二阶电路的零输入响应讲义

实验十八 二阶网络的零输入响应和零状态响应

一、实验目的

1．研究二阶网络的零输入响应和零状态响应的基本规律和特点；

2．了解网络参数对响应的影响；

3．提高和巩固使用示波器的脉冲信号发生器的能力。

二、原理

1．零输入响应：图18-1所示电路为RLC并联电路，其电流、电压的参考方向如图中所示。根据基尔霍夫电流定律，可以得到以uC为变量的微分方程式

022CCcudtduRLdtudLC (18-1)

图18-1

（18-1）式为一个二阶常系数齐次微分方程式，这说明RLC并联电路是一个二阶网络。为求其解答，必须知道未知量uC的两个初始条件；uC(0)及0dtduC，其中CIdtduLC)0(0。由此可见二阶网络的零输入响应，是网络中动态元件的初始状态iu(0)和)0(iL所产生的响应。

解(18-1)式可得

tstsCekektu2121)( (18-1)

其中S1、S2为式(18-1)特征方程的根

LCRCCRS1212122,1 (18-3)

令RC21，LCn1，22nd

则 02,1jS (18-4)

S1和S2称为电路的固有频率。K1和K2是由初始条件确定的常数，其中

])0()0([12111CiuSSSKL

])0()0([11212CiuSSSKL

由于电路参数RLC之间的关系不同，固有频率S1和S2可能出现以下三种情况。

(1) LCRC121时，S1、S2为不相等的负实数，响应是非振荡性的，称为过阻尼情况。 (2) LCRC121时，S1、S2为相等的负实数时，响应是临界振荡状态，称为临界阻尼情况。

(3) LCRC121时，S1、S2共轭复数，说明响应是振荡性的，称为欠阻尼情况。这时，式(18-2)可写为

二阶电路零状态响应的特点

二阶电路的零状态响应的特点如下：

1. 振荡：如果二阶电路的初始条件为零，并且输入信号是突然施加的跳变信号，那么其零状态响应将是一个振荡信号。振荡的频率和阻尼系数有关，它的振幅可能随着时间的推移而消失。

2. 瞬态响应：二阶电路的零状态响应包括一个瞬态响应和一个稳态响应。瞬态响应是指电路在一段时间内响应输入信号后的短暂变化。瞬态响应的形状取决于电路的初始状态和输入信号的形状。

3. 超调：在二阶电路的零状态响应中，可能会出现过度响应现象，即响应的幅度超过稳态响应的幅度。这种过度响应叫做超调。超调现象可能出现在输入信号是一个跳变或脉冲信号的情况下。

4. 阻尼：阻尼系数决定了二阶电路的响应的衰减速率。如果电路的阻尼系数较小，响应会延迟一段时间才能衰减。

5. 稳态响应：稳态响应是指电路在响应输入信号后，达到一种平稳的状态，没有瞬态响应的影响。稳态响应取决于电路的特性和输入信号的频率和幅度。

第七章 二阶电路

§7-1 二阶电路的零输入响应

用二阶方程描述的动态电路称为二阶电路，当电路有电感，又有电容时就是一个二阶电路，二阶电路中给定的初始条件有2个

一、方程及特征根（RLC串联）

022CCCudtduRCdtudLC

特征根为：

LCLRLRp12221

LCLRLRp12221

零输入响应为：ttPPCeAeAu2121

1．电路的初始条件有三种情况，分别为：

①0)0(0)0(LCiu

②0)0(0)0(LCiu

③0)0(0)0(LCiu

我们讨论第二种情况，设0)0()0()0()0(LLCCiiuuu

2．特征根p1、p2有不等负实数根、相等负实数根、一对共轭复数根三种情况，这三种情况决定零输入响应不同。

二、CLR2（1P、2P有不等负实根）时电路的响应 —是一个非振荡放电过程

1．电容上的电压和电流及电感上的电压响应表达式为：

)(2112120ttPPCePePPPUu

LCpp121

)()()(2121120112210ttttPPPPCeePPLUePePPPPCUdtduCi )(2121120ttPPLePePPPUdtdiLu

2．响应曲线

2112)/ln(PPPPTm

此时电感电压过0，电流取得最大值

mtt2 此时电感电压有极值

三、CLR2（1P、2P有共轭复根）时电路的响应—是一个振荡放电过程

1．电容上的电压和电流及电感上的电压为：

)(2112120ttPPCePePPPUu

)2)(0)(00tjitjjeeeejU

jeeeUtjttjt2)()(00

动态电路分析 142 第7章

图7-5 单位阶跃响应

7.3.3 电路的冲激响应与阶跃响应

1．冲激响应 当激励为单位冲激函数时，电路的零状态响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，用 (t)

表示。图7-6所示为一阶RC电路，在激励作用前处于零状态。电压源为单位冲激函数时，根据图可以列出电容电压UC(t)响应的微分方程为CCSd

1

dUUU

tRCRC。

2．阶跃响应

当激励为单位阶跃函数时，电路的零状态响应称为单

位阶跃响应，简称阶跃响应，用 (t)表示。阶跃响应 (t)方程为d()()()

dttUt

tRCRC

。

7.4

二阶电路的零输入响应

二阶电路是指用二阶微分方程来描述的电路。下面主要通过分析RLC串联电路来说明求二

阶电路响应的方法。

图7-7所示为RLC串联电路，在t = 0时刻闭合开关，设电

容原本充有电压U0，此电路的放电过程是二阶电路的零输入响

应问题。电路的KVL方程及元件的电压电流关系为

Ri + uL − uC = 0

C

Ldd

ddui

iCuL

tt，

若以电容电压为变量，从以上方程中消去其他变量，得二阶齐次微分方程

2

CC

Cdd

0

dduu

LCRCu

tt

图7-6 一阶RC电路

图7-7 RLC串联电路