平面的基本性质

一、知识点:1.平面的概念:平面就是没有厚薄的,可以无限延伸,这就是平面最基本的属性2.平面的画法及其表示方法:①常用平行四边形表示平面通常把平行四边形的锐角画成45o ,横边画成邻边的两倍画两个平面相交时,当一个平面的一部分被另一个平面遮住时,应把被遮住的部分画成虚线或不画(面实背虚)②一般用一个希腊字母α、β、γ……来表示,还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如平面AC 等3.空间图形就是由点、线、面组成的点、线、面的基本位置关系如下表所示:图形 符号语言 文字语言(读法) 图形 符号语言 文字语言(读法)A a A a ∈点A 在直线a 上 a αa α⊂ 直线a 在平面α内 A a A a ∉点A 不在直线a 上 a αa α=∅I 直线a 与平面α无公共点AαA α∈点A 在平面α内 a A αa A α=I 直线a 与平面α交于点AA αA α∉点A 不在平面α内 b a A a b A =I 直线a 、b 交于A 点l αβ=I 平面α、β相交于直线lα⊄a (平面α外的直线a )表示a α=∅I (a αP )或a A α=I4 平面的基本性质公理1 如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在这个平面内推理模式:A AB B ααα∈⎫⇒⊂⎬∈⎭. 如图示: 应用:就是判定直线就是否在平面内的依据,也可用于验证一个面就是否就是平面.公理1说明了平面与曲面的本质区别.通过直线的“直”来刻划平面的“平”,通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”,它既就是判断直线在平面内,又就是检验平面的方法.公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其她公共点,且所有这些公共点的集合就是一条过这个公共点的直线推理模式:A l A ααββ∈⎫⇒=⎬∈⎭I 且A l ∈且l 唯一如图示: 应用:①确定两相交平面的交线位置;②判定点在直线上公理2揭示了两个平面相交的主要特征,就是判定两平面相交的依据,提供了确定两个平面交线的方法.公理3 经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面BA α推理模式:,, A B C 不共线⇒存在唯一的平面α,使得,,A B C α∈ 应用:①确定平面;②证明两个平面重合 “有且只有一个”的含义分两部分理解,“有”说明图形存在,但不唯一,“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个,但不保证符合条件的图形存在,“有且只有一个”既保证了图形的存在性,又保证了图形的唯一性.在数学语言的叙述中,“确定一个”,“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”就是同义词,因此,在证明有关这类语句的命题时,要从“存在性”与“唯一性”两方面来论证. 5 平面图形与空间图形的概念:如果一个图形的所有点都在同一个平面内,则称这个图形为平面图形,否则称为空间图形 6公理的推论:推论1 经过一条直线与直线外的一点有且只有一个平面、推理模式:A a ∉⇒存在唯一的平面α,使得A α∈,l α⊂推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面 推理模式:P b a =I ⇒存在唯一的平面α,使得,a b α⊂推论3 经过两条平行直线有且只有一个平面推理模式://a b ⇒存在唯一的平面α,使得,a b α⊂二、基本题型:1 下面就是一些命题的叙述语,其中命题与叙述方法都正确的就是( )A.∵αα∈∈B A ,,∴α∈AB .B.∵βα∈∈a a ,,∴a =βαI .C.∵α⊂∈a a A ,,∴A α∈.D.∵α⊂∉a a A ,,∴α∉A .2.下列推断中,错误的就是( )A.ααα⊂⇒∈∈∈∈l B l B A l A ,,, C.βα∈∈C B A C B A ,,,,,,且A,B,C 不共线βα,⇒重合B.AB B B A A =⇒∈∈∈∈βαβαβαI ,,, D.αα∉⇒∈⊄A l A l ,3.两个平面把空间最多分成___ 部分,三个平面把空间最多分成__部分.4.判断下列命题的真假,真的打“√”,假的打“×”(1)空间三点可以确定一个平面 ( )(2)两个平面若有不同的三个公共点,则两个平面重合( )(3)两条直线可以确定一个平面( )(4)若四点不共面,那么每三个点一定不共线( )(5)两条相交直线可以确定一个平面( )(6)三条平行直线可以确定三个平面( )(7)一条直线与一个点可以确定一个平面( )(8)两两相交的三条直线确定一个平面( )5.瞧图填空 (1)AC ∩BD = (4)平面A 1C 1CA ∩平面D 1B 1BD =(2)平面AB 1∩平面A 1C 1= (5)平面A 1C 1∩平面AB 1∩平面B 1C =(3)平面A 1C 1CA ∩平面AC = (6)A 1B 1∩B 1B ∩B 1C 1= 6 6.选择题(1)下列图形中不一定就是平面图形的就是 ( )A 三角形B 菱形 C 梯形 D 四边相等的四边形O 11D 1B C 1O D B A(2)空间四条直线每两条都相交,最多可以确定平面的个数就是( )A 1个 B 4个C 6个 D 8个(3)空间四点中,无三点共线就是四点共面的 ( )(A )充分不必要条件 (B )必要不充分条件(C )充分必要条件(D )既不充分也不必要7.已知直线a //b //c ,直线d 与a 、b 、c 分别相交于A 、B 、C ,求证:a 、b 、c 、d 四线共面、 答案:1、 C 2、 D 3、 2,4,8 4、 ⑴×⑵×⑶×⑷√⑸√⑹×⑺×⑻×5、⑴O ⑵A 1B 1⑶O ⑷OO 1⑸B 1⑹B 16、 答案:⑴ D ⑵ C ⑶ D7、 证明:因为a //b ,由推论3,存在平面α,使得,a b αα⊂⊂又因为直线d 与a 、b 、c 分别相交于A 、B 、C ,由公理1,d α⊂下面用反证法证明直线c α⊂:假设c α⊄,则c C α=I ,在平面α内过点C 作c b 'P ,因为b //c,则c c 'P ,此与c c C '=I 矛盾、故直线c α⊂、综上述,a 、b 、c 、d 四线共面、。

课题：10.1平面的基本性质课题：10.1平面的基本性质【教学目标】1.知识目标：理解和掌握平面的三个基本性质，并学会应用性质进行一些简单的分析和判断。

2. 能力目标：通过实例和多媒体进行直观教学，培养学生的观察能力和空间想象能力。

通过应用性质进行一些简单的分析和判断，培养逻辑思维能力。

3.情感目标：（1）通过创设主题式故事情境，增强学习兴趣。

（2）结合生活，进行“数学来源于生活”的唯物主义观念教育。

（3）通过问题解决，培养学生合作交流、独立思考等良好的个性品质，以及勇于批判、敢于创新的科学精神。

【教学重点】平面的基本性质。

因为研究空间图形时，往往将有关点、线归结到一个平面内，再利用平面图形的性质解决。

所以要求学生对基本性质有较深刻的理解。

【教学难点】平面的基本性质的掌握与运用。

因为平面的基本性质既抽象又枯燥，而中职幼师专业的学生想象和思维都较弱，所以掌握与运用三个平面的基本性质会有一定的难度。

【教学方法】遵循学生的认知规律，结合多媒体将具体与抽象、感性与理性、动手与动脑有机地结合在一起。

进行思考、交流，师生共同讨论等学法。

根据中职学生想象能力、思维能力较弱的特点，尽量从直观入手，因此考虑通过创设既靠近生活，又体现数学本质，并且能从情感上激发学生主动、深入思考的有效情境（主题式故事情境）作为载体的启发式教法。

【教学过程】图9−5公理1作为判断和证明直线是否在平图9−8反映了只要“两面共一点”，就两面共一线，且过这一点，线唯把信封的一角竖立在桌面上，那么信封所在平面和桌面所在平面只交于一点，对吗？如图：在长方体ABCD—A1B1C1D1是棱A1B1上的中点，画出C1三点所确定的平面α与长方体表面的交线。

资源信息表14．1 （2）平面及其基本性质——三个公理三个推论一、教学内容分析本节的重点和难点是三个公理三个推论.三个公理和三个推论是立体几何的基础，公理1确定直线在平面上；公理2明确两平面相交于一直线；公理3及三个推论给出了确定平面的条件.这些是后面学习空间直线与平面位置关系的基础.所以让学生透彻理解这些公理和性质，把现实中的具体空间问题抽象出来，初步认识直线与平面、平面与平面之间的关系并体会立体几何的基本思想，从而培养学生的空间想象能力，有利于学生更快更好的学习立体几何.二、教学目标设计理解平面的基本性质，能用三个公理三个推论解决简单的空间线面问题；了解一些简单的证明.培养空间想象能力，提高学习数学的自觉性和兴趣.三、教学重点及难点三个公理，三个推论.四、教学过程设计一、讲授新课（一）公理1如果直线l上有两个点在平面α上，那么直线l在平面α上.（直线在平面上）用集合语言表述：,,,A l B l A B l ααα⊂∈∈∈∈⇒≠ （二）公理2如果不同的两个平面α、β有一个公共点A ，那么α、β的交集是过点A 的直线l .（平面与平面相交）用集合语言表述：l A l A ∈=⋂⇒⋂∈且βαβα （三）公理3和三个推论公理3：不在同一直线上的三点确定一个平面.（确定平面）这里“确定”的含义是“有且仅有”用集合语言表述：A ，B ，C 不共线=>A ，B ，C 确定一个平面 推论1：一条直线和直线外的一点确定一个平面. 证明：设A 是直线l 外的一点，在直线l 上任取两点B 和C ，由公理3可知A ，B 和C 三点能确定平面α.又因为点,B C α∈，所以由公理1可知B ，C 所在直线l α⊂≠，即平面α是由直线l 和点 A 确定的平面.用集合语言表述：,A l A l α∉⇒确定平面 推论2：两条相交的直线确定一个平面. 用集合语言表述：,a b A a b α⋂=⇒确定平面 推论3：两条平行的直线确定一个平面. 用集合语言表述：//,a b a b α⇒确定平面 （四）例题解析例1如图，正方体1111ABCD A BC D -中，E ，F 分别是111,B C BB 的中点，问：直线EF 和BC 是否相交？如果相交，交点在那个平面内？解：111111E B C E B C EF B C F B B F B C ∈⇒∈⎫⇒⊂⎬∈⇒∈⎭≠平面平面平面 又1BC B C ⊂≠平面，则直线EF 和BC 共面； 1111//EF BC BC B C EF BC EF B C E ⎫⎪⇒⎬⎪⋂=⎭与共面与相交 设直线EF 和BC 相交于点p ，则p 在直线BC 上，即点P 在平面ABCD 上.1D 1C 1B 1A DCBA FE[说明]利用公理1确定直线在平面内.例2 如图，若,,,a b c a b P αβαχβχ⋂=⋂=⋂=⋂=，求证：直线C 必过点P.解：a P b P P c P c c αββαχβχχβχβχ⋂=⎫⎫∈⎧⎪⎪⋂=⇒⇒∈⋂⎬⎨⎪⇒∈∈⎬⎩⎪⋂=⎭⎪⎪⋂=⎭[结论]三个平面两两相交得到三条交线，若其中两条交于一点，另一条必过此公共点.例3 空间三个点能确定几个平面？空间四个点能确定几个平面？解：三点共线有无数多个平面；三点不共线可以确定一个平面.所以三点可以确定一个或无数个平面.四点共线有无数个平面；有三点共线可确定一个平面；任意三点不共线能确定1个或3个平面.所以四点可以确定1个或3个或无数个平面.[说明]公理3的简单应用.例4空间三条直线相交于一点，可以确定几个平面？空间四条直线相交于一点，可以确定几个平面？ 解：三条直线相交于一点可以确定1个或3个平面； 四条直线相交于一点可以确定1个、4个或6个平面. [说明]推论2的简单应用.例5 如图，AB//CD ，,AB E CD F αα⋂=⋂=，求作BC 与平面α的交点.解：连接EF 和BC ，交点即为所求BC 与平面 的交点.（公理3和公理2）[说明]推论3的简单应用.三、课堂小结1.公理1：确定直线在平面内；2.公理2：平面与平面相交于一直线；3.公理3和三个推论确定平面的条件；四、课后作业练习14.1（1）2 练习14.1（2）1，2，3五、教学设计说明本章呈现了几何研究的范围从平面扩展到空间时的基本方法.把几何研究的范围从平面扩展到空间后，增加了新的对象——平面.空间几何学是平面几何学的推广，平面几何中研究点与点、点与直线、直线与直线三种位置关系；空间几何中则增加了点与平面、直线与平面、平面与平面三中位置关系.本节的主要内容是让学生理解三个公理和三个推论，运用这些公理和推论进行一些简单的证明.αFBCDEA公理是人们在长期的生活实践的观察和检验中发现的.可以联系生活中的情景来学习三个公理，从而帮助学生学习，加深他们对公理的理解.三个公理和三个推论是空间几何学习的基础，有了这个基础，才能进一步研究空间中点与面、线与面、面与面的位置关系和度量问题.。

课前案-------知识回顾篇
↓问题导引 (详见提分宝典第30课,214页) 1.平面的基本性质
公理1、如果一条直线上有 个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内 公理2、经过 上的三点，有且只有一个平面
推论1、经过 ，有且只有一个平面 推论2、经过 ，有且只有一个平面
推论3、经过 ，有且只有一个平面公理 公理3、如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们 经过这个公共点的公共直 2.直线和直线的位置关系
空间两条直线有 , , 等位置关系 3. 直线和平面的位置关系
空间直线与平面有 , , 等位置关系
课中案----经典例题篇
↓目标导航
1.理解空间点线面的位置关系
2.能利用公理定理以及一些推论判断有关命题的真假
3.掌握空间两直线的位置关系及其判断
4.掌握异面直线所成角的求法 ↓路径导学
题型一：空间点线面的位置关系
题型二：点共线，线共点，线共面的证
题型三：空间两直线位置关系的判断
▲思维导图题型四：求两条异面直线所成的角
课后案。

平面的教学设计一、教学内容解析本节课选自高中数学人教A版必修二2.1.1,主要内容是平面的概念和三个基本性质.平面的基本性质是研究空间图形性质的理论基础，也是以后演绎推理的逻辑依据,是进一步学习立体几何其它知识的基础和关键,也是学生已有的平面几何观念的拓展，可以对学生的知识结构进行顺应性的建构.通过这些内容的教学,使学生掌握从整体到局部的研究方法，初步了解从具体的直观形象到严格的数学表述形式,使学生的思维从直觉思维上升至分析思维.因此，掌握平面的三条基本性质至关重要.二、教学目标设置根据本节课的教学内容、特点及教材大纲对学生的要求，结合学生现有的知识水平和理解水平,确定本节课的教学目标.【知识目标】理解和掌握平面的三个基本性质，并能用图形语言和符号语言表示【能力目标】通过实物模型和多媒体进行直观教学，培养学生的观察能力和空间想象能力.通过应用性质进行一些简单的分析和判断，培养逻辑思维能力。

【情感目标】1.通过学生动手操作实践，增强学习兴趣.2.结合生活，进行“数学来源于生活”的唯物主义观念的教育.3.通过问题解决，培养学生合作交流、独立思考等良好的个性品质，以及勇于批判、敢于创新的科学精神。

.三、学生学情分析学生已经掌握了平面内点和直线的概念和性质，可以进行顺应性的建构.但由于学生想象能力、思维能力较弱，一旦涉及到抽象的总结归纳，难免会束手无策.另外，从集合的角度来描述空间中点、线、面的位置关系所用符号与集合中本身符号的用法之间有一定的区别，因此部分学生不能正确应用符号语言.四、教学策略分析1.教法——启发式教法一方面，考虑到生活中关于平面及其性质的实例很多，本节适合让学生联系生活列举实例；另一方面，根据学生想象能力、思维能力较弱的特点，教学时尽量从直观入手.本节课以既贴近生活，又体现数学本质，并且能从情感上激发学生主动、深入思考的有效情境作为载体，并以层层递进的问题串联而成.2.学法遵循学生的认知规律，结合多媒体将具体与抽象、感性与理性、动手与动脑有机地结合在一起.课前学生利用学案预习，课中主要采用小组合作、体验、分析归纳、展示、质疑、答疑等学法.五、教学过程（一）创设情境，引入新课首先图片展示天安门笔直的旗杆、细绳引导学生回顾初中数学几何中的“直线”是从现实生活中笔直的物体中抽象出来的，然后通过海平面、镜面让学生认识生活中与平面有关的物体，并进一步借用成语“心若止水”、“水平如镜”使学生感知平面与我们紧密相连，引出课题.（二）提出问题，探索研究1.认识平面问题：（1）你能举出生活中与平面有关的物体吗？（2）生活中的平面有大小之分吗？（3）几何中的“平面”你如何理解？以上三个问题让学生认识生活中的平面与数学几何中“平面”的区别：生活中的平面有大小，而几何“平面”是从生活中平的物体抽象出来的结果，利用与直线类比得出几何中的“平面”无大小，向四周无限延展.2.平面的画法与表示问题：（1）用一个什么样的平面图形表示平面？（2）如何从图像上体现平面没有大小、向四周无线延展的这些特征？（3）平面怎么表示？学生各抒己见，如三角形、圆、梯形、平行四边形等只要是封闭的平面图形都可以，通过类比直线，使学生明白，只要画出平面的一部分，加以想象——四周无限扩展即可表示平面.教师归纳总结平面的画法与表示.3.空间中点、线、面的位置关系借助正方体让学生明白点与线、点与面、线与面之间的位置关系，体会用数学符号语言表示的优点.利用几何画板演示点动成线、线动成面（平移或旋转），使学生理解为什么借用集合中的符号表示点、线、面之间的位置关系.学生通过展示，规范使用数学符号语言.（三）合作探究、分析归纳1.学生用笔和书本演示直线和平面只有一个公共点、直线和平面有两个公共点，通过实际操作概括出公理1，并用图形语言和符号语言表示公理1，教师适时总结.2.小组合作探究：过1个点可以作多少个平面？过2个点？3个点？4个点？小组通过合作发现过不在同一直线上的三点有且只有一个平面，特别是对“有且只有”这四个字的理解.3.通过生活中投寄信件实例的演示，学生归纳出公理3.纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行.同学们亲自参与动手操作、观察、归纳，培养学生的观察能力、作图能力和数学语言的表达能力.（四）例题展示，规范表示例1 教材P43学生通过自己的展示，加深对用符号语言的理解，进一步规范用数学符号语言正确表示空间中点、线、面之间的关系，为今后学习推理、证明几何问题打下基础.（五）课堂小结由学生自己来讲，这样能调动学生的积极性，使学生及时回顾，再次加深对平面基本性质的认识，同时可以培养学生归纳、概括等能力，进一步完成能力目标和情感目标，同时老师也适当的补充.（六）课后作业完成学案的巩固训练（六）板书设计五、教学反思1.问题为主线，以培养思维能力为核心由于学生的抽象思维能力不够强，因此我采用问题贯穿教学的全过程，利用问题引导学生积极思考.问题的提出和解决不仅仅是为了增进知识，更主要的是为了引发学生思维，激发其创新意识.学生分析问题、解决问题的探究过程，既是对信息进行筛选、跟踪、重组的过程，也是学生思维能力的发展过程。