苏教版高二数学推理与证明PPT教学课件
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苏教版高二数学选修2-2 第2章推理与证明 章末专题整合 课件(26张)
栏目 导引
第2章 推理与证明
(2)反证法 ①反证法是一种间接证明的方法，它的理论基础是互为逆 否命题的两个命题为等价命题，它反映了“正难则反”的 思想． ②反证法着眼于命题的转换，改变了研究的角度和方向， 使论证的目标更为明确，由于增加了推理的前提——原结 论的否定，更易于开拓思路，因此对于直接论证较为困难 的时候，往往采用反证法证明．所以反证法在数学证明中 有着广泛的应用．
栏目 导引
第2章 推理与证明
令 cos θ ＝t，∵0≤θ ≤π2 ，∴0≤t≤1. 于是问题转化为对一切 0≤t≤1， 不等式 t2－mt＋2m－2>0 恒成立． ∴t2－2>m(t－2)，即 m>tt2－－22恒成立． 又∵tt2－－22＝(t－2)＋t－2 2＋4≤4－2 2， ∴m>4－2 2. ∴存在实数 m 满足题设的条件，m>4－2 2.
（2k＋3）2 4（k＋1）
＝
4（k＋1）2＋4（k＋1）＋1 4（k＋1）
栏目 导引
第2章 推理与证明
＝
k＋1＋1＋4（k＋1 1） > k＋1＋1，
即当 n＝k＋1 时，不等式成立．
由(1)(2)可得，不等式b1b＋1 1·b2b＋2 1·…·bnb＋n 1> n＋1对 任意的 n∈N*都成立．所以对∀n∈N*，原不等式成立．
栏目 导引
第2章 推理与证明
求证：以过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点的弦为直径的圆 必与直线 x＝－p2相切． [证明] 如图所示，过点 A、B 分别作 AA′、BB′垂直准线于 点 A′、B′，取 AB 的中点 M，作 MM′垂直准线于点 M′. 法一：(分析法)要证以 AB 为直径的圆与准线相切，只需证 |MM′|＝12|AB|. 由抛物线的定义得|AA′|＝|AF|，|BB′| ＝|BF|， 所以|AB|＝|AA′|＋|BB′|， 因此只需证|MM′|＝12(|AA′|＋|BB′|)．
第2章 推理与证明
(2)反证法 ①反证法是一种间接证明的方法，它的理论基础是互为逆 否命题的两个命题为等价命题，它反映了“正难则反”的 思想． ②反证法着眼于命题的转换，改变了研究的角度和方向， 使论证的目标更为明确，由于增加了推理的前提——原结 论的否定，更易于开拓思路，因此对于直接论证较为困难 的时候，往往采用反证法证明．所以反证法在数学证明中 有着广泛的应用．
栏目 导引
第2章 推理与证明
令 cos θ ＝t，∵0≤θ ≤π2 ，∴0≤t≤1. 于是问题转化为对一切 0≤t≤1， 不等式 t2－mt＋2m－2>0 恒成立． ∴t2－2>m(t－2)，即 m>tt2－－22恒成立． 又∵tt2－－22＝(t－2)＋t－2 2＋4≤4－2 2， ∴m>4－2 2. ∴存在实数 m 满足题设的条件，m>4－2 2.
（2k＋3）2 4（k＋1）
＝
4（k＋1）2＋4（k＋1）＋1 4（k＋1）
栏目 导引
第2章 推理与证明
＝
k＋1＋1＋4（k＋1 1） > k＋1＋1，
即当 n＝k＋1 时，不等式成立．
由(1)(2)可得，不等式b1b＋1 1·b2b＋2 1·…·bnb＋n 1> n＋1对 任意的 n∈N*都成立．所以对∀n∈N*，原不等式成立．
栏目 导引
第2章 推理与证明
求证：以过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点的弦为直径的圆 必与直线 x＝－p2相切． [证明] 如图所示，过点 A、B 分别作 AA′、BB′垂直准线于 点 A′、B′，取 AB 的中点 M，作 MM′垂直准线于点 M′. 法一：(分析法)要证以 AB 为直径的圆与准线相切，只需证 |MM′|＝12|AB|. 由抛物线的定义得|AA′|＝|AF|，|BB′| ＝|BF|， 所以|AB|＝|AA′|＋|BB′|， 因此只需证|MM′|＝12(|AA′|＋|BB′|)．
高中数学 第2章 推理与证明 2.1.3 推理案例赏析课件 苏教版选修1-2.pptx
知识梳理
4
知识点一 合情推理与演绎推理的区别与联系
合情推理
演绎推理
根据已有的事实和正确的结 _根__据__已__有__的__事__实__和__正__确__的___
论(包括实验和实践的结果)， _结__论__(_包__括__定__义__、__公__理__、__定__ 定义
以及个人的经验和直觉等推 _理__等__)_，__按__照__严__格__的__逻__辑__法__
结论
进一步证明
_提__下__，__得__到__的__结__论__一__定__正__确__
区
别
具有猜测和发现结论，探 按照严格的逻辑法则推理，有利
——————————————
作用 索和提供思路的作用，利 于培养和提高逻辑证明的能力
——————————————
于创新数学结论、证明思路
2n＋1 解 由例 1 知，an＝n2＋1，
故 bn＝2nn2＋＋11－n2＋1 1＝n22＋n 1＝n＋2 n1≤1(当且仅当 n＝1 时等号成立).
故数列{bn}的最大项为a1＝1.
10 解答
反思与感悟
运用归纳推理猜测一般结论，关键在于挖掘事物的变化规律和相互关 系，可以对式子或命题进行适当转换，使其中的规律明晰化.
12345
解析 28 答案
4.下列各图均由全等的小等边三角形组成，观察规律，归纳出第n个图形 中小等边三角形的个数为___n_2____.
解析 前4个图中小等边三角形的个数分别为1,4,9,16. 猜测：第n个图形中小等边三角形的个数为n2.
12345
解析 29 答案
5.在Rt△ABC中，若∠C＝90°，则cos2A＋cos2B＝1，在立体几何中，给 出四面体性质的猜想.
高中数学苏教版选修2-2第2章《推理与证明》(2.2.1)ppt课件
2.2.1
探究点二 分析法 问题 1 回顾一下：基本不等式a＋2 b≥ ab(a>0，b>0)是怎样
证明的？
本
课 时 栏
答案 要证a＋2 b≥ ab，
目 开
只需证 a＋b≥2 ab，
关 只需证 a＋b－2 ab≥0，
只需证( a－ b)2≥0，
因为( a－ b)2≥0 显然成立，所以原不等式成立.
证明 由 A，B，C 成等差数列，有 2B＝A＋C，
①
本
课
时 栏
由 A，B，C 为△ABC 的三个内角，所以 A＋B＋C＝π. ②
目
开 关
由①②，得 B＝π3，
③
由 a，b，c 成等比数列，有 b2＝ac，
④
由余弦定理及③，可得 b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac，
再由④，得 a2＋c2－ac＝ac，即(a－c)2＝0，
目
开 止，这种证明方法叫做分析法.
关
问题 3 综合法和分析法的区别是什么？ 答案 综合法是从已知条件出发，逐步推向未知，每步寻找 的是必要条件；分析法是从待求结论出发，逐步靠拢已知， 每步寻找的是充分条件.
2.2.1
例 2 求证： 3＋ 7<2 5. 证明 因为 3＋ 7和 2 5都是正数，所以要证 3＋ 7 <2 5，只需证( 3＋ 7)2<(2 5)2，
2.2.1
从而 a＝c，所以 A＝C.
⑤
本 由②③⑤，得 A＝B＝C＝3π，所以△ABC 为等边三角形.
课 时
小结 综合法的证明步骤如下：
栏 目
(1)分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合
开 关
理选择相关定义、定理等；
【教育课件】高中数学苏教版选修2-2第2章《推理与证明》2.2.2课件ppt.ppt
理、事实 矛盾等.
2.2.2
探究点一 反证法的概念
本 问题 1 王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍.一天，他们发现
课 时
路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，
栏 目
独有王戎没动，等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！
开 关
他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：
“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了
李子，所以李子一定是苦的.”
这就是著名的“道旁苦李”的故事.王戎的论述，运用了什
么方法？
2.2.2
答案 反证法.
问题 2 上述方法的含义是什么？
答案 假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成
本 课
立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，
时 栏
从而证明了原命题成立，这样的证明方法称为反证法.
栏 目
个平面 β.
开
关 因为 a⊄α，而 a⊂β，
所以 α 与 β 是两个不同的平面.
因为 b⊂α，且 b⊂β， 所以 α∩β＝b.
2.2.2
下面用反证法证明直线 a 与平面 α 没有公共点.假设直线 a 与
平面 α 有公共点 P，则 P∈α∩β＝b，即点 P 是直线 a 与 b 的
本 公共点，这与 a∥b 矛盾.
∴( a－ c)2＝0.
即 a＝ c，
从而 a＝b＝c，与 a，b，c 不成等差数列矛盾， 故 a， b， c不成等差数列.
2.2.2
探究点四 用反证法证明“至多”、“至少”“唯一”型命题 例 3 若函数 f(x)在区间[a，b]上是增函数，那么方程 f(x)＝0
在区间[a，b]上至多有一个实根.
高中数学第2章推理与证明2.2.1直接证明课件苏教版选修1-2
我还有这些不足： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________ 我的课下提升方案： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________
↓
转化条件 组织过程
→
把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是 文字、符号、图形三种语言之间的转化，组织过程时要 有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路
↓
适当调整 回顾反思
→
解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整， 并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法 的选取
2.用综合法证明不等式时常用的结论 (1)ab≤a＋2 b2≤a2＋2 b2(a，b∈R)； (2)a＋b≥2 ab(a≥0，b≥0).
阶
阶
段
段
一
三
2.2 直接证明与间接证明
2.2.1 直接证明
学
阶 段 二
业 分 层 测
评
1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法的证明思路与步骤.(重 点)
2.会用综合法、分析法证明一些数学问题.(重点、难点) 3.综合法、分析法的格式区别.(易混点)
[基础·初探] 教材整理 直接证明 阅读教材 P46～P48“练习”以上部分，完成下列问题. 直接证明 直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种证明通常称为直接证明.
高中数学苏教版选修2-2第2章《推理与证明》(2.1.2)ppt课件
2.1.2
跟踪训练 2 指出下列推理中的错误，并分析产生错误的原
因：
本 (1)因为中国的大学分布在中国各地，
大前提
课 北京大学是中国的大学，
小前提
时
栏 所以北京大学分布在中国各地.
结论
目
开 (2)因为所有边长都相等的凸多边形是正多边形， 大前提
关
而菱形是所有边长都相等的凸多边形，
小前提
所以菱形是正多边形.
直线的同旁内角，那么∠A＋∠B＝180°.
2.1.2
答案 问题中的推理都是从一般性的原理出发，推出某个特 殊情况下的结论，我们把这种推理叫演绎推理.
问题 2 演绎推理有什么特点？
本
课 时
答案 演绎推理是从一般到特殊的推理.演绎推理的前提是
栏 目
一般性原理，结论是蕴含于前提之中的个别、特殊事实.
开 关
1.下面几种推理过程是演绎推理的是________.
本 ①两条直线平行，内错角相等，如果∠A 与∠B 是两条平行
课 时
直线的内错角，则∠A＝∠B
栏 目
②某校高三 1 班有 55 人，2 班有 54 人，3 班有 52 人，由此
开 关
得高三所有班人数超过 50 人
③由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质
证明 三角形的中位线平行于底边， 点 E、F 分别是 AB、AD 的中点， 所以 EF∥BD.
大前提 小前提
结论
2.1.2
若平面外一条直线平行于平面内一条直线则直线与此平面平
本 课
行，
时 栏
EF⊄平面 BCD，BD⊂平面 BCD，EF∥BD，
目
开 关
EF∥平面 BCD.
大前提 小前提
高中数学苏教版选修2-2第2章《推理与证明》(2.2.1习题课)ppt课件
关
习题课
试一试 研一研
题型一 选择恰当的方法证明不等式
本 例 1 设 a，b，c 为任意三角形三边长，I＝a＋b＋c，S＝
课 ab＋bc＋ca，试证：3S≤I2<4S.
时
栏 目
证明 I2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca
开 关
＝a2＋b2＋c2＋2S.
欲证 3S≤I2<4S，
试一试 研一研
习题课
题型二 选择恰当的方法证明等式
例 2 已知△ABC 的三个内角 A，B，C 成等差数列，对应的 三边为 a，b，c，求证：a＋1 b＋b＋1 c＝a＋3b＋c.
本 课
证明 要证原式，只需证a＋a＋b＋b c＋a＋b＋b＋c c＝3，
时 栏 目
即证a＋c b＋b＋a c＝1，
开 关
习题课
试一试 研一研
跟踪训练 2 设实数 a，b，c 成等比数列，非零实数 x，y 分 别为 a 与 b，b 与 c 的等差中项，试证：ax＋yc＝2.
证明 由已知条件得
本
课 时
b2＝ac，
①
栏 2x＝a＋b,2y＝b＋c.
②
目
开 关
要证ax＋cy＝2，
只要证 ay＋cx＝2xy，
只要证 2ay＋2cx＝4xy.
只需证 a2－ab－ac＋b2－ab－bc＋c2－bc－ca<0，
时 栏
即 a(a－b－c)＋b(b－c－a)＋c(c－b－a)<0，
目
开 只需证 a<b＋c，且 b<c＋a，且 c<b＋a，
关
由于 a、b、c 为三角形的三边长，上述三式显然成立，
故有 3S≤I2<4S.
高中数学 第二章 推理与证明 2.1.1 第1课时 合情推理
解析 答案
引申探究 在本例中，若把“fn(x)＝fn－1(fn－1(x))”改为“fn(x)＝f(fn－1(x))”，其他 条件不变，试猜想fn(x)(n∈N*)的表达式.
解答
反思与感悟 在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或 前n项和. (1)通过已知条件求出数列的前几项或前n项和. (2)根据数列中的前几项或前n项和与对应序号之间的关系求解. (3)运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式.
解析 答案
(2)观察下列等式，并从中归纳出一般结论. 1＝12， 2＋3＋4＝32， 3＋4＋5＋6＋7＝52， 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72， 5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝92， …… 解 等号的左端是连续自然数的和，且项数为2n－1，等号的右端是项数 的平方. 所以猜想结论：n＋(n＋1)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2(n∈N*).
[思考辨析 判断正误] 1.由个别到一般的推理为归纳推理.( √ ) 2.归纳的前提是特殊现象，归纳是立足于观察或实验的基础上的，结论一 定正确.( × )
题型探究
类型一 数列中的归纳推理 例 则1f3(x已) 知的f(表x)＝达f13－(式xx)x，＝为设1－_fx_14_(x_x_)＝__f_(_x_)，__fn，(x)猜＝f想n－fn1((xfn)(－n∈1(Nx)*)()fnn(的>x)1＝，表1且－达n2x∈式n－N1为x*)， ______________.
知识点二 归纳推理
思考 (1)铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想：一切金属都能导电. (2)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体. 以上属于什么推理？ 答案 属于归纳推理.符合归纳推理的定义特征，即由部分对象具有某些 特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理.
引申探究 在本例中，若把“fn(x)＝fn－1(fn－1(x))”改为“fn(x)＝f(fn－1(x))”，其他 条件不变，试猜想fn(x)(n∈N*)的表达式.
解答
反思与感悟 在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或 前n项和. (1)通过已知条件求出数列的前几项或前n项和. (2)根据数列中的前几项或前n项和与对应序号之间的关系求解. (3)运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式.
解析 答案
(2)观察下列等式，并从中归纳出一般结论. 1＝12， 2＋3＋4＝32， 3＋4＋5＋6＋7＝52， 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72， 5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝92， …… 解 等号的左端是连续自然数的和，且项数为2n－1，等号的右端是项数 的平方. 所以猜想结论：n＋(n＋1)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2(n∈N*).
[思考辨析 判断正误] 1.由个别到一般的推理为归纳推理.( √ ) 2.归纳的前提是特殊现象，归纳是立足于观察或实验的基础上的，结论一 定正确.( × )
题型探究
类型一 数列中的归纳推理 例 则1f3(x已) 知的f(表x)＝达f13－(式xx)x，＝为设1－_fx_14_(x_x_)＝__f_(_x_)，__fn，(x)猜＝f想n－fn1((xfn)(－n∈1(Nx)*)()fnn(的>x)1＝，表1且－达n2x∈式n－N1为x*)， ______________.
知识点二 归纳推理
思考 (1)铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想：一切金属都能导电. (2)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体. 以上属于什么推理？ 答案 属于归纳推理.符合归纳推理的定义特征，即由部分对象具有某些 特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理.
高中数学 第2章 推理与证明 2.合情推理课件 苏教选修12苏教高二选修12数学课件
③由圆 x2＋y2＝r2 的面积 πr2，猜想出椭圆ax22＋by22＝1 的面积 S＝πab；
④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇. 解析(jiě xī) 从S1，S2，S3猜想出数列的前n项和Sn是从特
珠到一般的推理. 答案 ②
第三十六页，共四十八页。
1234
2.下图为一串白黑相间排列的珠子(zhū zi)，按这种规律往下排起 来，那么第36颗珠子的颜色是________.
第二十六页，共四十八页。
要点三 平面图形与空间图形的类比 例3 三角形与四面体有下列相似性质：
(1)三角形是平面内由直线段围成的最简单(jiǎndān)的封闭图形；四面体是空 间中由三角形围成的最简单(jiǎndān)的封闭图形.
(2)三角形可以看作是由一条线段所在直线外一点与这条线段的两个 端点的连线所围成的图形；四面体可以看作是由三角形所在平面外 一点与这个三角形三个顶点的连线所围成的图形.
要点一 归纳推理(ɡuī nà tuī lǐ)的应用
例1 观察如图所示的“三角数阵”
1
…………第1行
22
…………第2行
34 3
…………第3行
4774
…………第4行
5 11 14 11 5
…………第5行
…………
第十一页，共四十八页。
记第n(n＞1)行的第2个数为an(n≥2，n∈N*)，请仔细观察上述“三角 数阵”的特征，完成下列各题： (1)第6行的6个数依次为_______6_、_____1_6__、____2_5___、 ____2_5___、__1_6_____、_6_______； 解 由数阵可看出，除首末两数外，每行中的数都等于(děngyú)它上一行的
肩膀上的两数之和，且每一行的首末两数都等于(děngyú)行数.
④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇. 解析(jiě xī) 从S1，S2，S3猜想出数列的前n项和Sn是从特
珠到一般的推理. 答案 ②
第三十六页，共四十八页。
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2.下图为一串白黑相间排列的珠子(zhū zi)，按这种规律往下排起 来，那么第36颗珠子的颜色是________.
第二十六页，共四十八页。
要点三 平面图形与空间图形的类比 例3 三角形与四面体有下列相似性质：
(1)三角形是平面内由直线段围成的最简单(jiǎndān)的封闭图形；四面体是空 间中由三角形围成的最简单(jiǎndān)的封闭图形.
(2)三角形可以看作是由一条线段所在直线外一点与这条线段的两个 端点的连线所围成的图形；四面体可以看作是由三角形所在平面外 一点与这个三角形三个顶点的连线所围成的图形.
要点一 归纳推理(ɡuī nà tuī lǐ)的应用
例1 观察如图所示的“三角数阵”
1
…………第1行
22
…………第2行
34 3
…………第3行
4774
…………第4行
5 11 14 11 5
…………第5行
…………
第十一页，共四十八页。
记第n(n＞1)行的第2个数为an(n≥2，n∈N*)，请仔细观察上述“三角 数阵”的特征，完成下列各题： (1)第6行的6个数依次为_______6_、_____1_6__、____2_5___、 ____2_5___、__1_6_____、_6_______； 解 由数阵可看出，除首末两数外，每行中的数都等于(děngyú)它上一行的
肩膀上的两数之和，且每一行的首末两数都等于(děngyú)行数.
【高中课件】高中数学苏教版选修22第二章推理与证明复习与小结课件ppt.ppt
是等差数列．类比上述性质，若数列{cn}是各项都为正数的等比数列，对于
dn＞0，则dn＝
时，数列{dn}也是等比数列．
二、数学运用
例2 若△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，分别用综合法
和分析法证明：
c a＋b
＋
a b＋c
＝1
．
分析法和综合法是两种常用的直接证明方法． 分析法的特点是执果索因，综合法的特点是由因导果. 分析法常用来探寻解题思路，综合法常用来书写解题过程．
二、数学运用
例4 已知数列{an}，an ≥0， a1 ＝0，an＋12＋an＋1 －1＝ an 2(n∈N*)
记Sn ＝ a1 ＋a2＋…＋an
Tn＝1＋1a1
＋
(1＋a1
1 )(1＋a2
)
＋
＋
(1＋a1
1 )(1＋a2
)
(1＋an
)
求证：当n∈N*时，（1） an＜an＋1
（2） Sn＞n－2
（3） Tn＜3
三、课堂总结
从知识、方法、收获三个方面进行小 结，明确推理、归纳推理的概念及彼此间关 系．认识数学本质，把握数学本质，增强创 新意识，提高创新能力．
四、课后作业 教材第102-103页复习题 第3题，第4题，第5题，
第9题，第12题，第13题.
二、数学运用
例3 已知A，B，C∈(0，1)， 求证：(1－a)b， (1－b)c， (1－c)a不能同时大于
1
．
4
用反证法证明命题“若p则q”时，可能会出现以下三种情况： （1）导出非p为真，即与原命题的条件矛盾； （2）导出q为真，即与假设“非q为真”矛盾； （3）导出一个恒假命题．
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合情推理的结论不一定正确,有待证明; 演绎推理得到的结论一定正确.
合情推理与演绎推理的相关说明：
1 演绎推理是证明数学结论、建立数 学体系的重要思维过程. 2 数学结论、证明思路的发现,主要 靠合情推理.
第二节 水的电离和溶液的酸碱性
第一课时
知识回顾：
1、什么是pH？酸性的pH_______;中性的pH_________;碱性的 pH_________。
D、55.6
平衡常数：K 电离＝
2.一切奇数都不能被2整除, (2100+1)是奇数,
所以，(2100+1)不能被2整除.
3.三角函数都是周期函数,
tan 三角函数, 所以 tan 周期函数
大前提 小前提 结论
大前提 小前提 结论
大前提 小前提 结论
演绎推理
例1、把“函数y x2 x 1的图象是一条抛物线”
恢复成完全三段论。
tan 三角函数, tan 周期函数
是合情推 理吗？
演绎推理
从一般性的原理出发，推出某个特殊情况 下的结论，这种推理称为演绎推理．
注： １．演绎推理是由一般到特殊的推理； ２．“三段论”是演绎推理的一般模式；包 括 ⑴大前提---已知的一般原理； ⑵小前提---所研究的特殊情况； ⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出 的判断．
复习:合情推理
▪ 归纳推理 ▪ 类比推理
从特殊到一般 从特殊到特殊
从具体问 题出发
观察、分析 比较、联想
归纳 类比
提出猜想
观察与是思考
1.所有的金属都能导电, 铜是金属, 铜能够导电.
2.一切奇数都不能被2整除, (2100+1)是奇数, (2100+1)不能被2整除.
3.三角函数都是周期函数,
三段论的基本格式
M—P（M是P） S—M（S是M） S—P（S是P）
（大前提） （小前提）
（结论）
注：
3.三段论推理的依据,用集合的观点来理解:
若集合M的所有元素都具有性质P,S是M的一个 子集,那么S中所有元素也都具有性质P.
M
a
•
S
观察与是思考 1.所有的金属都能导电, 铜是金属, 所以，铜能够导电.
2、水的pH_________，水中有没有H+、OH- ？
一、水的电离 +
H2O + H2O [定性讨论]
H3O+ + OH- 简写： H2O
▪ 纯水的组成微粒有哪些？
▪ 作为弱电解质，水的电离平衡受哪些外界因素影响？
温度、离子浓度（H+、OH-）等影响
在水中投入金属钠，对水的电离平衡有无影响？
[定量讨论]阅读教材P45---P46
证明:
满足对于任意x1,x2∈D,若x1<x2,有f(x1)<f(x2) 成立的函数f(x),是区间D上的增函数.
大前提
任取x1,x2 ∈(-∞,1] 且x1<x2 , f(x1)-f(x2)=(-x12+2x1)-(x22+2x2)
=(x2-x1)(x1+x2-2) 因为x1<x2所以 x2-x1>0 因为x1,x2≤1所以x1+x2-2<0 因此f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2)
所以函数f(x)=-x2+2x在(-∞,1]上是增函数.
小前提 结论
推理
合情推理
演绎推理
归纳
类比
三段论
(特殊到一般） （特殊到特殊）（一般到特殊）
合情推理与演绎推理的区别:
▪ 1 特点 ①归纳是由特殊到一般的推理;
②类比是由特殊到特殊的推理; ③演绎推理是由一般到特殊的
推理.
▪ 2 从推理的结论来看：
（2）函数y 2x 5的图象是一条直线 .
演绎推理（练习）
（1） 一条边的平方等于其它两条边的平方和的三角形是直角三角形 （大前提）
ABC的三边长依次为3，4，5，而52 42 32 （小前提）
ABC是直角三角形 （2）
一次函数y kx b(k 0)的图象是一条直线 函数y 2x 5是一次函数
所以△ABD是直角三角形
A
M
B
(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,大前提
M是Rt△ABD斜边AB的中点,DM是斜边上的中线 小前提
所以 DM= 1AB
结论
2
同理 EM= 1 AB
2
所以 DM = EM
演绎推理（练习）
练习1：把下列推理恢复成完全的三段论:
（1）因为ABC三边长依次为 3，4，5，所以ABC 是直角三角形；
一、水的电离
1.水是一种极弱的电解质，能微弱的电离:
例、水室是温一下种1极L(弱55的.6m电o解l)质水，中在电室离温的下只,有平1均0—每7mn个ol分子只有1个分子发生电离，则n值
是： 1000/18:10—7= n :1
55.6 :10—7 = n :1
A、10-14 B、55.6×107 C、107
（结论）
（大前提） （小前提）
函数y 2x 5的图象是一条直线
（结论）
练习2. 指出下列推理中的错误,并分析产生错误的原因;
(1)整数是自然数,
-3是整数,
大
前
-3是自然数;
提
(2)无理数是无限小数,
1（ 0.333）是无限小数,
错 误
3
1 是无理数. 3
练习3:证在明证函明数过f(程x)中=-注x2+明2x三在(段-∞论,1]上是增函数.
思考1:纯水中c(H+)与c(OH-)大小有何关系？
由水电离出的H+、OH-的物质的量相等 思考2:在25℃下， c(H+) 、 c(OH-)等于多少?
说明水的电离程度如何？
+
H+ + OH-
25℃时，水电离出来的 c(H+) = c(OH-)=10-7mol/L 水是一种极弱的电解质（通常的电流表无法检验其中离子）
lg0.8=lg8-lg10=3lg2-1
大前提 小前提 结论 大前提
小前提
结论
例3.如图;在锐角三角形ABC中,AD⊥BC, BE⊥AC,
D,E是垂足,求证AB的中点M到D,E的距离相等.
证明:(1)因为有一个内角是只直角的 大前提 E C
三角形是直角三角形,
D
在△ABC中,AD⊥BC,即∠ADB=900 小前提
解：二次函数的图象是一条抛物线
函数y x2 x 1是二次函数
（大前提）
（小前提）
所以，函数 y x2 x 1的图象是一条抛物线（ 结论）
例2.已知lg2=m,计算lg0.8 解 （1） lgan=nlga(a>0)
lg8=lg23 lg8=3lg2 lg(a/b)=lga-lgb(a>0,b>0) lg0.8=lg(8/10)
合情推理与演绎推理的相关说明：
1 演绎推理是证明数学结论、建立数 学体系的重要思维过程. 2 数学结论、证明思路的发现,主要 靠合情推理.
第二节 水的电离和溶液的酸碱性
第一课时
知识回顾：
1、什么是pH？酸性的pH_______;中性的pH_________;碱性的 pH_________。
D、55.6
平衡常数：K 电离＝
2.一切奇数都不能被2整除, (2100+1)是奇数,
所以，(2100+1)不能被2整除.
3.三角函数都是周期函数,
tan 三角函数, 所以 tan 周期函数
大前提 小前提 结论
大前提 小前提 结论
大前提 小前提 结论
演绎推理
例1、把“函数y x2 x 1的图象是一条抛物线”
恢复成完全三段论。
tan 三角函数, tan 周期函数
是合情推 理吗？
演绎推理
从一般性的原理出发，推出某个特殊情况 下的结论，这种推理称为演绎推理．
注： １．演绎推理是由一般到特殊的推理； ２．“三段论”是演绎推理的一般模式；包 括 ⑴大前提---已知的一般原理； ⑵小前提---所研究的特殊情况； ⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出 的判断．
复习:合情推理
▪ 归纳推理 ▪ 类比推理
从特殊到一般 从特殊到特殊
从具体问 题出发
观察、分析 比较、联想
归纳 类比
提出猜想
观察与是思考
1.所有的金属都能导电, 铜是金属, 铜能够导电.
2.一切奇数都不能被2整除, (2100+1)是奇数, (2100+1)不能被2整除.
3.三角函数都是周期函数,
三段论的基本格式
M—P（M是P） S—M（S是M） S—P（S是P）
（大前提） （小前提）
（结论）
注：
3.三段论推理的依据,用集合的观点来理解:
若集合M的所有元素都具有性质P,S是M的一个 子集,那么S中所有元素也都具有性质P.
M
a
•
S
观察与是思考 1.所有的金属都能导电, 铜是金属, 所以，铜能够导电.
2、水的pH_________，水中有没有H+、OH- ？
一、水的电离 +
H2O + H2O [定性讨论]
H3O+ + OH- 简写： H2O
▪ 纯水的组成微粒有哪些？
▪ 作为弱电解质，水的电离平衡受哪些外界因素影响？
温度、离子浓度（H+、OH-）等影响
在水中投入金属钠，对水的电离平衡有无影响？
[定量讨论]阅读教材P45---P46
证明:
满足对于任意x1,x2∈D,若x1<x2,有f(x1)<f(x2) 成立的函数f(x),是区间D上的增函数.
大前提
任取x1,x2 ∈(-∞,1] 且x1<x2 , f(x1)-f(x2)=(-x12+2x1)-(x22+2x2)
=(x2-x1)(x1+x2-2) 因为x1<x2所以 x2-x1>0 因为x1,x2≤1所以x1+x2-2<0 因此f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2)
所以函数f(x)=-x2+2x在(-∞,1]上是增函数.
小前提 结论
推理
合情推理
演绎推理
归纳
类比
三段论
(特殊到一般） （特殊到特殊）（一般到特殊）
合情推理与演绎推理的区别:
▪ 1 特点 ①归纳是由特殊到一般的推理;
②类比是由特殊到特殊的推理; ③演绎推理是由一般到特殊的
推理.
▪ 2 从推理的结论来看：
（2）函数y 2x 5的图象是一条直线 .
演绎推理（练习）
（1） 一条边的平方等于其它两条边的平方和的三角形是直角三角形 （大前提）
ABC的三边长依次为3，4，5，而52 42 32 （小前提）
ABC是直角三角形 （2）
一次函数y kx b(k 0)的图象是一条直线 函数y 2x 5是一次函数
所以△ABD是直角三角形
A
M
B
(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,大前提
M是Rt△ABD斜边AB的中点,DM是斜边上的中线 小前提
所以 DM= 1AB
结论
2
同理 EM= 1 AB
2
所以 DM = EM
演绎推理（练习）
练习1：把下列推理恢复成完全的三段论:
（1）因为ABC三边长依次为 3，4，5，所以ABC 是直角三角形；
一、水的电离
1.水是一种极弱的电解质，能微弱的电离:
例、水室是温一下种1极L(弱55的.6m电o解l)质水，中在电室离温的下只,有平1均0—每7mn个ol分子只有1个分子发生电离，则n值
是： 1000/18:10—7= n :1
55.6 :10—7 = n :1
A、10-14 B、55.6×107 C、107
（结论）
（大前提） （小前提）
函数y 2x 5的图象是一条直线
（结论）
练习2. 指出下列推理中的错误,并分析产生错误的原因;
(1)整数是自然数,
-3是整数,
大
前
-3是自然数;
提
(2)无理数是无限小数,
1（ 0.333）是无限小数,
错 误
3
1 是无理数. 3
练习3:证在明证函明数过f(程x)中=-注x2+明2x三在(段-∞论,1]上是增函数.
思考1:纯水中c(H+)与c(OH-)大小有何关系？
由水电离出的H+、OH-的物质的量相等 思考2:在25℃下， c(H+) 、 c(OH-)等于多少?
说明水的电离程度如何？
+
H+ + OH-
25℃时，水电离出来的 c(H+) = c(OH-)=10-7mol/L 水是一种极弱的电解质（通常的电流表无法检验其中离子）
lg0.8=lg8-lg10=3lg2-1
大前提 小前提 结论 大前提
小前提
结论
例3.如图;在锐角三角形ABC中,AD⊥BC, BE⊥AC,
D,E是垂足,求证AB的中点M到D,E的距离相等.
证明:(1)因为有一个内角是只直角的 大前提 E C
三角形是直角三角形,
D
在△ABC中,AD⊥BC,即∠ADB=900 小前提
解：二次函数的图象是一条抛物线
函数y x2 x 1是二次函数
（大前提）
（小前提）
所以，函数 y x2 x 1的图象是一条抛物线（ 结论）
例2.已知lg2=m,计算lg0.8 解 （1） lgan=nlga(a>0)
lg8=lg23 lg8=3lg2 lg(a/b)=lga-lgb(a>0,b>0) lg0.8=lg(8/10)