初中数学竞赛专题选讲最大最小值含答案

专题10 最优化例1. 4 提示：原式=112-62-+）（x . 例2. B 提示：由-1≤y ≤1有0≤≤1，则=22+16+3y 2=142+4+3是开口向上，对称轴为71-=x 的抛物线. 例3. 分三种情况讨论：①0≤a <b ，则f ()在a ≤≤b 上单调递减，∴f (a )=2b ，f (b )=2a ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=213222132222b a a b 解得⎩⎨⎧==31b a ②a <b ≤0，则f ()在a ≤≤b 上单调递增，∴f (a )=2a ，f (b )=2b ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=213222132222b b a a 此时满足条件的（a ，b ）不存在. ③a <0<b ，此时f ()在=0处取得最大值，即2b =f (0)=213,b =413,而f ()在=a 或=b 处取最小值2a .∵a <0，则2a <0，又∵f (b )=f (413)=021341321-2>+⨯）（，∴f (a )=2a ，即2a =2132-2+a ，则⎪⎩⎪⎨⎧=--=413172b a 综上，（a ，b ）=(1，3)或（17-2-，413） 例4. （1）121≤≤x ，y 2 = 21+216143-2+-）（x .当=43时，y 2取得最大值1，a =1； 当21=x 或=1时，y 2取得最小值21，b =22.故a 2+b 2=23. (2) 如图，AB =8，设AC =，则BC =8- ，AD =2，CD =42+x ，BE =4，CE =16)-8(2+xBF =AD =2.10)24(816)8(4222222=++=+=≥+=+-++EF DF DE CE CD x x当且仅当D ，C ，E 三点共线时，原式取最小值.此时△EBC ∽△DAC ，有224===DA EB CA BC , 从而=AC =3831=AB .故原式取最小值时，=38. (3)如图， 原式=[]2222222)24()13()32()01(032--0y x y x -+-+-+-+-+）（）（=AB +BC +CD ≥AD ，其中A （-2,0），B （0，3）,C (1,2y ),D (3,4),并且当点B ，C 在线段AD 上时，原式取得最小值，此时5423=x ，5432=y .例5. 由S =ay m y n a 2)(22+--，得an -S +2ay =a 22n y -，两边平方，经整理得0)()(4322222=+-+-+m a S an y S an a y a .因为关于y 的一元二次方程有实数解，所以[][]0)(34)(422222≥+-⨯--m a S an a S an a ，可化为2223-m a an S ≥）（.∵S >an ，∴am an S 3-≥，即am an S 3+≥，故S 最小=am an 3+.例6（1）设1≥1，2≥2，≥，于是1+2+…+≤1+2+…+ = 2003，即20032)1(≤+k k (+1)≤4006，∵62×63=3906<4006<4032=63×64，∴≤62. 当1=1，2=2，…61=61，62=112时，原等式成立，故的最大可能值为62.（2） 若取⎩⎨⎧=+=-222ba cb ac ，则2)1(2+=b b c 由小到大考虑b ，使2)1(+b b 为完全平方数.当b =8时，c 2=36，则c =6，从而a =28.下表说明c 没有比6更小的正整数解.显然，表中c 4-3的值均不是完全平方数，故c 的最小值为6.A 级1．7- 11- 2．1 3．14 提示：y =5－,=4－，原式=3(－3)2+14． 4．A 提示：原式=27－(a +b +c )2． 5．D 6．C 7．(1)y =－+1000(500≤≤800) (2)①S =(－500)(－+1000)=－2+1500－500000(500≤≤800);②S －(－750)2+62500,即销售单价定为750时，公司可获最大毛利润62500元，此时销量为250件． 8．（1）－4≤m ≤2 （2）设方程两根为1，2，则12+22=4(m －34)2+1034，由此得12+22最小值为1034，最大值为101． 9．设a 2－ab +b 2=，又a 2+ab +b 2=1②，由①②得ab =12(1－)，于是有（a +b )2=12(3－)≥0，∴≤3，从而a +b =．故a ，b 是方程t 2t +12k -=0的两实根，由Δ≥0，得133k ≤≤． 10．设A （1,0)，B （2，0)，其中 1，2是方程a 2+b +c =0的两根，则有1+2=b a -<0，12=ca >0，得1<0，2<0，由Δ=b 2－4ac >0，得b >|OA |=|1|<1，|OB |=|2|<1，∴－1<1<0，－1<2<0，于是ca=12<1，c <a ．由于a 是正整数，已知抛物线开口向上，且当=－1时，对应的二次函数值大于0，即a－b +c >0，a +c >b ．又a ，b ，c 是正整数，有a +c ≥b +1>2+1，从而a +c >2+1，则212>>≥，于是a >4，即a ≥5，故b b ≥5．因此，取a =5，b =5，c =1，y =52+5+1满足条件，故a +b +c 的最小值为11． 11．（1）该设备投入使用天，每天平均损耗为y =11111[500000(0500)(1500)(2500)(500)]4444x x -+⨯++⨯++⨯++++L =11(1)[500000500x ]42x x x -++⨯=500000749988x x ++． (2)y =500000749988x x ++7749999988≥=．当且仅当5000008xx =，即=2000时，等号成立．故这台设备投入使用2000天后应当报废．B 级 1．20 提示：a 2－8b ≥0，4b 2－4a ≥0，从而a 4≥64b 2≥64a ，a ≥4，b 2≥4． 2．4 提示：构造方程． 3．提示：设经过t 小时后，A ，B 船分别航行到A 1，B 1，设AA 1=，则BB 1=2，B 1A 1=4．D 提示：a 2+b 2≥2ab ，c 2+d 2≥2cd ，∴a 2+b 2+c 2+d 2≥2(ab +cd )≥．∴ab +cd ≥2，同理bc +ad ≥2，ac +bd ≥2． 5．A 提示：=s －2≥0,y =5－43s ≥0，=1－13s ≥0，解得2≤s ≤3，故s 的最大值与最小值的和为5． 6．A 提示：|AB |=C (2125,24k k k -++-），ABC S V 2+2+5=(+1)2+4≥4． 7．设此商品每个售价为元，每日利润为S 元．当≥18时，有S =[60－5（－18)](－10)=－5(－20)2+500，即当商品提价为20元时，每日利润为500元；当≤18时，S =[60+10（18－)](－10)=－10(－17)2+490，即当商品降价为17元时，每日利润最大，最大利润为490元，综上，此商品售价应定为每个20元． 8．设对甲、乙两种商品的资金投入分别为，(3－)万元，设获取利润为s ，则s 15x =s －15x =2+(9－10s )+25s 2－27=0，∵关于的一元二次方程有实数解，∴（9－10s )2－4×（25s 2－27)≥0，解得1891.05180s ≤=，进而得=0.75（万元），3－=2.25(万元）．即甲商品投入0.75万元，乙商品投入2.25万元，获得利润1.05万元为最大． 9．y =5－－，代入y ＋y ＋=3，得2＋(－5)＋(2－5＋3)=0．∵为实数，∴Δ=(－5)2－4(2－5＋3)≥0，解得－1≤≤133,故的最大值为133，最小值为－1． 10．设b c x a b==，则b =a ，c =a 2，于是，a ＋b ＋c =13，化为a (2＋＋1)=13．∵a ≠0，∴2＋＋1－13a =0 ①．又a ，b ，c 为整数，则方程①的解必为有理数，即Δ=52a－3>0，得到1≤a ≤5231≤a ≤16．当a =1时，方程①化为2＋－12=0，解得1=－4，2=3． 故a min =1，b =－4，c =16 或a min =1，b =3，c =9．当a =16时，方程①化为2＋＋316=0．解得1=－34，2=－14．故a min =16，b =－12，c =9；或a min =16，b =－4，c =1． 11．设1，2，…，n 中有r 个－1，s 个1，t 个2，则219499r s t r s t -++=⎧⎨++=⎩，得3t ＋s =59，0≤t ≤19．∴13＋23＋…＋n 3=－r ＋s ＋8t =6t ＋19．∴19≤13＋23＋…＋n3≤6×19＋19=133．∴在t =0，s =59，r =40时，13＋23＋…＋n 3取得最小值19；在t =19，s =2，r =21时，13＋23＋…＋n 3取得最大值133． 12．∵把58写成40个正整数的和的写法只有有限种，∴12＋22＋…＋402的最大值和最小值存在．不妨设1≤2≤…≤40．若1>1，则1＋2=(1－1)＋(2＋1)，且(1－1)2＋(2＋1)2=12＋22＋2(2－1)＋2>12＋22．于是，当1>1时，可以把1逐步调整到1，此时，12＋22＋…＋402的值将增大．同理可以把2，3，…，39逐步调整到1，此时12＋22＋…＋402的值将增大．从而，当1，2，…，39均为1，40=19时，12＋22＋…＋402取得最大值，即A =22239111+++L 1442443个＋192=400．若存在两个数i ，j ，使得j －i ≥2（1≤i ＜j ≤40），则（i ＋1)2＋(j －1)2=i 2＋j 2－2(i －j －1)<i 2＋j 2．这表明，在 1，2，…，40中，若有两个数的差大于1，则把较小的数加1，较大的数减1此时，12＋22＋…＋402的值将减小，因此，当12＋22＋…＋402取得最小值时，1，2，…，40中任意两个数的差都不大于1．故 当1=2=…=22=1，23=24=…=40=2时，12＋22＋…＋402取得最小值，即222111+++L 144244322个222222+++⋯+=94从而，A+B=494.。

初中数学竞赛中最值问题求法应用举例最值问题是数学竞赛中考试的重要内容之一；任何一级、任何一年的竞考都是必考内容。

现根据我在辅导学生过程中的体会归纳整理如下： （一）根据非负数的性质求最值。

1、若M =（X ±a ）2 +b ；则当X ±a = 0时M 有最小值b 。

2、若M = －（X ±a ）2 + b ,则当X ±a = 0 时M 有最大值b 。

3、用（a ±b ）2≥0 ；∣a ∣≥0,a ≥0的方法解题。

【说明：这里用到的很重要的思想方法是配方法和整体代换思想。

】例题（1）、若实数a ；b ；c 满足a 2 + b 2 + c 2= 9；则代数式 （a － b ）2 + （b —c ）2 +（c － a ）2的最大值是 （ ）A ．27B 、 18C 、15D 、 12 解：(a －b)2+(b －c)2+(c －a)2= 2(a 2+b 2+c 2)－2ab －2bc －2ca = 3(a 2+b 2+c 2)－a 2－b 2－c 2－2ab －2bc －2ca = 3(a 2+b 2+c 2)－(a 2+b 2+c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca)=3(a 2+b 2+c 2)－(a+b+c)2 = 27－(a+b+c)2 ≤ 27 . ∵a 2+b 2+c 2 = 9 , ∴ a,b,c 不全为0 。

当且仅当a + b + c = 0 时原式的最大值为 27 。

【说明；本例的关键是划线部份的变换；采用加减(a 2＋b 2＋c 2)后用完全平方式。

】 例题（2）、如果对于不小于8的自然数N ；当3N+1是一个完全平方数时；N +1都能表示成K 个完全平方数的和；那么K 的最小值是 （ ） A 、 1 B 、 2 C 、 3 D 、 4解：设 ∵ 3N+1是完全平方数；∴ 设 3N+1 = X 2 （N ≥ 8）；则3不能整除X ；所以X 可以表示成3P ±1的形式。

最新初中数学竞赛试题8个专题汇编目录最值河题二・设元的技巧三・清環应用直线•射线与线段五、困務面积的计算六、立体圈瞬展开七・与角相关的问题八・奇偶分析最新初中数学竞赛试题分类专题汇编：最值问题阅读与思考在实际生活与生产中，人们总想节省时间或费用，而取得最好的效果或最高效益，反映在数学问题上，就是•求某个量的和、差、积、商的最大值和最小值，这类问题被称之为最值问题，在现阶段，解这类问题的相关知识与基本方法有：K通过枚举选取.2、利用完全平方式性质.3、运用不等式（组）逼近求解.4、借用几何中的不等量性质、定理等.解答这类问题应当包括两个方面，一方面要说明不可'能比某个值更大（或更小），另一方面要举例说明可以达到这个值，前者需要详细说明，后者需要构造一个合适的例子.例题与求解【例1] 若c 为正整数，且a + h = c , h + c = d , d + a = h，则(a + h )( h + c )（c + d ）（d + a）的最小值是 ___________ .（北京市竞赛试题）解题思路：条件中关于C的信息量最多，应突出C的作用，把a , b , d及待求式用C的代数式表示.【洌2】已知实数a , b满足/+/=1，则cf+ab + 护的最小值是（）1 9A. —B.OC.1D.—8 8（全国初中数学竞赛试题）思路：对a4+ab + b4进行变形，利用完全平方公式的性质进行解题"【例3] 如果正整数满足西+兀2 +七+兀+兀5 =兀1兀2兀3兀1乞，求禺的最大值.思路：不妨设x t < x2 < ^3 < x4 < x5 ,由题中条件可1二1.结合题意进行分析.1-+」-------- + --------- + --------- + --------- + --------X2X3X4X5X}X3X4X5 X{X2X4X5兀1兀2兀3无5召兀2® 兀4【例4】已知都为非负数,满足%+ y- z , x + 2y + 3z = 4 ,记w = 3x + 2y + z，求w的最大值与最小值.川省竞赛试题）解题思路：解题的关键是用含一个字母的代数式表示W.【例51某工程车从仓库上水泥电线杆运送到离仓库恰为10.00米的公路边栽立，要求沿公路的一边向前每隔100米栽立电线杆一根，已知工程车每次之多只能运送电线杆4根，要求完成运送18根的任务，并返回仓库，若工程车每行驶1千米耗油m升（在这里耗油量的多少只考虑与行驶的路程有关，其他因素不计）.每升汽油n元，求完成此项任务最低的耗油费用.（湖北省竞赛试题）解题思路：要使耗油费用最低，”应当使运送次数尽可能少，最少需运送5次，而5次又有不同运送方法，求出每种运送方法的行驶路程，比较得出最低的耗油费用.【例6］直角三角形的两条直角边长分别为5和12 ,斜边长为13 , P是三角形内或边界上的一点，P到三边的距离分别为4 4，仏，求么+厶+厶的最大值和最小值，并求当取最大值和最小值时，P点的位置.（“创新杯”邀请赛试题）解题思路：连接P点与三角形各顶点，利用三角形的面积公式来解.能力训练1. 社a , b , c 满足a2-^-b2 + c2 = 9 ,那么代数式（a-hf + （b-+ （c-aj的最大值是__________ .…（全国初中数学联赛试题）2. _________________________________________________________________ 在满足x + 2y<3,x>0,y> 0的条件下，2x+y能达到的最大值是____________________________ .（“希望杯” 邀请赛试题）3. 已知锐角三角形ABC的三个「内角A ,B ,C满足A>B>C.用Q表示A・B ,B-C，以及90-A 中的最小值，则&的最大值是 __________ .（全国初中数学联赛试题）4. 已知有理数a , b , c满足a>b>c ,且a+b+c=O，.那一么仝的取值范围是.a（•数学夏令营竞赛试题）5•在式子|x+l|+|x+2|+|x+3|+|x+4|中，代入不同的x值，得到对应的值，在这些对应的值中，最小的值是（）.A. 1B.2 ・C.3D.46. 若a , b , c , d是整数，b是正整数,且满足b + c= d , d + c = a , b + a = c ,那么a +b +c + d的最大值是（A. -1B.-5C.OD.1（全国初中数学联赛试题）7. 已知x-y = a, z-y = 10,则代数式x2 + y2 +z2-xy-yz-xz的最小「值是（）.A.75B.80C.100D.105（江苏省竞赛试题）8•已知工，y , z均为非负数，且满足%+y + z =30 , 3x+y-z = 50 ,又设M = 5x + 4y + 2Z ,则M的最小值与最大值分别为( )・A.110 , 120B.120 , 13.0C.130 , 140D.140 , 150r — 1 2 — V 7 — 39•已知非负实数x , y , Z满足——=—=—-，记w = 3x十4y + 5z.求w的最大值2 3 4 ‘和最小值（"希望杯”邀请赛试题）10•某童装厂现有甲种布料38米，乙钟布料26米，现计划用这两种布料生产L , M两种型号的童装共50套，已知做一套L型号的童装需用甲种布料0.5米，乙种布料1米，可获利45元；做一套M型号的童装需用甲种布料0.9米，乙种布料0.2米，可获利30元，试问该厂生•产的这批童装，当L型号的童装为多少套是，能使该厂获得利润最大？最大利润为多少？（江西省无锡市中考试题）专题19最值问例 1 24 提示：a = -c.b = 2c,d = 3c ,原式 24<?・例 2 B 提示：/+刃? + 戻=(夕+Z?')-2d 芳+a/? = 1-2°芳+°方=一2 ah- —因此 05——丄]+-<-< 4丿例3 设占5兀2 W 兀3 5兀5兀51 1 1 1 = ---------- + ---------- + ---------- + ----------- + ----------- < ------ +召“£兀 召兀2兀4兀5 召兀2“兀 召兀2兀3兀4 呂兀 兀佗 于是得到x 4x 5 -x 4 -x 5 <3 •即(x 4 -1)(^5 -1)<4 .若 x 4 = 1，则 x l =x 2=x 3=x 4=l ,与题设等式为 4 +% = x 5 矛盾；若 x 4 > 1，则 X. -1 < 4 , 即X 5<5，当X 5=5时，容易找到满足条件的数组(1 ,1,1 ,2,5),所以兀的最大值是5.”,[x+ y-z = 1 (x = 5z-2, [x = 5z-2>0 23例4由 • ,得 ,由W-<z<-,则[x + 2y + 3z = 4 [y = 3-4z [y = 3-4z > 0 54oi (\\69 = 3x + 2y + z = 3(5z-2)+ 2(3-4z) + z = 8z ，当 z =—时，e 有最小值一；当乙二一时， 69有最大值6 .例5提示：显然运送次数越少，所行驶的路程越短，所需邮费越少，因此，18根电线杆 运送5次行驶路程较短，这5次有两种运送方法:(1 )四次个4根，一次2根；(2 )三次 各4根，二次各3根.因为 2\ab\ <a 2+b 2=1，所以 (1Y 1 1 3x—£ cib £—,从而—£ ab — 5—,故 05 cib —5 —2 2 4 • •161 1 1 1 3 + 匕 +兀(1 )考虑先送2根，后送4根；先送4根，后送2根.①先送2根，再送4根，二次共走行驶：(1000 + 100)x2 + (1100 + 400)x2 = 5200米；②先送4根，再送2根，二次共行驶：(1000 + 300)x2 + (1300 + 200)x2 = 5600米；(2)两次各送3根时，所行路程为(1000 + 200)x2 + (12004-300)x2 = 5400 米.故先送2根所行驶路程最短，最短总行程为：(1000 + 100)x2 + (1100 + 400)x2 + (1500 + 400)x 2 + (1900 + 400)x2 + ( 2300 + 400) = 19000米故所用最少油费为19000m/? -1000 = 19mz2元例6如图所示，在厶ABC中，zC=90° , BC=5 ,力倂13.点P到BC , CA ,力3的距离分别为％, 〃2,仏，连接昭，PB , PC、由三角形的面积公式知：—x5J. + —x 12d)+ —x 13d、= — x5x 12.2 1 2 ・ 23 2即5d} +12d2 +13£ = 60.显然有5(% + Z + £ ) 5 5〃[ 4-12^ +13£ 5 13(% + Z + £ ). 故詈5(%+心+心2 当d2 = dy = 0时，有％ +仏+〃3 =12 ,即％+〃2 +£取最大值时，尸与力重合；当d] = d2 = 0 时,有％+ £ + +〃3 =60li ,即4 +£+〃3取最小值时，P与C重合.A 级1.27r 原式二3（夕+，+C?） —（a + b + c 『<272.6提示:」+ 2" J （90 "） + 2（i ） + （齐 C ）6270° -（A + B + C ） 90°6 6" c 提示：b =-a-c. -a-c<b , /.2a > -c. — > -2，又把b =-a-c ac 1 c 1代入b 〉c 中 J#-^-c<c,.-<--.lK-2<-<--.5. D6.B7.A8.Bx ——I 2 — v z — 39. ---------- 设 ---- = ----- = =k ，贝ijx = 2k + l, y = -3k + 2, z = 4k + 3・2 3 4 ’ 2k + ino/.X, y, z 均为非负实数..•.<一3£ + 2 2 0，解得：一丄5比<彳.4k+3 >0 ‘故力=3 兀+ 4y + 5z = 3（2k + l ） + 4（—3k + 2） + 5（4k + 3）= 14Z: + 26.xl4 + 26<14Z: + 26<-xl4 + 26 ,即 19 <^<35-,2 3 3 3.15° = 15°所以的最小值是19,最大值是35亍10.20套.1800元.提示：设生产厶型号的童装套数为x ，则生产〃型号的童装为（50-对 套，所得利润 5 = 45% + 30（50 - %） = 15x +1500.[0.5x + 0.9（50-x ） < 38[.¥ + 0.2（50-X ）<26得 17.5<x<20 ,兀=1& 19, 20.X•最小表面积的打包方式为2x3.最小表面积为17952mm 2 ,图略.B 级1.27 当b = 2、a = 25时，a + b 的值最大.2.102 提示：/?? = 7?(19H -98), 19zz-98>0.4. B , D , E 93.62 百元5.13800元 提示：设由甲库调运x 吨粮食到3市，总运费为p 元，则y = 5x + 6(600 - x) +6(800-x) +9(600 + %)= 2x+13800(0<x<600) ca+b+c+dM <-^- +——+——+—— a+b a+b c+d c+d故 1 vM v2.3636 7. B 提<J\ : 1S~ X ^^BOC = •故 S 四边形ABCD = 13 + 兀 113 + 2 3.1157提示：a = — 8 Sb t 64b T’r6.C 提示 X —=25. X8. ( 1 ) (q + 禺 + + «2(M)2 y = d/ + + + tz20022 + 2/n = 2012 + 2m.(+ ⑦ + +。

第二十四讲 几何的定值与最值几何中的定值问题，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题，解几何定值问题的基本方法是：分清问题的定量及变量，运用特殊位置、极端位置，直接计算等方法，先探求出定值，再给出证明． 几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值，求几何最值问题的基本方法有： 1．特殊位置与极端位置法； 2．几何定理(公理)法；3．数形结合法等．注：几何中的定值与最值近年广泛出现于中考竞赛中，由冷点变为热点．这是由于这类问题具有很强的探索性(目标不明确)，解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一般相结合、 逻辑推理与合情想象相结合等思想方法． 【例题就解】【例1】 如图，已知AB=10，P 是线段AB 上任意一点，在AB 的同侧分别以AP 和PB 为边作等边△APC 和等边△BPD ，则CD 长度的最小值为 ．思路点拨 如图，作CC ′⊥AB 于C ，DD ′⊥AB 于D ′，DQ ⊥CC ′，CD 2=DQ 2+CQ 2，DQ=21AB 一常数，当CQ 越小，CD 越小，本例也可设AP=x ，则PB=x 10，从代数角度探求CD 的最小值．注：从特殊位置与极端位置的研究中易得到启示，常能找到解题突破口，特殊位置与极端位置是指：(1)中点处、垂直位置关系等； (2)端点处、临界位置等．【例2】 如图，圆的半径等于正三角形ABC 的高，此圆在沿底边AB 滚动，切点为T ，圆交AC 、BC 于M 、N ，则对于所有可能的圆的位置而言， MTN 为的度数（ ） A ．从30°到60°变动 B ．从60°到90°变动C ．保持30°不变D ．保持60°不变思路点拨 先考虑当圆心在正三角形的顶点C 时，其弧的度数，再证明一般情形，从而作出判断．注：几何定值与最值问题，一般都是置于动态背景下，动与静是相对的，我们可以研究问题⌒中的变量，考虑当变化的元素运动到特定的位置，使图形变化为特殊图形时，研究的量取得定值与最值．【例3】 如图，已知平行四边形ABCD ，AB=a ，BC=b (a >b )，P 为AB 边上的一动点， 直线DP 交CB 的延长线于Q ，求AP+BQ 的最小值．思路点拨 设AP=x ，把AP 、BQ 分别用x 的代数式表示，运用不等式ab b a 222≥+ (当且仅当b a =时取等号)来求最小值．【例4】 如图，已知等边△ABC 内接于圆，在劣弧AB 上取异于A 、B 的点M ，设直线AC与BM 相交于K ，直线CB 与AM 相交于点N ，证明：线段AK 和BN 的乘积与M 点的选择无关．思路点拨 即要证AK ·BN 是一个定值，在图形中△ABC 的边长是一个定值，说明AK ·BN 与AB 有关，从图知AB 为△ABM 与△ANB 的公共边，作一个大胆的猜想，AK ·BN=AB 2，从而我们的证明目标更加明确．注：只要探求出定值，那么解题目标明确，定值问题就转化为一般的几何证明问题．【例5】 已知△XYZ 是直角边长为1的等腰直角三角形(∠Z=90°)，它的三个顶点分别在等腰Rt △ABC(∠C=90°)的三边上，求△ABC 直角边长的最大可能值．思路点拨 顶点Z 在斜边上或直角边CA(或CB)上，当顶点Z 在斜边AB 上时，取xy 的中点，通过几何不等关系求出直角边的最大值，当顶点Z 在(AC 或CB)上时，设CX=x ，CZ=y ，建立x ，y 的关系式，运用代数的方法求直角边的最大值．注：数形结合法解几何最值问题，即适当地选取变量，建立几何元素间的函数、方程、不等式等关系，再运用相应的代数知识方法求解．常见的解题途径是：(1)利用一元二次方程必定有解的代数模型，运用判别式求几何最值； (2)构造二次函数求几何最值．⌒学力训练1．如图，正方形ABCD 的边长为1，点P 为边BC 上任意一点（可与B 点或C 点重合），分别过B 、C 、D 作射线AP 的垂线，垂足分别是B ′、C ′、D ′，则BB ′+CC ′+DD ′的最大值为 ，最小值为 ．2．如图，∠AOB=45°，角内有一点P ，PO=10，在角的两边上有两点Q ，R(均不同于点O)，则△PQR 的周长的最小值为 ．3．如图，两点A 、B 在直线MN 外的同侧，A 到MN 的距离AC=8，B 到MN 的距离BD=5，CD=4，P 在直线MN 上运动，则PB PA -的最大值等于 ．4．如图，A 点是半圆上一个三等分点，B 点是弧AN 的中点，P 点是直径MN 上一动点，⊙O 的半径为1，则AP+BP 的最小值为( )A ．1B ．22C ．2D ．13-5．如图，圆柱的轴截面ABCD 是边长为4的正方形，动点P 从A 点出发，沿看圆柱的侧面移动到BC 的中点S 的最短距离是( )A ．212π+B ．2412π+C ．214π+D ．242π+6．如图、已知矩形ABCD ，R ，P 户分别是DC 、BC 上的点，E ，F 分别是AP 、RP 的中点，当P 在BC 上从B 向C 移动而R 不动时，那么下列结论成立的是( ) A ．线段EF 的长逐渐增大 B ．线段EF 的长逐渐减小C ．线段EF 的长不改变D ．线段EF 的长不能确定7．如图，点C 是线段AB 上的任意一点(C 点不与A 、B 点重合)，分别以AC 、BC 为边在直线AB 的同侧作等边三角形ACD 和等边三角形BCE ，AE 与CD 相交于点M ，BD 与CE 相交于点N ．(1)求证：MN ∥AB ；(2)若AB 的长为l0cm ，当点C 在线段AB 上移动时，是否存在这样的一点C ，使线段MN 的长度最长?若存在，请确定C 点的位置并求出MN 的长；若不存在，请说明理由． (2002年云南省中考题)8．如图，定长的弦ST 在一个以AB 为直径的半圆上滑动，M 是ST 的中点，P 是S 对AB 作垂线的垂足，求证：不管ST 滑到什么位置，∠SPM 是一定角．9．已知△ABC 是⊙O 的内接三角形，BT 为⊙O 的切线，B 为切点，P 为直线AB 上一点，过点P 作BC 的平行线交直线BT 于点E ，交直线AC 于点F ． (1)当点P 在线段AB 上时(如图)，求证：PA ·PB=PE ·PF ；(2)当点P 为线段BA 延长线上一点时，第(1)题的结论还成立吗?如果成立，请证明，如果不成立，请说明理由．10．如图，已知；边长为4的正方形截去一角成为五边形ABCDE ，其中AF=2，BF=l ，在AB 上的一点P ，使矩形PNDM 有最大面积，则矩形PNDM 的面积最大值是( )A ．8B ．12C ．225D ．1411．如图，AB 是半圆的直径，线段CA 上AB 于点A ，线段DB 上AB 于点B ，AB=2；AC=1，BD=3，P 是半圆上的一个动点，则封闭图形ACPDB 的最大面积是( ) A ．22+ B ．21+ C ．23+ D ．23+12．如图，在△ABC 中，BC=5，AC=12，AB=13，在边AB 、AC 上分别取点D 、E ，使线段DE 将△ABC 分成面积相等的两部分，试求这样线段的最小长度．13．如图，ABCD是一个边长为1的正方形，U、V分别是AB、CD上的点，AV与DU相交于点P，BV与CU相交于点Q．求四边形PUQV面积的最大值．14．利用两个相同的喷水器，修建一个矩形花坛，使花坛全部都能喷到水．已知每个喷水器的喷水区域是半径为l0米的圆，问如何设计(求出两喷水器之间的距离和矩形的长、宽)，才能使矩形花坛的面积最大?15．某住宅小区，为美化环境，提高居民生活质量，要建一个八边形居民广场(平面图如图所示)．其中，正方形MNPQ与四个相同矩形(图中阴影部分)的面积的和为800平方米．(1)设矩形的边AB=x(米)，AM=y(米)，用含x的代数式表示y为．(2)现计划在正方形区域上建雕塑和花坛，平均每平方米造价为2100元；在四个相同的矩形区域上铺设花岗岩地坪，平均每平方米造价为105元；在四个三角形区域上铺设草坪，平均每平方米造价为40元．①设该工程的总造价为S(元)，求S关于工的函数关系式．②若该工程的银行贷款为235000元，仅靠银行贷款能否完成该工程的建设任务?若能，请列出设计方案；若不能，请说明理由．③若该工程在银行贷款的基础上，又增加资金73000元，问能否完成该工程的建设任务?若能，请列出所有可能的设计方案；若不能，请说明理由．16．某房地产公司拥有一块“缺角矩形”荒地ABCDE，边长和方向如图，欲在这块地上建一座地基为长方形东西走向的公寓，请划出这块地基，并求地基的最大面积(精确到1m2)．参考答案。