平面及其平面的基本性质

平面的概念知识点总结一、平面的概念平面是数学中的基本几何概念之一，是一个没有厚度的二维几何空间。

平面可以用来描述点、直线和其他几何图形的位置关系，是几何学中的基本工具之一。

二、平面的特征1. 平面是无限大的平面没有边界，没有限制，可以延伸到无限远的位置。

任何两点都可以在平面上找到直线连接，这也是平面的特征之一。

2. 平面是无厚度的平面是一个没有厚度的二维几何空间，没有高度和深度的概念，只有长度和宽度的概念。

3. 平面是无旋绕的平面上的任意两条直线不会相交于一个以上的点，也不会平行于一个以上的点，这是平面的另一重要特征。

4. 平面是无法弯曲的平面上的任意两点之间都可以画出唯一一条直线，这条直线不会弯曲或者有转折，也不会在平面之外。

以上几点是平面的主要特征，理解这些特征对于理解平面的性质和应用是非常重要的。

三、平面的表示方法平面可以用三种方法来表示：1. 平面的点集表示法这种方法是最基本的表示方法，平面可以用一组点的集合来表示。

例如，我们可以用A(1,2), B(3,4), C(5,6)来表示一个平面上的三个点。

2. 二维坐标系表示法这种方法是比较常用的表示方法，平面上的点可以用二维坐标系来表示，例如，点A的坐标为(1,2)，点B的坐标为(3,4)。

3. 方程表示法这种方法是用代数方程来表示平面上的点，例如，平面上的点满足方程x+y=5，这就表示了一个平面。

以上三种表示方法可以根据具体情况和需要来选择使用，它们都可以很好地表示平面。

四、平面的性质1. 平面上的直线在平面上的两点可以确定一条直线，平面上的直线可以是任意方向的，可以与平面相交，也可以不相交。

平面上的直线有无限多条。

2. 平面上的角角是由两条不同的直线所围成的空间，平面上的角有不同的类型，例如，锐角、直角和钝角。

3. 平面上的图形平面上的图形有很多种，例如，三角形、正方形、矩形等等，它们都是在平面上的一些特殊的形状。

4. 平面的投影平面上的点和图形可以投影到另一个平面上，投影的形状和大小是与原来的形状和大小有关的。

平面的基本性质教学目标：1,并能运用它解决点、线共面问题2,并能运用它找出两个平面的交线及“三线共点”和“三点共线”问题教学重点：平面基本性质的三条公理及其作用．教学难点：（1）对“有且只有一个”语句的理解．（2）确定两相交平面的交线．1．平面的概念：平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性常见的桌面，黑板面，平静的水面等都是平面的局部形象一个平面把空间分成两部分，一条直线把平面分成两部分2．平面的画法及其表示方法：①在立体几何中，常用平行四边形表示平面锐角画成45，横边画成邻边的两倍画两个平面相交时，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画②一般用一个希腊字母α、β、γ……来表示，还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如平面α，平面AC等3．空间图形是由点、线、面组成的=b A⊂aαα=∅α=Al β= 集合中“∈”的符号只能用于点与直线，点与平面的关系，用于直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系，虽然借用于集合符号，但在读法上仍用几何语言． a α=∅或a A α=平面的基本性质公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内图1 图2 图3图4公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 推论1 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面. 已知：直线l ，点A 是直线l 外一点.推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面推论3 经过两条平行直线有且只有一个平面例1 求证:三角形是平面图形已知：三角形ABC求证：三角形ABC 是平面图形例2 两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一平面内已知：直线,,AB BC CA 两两相交，交点分别为,,A B求证：直线,,AB BC CA 共面例3 在正方体1111ABCD A B C D -中，①1AA 与1CC 是否在同一平面内？②点1,,B C D 是否在同一平面内？③画出平面1AC 与平面1BC D 的交线，平面1ACD 与平面1BDC 的交线例4 若l αβ=，,A B α∈，c β∈，试画出平面ABC 与平面,αβ的交线课堂练习1：1 下面是一些命题的叙述语（A 、B 表示点，a 表示直线，α、β表示平面） A ．∵αα∈∈B A ,，∴α∈AB ． B ．∵βα∈∈a a ,，∴a =βα ． C ．∵α⊂∈a a A ,，∴A α∈． D ．∵α⊂∉a a A ,，∴α∉A ． 其中命题和叙述方法都正确的是（ ）1C2．下列推断中，错误的是（ ） A ．αα⊂⇒∈∈∈∈l B l B A l A ,,,B ．B B A A =⇒∈∈∈∈βαβαβα ,,,C ．αα∉⇒∈⊄A l A l ,D ．βα∈∈C B A C B A ,,,,,，且A 、B 、C 不共线βα,⇒重合3．一个平面把空间分成____部分，两个平面把空间最多分成____部分，三个平面把空间最多分成____部分．4．判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×”（1）空间三点可以确定一个平面 （ ） （2）两条直线可以确定一个平面 （ ） （3）两条相交直线可以确定一个平面 （ ） （4）一条直线和一个点可以确定一个平面 （ ） （5）三条平行直线可以确定三个平面 （ ） （6）两两相交的三条直线确定一个平面 （ ） （7）两个平面若有不同的三个公共点，则两个平面重合 （ ） （8）若四点不共面，那么每三个点一定不共线 （ ）课堂练习2： 1．选择题（1）下列图形中不一定是平面图形的是 （ ） （A ）三角形 （B ）菱形 （C ）梯形 （D ）四边相等的四边形（2）空间四条直线，其中每两条都相交，最多可以确定平面的个数是（ ） （A ）一个 （B ）四个 （C ）六个 （D ）八个（3）空间四点中，无三点共线是四点共面的 （ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要（4）若a ⊂ α，b ⊂ β，α∩β=c ，a ∩b =M ，则 （ ） （A ）M ∈c （B ）M ∉c （C ）M ∈α （D ）M ∈β2．已知直线a //b //c ，直线d 与a 、b 、c 分别相交于A 、B 、C ，求证：a 、b 、c 、d 四线共面.课后练习：11、给定四个命题：(1)一平面的面积可以等于100cm3；(2)平面是矩形或平行四边形形状；(3)铺得很平的一张白纸是一个平面；(4)20个平面重合在一起比一个平面厚20倍，其正确的有 ( )A.0B.2C.3D.42、满足下列条件，平面α∩平面β=AB，直线a⊂α，直线b⊂β且a∥AB，b∥AB的图形是 ( )3、两个平面能把空间分成几个部分 ( )A.2或3B.3或4C.3D. 2或44、三个平面把空间分成最多或最少几个部分 ( )A.8；4B.7；4C.8；6D.6；45、三条直线两两相交，经过这3条直线的平面有 ( )A.0个B.1个C.0或1个D.3个6、空间有四个点，如果其中任意三点都不在同一直线上，那么经过其中三个点的平面 ( )A.可能有3个，也可能有2个B.可能有3个，也可能有1个C.可能有4个，也可能有3个D.可能有4个，也可能有1个7、确定一个平面的条件是（）A、空间三点B、空间两条件直线C、一条直线和一点D、不过同一点且两两相交的三条直线8、下列命题中正确的是（）A、空间四点中有三点共线，则此四点必共面B、三个平面两两相交的三条交线必共点C、空间两组对边分别相等的四边形是平行四边形D、平面a和平面b只有一个交点9、M、N、P、Q是空间不同的四点，下列命题中，错误的是（）A、若MP与NQ共面，则MQ与NP异面B、若MP与NQ共面，则MQ与NP异面C、若MP=NQ，MN=PQ，则MQ=NPD、若MP^NQ，MN^PQ，则MQ^NP10、水平放置的DABC有一边在水平线上，它的斜二测直观图是正DA1B1C1，则 DABC是（）A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、任意三角形11、a、b为异面直线，a上有5个点，b上有8个点，从这些点中选三个点确定一个平面，共能确定不同的平面数为_________（任意3点不共线）12、正方体的六个面把空间分成_______个部分二、填空题：7.(1)如果把图形比作一本打开的书，那么书内是向里还是向外 ;(2)αβ= ，AB α= ，AB与PQ .8.两两平行的三条直线最多可以确定个平面.9.直线AB、AD⊂α，直线CB、CD⊂β，点E∈AB，点F∈BC，点G∈CD，点H∈DA，若直线EH∩直线FG=M，则点M 在上.三、解答题：10.画一个正方体ABCD—A1B1C1D1，再画出平面ACD1与平BDC1的交线，并且说明理由.11.求证：三条两两相交且不共点的直线必共面.12、在正方体ABCD—A1B1C1D1中，设A1C与平面ABC1D1交于点O，求证：B、O、D1三点共线。

即: A∈且B∈ AB
A B



AB


B
A
作用:用于判定线在面内
结论2 ：空间中线与面的位置关系
直线a在平面内 记作：a 直线a在平面外 记作：a
强调:
空间中点与线(面)只有∈和 关系
空间中线与面只有 与 的关系
推导符号“”的使用：
条件结论
a和b确定一平面.
a//b
a和b确定一平面.
作用:用于确定一个平面.
A
B C

Aa
aＰ
b
a

b
公理3：若两个不重合平面有一个公共点， 则它们有且只有一条过该点的公共直线。
即: P∈且P∈ I=l且P∈l
｝｛ P∈
I=l

P∈
P∈l
作用:用于证明点在线上或多点共线
结论1:空间中点与线、点与面的位置关系
条件结论
｝ 条件1 结论
条件2
B
A
C
A、B、C不共线 A、B、C确定一个平面
作用:用于确定一个平面.
确定一平面还有哪些方法？
公理2.不共线的三点确定一个平面.
A
B C
推论1.一条直线和直线外一点确定一个平面。 推论2.两条相交直线确定一个平面。 推论3.两条平行直线确定一个平面。
思考4:如图所示，两个平面、,若相交 于一点,则会发生什么现象?
l
P
公理3：若两个不重合平面有一个公共点， 则它们有且只有一条过该点的公共直线。
即: P∈且P∈ I=l且P∈l
｝｛ P∈
I=l

P∈
P∈l
作用:用于证明点在线上或多点共线.

[解答] ∵E∈AB，H∈AD， ∴E∈平面 ABD，H∈平面 ABD， ∴EH⊂平面 ABD. ∵EH∩FG＝O，∴O∈平面 ABD， 同理可证 O∈平面 BCD， ∴O∈平面 ABD∩平面 BCD，即 O∈BD， 所以 B、D、O 三点共线．
第44讲 │ 要点探究
[点评] 证明点共线的依据是公理 3， 其方 法是找出这些点所在的两个平面， 说明各个点 都是这两个平面的公共点， 则这些点必在这两 个平面的交线上；另外，证明三线共点的依据 也是公理 3，可证明其中两直线的交点在第三 条直线上， 把问题归结为证明点在直线上的问 题， 而第三条直线是经过这两条直线的两平面 的交线， 两个平面的公共点必在这两个平面的 交线上．下面变式题就是三线共点的问题：
[解答] 方法一： 由公理 2， 不共 线的三点 D1、E、F 确定平面 α， 由图可知 D1E 与 DA 共面(公理 2 的推论)，且延长线交于点 G， 从而 G∈α(公理 1)，同理 D1F 与 DC 延长线的交点 H∈α，
第44讲 │ 要点探究
∵G∈平面 AC，H∈平面 AC， ∴GH⊂平面 AC， 又 B∈平面 AC，则 G、B、H 共面， ∵E 为 AA1 中点，AE∥DD1， ∴AG＝AD＝AB，∠ABG＝45° ， 同理∠CBH＝45° ， ∴∠ABG＋∠ABC＋∠CBH＝180° ， ∴G、B、H 三点共线， 又 G∈α，H∈α，即 GH⊂α(公理 1)， ∴B∈α，即点 D1、E、F、B 四点共面于平面 α.
第44讲 │ 要点探究
(4)正确．因为 A、C1、B1 不共线，∴A、C1、 B1 三点确定一个平面 α， 又 AB1C1D 为平行四边形，AC1、B1D 相交于 O2 点，而 O2∈α，B1∈α， ∴B1O2⊂α，而 D∈B1O2，∴D∈α； (5)正确．若 l 与 m 相交，则交点是两平面的 公共点，而直线 CD 为两平面的交线，所以交点一 定在直线 CD 上．