3.2向量与向量的线性组合

19
是否线性相关。 因为
例5. 当向量组含两个非零向量时，
设
与 线性相关
证明: 使得
与
若
对应分量成正比
与
线性相关，则存在不全为零的数
或
或
即
与
的对应分量成比例.
20
例如
对应分量不成比例，
线性无关。
对应分量成比例， 几何上说向量 共线。
线性相关。
21
例6. 求证含有零向量的向量组必线性相关,
证明: 设向量组 取数 必有 则此向量组必定线性相关。 中，
第二步将
代入
得齐次线性方程组。
30
有
第三步根据方程组的解来判别线性相关还是线性无关： 线性相关。 方程组有非零解，则称向量组 方程组只有零解，则称向量组 线性无关。 下面介绍利用矩阵的秩来判别向量组的线性相关性 的方法。 这是判别向量组线性相关性的主要方法。
31
线性相关 （无关） 有非零解 （只有零解） ） 秩 A m （秩 A m 此定理是证明向量组线性相关性的基本方法。 推论1 当m=n时，即向量个数=分量个数时, 线性相关（线性无关） 向量组构成行列式的值为零，即 A 0. ( A 0). 推论2 设n 维向量组中含有m个向量, 当m>n 时， 此向量组必定线性相关。
组合，即存在不全为0的数
由于
不全为0， 线性相关.
则
41
向量 这说明
可由
线性表示， 线性相关；
而向量组 e1 , e2 ,, en 中任一向量都不能被 其他向量线性表示,其线性无关。
一个向量组中有没有某个向量可由其余向量 线性表示， 这是向量组的一种属性，称为向量组的 线性相关性。

矩阵方程组 AX = B 有解
R( A) R( A,b)
R(A) R(A, B) R(B) R( A)
R( A) R(B) R( A, B)
知识结构图
n维向量 向量组 向量组的线性组合 向量组的线性表示 向量组的等价
向量组与矩阵的对应
判定定理及必要条件 判定定理
存在有限个初等矩阵P1, P2, …, Pl ，使 AP1 P2 …, Pl = B
把 P 看成
存在 m 阶可逆矩阵 P，使得 AP = B
是 线性表示的
系数矩阵
矩阵 B 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价
同理可得
r
A~ B
矩阵 B 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价
向量组 B：b1, b2, …, bl 能由向量组 A：a1, a2, …, am 线性表示 存在矩阵 K，使得 AK = B 矩阵方程 AX = B 有解 R(A) = R(A, B) （P.84 定理2） R(B) ≤ R(A) （P.85 定理3） 因为 R(B) ≤ R(A, B)
1
1 0 0
0
0
1
0
0
En
0
0
1
0
0 0 0
1
n 阶单位矩阵 En 的列向量叫做 n 维单位坐标向量．
回顾：线性方程组的表达式
1. 一般形式
3
x1 x1
4x2 x3 x2 2x3
5 1
2. 增广矩阵的形式
3 4 1 5
1
1
2 1
3. 向量方程的形式
4. 向量组线性组合的形式
(
A,
b)
1
2
1
0
r
~

可由向量组1, 2, …, m线性表示, 也称向量是向量组1,
2, …, m的线性组合.
例1 设T=(2,1,0,1), 1T=(1,1,0,0), 2T=(0,1,0,1),
3T=(1, 0, 0, 1), 问能否由向量组1, 2, 3线性表示.
解 设 =k11+k22+k33 , 即
向量组1,2, …,n称为A的列向量组. 即A=(1, 2, …, n).
m×n 矩阵A=(aij)也对应m 个n 维行向量
α1 a11 a12 a1n
… … … …Biblioteka …α2 a21 a22 a2n
αm am1 am2 amn
α1 α2 ,即A αm
1 0 1 即 1 1 α = (β1 , β 2 , β3 ) 2 0 0 1 0 -1 -1 2 1 0 -1 2 = 0 0 1 1 1
一般地, 对列向量, =k11+k22+…+kss 可写成
§2 线 性 关 系
若干个同维数的列向量(或行向量)组成的集合叫做向 量组. 如:m×n 矩阵A=(aij)对应n 个m 维列向量
a11 a β1 21 am1
a1n a12 a2 n a22 , , β n , β2 am 2 amn
向量组1, 2,…,m, 称为矩阵A的行向量组. 反之, 由有限个向量组成的向量组也可构成一个矩阵. 线性方程组Ax=b也可以用向量表示成: x11+x22+ …+xnn= 定义3.2 给定向量组: 1, 2, …, m, 若存在一组数 k1,k2 , …,km , 使: =k11+k22+ …+kmm , 则称向量

3.3 n元向量的线性关系一.线性组合和等价向量组定义3.1n 个数组成的有序数称为n 元向量，其中称为这n 元向量的第i 个分量，常用或表示n 元向量。

12(,,,)n a a a i a αβ12(,,,)Tn a a a α=12 n a a a α⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭n 元列向量（常用）：n 元行向量：12 ,n a a a α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭12 n b b b β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭定义3.2 两个n 元向量：当他们各个分量对应相等时，即则称与相等，记做12,1,2,,,a b i n ==αβ.αβ=定义3.2 设n 元向量与，k 为数，则n 元向量αβ1122 ,n n a b a b a b +⎛⎫ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭12 n ka ka ka ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭称为与的和，k 与的数量乘积。

αβα•通常将向量的加法、数乘运算称为向量的线性运算。

定义3.3 设一组向量，若存在一组数，使12,,,,m βααα12,,,m k k k 1122m mk k k βααα=+++则称是向量组的线性组合，或称可以由向量组线性表示。

β12,,,m αααβ12,,,m ααα(1).零向量可以经任意向量组线性表示。

(2).任一n 元向量可以经由n 元向量组线性表示式：0(0,0,0)T=12(,,,)Tn a a a α=1(1,0,,0),(0,0,,1)T T T Tn e e ==1122.n n e e e αααα=++•向量是矩阵A 各列向量的线性组合的两个充要条件：•线性方程组相容。

•矩阵的秩与矩阵相同。

且线性表示式中系数可以由线性方程组的解给出。

β12,,,m αααAX β=12(,,,)m ααα12(,,,,)m αααβ例1已知向量试问可否经向量组线性表示。

12(1,0,2,1),(1,0,2,1),T Tαα==34(2,1,3,0),(2,5,1,4),TTαα==-4α123,,ααα解记1231234(,,),(,,,).A A ααααααα==1122021520311104A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪⎝⎭312R R -41R R -32R R +41/2R -34,R R 交换1122021502150022⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪-⎝⎭112202150000011⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭11220215001100⎛⎫ ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭记B可以看出，根据充要条件(2)，可以得出可以经由线性表示。