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一阶电路的零输入响应第 3 节一阶电路的零输入响应零输入响应：电路无外加激励，仅由动态元件的初始储能作用所产生的响应，称为零输入响应（ zero-input response ）。
一、 RC 电路的零输入响应图 5.3-1 （ a ）电路， t=0 时开关 S 由位置 1 拨到位置 2 ，讨论换路后时的电容电压、电容电流等响应的变化规律。
电路换路之前开关 S 处于位置 1 ，直流电压源 Us 对电容 C 充电，电路已处于稳定状态，换路前的等效电路如图5.3-1 （ b ）所示。
时刻，电容电压等于直流电压源的电压 Us ，即时刻，电容与电压源断开，与电阻 R 形成新的回路，这时的等效电路如图 5.3-1 （ c ）所示。
由换路定则得换路后电容电压的初始值电容电流的初始值为图 5.3-1 （ c ）电路，由 KVL ，可得用积分变量分离法进行求解，得式中，为 RC 电路的时间常数（ time constant ），当 R 的单位为Ω， C 的单位为 F 时，τ的单位是秒（ s ）。
时间常数：时间常数是反映一阶电路过渡过程进展快慢的一个重要的参数，其大小仅取决于电路的结构和参数。
τ越大，响应衰减的速度就越慢；τ越小，响应衰减的速度就越快。
用表示电路换路后的响应，用表示该响应的初始值，则 RC 一阶电路的零输入响应可表示为RC 电路零输入响应的规律RC 电路换路后，各处的零输入响应都是从初始值开始，按指数规律衰减。
衰减得快慢由时间常数τ决定。
二、 RL 电路的零输入响应图 5.3-3 （ a ）是 RL 动态电路。
电路换路之前开关 S 处于位置 1 ， t=0 时开关 S 由位置 1 拨到位置 2 。
下面讨论换路后时的电感电流、电感电压等响应的变化规律。
时刻，电路换路之前开关 S 处于位置 1 ，直流电流源 Is 对电感 L 充电，电路已处于稳定状态，换路前的等效电路如图 5.3-3 （ b ）所示。
t=0 时，开关 S 拨到位置 2 ，时，电感与电流源断开，而与电阻 R 形成新的回路，这时的等效电路如图5.3-3 （ c ）所示。
一阶电路零状态响应公式在电路理论中，一阶电路是指由一个电感或一个电容和一个电阻组成的电路。
它是电路理论中最基本的电路之一，也是我们学习电路的起点。
在分析一阶电路时，我们经常需要计算电路的零状态响应，即在初始时刻电路中没有任何电流或电压的情况下，当输入信号突然改变时电路的响应。
一阶电路的零状态响应公式可以通过求解电路的微分方程得到。
对于一个由电感、电阻和输入电压源组成的串联电路，我们可以根据基尔霍夫电压定律和欧姆定律建立如下的微分方程：L di/dt + Ri = Vin其中，L是电感的感值，单位是亨利；R是电阻的阻值，单位是欧姆；Vin是输入电压源的电压，单位是伏特；i是电路中的电流，单位是安培；t是时间，单位是秒。
为了求解这个微分方程，我们可以使用分离变量法。
首先，将方程两边除以L，得到：di/dt + (R/L)i = Vin/L接下来，我们可以将这个微分方程进行变换，使得左边只有i的导数，右边只有t和Vin。
具体的变换方法是将方程两边乘以e^(Rt/L)，得到：e^(Rt/L)di/dt + (R/L)e^(Rt/L)i = (Vin/L)e^(Rt/L)这样，左边的第一项可以通过链式法则转化为：d(e^(Rt/L)i)/dt右边的第一项可以通过乘法法则转化为：(Vin/L)e^(Rt/L)现在，我们可以将方程重新写成：d(e^(Rt/L)i)/dt = (Vin/L)e^(Rt/L)接下来，我们对方程两边进行积分，得到：∫d(e^(Rt/L)i) = ∫(Vin/L)e^(Rt/L)dt对于左边的积分，我们可以使用积分的基本性质，得到：e^(Rt/L)i = ∫(Vin/L)e^(Rt/L)dt + C其中，C是积分常数。
最后，我们可以解出i的表达式：i = (1/L)e^(-Rt/L)∫(Vin/L)e^(Rt/L)dt + Ce^(-Rt/L)这就是一阶电路的零状态响应公式。
通过这个公式，我们可以计算出在初始时刻电路中没有任何电流或电压的情况下，当输入信号突然改变时电路的响应。
一阶电路的零输入响应所谓零输入响应就是没有外部激励输入，仅仅依靠动态元件中的储能产生的响应。
换句话说，就是求解微分方程在初始条件不为零时的齐次解。
1 RC 电路的零输入响应如图1-4-5（a）所示的电路中：t<0 时，开关在位置1，电容被电流源充电，电路已处于稳态，电容电压uC（0－）＝RIS；在t＝0 时，开关按箭头方向动作；在t≥0 时，电容将对R 放电，电路如图1-4-5（b）所示，电路中形成电流i。
故t>0 后，电路中无电源作用，电路的响应均是由电容的初始储能而产生，故属于零输入响应。
换路后得图1-4-5（b），根据KVL有uR +uC=0，而代入上式可得图1-4-5 RC电路的零输入这是一个一阶齐次方程，根据换路定理，可知初始条件uC （0+）＝uC（0－）＝u。
方程的通解为将初始条件uC （0+）＝RIS代入式（1-4-12），求出积分常数A为将uC （0+）代入式（1-4-12），得到满足初始值的微分方程的通解为放电电流为令τ＝RC，它具有时间的量纲，即故称τ为时间常数，这样式（1-4-13）、（1-4-15）可分别写为。
由于，为负，故uC和i均按指数规律衰减，它们的最大值分别为初始值uC （0+）＝RIS，以及，当t→∞时，uC和i衰减到零。
其变化曲线如图1-4-6所示。
图1-4-6 RC 电路零输入响应电压电流波形图关于零输入响应曲线的几点说明：（1）时间常数是体现一阶电路电惯性特性的参数，它只与电路的结构与参数有关，而与激励无关。
（2）对于含电容的一阶电路，τ＝RC；对于含电感的一阶电路，。
（3）τ越大，电惯性越大，相同初始值情况下，放电时间越长。
（4）一阶电路方程的特征根为时间常数的相反数；它具有频率的量纲，称为“固有频率”（natural frequency）。
理论上认为t→∞、uC →0 时，电路达稳态；工程上认为t＝（3－5）τ、uC→0，电容放电基本结束。
实验十-一阶电路的零输入、零状态、全响应验证
实验十一阶电路的零输入、零状态、全响应验证
一、实验目的
1.通过实验，掌握用简单的R-C 一阶电路观测零输入响应、零状态响应和完全响应的实验方法。
2.学习电路时间常数的测量方法
3.掌握有关微分电路和积分电路的概念
二、实验原理
零输入响应：换路后外加激励为零，仅由动态元件初始储能所产生的电压和电流。
零状态响应：动态元件初始能量为零，由 t >0 电路中外加输入激励作用所产生的响应。
全响应响应：零输入响应加上零状态响应
三、实验内容（实验过程）（1）创建如下图所示的电路图。
调节示波器参数，观察充放点波形。
选择开关按钮，启动示波器，并且按 Space 按键切换开关分别接通充电和放电电路，
观察不同时间常数下 RC 电路的充放电规律。
a：C=0.2μF
零输入：
零输入：
零状态：
c：C=2μF 零输入：
零响应：
d：C=4μF 零输入：
零响应：
(2)创建如下图所示的电路图
a、c=0.2μF
b、c=1μF
c、c=2μF
d、c=4μF
2、数据分析
通过以上波形，可以看见随着C的不断增大，零输入，零响应，全响应的变化过程即上升沿下降沿都是越来越宽。
也就是时间也就越来越长。
rc一阶电路的零状态响应,按指数规律上升,按指数规律衰减RC一阶电路是由电阻（R）和电容（C）组成的电路。
在零状态响应中，我们考虑的是电路在初始时刻没有存储能量的情况下的响应。
1.按指数规律上升：在RC一阶电路的零状态响应中，如果输入信号是一个突变或阶跃信号，电路的响应将按指数规律上升。
在这种情况下，电容充电的速度呈指数增长。
电路响应的形式可以用指数函数来描述。
2.按指数规律衰减：如果初始时刻存在存储在电容中的能量，当电路处于零状态时，电路的响应将按指数规律衰减。
在这种情况下，电容中的电荷将以指数方式耗散，电路的响应呈指数衰减。
总体来说，RC一阶电路的零状态响应是一个指数规律的过程，其上升或衰减的速率取决于电路的参数（电阻值R和电容值C）以及输入信号的特性。
这种响应通常可以用微分方程和指数函数来建模和描述。
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