写出第六行的所有6个数字；(2)归纳出a n ＋1与a n 的关系式并求出a n 的通项公式．13．已知数列{a n }中，a 4＝28，且满足a n ＋1＋a n －1a n ＋1－a n ＋1＝n . (1)求a 1，a 2，a 3；(2)猜想{a n }的通项公式并证明．答案1．D 2．B 3．B 4．B 5．A 6．A7．6 6,7,8 8.x (2n －1)x ＋2n 9.n ＋2n ＋1 10．S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30300 11．解 (1)当n ≥2时，由a n ＝S n －S n －1和S 2n ＝a n ⎝⎛⎭⎫S n －12，得S 22＝(S 2－S 1)⎝⎛⎭⎫S 2－12，得1S 2＝1＋2S 1S 1＝2＋11＝3，由S 23＝(S 3－S 2)⎝⎛⎭⎫S 3－12，得1S 3＝2＋1S 2＝5，由S 24＝(S 4－S 3)⎝⎛⎭⎫S 4－12，得1S 4＝2＋1S 3＝7，…由S 2n ＝(S n －S n －1)⎝⎛⎭⎫S n －12，得1S n ＝2＋1S n －1＝2n －1.(2)由(1)知，S n ＝12n －1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －1－12n －3＝－2(2n －1)(2n －3)，显然，a 1＝1不符合上述表达式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎨⎧ 1，n ＝1，－2(2n －1)(2n －3)，n ≥2.12．解 (1)第六行的所有6个数字分别是6,16,25,25,16,6.(2)依题意a n ＋1＝a n ＋n (n ≥2)，a 2＝2，a n ＝a 2＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋2＋3＋…＋(n －1)＝2＋(n －2)(n ＋1)2， 所以a n ＝12n 2－12n ＋1(n ≥2)． 13．解 (1)a n ＋1＋a n －1a n ＋1－a n ＋1＝n . 当n ＝3时，a 4＋a 3－1a 4－a 3＋1＝3. ∵a 4＝28，∴a 3＝15；当n ＝2时，a 3＋a 2－1a 3－a 2＋1＝2. ∵a 3＝15，∴a 2＝6；当n ＝1时，a 2＋a 1－1a 2－a 1＋1＝1. ∵a 2＝6，∴a 1＝1.(2)猜想a n ＝n (2n －1)．①当n ＝1时，a 1＝1，而a 1＝1×(2×1－1)＝1，等式成立． ②假设当n ＝k 时，等式成立， 即a k ＝k (2k －1)．则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＋a k －1a k ＋1－a k ＋1＝k ，a k ＋1＋k (2k －1)－1a k ＋1－k (2k －1)＋1＝k ， 整理，得(1－k )a k ＋1＝－2k 3－k 2＋2k ＋1 ＝(2k ＋1)(1－k 2)，a k ＋1＝(1＋k )(2k ＋1)＝(k ＋1)[2(k ＋1)－1]， 等式也成立．综合①②可知，n ∈N *时，等式成立．。

人教版高二数学教材的数学推理与证明数学是一门理性思维的学科，而数学推理与证明则是培养学生逻辑思维能力和创造力的关键。

作为人教版高二数学教材的重要内容，数学推理与证明不仅为学生提供了解题的思路和方法，还通过各种题型和例题，引导学生从观察、猜想、证明三个阶段，逐步提高他们的证明能力。

本文将从几个方面介绍人教版高二数学教材中关于数学推理与证明的内容，并总结其教学特点和意义。

一、数学推理与证明在数学教材中的位置人教版高二数学教材将数学推理与证明作为数学教学的重点和难点内容之一，并在各章节中设置了专门的篇章来介绍和讲解。

数学推理与证明从几何学、代数学等不同角度进行，覆盖了高二数学教学的几个重要领域。

通过数学推理与证明的学习，学生能够更好地理解和运用所学的数学知识，提高数学思维能力和解题能力。

二、数学推理与证明的教学内容1. 几何推理与证明：人教版高二数学教材中的几何部分，重点介绍了几何知识的推理与证明。

学生通过学习几何定理和性质，从观察实例出发，逐步形成猜测和推理的能力。

同时，教材提供了大量的例题和习题，引导学生进行几何证明，培养他们的证明能力。

2. 代数推理与证明：除了几何推理与证明，人教版高二数学教材还涉及了代数推理与证明。

通过学习代数方程、不等式、函数等内容，培养学生的代数推理与证明能力。

同时，教材还提供了丰富的例题和实践题，帮助学生运用代数推理与证明解决实际问题。

3. 综合推理与证明：在数学学习中，很多问题需要进行多学科的综合推理与证明。

人教版高二数学教材中，通过真实场景、实际问题等方式，引导学生进行数学知识的综合运用和推理证明，培养他们的综合思维和解决问题的能力。

三、数学推理与证明的教学特点1. 逐步推进：人教版高二数学教材的数学推理与证明教学，从简单到复杂，从易到难，逐步推进。

通过例题和习题的设置，让学生在观察、猜想、证明的过程中，逐渐提高他们的证明能力。

2. 强调思维方法：在数学推理与证明的教学过程中，人教版高二数学教材注重培养学生的思维方法。

推理与证明一、推理1.推理 ：前提、结论2.合情推理:合情推理可分为归纳推理和类比推理两类：（1）归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理。

简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理（2）类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。

3.演绎推理:从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。

重难点：利用合情推理的原理提出猜想，利用演绎推理的形式进行证明题型1 用归纳推理发现规律1、观察：715211+<； 5.516.5211+<； 33193211-++<；….对于任意正实数,a b ，试写出使211a b +≤成立的一个条件可以是 ____.2、蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以()f n 表示第n 幅图的蜂巢总数.则(4)f =_____;()f n =___________.题型2 用类比推理猜想新的命题3、已知正三角形内切圆的半径是高的13，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是______. 【名师指引】（1）不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比（2）类比推理常见的情形有：平面向空间类比；低维向高维类比；等差数列与等比数列类比；实数集的性质向复数集的性质类比；圆锥曲线间的类比等二、直接证明与间接证明三种证明方法:综合法、分析法、反证法反证法：它是一种间接的证明方法.用这种方法证明一个命题的一般步骤：(1) 假设命题的结论不成立； (2) 根据假设进行推理,直到推理中导出矛盾为止(3) 断言假设不成立(4) 肯定原命题的结论成立所谓矛盾是指：与假设矛盾；与数学公理、定理、公式、定义或已证明了的结论矛盾；与公认的简单事实矛盾）。

高二数学第四讲推理与证明解读新课标一、知识要点点拨1.推理：根据几个或一个已知的事实（或假设）得出一个判断的思维方式叫做推理。

推理包括合情推理与演绎推理，其中合情推理又分为归纳推理和类比推理。

●归纳推理：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理。

★特殊一般★或然性（前提真而结论假是可能的）★对于一类事物从个别到一般的推理（纵向拓展）★一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）。

★解题思路：观察分析——找规律——猜想●类比推理：根据两类不同事物之间具有某些类似（或一致）性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似（或相同）的性质的推理。

★特殊特殊★猜测性（结果不一定可靠，但却有发现的功能）★从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性（横向推测）★一般步骤：①找出两类事物之间的形似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）。

★解题思路：观察分析——找相似性——猜想●演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，把这种推理称为演绎推理。

★一般特殊★演绎推理是根据已有的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到的新的命题（演绎推理得到的结论一定是正确的）★“三段论”：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况作出判断★解题思路：分析小前提——联系大前提——推出正确结论2.证明：包括直接证明与间接证明●直接证明：从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。

包括以下几种常见方法：◆综合法：从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论。

★从原因推导结果★如果要证明的命题是“若A则B”，那么综合法的逻辑思维过程是“A→C→D→…→B”（C、D是使命题A成立的若干必要条件）实。

★从结果追溯原因★如果要证明的命题是“若A 则B ”，那么分析法的逻辑思维过程是“B ←D ←C ←…←A ”（C 、D 是使B 成立的若干充分条件）★分析法的特点是执果索因，从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”综合法与分析法的联系：运用综合法叙述推理过程，简明扼要，条理清楚，但是，前进的道路往往不止一条，所以每逢歧路，选择甚难，有时从条件出发，想不到从何处入手才有效，而分析法执果索因，寻根容易，便于思考。