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chapter4向量组及其线性组合

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第四章向量组及其线性组合

第四章向量组及其线性组合
结论：若 C = AB ，那么 矩阵 C 的行向量组能由矩阵 B 的行向量组线性表示，A为
这一线性表示的系数矩阵．（A 在左边） 矩阵 C 的列向量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示，B为
这一线性表示的系数矩阵．（B 在右边）
c
A~ B
A 经过有限次初等列变换变成 B 存在 m 阶可逆矩阵 P，使得 AP = B 矩阵 B 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价
则称向量 b 能由向量组 A 的线性表示．
引言
问题1：给定向量组 A，零向量是否可以由向量组 A 线 性表 示？
问题2：如果零向量可以由向量组 A 线性表示，线性组 合的 系数是否不全为零？
P.83 定理1 的结论：
向量b 能由 向量组 A 线性表示
线性方程组 Ax = b 有解
R( A) R( A,b)
证：因为n 维单位坐标向量组构成的矩阵为En ，所以 n 维单位坐标向量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示
R(A) = R(A, E) . 显然 R(A, E) =n, 故 R(A)=n.
向量 b 能由 向量组 A 线性表示
向量组 B 能 由向量组 A 线性表示
向量组 A 与 向量组 B 等价
小结
2
7
a1 1, a2 5 , a3 0
0
3
4
（2） 当R(A) < n 时，齐次线性方程组 Ax = 0 的全体解组成的向量组含有 无穷多个向量．如
x1 2 5 / 3
x2 x3 x4
c1
2 1 0
c2
4/ 0 1
3,
c1 R, c2 R
因为 R(B) ≤ R(A, B)
推论：向量组 A：a1, a2, …, am 及 B：b1, b2, …, bl 等价的充分 必要条件是 R(A) = R(B) = R(A, B)．

第四章向量组的线性相关t

第四章向量组的线性相关t

第四章向量组的线性相关t第—节向量组及其线性组合定义:n个有次序的数a,aya _所组成的数组称为u维问量记作α=(ay,az….,a_).第i个数a,称为向量o的第i个分量。

分量全为实数的向量勒实问量，分量为豆翻闵量称为复向品列向量用a,b,a,β表示，行向量用a,b,o,表示。

-髅所说向量，不加说明时，指列向量.维向量全体组成的集1R”—{(*1,2..,'lN,2-....NER}叫做n维向量空间。

向量组:由若干个同维数的列题或行向量所组成的集至定义给定向量组A:,口g。

对于任何一组实薮k, k.k，表达式4+k,og+...kw称为问量组A的一个线性组合，k,k , .k_称为这个线性组合的系数-例:-1—1求线性组合2a—a-解:2c一a---(-3-8例:向量组α=(1,2,1),求向量组的全体线性组合组成的集合L(a)k α解:L(α)={kα|k ∈R}一{(k,2k,k)'|keR}例:=(1,0,0)T，=(0,1,0)'的全部线性组合组成的集合L。

和为由向量x,a,生成的问量空配作(,az)解:L={ka+k,alk,k∈R}y{(,k,o|k,kER}poL(,z)= xoy平面定义:给定向量组:&,&...和向勖，如果存在一组数3,元2.,使b=入+入αy+...+Amm称向最能由向量县线性表示ox)例:动-oeileo则a-工。

可以由,,e,e线性表示8o8a-可以t5)....o_a-中于1+o=xe+x,e,+xgelolo任何一o维向量都可以由,ez,e线性表示.如何判断向最可以由向量组A线性表示?u定理:向量b可以由4:线性表示的充要条件是方程组Ax-b有解其中A的列向量组由4....o,构成。

注:所得解N...x,，就是线性表示的系数见P83例、设a-1.a-2a--.b -o证明向量b能由向量组,,α线性表示,求表达式。

同济大学线性代数第四章PPT课件

同济大学线性代数第四章PPT课件
讨论它们的线性相关性.
解: Ee1,e2, ,en
结论: 线性无关
问题: n=3时, e1,e2,e3 分别是什么？
上述向量组又称基本向量组或单位坐标向量组.
一些结论：
(1) 一个零向量线性相关, 一个非零向量线性无关；
(2) 两个向量线性相关当且仅当 它们的对应分量成比例;
(3) 一个向量组线性无关，则增加其中每个向 量的分量所得新向量组仍线性无关。
例如： 2 1 1 0 a11 1,a212,a312,b33
则 b 能由 a1, a2, a3线性表示.
解方程组 x 1 a 1 x 2 a 2 x 3 a 3 b
既解方程组
2x1x12xx22
x3 x3
0 3
x1 x2 2x3 3
得
x1 1 1
x2 x3
c
1 1
线性表示
AXB有解，其中 A (1 ,2, ,m )
B (1,2, ,l)
R (A )R (A ,B )
定理3: 向量组 B :1,2, ,l能由 A :1,2, ,m
线性表示，则 R(B) ≤ R(A) 。
其中 A ( 1 ,2 ,,m ) , B ( 1 ,2 ,,l )
证：根据定理 2 有 R(A) = R(A, B) 而 R(B) ≤ R(A, B)，因此 R(B) ≤ R(A)。
定义4：设向量组 A : 1 , 2 , , m , 若存在不全为零实数 1 , 2 , , m , 使得 11 2 2 m m 0
则称向量组 A线性相关. 否则称向量组A线性无关.
定理4: n 维向Ax 量 组0 1有 ,非 2, 零 ,解 m,线其 性相A 关 中 1 ,2 , ,m R(A)m

线性代数课件

线性代数课件
1
a1 a2 n 维列向量 a = , M a n
n 维行向量 a T = (a1 , a 2 , L , a n )
规定： 规定： 列向量用黑体小写字母 a, b, α, β 等表示， 等表示，
T T T T 等表示. 行向量则用字母 a , b , α , β 等表示
B = (b1 ,b2 ,L ,bl ),
由向量组与矩阵的对应， 由向量组与矩阵的对应，得 向量组B:b ,b2 ,L,bl , 能由向量组A : a1 , a2 ,L, am , 线性表示 1 方程AX=B有解 有解 有矩阵K， ⇔ 有矩阵 ，使B=AK ⇔ 方程
12
例3 设n维向量组 A : a1 , a 2 , L , a m , 构成 n × m 矩阵 维向量组 阶单位矩阵 A = ( a1 ,a 2 ,L ,a m ), n阶单位矩阵 E = ( e1 ,e 2 ,L ,e n ) 的列向量叫做n维 的列向量叫做 维单位坐标向量 证明： 维单位坐标向量组 能由向量组A线性 证明：n维单位坐标向量组 e1 ,e 2 ,L ,e n 能由向量组 线性 表示的充分必要条件是 R( A) = n. 证 根据定理 ，向量组 e1 ,e 2 ,L ,e n 能由向量组 线性表示 根据定理2， 能由向量组A线性表示 的充分必要条件是 R ( A ) = R ( A, E ) 又因为矩阵(A,E)含n行，可知： 含 行 可知： 而 R ( A, E ) ≥ R ( E ) = n 又因为矩阵
定理2 定理 向量组 B:b1 ,b2 ,L ,bl , 能由向量组 A : a1 , a 2 , L , a m , 线性表示的充分必要条件是矩阵 A = (a1,a2,L,am ) 的秩 等于矩阵 ( A, B ) = ( a1 ,a 2 ,L ,a m , b1 ,b2 ,L ,bl ) 的秩 即 R ( A ) = R ( A, B ) 推论 向量组 A : a1 , a 2 , L , a m ,与向量组 B:b1 ,b2 ,L ,bl , 等价的充分必要条件是 R ( A ) = R ( B ) = R ( A, B )

Chapter 4-1 向量组及其线性组合

Chapter 4-1 向量组及其线性组合

由上章 定理 6 矩阵方程 可得 AX = B 有解的充要条件
R(A) = R(A , B) .
定理 2 向量组 B：b1 , b2 , · · ·, bl 能由向量
组 A：a1 , a2 , · · ·, am 线性表示的充要条件是矩阵 A = (a1 , a2 , · · ·, am ) 的秩等于矩阵
例2 设
1 3 2 1 3 1 1 0 1 1 a1 , a2 , b1 , b2 , b3 , 1 1 1 0 2 1 3 1 2 0
就是一个由四个 3 维列向量 1, 2, 3, 4 构成的
向量组.
注：含有限个向量的有序向量组可以与矩阵一一对应。
对于一个 m×n 矩阵 A = (aij) :
a11 a21 A a m1
a12
a22 am 2
a1n a2 n , amn
证明向量组 a1 , a2 与向量组 b1 , b2 , b3 等价.
根据矩阵的秩的性质及定理2，由下述结论
Байду номын сангаас
定理 3 设向量组 B：b1 , b2 , · · ·, bl 能由向
n 个分量, 第 i 个数 ai 称为第 i 个分量. 分量全为实数的向量称为实向量, 分量为复数 的向量称为复向量. 在这里我们只讨论实向量.
n 维向量可写成一行, 也可写成一列, 分别称 记法： 为行向量和列向量, 也就是行矩阵和列矩阵, 并规 定行向量与列向量都按矩阵的运算规则进行运算. 因此, n 维列向量 与 n 维行向量 T 是两个不同 的向量.

向量组及其线性组合

向量组及其线性组合

1 0 0 0
3 2 0 0
2 1 0 0
1 1 0 0
3 1 0 0
R( A) 2
R( A, B) 2
A
B
R( B) 2 R( A) R( B) R( A, B) 2
所以:向量组 A : 1 , 2与向量组 B : 1 , 2 , 3 等价
T
求出表达式。
பைடு நூலகம்
解： 1 , 2 , 3
1 0 0 1 1 0 0 1 r2 r1 1 1 0 3 r3 r1 0 1 0 2 1 1 1 4 0 1 1 3
《线性代数》课题组
,
知识点3---向量组的线性组合
1. 向量组的定义
2. 向量与向量组的关系
3. 向量组之间的关系
《线性代数》课题组
一、向量组的定义
定义1 若干个同维数的列向量(或同维数行
向量)所组成的集合叫做向量组.
a11 a12 a21 a22 A am1 am 2
1 a1n a2 n 按行分块 A 2 m amn
《线性代数》课题组
给定两个向量组 A: 1, 2, …, r
B: 1, 2, …, s
若向量组B能由向量组A线性表示，同时 向量 组A能由向量组B线性表示,则称这两个向量组
等价.
(1)向量组A与其自身等价(反身性); (2) 若A与B等价, 则B与A等价(对称性);
(3) 若A与B等价且B与C等价, 则B与A等价 (传递性).
3= 3 1+ 1 2,
2 2 1 1 1= 1+ 2+03, 2 2 即B可以由A线性表示.

同济大学线性代数课件--第四章

(1,2 ,3 )Kx = 0
故 x = 0 ，即 Kx = 0 只有零解，于是 R(K) = 3
2019/8/11
26
" " R(K ) 3 设 x11 x22 x33 0 ，x ( x1, x2 , x3 ) 则 (1,2 ,3 )Kx (1, 2 , 3 ) x
2019/8/11
11
a11 x1 a12 x 2 a1n xn b1

a
21
x1


a22 x2

a2n xn

b2
am1 x1 am2 x2 amn xn bm
a11 a12 a1n
记
A


a21

1,2
,
R( A) m
,m
2019/8/11
20
例2: 已知 :1 (1, 1, 1) , 2 (0, 2, 5) , 3 (2,4,7) 试讨论向量组 1 , 2 , 3 及向量组 1 , 2 的 线性相关性.
2019/8/11
21
解：设 x11 x22 x33 0
1 0 2 0
即
x1

1 1


x2

2 5


x3

4 7



0 0

102 系数行列式 1 2 4 0
157
齐次线性方程组有非零解，所以向量 1,2 ,3 线性相关 向量 1,2 对应分量不成比例，所以线性无关。
,
3


1 0

Chapter4-1向量组及其线性组合


2023
02
REPORTING
线性组合与线性表示
线性组合 定义及性 质
线性组合定义：设$V$是数域 $P$上的一个线性空间， $alpha_1, alpha_2, ldots, alpha_s$是$V$中的向量， $k_1, k_2, ldots, k_s$是数域 $P$中的数，那么向量$beta = k_1alpha_1 + k_2alpha_2 + ldots + k_salpha_s$称为向量 组$alpha_1, alpha_2, ldots, alpha_s$的一个线性组合。
案例三
求一个向量组生成的子空间的一组基和维数。可以通过构造一个以该向量组为列向量的矩阵， 然后计算该矩阵的秩。秩即为子空间的维数，而最大线性无关组即为子空间的一组基。
REPORTING
05
2023
总结回顾与拓展延伸
本章知识点总结回顾
向量组的概念
线性组合的定义
向量组是由一组向量构成的集合，这些向量 可以是行向量或列向量，具有相同的维数。
推论
若向量组$alpha_1, alpha_2, ldots, alpha_s$线性 无关，则其中任何一个向量都不能由其余向量线性 表示。
求解向量线性表示方法
平面向量基本定理 在平面内，如果两个向量不共线，那么这一平面内 的任一向量都可以由这两个向量唯一地线性表示。 待定系数法 设$beta = k_1alpha_1 + k_2alpha_2 + ldots + k_salpha_s$，通过解方程组求解系数$k_1, k_2, ldots, k_s$。 空间向量基本定理 在空间中，如果三个向量不共面，那么这一空间内 的任一向量都可以由这三个向量唯一地线性表示。

向量组及线性组合-大连海事大学本科教学质量与教学改革工程


R( A,
B)

R

0
1
1
R( A) R( A, B)
1
2


2,
§1 向量组及其线性组合
推论 向量组A:a1 ,a2 , … ,am 与向量组 B:b1 ,b2 , … ,bl等价的充分必要条件是
R(A) = R(B)= R(A,B) , 其中A和B是向量组A和B所构成的矩阵.
§1 向量组及其线性组合
2
1
1
1
,
R( A)

R(
A,
B)

2,

1 1 1 0 2 0 0 0 0 0

1
3
1
2
0

0
0
0
0
0

§1 向量组及其线性组合
2 1 3 1 1 1

1
1
1

r

0
1
1

,
R(B)

2,
0 0 0 0 0 0

0
0
0

§1 向量组及其线性组合
例 n维向量
(1 i, 2 i, , n i)



第１个分量
第１个分量
第１个分量
例 三维实向量 a (1, 2,3)
例 三维复向量 b (1 i, 2i,3)
,
a3


0

,
a4


1

,
b


7

2a1 3a2 a3 a4 b

化学向量组及其线性组合

几何形象:可随意平 行移动的有向线段
向量
线性代数
坐
有次序的实数组成的数组
标
代数形象:向量 的坐标表示式
系
r = ( x, y, z)T
空间
解析几何
线性代数
点空间:点的集合
几何形象:空间 曲线、空间曲面
{( x, y, z)ax by cz = d }
坐
向量空间:向量的集合
标
代数形象:向量
系
空间中的平面
若记A=(1, 2, ···, m)和B=(1, 2, ···, s), 向量组 B能由向量组A线性表示, 即对每一个向量j ( j =1, 2,···,
s ), 存在数k1j, k2j, ···, kmj , 使
j = k1j 1+ k2j 2 + ···+ kmj m
即
j
=（1
,
2
,,
m
)
而 R(A,E)R(E)=n, 又因矩阵(A,E)仅有n行, 故R(A,E) n, 因此R(A)=R(A,E)=n.
本例的结论用矩阵方程的方式可描述为: 矩阵方程AnmX=E有解的充分必要条件是R(A)=n.
用矩阵的方式可描述为: 对矩阵Amn, 存在Qnm使AQ=Em的充分必要条件是R(A)=m. 存在Pnm使PA=En的充分必要条件是R(A)=n.
2 0
行变换
1 0
0 0
3 2 0 0
21 11 00 00
13 00
得R(A) =R(A,B)=2.又容易看出B中有2阶非零子式,
则 2R(B)R(A,B)=2. 故 R(B)=2. 因此
R(A)=R(B)=R(A,B).
定理3: 若向量组B: 1, 2, ···, s能由向量组A: 1, 2, ···, m线性表示, 则R(1, 2, ···, s)R(1, 2, ···, m),
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运算；
向量组 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）组成的集合
如 a11
A
a21
a12 a22
a1n a2Βιβλιοθήκη nam1am2
amn
a11 a12 a1n
A
a21
a22
a2
n
am1
am2
amn
m个n维列向量所组成的向量组1 , 2 , , m ,
构成一个n m矩阵,记为
例1 设a1(1 1 2 2)T a2(1 2 1 3)T a3(1 1 4 0)T b(1 0 3 1)T 证明向量b能由向量组a1 a2 a3线性表示 并求 出表示式
解 设A(a1 a2 a3) B(A b) (a1 a2 a3 b) 因为
所以R(A)R(B) 因此向量b能 由向量组a1 a2 a3线性表示
2、n 维向量的表示方法
n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列 矩阵，通常用 等表示，如：
n 维向量写成一行，称为行向量，也就是行 矩阵，通常用 等表示，如：
注意
1. 当没有明确说明是行向量还是列向量时， 都当作列向量.
2. 行向量和列向量总被看作是两个不同的向 量； 3. 行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行
向量组a1 a2 an线性无关R(a1 a2 an)n
例2 已知 a1(1 1 1)T a2(0 2 5)T a3(2 4 7)T
试讨论向量组a1 a2 a3及向量组a1 a2的线性相关性 解 对矩阵(a1 a2 a3)施行初等行变换变成行阶梯形矩阵
提示 对矩阵(a1 a2 a3)施行初等行变换变成行阶梯形矩阵 即
2 1 0 0
那么
b
3
2
0
3
1
7
0
2e1
3e2
7e3
7 0 0 1
线性组合的系数
一般地，对于任意的 n 维向量b ，必有
b1 b2
1
0
0
1
0
0
0
0
b
b3
b1
0
b2
0
b3
1
bn
0
bn 0 0 0
1
b1 b2
1
0
0
1
0
0
0
0
b
b3
b1
0
b2
0
b3
1
bn
0
bn 0 0 0
1
1 0 0 0
0
1
0
0
En
0
0
1
0
0 0 0 1
n 阶单位矩阵 En 的列向量叫做 n 维单位坐标向量．
给定向量组 A : 1,2 ,,m和向量 b,
a2 an线性无关的充分必要条件是R(A)n,即|A| 0
向量组a1 a2 an线性无关R(a1 a2 an)n
例1 试讨论n维单位坐标向量组的线性相关性
解 n维单位坐标向量组构成的矩阵为
是n阶单位矩阵
E(e1 e2 en)
由|E|10 知R(E)n 即R(E)等于向量组中向量个数 所
以此向量组是线性无关的
下页
小结：
定理 1 向量 b 可由向量组 1 , 2 , m 线性表示
矩阵A (1 ,2 , ,m )的秩等于矩阵 B (1 ,2 , ,m ,b)的秩，即R( A) R(B).
向量组 B：b1, b2, …, bl 能由向量组 A：a1, a2, …, am 线性表示 R(A) = R(A, B) （P.84 定理2） R(B) ≤ R(A) （P.86 定理3）
推论：向量组 A：a1, a2, …, am 及 B：b1, b2, …, bl 等价的充分 必要条件是 R(A) = R(B) = R(A, B)．
§4.2 向量组的线性相关性
观察如图三维空间中的向量, 必有
k11 k2 2
共面
3 不可能 l11 l2 2 异面
再观察下面方程组增广矩阵的行向量组
向量组a1 a2线性相关的几何意义是这两个向量共线
（4）a1 a2 am线性无关当且仅当数k1 k2 km 全为零。
怎样判定一组向量的线性相关性？
向量组 A : 1,2 ,,n 线性相关
(按定义) 存在不全为零的数 x1, x2 ,, xn 使
x11 x22 xnn 0
(转化为方程组) 上面方程组有非零解.
(用矩阵的秩) R( A) R[A | b]
有解
另外, 如果解唯一, 则表示方法是唯一的. 如果 ……
学会这种转换就可以了!
3、定理
定理 1 向量 b 可由向量组 1 , 2 , m 线性表示
矩阵A (1 ,2 , ,m )的秩等于矩阵 B (1 ,2 , ,m ,b)的秩，即R( A) R(B).
m 个 n维行向量所组成
的向量组
T 1
,
T 2
,
T m
,
构成一个 m n矩阵
线性方程组的向量表示
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1,
a21 x1 a22 x2 a2n xn b2 ,
am1 x1 am2 x2 amn xn bm .
设 j (a1 j , a2 j , , amj )T ( j 1,2,, n)
b1 k11a1 k21a2 km1am b2 k12a1 k22a2 km2am bl k1l a1 k2l a2 kml am
线性表示的 系数矩阵
b1, b2 ,, bl
a1 , a2 ,, am
k11 k21
km1
k12 k22 km2
K
k1l k2l
证法二 把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式
记作BAK 因为|K|20 知K可逆 因此A,B列等价， 所以R(B)R(A)
因为A的列向量组线性无关 所以R(A)3 从而R(B)3 因此b1 b2 b3线性无关
必要条件是 R(A) = R(B) = R(A, B)．
证明：向量组 A 和 B 等价 向量组 B 能由向量组 A 线性表示 向量组 A 能由向量组 B 线性表示
R(A) = R(A, B) R(B) = R(A, B)
从而有R(A) = R(B) = R(A, B) ．
例2 设a1(1 1 1 1)T a2(3 1 1 3)T b1(2 0 1 1)T b2(1 1 0 2)T b3(3 1 2 0)T 证明向量组a1 a2与向量组b1 b2 b3等价
该定义不是用数学式子表达的,不便于理论推导. 如何改成数学表达式?
等价定义 如果存在不全为零的数 k1, k2 ,, km 使得
k11 k22 kmm 0
则称该向量组线性相关. 否则,如果设
k11 k22 kmm 0
只能推出 k1 k2 km 0 则称该向量组线性无关.
怎样判断b能否由向量组A线性表示？如果能线 性表示，怎样求线性组合的系数？
向量 b 可由向量组 A :1,2 ,,m 线性表示
(按定义) 存在数 k1, k2 ,, km 使
k11 k22 kmm b
注意:符号混用
(转换为方程组) 上面方程组有解.
即 Ax b A [1,2 ,,m ]
x1 x2 x3 3
(1)
32
x1 x1
3x2 3x2
4x3 5x3
9 1
(2) (3)
x1
2x2
3x3
6
(4)
x1 3 x2 13 x3 17 (5)
1 1 1
A~
2 3
3 3
4 5
1 2 3
3 9 1 6
T 1
T 2
T 3
T 4
1
3
13
17
T 5
即 Ax 0 A [1,2 ,,n ] 有非零解.
(用矩阵的秩) R( A) n
与以前类似，还是转换！
定理4 向量组a1 a2 an线性相关的充分必要条件是它所构成
的矩阵A(a1 a2 an)的秩小于向量个数n 向量组线性无关 的充分必要条件是R(A)n
特别的，若向量组a1 a2 an是一组n维向量，则向量a1
kml ml
向量组 B：b1, b2, …, bl 能由向量组 A：a1, a2, …, am 线性表示 存在矩阵 K，使得 AK = B
矩阵方程 AX = B 有解
R(A) = R(A, B) （P.76 定理6）（P.84 定理2）
因为 R(B) ≤ R(A, B)
R(B) ≤ R(A) （P.70 性质5）（P.86 定理3） 推论：向量组 A：a1, a2, …, am 及 B：b1, b2, …, bl 等价的充分
可同时看出矩阵(a1 a2 a3)及(a1 a2)的秩
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向量组a1 a2 an线性无关R(a1 a2 an)n
例2 已知 a1(1 1 1)T a2(0 2 5)T a3(2 4 7)T
试讨论向量组a1 a2 a3及向量组a1 a2的线性相关性 解 对矩阵(a1 a2 a3)施行初等行变换变成行阶梯形矩阵
等价吗? 按后者不妨设 k1 0 则
1 (k2 / k1 )2 (km / k1 )m 符合前面定义. 反之,按前者不妨设 1 l22 lmm
(1)1 l22 lmm 0 又符合后者定义.
注：
(1)含零向量的向量组必线性相关 (2)一个向量a线性相关 a0 (3)两个非零向量a1 a2线性相关 a1ka2(即对应分 量成比例)
由上列行最简形 可得方程 (a1 a2 a3)xb的通解为
从而得表示式
b(a1 a2 a3)x (3c2)a1(2c1)a2ca3 其中c可任意取值
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