教学过程
—、复习预习
思考：1、直线的性质,平面的性质
2、直线在一个平面内的判定？
3、直线与直线相交与两个平面相交的区别
4、三角形的稳走性指的是什么？
二知识讲解
考点］
公理1 :如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内・
考点2
公理2 :如果两个平面有一个公共点，那么它们还有具他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的F直线•
考点3
公理3 :经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面•
推论1经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面；
推论2经过两条相交直线,有且只有一个平面；
推论3经过两条平行直线,有且只有一个平面.
公理的用途
公理1:①证明点在平面内；②证明直线在平面内•
公理2 :①确走两个平面的交线；②证明三点共线或三线共点•
公理3 :①确走一个平面的条件；②证明有关的点线共面问题•
考点4
公理4平行于同一条直线的两条直线平行.它给出了平面中直线平行的传递性在空间也成立.
考点5
异面直线的判走异面直线所成的角
三.例题精析
【例题1］如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别在AB、BC、
CD、AD 上，且满足AE : EB=CF : FB=2 :1 , CG : GD= AH : HD=3 : 1 ,过E、
F、G的平面交AD于H ,连接EH.求证:EH、F
G、BD三线共点.
1
〃—
证明T AE : EB=CF : FB=2 : 1 /. EF= 3 AC ;
又. CG : GD= AH : HD=3 : l t
丄
.-.GH =4 AC ;则EF//GH且EFHGH ,
・・・四边形EFGH为梯形.令EHCIFG=P ,则PeEH，而EHu平面ABD , PeFG r
FG<=平面BCD f平面ABDA平面BCD=BD r
.••PVBDJ.EH、FG、BD 三线共点.
【例题2］如图，空间四边形ABCD中，E、F、G分别在AB、BC、CD上,且满足AE : EB = CF:FB=2:1 # CG : GD=3 :1,过E. F x G 的平面交AD 于H・
⑴求AH : HD ;
⑵证明：EH、FG、BD三线共点. 【答案】(1)3:1 (2)略
竺工2 =
【解析】⑴EB FB EF〃AC=>EF〃面ACD.
而EFU 面EFGH ,而面EFGHA® ACD=GH , /.EF//GH 而EF//AC ,
AH _ CG
:.AC//GH「•・HD GD 3 ,即AH: HD=3 : 1 ・
EF \ GH _ 1
(2)・・• EF//GH 且AC 3 x AC 4 z A E F H GH r EFGH 为梯形.
令EH"FG = P，则PVEH 而EHU面ABD.PeEG, FGu面BCD,面ABDA面BCD二BD. ・・・PVBD,・・・ EF、FG、BD三线共点.
【例题3】已知E、F、G、H分别为空间四边形ABCD各边AB、AD、BC、CD±的点，且直线EF和GH交于点P.
求证：B、D、P在同一直线上.
【证明】如图，••• EFAGH = P , /. PUEF、GH.*/ EeAB ,
FeAD f・・・EFU面ABD , /. Pw面ABD.vGeBC r
HeCD …・・GHU面BCD r /.Pe® BCD.
••面ABDA面BCD=BD , /. PeBD ,
B、D、P三点在同一直线上.
【例题4]已知直线（与三条平行线a、b、c都相交•求证：。与a、b、c共面.
【证明】设aQl = A bC\l = B cD/ = C
由a//b^ a、b确定平面&，因为Ava, Bub=>/ua
bile b s c确走平面B ■因为Cec, Beb同理可证/up
所以a、B均过相交直线b、/=> a、p重合n cua => a、b、c、/共面
【例题5]
AE HF 1
如图所示，在四面体ABCD中，E、F分别是线段AD、BC上的点,T D =~FC = 2 ,AB=CD=3 , EF="，求AB、CD所成角的大小.
【答案】60。
GB丄
【解析】如图所示，在线段BD上取一点G，使而其•连接GF、GE、EF.
AE BG BF 1 2
ED = GD=~FC = 2 , GEIIAB,且GE=^AB = 2,
I
同理，GFllCD,且G"CD“，
22+|2_7
在匕EGF 中，coszEGF= 2x2x1 ・.zEGF“20°・
由GF IICD,GEII AB可知,AB与CD所成的角应是zEGF的补角为60°.
【例题6]
如图所示，等腰直角三角形ABC中/zA=90\BC=>/2 QA丄AC , DA丄AB/§DA=l f
且E为DA的中点•求异面直线BE与CD所成角的余弦值
Vjo
【答案】而
【解析】取AC的中点F ,连接EF , BF ,在乂ACD中，E、F分别是AD、AC的中点, .\EFllCD ,
・・・zBEF即为异面直线BE与CD所成的角或其补角.
在R2EAB 中,AB=AC=1,
丄丄V5
AE= 2 AD=2 , Z.BE=~ ,
在RMEAF中，
丄丄AF=2A C=2
丄运# AE=2 z .-.EF=~
