一阶RC电路零输入响应的求解

一阶电路的零输入响应第 3 节一阶电路的零输入响应零输入响应：电路无外加激励，仅由动态元件的初始储能作用所产生的响应，称为零输入响应（ zero-input response ）。

一、 RC 电路的零输入响应图 5.3-1 （ a ）电路， t=0 时开关 S 由位置 1 拨到位置 2 ，讨论换路后时的电容电压、电容电流等响应的变化规律。

电路换路之前开关 S 处于位置 1 ，直流电压源 Us 对电容 C 充电，电路已处于稳定状态，换路前的等效电路如图5.3-1 （ b ）所示。

时刻，电容电压等于直流电压源的电压 Us ，即时刻，电容与电压源断开，与电阻 R 形成新的回路，这时的等效电路如图 5.3-1 （ c ）所示。

由换路定则得换路后电容电压的初始值电容电流的初始值为图 5.3-1 （ c ）电路，由 KVL ，可得用积分变量分离法进行求解，得式中，为 RC 电路的时间常数（ time constant ），当 R 的单位为Ω， C 的单位为 F 时，τ的单位是秒（ s ）。

时间常数：时间常数是反映一阶电路过渡过程进展快慢的一个重要的参数，其大小仅取决于电路的结构和参数。

τ越大，响应衰减的速度就越慢；τ越小，响应衰减的速度就越快。

用表示电路换路后的响应，用表示该响应的初始值，则 RC 一阶电路的零输入响应可表示为RC 电路零输入响应的规律RC 电路换路后，各处的零输入响应都是从初始值开始，按指数规律衰减。

衰减得快慢由时间常数τ决定。

二、 RL 电路的零输入响应图 5.3-3 （ a ）是 RL 动态电路。

电路换路之前开关 S 处于位置 1 ， t=0 时开关 S 由位置 1 拨到位置 2 。

下面讨论换路后时的电感电流、电感电压等响应的变化规律。

时刻，电路换路之前开关 S 处于位置 1 ，直流电流源 Is 对电感 L 充电，电路已处于稳定状态，换路前的等效电路如图 5.3-3 （ b ）所示。

t=0 时，开关 S 拨到位置 2 ，时，电感与电流源断开，而与电阻 R 形成新的回路，这时的等效电路如图5.3-3 （ c ）所示。

总结rc一阶电路的零输入响应
RC一阶电路是电子电路中常见的一个电路，它指由一电阻(R)和一电容(C)串联组成的电路。

在电路中加入一个电源后，由于这种电路的特性，电容器会在电路上开始充电，从而转化为一个开环档位，对于这个开环档位，可以对它的零输入响应进行详细的分析。

零输入响应是指在没有输入信号的情况下，电路的输出变化情况。

在RC一阶电路中，当没有输入信号时，可以将电路简化为一个纯电容充放电的过程，其响应的特性主要由电容器本身的性质决定。

电容器的充放电过程可以用微积分的方法求解，具体表现为：
Q(t)=C*Vc(t)
其中Q(t)表示电容器储存的电量，C是电容量，Vc(t)是电容电压。

由上式可以得到Vc(t)=Q(t)/C，代入一阶RC电路中的基尔霍夫第二定律中，可以得到如下微分方程：
Vc(t)/R + C*dVc(t)/dt = 0
将该微分方程分离并积分后，可以得到如下的零输入响应方程式：
其中，Vc(0)表示电容电压初值。

上述方程说明，当RC电路没有输入信号的时候，其输出变化的过程受到电容器充放电的影响，根据RC电路的特性，电容器的电压呈指数级下降。

而速度由RC的参数决定。

需要注意的是，由于电容器的电压馈入电路，导致电路内部存在电势差，所以在实际电路中还会存在一定的漂移电流。

漂移电流会影响电容器储存电荷的过程，从而影响RC电路的响应速度，需要在电路设计过程中加以注意。

研究RC一阶电路的零输入响应，对于理解RC一阶电路的基本特性非常重要。

了解了这个基本特性后，我们可以在实际电路应用中更加轻松地设计和优化RC电路，以便更好地满足设计要求。

实验RC一阶电路的响应及其应用一、实验目的1. 测定RC一阶电路的零输入响应、零状态响应及完全响应。

2. 学习电路时间常数的测量方法，了解微分电路和积分电路的实际应用。

3. 进一步熟悉示波器的使用，学会用示波器测绘图形。

二、原理说明一阶电路的过渡过程是由于电路中有一个电容或电感逐步储存或释放能量的渐变过程引起的，该过渡过程是十分短暂的单次变化过程，对时间常数τ较大的电路，可用慢扫描长余辉示波器观察光点移动的轨迹。

然而能用一般的双踪示波器观察过渡过程和测量有关的参数，必须使这种单次变化的过程重复出现。

为此，我们利用信号发生器输出的矩形脉冲序列波来模拟阶跃激励信号，即令方波输出的上升沿作为零状态响应的正阶跃激励信号；方波下降沿作为零输入响应的负阶跃激励信号。

只要选择方波的重复周期Ｔ与电路的时间常数τ满足一定的关系，它的响应和直流电源接通与断开的过渡过程是基本相同的。

1. RC电路的过渡过程其电路组成和响应波形如图11-1所示。

状态响应图11-1RC一阶电路及其响应波形零输入响应：设ｕC(0)＝Uo，开关由1→2，换路后ｕC(t)＝Use－t/τ，ｔ≥０,零状态响应：ｕC(0)＝0，开关由2→1，换路后ｕＣ(t)＝Us（1－e－ｔ／τ），ｔ≥０RC 一阶电路的零输入响应和零状态响应分别按指数规律衰减和增长，其变化的快慢决定于电路的时间常数τ（τ＝RC）。

2. 时间常数τ的测定用示波器测定RC 电路时间常数的方法如下：在RC 电路输入矩形脉冲序列信号，将示波器的测试探极接在电容两端，调节示波器Y轴和X轴各控制旋钮，使荧光屏上呈现出一个稳定的指数曲线如图11-2所示。

根据一阶微分方程的求解得知当t ＝τ时，ｕC(τ)＝0.632Us 设轴扫描速度标称值为Ｓ(s /cm)，在荧光屏上测得电容电压最大值U cm＝U s＝a(cm)在荧光屏Y轴上取值ｂ＝0.632×ａ(cm)在曲线上找到对应点Ｑ和Ｐ，使PQ＝ｂ测得OP＝n (cm)则时间常数τ＝Ｓ(s/cm)×n(cm)亦可用零输入响应波形衰减到0.368Us时所对应的时间测取。

实验五RC—阶电路的响应测试一、实验目的1.测定RC-阶电路的零输入响应、零状态响应及全响应。

2.掌握有关微分电路和积分电路的概念。

3.学会时间常数T的测定方法。

4.进一步学会用示波器观测波形。

二、原理说明图5」所示的矩形脉冲电压波5可以看成是按照一定规律定时接通和关断的直流电压源U。

若将此电压5加在RC串联电路上（见图5.2）,则会产生一系列的电容连续充电和放电的动态过程，在5的上升沿为电容的充电过程，而在5 的下降沿为电容的放电过程。

它们与矩形脉冲电压5的脉冲宽度匕及RC串联电路的时间常数T有十分密切的关系。

当5不变时，适当选取不同的参数，改变时间常数T,会使电路特性发生质的变化。

图5.1矩形脉冲电压波形图5.2 RC串联电路图1 • RC 一阶电路的零状态响应所有储RC喚+ u - U °的电路％（t） = U 卢响应。

电路的微分方程为：RC dt +%-U叫其解为（• 忒八一丿，式中，T=RC为该电路的时间常数。

2.RC-阶电路的零输入响应电路在无激励情况下，由储能元件的初始状态引起的响应称为零输入响应。

电路达到'* ciu c- •'器经R放I V各响应为零输入响应。

电路的微分方程为：RC盂十％"其解为％（t）= U m e \RC —阶电路的零输入响应和零状态响应分别按指数规律衰减和增长（如图5.3 所示），其变化的快慢决定于电路的时间常数T。

3.时间常数T的测定方法方法一：在已知电路参数的条件下，时间常数可以直接由公式计出，T=RC。

方法二：对充电曲线（零状态响应），电容的端电压达到最大值的1二（约0.632）倍时所需要的时间即是时间常数T。

如图5.3 （a）所示，用示波器观测响应波形, 取上升曲线中波形幅值的0.632倍处所对应的时间轴的刻度，计算出电路的时间常数：丫 =扫描时间X 0P其中，扫描时间是示波器上x轴扫描速度开关“t/div”的大小。

rc零状态响应公式1. 一阶RC电路零状态响应公式推导。

- 对于一阶RC电路，设电路的输入为阶跃电压u_s = Uvarepsilon(t)（varepsilon(t)为单位阶跃函数），初始时刻电容电压u_C(0 - )=0。

- 根据KVL（基尔霍夫电压定律），u_R+u_C = u_s，又因为i = C(du_C)/(dt)，且u_R = Ri，所以RC(du_C)/(dt)+u_C = u_s。

- 这是一个一阶线性非齐次常微分方程，其解u_C(t)由齐次方程的通解u_Ch(t)和非齐次方程的特解u_Cp(t)组成。

- 对于齐次方程RC(du_C)/(dt)+u_C = 0，其特征方程为RCs + 1=0，解得s=-(1)/(RC)，所以齐次通解u_Ch(t)=Ae^-(t)/(RC)。

- 非齐次方程的特解，由于u_s = Uvarepsilon(t)为常数，所以特解u_Cp(t)=U。

- 那么u_C(t)=u_Ch(t)+u_Cp(t)=Ae^-(t)/(RC)+U。

- 利用初始条件u_C(0 + ) = u_C(0 - ) = 0，可得0 = A+U，即A=-U。

- 所以一阶RC电路零状态响应的电容电压公式为u_C(t)=U(1 - e^-(t)/(RC))，电流i = C(du_C)/(dt)=(U)/(R)e^-(t)/(RC)。

2. 二阶RC电路零状态响应（以串联RLC电路为例简单说明）- 对于串联RLC二阶电路，其电路方程为LCfrac{d^2u_C}{dt^2}+RC(du_C)/(dt)+u_C = u_s。

- 在零状态下u_C(0 - ) = 0，i(0 - )=(du_C)/(dt)(0 - ) = 0。

- 设u_s = Uvarepsilon(t)，先求齐次方程LCfrac{d^2u_C}{dt^2}+RC(du_C)/(dt)+u_C = 0的通解。

- 其特征方程为LCs^2+RCs + 1 = 0，解得s_1,2=frac{-R±√(R^2)-4L/C}{2L}。

一阶电路：可用一阶常微分方程描述的电路。

零输入响应：换路后无独立源的电路中，仅 由储能引起的响应。

1. RC 电路的零输入响应 +C u -R C i C -+Ru 0R C u u -+=0(0)C u U -=C u 0U S(0)t =R C +-a bC C Ri u -+R C u u -+=d 0d C C u RC u t=+=0(0)(0)C C u u U +-==d 0d C C u RC u t +=10RCp +=特征方程1p RC =-e e tptRC C u A A -==通解 特征根 +C u -RC i C -+R u00(0)e C u A A U +===确定AC u =0d e (0)d tC RCC u U i C t t R -=-=>0(0)e e (0)t tRC RC C u U t --+=≥解得 Cu R=t = 0处不连续2. 分析u c (t)和 i c (t)的变换规律 Ot0U Cu (a)O t C i R U 0(b)0e (0)tRC C u U t -=≥0e (0)t RC C U i t R-=>u C 和i C 的衰减速率取决于RC 之积 。

令 时间常数 (单位：s)RC τ=0 … 0.007U 00.018U 0 0.05U 0 0.135U 0 0.368U 0 U 0 u C (t ) ∞ …5τ 4τ 3τ 2τ τ 0 t τ 对放电时间的影响U 0u CO t U 0.3680τ3τ2τ1不同τ 值的 u C<<τττ123有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６或关注桃报：奉献教育（店铺）22C C W Cu =电容储能越多 C 越大τ 越大 2/R p u R =R 越大 电阻消耗功率越小放电时间越长222000001()d ()d (e )d 2t RC R C U p t t i t R t R t CU R +++-∞∞∞===⎰⎰⎰电阻所消耗的能量 2220111(0)(0)(0)222C C C W Cu Cu CU ++-===电容的原始储能。

3.3 RC电路的响应经典法分析电路的暂态过程，就是根据鼓励通过求解电路的微分方程以得出电路的响应。

鼓励和响应都是时间的函数所以这种分析又叫时域分析。

RC电路的零输入响应零输入响应------无电源鼓励，输入信号为零。

在此条件下，由电容元件的初始状态u C〔0+〕所产生的电路的响应。

分析RC电路的零输入响应，实际上就是分析它的放电过程。

如图(RC串联电路，电源电压U0)。

换路前，开关S合在位置2上，电源对电容充电。

t=0时将开关从位置2合到位置1，使电路脱离电源，输入信号为零。

此时，电容已储有能量，其上电压的初始值u C〔0+〕=U0；于是电容经过电阻R 开场放电。

根据基尔霍夫电压定律，列出t≥0时的电路微分方程RCdu C/dt+u C=0式中i=Cdu C/dt令式的通解为u C=Ae ptpt得微分方程的特征方程RCp+1=0其根为p=-1/RC于是式的通解为u C=Ae-1t/RC定积分常数A。

根据换路定那么，在t=0+时，u C〔0+〕=U0，那么A=U0。

所以u C= U0e-1t/RC= U0 e-1/τ------ C图3.3.1RC放电电路-+-U+u C-t=0+u CSiR其随时间变化的曲线如下列图。

它的初始值为U 0，按指数规律衰减而趋于零。

式中，τ=RC 它具有时间的量纲，所以称电路时间常数。

决定u C 衰减的快慢。

当t=τ时， u C = U 0e -1=U 0/2.718=36.8%U 0 可见τ等于电压u C 衰减到初始值U 0的36.8%所需的时间。

可以用数学证明，指数曲线上任意点的次切距的长度都等于τ。

以初始点为例〖图〔a 〕〗du C /dt=-U 0/τ 即过初始点的切线与横轴相交于τ。

从理论上讲，电路只有经过t=∞的时间才能到达稳定。

但是，由于指数曲线开场变化较快，而后逐渐缓慢，如下表所列 τ 2τ 3τ 4τ 5τ 6τ e -1 e -2 e -3 e -4 e -5 e -6 o.3680.1350.0500.0180.0070.002所以，实际上经过t=5τ的时间，就足以认为到达稳态了。