人教A版数学高二选修1-2单元测试第二章推理与证明2

第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理A级基础巩固一、选择题1．下列推理是归纳推理的是()A．F1，F2为定点，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝2a>|F1F2|，得P 的轨迹为椭圆B．由a1＝1，a n＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n 项和S n的表达式C．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜想出椭圆x2a2＋y2b2＝1的面积S＝πabD．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇解析：由归纳推理的定义知，B项为归纳推理．答案：B2．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于()1×9＋2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝1 1111 234×9＋5＝11 11112 345×9＋6＝111 111A．111 1110B．1 111 111C．1 111 112 D．1 111 113解析：由1×9＋2＝11；12×9＋3＝111；123×9＋4＝1 111；1 234×9＋5＝111 111；…归纳可得，等式右边各数位上的数字均为1，位数跟等式左边的第二个加数相同，所以123 456×9＋7＝1 111 111.答案：B3．观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为()解析：观察可发现规律：①每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次，②每行、每列有两个阴影一个空白，应为黑色矩形．答案：A4．设n是自然数，则18(n2－1)[1－(－1)n]的值()A．一定是零B．不一定是偶数C．一定是偶数D．是整数但不一定是偶数解析：当n为偶数时，18(n2－1)[1－(－1)n]＝0为偶数；当n为奇数时(n＝2k＋1，k∈N)，18(n2－1)[1－(－1)n]＝18(4k2＋4k)·2＝k(k＋1)为偶数．所以18(n 2－1)[1－(－1)n ]的值一定为偶数． 答案：C5．在平面直角坐标系内，方程x a ＋y b＝1表示在x 轴，y 轴上的截距分别为a 和b 的直线，拓展到空间，在x 轴，y 轴，z 轴上的截距分别为a ，b ，c (abc ≠0)的平面方程为( )A.x a ＋y b ＋z c＝1 B.x ab ＋y bc ＋z ca ＝1 C.xy ab ＋yz bc ＋zx ca ＝1 D ．ax ＋by ＋cz ＝1解析：从方程x a ＋y b＝1的结构形式来看，空间直角坐标系中，平面方程的形式应该是x a ＋y b ＋z c＝1. 答案：A二、填空题6．已知a 1＝1，a n ＋1>a n ，且(a n ＋1－a n )2－2(a n ＋1＋a n )＋1＝0，计算a 2，a 3，猜想a n ＝________．解析：计算得a 2＝4，a 3＝9，所以猜想a n ＝n 2.答案：n 27．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2.则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．解析：V 1V 2＝13S 1h 113S 2h 2＝S 1S 2·h 1h 2＝14×12＝18. 答案：1∶88．观察下列各式：①(x3)′＝3x2；②(sin x)′＝cos x；③(e x－e－x)′＝e x＋e－x；④(x cos x)′＝cos x－x sin x.根据其中函数f(x)及其导数f′(x)的奇偶性，运用归纳推理可得到的一个命题是__________________________________________．解析：对于①，f(x)＝x3为奇函数，f′(x)＝3x2为偶函数；对于②，g(x)＝sin x为奇函数，f′(x)＝cos x为偶函数；对于③，p(x)＝e x－e－x为奇函数，p′(x)＝e x＋e－x为偶函数；对于④，q(x)＝x cos x 为奇函数，q′(x)＝cos x－x sin x为偶函数．归纳推理得结论：奇函数的导函数是偶函数．答案：奇函数的导函数是偶函数三、解答题9．有以下三个不等式：(12＋42)(92＋52)≥(1×9＋4×5)2；(62＋82)(22＋122)≥(6×2＋8×12)2；(132＋52)(102＋72)≥(13×10＋5×7)2.请你观察这三个不等式，猜想出一个一般性结论，并证明你的结论．解：一般性结论为(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.证明：因为(a2＋b2)(c2＋d2)－(ac＋bd)2＝a2c2＋b2c2＋a2d2＋b2d2－(a2c2＋2abcd＋b2d2)＝b2c2＋a2d2－2abcd＝(bc－ad)2≥0，所以(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.10．如图所示，在△ABC中，射影定理可表示为a＝b·cos C＋c·cos B，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．解：如右图所示，在四面体PABC中，设S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示平面PAB，平面PBC，平面PCA与底面ABC所成二面角的大小．猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S＝S1·cos α＋S2·cos β＋S3·cos γ.B级能力提升1．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴的根数为() A．6n－2 B．8n－2C．6n＋2 D．8n＋2解析：从①②③可以看出，从图②开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为8根，故可归纳出第n个“金鱼”图需火柴棒的根数为6n＋2.答案：C2．等差数列{a n}中，a n>0，公差d>0，则有a4·a6>a3·a7，类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b n>0，q>1，写出b5，b7，b4，b8的一个不等关系________．解析：将乘积与和对应，再注意下标的对应，有b4＋b8>b5＋b7.答案：b4＋b8>b5＋b73．观察下列等式： ①sin 210°＋cos 240°＋sin 10°cos 40°＝34； ②sin 26°＋cos 236°＋sin6°cos36°＝34. 由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想．解：由①②知，两角相差30°，运算结果为34， 猜想：sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝34. 证明：左边＝1－cos 2α2＋1＋cos （2α＋60°）2＋sin αcos(α＋30°)＝1－cos 2α2＋cos 2αcos 60°－sin 2αsin 60°2＋ sin α⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α－sin α2 ＝1－12cos 2α＋14cos 2α－34sin 2α＋34sin 2α－1－cos 2α4＝34＝右边 故sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝34. 2.1.2 演绎推理A 级 基础巩固一、选择题1．若大前提是“任何实数的平方都大于0”，小前提是“a∈R”，结论是“a2>0”，那么这个演绎推理()A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．没有错误解析：因为“任何实数的平方非负”，所以“任何实数的平方都大于0”是错误的，即大前提错误．答案：A2．在“△ABC中，E，F分别是边AB，AC的中点，则EF∥BC”的推理过程中，大前提是()A．三角形的中位线平行于第三边B．三角形的中位线等于第三边长的一半C．E，F为AB，AC的中点D．EF∥BC解析：大前提是“三角形的中位线平行于第三边”．答案：A3．下列四个推导过程符合演绎推理“三段论”形式且推理正确的是()A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数解析：对于A，小前提与结论互换，错误；对于B，符合演绎推理过程且结论正确；对于C和D，均为大小前提及结论颠倒，不符合演绎推理“三段论”形式．答案：B4．下列四类函数中，具有性质“对任意的x>0，y>0，函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)”的是()A．幂函数B．对数函数C．指数函数D．余弦函数解析：只有指数函数f(x)＝a x(a>0，a≠1)满足条件．答案：C5．有这样一段演绎推理：“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，这是因为() A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误解析：用小前提“S是M”，判断得到结论“S是P”时，大前提“M是P”必须是所有的M，而不是部分，因此此推理不符合演绎推理规则．答案：C二、填空题6．已知△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，求证a<b.证明：∵∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠A<∠B，∴a<b，画线部分是演绎推理的________．解析：结合三段论的特征可知，该证明过程省略了大前提“在同一个三角形中大角对大边”，因此画线部分是演绎推理的小前提．答案：小前提7．在求函数y ＝log 2x －2的定义域时，第一步推理中大前提是当a 有意义时，a ≥0；小前提是log 2x －2有意义；结论是________．解析：要使函数有意义，则log 2x －2≥0，解得x ≥4，所以函数y ＝log 2x －2的定义域是[4，＋∞)．答案：函数y ＝log 2x －2的定义域是[4，＋∞)8．下面几种推理过程是演绎推理的是________(填序号)．①两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 和∠B 是两条平行线的同旁内角，那么∠A ＋∠B ＝180°②由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质③某高校共有10个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人④在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1＋1a n －1(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式．解析：①为演绎推理，②为类比推理，③④为归纳推理．答案：①三、解答题9．设m 为实数，利用三段论求证方程x 2－2mx ＋m －1＝0有两个相异实根．证明：如果一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的判别式Δ＝b 2－4ac >0，那么方程有两相异实根．(大前提)一元二次方程x 2－2mx ＋m －1＝0的判别式Δ＝(2m )2－4(m －1)＝4m 2－4m ＋4＝(2m －1)2＋3>0，(小前提)所以方程x 2－2mx ＋m －1＝0有两相异实根．(结论)10．设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y ＝f (x )的图象的一条对称轴是直线x ＝π8. (1)求φ；(2)求函数f (x )的单调增区间．解：(1)∵x ＝π8是函数y ＝f (x )的图象的对称轴， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8＋φ＝±1.∴π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z. ∵－π<φ<0，∴φ＝－3π4. (2)由(1)知φ＝－3π4，因此y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4. 由题意，得2k π－π2≤2x －3π4≤2k π＋π2，k ∈Z ， ∴k π＋π8≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z. 故函数f (x )的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8，k ∈Z. B 级 能力提升1．某人进行了如下的“三段论”：如果f ′(x 0)＝0，则x ＝x 0是函数f (x )的极值点，因为函数f (x )＝x 3在x ＝0处的导数值f ′(0)＝0，所以x ＝0是函数f (x )＝x 3的极值点．你认为以上推理的( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．结论正确解析：若f ′(x 0)，则x ＝x 0不一定是函数f (x )的极值点，如f (x )＝x 3，f ′(0)＝0，但x ＝0不是极值点，故大前提错误．答案：A2．设a >0，f (x )＝e x a ＋a e x 是R 上的偶函数，则a 的值为________． 解析：因为f (x )是R 上的偶函数，所以f (－x )＝f (x )，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －1e x ＝0对于一切x ∈R 恒成立，由此得a －1a ＝0，即a 2＝1.又a >0，所以a ＝1.答案：13．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝4a n －3n ＋1(n ∈N *)．(1)证明数列{a n －n }是等比数列；(2)求数列{a n }的前n 项和S n ；(3)证明不等式S n ＋1≤4S n 对任意n ∈N *皆成立．(1)证明：由已知a n ＋1＝4a n －3n ＋1，得a n ＋1－(n ＋1)＝4(a n －n )，n ∈N *，又a 1－1＝2－1＝1≠0，所以数列{a n －n }是首项为1，公比为4的等比数列．(2)解：由(1)得a n －n ＝4n －1，所以a n ＝4n －1＋n .所以S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝1＋4＋42＋…＋4n －1＋(1＋2＋3＋…＋n )＝4n －13＋n （n ＋1）2. (3)证明：对任意的n ∈N *，S n ＋1－4S n ＝4n ＋1－13＋（n ＋1）（n ＋2）2－4⎣⎢⎡⎦⎥⎤4n －13＋n （n ＋1）2＝－12(3n 2＋n －4)＝－12(3n ＋4)(n －1)≤0. 所以不等式S n ＋1≤4S n 对任意n ∈N *皆成立．2.2 直接证明与间接证明2.2.1 综合法和分析法第1课 时综合法A 级 基础巩固一、选择题1．在下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的是( )A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1)解析：由题设知，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，由f (x )＝1x，得f ′(x )＝－1x2<0，所以f (x )＝1x 在(0，＋∞)上是减函数． 答案：A2．已知函数f (x )＝lg 1－x 1＋x，若f (a )＝b ，则f (－a )等于( ) A ．bB ．－b C.1b D ．－1b解析：f (x )定义域为(－1，1)，f (－a )＝lg 1＋a 1－a ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 1＋a －1＝－lg 1－a 1＋a ＝－f (a )＝－b .答案：B3．命题“如果数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n ，那么数列{a n }一定是等差数列”是否成立( )A ．不成立B ．成立C ．不能断定D ．与n 取值有关解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4n －5又a 1＝S 1＝2×12－3×1＝－1适合上式．∴a n ＝4n －5(n ∈N *)，则a n －a n －1＝4(常数)故数列{a n }是等差数列．答案：B4．若a ，b ∈R ，则下面四个式子中恒成立的是( )A ．lg(1＋a 2)>0B ．a 2＋b 2≥2(a －b －1)C ．a 2＋3ab >2b 2 D.a b <a ＋1b ＋1解析：在B 中，因为a 2＋b 2－2(a －b －1)＝(a 2－2a ＋1)＋(b 2＋2b ＋1)＝(a －1)2＋(b ＋1)2≥0，所以a 2＋b 2≥2(a －b －1)恒成立．答案：B5．在△ABC 中，已知sin A cos A ＝sin B cos B ，则该三角形是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形解析：由sin A cos A ＝sin B cos B 得sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2.所以该三角形是等腰或直角三角形．答案：D二、填空题6．命题“函数f(x)＝x－x ln x在区间(0，1)上是增函数”的证明过程“对函数f(x)＝x－x ln x求导，得f′(x)＝－ln x，当x∈(0，1)时，f′(x)＝－ln x>0，故函数f(x)在区间(0，1)上是增函数”，应用了________的证明方法．解析：本命题的证明，利用题设条件和导数与函数单调性的关系，经推理论证得到了结论，所以应用的是综合法的证明方法．答案：综合法7．角A，B为△ABC内角，A>B是sin A>sin B的________条件(填“充分”“必要”“充要”或“即不充分又不必要”)．解析：在△ABC中，A>B⇔a>b由正弦定理asin A＝bsin B，从而sin A>sin B.因此A>B⇔a>b⇔sin A>sin B，为充要条件．答案：充要8．已知p＝a＋1a－2(a>2)，q＝2－a2＋4a－2(a>2)，则p，q的大小关系为________．解析：因为p＝a＋1a－2＝(a－2)＋1a－2＋2≥2（a－2）·1a－2＋2＝4，又－a2＋4a－2＝2－(a－2)2<2(a>2)，所以q＝2－a2＋4a－2<4≤p.答案：p>q三、解答题9．已知a>0，b>0，且a＋b＝1，求证：1a＋1b≥4.证明：因为a >0，b >0且a ＋b ＝1，所以1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋a b≥2＋2 b a ·a b ＝4. 当且仅当b a ＝a b，即a ＝b 时，取等号， 故1a ＋1b≥4. 10．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，若函数y ＝f (x ＋1)与y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，求证：函数y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12为偶函数． 证明：∵函数y ＝f (x )与y ＝f (x ＋1)的图象关于y 轴对称．∴f (x ＋1)＝f (－x )则y ＝f (x )的图象关于x ＝12对称 ∴－b 2a ＝12，∴a ＝－b . 则f (x )＝ax 2－ax ＋c ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋c －a 4 ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝ax 2＋c －a 4为偶函数． B 级 能力提升1．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，若x 1＋x 2>0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( )A ．恒为负值B ．恒等于零C ．恒为正值D ．无法确定正负解析：由f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，可知f (x )是R 上的单调递减函数，由x 1＋x 2>0，可知x 1>－x 2，f (x 1)<f (－x 2)＝－f (x 2)，则f (x 1)＋f (x 2)<0.答案：A2．已知sin x＝55，x∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，3π2，则tan⎝⎛⎭⎪⎫x－π4＝________．解析：∵sin x＝55，x∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，3π2，∴cos x＝－45，∴tan x＝－12，∴tan⎝⎛⎭⎪⎫x－π4＝tan x－11＋tan x＝－3.答案：－33．(2016·江苏卷)如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.证明：(1)在直三棱柱ABC A1B1C1中，A1C1∥AC.在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，所以DE∥AC，所以DE∥A1C1.因为DE⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，所以直线DE∥平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABC A1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1，因为A1C1⊂平面A1B1C1，所以A1A⊥A1C1.又A1C1⊥A1B1，A1A⊂平面ABB1A1，A1B1⊂平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1，所以A1C1⊥平面ABB1A1.又因为B1D⊂平面ABB1A1，所以A1C1⊥B1D.又B1D⊥A1F，A1C1⊂平面A1C1F，A1F⊂平面A1C1F，A1C1∩A1F＝A1，所以B1D⊥平面A1C1F.因为B1D⊂平面B1DE，所以平面B1DE⊥平面A1C1F.第2课时分析法A级基础巩固一、选择题1．关于综合法和分析法的说法错误的是()A．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法B．综合法又叫顺推证法或由因导果法C．综合法和分析法都是因果分别互推的两头凑法D．分析法又叫逆推证法或执果索因法解析：由综合法和分析法的意义与特点，知C错误．答案：C2．分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：b2－ac<3a，则证明的依据应是() A．a－b>0B．a－c>0C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0解析：b2－ac<3a⇔b2－ac<3a2⇔(a＋c)2－ac<3a2⇔(a－c)·(2a ＋c)>0⇔(a－c)(a－b)>0.答案：C3．在不等边△ABC中，a为最大边，要想得到A为钝角的结论，对三边a，b，c应满足的条件，判断正确的是()A．a2<b2＋c2B．a2＝b2＋c2C．a2>b2＋c2D．a2≤b2＋c2解析：要想得到A为钝角，只需cos A<0，因为cos A＝b2＋c2－a22bc，所以只需b2＋c2－a2<0，即b2＋c2<a2.答案：C4．对于不重合的直线m，l和平面α，β，要证明α⊥β，需要具备的条件是()A．m⊥l，m∥α，l∥βB．m⊥l，α∩β＝m，l⊂αC．m∥l，m⊥α，l⊥βD．m∥l，l⊥β，m⊂α解析：对于选项A，与两相互垂直的直线平行的平面的位置关系不能确定；对于选项B，平面内的一条直线与另一个平面的交线垂直，这两个平面的位置关系不能确定；对于选项C，这两个平面有可能平行或重合；根据面面垂直的判定定理知选项D正确．答案：D5．设P＝2，Q＝7－3，R＝6－2，则P，Q，R的大小关系是()A．P>Q>R B．P>R>QC．Q>P>R D．Q>R>P解析：先比较Q与R的大小．Q－R＝7－3－(6－2)＝(7＋2)－(6＋3)．因为(7＋2)2－(6＋3)2＝7＋2＋214－(6＋3＋218)＝2(14－18)<0，所以Q<R.又P＝2>R＝2(3－1)，所以P>R>Q.答案：B二、填空题6．如果a a＋b b>a b＋b a，则实数a，b应满足的条件是________．解析：a a＋b b>a b＋b a⇔a a－a b>b a－b b⇔a(a－b)>b(a－b)⇔(a－b)(a－b)>0⇔(a＋b)(a－b)2>0，故只需a≠b且a，b都不小于零即可．答案：a≥0，b≥0且a≠b7．当x>0时，sin x与x的大小关系为________．解析：令f(x)＝x－sin x(x>0)，则f′(x)＝1－cos x≥0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，因此f(x)>f(0)＝0，则x>sin x.答案：x>sin x8．如图，在直四棱柱A1B1C1D1­ABCD(侧棱与底面垂直)中，当底面四边形ABCD满足条件________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形)．解析：要证明A 1C ⊥B 1D 1只需证明B 1D 1⊥平面A 1C 1C因为CC 1⊥B 1D 1只要再有条件B 1D 1⊥A 1C 1，就可证明B 1D 1⊥平面A 1CC 1 从而得B 1D 1⊥A 1C 1.答案：B 1D 1⊥A 1C 1(答案不唯一)三、解答题9．已知a >1，求证：a ＋1＋a －1<2a .证明：因为a >1，要证a ＋1＋a －1<2a ，只需证(a ＋1＋a －1)2<(2a )2，只需证a ＋1＋a －1＋2（a ＋1）（a －1）<4a ， 只需证（a ＋1）（a －1）<a ，只需证a 2－1<a 2，即证－1<0.该不等式显然成立，故原不等式成立．10．求证：2cos(α－β)－sin （2α－β）sin α＝sin βsin α. 证明：欲证原等式2cos(α－β)－sin （2α－β）sin α＝sin βsin α成立． 只需证2cos(α－β)sin α－sin(2α－β)＝sin β，①因为①左边＝2cos(α－β)sin α－sin[(α－β)＋α]＝2cos(α－β)sin α－sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α ＝cos(α－β)sin α－sin(α－β)cos α＝sin β＝右边．所以①成立，所以原等式成立．B 级 能力提升1．设a ，b ，c ，d 为正实数，若a ＋d ＝b ＋c 且|a －d |<|b －c |，则有( )A ．ad ＝bcB ．ad <bcC ．ad >bcD ．ad ≤bc解析：∵|a －d |<|b －c |⇔(a －d )2<(b －c )2⇔a 2＋d 2－2ad <b 2＋c 2－2bc ①又a ＋d ＝b ＋c∴a 2＋d 2＋2ad ＝b 2＋c 2＋2bc ②由②－①，得4ad >4bc ，即ad >bc .答案：C2．设函数f (x )是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若f (1)>1，f (2)＝3a －4a ＋1，则实数a 的取值范围是________． 解析：因为f (x )是周期为3的奇函数，且f (1)>1，所以f (2)＝f (－1)＝－f (1)，因此3a －4a ＋1<－1，则4a －3a ＋1<0， 解之得－1<a <34. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，34 3．设实数a ，b ，c 成等比数列，非零实数x ，y 分别为a 与b ，b 与c 的等差中项，证明：a x ＋c y＝2.证明：要证明ax＋cy＝2，只要证ay＋cx＝2xy，也就是证明2ay＋2cx＝4xy.由题设条件b2＝ac，2x＝a＋b，2y＝b＋c，所以2ay＋2cx＝a(b＋c)＋(a＋b)c＝ab＋2ac＋bc，4xy＝(a＋b)(b＋c)＝ab＋b2＋bc＋ac＝ab＋2ac＋bc，所以2ay＋2cx＝4xy成立，故ax＋cy＝2成立．2.2.2 反证法A级基础巩固一、选择题1．应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用()①结论的否定即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原命题的结论．A．①②B．①②④C．①②③D．②③解析：由反证法的定义知，可把①②③作为条件使用，而④原命题的结论是不可以作为条件使用的．答案：C2．用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是()A．方程x2＋ax＋b＝0没有实根B．方程x2＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x2＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x2＋ax＋b＝0恰好有两个实根解析：“方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”的反面是“方程x2＋ax＋b＝0没有实根．”答案：A3．用反证法证明命题“若直线AB、CD是异面直线，则直线AC、BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：①则A、B、C、D四点共面，所以AB、CD共面，这与AB、CD是异面直线矛盾；②所以假设错误，即直线AC、BD也是异面直线；③假设直线AC、BD是共面直线．则正确的序号顺序为()A．①②③B．③①②C．①③②D．②③①解析：结合反证法的证明步骤可知，其正确步骤为③①②.答案：B4．否定结论“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为()A．a，b，c都是奇数B．a，b，c都是偶数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c都是奇数或至少有两个偶数解析：自然数a，b，c中奇数、偶数的可能情况有：全为奇数，恰有一个偶数，恰有两个偶数，全为偶数．除去结论即为反设，应选D.答案：D5．设实数a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝1，则a ，b ，c 中至少有一个数不小于( )A ．0B.13C.12 D ．1解析：假设a ，b ，c 都小于13，则a ＋b ＋c <1，与a ＋b ＋c ＝1矛盾，选项B 正确．答案：B二、填空题6．已知平面α∩平面β＝直线a ，直线b ⊂α，直线c ⊂β，b ∩a ＝A ，c ∥a ，求证：b 与c 是异面直线，若利用反证法证明，则应假设________．解析：∵空间中两直线的位置关系有3种：异面、平行、相交， ∴应假设b 与c 平行或相交．答案：b 与c 平行或相交7．完成反证法证题的全过程．设a 1，a 2，…，a 7是1，2，…，7的一个排列，求证：乘积p ＝(a 1－1)(a 2－2)…(a 7－7)为偶数．证明：假设p 为奇数，则a 1－1，a 2－2，…，a 7－7均为奇数．因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝________＝0.但0≠奇数，这一矛盾说明p 为偶数．解析：由假设p 为奇数可知(a 1－1)，(a 2－2)，…，(a 7－7)均为奇数，故(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)＝(a 1＋a 2＋…a 7)－(1＋2＋…＋7)＝0为偶数．答案：(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)8．已知数列{a n }，{b n }的通项公式分别为a n ＝an ＋2，b n ＝bn ＋1(a ，b 是常数，且a >b )，那么这两个数列中序号与数值均对应相同的项有________个．解析：假设存在序号和数值均相等的项，即存在n 使得a n ＝b n ，由题意a >b ，n ∈N *，则恒有an >bn ，从而an ＋2>bn ＋1恒成立，所以不存在n 使a n ＝b n .答案：0三、解答题9．设x ，y 都是正数，且x ＋y >2，试用反证法证明：1＋x y <2和1＋y x<2中至少有一个成立．证明：假设1＋x y <2和1＋y x <2都不成立，即1＋x y ≥2，1＋y x≥2. 又因为x ，y 都是正数，所以1＋x ≥2y ，1＋y ≥2x .两式相加，得2＋x ＋y ≥2x ＋2y ，则x ＋y ≤2，这与题设x ＋y >2矛盾，所以假设不成立．故1＋x y <2和1＋y x<2中至少有一个成立． 10．已知三个正数a ，b ，c ，若a 2，b 2，c 2成公比不为1的等比数列，求证：a ，b ，c 不成等差数列．证明：假设a ，b ，c 成等差数列，则有2b ＝a ＋c ，即4b 2＝a 2＋c 2＋2ac ，又a2，b2，c2成公比不为1的等比数列，且a，b，c为正数，所以b4＝a2c2且a，b，c互不相等，即b2＝ac，因此4ac＝a2＋c2＋2ac，所以(a－c)2＝0，从而a＝c＝b，这与a，b，c互不相等矛盾．故a，b，c不成等差数列．B级能力提升1．设a，b，c大于0，则3个数：a＋1b，b＋1c，c＋1a的值()A．都大于2 B．至少有一个不大于2 C．都小于2 D．至少有一个不小于2解析：假设a＋1b，b＋1c，c＋1a都小于2则a＋1b<2，b＋1c<2，c＋1a<2∴a＋1b＋b＋1c＋c＋1a<6，①又a，b，c大于0所以a＋1a≥2，b＋1b≥2，c＋1c≥2.∴a＋1b＋b＋1c＋c＋1a≥6.②故①与②式矛盾，假设不成立所以a＋1b，b＋1c，c＋1a至少有一个不小于2.答案：D2．对于定义在实数集R上的函数f(x)，如果存在实数x0，使f(x0)＝x0，那么x0叫作函数f(x)的一个好点．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋1不存在好点，那么a的取值范围是()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12 C ．(－1，1) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：假设函数f (x )存在好点，则x 2＋2ax ＋1＝x 有实数解，即x 2＋(2a －1)x ＋1＝0有实数解．所以Δ＝(2a －1)2－4≥0，解得a ≤－12或a ≥32. 所以f (x )不存在好点时，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32. 答案：A3．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0，c >0)的图象与x 轴有两个不同的交点，若f (c )＝0且0<x <c 时，恒有f (x )>0.(1)证明：1a是f (x )＝0的一个根； (2)试比较1a与c 的大小． (1)证明：因为f (x )的图象与x 轴有两个不同的交点，所以f (x )＝0有两个不等实根x 1，x 2.因为f (c )＝0，所以x 1＝c 是f (x )＝0的根，又x 1x 2＝c a， 所以x 2＝1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ≠c ， 所以1a是f (x )＝0的一个根． (2)解：假设1a<c ，又1a>0，且0<x <c 时，f (x )>0， 所以知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a >0，这与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝0矛盾， 因此1a≥c ， 又因为1a≠c ， 所以1a>c .。

演绎推理1．“∵四边形ABCD 为矩形，∴四边形ABCD 的对角线相等”，以上推理省略的大前提为( )A ．正方形都是对角线相等的四边形B ．矩形都是对角线相等的四边形C ．等腰梯形都是对角线相等的四边形D ．矩形都是对边平行且相等的四边形2． “三角函数是周期函数，y ＝tan x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2是三角函数，所以y ＝tan x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2是周期函数”．在以上演绎推理中，下列说法正确的是( )A ．推理完全正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．推理形式不正确3．“凡是自然数都是整数，4是自然数，所以4是整数．”以上三段论推理( )A ．完全正确B ．推理形式不正确C ．不正确，两个“自然数”概念不一致D ．不正确，两个“整数”概念不一致4．《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是( )A ．类比推理B ．归纳推理C ．演绎推理D ．一次三段论5．观察下面的演绎推理过程，判断正确的是( )大前提：若直线a ⊥直线l ，且直线b ⊥直线l ，则a ∥b .小前提：正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1B 1⊥AA 1，且AD ⊥AA 1.结论：A 1B 1∥AD .A ．推理正确B ．大前提出错导致推理错误C ．小前提出错导致推理错误D ．仅结论错误6．有这样一段演绎推理：“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，这是因为( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误7．“在四边形ABCD 中，∵AB 綊CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形”．上述推理过程( )A ．省略了大前提B ．省略了小前提C ．是完整的三段论D ．推理形式错误8．下面是一段演绎推理：大前提：如果直线平行于平面，则这条直线平行于平面内的所有直线；小前提：已知直线b ∥平面α，直线a ⊂平面α；结论：所以直线b ∥直线a .在这个推理中( )A ．大前提正确，结论错误B ．小前提与结论都是错误的C ．大、小前提正确，只有结论错误D ．大前提错误，结论错误9．观察下列事实：|x |＋|y |＝1的不同整数解(x ，y )的个数为4，|x |＋|y |＝2的不同整数解(x ，y )的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解(x ，y )的个数为12，……，则|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为( )A ．76B ．80C ．86D ．9210．下面几种推理过程是演绎推理的是( )A ．因为∠A 和∠B 是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，所以∠A ＋∠B ＝180°B ．我国地质学家李四光发现中国松辽地区和中亚细亚的地质结构类似，而中亚细亚有丰富的石油，由此，他推断松辽平原也蕴藏着丰富的石油C ．由6＝3＋3,8＝3＋5,10＝3＋7,12＝5＋7,14＝7＋7，…，得出结论：一个偶数(大于4)可以写成两个素数的和D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1＋1a n －1(n ≥2)，通过计算a 2，a 3，a 4，a 5的值归纳出{a n }的通项公式。

word1 / 7第二章 推理与证明注意事项：1．答题前，先将自己的某某、某某号填写在试题卷和答题卡上，并将某某号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如果两个数之和为正数，则这两个数（ ） A ．一个是正数，一个是负数 B ．都是正数C ．不可能有负数D ．至少有一个是正数2．三角形的面积为S ＝12(a ＋b ＋c)·r，a ，b ，c 为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，利用类比推理，可以得到四面体的体积为（ ） A ．V ＝13a bcB ．V ＝13ShC ．V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r(S 1，S 2，S 3，S 4分别为四面体四个面的面积，r 为四面体内切球的半径)D ．V ＝13(a b ＋bc ＋a c)h(h 为四面体的高)3．设0<θ<π2，已知1a＝2cosθ，1n a =＋n a ＝（ ）A ．2cos θ2nB ．2cos θ2n －1C ．2cos θ2n ＋1D ．2sin θ2n4．用数学归纳法证明：1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋11＋2＋3＋…＋n ＝2n n ＋1时， 由n ＝k 到n ＝k ＋1左边需要添加的项是（ ） A ．()22k k +B ．()11k k +C ．()()112k k ++ D ．()()212k k ++5．设f(x)(x ∈R)为奇函数，f(1)＝12，f(x ＋2)＝f(x)＋f(2)，则f(5)等于（ ）A ．0B ．1C ．52D ．56．已知c>1，a ＝c ＋1－c ，b ＝c －c －1，则正确的结论是（ ） A ．a >b B ．a <bC ．a ＝bD ．a 、b 大小不定7．用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋a x ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是（ ） A ．方程x 3＋a x ＋b ＝0没有实根 B ．方程x 3＋a x ＋b ＝0至多有一个实根 C ．方程x 3＋a x ＋b ＝0至多有两个实根 D ．方程x 3＋a x ＋b ＝0恰好有两个实根8．已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…－1n ＝2(1n ＋2＋1n ＋4＋…＋12n )时，若已假设n ＝k(k≥2且k 为偶数)时等式成立，则还需要用归纳假设再证n ＝________时等式成立．（ ） A ．k ＋1B ．k ＋2C ．2k ＋2D ．2(k ＋2)9．若a >0，b>0，则p ＝()2a bab +与q ＝·b a a b 的大小关系是（ ）A ．p≥qB ．p≤qC ．p>qD ．p<q10．观察下列事实：|x|＋|y|＝1的不同整数解(x ，y)的个数为4，|x|＋|y|＝2的不同整数解(x ，y)的个数为8，|x|＋|y|＝3的不同整数解(x ，y)的个数为12，…，则|x|＋|y|＝20的不同整数解(x ，y)的个数为（ ） A ．76B ．80C ．86D ．9211．已知点A(x 1，1x a )，B(x 2，2x a )是函数y ＝a x(a >1)的图像上任意不同两点， 依据图像可知，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图像的上方，因此有结论word2 / 7122x x a a +>a x 1＋x 22成立．运用类比的思想可知，若点A(x 1，sinx 1)，B(x 2，sinx 2)是函数y ＝sinx(x ∈(0，π))的图像上任意不同两点，则类似地有下列结论成立的是（ ）A ．sinx 1＋sinx 22<sin x 1＋x 22B ．sinx 1＋sinx 22>sin x 1＋x 22C ．sinx 1＋sinx 22<12sin x 1＋x 22D ．12×sinx 1＋sinx 22<sin x 1＋x 2212．设a ，b ∈R ，定义运算“∧”和“∨”如下： a ∧b ＝,,a a b b a b ≤⎧⎨>⎩，a ∨b ＝,,b a ba ab ≤⎧⎨>⎩；若正数a ，b ，c ，d 满足a b≥4，c ＋d≤4，则（ ） A ．a ∧b≥2，c ∧d≤2 B ．a ∧b≥2，c ∨d≥2 C ．a ∨b≥2，c ∧d≤2 D ．a ∨b≥2，c ∨d≥2二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）13．已知x ，y ∈R ，且x ＋y>2，则x ，y 中至少有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为________．14．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一城市． 由此可判断乙去过的城市为________． 15．在等差数列{}n a 中，若100a =，则有等式121219n n a a a a a a -+++⋯++⋯+＝(19,n <)n ∈N ＋成立．类比上述性质，相应地，在等比数列{}n b 中，若91b ＝，则有等式成立． 16．观察下图：1 2 3 4 3 4 5 6 74 5 6 7 8 9 10…则第________行的各数之和等于20152．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．（10分）设f(x)＝13x ＋3，分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，归纳猜想一般性结论，并证明．18．（12分）已知△ABC 的三边a ，b ，c 的倒数成等差数列，证明：B 为锐角．word3 / 719．（12分）（1）求证：a 2＋b 2＋3≥a b ＋3(a ＋b)． （2）已知a ，b ，c 均为正实数，且a ＋b ＋c ＝1． 求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．20．（12分）若a 、b 、c 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x＋π6，求证：a 、b 、c 中至少有一个大于0．word4 / 721．（12分）如图，四棱锥P －ABCD 中，AP ⊥平面PCD ，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ，E ，F 分别为线段AD ，PC 的中点．（1）求证：AP ∥平面BEF ； （2）求证：BE ⊥平面PAC ．22．（12分）已知函数f(n)(n ∈N ＋)满足条件：①f(2)＝2，②f(xy)＝f(x)·f(y)，③f(n)∈N ＋，④当x>y 时，有f(x)>f(y)． （1）求f(1)，f(3)的值；（2）由f(1)，f(2)，f(3)的值，猜想f(n)的解析式； （3）证明你猜想的f(n)的解析式的正确性．word1 / 72018-2019学年选修2-2第二章训练卷推理与证明（二）答案一、选择题． 1．【答案】D【解析】两个数的和为正数，可以是一正一负，也可以是一正一为0，还可以是两正，但不可能是两负．故选D ． 2．【答案】C【解析】从二维类比至三维，对应元素发生改变：边长对应表面积，内切圆半径对应内切球半径．故选C ． 3．【答案】B【解析】∵1a ＝2cos θ，2a ＝2＋2cos θ＝21＋cos θ2＝2cos θ2， 3a ＝2＋2cos θ2＝21＋cosθ22＝2cos θ4……， ∴猜想n a ＝2cos θ2n －1．故选B ．4．【答案】D【解析】由n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边需要添加的项是11＋2＋3＋…＋k ＋1＝()()212k k ++．故选D ．5．【答案】C【解析】∵f(x ＋2)＝f(x)＋f(2)，∴令x ＝－1则有f(1)＝f(－1)＋f(2)，∴f(2)＝2f(1)， 又∵f(1)＝12，∴f(2)＝1．∴f(5)＝f(2＋3)＝f(2)＋f(3)＝f(2)＋f(2)＋f(1)＝2f(2)＋f(1)＝2＋12＝52．6．【答案】B【解析】∵a ＝c ＋1－c ＝1c ＋1＋c，b ＝c －c －1＝1c ＋c －1，而c ＋1＋c>c ＋c －1．∴a <b ．故选B ．7．【答案】A【解析】至少有一个实根的否定是没有实根，故要做的假设是“方程x 3＋a x ＋b ＝0没有实根”．故选A ． 8．【答案】B【解析】根据数学归纳法的步骤可知，n ＝k(k≥2且k 为偶数)下一个偶数为n ＝k ＋2，故选B ． 9．【答案】A 【解析】2222a b a b a b a b b a p aba a bq a bb +⎛⎫- ⎪--⎝⎭⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，若a >b ，则ab>1，a －b>0，∴p q >1；若0<a <b ，则0<ab<1，a －b<0，∴p q >1；若a ＝b ，则pq ＝1，∴p≥q．故选A ．10．【答案】B【解析】通过观察可以发现|x|＋|y|的值为1，2，3时，对应的(x ，y)的不同整数解的个数为4，8，12，可推出当|x|＋|y|＝n 时，对应的不同整数解(x ，y)的个数为4n ，∴|x|＋|y|＝20的不同整数解(x ，y)的个数为80．故选B ． 11．【答案】A【解析】点A ，B 是函数y ＝sinx(x ∈(0，π))的图像上任意不同两点，依据图像可知，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图像的下方，∴sinx 1＋sinx 22<sin x 1＋x 22．故选A ． 12．【答案】C【解析】从定义知，a ∧b ＝min(a ，b)，即求a ，b 中的最小值；a ∨b ＝max(a ，b)，即求a ，b 中的最大值；假设0<a <2，0<b<2，则a b<4，与已知a b≥4相矛盾， 则假设不成立，故m a x (a ，b)≥2，即a ∨b≥2；假设c>2，d>2，则c ＋d>4，与已知c ＋d≤4相矛盾，则假设不成立， 故min (c ，d)≤2，即c ∧d≤2．故选C ．word2 / 7二、填空题．13．【答案】x ，y 均不大于1(或者x≤1且y≤1)【解析】“至少有一个”的反面为“一个也没有”，即“x，y 均不大于1”，亦即“x≤1 且y≤1”． 14．【答案】A【解析】本题主要考查逻辑推理，意在考查考生分析问题、解决问题的能力． 由甲、丙的回答易知甲去过A 城市和C 城市，乙去过A 城市或C 城市， 结合乙的回答可得乙去过A 城市． 15．【答案】1212171()7,n n b b b b b b n n ⋅⋅⋅⋅⋅⋯⋅<∈N －＋＝【解析】这是由一类事物(等差数列)到与其相似的一类事物(等比数列)间的类比． 在等差数列{}n a 的前19项中，其中间项100a =， 则119218201191020n n n n a a a a a a a a a ++++⋯－＋－＝＝＝＝＝＝，∴12190n a a a a ⋯+⋯++++＝，即1219181n n a a a a a a ++-⋯-+⋯-＋＝-， 又∵119a a ＝-，218a a ＝-，…，191n n a a -＋＝-，∴12191811219n n n a a a a a a a a a -⋯+⋯-⋯+++--++＋＝-＝． 相似地，在等比数列{b n }的前17项中，b 9＝1为其中间项， 则可得1212171()7,n n b b b b b b n n ⋅⋅⋅⋅⋅⋯⋅<∈N －＋＝．16．【答案】1008【解析】观察知，图中的第n 行的各数构成一个首项为n ，公差为1，共(2n －1)项的等差数列，其各项和为：S n＝(2n －1)n ＋()()21222n n --＝(2n －1)n ＋(2n －1)(n －1)＝(2n －1)2．令(2n －1)2＝20152，得2n －1＝2015，∴n ＝1008．三、解答题． 17．【答案】见解析．【解析】f(0)＋f(1)＝130＋3＋131＋3＝11＋3＋13＋3＝3－12＋3－36＝33，同理可得f(－1)＋f(2)＝33，f(－2)＋f(3)＝33， 并注意到三个特殊式子中，自变量之和均等于1． 归纳猜想得：当x 1＋x 2＝1时，均有f(x 1)＋f(x 2)＝33． 证明：设x 1＋x 2＝1，∵f(x 1)＋f(x 2)＝13x 1＋3＋13x 2＋3===18．【答案】见解析．【解析】证明：要证明B 为锐角，只需证cosB>0．又∵cosB ＝2222a c b ac+-，∴只需证明a 2＋c 2－b 2>0，即a 2＋c 2>b 2． ∵a 2＋c 2≥2a c ，∴只需证明2a c>b 2． 由已知，得211b a c=+，即2a c ＝b(a ＋c)． ∴只需证明b(a ＋c)>b 2，即只需证明a ＋c>b ．而已知a ，b ，c 为△ABC 的三边，即a ＋c>b 成立，∴B 为锐角． 19．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】证明：（1）∵a 2＋b 2≥2a b ，a 2＋3≥23a ，b 2＋3≥23b ， 将此三式相加得2(a 2＋b 2＋3)≥2a b ＋23a ＋23b ， ∴a 2＋b 2＋3≥a b ＋3(a ＋b)．（2）∵a ，b ，c 均为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，∴111111a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝a b c a a b c b a b c c a b c ++-++-++-⋅⋅word3 / 72228b c a c a b bc ac aba b c a b c +++⋅⋅≥⋅⋅=． 故1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 20．【答案】见解析．【解析】假设a 、b 、c 都不大于0，且a ≤0，b≤0，c≤0， ∴a ＋b ＋c≤0．而a ＋b ＋c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2y ＋π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2－2z ＋π3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z 2－2x ＋π6＝(x 2－2x)＋(y 2－2y)＋(z 2－2z)＋π ＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3． ∴a ＋b ＋c>0，这与a ＋b ＋c≤0矛盾． 故a 、b 、c 中至少有一个大于0． 21．【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】（1）设AC∩BE＝O ，连接OF ，EC ．由于E 为AD 的中点，AB ＝BC ＝12AD ，AD ∥BC ，∴AE ∥BC ，AE ＝AB ＝BC ，因此四边形ABCE 为菱形，∴O 为AC 的中点． 又F 为PC 的中点，因此在△PAC 中，可得AP ∥OF ． 又OF ⊂平面BEF ，AP ⊄平面BEF ．∴AP ∥平面BEF ． （2）由题意知ED ∥BC ，ED ＝BC ．∴四边形BCDE 为平行四边形，因此BE ∥CD ． 又AP ⊥平面PCD ，∴AP ⊥CD ，因此AP ⊥BE ． ∵四边形ABCE 为菱形，∴BE ⊥AC ．又AP∩AC＝A ，AP ，AC ⊂平面PAC ，∴BE ⊥平面PAC ．22．【答案】（1）f(1)＝1，f(3)＝3（2）猜想f(n)＝n(n ∈N ＋)；（3）见解析．【解析】（1）∵f(2)＝f(2×1)＝f(2)·f(1)，又f(2)＝2，∴f(1)＝1． 又∵f(4)＝f(2·2)＝f(2)·f(2)＝4，2＝f(2)<f(3)<f(4)＝4，且f(3)∈N ＋．∴f(3)＝3．（2）由f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝3，猜想f(n)＝n(n ∈N ＋)． （3）用数学归纳法证明：（i ）当n ＝1时，f(1)＝1，函数解析式成立．（ii ）假设n ＝k(k ∈N ＋)时，f(k)＝k ，函数解析式成立．①若k ＋1＝2m(m ∈N ＋)，f(k ＋1)＝f(2m)＝f(2)·f(m)＝2m ＝k ＋1．②若k ＋1＝2m ＋1(m ∈N ＋)，f(2m ＋2)＝f[2(m ＋1)]＝f(2)·f(m＋1)＝2(m ＋1)＝2m ＋2，2m ＝f(2m)<f(2m ＋1)<f(2m ＋2)＝2m ＋2． ∴f(2m ＋1)＝2m ＋1＝k ＋1． 即当n ＝k ＋1时，函数解析式成立． 综合（i ）（ii ）可知，f(n)＝n(n ∈N ＋)成立．。

2．1.2演绎推理教学设计整体设计教材分析《演绎推理》是高中数学中的基本思维过程，是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式，是正确进行逻辑推理必不可少的基础知识，是高考热点．演绎推理具有证明结论、整理和构建知识体系的作用，是公理体系中的基本推理方法．本节内容相对比较抽象，教学中应紧密结合已学过的生活实例和数学实例，让学生了解演绎推理的含义，并在上一节学习的基础上，了解合情推理与演绎推理之间的联系与差异，同时纠正推理过程中可能犯的典型错误，增强学生的好奇心，激发出潜在的创造力，使学生能正确应用合情推理和演绎推理去进行一些简单的推理，证明一些数学结论．课时划分1课时．教学目标1．知识与技能目标了解演绎推理的含义，了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别，能正确地运用演绎推理，进行简单的推理．2．过程与方法目标了解和体会演绎推理在日常生活和学习中的应用，培养学生的逻辑推理能力，使学生学会观察，大胆猜想，敢于归纳、挖掘其中所包含的推理思路和思想；明确演绎推理的基本过程，提高学生的创新能力．3．情感、态度与价值观通过本节课的学习，体验推理源于实践，又应用于实践的思想，激发学生学习的兴趣，培养学生勇于探索、创新的个性品质．重点难点重点：正确地运用演绎推理进行简单的推理证明．难点：了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别．教学过程引入新课观察与思考：新学期开始了，班里换了新的老师，他们是林老师、王老师和吴老师，三位老师分别教语文、数学、英语．已知：每个老师只教一门课；林老师上课全用汉语；英语老师是一个学生的哥哥；吴老师是一位女教师，她比数学老师活泼．问：三位老师各上什么课？活动设计：让学生带着浓厚的兴趣，先独立思考，然后小组交流．引导分析：启发学生把自己的思考过程借助于下列表格展示出来，从而解决问题．注意与学生交流．学情预测：开始学生的回答可能不全面、不准确，但在其他学生的不断补充、纠正下，会趋于准确．活动结果：林老师——数学，王老师——英语，吴老师——语文．设计意图本着“兴趣是最好的老师”的原则，结合生活中具体的实例，激发学生学习的兴趣，让学生体会“数学来源于生活”，创造和谐积极的学习气氛，体会演绎推理的现实意义．探究新知判断下列推理是合情推理吗？分析推理过程，明确它们的推理形式．(1)所有的金属都能导电，铜是金属，所以，铜能够导电．(2)一切奇数都不能被2整除，(2100＋1)是奇数，所以，(2100＋1)不能被2整除．(3)三角函数都是周期函数，tanα是三角函数，所以，tanα是周期函数．活动设计：学生口答，教师板书．学情预测：学生积极思考片刻，有学生举手回答且回答准确．活动结果：以上推理不是合情推理，它们的推理形式如下：(1)所有的金属都能导电，第一段铜是金属，第二段所以，铜能够导电．第三段(2)一切奇数都不能被2整除，第一段(2100＋1)是奇数，第二段所以，(2100＋1)不能被2整除．第三段(3)三角函数都是周期函数，第一段tanα是三角函数，第二段所以，tanα是周期函数．第三段提出问题：对于上面的三个推理，它们的推理形式有什么特点？活动设计：学生独立思考，并自由发言．学情预测：通过观察和分析，学生有足够的能力来解决上面所提问题．活动结果：上面的例子都有三段，是以一般的判断为前提，得出一些个别的、具体的判断：(1)所有的金属都能导电，大前提铜是金属，小前提所以，铜能够导电．结论(2)一切奇数都不能被2整除，大前提(2100＋1)是奇数，小前提所以，(2100＋1)不能被2整除．结论(3)三角函数都是周期函数，大前提tanα是三角函数，小前提所以，tanα是周期函数．结论教师：演绎推理的定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．1．演绎推理是由一般到特殊的推理；2．“三段论”是演绎推理的一般模式，包括(1)大前提——已知的一般原理；(2)小前提——所研究的特殊情况；(3)结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．设计意图通过对演绎推理概念的学习，体会以“三段论”模式来说明演绎推理的特点，从中概括出演绎推理的推理过程，对演绎推理是一般到特殊的推理有一个直观的认识，训练和培养学生的演绎推理能力．理解新知提出问题：在应用“三段论”进行推理的过程中，得到的推理结论一定正确吗？为什么？例如：(1)所有阔叶植物都是落叶的，葡萄树是阔叶植物，所以，葡萄树都是落叶的．(2)因为所有边长都相等的凸多边形是正多边形，而菱形是所有边长都相等的凸多边形，所以菱形是正多边形．(3)英雄难过美人关，我难过美人关，所以，我是英雄．活动设计：学生独立思考，先有学生自由发言，然后教师小结并形成新知．学情预测：学生们在积极思考，对(2)(3)两个小题的结论产生分歧，意见不统一．活动结果：(1)推理形式正确，前提正确，结论正确．(2)推理形式正确，大前提错误，结论错误．(3)推理形式错误(大、小前提没有连接起来)，结论错误．教师：通过上面的学习，学生们对演绎推理和“三段论”模式都有了更深的了解，其中特别注意：(1)三段论的基本格式M—P(M是P)(大前提)S—M(S是M)(小前提)S—P(S是P)(结论)(2)三段论推理的依据，用集合的观点来理解：若集合M的所有元素都具有性质P，S 是M的一个子集，那么S中所有元素也都具有性质P.(3)在演绎推理中，只有前提和推理形式都正确，结论才是正确的．设计意图通过所举的例子，教师可以了解学生对演绎推理和三段论模式的理解程度，明确概念的内涵和外延，加深理解，及时更正学生在认识推理中产生的错误和偏差．提出问题：合情推理与演绎推理有什么区别与联系？活动设计：学生独立思考，先由学生自由发言，然后教师小结并形成新知．活动结果：设计意图通过比较合情推理与演绎推理的区别与联系，有助于学生更清晰地理解和掌握这两种推理方法，并能灵活应用．运用新知例1如图，在锐角三角形ABC 中，AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，D ，E 是垂足，求证：AB 的中点M 到D ，E 的距离相等．思路分析：根据三段论的推理过程进行证明．证明：(1)因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形，——大前提 在△ABC 中，AD ⊥BC ，即∠ADB ＝90°，——小前提 所以△ABD 是直角三角形．——结论(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，——大前提 因为DM 是直角三角形ABD 斜边上的中线，——小前提 所以DM ＝12AB.——结论同理EM ＝12AB.所以DM ＝EM.点评：通过对上述问题的证明，挖掘其中包含的推理思路，使学生明确演绎推理的基本过程，突出演绎推理中的“大前提”“小前提”和“结论”．巩固练习由①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形，根据“三段论”推理得出一个结论，则这个结论是( )A ．正方形的对角线相等B ．平行四边形的对角线相等C ．正方形是平行四边形D ．其他 答案：A例2证明函数f(x)＝－x 2＋2x 在(－∞，1)内是增函数．思路分析：证明本例所依据的大前提是：在某个区间(a ，b)内，如果f ′(x)>0，那么函数y ＝f(x)在这个区间内单调递增．小前提是f(x)＝－x 2＋2x 在(－∞，1)内有f ′(x)>0，这是证明本例的关键． 证明：f ′(x)＝－2x ＋2，因为当x ∈(－∞，1)时，有1－x>0， 所以f ′(x)＝－2x ＋2＝2(1－x)>0，于是，根据“三段论”，可知f(x)＝－x 2＋2x 在(－∞，1)内是增函数．点评：通过对上述问题的证明，挖掘其中包含的推理思路，使学生明确演绎推理的基本过程，并加深对演绎推理的认识．教师：许多学生能写出证明过程，但不一定非常清楚证明的逻辑规则，因此在表述证明过程时往往显得杂乱无章，通过这两个例子的教学，应当使这种状况得到改善．变练演编(1)已知a ，b ，m 均为正实数，且b<a ，求证：b a <b ＋ma ＋m.(2)已知△ABC 的三条边分别为a ，b ，c ，则1＋ <1＋.思路分析：(1)中根据演绎推理的证明过程进行证明；(2)中不必证明，答案不唯一． 证明：(1)不等式两边乘以同一个正数，不等式仍成立，——大前提 b<a ，m>0，——小前提 所以mb<ma.——结论不等式两边加上同一个数，不等式仍成立，——大前提 mb<ma ，ab ＝ab ，——小前提所以ab ＋mb<ab ＋ma ，即b(a ＋m)<a(b ＋m)．——结论 不等式两边除以同一个正数，不等式仍成立，——大前提 b(a ＋m)<a(b ＋m)，a(a ＋m)>0，——小前提所以，b (a ＋m )a (a ＋m )<a (b ＋m )a (a ＋m )，即b a <b ＋m a ＋m .——结论(2)c 1＋c <a ＋b 1＋a ＋b (答案不唯一，例如a1＋a <c ＋b 1＋c ＋b)． 点评：通过证明(1)中不等式成立，感知条件与结论的不唯一性，例如：已知a ，b ，m 均为正实数，若a<b ，求证：a b <a ＋mb ＋m.(2)中加强学生思维的灵活性、分析问题的深刻性．活动设计：学生讨论交流并回答问题，老师对不同的合理答案给予肯定，将所有发现的结论一一列举，并由学生予以评价．设计意图通过变练演编，使学生对演绎推理的认识不断加深，同时培养学生逻辑思维的严谨性． 达标检测1．下列表述正确的是( )①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．A ．①②③B ．②③④C ．②④⑤D ．①③⑤2．有这样一段演绎推理“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”，结论显然是错误的，是因为( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误3．有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内的所有直线；已知直线平面α，直线平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”，结论显然是错误的，这是因为( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误 答案：1.D 2.C 3.A课堂小结1．知识收获：(1)演绎推理的定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括大前提——已知的一般原理；小前提——所研究的特殊情况；结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．2．方法收获：利用演绎推理判断进行证明的方法与步骤：①找出大前提；②找出小前提；③根据“三段论”推出结论．3．思维收获：培养和训练学生严谨缜密的逻辑思维．布置作业课本本节练习1、2、3.补充练习基础练习1．把“函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线”恢复成三段论．2．下面说法正确的有()(1)演绎推理是由一般到特殊的推理；(2)演绎推理得到的结论一定是正确的；(3)演绎推理的一般模式是“三段论”形式；(4)演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关．A．1个B．2个C．3个D．4个3．下列几种推理过程是演绎推理的是()A．5和22可以比较大小B．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质C．东升高中高二年级有15个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人D．预测股票走势图4．已知△ABC，∠A＝30°，∠B＝60°，求证：a<b.证明：∵∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠A<∠B，∴a<b，画线部分是演绎推理的()A．大前提B．小前提C．结论D．三段论5．用演绎推理法证明y＝x是增函数时的大前提是______．答案：1.解：二次函数的图象是一条抛物线(大前提)，函数y＝x2＋x＋1是二次函数(小前提)，所以，函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线(结论)．2．C 3.A 4.B 5.增函数的定义拓展练习6．S为△ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC.求证：AB⊥BC.证明：如图，作AE⊥SB于E.∵平面SAB⊥平面SBC，∴AE⊥平面SBC，∴AE⊥BC.又∵SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC.∵SA∩AE＝A，SA⊂平面SAB，AE⊂平面SAB，∴BC⊥平面SAB.∵AB⊂平面SAB，∴AB⊥BC.设计说明由于这节课概念性、理论性较强，一般的教学方式会使学生感到枯燥乏味，为此，激发学生的学习兴趣是上好本节课的关键．教学中始终要注意以学生为主，让学生在自我思考、相互交流中去总结概念“下定义”，去体会概念的本质属性．学生对于演绎推理和三段论的理解，需要经过一定时间的体会，先给出学生常见问题的解决步骤，结合以前所学的知识来解决问题，在教学中经常借助这些概念表达、阐述和分析问题．引导学生从日常生活中的推理问题出发，激发学生的学习兴趣，结合学生熟知的旧知识归纳新知识，同时在应用新知的过程中，将所学的知识条理化，使学生的认知结构更趋于合理．备课资料例1小王、小刘、小张参加了今年的高考，考完后在一起议论．小王说：“我肯定考上重点大学．”小刘说：“重点大学我是考不上了．”小张说：“要是不论重点不重点，我考上肯定没问题．”发榜结果表明，三人中考取重点大学、一般大学和没考上大学的各有一个，并且他们三个人的预言只有一个人是对的，另外两个人的预言都同事实恰好相反．可见() A．小王没考上，小刘考上一般大学，小张考上重点大学B．小王考上一般大学，小刘没考上，小张考上重点大学C．小王没考上，小刘考上重点大学，小张考上一般大学D．小王考上一般大学，小刘考上重点大学，小张没考上解析：根据推理知识得出结论．答案：C例2已知直线l、m，平面α、β，且l⊥α，m∥β，给出下列四个命题：(1)若α∥β，则l⊥m；(2)若l⊥m，则α∥β；(3)若α⊥β，则l∥m；(4)若l∥m，则α⊥β.其中正确命题的个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：根据演绎推理的定义，逐一判断结论的正误．由直线和平面、平面和平面平行和垂直的判定定理、性质定理，可知应选B.答案：B点评：以准确、完整地理解条件为基础，才能判断命题的正误．例3函数y＝f(x)在(0,2)上是增函数，函数y＝f(x＋2)是偶函数，则f(1)，f(2.5)，f(3.5)的大小关系是______．解析：根据函数的性质进行判断．∵函数y＝f(x)在(0,2)上是增函数，∴0＜x＋2＜2，即－2＜x＜0.∴函数y＝f(x＋2)在(－2,0)上是增函数．又∵函数y＝f(x＋2)是偶函数，∴函数y＝f(x＋2)在(0,2)上是减函数．由图象可得f(2.5)>f(1)>f(3.5)．故应填f(2.5)>f(1)>f(3.5)．答案：f(2.5)>f(1)>f(3.5)点评：根据函数的基本性质，结合三段论的推理模式可得．例4已知lg2＝m，计算lg0.8.分析：利用所学的推理知识解决问题．解：lga n＝nlga(a>0)，——大前提lg8＝lg23，——小前提lg8＝3lg2.——结论lg ab＝lga－lgb(a>0，b>0)，——大前提lg0.8＝lg 810，——小前提所以lg0.8＝lg8－1＝3lg2－1＝3m－1.——结论点评：找出三段论的大前提与小前提即可得到答案．设计者：李效三2018年5月22日星期二。

02第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理课时过关·能力提升基础巩固1下列说法正确的是()A.合情推理是正确的推理B.合情推理是归纳推理C.归纳推理是从一般到特殊的推理D.类比推理是从特殊到特殊的推理,合情推理得到的结论不一定正确,故选项A,B错误;归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理,故选项C错误;类比推理是从特殊到特殊的推理,故选项D 正确.2数列5,9,17,33,x,…中的x等于()A.47B.65C.63D.128=22+1,9=23+1,17=24+1,33=25+1,猜想x=26+1=65.3下列类比推理恰当的是()A.把a(b+c)与log a(x+y)类比,则有log a(x+y)=log a x+log a yB.把a(b+c)与sin(x+y)类比,则有sin(x+y)=sin x+sin yC.把(ab)n与(a+b)n类比,则有(a+b)n=a n+b nD.把a(b+c)与a·(b+c)类比,则有a·(b+c)=a·b+a·c4如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的,称为杨辉三角形.根据数组中的数构成的规律,其中的a所表示的数是()A.2B.4C.6D.8,每行除1外,每个数都是它肩上的两数之和,如第6行的第2个数5,它肩上的两数是1和4,且5=1+4.由此可推知a=3+3=6,故选C.5用火柴棒摆“金鱼”,如图所示:按照上面的规律,第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为()A.6n-2B.8n-2C.6n+2D.8n+2,后一个图形比前一个图形多6根火柴棒,第一个图形为8根,可以写成a1=8=6+2.又a2=14=6×2+2,a3=20=6×3+2,…,所以可以猜测第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为6n+2.6在平面上,若两个正三角形的边长比为1∶2,则它们的面积比为1∶4.类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长比为1∶2,则它们的体积比为.∶87观察下列等式1−12=121−12+13−14=13+141−12+13−14+15−16=14+15+16……据此规律,第n个等式可为.,第n个等式的左侧是数列{(-1)n-1·1n }的前2n项和,而右侧是数列{1n}的第n+1项到第2n项的和,故为1−12+13−14+⋯+12n-1−12n=1n+1+1n+2+⋯+12n.−1 2+13−14+⋯+12n-1−12n=1n+1+1n+2+⋯+12n8古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1,3,6,10,…,第n个三角形数为n(n+1)2=12n2+12n.记第n个n边形数为n(n,n)(n≥3),以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式:三角形数N(n,3)=12n2+12n,正方形数N(n,4)=n2,五边形数N(n,5)=32n2−12n,六边形数N(n,6)=2n2-n,…………可以推测N(n,k)的表达式,由此计算N(10,24)=.:含n2项的系数为首项是12,公差是12的等差数列,含n项的系数为首项是12,公差是−12的等差数列,因此N(n,k)=[12+(k-3)·12]n2+[12+(k-3)·(-12)]n=k-22n2+4-k2n.故N(10,24)=24-22×102+4-242×10=1 000.9三角形与四面体有下列相似性质:(1)三角形是平面内由线段围成的最简单的封闭图形;四面体是空间中由三角形围成的最简单的封闭图形.(2)三角形可以看作是由一条线段所在直线外一点与这条线段的两个端点的连线所围成的图形;四面体可以看作是由三角形所在平面外一点与这个三角形三个顶点的连线所围成的图形.通过类比推理,根据三角形的性质推测空间四面体的性质,填写下表:“外在”性质,合理寻找类比对象对二者的“内在”性质进行探究.三角形和四面体分别是平面图形和空间图形,三角形的边对应四面体的面,即平面的线类比到空间为面,三角形的中位线对应四面体的中位面(三条棱的中点所确定的三角形面),三角形的内角对应四面体的二面角,三角形的内切圆对应四面体的内切球.10已知sin 230°+sin 290°+sin 2150°=32,sin25°+sin265°+sin2125°=32,sin221°+sin281°+sin2141°=32.通过观察上述等式的规律,写出一般性规律的命题,并给出证明.,且三个角成公差为60°的等差数列,等式右边都是32,所以得一般性规律的命题为sin 2α+sin 2(α+60°)+sin 2(α+120°)=32.证明如下:sin 2α+sin 2(α+60°)+sin 2(α+120°)=1-cos2α2+1-cos (2α+120°)2+1-cos (2α+240°)2=32−cos2α+cos2αcos120°-sin2αsin120°+cos2αcos240°-sin2αsin240°2=32−cos2α-12cos2α-√32sin2α-12cos2α+√32sin2α2=32. 能力提升1已知{b n }为等比数列,b 5=2,则b 1b 2b 3…b 9=29.若{a n }为等差数列,a 5=2,则{a n }的类似结论为( )A .a 1a 2a 3…a 9=29B .a 1+a 2+…+a 9=29C .a 1a 2…a 9=2×9D .a 1+a 2+…+a 9=2×9,从而有a 1+a 2+…+a 9=2+2+…+2⏟ 9个=2×9.2定义A*B ,B*C ,C*D ,D*B 依次对应下列4个图形:则下列4个图形中,可以表示A*D ,A*C 的分别是( )A.(1),(2)B.(1),(3)C.(2),(4)D.(1),(4)①②③④可归纳得出,符号“*”表示图形的叠加,字母A 代表竖线,字母B 代表大矩形,字母C 代表横线,字母D 代表小矩形,则表示A*D 的是图形(2),表示A*C 的是图形(4),故选C .3设定义在R 上的函数f (x )满足f (x )·f (x+2)=13,f (1)=2,则f (2 019)等于( ) A.13B.2C .132D.213f (x )·f (x+2)=13,f (1)=2,∴f (3)=13f (1)=132,n (5)=13f (3)=2, f (7)=13f (5)=132,n (9)=13f (7)=2,…. ∴归纳得f (2n-1)={2,n 为奇数,132,n 为偶数.∴f (2 019)=f (2×1 010-1)=132.故选C .★4设△ABC 的三边长分别为a ,b ,c ,△ABC 的面积为S ,内切圆半径为r ,则r =2Sa+b+c .类比这个结论可知:四面体n −nnn 的四个面的面积分别为n 1,n 2,n 3,n 4,内切球半径为n ,四面体n −nnn 的体积为n ,则n 等于( ) A .VS 1+S 2+S 3+S 4B.2VS 1+S 2+S 3+S 4 C .3VS 1+S 2+S 3+S 4D.4VS 1+S 2+S 3+S 4O,则球心O到四个面的距离都是R,所以四面体的体积等于以O为顶点,分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和,则四面体的体积为V=13(n1+n2+n3+n4)n,故R=3VS1+S2+S3+S4.5设等差数列{a n}的前n项和为S n,则S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12成等差数列.类比以上结论有:设等比数列{b n}的前n项积为T n,则T4,,,T16T12成等比数列.,加法类比于乘法,减法类比于除法,故可得类比结论为“设等比数列{b n}的前n项积为T n,则T4,T8T4,T12T8,T16T12成等比数列”.6设n是正整数,f(n)=1+12+13+14+⋯+1n,计算得n(2)=32,n(4)>2,n(8)>52,n(16)>3.观察上述结果,可推测一般的结论是.n个式子左边应为f(2n),右边应为n+22,即一般结论为f(2n)≥n+22.(2n)≥n+227已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=−23,且nn+1S n+2=nn(n≥2),计算S1,S2,S3,S4,并猜想S n的表达式.S n+1S n+2=nn(n≥2),∴S n+1S n+2=nn−nn−1(n≥2),即1S n=−2−nn−1(n≥2).∴当n=1时,S1=a1=−23;当n=2时,1S 2=−2−n 1=−43,n 2=−34; 当n=3时,1S 3=−2−n 2=−54,n 3=−45; 当n=4时,1S 4=−2−n 3=−65,n 4=−56.猜想S n =−n+1n+2,n ∈N *. ★8已知椭圆具有以下性质:M ,N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点,点P 是椭圆上任意一点,若直线PM ,PN 的斜率都存在,并记为k PM ,k PN ,则k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值.试对双曲线x 2a 2−y 2b2=1(n >0,n >0)写出具有类似特征的性质,并加以证明.,抓住椭圆和双曲线同属于圆锥曲线而具有的相似性质,从而得到结论.:已知M ,N 是双曲线x 2a 2−y 2b2=1(n >0,n >0)上关于原点对称的两个点,点P 是双曲线上任意一点,若直线PM ,PN 的斜率都存在,并记为k PM ,k PN ,那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值.证明:设点M ,P 的坐标分别为(m ,n ),(x ,y ),则点N 的坐标为(-m ,-n ). ∵点M (m ,n )在双曲线x 2a 2−y 2b2=1(n >0,n >0)上,∴m 2a 2−n 2b2=1,得n 2=b2a 2n 2−n 2. 同理y 2=b2a 2n 2−n 2.∴n 2−n 2=b2a 2(n 2−n 2). ∴k PM ·k PN =y -n x -m ·y+nx+m=y 2-n 2x 2-m 2=b 2a 2·x 2-m 2x 2-m 2=b2a 2(定值), 即k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值.。

第二章综合素质检测时间分钟，满分分。

一、选择题(本大题共个小题，每小题分，共分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．命题“所有有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是( )．使用了归纳推理．使用了类比推理．使用了“三段论”，但大前提错误．使用了“三段论”，但小前提错误[答案][解析]大前提是错误的，故选．．已知<<，下列不等式中成立的是( )．<．<．<－．<[答案][解析]令＝－，＝－，满足<<，则>，＝>，>，故、、都不成立，排除、、，选．．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为( )．－．－．＋．＋[答案] [解析]归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为，公差是的等差数列，通项公式为＝＋.．已知数列{}的前项和＝·(≥)，而＝，通过计算、、，猜想＝( )．．．．[答案][解析]＝－＝－，∴＝，＝－＝·－·＝－×，∴＝.＝－＝·－＝－×，∴＝.由此猜想＝.．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设>>，且＋＋＝，求证<”，索的因应是( )．－<．－>．(－)(－)<．(－)(－)>[答案][解析]<，即证－<.∵＋＋＝，∴＝－(＋)．只需证(＋)－<，即证－－>，即证－＋－>，即证(＋)(－)＋(－)>，即证(－)[(＋)＋]>.又＝－(＋)，即证(－)(－)>.故选．．已知圆＋＝(>)的面积为＝π，由此类比椭圆＋＝(>>)的面积最有可能是( )．π．π．π()．π[答案] [解析]圆的方程可以看作是椭圆方程＋＝(>>)中，＝时的情形，∵圆＝π，∴类比出椭圆的面积为＝π.．用反证法证明命题“如果>，那么>”时，假设的内容应是( )．<．＝．＝或<．＝且<[答案][解析]与的大小关系包括>，＝，<三种关系，∴>的反设应为＝或<.．已知()＝，()＝′()，()＝′()，()＝′()，…，()＝－′()，则()等于( )．－．．－．[答案][解析]由已知，有()＝，()＝－，()＝－，()＝，()＝，…，可以归纳出：()＝，＋()＝，＋()＝－，*)．所以()＝()＝.＋()＝－(∈．已知各项均不为零的数列{}，定义向量＝(，＋)，＝(，＋)，∈*.下列命题中真命题是( )．若∀∈*总有∥成立，则数列{}是等差数列。

数学·选修 1－2(人教A 版)章末过关检测卷(二)第二章 推理与证明(测试时间：120分钟 评价分值：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设l 是直线，α，β是两个不同的平面( )A ．若l ∥α，l ∥β，则α∥βB ．若l ∥α，l ⊥β，则α⊥βC ．若α⊥β，l ⊥α，则l ⊥βD ．若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β解析：利用线与面、面与面的关系定理判定，用特例法．设α∩β＝a ，若直线l ∥a ，且l ⊄α，l ⊄β，则l ∥α，l ∥β，因此α不一定平行于β，故A 错误；由于l ∥α，故在α内存在直线l ′∥l ，又因为l ⊥β，所以l ′⊥β，故α⊥β，所以B 正确；若α⊥β，在β内作交线的垂线l ，则l ⊥α，此时l 在平面β内，因此C 错误；已知α⊥β，若α∩β＝a ，l ∥a ，且l 不在平面α，β内，则l ∥α，且l ∥β，因此D 错误．答案：B2．观察数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…的特点，问第100项为( )A ．10B ．14C ．13D ．100解析：由于有1个1,2个2,3个3，…，13个13，所以1～13组的总数为(1＋13)×132＝91，从而第100个数为14.故选B.答案：B3．已知c＞1，a＝c＋1－c，b＝c－c－1，则，正确的结论是()A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．a，b大小关系不定解析：∵a＝1c＋1＋c，b＝1c＋c－1，∴a<b.故选B.答案：B4．下面几种推理是合情推理的序号的是()①由圆的性质类比出球的有关性质②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°归纳出所有三角形的内角和都是180°③某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n－2)·180°A．①②B．③④C．①③④D．①②④答案：D5．已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415， (6)ab＝6ab(a，b均为实数)，则推测a，b的值分别是()A．a＝6，b＝18 B．a＝6，b＝25C ．a ＝6，b ＝30D ．a ＝6，b ＝35解析：观察前三个式子，不难发现，a 与等式右边根号前的系数相等，b ＝a 2－1，所以，a ＝6，b ＝35.故选D.答案：D6．“正三角形的内切圆半径等于此正三角形的高的13.”拓展到空间，类比平面几何的上述结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的( )A.12B.13C.14D.15解析：正三角形类比到正四面体，13类比到14.故选C. 答案：C7．若1a ＜1b ＜0，则下列不等式：①a ＋b ＜ab ；②|a |＞|b |；③a ＜b ；④b a ＋a b ＞2中，正确的个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：∵1a <1b <0，∴b <a <0.①④正确，②③不正确．故选B.答案：B8．已知f (x ＋1)＝2f (x )f (x )＋2，f (1)＝1(x ∈N *)，猜想f (x )的表达式为( )A ．f (x )＝42x ＋2 B ．f (x )＝2x ＋1 C ．f (x )＝1x ＋1 D ．f (x )＝22x ＋1解析：由已知得，f (2)＝2f (1)f (1)＋2＝23， f (3)＝2f (2)f (2)＋2＝12＝24，f (4)＝2f (3)f (3)＋2＝25， 因而，猜想f (x )＝2x ＋1，故选B. 答案：B9．已知a ＞0，b ＞0，a ，b 的等差中项为12，且m ＝a ＋1a ，n ＝b ＋1b ，则m ＋n 的最小值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：由已知，得a ＋b ＝1，m ＋n ＝a ＋1a ＋b ＋1b ＝1＋1a ＋1b ＝1＋a ＋b a ＋a ＋b b ＝3＋b a ＋a b ≥3＋2b a ·a b ＝5.故选C.答案：C10．已知f (x )＝x 3＋x (x ∈R)，a ，b ，c ∈R ，且a ＋b ＞0，b ＋c ＞0，c ＋a ＞0，则f (a )＋f (b )＋f (c )的符号为( )A ．正B ．负C ．等于0D ．无法确定解析：∵f (x )＝x 3＋x ，∴f ′(x )＝3x 2＋1>0恒成立，∴f (x )在R 上为增函数，又f (x )显然为奇函数．由a ＋b >0，得a >－b ，∴f (a )>f (－b )＝－f (b )．同理f (b )>－f (c )，f (c )>－f (a )，∴2[f (a )＋f (b )＋f (c )]>0，即f (a )＋f (b )＋f (c )>0.故选A.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分；将正确答案填在题中的横线上)11．已知数列{an }的前n 项和为Sn ，且a 1＝1，Sn ＝n 2an ，n ∈N *，试归纳猜想出Sn 的表达式为____________．解析：S 1＝a 1＝22，由a 1＋a 2＝4a 2，得a 2＝13， ∴S 2＝43.由a 1＋a 2＋a 3＝9a 3，得a 3＝16，∴S 3＝64. 猜想S n ＝2n n ＋1. 答案：S n ＝2n n ＋112．在正项数列{}n a 中，a 1＝2，点 (n ≥2)在直线 x －2y ＝0上，则数列{}na 的前n 项和S n ＝______________.解析：∵a n －2a n －1＝0， ∴a n ＝2a n －1.∴q ＝2. ∴S n ＝2×(1－2n )1－2＝2n ＋1－2. 答案：2n ＋1－213．若f (a ＋b )＝f (a )·f (b )(a ，b ∈N *)，且f (1)＝2，则f (2)f (1)＋f (4)f (3)＋…＋f (2 012)f (2 011)＝________.答案：2 01214．已知命题：若数列{an }为等差数列，且a m ＝a ，a n ＝b (m ≠n ，n ∈N *)，则a m ＋n ＝b n －a m n －m .现已知数列{b n }(b n ＞0，n ∈N *)为等比数列，且b m ＝a ，b n ＝b (m ≠n ，n ∈N *)，若类比上述结论，可以得到b m ＋n ＝________.解析：将减、乘、除分别类比为除、乘方、开方，即得b m ＋n ＝n －m b na m .答案：n －m b na m三、解答题(本大题共6小题，共80分；解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)15．(12分)已知数列{a n }的第一项a 1＝1，且a n ＋1＝ n n a 1a (n ＝1,2,3，…)，计算a 2，a 3，a 4，并写出数列的通项公式(不要求证明)．解析：a 2＝a 11＋a 1＝11＋1＝12， a 3＝a 21＋a 2＝121＋12＝13， a 4＝a 31＋a 3＝131＋13＝14.于是，a n ＝1n .16．(12分)已知a 1、a 2、b 1、b 2∈R ＋，求证：(a 1＋b 1)(a 2＋b 2)≥a 1a 2＋b 1b 2.证明：从不等式的结构不易发现需要用哪些不等式的性质或事实解决这个问题，于是用分析法． 要证(a 1＋b 1)(a 2＋b 2)≥a 1a 2＋b 1b 2，只需证a 1a 2＋a 1b 2＋a 2b 1＋b 1b 2≥a 1a 2＋2a 1a 2b 1b 2＋b 1b 2， 即证a 1b 2＋a 2b 1≥2a 1a 2b 1b 2.∵a 1、a 2、b 1、b 2∈R ＋，∴a 1b 2＋a 2b 1≥2a 1a 2b 1b 2显然成立．从而，原不等式成立．17.(14分)设函数f (x )＝13ax 3＋bx 2＋cx (a ＜b ＜c )，其图象在点 A (1，f (1))，B (m ，f (m ) )处的切线斜率分别为0，－a ，求证：0≤b a ＜1.证明：f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c ，∵曲线在A ，B 处的切线斜率分别为0，－a ，∴f ′(1)＝0，f ′(m )＝－a ，即a ＋2b ＋c ＝0，am 2＋2bm ＋c ＝－a ，又a <b <c ，∴4a <a ＋2b ＋c <4c ，即4a <0<4c ，∴a <0，c >0.又c ＝－a －2b ，∴a <b <－a －2b ，∴－13<b a <1.① 把c ＝－a －2b ，代入am 2＋2bm ＋c ＝－a ，得am 2＋2bm －2b ＝0，∴Δ＝4b 2＋8ab ≥0，解得b a ≥0或b a ≤－2.②由①②，得0≤b a <1.18．(14分)已知a，b∈R＋，且a≠b，设f(n)＝a n－b n，且f(3)＝f(2)，求证：1＜a＋b＜4 3.证明：由f(n)＝a n－b n，f(3)＝f(2)，得a3－b3＝a2－b2.∵a，b∈R＋，且a≠b，∴a＋b＝a2＋ab＋b2<a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，∴a＋b>1.要证a＋b<43，只须证3(a＋b)2<4(a＋b)，即证3(a2＋2ab＋b2)<4(a2＋ab＋b2)，即证a2－2ab＋b2>0.即证(a－b)2>0.而(a－b)2>0在a≠b时恒成立．综上所述，1<a＋b<43.19.(14分)已知：f (x )＝x 2＋px ＋q .求证：(1)f (1)＋f (3)－2f (2)＝2；(2)|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12.证明：(1)f (1)＋f (3)－2f (2)＝1＋p ＋q ＋9＋3p ＋q －2(4＋2p ＋q )＝2.(2)反证法：假设|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|都小于12，那么2＝|f (1)＋f (3)－2f (2)|≤|f (1)|＋|f (3)|＋2|f (2)|<12＋12＋2·12＝2矛盾， 所以假设不成立，即|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12.20．(14分)设f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，若a ＋b ＋c ＝0，f (0)·f (1)＞0.求证：(1)方程f (x )＝0有实根；证明：若a ＝0，则b ＝－c ，f (0)·f (1)＝c (3a ＋2b ＋c )＝－c 2≤0，与已知矛盾，所以，a ≠0.由a ＋b ＋c ＝0，得方程3ax 2＋2bx ＋c ＝0的判别式Δ＝4(b 2－3ac )＝4[(a ＋c )2－3ac ]＝4(a 2＋c 2－ac )＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12c 2＋34c 2＞0 ， 故方程f (x )＝0有实根．(2)－2＜b a ＜－1；证明：由f (0)·f (1)＞0得c (3a ＋2b ＋c )＞0，又a ＋b ＋c ＝0，消去c ，可知，(a ＋b )(2a ＋b )＜0，由于a 2＞0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b a ＜0， 解得，－2＜b a ＜－1.(3)设x 1，x 2是方程f (x )＝0的两个实根，则33≤|x 1－x 2|＜23. 证明：依题意，知x 1＋x 2＝－2b 3a， x 1·x 2＝c 3a ＝－a ＋b 3a，所以(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝49⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋322＋13. 因为－2＜b a ＜－1，所以13≤(x 1－x 2)2＜49， 即33≤|x 1－x 2|＜23.。

高中新课标选修（1-2）推理与证明测试题一 选择题（5×12=60分）1. 如下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子应是什么颜色的（ ）A ．白色B ．黑色C ．白色可能性大D ．黑色可能性大 2．“所有9的倍数（M ）都是3的倍数（P ），某奇数（S ）是9的倍数（M ），故某奇数（S ）是3的倍数（P ）.”上述推理是（ ）A ．小前提错B ．结论错C ．正确的D ．大前提错 3．F （n ）是一个关于自然数n 的命题，若F （k ）（k ∈N ＋）真，则F （k ＋1）真，现已知F （7）不真，则有：①F （8）不真；②F （8）真；③F （6）不真；④F （6）真；⑤F （5）不真；⑥F （5）真.其中真命题是（ ）A ．③⑤B ．①②C ．④⑥D ．③④ 4.下面叙述正确的是（ ）A ．综合法、分析法是直接证明的方法B ．综合法是直接证法、分析法是间接证法C ．综合法、分析法所用语气都是肯定的D ．综合法、分析法所用语气都是假定的 5．类比平面正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可知正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是（ ）① 各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；② 各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等； ③ 各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等。

A ．①B ．①②C ．①②③D ．③6．（05·春季上海，15）若a ，b ，c 是常数，则“a ＞0且b 2－4ac ＜0”是“对x ∈R ，有ax 2＋bx ＋c ＞0”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．不充分不必要条件7．（04·全国Ⅳ，理12）设f （x ）（x ∈R ）为奇函数，f （1）＝12 ，f （x ＋2）＝f （x ）＋f（2），f （5）＝（ ）A ．0B ．1C ．52D ．58．设S （n ）＝1n ＋1n ＋1 ＋1n ＋2 ＋1n ＋3 ＋…＋1n2 ，则（ ）A ．S （n ）共有n 项，当n ＝2时，S （2）＝12 ＋13B ．S （n ）共有n ＋1项，当n ＝2时，S （2）＝12＋13＋14C ．S （n ）共有n 2－n 项，当n ＝2时，S （2）＝12＋13＋14D ．S （n ）共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，S （2）＝12＋13＋149．在R 上定义运算⊙：x ⊙y ＝x2－y ，若关于x 的不等式（x －a ）⊙（x ＋1－a ）＞0的解集是集合｛x ｜－2≤x ≤2，x ∈R ｝的子集，则实数a 的取值范围是（ ） A ．－2≤a ≤2 B ．－1≤a ≤1 C ．－2≤a ≤1 D ．1≤a ≤210．已知f （x ）为偶函数，且f （2＋x ）＝f （2－x ），当－2≤x ≤0时，f （x ）＝2x，若n ∈N *，a n ＝f （n ），则a 2006＝（ ）A ．2006B ．4C ．14D ．－411．函数f （x ）在［－1，1］上满足f （－x ）＝－f （x ）是减函数，α、β是锐角三角形的两个内角，且α≠β，则下列不等式中正确的是（ ）A ．f （sin α）＞f （sin β）B ． f （c o s α）＞f （sin β）C ．f （c o s α）＜f （c o s β）D ．f （sin α）＜f （sin β）12．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖”。

2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法和分析法第1课时综合法课时过关·能力提升基础巩固1如果公差不为零的等差数列中的第二、第三、第六项构成等比数列,那么这个等比数列的公比等于()A.1B.2C.3D.4a1,公差为d,等比数列的公比为q,则a2=a1+d,a3=a1+2d,a6=a1+5d.因为a2,a3,a6构成等比数列,所以a32=a2·a6,所以a1=−d2.所以q=a3a2=3.故选C.2对“a,b,c是不全相等的正数”,给出下列判断:①(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≠0;②a>b与a<b及a=b中,至少有一个成立;③a≠c,b≠c,a≠b不能同时成立.其中正确判断的个数为()A.0B.1C.2D.33已知x≥52,则a(a)=x2-4x+52x-4有()A.最大值54B.最小值54C.最大值1D.最小值1(x)=12·(x-2)2+1x-2=12(x-2+1x-2)≥12×2=1,当且仅当(x-2)2=1,即x=3时,等号成立.故选D.4在△ABC中,tan A·tan B>1,则△ABC是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定tan A ·tan B>1,∴角A ,角B 只能都是锐角.∴tan A>0,tan B>0,1-tan A ·tan B<0. ∴tan(A+B )=tanA+tanB1-tanA ·tanB <0. ∴A+B 是钝角.∴角C 为锐角.故选A .5设a ,b ∈R ,且a ≠b ,a+b=2,则必有( )A.1≤ab ≤a 2+b 22B.aa <1<a 2+b 22C.ab <a 2+b 22<1D.a 2+b 22<aa <16在△ABC 中,已知cos A cos B>sin A sin B ,则△ABC 的形状一定是 .cos A cos B>sin A sin B ,所以cos A cos B-sin A sin B=cos(A+B )>0. 故cos C<0,角C 为钝角,即△ABC 为钝角三角形.7若lg x+lg y=2lg(x-2y ),则l og √2xy = .{lg (xy )=lg (x -2y )2,x >0,y >0,x -2y >0,即x 2-5xy+4y 2=0,解得xy =1或x y =4. 因为x>2y ,所以xy =4,即l og √2xy =log √24=4.8函数y=f (x )的图象关于直线x=1对称,若当x ≤1时,f (x )=(x+1)2-1,则当x>1时,f (x )的解析式为 .(x 0,y 0)(x 0≤1)在函数f (x )=(x+1)2-1的图象上,又设点(x 0,y 0)关于x=1的对称点为(x',y'). 由对称可知{x '=2-x 0,y '=y 0,则{x 0=2-x ',y 0=y ',将点(2-x',y')的坐标代入f(x)=(x+1)2-1,得y'=(2-x'+1)2-1,即y'=(x'-3)2-1,所以当x>1时,f(x)的解析式为f(x)=(x-3)2-1.(x)=(x-3)2-19设a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,求1a +1b+1c的最小值.=1+ba +ca+1+ab+cb+1+ac+bc≥3+2+2+2=9,当且仅当a=b=c=13时,等号成立.故所求最小值为9.10设a,b,c为不全相等的正数,且abc=1,求证:1a +1b+1c>√a+√b+√c.abc=1代入,再利用基本不等式进行推证.a,b,c为不全相等的正数,且abc=1,∴1a+1b+1c=aa+aa+aa.又bc+ca≥2√bc·√ca=2√c,ca+ab≥2√ca·√ab=2√a,ab+bc≥2√ab·√bc=2√b,且a,b,c不全相等, ∴上述三个不等式中的“=”不能同时成立.∴2(bc+ca+ab)>2(√c+√a+√b),即bc+ca+ab>√a+√b+√c.故1a+1b+1c>√a+√b+√c.11在锐角三角形ABC中,已知3b=2√3a sin a,且cos a=cos a,求证:△ABC是等边三角形.3b=2√3a sin B,∴由正弦定理,得3sin B=2√3sin A sin B.∵B∈(0,π),∴sin B≠0,∴sin A=√3.∵△ABC是锐角三角形,∴A=π3.∵cos B=cos C,∴B=C.∴A=B=C=π3.∴△ABC是等边三角形.能力提升1设函数f (x )是定义在R 上的以3为周期的奇函数,若f (1)>1,f (2)=3a -4a+1,则a 的取值范围是( )A .a <34B.a <34,且a ≠-1 C .a >34或a <−1D.−1<a <34f (x )的周期为3,∴f (2)=f (-1).又f (x )是R 上的奇函数,∴f (-1)=-f (1). 则f (2)=f (-1)=-f (1).再由f (1)>1,可得f (2)<-1,即3a -4a+1<−1, 解得-1<a <34.2《算数书》竹简是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ,计算其体积V 的近似公式V ≈136a 2ℎ.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么,近似公式a ≈275a 2ℎ相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )A .227B.258C.15750D.355113L=2πr ,即r =L 2π,圆锥体积V =13a ℎ=13πa 2ℎ=13π·(L 2π)2ℎ=112πa 2ℎ≈275a 2ℎ,故112π≈275,π≈258,应选B .3若O 是平面上一定点,A ,B ,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +a (AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|),a ∈[0,+∞),则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A .外心 B .内心C .重心D .垂心OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +a (AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |),∴AP⃗⃗⃗⃗⃗ =a (AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |).∴AP 平分△ABC 中的∠BAC.∴动点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心.4已知函数f (x )=2x ,a ,b 为正实数,A=a (a+b2),a =a (√ab),a =a (2aba+b),则a ,a ,a 的大小关系是 .a+b2≥√ab(a ,a 为正实数),2aba+b ≤√ab,且f (x )=2x 在R 上是增函数,∴a (2aba+b )≤f (√ab)≤a (a+b2),即C ≤B ≤A.≤B ≤A5已知sin α+sin β+sin γ=0,cos α+cos β+cos γ=0,则cos(α-β)的值为 .sin α+sin β+sin γ=0,cos α+cos β+cos γ=0,∴{sinα+sinβ=-sinγ,cosα+cosβ=-cosγ.以上两式两边平方相加,得2+2(sin αsin β+cos αcos β)=1,∴cos(α-β)=−12.12 ★6正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1,在正方体的表面上与点A 距离为2√33的点形成一条曲线,这条曲线的长度为 .ADD 1A 1上的一段是以A 为圆心,2√3为半径,π为圆心角的一段圆弧,在平面A 1B 1C 1D 1上的一段是以A 1为圆心,√3为半径,π为圆心角的一段圆弧,由正方体的对称性知,这条曲线的长度为3(π6×2√33+π2×√33)=5√36π.7数列{a n }满足a 1=1,na n+1=(n+1)a n +n (n+1),n ∈N *. (1)证明:数列{a n n}是等差数列;(2)设b n =3n ·√a n ,求数列{aa }的前a 项和aa .a n+1n+1=a n n +1,即a n+1n+1−an n =1.所以数列{a nn }是以a11=1为首项,1为公差的等差数列.(1)得a n =1+(a −1)·1=n ,所以a n =n 2.从而b n =n ·3n .S n =1·31+2·32+3·33+…+n ·3n , ① 3S n =1·32+2·33+…+(n-1)·3n +n ·3n+1. ②①-②,得-2S n =31+32+…+3n -n ·3n+1 =3·(1-3n )1-3−a ·3n+1=(1-2n )·3n+1-32, 所以S n =(2n -1)·3n+1+3.★8如图所示,设抛物线y 2=2px (p>0)的焦点为F ,经过点F 的直线交抛物线于A ,B 两点,点C 在抛物线的准线上,且BC ∥x 轴,证明:直线AC 经过原点O.,解决本题应先画出图形,将文字语言转化为图形语言,借助图形的直观性,帮助分析证题思路.抛物线的方程为y 2=2px (p>0),∴焦点为a (p2,0).∴设过点F 的直线AB 的方程为x=my +p. 由{x =my +p2,y 2=2px得y 2-2pmy-p 2=0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 1,y 2是上述方程的两个根,∴y 1y 2=-p 2. ∵BC ∥x 轴,且点C 在准线x=−p2上, ∴点C 的坐标为(-p 2,y 2), ∴直线CO 的斜率k =y 2-p 2=2p y 1=y1x 1, 即k 也是直线OA 的斜率, ∴点A ,O ,C 在同一条直线上, ∴直线AC 经过原点O.。