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线性代数课件-向量组及其线性组合

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线性代数第四章第一节向量组及其线性组合课件

线性代数第四章第一节向量组及其线性组合课件
矩阵方程组 AX = B 有解
R( A) R( A,b)
R(A) R(A, B) R(B) R( A)
R( A) R(B) R( A, B)
知识结构图
n维向量 向量组 向量组的线性组合 向量组的线性表示 向量组的等价
向量组与矩阵的对应
判定定理及必要条件 判定定理
存在有限个初等矩阵P1, P2, …, Pl ，使 AP1 P2 …, Pl = B
把 P 看成
存在 m 阶可逆矩阵 P，使得 AP = B
是 线性表示的
系数矩阵
矩阵 B 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价
同理可得
r
A~ B
矩阵 B 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价
向量组 B：b1, b2, …, bl 能由向量组 A：a1, a2, …, am 线性表示 存在矩阵 K，使得 AK = B 矩阵方程 AX = B 有解 R(A) = R(A, B) （P.84 定理2） R(B) ≤ R(A) （P.85 定理3） 因为 R(B) ≤ R(A, B)
1
1 0 0
0
0
1
0
0
En
0
0
1
0
0 0 0
1
n 阶单位矩阵 En 的列向量叫做 n 维单位坐标向量．
回顾：线性方程组的表达式
1. 一般形式
3
x1 x1
4x2 x3 x2 2x3
5 1
2. 增广矩阵的形式
3 4 1 5
1
1
2 1
3. 向量方程的形式
4. 向量组线性组合的形式
(
A,
b)
1
2
1
0
r
~

同济版线性代数课件-第一节向量组及其线性组合

同济版线性代数课件-第一节向量组及其线性组合

实际应用举例
电路分析
在电路分析中，经常需要求解由 基尔霍夫定律列出的线性方程组，
以确定各支路的电流或电压。
经济学
在经济学中，线性方程组常用于 描述市场均衡条件，如供求平衡、
投入产出分析等。
工程技术
在工程技术领域，如结构力学、 流体力学等，经常需要求解由物
理定律导出的线性方程组。
04 矩阵运算与性质回顾
分配律
矩阵乘法满足分配律， 即A(B+C)=AB+AC， (B+C)A=BA+CA。
数乘分配律
数乘运算满足分配律， 即k(A+B)=kA+kB， (k+l)A=kA+lA。
矩阵秩概念引入
矩阵秩的定义
矩阵A中不等于0的子式的最大阶 数称为矩阵A的秩，记作r(A)。
矩阵秩的性质
矩阵的秩满足一些基本性质，如
同济版线性代数课件-第一节向量 组及其线性组合
目录
• 向量组基本概念与性质 • 向量空间与子空间 • 线性方程组求解与讨论 • 矩阵运算与性质回顾 • 特征值与特征向量初步探讨 • 总结回顾与拓展延伸
01 向量组基本概念与性质
向量定义及表示方法
01
02
03
向量的定义
向量是既有大小又有方向 的量，常用带箭头的线段 表示。
矩阵基本运算规则回顾
加法运算
两个矩阵相加，要求它们的行数和列数分别相等， 相加时对应元素直接相加。
数乘运算
一个数与矩阵相乘，用该数乘以矩阵的每一个元 素。
乘法运算
两个矩阵相乘，要求第一个矩阵的列数等于第二 个矩阵的行数，相乘时对应元素相乘再相加。
矩阵性质总结
结合律

向量组的线性组合(共29张PPT)

向量组的线性组合(共29张PPT)

x2a2T
xm amT bT有解。
例3．零向量是任何一组向量的线性组合。 定义1对于向量组a1，a2，
，am ，如果有一组数
b=(-1,1, 5)，证明b由向量组a1，a2， a3线性表示并写出具体的表示式。
定义1 对于向量组a1，a2，
，am ，如果有一组数
这是因为o=0 0 0 所以b 可由a1，a2 ，a３线性表示
线性方程组
向量组 A
线性表示
首页
Ax = b
有解
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返回
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a1m 1
a2m
2
b
anm
m
R(A)R(A,b)
17
结束
铃
4。向量组的等价．
定义：设有向量组 A：a1, a2, …, am 及 B：b1, b2, …, bl ， 若 向量组 B 中的每个向量都能由向量组 A 线性表示，则称向 量组 B 能由向量组 A 线性表示． 若向量组 A 与向量组 B 能互相线性表示，则称这两个向量
x1 a11 a12
x1a1x2a2 xm ama1,a2, ,am x2 a21 a22
xm an1 an2
a1mx1 a2m x2
anmxm
b 1 a 1 2 a 2 m a m
P.83 定理1 的结论：
a11 a12
a21
a22
an1 an2
向量b 能由
例1．设 1(1, 0, 0)，2(0, 1, 0)，3(0, 0, 1)，则
∵21-23 2(1, 0, 0)-(0, 1, 0)(0, 0, 1) (2, -1, 1)，
(2, -1, 1)是向量组1，2 ，3的一个线性组合， 也就是可由1，2 ，3线性表示。 注意：（1）向量组1，2 ，3 的线性组合有无穷多个

同济版线性代数课件--第一节 向量组及其线性组合

同济版线性代数课件--第一节 向量组及其线性组合
推论
件是矩阵 A
( A , B ) (a1 , a 2 , , R ( A ) R ( A , B ).
向量组 A : a 1 , a 2 , a m 与向量组 B : b 1 , b 2 , b l R( A) R(B ) R( A, B ) .
等价的充分必要条件是
其中 A 和 B 是向量组 A 和 B 所构成的矩阵
且 5 2 （ 5 ） 求 2 ,
R x ( x 1 , x 2 , , x n ) x 1 , x 2 , , x n R
n

T

叫做 n 维向量空间．
n 3
时 , n 维向量没有直观的几何形象．
T
x ( x 1 , x 2 , , x n ) a 1 x 1 a 2 x 2 a n x n b
第四章 向量组的线性相关性
第一节
向量组及其线性组合
一、n 维向量 二、向量组与矩阵 三、向量组的线性组合 四、等价向量组
一、n 维向量
1、概念
定义1
组称为 量，第 n 个有次序的数 n 维向量，这 i 个数 a i 称为第 a 1 , a 2 , , a n 所组成的数 n 个数称为该向量的 i 个分量 . n 个分
a2 a 12
a 22 am2

aj a1 j
a2 j a mj

an a 1n a 2n a mn
A 的列向量组 .
向量组 a1, a 2 , , a n 称为矩阵
3 、类似地
, 矩阵 A
( a ij )

1 , 2 , m ,

向量组及其线性组合

向量组及其线性组合

1
,
m
)
2
m
在n 维向量的全体
x1
Rn
x
x2
xn
x1, x2 ,
, xn
R
中，向量组
1 0
1
0
,
2
1
,
0
0
0
,n
0
1
称为n 维基本单位向量组。
a1
任一n 维向量
a2
Rn
都可以由
1, 2 ,
an
, n 表示成
B
1T
T 2
T m
1.2 向量组的线性组合
设向量组
1 2 4
1
2 1
,
2
3 1
,
3
11
由向量的线性运算知道， 3 22 1
这时称α3 是α1，α2 的线性组合。
定义2 设有向量组
:1,2 , ,m
，对于任意一组数
k1, k1, , km ，向量：
k11 k22 kmm
n 维向量也可以写成一行，记作
T (1,2 , ,n )
称为行向量，也就是1×n 行矩阵。
规定:n 维向量的运算按矩阵运算规则进行，即设λ 是数，n 维向量
a1 b1
=
a2
,
=
b2
an
bn
a1 b1
a1
则
=
a2
b2
,
=
a2
an
bn
an
x
y z
同维数向量的集合称为向量组。例如，n 维向量的全体所组成 的集合为
x1
Rn
x
x2 xn
x1, x2 ,

一、线性组合.ppt

一、线性组合.ppt

（二）线性无关
定义2：若向量组1,2 , 不,线s 性相关，
即
若不存在 P 中不全为零的数 k1, k2 , ,，ks使 P
k11 k22 kss 0 则称向量组 1,2 , 为,线s性无关的.
换句话说， 对于一个向量组 1,2 , ,s , 若由 k11 k22 kss 0
必有 k1 k2 ks 0,
则称向量组 1,2 , ,为s 线性无关的.
（三）线性相关性的有关性质
1.单个向量线性相关当且仅当它是零向量； 单个向量线性无关当且仅当它是非零向量.
2.一个向量组中若有零向量，则该向量组一定 线性相关.
3.向量组线性相关的充要条件是其中至少有一 个向量可由其余向量线性表出.
4.一个向量组中若部分向量线性相关，则整个向 量组也线性相关；（部分相关则全体相关） 一个向量组若线性无关，则它的任何一个部分组 都线性无关. （全体无关则部分无关）
例4 设 1 (1,1,2,4), 2 (0,3,1,2), 3 (3,0,7,14), 4 (1,1,2,0), 5 (2,1,5,6) 1）证明：1,线2 性无关. 2）把 1,2 扩充成一个极大无关组.
1）证：由于 1,2 不成比例，1,2 线性无关.
2）解： 由 k11 k22 k33 0,
四、极大线性无关组 向量组的秩
1、极大线性无关组
定义 设 1,2, ,s 为 P n 中的一个向量组，它的 一个部分组 i1,i2, ,ir 若满足
i) i1,i2 , ,ir线性无关； ii) 对任意的 j (1 j s) , 可j 经 i1,i2, ,ir
线性表出；
则称 i1,i2, ,ir 为向量组 1,2 , ,s 的一个
r

Chapter4-1向量组及其线性组合


2023
02
REPORTING
线性组合与线性表示
线性组合 定义及性 质
线性组合定义：设$V$是数域 $P$上的一个线性空间， $alpha_1, alpha_2, ldots, alpha_s$是$V$中的向量， $k_1, k_2, ldots, k_s$是数域 $P$中的数，那么向量$beta = k_1alpha_1 + k_2alpha_2 + ldots + k_salpha_s$称为向量 组$alpha_1, alpha_2, ldots, alpha_s$的一个线性组合。
案例三
求一个向量组生成的子空间的一组基和维数。可以通过构造一个以该向量组为列向量的矩阵， 然后计算该矩阵的秩。秩即为子空间的维数，而最大线性无关组即为子空间的一组基。
REPORTING
05
2023
总结回顾与拓展延伸
本章知识点总结回顾
向量组的概念
线性组合的定义
向量组是由一组向量构成的集合，这些向量 可以是行向量或列向量，具有相同的维数。
推论
若向量组$alpha_1, alpha_2, ldots, alpha_s$线性 无关，则其中任何一个向量都不能由其余向量线性 表示。
求解向量线性表示方法
平面向量基本定理 在平面内，如果两个向量不共线，那么这一平面内 的任一向量都可以由这两个向量唯一地线性表示。 待定系数法 设$beta = k_1alpha_1 + k_2alpha_2 + ldots + k_salpha_s$，通过解方程组求解系数$k_1, k_2, ldots, k_s$。 空间向量基本定理 在空间中，如果三个向量不共面，那么这一空间内 的任一向量都可以由这三个向量唯一地线性表示。

线性代数教学课件3


阶梯形线性方程组(B)与原线性方程组(A)同解.
在线性方程组(B)中, 将第三式的x3= -2代入第二个 方程,得x2= 2; 再将x2= 2, x3= -2代入第一个方程,得x1= 1.
所以原方程组的解为: x1=1, x2=2, x3= -2.
■
由阶梯形方程组逐次求得各未知量的过程,称为回代
过程, 线性方程组的这种解法称为高斯消元法.
a1r a1r 1 a2r a2r 1
a1n d1 a2n d2
于是结得论同:解2方. d程r+组1=0: , 则x1 同aˆ1,解r 1x方r 1 程组有aˆ1n x解n , dˆ1
A 00
arr arr 1
arn dr
从x2 而aˆ2原r 1x方r 1程组Aaˆ2Xn x=n b dˆ2
00
00
x1
1
x2
2
x3
2
■
100 1 010 2 001 2
13
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例2. 解线性方程组
x1 3x2 x3 2x4 x5 4 3x1 x2 2x3 5x4 4x5 1 2x1 4x2 x3 3x4 5x5 5 5x1 5x2 3x3 8x4 9x5 6
解: 对方程组的增广矩阵作行初等变换, 化成阶梯形 矩阵, 再化成行最简阶梯形矩阵.
为求解线性方程组(1), 必须解决以下一些问题:
(i) 线性方程组(1)是否有解? (ii) 如果线性方程组(1)有解, 那么它有多少个解? (iii) 当线性方程组有解(1)时, 如何求出它的全部解?
4
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定义 m个方程、 n个未知量 的线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn b1

向量组的线性组合与线性相关性.ppt


向量组
A：a1, a2, …, am 线性相关
m 元齐次线性方程组 Ax = 0
有非零解
R(A) < m
备注：
? 给定向量组 A，不是线性相关，就是线性无关，两者必居 其一．
? 向量组 A：a1, a2, …, am 线性相关，通常是指 m ≥2 的情形. ? 若向量组只包含一个向量：当 a 是零向量时，线性相关；
例1 设向量? ? ( ? 3,1,2), ? ? ? (a ? 2, b ? 2c, a ? c，) 求 a, b, c. 解：由 ?? ? (3, ? 1, ? 2) ? (a ? 2, b ? 2c, a ? c) 知
?a ? 2 ? 3
? ?
b
?
2c
?
?1
? ?
a
?
c
?
?
2
故 a ? 5, b ? 13, c ? ? 7
??
? ?
0
1
0
? ?
??0 0 1 ??
e1, e2, e3的 线性组合
?2? ?1? ?0? ?0?
那么
b?
? ?
3
? ?
?
2
?? 0
? ?
?
3
? ?
1 ??
?
7
? ?
0 ??
?
2e1
?
3e2
?
7e3
??7 ?? ??0 ?? ??0?? ??1 ??
线性组合的系数
一般地，对于任意的 n 维向量b ，必有
r
~
? ?
0
2
2 ??
??1 5 7 ?? ??0 0 0??
可见 R(a1, a2, a3 ) = 2，故向量组 a1, a2, a3 线性相关；

(人大版)线性代数PPT课件：3.2 向量与向量组的线性组合

量组的线性组合 因为
j01 1j 0s
例5 判断向量1(4 3 1 11)与2(4 3 0 11)是否各为 向量组1(1 2 1 5) 2(2 1 1 1)的线性组合 若是 写出
表示式
解
设 k11k221
对矩阵(1T
,
T 2
,
1T
)
施以初等行变换
1 2 4 1 2 4 1 2 4 1 0 2
定义32(向量的和)
两个n维向量(a1 a2 an)与(b1 b2 bn)的各对应 分量之和所组成的向量 称为向量与的和 记为 即
(a1b1 a2b2 anbn)
由向量加法及负向量的定义 可定义向量减法
()
(a1 a2 an)(b1 b2 bn) (a1b1 a2b2 anbn) 定义33(向量的数乘)
定义35(向量的线性组合与线性表示)
对于给定向量 1 2 s 如果存在一组数k1 k2
ks 使关系式
k11k22 kss 成立 则称向量是向量组1 2 s的线性组合 或称向量 可以由向量组1 2 s线性表示
定理33(判断法)
设向量(b1 b2 bm)T j(a1j a2j amj)T( j1 2 n) 则向量可由向量组1 2 n线性表示的充分必要条件是 以 1 2 n为列向量的矩阵与以1 2 n 为列向量
向量的矩阵有相同的秩
例2 任何一个n维向量(a1 a2 an)都是n维向量组 1(1 0 0) 2(0 1 0) n(0 0 1)的线性组合
因为
a11 a22 ann 向量组1 2 n称为Rn的初始单位向量组
例3 零向量是任何一组向量的线性组合 因为
00102 0s 例4 向量组1 2 s中的任一向量j(1js)都是此向
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的一个线性组合．
事实上，有对任意 (a1,a2 ,L ,an ) , 皆有
a11 a2 2 L an n .
1, 2 ,L , n也称为 n 维单位向量组．
(5) 向量b (1, 0, 4)T 能否由向量组1 (0, 1, 1)T，
2 (1, 0, 1)T ,3 (1, 1, 0)T 线性表示？ 分析：(列)向量b能否由(列)向量组1,2 m线性表示,
且5 2 （2 5）, 求
§3 向量组的线性相关性
• 向量、向量组与矩阵 • 向量的线性组合 • 线性相关性的概念 • 线性相关性的判定 • 小结
一、向量组与矩阵
1、若干个同维数的列向量组成的集合叫做列向量组．
若干个同维数的行向量组成的集合叫做行向量组．
2、矩阵A
(a
ij
) mn
有n个m维列向量
组实数 k1, k2 , , km ,
向量
k11 k22 kmm
称为向量组1, 2, , m 的一个 线性组合 ,
k1, k2, , km 称为这个线性组合的组合系数.
2、定义2
给定向量组
A :1,2,L
,
和向量
m
b, 如果
存在一组数1，2，L , m，使
b 11 2 2 m m
则向量b是向量组A的线性组合，这时称 向量 b 能 由向量组 A 线性表示,且称1，2， ，m为组合系数.
R(1T
,
T 2
,
T m
,
bT
)
R(1T
,
T 2
,
T m
例如 (1,2,3, ,n)
(1 2i,2 3i, ,n (n 1)i)
第2个分量 第1个分量
第n个分量
n维实向量 n维复向量
2、n 维向量的表示方法
n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列
矩阵，通常用 a,ba,1, 等表示，如：
a
a2 或(a1
,
a2
,L
, an )T
an
n 维向量写成一行，称为行向量，也就是行
T 1
T 2
A ai1 ai2
ain
T i
am1
am2
amn
T m
向量组
T 1
,
T 2
,
…，
T m
称为矩阵A的行向量组．
4、反之，由有限个同维向量所组成的向量组可 以构成一个矩阵.
m个n维列向量所组成的向量组1,2 , ,m ,
构成一个n m矩阵
A (1 , 2 , , m )
例1 （1）向量b (6, 7, 2)T 能否由向量组 1 (1, 1, 2)T， 2 (7, 6, 4)T ,3 (12, 14, 4)T 线性表示？
（2）向量b (0, 0, 0)T 能否由向量组
1 (1, 1, 2)T，2 (7, 6, 4)T 线性表示？
（3）向量1 (1, 1, 2)T 能否由向量组 1 (1, 1, 2)T，2 (7, 6, 4)T 线性表示？
x x
11
22
n xn b
Ax b
x1
(1,2 ,L
n
)
x2 M
b
xn
注： 1 x1 2 x2 L
x nn
b 实际上是表示
一个线性方程组，该方程组的系数矩阵为(1,2 ,L n )
增广矩阵 B (1,2 ,L n ,b)
二、向量组的线性组合
1、定义1 给定向量组 A :1, 2 , , m , 对于任何一
2、定义2
给定向量组 A :1,2, ,m和向量 b,如果存在 一组数1，2， ,m，使
b 11 2 2 m m
则向量b是向量组A的线性组合，这时称 向量 b 能 由向量组 A 线性表示,且称1，2， ，m为组合系数.
注：向量b能否由向量组1,2 m线性表示,
关键看线性方程组x11 x22 xmm =b是否有解
矩阵，通常用 aT ,bT ,T , T 等表示，如：
aT (a1,a2 , ,an )
注意 1. 行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；
2. 行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行 运算；
3. 当没有明确说明是行向量还是列向量时， 都当作列向量.
3、向量的线性运算
1) 加法： (a1 b1, ,an bn )T 和向量 2) 数乘： k (ka1, ,kan )T 例 （4，7， 3，2）, （11， 12，8，8）
关键看线性方程组x11 x22 xmm =b是否有解
即判断线性方程组Ax=b是否有解,其中 A=(1,2 m ).
3、定理
定理1 向量 b 可由向量组1,2 , m 线性表示
矩阵A (1,2 , ,m )的秩等于矩阵 B (1,2 , ,m , b)的秩
注：行向量b可由行向量组1，2 m线性表示
m个n维行向量所组成
的
向量组
T 1
,
T 2
,
mT ,
构成一个m n矩阵
B
T 1
T 2
mT
5、线性方程组的向量表示
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1,
a21 x1 a22 x2 a2n xn b2 ,
am1 x1 am2 x2 amn xn bm .
(4)设1 (1, 0)，2 (0,1)，3 (2, 3)，
问：
3可否由1，
线性表示
2
?
注： 1）零向量0可由任一向量组a1,a2 ,L ,am
的线性表出. 0 0 a1 0 a2 L 0 am .
2）一向量组中每一向量都可由该向量组线性表出.
3）任一 n 维向量 (a1,a2 ,L ,an ) 都是向量组 1 (1,0,L ,0), 2 (0,1,L ,0), L , n (0,0,L ,1)
§ 2 n维向量及其线性运算
• n维向量的概念及表示法 • 向量的线性运算
一、n 维向量
1、概念
定义1 n 个有次序的数 a1,a2 , ,an 所组成的数 组称为 n 维向量，这 n 个数称为该向量的n 个分 量，第 i 个数 ai称为第 i 个分量 .
分量全为实数的向量称为实向量，
分量全为复数的向量称为复向量.
a1 a2
aj
an
a11
a2 j a2n
am1 am2 amj amn
向量组a1, a2 , , an 称为矩阵A的列向量组.
3、类似地,
矩阵A
(aij
) mn
又有m个n维行向量
a11 a21
a12 a22
a1n a2n