下载文档原格式
曲线、曲面积分一、第一类曲线积分（对弧长的曲线积分） （一）第一类曲线积分的性质 ①⎰⎰⎰±=±LLLds y x g k ds y x f k ds y x g k y x f k),(),()],(),([2121；②21,),(),(),(21L L L ds y x f ds y x f ds y x f L L L+=+=⎰⎰⎰设),(y x f 在曲线弧L 上有定义且连续，L 的参数方程为βαψϕ≤≤⎩⎨⎧==t t y t x L ),(),(:，则⎰⎰'+'=βαψϕψϕdt t t t t f ds y x f L)()()](),([),(22其中)(),(t t ψϕ在],[βα上有一阶连续导数且0)()(22≠'+'t t ψϕ注 1：若曲线L 由方程b x a x y ≤≤=),(ϕ确定，则⎰⎰'+=baLdx x x x f ds y x f )(1))(,(),(2ϕϕ注 2：若曲线L 由极坐标方程βθαθ≤≤=),(r r 表示，则θθθθθβαd r r r r f ds y x f L⎰⎰'+=)()()sin ,cos (),(22【例】计算⎰+Lds y x 22，其中L 为曲线y y x 222-=+【详解】曲线L 可参数化：⎩⎨⎧+-==,sin 1,cos :θθy x L 此时θ的变化范围为：,20πθ≤≤θθθθd d ds =+=22cos sin ，故⎰⎰⎰-=-+=+Ld d ds y x ππθθθθθ20202222sin 12)1(sin cos⎰-=πθθθ202cos 2sin2d ⎰⎰=-+-=πππθθθθθθ2228])2cos 2(sin )2sin 2(cos [2d d （三）计算第一类曲线积分的步骤1、根据积分曲线与被积函数的特征，将积分曲线参数化（有时题目可能会直接给你一个参数方程）2、利用公式dt t z t y t x ds)()()(222'+'+'=求出弧长微分ds 的值3、将参数方程和ds 的值代入积分，进行计算 二、第二类曲线积分（对坐标的曲线积分） （一）第二类曲线积分的性质 ①⎰⎰⎰+=+LLLdy y x Q dx y x P dy y x Q dx y x P ),(),(),(),(②⎰⎰⎰+++=+21),(),(),(),(),(),(L LL dy y x Q dx y x P dy y x Q dx y x P dy y x Q dx y x P ，其中21L L L +=注：第二类曲线积分与曲线的方向有关，若L -表示L 的反方向，则⎰⎰-+-=+LLdy y x Q dx y x P dy y x Q dx y x P ),(),(),(),(（二）第二类曲线积分的计算设),(),,(y x Q y x P 在有向曲线弧L 上有定义且连续。
曲面与曲线积分总结1. 引言曲面与曲线积分是微积分中重要的概念，在数学、物理学和工程学等领域中有着广泛的应用。
曲面与曲线积分可以描述物体的质量、电荷、磁场等物理性质，因此对于理解和解决实际问题具有重要意义。
在本文中，我们将介绍曲面与曲线积分的基本概念和计算方法，并介绍一些重要的定理和应用。
2. 曲线积分2.1 曲线积分的定义曲线积分是对曲线上的函数进行积分的方法，用于求解曲线上的物理量或对曲线进行分析。
曲线积分可以分为第一类曲线积分和第二类曲线积分。
第一类曲线积分是对曲线上的函数进行积分，即计算函数沿曲线的长度的积分。
第一类曲线积分可以表示为：$$\\int_C f(x,y,z) ds$$其中，C为曲线，f(x,y,z)为曲线上的函数，s为曲线的弧长。
第二类曲线积分是对曲线上的向量场进行积分，即计算向量场沿曲线的通量或环量的积分。
第二类曲线积分可以表示为：$$\\int_C \\mathbf{F} \\cdot d\\mathbf{r}$$其中，$\\mathbf{F}$为曲线上的向量场，$d\\mathbf{r}$为曲线的切矢量。
2.2 曲线积分的计算方法计算曲线积分的方法有多种，包括参数化方法、直接计算法、全微分法和格林公式等。
参数化方法是将曲线参数化表示，然后根据参数化表示计算曲线积分。
通过对参数的积分，可以将曲线积分转化为定积分。
参数化方法有时需要先求出曲线的切矢量和切向量。
直接计算法是将曲线积分按照定义进行计算，将曲线划分为若干小弧段，然后对每个小弧段进行积分，并对所有小弧段的积分求和。
全微分法是利用全微分的概念计算曲线积分。
通过对函数进行全微分，将曲线积分转化为函数的求导和积分。
格林公式是曲线积分和曲面积分之间的重要关系。
根据格林公式，可以通过曲线积分求解与曲线有关的曲面积分。
3. 曲面积分3.1 曲面积分的定义曲面积分是对曲面上的函数进行积分的方法，用于求解曲面上的物理量或对曲面进行分析。
微积分是数学的一门重要的分支，它研究的是函数的变化与极限。
在微积分中，曲线积分是一个重要的概念，它与格林公式有着密切的关系，并广泛应用于实际问题的求解中。
首先，我们来了解一下曲线积分的概念。
曲线积分是指在曲线上对向量场进行积分的过程。
对于一个曲线C，可以将其参数化为r(t)=<x(t), y(t)>，其中t是一个参数，x(t)和y(t)是关于t的函数。
向量场F=<P(x, y), Q(x, y)>可以表示为F=<P(r(t)), Q(r(t))>。
那么曲线积分可以表示为∫F·dr，其中dr是曲线上的微元向量。
曲线积分在物理、工程等领域有着广泛的应用。
例如，在机械工程中，可以用曲线积分来计算力的沿曲线的积分，以及在闭合路径上力的环量。
另外，在电磁学中，可以利用曲线积分来计算电场强度、磁感应强度等物理量。
接下来，我们来介绍一下格林公式。
格林公式是曲线积分与二重积分之间的重要联系。
它实质上是一个积分定理，可以将曲线上的积分转化为曲线所围成区域上的二重积分。
格林公式的数学表达为∮Pdx+Qdy=∬[∂Q/∂x-∂P/∂y]dxdy，其中P和Q是关于x和y的函数，[∂Q/∂x-∂P/∂y]是P和Q的二阶偏导数交叉相减的结果。
这个公式表明，在一个有界的、光滑的区域D上，曲线积分∮Pdx+Qdy等于区域D上∂Q/∂x-∂P/∂y的二重积分。
格林公式的应用范围很广泛。
它可以用于计算曲线围成的区域的面积、重心、质心等物理量。
例如，在工程中，常常需要计算复杂形状的物体的重心位置，可以通过将物体分解为小区域，然后运用格林公式来计算每个小区域的质心位置，最后将各个小区域的质心位置加权平均得到整个物体的重心位置。
此外，格林公式还可以用于计算闭合路径上的曲线积分，例如计算电场强度的环量。
在电磁学中，电场强度可以表示为E=<-∂Φ/∂x, -∂Φ/∂y>，其中Φ是电势函数，而电场强度的环量可以用曲线积分来表示。
第十一章 曲线积分与曲面积分第一节 对弧长的曲线积分（第一类曲线积分）1、 体现的是“对弧长”的积分，∫f(x,y)ds L[其中L 为光滑连续的一段或分段曲线]，依然用黎曼积分法得出。
2、 积分算法的主线是将对弧长s 的积分化成对t ，x 或其他一个变量的积分：①有参数方程 x =φ(t)y =ϕ(t)ds =√φ′2(t )+ϕ′2(t)dx (a ≤t ≤b )则化为∫f(x,y)ds L =∫f(φ(t),ϕ(t))√φ′2(t )+ϕ′2(t)dt ba 极坐标形式中ds =√r 2(θ)+r ′2(θ)dθ②有显方程y=f(x)，则有ds =√1+f ′2(x)dx第二节 对坐标的曲线积分（第二类曲线积分）1、有F (ξ,η)=P (ξ,η)i +Q(ξ,η)j , dr =dxi +dyj ，则有积分∫Fdr =L ∫Pdx L+ Qdy （有向量的存在，则必然有方向问题）2、对第二类曲线积分的算法，中心也是要把对x ，y 的积分化为t ，x 等一个变量的积分3、两类积分的关系：某点处的方向向量e l =（cosα，cosβ）则有∫Pdx L + Qdy =∫(Pcosα+Qcosβ)ds L第三节 格林公式1、 描述的是曲线积分与二重积分的关系（有图示）:12“正向规定”，围成的复连通区域为D②格林公式的形式：∮Pdx L 1+L 2+ Qdy =∬(∂Q ∂y −∂P∂x )dxdy D③Green 公式成立所满足的条件：区域D 由分段光滑的曲线围成；P 、Q 在D 上有一阶连续偏导2、平面积分与路径无关：∮Pdx L+ Qdy =0，则 ①∂Q ∂y =∂P ∂x ②必有某个函数μ(x,y)使得dμ=Pdx +Qdy。
高 数 作 业
姓名：徐艳涛 班级：电子商务1133 学号：201161102348 曲线积分和格林公式学习总结 §1对弧长的曲线积分 1．1由例子引入对弧长的曲线积分的定义给出性质，然后介绍将对弧长的曲线积分
化为定积分的计算方法。 1、引例：求曲线形构件的质量 最后举例巩固计算方法的掌握。 2、szyxfd),,(为第一类曲线积分，其中为曲线，被积函数),,(zyxf中的点),,(zyx
位于曲线上，即),,(zyx必须满足对应的方程，222dzdydxds是弧微分、弧长元素。 若是封闭曲线，则第一类曲线积分记为szyxfd),,( 3、第一类曲线积分的应用： 1）、曲线的长s=sd
2）、若空间曲线形物体的线密度为),,(zyxf，),,(zyx，则其质量Mdszyxf),,(;
质心坐标为),,(zyx，其中MdszyxzfzMdszyxyfyMdszyxxfx),,(,),,(,),,(; 对x轴的转动惯量dszyxfzyIx),,()(22 4、第一类曲线积分的计算方法：
若空间曲线参数方程为：)()()(tzztyytxx，t ，则dttztytxds222)]('[)]('[)]('[，
szyxfd),,(
=))(),(),((tztytxfttztytxd)]('[)]('[)]('[222。
例1 计算dszyx)(222，其中：txcos，tysin，tz，20t 解 因为222zyx=222sincosttt=21t，dtdtttds21)(cos)sin(22, 所以dszyx)(222)382(22)1(3220dtt 例2 dsy||，其中为球面2222zyx与平面yx的交线； 解 的参数方程为tztyxsin2,cos，20t，dtdtzyxds2'''222，根据对称性得到Ldsy||=24dcos2420tt 例3 计算dszyx)(222，其中:1222zayx )0(a 解
:1sincosztaytax,20t,dttztytxds222)]('[)]('[)]('[adtdttta)cos(sin222
dszyx)(222)1(2)1(2220aaadta
或解：被积函数222zyx中的点),,(zyx位于曲线上，即),,(zyx必须满足对应的方程 ，所以12222azyx，dszyx)(222=dsa)1(2=)1(2)1(22aadsa
1.2 第一类曲线积分
公式：= 应用前提:
1.曲线L光滑,方程可以写成为: 2.函数在L上有定义，且连续。 公式变形：若L为平面曲线，L方程为，则公式可以写成为：
常用计算法： １．对于曲线L可以写成为参数形式的，可直接套用公式． ２．对于平面曲线，可以用公式的变形． ３．计算中，根据图形特点，直接将ds化为dx,dy或dz．
如： ,其中：ds=P(x,y,z)dx ,x 4.当Ｌ是简单的折线段时，可以将Ｌ分为几个连续线段的和，然后分别求积分，再求和。（注意：由于折线段不连续，所以这种情况下不能对Ｌ直接套用公式，
否则，公式中的将有无意义的点．
公式推导及证明 推导的总体思想：将曲线Ｌ先分割，再求和，最后取极限。推导过程中要用到：中值定理，弧长公式及连续函数的一些极限性质． 分割：在Ｌ上插入n个分割点，令，（）； 记d＝max（），为［］上的弧长，为［］上任意一点．
求和：利用积分定义， 由弧长公式： 由中值定理： 其中是由中值定理确定的［］上的一点，；
于是： 利用,,,的连续性，有：
于是： 右端是黎曼积分和数，利用黎曼积分定义
取极限：得公式： 1.3第二类曲线积分 问题的来源：物理上，力Ｆ作用于物体上，使之沿曲线ＡＢ由Ａ运动到Ｂ，求力Ｆ所做的功Ｗ．
公式的推导 分割：将ＡＢ曲线分为小弧段，，．．．，．在每个小段上将Ｆ视为常力Ｆ．于是上作功，（其中，是线段与的夹角）
设，，是在x,y,z三轴正方向的投影． 则：
做和： 1.4两类曲线积分的联系 设曲线上以(t,x),(t,y),(t,z)表示正向切线t与三正向坐标系的夹角.于是
,,,据二类曲线计算公式:
; 由一类曲线推导得: 由曲线方程对称性的公式如下:
对于平面时,公式可化为: 平面上,设n为法方向,t为切向,则cos(t,x)=cos(n,y),cos(t,y)=-cos(n,x) 于是: 1.5对坐标的曲线积分 1）内容要点 引例：变力沿曲线所作的功 由例子引入对坐标的曲线积分的定义，给出性质然后介绍将对坐标的曲线积分化为定积分的计算方法，并强调指出两类曲线积分化为定积分的计算方法，最后举例巩固计算方法的掌握。
dzzyxRdyzyxQdxzyxP),,(),,(),,(
为第二类曲线积分，其中是一条定向曲线，
)),,(),,,(),,,((zyxRzyxQzyxPF为向量值函数，rd),,(dzdydx为定向弧长元素（有向曲线
元）
若曲线的参数方程为：)()()(tzztyytxx，则 切向量))('),('),('(tztytx，单位切向量)cos,cos,(cose 弧长元素ds=dttztytx222)(')(')(' 定向弧长元素rd),,(dzdydx=))(',)(',)('(dttzdttydttxdttztytx))('),('),('(
dstztytxtztztytxtytztytxtx))(')(')(')(,)(')(')(')(',)(')(')(')('(222222222 =dseds)cos,cos,(cos dzzyxRdyzyxQdxzyxP),,(),,(),,(
=Frd=Fdse
=dszyxRzyxQzyxP]cos),,(cos),,(cos),,([=dstztytxtzzyxRtyzyxQtxzyxP222)(')(')(')(),,()(),,()(),,( 上面的等式表明第二类曲线积分可以化为为第一类曲线积分。 例1 把第二类曲线积分dzzyxRdyzyxQdxzyxP),,(),,(),,(化成第一类曲线积分，其
中为从点)0,0,0(到点)1,22,22(的直线段。 解 方向向量)1,22,22(，其方向余弦22cos,21cos,21cos， 原式=dszyxRzyxQzyxP]cos),,(cos),,(cos),,([=dszyxRzyxQzyxP2),,(2),,(),,( 例2.把第二类曲线积分LdyyxQdxyxP),(),(化成第一类曲线积分，其中L为 从点)0,0(沿上半圆周xyx222到点)1,1(
解 L的参数方程为10:22xxxyxx，切向量)','(yx)21,1(2xxx 其方向余弦22cosxx，x1cos， LdyyxQdxyxP),(),(=dsyxQyxPL]cos),(cos),([
=dsyxQxyxPxxL)],()1(),(2[2。
2）第二类曲线积分的应用： 若一质点从点A沿光滑曲线（或分断光滑曲线）移动到点B，在移动过程中，这质点受到力kzyxRjzyxQizyxPF),,(),,(),,(，则该力所作的功
W=Frd=dzzyxRdyzyxQdxzyxP),,(),,(),,( 3）第二类曲线积分的计算方法： 1、若空间定向曲线的参数方程battzztyytxx:)()()(，则
dzzyxRdyzyxQdxzyxP),,(),,(),,(
=badttztztytxRtytztytxQtxtztytxP)]('))(),(),(()('))(),(),(()('))(),(),(([
2、若平面定向曲线L的参数方程：battyytxx:)()(，则 LdyyxQdxyxP),(),(
=badttytytxQtxtytxP)]('))(),(()('))(),(([
例1 计算ydzzdydxx2，其中为曲线sin,cos,azaykx上从0到
的一段弧。
解 ydzzdydxx2=daak]cossin[0222223=2333ak。 例2 计算曲线积分czyxyzxxyzd)(d)(d)(，其中C是曲线
2122zyxyx
从z轴正向看去，C取顺时针方向
分析 先写出曲线C的参数方程，可令cosx，siny，则sincos2z，为参数，由题设，C的起点、终点对应的参数值分别为2和0；在代入计算公式。 解 曲线C的参数方程为 cosx，siny，sincos2z，02:，于
是 原式02cos)sin2cos2()sin)(cos2[(d)]sin)(cossin(cos
20d)12cos2cos2sin2(202d0
．
.
§2格林公式
2.1格林(Green)公式是指出了沿闭曲线的第二型曲线积分与二重积分的关系.下面我们来规定L的正向:设区域D是由一条或几条光滑曲线所围成.边界曲线L的正向规定为:当人沿着L行走时,区域D总在他的左边.若与L的正向相反,就称为负方向.记作–L.
定理1 设闭区域D由分段光滑的闭曲线L围成,函数),(yxP,),(yxQ在D上具有一阶连续偏导数,则
LQdyPdx=DdxdyyPxQ (1)
其中左端的闭曲线积分是沿边界曲线L的正方向.公式(1)称为格林公式. 证:(i)首先我们证明一个特殊情况:D既可表示为X-型区域,也可表示为Y-型区域.由D可表示为X型区域,不妨设
D={(x,y) : a≤x≤b, )(1x≤y≤)(2x} (如图)
