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向量组及线性组合

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向量组及其线性组合

向量组及其线性组合

★定理1★向量组间的线性表示 ★内容小结 ★习题3-2★返回★ 向量组与矩阵★ 例1★ 例2第二节向量组及其线性组合内容分布图示内容要点： 一、n 维向量及其线性运算定义1 n 个有次序的数 印卫2,…，码所组成的数组称为n 维向量，这n 个数称为该向量 的n 个分量，第i 个数a j 称为第i 个分量.注：在解析几何中，我们把“既有大小又有方向的量”称为向量，并把可随意平行移动 的有向线段作为向量的几何形象 •引入坐标系后，又定义了向量的坐标表示式（三个有次序 实数），此即上面定义的 3维向量.因此，当n 岂3时，n 维向量可以把有向线段作为其几何 形象•当n 3时，n 维向量没有直观的几何形象•若干个同维数的列向量（或行向量）所组成的集合称为向量组 •例如，一个m n 矩阵 每一列 组成的向量组 冷，＞2，…，〉n 称为矩阵A 的列向量组，而由矩阵 A 的的每一行 组成的向量组匚辽，…，十称为矩阵A 的行向量组•根据上述讨论，矩阵 A 记为pu A % A =（G I ，C （2,…，U n ）或 A= 1 •"J这样，矩阵A 就与其列向量组或行向量组之间建立了一一对应关系矩阵的列向量组和行向量组都是只含有限个向量的向量组 •而线性方程组 的全体解当r （A ） ::: n 时是一个含有无限多个 n 维列向量的向量组•定义2 两个n 维向量〉=佝旧2,…，a .）与］=（b,，b 2,…，*）的各对应分量之和组成的向 量，称为向量爲与：的和，记为x 亠1：,，即由加法和负向量的定义，可定义向量的减法：（a1 _b 1, a2 "2， ，a n - bn ） •定义3 n 维向量〉珂①宀?,…，a .）的各个分量都乘以实数 k 所组成的向量，称为数 k 与向量二的乘积（又简称为数乘），记为k _：i ，即k ： =（ka i ,ka 2, ,ka n ）.向量的加法和数乘运算统称为 向量的线性运算•注：向量的线性运算与行（列）矩阵的运算规律相同，从而也满足下列运算规律：（1）?■■-■:■； （2） （、• I'） （： ^ ）；（3） 小0-：；（4）： （：） 0；★ n 维向量的概念★向量的线性运算 ★线性方程组的向量形式 ★向量组的线性组合（5）1：=■'；（6）k（l：）=（kl）：;(2)k i ,k 2/ ,k n 使得下列线性关系式:s ，对于任何一组实数 k i ,k 2,…，k s ,表达式A 的一个线性组合，k i ,k 2,…，k s 称为这个线性组合的系数. 给定向量组A:：1,：2,…，：s 和向量-,若存在一组数k i ,k 2, ,k s ,使(7) k(、；、卜)=k ：；亠 kl ，; (8) (k I)： =k ：：£ T ：. 二、向量组的线性组合 考察线性方程组a ii X i - a i2X 2 ……ain X n 二b a 2l X i - a 22X 2 川…川‘a 2n X n 二 b 2ami x i ' a m2X 2 ：：「八：:「a mn xn = b ma 2jb 2G j =3(j =1,2，…，n), 3 = al bm 丿则线性方程组(i)可表为如下向量形式：込X 2亠.亠：：皿--线性方程组(i)是否有解，就相当于是否存在一组数成立：定义4给定向量组A q ,。

3-2_向量与向量组的线性组合

3-2_向量与向量组的线性组合
单位向量组 ε 1 = (1,0 , L ,0 ), ε 2 = ( 0 ,1, L ,0 ), L
ε n = ( 0 ,0 , L ,1)的线性组合 .
a 1ε 1 + a 2 ε 2 + L + a n ε n = α
例4 判断 β 1 = ( 4,3,−1,11), β 2 = ( 4,3,0,11)是否各为向量 判断
若(A)、(B)为列 向量组, 记A = ( α1 , α 2 ,L , α s )和 向量组, 因 因 对每个向量 α j ( j = 1,2, L , s ), B = ( β1 , β2 ,L , βt ).
k1 j k2 j α j = k1 j β 1 + k 2 j β 2 + L + k st β t = ( β 1 , β 2 , L , β t ) , M k11 k12 L k1s k tj 于是
2 4 4 − 5 − 5 − 5 3 3 4 − 9 − 9 − 9 0 2 2 1 1 1 0 0 1 0 0 0
1 r2×(− 1 5) 1 2 4 4 r3 −3r2 0 1 1 1 r1 −2r2 0 r4 +9r2 0 0 0 1 → 0 →
T 1 T 2 T 2 T 1 T 2
定义3 定义 设有两个向量组 ( A) α 1 , α 2 ,L , α s 及( B ) β 1 , β 2 ,L , β t . 组中的每一个向量都能由向量组B线性表示 若A组中的每一个向量都能由向量组 线性表示 组中的每一个向量都能由向量组 线性表示, 则称向量组A可由 线性表示. 可由B线性表示 则称向量组 可由 线性表示

同济版线性代数课件-第一节向量组及其线性组合

同济版线性代数课件-第一节向量组及其线性组合

实际应用举例
电路分析
在电路分析中，经常需要求解由 基尔霍夫定律列出的线性方程组，
以确定各支路的电流或电压。
经济学
在经济学中，线性方程组常用于 描述市场均衡条件，如供求平衡、
投入产出分析等。
工程技术
在工程技术领域，如结构力学、 流体力学等，经常需要求解由物
理定律导出的线性方程组。
04 矩阵运算与性质回顾
分配律
矩阵乘法满足分配律， 即A(B+C)=AB+AC， (B+C)A=BA+CA。
数乘分配律
数乘运算满足分配律， 即k(A+B)=kA+kB， (k+l)A=kA+lA。
矩阵秩概念引入
矩阵秩的定义
矩阵A中不等于0的子式的最大阶 数称为矩阵A的秩，记作r(A)。
矩阵秩的性质
矩阵的秩满足一些基本性质，如
同济版线性代数课件-第一节向量 组及其线性组合
目录
• 向量组基本概念与性质 • 向量空间与子空间 • 线性方程组求解与讨论 • 矩阵运算与性质回顾 • 特征值与特征向量初步探讨 • 总结回顾与拓展延伸
01 向量组基本概念与性质
向量定义及表示方法
01
02
03
向量的定义
向量是既有大小又有方向 的量，常用带箭头的线段 表示。
矩阵基本运算规则回顾
加法运算
两个矩阵相加，要求它们的行数和列数分别相等， 相加时对应元素直接相加。
数乘运算
一个数与矩阵相乘，用该数乘以矩阵的每一个元 素。
乘法运算
两个矩阵相乘，要求第一个矩阵的列数等于第二 个矩阵的行数，相乘时对应元素相乘再相加。
矩阵性质总结
结合律

4.1向量组的线性组合和线性相关性

4.1向量组的线性组合和线性相关性

线性表示的充分必要条件是：
矩阵A=（

）的秩等于矩阵B=（
，b）的秩
2.向量组B:
能由向量组A：
线性表示充要条件是
矩阵A=（ （
）的秩等于矩阵（A,B）= ）
的秩，即R(A)=R(A,B)
推论: 向量组A与向量组B等价的充分必要条件是： R(A)=R(B)=R(A,B)
3.设向量组B：
能由向量组A：
R（
一定线性相关，特别的n+1个n维向量也一定线性相关
3. 设向量组A：
线性无关，而向量组B：
线性相关，则向量b必能由向量组A线性表示，且唯一表示
对于定理2.1：可以简单记为小的线性相关，大的才线性相关 大的线性无关，小的才线性无关
线性相关性定 义和定理
已知
讨论
及向量组 线性相关性
解：
可见R(
)=2，故向量组
）≤R（
）
线性表示，则：
3个定理
•设
证明向量 组
与向量组
证明:证出 R(A)=R(B)=R(A,B)即可
等价。
容易看出R（B）≤R(A,B)=2
R(A)=2
所以R(A)=R(B)=R(A,B)
因此证明向量 组
与向量组
等价。
线性组合例题
• 定义：给定向量组A： 使：
如果存在不全为0的数 则称向量组A是线性相关的
• 定理1：向量组A：
线性相关的充分必要条件是它
所构成的矩阵A=（
）的秩小于向量个数m；
向量组A线性无关的充分必要条件是R(A)=m
线性相关性定义 和定理
• 定理2：
1. 若向量组A：
线性相关，则向量组B：

向量组及其线性组合

向量组及其线性组合
经济数学
向量组及其线性组合
向量组
向量组的线性组合
1.1 向量组
定义1 n 个有次序的数 a1 ，a2 ， ，an 所组成的数组称为 n 维向量。
ai称为该向量的第 i 个分量。分量全为实数的向量称为实向 量，分量为复数的向量称为复向量。
n 维向量可以写成一列，记作
a1
a2
an 称为列向量，也就是n 1 列矩阵。
x
y
，
z
这就是三维向量。
在例1中，若记 D a11 a12 ，则称D为二元线性方程组
a21 a22
的系数行列式，把系数行列式第j列元素用方程组右端的常数项 代替后得到二阶行列式 Dj ( j 1，2) ，即有
D1
b1 b2
a12 a22
，D2
a11 a21
b1 b2
当 D 0 时，例1方程组的唯一解可表示为
n 维向量也可以写成一行，记作
Τ (a1 ，a2 ， ，an ) 称为行向量，也就是1 n 列矩阵。
规定：n 维向量的运算按矩阵运算规则进行，即设 λ 是数，n 维向量
a1
b1
a2
，
b2
an
bn
则
a1 b1
a1
a2
b2
，
a2
an bn
an
0 12
3 9
1 6 4 1 4
0 16 12
1 1 7 11
8 12
1 6 4 1 4
r
0
1
3 4
1 4
1
4 ．
0 0
0 0
0 0
1 0
2 0
由于 R( A) R(B) 3 4 ，因此，向量 β 可由向量组 1 ，2 ，3 ，4 线性表示，但表示式不唯一。

Chapter 4-1 向量组及其线性组合

Chapter 4-1 向量组及其线性组合

由上章 定理 6 矩阵方程 可得 AX = B 有解的充要条件
R(A) = R(A , B) .
定理 2 向量组 B：b1 , b2 , · · ·, bl 能由向量
组 A：a1 , a2 , · · ·, am 线性表示的充要条件是矩阵 A = (a1 , a2 , · · ·, am ) 的秩等于矩阵
例2 设
1 3 2 1 3 1 1 0 1 1 a1 , a2 , b1 , b2 , b3 , 1 1 1 0 2 1 3 1 2 0
就是一个由四个 3 维列向量 1, 2, 3, 4 构成的
向量组.
注：含有限个向量的有序向量组可以与矩阵一一对应。
对于一个 m×n 矩阵 A = (aij) :
a11 a21 A a m1
a12
a22 am 2
a1n a2 n , amn
证明向量组 a1 , a2 与向量组 b1 , b2 , b3 等价.
根据矩阵的秩的性质及定理2，由下述结论
Байду номын сангаас
定理 3 设向量组 B：b1 , b2 , · · ·, bl 能由向
n 个分量, 第 i 个数 ai 称为第 i 个分量. 分量全为实数的向量称为实向量, 分量为复数 的向量称为复向量. 在这里我们只讨论实向量.
n 维向量可写成一行, 也可写成一列, 分别称 记法： 为行向量和列向量, 也就是行矩阵和列矩阵, 并规 定行向量与列向量都按矩阵的运算规则进行运算. 因此, n 维列向量 与 n 维行向量 T 是两个不同 的向量.

第1讲向量组及其线性组合

矩阵A (a1, , am )的秩等于矩阵B (a1, , am,b)的秩
（2）向量组与向量组 定义：
设有两个向量组A : 1,2, ,m及B : b1, b2, , bs.
若B组中的每个向量都能由向量组A线性表示， 则称向量组B能由向量组A线性表示.
若向量组A与向量组B能相互线性表示，则称这两个 向量组等价。
k11 k22 kmm 0
则称向量组A是线性有关旳，不然称它线性无关．
注：
10
若 1,2 ,
,
线性无关
m
,
则只有当k1 km 0时, 才有
k11 k22 kmm 0 成立 .
20 对于任一向量组,不是线性无关就是线性相关 .
30 向量组只包含一个向量 时, 若 0,则说 线性相关, 若 0,则说 线性无关 .
由初等变换可逆性可知： A的行向量组能由B的行向量组线性表示，
A的行向量组与B的行向量组等价. 类似，若矩阵A经初等列变换变成B，则A的列向量组
与B的列向量组等价.
§2 向量组旳线性有关性
一、线性有关性旳概念
定义： 给定向量组A :1,2 , ,m ,如果存在
不全为零的数k1, k2 , , km使
故：1 , 2 ,, m 线性有关.
必要性： 设 1 , 2 ,, m 线性有关，
则有不全为0旳数 k1 , k2 ,, km , 使
k11 k2 2 km m 0.
因k1 , k2 ,, km 中至少有一种不为0，不妨设 k1 0,
则有： 1
k2 k1
2
k3 k1
3
km k1
（ii） 向量组线性无关的充分必要条件是R( A) m.
三、线性有关性旳主要性质

chapter4向量组及其线性组合

运算；
向量组 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）组成的集合
如 a11
A
a21
a12 a22
a1n a2Βιβλιοθήκη nam1am2
amn
a11 a12 a1n
A
a21
a22
a2
n
am1
am2
amn
m个n维列向量所组成的向量组1 , 2 , , m ,
构成一个n m矩阵,记为
例1 设a1(1 1 2 2)T a2(1 2 1 3)T a3(1 1 4 0)T b(1 0 3 1)T 证明向量b能由向量组a1 a2 a3线性表示 并求 出表示式
解 设A(a1 a2 a3) B(A b) (a1 a2 a3 b) 因为
所以R(A)R(B) 因此向量b能 由向量组a1 a2 a3线性表示
2、n 维向量的表示方法
n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列 矩阵，通常用 等表示，如：
n 维向量写成一行，称为行向量，也就是行 矩阵，通常用 等表示，如：
注意
1. 当没有明确说明是行向量还是列向量时， 都当作列向量.
2. 行向量和列向量总被看作是两个不同的向 量； 3. 行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行
向量组a1 a2 an线性无关R(a1 a2 an)n
例2 已知 a1(1 1 1)T a2(0 2 5)T a3(2 4 7)T
试讨论向量组a1 a2 a3及向量组a1 a2的线性相关性 解 对矩阵(a1 a2 a3)施行初等行变换变成行阶梯形矩阵
提示 对矩阵(a1 a2 a3)施行初等行变换变成行阶梯形矩阵 即
2 1 0 0
那么
b
3
2
0

向量组及其线性组合

✓ 列向量用黑色小写字母 a, b, a, b 等表示，行向量则用 aT, bT, aT, bT 表 示．
二、特殊的矩阵
• 只有一行的矩阵 A (a1, a2 , , an ) 矩阵(或行向量) .
称为行
a1
B
a2
只有一列的矩阵
an
称为列矩阵(或列向量) .
n 维向量的运算
an1 an2
线性方程组
Ax = b
有解
a1m 1
a2m
2
b
anm
m
R( A) R( A,b)
定义：设有向量组 A：a1, a2, …, am 及 B：b1, b2, …, bl ， 若
向量组 B 中的每个向量都能由向量组 A 线性表示，则称向 量组 B 能由向量组 A 线性表示． 若向量组 A 与向量组 B 能互相线性表示，则称这两个向量
因为 R(B) ≤ R(A, B)
R(B) ≤ R(A) 推论：向量组 A：a1, a2, …, am 及 B：b1, b2, …, bl 等
价的充分
必要条件是 R(A) = R(B) = R(A, B)．
证明：向量组 A 和 B 等价
R(A) = R(A, B)
向量组 B 能由向量组 A 线性R表(B示) = R(A, B)
线性表示的 系数矩阵
矩阵 B 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价
同理可得
r
A~ B
矩阵 B 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价
向量组 B：b1, b2, …, bl 能由向量组 A：a1, a2, …, am
线性表示
存在矩阵 K，使得 AK = B
矩阵方程 AX = B 有解
R(A) = R(A, B)

第八讲 向量组及其线性组合


α + β = β + α; (α + β ) + γ = α + ( β + γ ); α + 0 = α; α + ( −α ) = 0; 1α = α ; k ( lα ) = ( kl )α ; k (α + β ) = kα + kβ ; ( k + l )α = kα + lα . n 其中 α , β , γ ∈ R , k , l ∈ R.
第三章小结
矩阵 的初 等变 换与 线性 方程 组

矩阵的初 等变换

矩阵的初等变换 初等矩阵 矩阵初等变换的应用 矩阵秩的定义 矩阵秩的求法
矩阵的秩

线性方程组 线性方程 组的解 线性方程组解的存在性判定定理 线性方程组通解的求法
① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧
例
设 α1 = ( 2,−4,1,−1) , α 2 = ( −3,−1,2,−5 / 2) ,
T T
如果向量满足 3α 1 − 2( β + α 2 ) = 0, 求 β . 由题设条件, 解 由题设条件, 有
3α 1 − 2β − 2α 2 = 0
β = − 1 ( 2α 2 − 3α1 )
1 对于齐次线性方程组 = 0 推论 ： Ax
则：
R( A) = n ⇔ Ax = 0只有零解
R( A) < n ⇔ Ax = 0有非零解
求解线性方程组的步骤： 求解线性方程组的步骤： 写出增广矩阵，对于齐次线性方程组写出系数矩阵 写出增广矩阵， 用初等行 用初等行变换化增广矩阵为阶梯形矩阵 根据增广矩阵与系数矩阵秩的关系判断是否有解 如果有解， 如果有解，进一步化为行最简形矩阵 行最简形矩阵首非零元素1对应的未知量为非自由未知量， 行最简形矩阵首非零元素 对应的未知量为非自由未知量， 对应的未知量为非自由未知量 其余未知量为自由未知量 令自由未知量为c,从而得到方程组的通解（一般解） 令自由未知量为 从而得到方程组的通解（一般解） 从而得到方程组的通解
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am1 x1 am2 x2 amn xn bm .
x x
L
11
22
n xn
方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应．
制作人：杨寿渊
第15页/共29页
能由向量组
A : a1, a2 ,L , am 线性表示
1.1 导入
线性方程组 Ax 有解
R(A) R(A | )
定理1. 向量能由向量组 A : a1, a2,L , am线性 表示的充分必要条件是 R(A) R(A | ).
k1, k2 , , km 称为这个线性组合的系数
制作人：杨寿渊
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定义 3
1.1 导入
给定向量组 ：1 ,2 ,m 和 b
如果存在一组数 使得
1 , 2 , , m ,
b 11 22 mm
则向量b是向量组A的一个线性组合
或向量b能由向量组A线性表示
制作人：杨寿渊
第12页/共29页
n维复向量
第2个分量 第1个分量
第n个分量
制作人：杨寿渊
第4页/共29页
向量的表示方法：
1.1 导入
n 维向量写成一行，称为行向量，也就是行
矩阵，通常用 aT ,bT , T , T 等表示，如：
aT (a1 ,a2 , ,an )
n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列
矩阵，通常用 a,b, , 等表示，如：
制作人：杨寿渊
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1.1 导入
例2.设
1
1
1
2
2
1
22131 Nhomakorabea3
1 4
0
1
0
，
3
1
试问能否由向量组A :1,2,3线性表示？
1 1 1 1 1 1 1 1
解：( A
|
)
1
2
1
0
r2 r1
0 r3 2r1
1
2 1
2 1 4 3 0 r4 2r1 1 2 1
在三维的空间直角坐标系中，描述一个点的位置可以用 3个实数构成的有序实数对来表示，例如(2,5，1), (-1.5,6，2) 等，这些都是3维向量；
制作人：杨寿渊
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1.1 导入
在力学中，描述一个质点的运动状态需要6个参数： ( x, y, z, px, py, pz ),
其中x, y, z位置坐标，px , py , pz是动量坐标，这6个参 数构成一个6维的向量；
i 0 1 0 2 1i 0m
制作人：杨寿渊
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1.1 导入
1 2 1 2
例1.设
1
2
,2
3
,3
1
,
5
，试问能
3
1
2 3
否由向量组A :1,2,3线性表示？
解：这个问题等价于方程
x11 x22 x33
(1)
是否有解。
而方程(1)本质上是一个线性方程组：
am1
am2
amn
T m
向量组
T 1
,
T 2
,
…，
T m
称为矩阵A的行向量组．
制作人：杨寿渊
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二、线性组合的概念
1.1 导入
定义2. 给定向量组 ：1 ,2 ,m ，
对于任何一组实数 k1 , k2 , , km ,
表达式
k11 k22 kmm
称为向量组A的一个线性组合
制作人：杨寿渊
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物体的颜色可以用三维向量来表示：
1.1 导入
制作人：杨寿渊
第3页/共29页
所有颜色，均可以用 红、绿、蓝三色线性 组合得到
4/18
1.1 导入
分量全为实数的向量称为实向量；分量全为复数的向 量称为复向量.
(1,2,3, ,n)
n维实向量
(1 2i,2 3i, ,n (n 1)i)
例 P101
1.1 导入
零向量是任一同维向量组 1，2 ，m的线性组合；
01 02 0m
（a1, a2 , ，an）T是 e1, e2， , en 的线性组合； a1e1 a2e2 anen
向量组 α1 , α2 , αm 中的任一向量 αi (1 i m)
都是该向量组 α1 , α2 , αm 的线性组合.
a1
a
a2
an
制作人：杨寿渊
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注意
1.1 导入
１．行向量和列向量总被看作是两个不同的 向量；
２．行向量和列向量都按照矩阵的运算法则 进行运算；
３．当没有明确说明是行向量还是列向量时， 都当作列向量.
制作人：杨寿渊
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特殊向量（与矩阵类比可知）
1.1 导入
零向量 On (0,0, ,0)n
A
a21
a22 a2 j a2n
am1 am2 amj amn
向量组a1, a2 , , an 称为矩阵A的列向量组.
制作人：杨寿渊
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1.1 导入
a11 a21
a12 a22
a1n a2n
T 1
T 2
A ai1 ai2
ain
T i
2
3
0
1
0
1
2 1
制作人：杨寿渊
第17页/共29页
1 1 1 1 1 0 3 2
一、向量的概念
1.1 导入
定义1 n 个有次序的数 a1, a2 , , an 所组成的数 组称为n维向量，这n个数称为该向量的n个分量， 第i个数ai 称为第i个分量 .
在平面直角坐标系中，描述一个点的位置可以用两个实 数构成的有序实数对来表示，例如(2,5), (-1.5,6) 等， 这些都是2维向量；
a
2
,b
2
,
c
4
，则a,b, c构成列
3 5 9
向量组；而 aT ,bT , cT 构成行向量组。
一个m n矩阵A可以看成是由m个n维行向量组成的行向 量组；也可以看成是由n个m维的列向量组成的列向量组。
制作人：杨寿渊
第8页/共29页
1.1 导入
a1 a2
aj
an
a11 a12 a1 j a1n
负向量 (a1,a2 , ,an )
n维单位向量组（e为基本向量）
e1 (1,0, ,0), e2 (0,1, ,0), , en (0,0, ,1)
制作人：杨寿渊
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向量组的概念：
1.1 导入
由若干个具有相同维数的行（列）向量构成一个行 （列）向量组。
1 6 1
例：设
2xx1123xx22xx33
2 5
3x1 x2 2x3 3
(2)
制作人：杨寿渊
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x1 2, x2 1,
x3 2.
一般地有下列对应关系：
1.1 导入
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1,
a21 x1 a22 x2 a2n xn b2 ,